53
1 Bentuk Pangkat Dan Akar Dalam Pemecahan Masalah Matematika Mia Amelia (1132050046) Pendidikan Matematika IV B 2015 Program Studi Pendidikan Matematika Pendidikan MIPA Fakultas Tarbiyah Dan Keguruan Uin Sunan Gunung Djati Bandung Abstrak Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang saling terikat hubungan dengan ilmu lain , hal tersebut yang membuat matematika terasa lebih sempurna sebagai ilmu pengetahuan. Kesempurnaan tersebut tercermin dalam kegunaannya sebagai ilmu yang dapat diterapkan secara laangsung untuk membantu manusia dalam memahami mempermudah , dan menguasai permasalahan sosial , ekonomi dan alam .Matematika juga dianggap sebagai bahasa yaitu menyatukan persepsi dengan istilah yang didefinisikan dengan cermat , jelas dan akurat refresentasinya dengan simbol berupa bahasa simbol yang disepakatii bersama . Seperti hal nya dalam bentuk pangkat dan akar , contohnya dalam menyebutkan banyaknya 10000000000000000000000000 , tentu jika dikomunikasikan dalam bahasa secara langsung kita kesulitan untuk menyebutkan bilangan tersebut karena terlalu banyak tetapi dengan menggunakan konsep pangkat 10000000000000000000000000 dapat dinotasikan dengan 10 25 . Pegang teguh sifat matematika; yaitu, matematika bersandar pada kesepakatan, saling terkait materinya, menggunakan variabel-variabel, dan bersifat abstrak sebab matematika adalah hasil abstraksi pemikiran manusia. Matematika menganut kebenaran konsistensi; artinya, tidak boleh ada di dalamnya unsur-unsur, simbol - simbol, konsep-konsep, rumus-rumus yang

Akar dan Pangkat

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Akar dan Pangkat

1

Bentuk Pangkat Dan Akar Dalam Pemecahan Masalah Matematika

Mia Amelia (1132050046)

Pendidikan Matematika IV B 2015

Program Studi Pendidikan Matematika

Pendidikan MIPA

Fakultas Tarbiyah Dan Keguruan

Uin Sunan Gunung Djati Bandung

Abstrak

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang saling terikat hubungan dengan ilmu lain , hal tersebut yang membuat matematika terasa lebih sempurna sebagai ilmu pengetahuan. Kesempurnaan tersebut tercermin dalam kegunaannya sebagai ilmu yang dapat diterapkan secara laangsung untuk membantu manusia dalam memahami mempermudah , dan menguasai permasalahan sosial , ekonomi dan alam .Matematika juga dianggap sebagai bahasa yaitu menyatukan persepsi dengan istilah yang didefinisikan dengan cermat , jelas dan akurat refresentasinya dengan simbol berupa bahasa simbol yang disepakatii bersama . Seperti hal nya dalam bentuk pangkat dan akar , contohnya dalam menyebutkan banyaknya 10000000000000000000000000 , tentu jika dikomunikasikan dalam bahasa secara langsung kita kesulitan untuk menyebutkan bilangan tersebut karena terlalu banyak tetapi dengan menggunakan konsep pangkat 10000000000000000000000000 dapat dinotasikan dengan 1025

. Pegang teguh sifat matematika; yaitu, matematika bersandar pada kesepakatan, saling terkait materinya, menggunakan variabel-variabel, dan bersifat abstrak sebab matematika adalah hasil abstraksi pemikiran manusia. Matematika menganut kebenaran konsistensi; artinya, tidak boleh ada di dalamnya unsur-unsur, simbol - simbol, konsep-konsep, rumus-rumus yang saling bertentangan. Seperti halnya dalam pangkat dan bentuk akar , keduanya saling keterikatan antara konsep pangkat dan bentuk akar . Jika sebuah konsep ditemukan, ukuran kebenarannya adalah apabila konsep tersebut diterima pada struktur matematika yang sudah ada sebelumnya sama halnya dalam mempelajari bentuk akar harus didahului pemahaman konsep yang matang mengenai onsep bilangan , dapat membedakan bilangan rasional dan irasional , kemudian harus paham konsep dan prinsip dari pangkat maka kita akan menguasai materi tersebut . Jika prinsip (rumus-rumus, sifat-sifat) yang ditemukan, ukuran kebenarannya dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan konsep atau aturan yang sudah ada sebelumnya.

Kata Kunci : Matematika , Bilangan Rasional , Bilangan Irrasional , Pangkat , Bentuk Akar .

I.Pendahuluan

Page 2: Akar dan Pangkat

2

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang saling terikat hubungan dengan ilmu lain , hal tersebut yang membuat matematika terasa lebih sempurna sebagai ilmu pengetahuan. Kesempurnaan tersebut tercermin dalam kegunaannya sebagai ilmu yang dapat diterapkan secara laangsung untuk membantu manusia dalam memahami. Mempermudah , dan menguasai permasalahan sosial , ekonomi dan alam .Matematika juga dianggap sebagai bahasa yaitu menyatukan persepsi dengan istilah yang didefinisikan dengan cermat , jelas dan akurat refresentasinya dengan simbol berupa bahasa simbol yang disepakatii bersama . Seperti hal nya dalam bentuk pangkat dan akar , contohnya dalam menyebutkan banyaknya 10000000000000000000000000 , tentu jika dikomunikasikan dalam bahasa secara langsung kita kesulitan untuk menyebutkan bilangan tersebut karena terlalu banyak tetapi dengan menggunakan konsep pangkat 10000000000000000000000000 dapat dinotasikan dengan 1025

.

II. Pembahasan

Banyak permasalahan kehidupan yang penyelesaiannya terkait dengan konsep dan aturan-aturan dalam matematika. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat permasalahan-permasalahan yang diberikan. Di dalam proses pemecahan masalah-masalah yang diberikan, kamu cermati objek-objek yang dilibatkan dalam permasalahan yang diberikan. Objek-objek itu menjadi bahan aspirasi/inspirasi, karena terkadang ada konsep matematika melekat pada objek itu yang tidak kita sadari dan ternyata sebagai kata kunci dalam penyelesaian masalah. Pegang teguh sifat matematika; yaitu, matematika bersandar pada kesepakatan, saling terkait materinya, menggunakan variabel-variabel, dan bersifat abstrak sebab matematika adalah hasil abstraksi pemikiran manusia. Matematika menganut kebenaran konsistensi; artinya, tidak boleh ada di dalamnya unsur-unsur, simbol - simbol, konsep-konsep, rumus-rumus yang saling bertentangan. Jika sebuah konsep ditemukan, ukuran kebenarannya adalah apabila konsep tersebut diterima pada struktur matematika yang sudah ada sebelumnya. Jika prinsip (rumus-rumus, sifat-sifat) yang ditemukan, ukuran kebenarannya dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan konsep atau aturan yang sudah ada sebelumnya.

Sejarah Bentuk Pangkat (Eksponen) dan Akar

Sebelum orang menggunakan x² sebagai simbol xx, x³ sebagai simbol untuk xxx dan seterusnya, dahulu orang merasa kesulitan untuk menuliskan suatu persamaan dengan derajat yang lebih dari satu. Pada saat itu, simbol-simbol x, y, z dan seterusnya sudah digunakan untuk menyatakan bilangan yang belum diketahui nilainya. Namun, ketika mereka dihadapkan pada bilangan-bilangan yang berpangkat tinggi misalnya n, sangat tidak praktis apabila dituliskan dalam bentuk perkalian x sebanyak n kali. Dengan demikian, diperlukan simbol yang sederhana untuk bilangan-bilangan tersebut. Pada abad ke-17 matematikawan Perancis, Rene Descartes menjadi orang pertama kali menggunakan a, b dan c untuk menyatakan bilangan yang telah diketahui nilainya. Pada saat itu, Descartes mulai menggunakan symbol x² untuk xx dan sebagainya. Sejak saat itu persamaan aljabar dapat dituliskan dalam bentuk yang sudah modern.

Menemukan Konsep Bentuk Pangkat

Page 3: Akar dan Pangkat

3

Masalah 1

Seorang peneliti bidang mikrobiologi di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tersebut, satu bakteri membelah menjadi rbakteri setiap jam. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dan mencari tahu banyak bakteri dalam waktu 8 jam.

Diketahui:

Satu bakteri membelah menjadirbakteri untuk setiap jam.Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlahnya menjadi 40.000 bakteri.

Ditanya:

a. Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan.

b. Berapa jumlah bakteri dalam waktu 8 jam.

Penyelesaian:

Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t= 0) adalah x0 .

Jumlah ke – t 0 1 .. .. .. .. ..Jumlah bakteri (xt) x0 rx0 .... .... ... ... ...

Dari hasil pengamatan data pada tabel di atas, kita dapat membuat hubungan pertumbuhan jumlah bakteri xt tersebut terhadap perubahan waktu (t).

xt = r × r× r× ….× x0 atau secara ringkas ditulis x t=rt x0..............................(1)

t faktor

dengan tdalam jam, x0 adalah jumlah bakteri saat t = 0 dan radalah banyak bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam. Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3 jam terdapat 10.000 bakteri dan setelah 5 jam terdapat 40.000 bakteri. Kita substitusi ke formula di atas, maka diperoleh x3= r3x0= 10.000 dan x5= r5x0= 40.000

x5

x3

=40.00010.000

r5 x0

r3 x0

=4

r2 = 4

r = 2

Page 4: Akar dan Pangkat

4

Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa 1 bakteri membelah menjadi 2 bakteri untuk setiap 15 menit. Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = 2 ke

persamaan r3 x0=10.000 sehingga 8x0= 10.000. Dengan demikian x0= 1.250.Subtitusikan x0=

1.250 ke persamaan (1), pola pertumbuhan bakteri tersebut dinyatakan

xt= 1.250×2t

15 ⟹ x8=(2¿¿8)(1250)=320.000¿

Jadi, setelah 8 jam, peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320.000 bakteri.

Masalah 2

Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi dua bidang kertas menjadi dua bagian yang sama. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.

Tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.

Banyak Lipatan Banyak Bidang Kertas Pola Perkalian1 2 2 = 22 4 4 = 2 x 23 8 8 = 2 x 2 x 24 ... ..................5 ... ..................N ... ..................

Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak bidang kertas yang terbentuk sebagai hasil lipatan bidang permukaan kertas menjadi dua bagian yang sama, n adalah banyak lipatan

k dapat dinyatakan dalam n, yaitu kn = 2n...................................................(2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2), diperoleh Dari persamaan (1)

Dari persamaan (1) xt = rtx0 , r adalah bilangan pokok dan t adalah pangkat (eksponen) dari r.

Dari persamaan (2) kn = an ,a adalah bilangan pokok dan n adalah pangkat (eksponen) dari a.

Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat. Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Page 5: Akar dan Pangkat

5

Bentuk-bentuk pangkat

Notasi

Pangkat n bilangan a dinotasikan sebagai an yang menyatakan perkalian n factor yang tiap-

tiap faktornya adalah a.

Pangkat negative

Untuk a adalah bilangan real dan a ≠ 0 , apabila n adalah suatu bilangan bulat positif maka:

Pangkat pecahan positif

a adalah bilangan real, dan apabila m dan n adalah bilangan bulat positif maka;

Untuk m = 1 maka di dapat :

Pangkat pecahan negatif

a bilangan real dan a≠ 0 , m dan n adalah bilangan bulat positif

Pangkat Nol

an=a x a xa x …… xa

a−n= 1

an, a ≠0

am/n=n√am. a≥0 untuk n genap

a1/n=n√a

a−m /n= 1

am/n, a ≠0

Page 6: Akar dan Pangkat

6

Definisi : Untuk a bilangan real dan a≠ 0 maka a0 = 1

Untuk lebih memahami definisi di atas, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0.

23=8

22=4

21=2

20=1

Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

Sifat 1

Sifat 2

Pada Sifat-1 di atas, terkait bilangan bulat positif m dan n . Ada tiga kemungkinan yaitu

(a) m > n , (b) m = n , (c) m < n.

Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, hasil pemangkatannya adalah 1

Page 7: Akar dan Pangkat

7

a. Kasus m > n

Jika m dan n bilangan bulat positif dan m> n maka m– n> 0. Dengan demikian

b). Kasus m = n

jika m = n , maka am

an =1

c. Kasus m < n

Jika m dan n bilangan bulat positif dan m< n maka m– n< 0 dan a ≠ 0. Dengan demikian

am

an =

a×a× a ×…× am faktor<0 dan<n

a × a× a× ..× an faktor<0dan>m

¿a × a×a× ..× a

−m−n=−(m+n)

Page 8: Akar dan Pangkat

8

=a−(m+n)= 1

am+n

Jadi am

an =¿=a−(m+n)= 1

am+ndenganm, n bilangan bulat dan m<ndan a ≠ 0

Definisi ( am)n = amn

Definisi

Contoh :

Page 9: Akar dan Pangkat

9

Pangkat Pecahan

Selanjutnya akan menganalisis sifat perpangkatan bilangn real dengan pangkat pecahan.

Definisi :

Definisi :

Sifat 4

Page 10: Akar dan Pangkat

10

Bentuk Akar

Page 11: Akar dan Pangkat

11

Perpangkatan ( penarika akar ) suatu bilangan merupakan inversi dari perpangkatan suatu bilangan . Akar dilambangkan dengan notasi “√… ”. Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional. Bilangan dalam bentuk akar dapat pula di jumpai dalam mencari akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat.

Masalah

Seorang ahli ekonomi menemukan bahwa harga (h) dan banyak barang (b) dapat dinyatakan

dalam permasalahan h = 33√b2 . Jika nilai b = 8 maka berapa niali h ?

Alternatif pemecahan masalah

Akar ke-n atau akar pangkat ndari suatu

bilangan a dituliskan sebagai n√a , dengan a

adalah bilangan pokok / basis dan n adalah indeks/eksponen akar. Bentuk akar dan pangkat memiliki kaitan erat. Bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya. Sebelum mempelajari bentuk akar, kamu harus memahami konsep bilangan rasional dan irrasional terlebih dahulu.

A. Konsep Bilangan Irasional

Sebelumnya kita telah diperkenalkan mengenai bilangan rasional dan bilangan

irasional. Bilangan irasional didefinisikan sebagai bilangan yang tidak dapat

dinyatakan dalam bentuk perbandingan ab dengan a,b ∈B dan b ≠ 0. Sedangkan

bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dlam bentuk perbandingan

ab dengan a,b ∈B dan b ≠ 0.

Contoh bilangan irasional:

a. π = 3,141592 ...

b. e = 2,718281 ...

c. √2 = 1,414213 ...

d. √7= 2, 6457...

Page 12: Akar dan Pangkat

12

b. Konsep Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah yang anggotanya memiliki sifat m/n dengan m bilangan bulat, dan n

bilangan asli. Ada dua kemungkinan yang dapat terjadi :

Jika m habis di bagi n , maka mn

adalah bilangan bulat

Jika m tidak habis di bagi n, maka mn

adalah bilangan pecahan

Contoh bilangan rasional:

a. 1799

= 0,171717...

b. √9 = 3,0000 ...

c. 4 = 4,0000 ...

d. 1,6 = 1,6666,,...= 159

Definisi

Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar ¿ ) dinamakan bentuk akar . Tetapi ingat

tidak semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan irasional. Contoh :

√25 dan √64 bukan bentuk akar karena nilai √25 adalah 5 dan nilai √64 adalah 8 , keduanya

bukan irrasional. Contoh :

√20 adalah bentuk akar

3√27 adalah bukan bentuk akar , karena 3√27=3

Perlu diketahui bahwa bilangan irasional umumnya terdapat

pada bilangan bentuk akar, tetapi tidak semua bentuk akar

merupakan bilangan irasional.

Page 13: Akar dan Pangkat

13

Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat

Perlu diketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar.

Berdasarkan Sifat-5, jika aadalah bilangan real dan a ≠ 0 dengan a>0 ,pn

dan ,mn

adalah

bilangan pecahan n≠ 0 . Jika n , q ≥2 maka (amn )(a

pn )=( a )

m+ pn .

Bentuk akar terbagi atas 2 jenis:

1. Akar Senama

Suatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar) nya sama.,Contoh:

a.√2 , √3 , √5 , mempunyai indeks 2

b.3√5,3√10, 3√11, mempunyai indeks 3.

2. Akar sejenis

Suatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya sama Contoh:

3√2 ,3 3√2 ,5 3√2 ,mempunyai indeks 3, radikannya 2.

Akar Pangkat n

Suatu bilangan z disebut sebagai akar pangkat n dari a jika . Simbol adalah akar kuadrat (akar pangkat dua) dari a. Simbol adalah akar kubik (akar pangkat tiga) dari a. Akan didiskusikan suatu perbedaan yang sangat mendasar di sini. Bagaimana kita menyelesaikan yang berikut ini. Coba kita sederhanakan bentuk berikut ini :

Page 14: Akar dan Pangkat

14

Tentunya bentuk pertama akan sangat mudah kita selesaikan. Hasilnya sama dengan 6. Bentuk kedua, tanda minus di depan symbol akar, ini tidak menjadi masalah karena hal tersebut artinya . Jadi, dengan mudah juga kita mendapatkan –6 sebagai jawabannya. Bentuk ketiga, tanda minus di dalam akar. Dengan memperhatikan arti akar pangkat seperti kalimat pada awal tulisan ini, maka kita harus mencari bilangan z, sehingga

. Ada tidak, suatu bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif. Tentunya tidak ada. Sehingga ini tidak mempunyai penyelesaian. Tepatnya, hal ini tidak mempunyai penyelesaian di bilangan real. Dia punya penyelesaian di himpunan bilangan kompleks.

Tentunya kita menjawab bentuk yang pertama itu sama dengan 2. Bagaimana dengan bentuk yang kedua?

Apakah bisa bentuk kedua itu ditulis menjadi ?, yang kemudian sama dengan sama dengan -2?

Ingat! langkah tersebut tidak boleh dilakukan jika bilangan yang di dalam akar adalah bilangan negatif. Jadi, jelas salah ketika kita menjawabnya dengan -2.

Seharusnya, karena , maka jawabannya sama dengan 2.Sekarang kita perhatikan yang berikut ini :

Berbeda dengan yang ini, kalau yang akar pangkat dua, kita mempunyai jawaban yang sama, tetapi di sini kita akan mendapatkan jawaban yang berbeda.

Bentuk yang pertama memberikan jawaban 3, sedangkan bentuk yang kedua memberikan jawaban –3. Sifat yang sangat penting pada akar pangkat adalah sebagai berikut : Untuk a sebarang bilangan real, n adalah bilangan asli dengan n tidak sama dengan –1, maka

Jika n genap, 

Jika n ganjil, 

Kedua sifat ini penting untuk diingat.

Coba mari kita kerjakan bentuk berikut :

Sederhanakanlah!

Page 15: Akar dan Pangkat

15

Jangan sampai dengan cepat kita menjawab . Karena jawaban ini salah. coba kita masukkan , pada jawaban kita, didapatkan –1, tetapi pada soal akan didapatkan . Apakah

benar sama dengan –1? Tentu salah kan.

Ingat sifat yang sebelumya dituliskan, kita harus memberikan tanda mutlak. Sehingga akan didapatkan bentuk berikut :

Kebanyakan kesalahan siswa adalah di sini , yang kebanyakan siswa menjawabnya dengan x saja, padahal seharusnya, itu sama dengan .

Ingat!

Mengenai sifat-sifat dasar pada pangkat / akar pangkat, mungkin semuanya sudah mengetahuinya. Di buku-buku sudah banyak dan tentunya sudah dapat dihafalkan dengan mudah.

Akar pangkat n (untuk n mendekati tak hingga)

Berbicara mengenai bentuk akar, teringat dengan bilangan irasional. Karena bilangan irasional sangat

erat hubungannya dengan bentuk akar. Lambang untuk akar sendiri yaitu dengan a adalah

sebarang bilangan. Jika a adalah bilangan negatif, maka bilangan akar tersebut masuk ke dalam

bilangan kompleks.Lalu bagaimana dengan bentuk akar untuk n yang sangat besar?  Untuk

nilai n yang sangat besar, dan nilai a tidak 0, maka bentuk akar akan menuju ke 1. Mengapa

demikian? Perhaatikan bahwa bentuk akar itu sama dengan .Untuk nilai n yang sangat

besar, maka mendekati 0. Dan tentunya nilai dari untuk a tidak 0 adalah sama dengan 1.

Jadi nilai akar untuk n yang sangat besar, apabila a tidak 0 atau pun negative, maka nilainya

mendekati 1. 

Bagaimana jika a = 0?

Untuk a = 0, tentunya dengan mudah kita menjawab bahwa nilainya sama dengan 0. Karena 0

dikalikan dengan sebarang bilangan hasilnya adalah 0. Begitu juga .

Operasi pada Bentuk Akar

a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Page 16: Akar dan Pangkat

16

Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk

akarnya senama. Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai eksponen dan

basis sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah bilangan real dan r ≥0 berlaku sifat-sifat berikut

Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa apq =

q√ap . Sifat perkalian dan pembagian

bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut .

Contoh soal

Hukum-hukum akar pangkat n suatu bilangan

Apabila n genap maka di asumsikan a ,b ≥0

( n√a )n=a

n√ab=n√a . n√b

n√ ab=

n√an√b

,b ≠ 0

n√am=( n√a )m

m√ n√a=m. n√a

Operasi aljabar pada bentuk akar

Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

Page 17: Akar dan Pangkat

17

Hanya dapat dilakukan jika akar-akarnya sejenis

Perkalian bentuk akar

Perkalian bentuk akar dapat dilakukan jika akar-akarnya senama

Pembagian

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti √2 ,√5 ,√3+√7 ,√2−√6 , dstmerupakan bilangan

irrasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan, maka dikatakan

sebagai penyebut irasional . Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional. Cara

merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pecahan itu sendiri. Akan

tetapi, prinsip dasarnya sama, yaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawannya. Proses ini

dinamakan merasionalkan penyebut.

a n√c+b n√c=( a+b ) n√c

a n√c−b n√c=(a−b ) n√c

n√a x n√b=n√ab ( indeks sama, yakni n )

n√a x m√a=am+nm.n ( indeks berbeda, yakni m dan n )

n√an√b

=n√ ab

Page 18: Akar dan Pangkat

18

Page 19: Akar dan Pangkat

19

Contoh 1 :

Contoh 2 :

Page 20: Akar dan Pangkat

20

Contoh 3 :

Page 21: Akar dan Pangkat

21

Menyederhanakan bentuk

Page 22: Akar dan Pangkat

22

Contoh saol

Panjang suatu persegi panjang (2+3√2) cm dan lebarnya(1+2√8) cm. keliling persegi

panjang tersebut adalah …

Pembahasan:

Menggunakan rumus keliling terlebih dahulu dan menerapkan rumus

a n√c+b n√c=( a+b ) n√c

k=2 x( p x l)

¿2 x {( 2+3√2 )+(1+2√8 ) }

¿2 x {2+3√2+1+2¿ (karena √8=√4 . 2=2√2¿

¿2 x {2+3√2+1+4√2}

¿2 x {3+7√2 }

¿(6+14√2)cm

Menghitung Akar Tanpa Kalkulator (Menggunakan Rumus) Pendekatan

Dalam buku David Darling yang judulnya The Universal Book of Mathematics. Di dalamnya ada subjudul yaitu “Bakhshali manuscript”

Page 23: Akar dan Pangkat

23

Dalam kalkulus menghitung akar tanpa kalkulator dapat dilakukan dengan pendekatan ( Aproksimasi ). Misalkan kita memerlukan aproksimasi yang baik terhadap √4,6 dan √8,2 , tetapi kalkulatornya mati , cara yang paling efektif adalah dengan mencari nilai dari akar tersebut menggunakan aproksimasi yang hasilnya sangat akurat .

Aproksimasi

Penyelesaian

Tinjau grafik y = √ x yang di sketsakan dalam gambar dibawah ini

Ketika x berubah dari 4 ke 4,6 maka √ x berubah dari √4=2 ke (secara aproksimasi )√4+dy

Sekarang

dy= 0,5

√4=2

dx= 0,6

f (x+∆ x ) = f ( x )+dy=f ( x )+f ' (x)∆ x

Page 24: Akar dan Pangkat

24

dy = 12

x−12 dx =

1

2√xdx

yang di x = 4 dan dx = 0,6 memiliki nilai

dy = 1

2√4(0,6 )=0,6

4=0,15

√4,6 ≈√4+dy=2+0,15=2,15

Demikian pula di x = 9 dan dx = −0,8.

dy = 12

x−12 dx =

12√x

dx

dy = 1

2√9(−0,8 )=−0,8

6=−0,133

karena itu

√8,2 ≈√9+dy=3−0,133=2,867

Perhatikan bahwa dx dan dy dua – duanya negatif dalam kasus ini .

Nilai – Nilai Aproksimasi 2,15 dan 2,867 boleh dibandingkan terhadap nilai – nilai sejati ( sampai empat posisi desimal) 2,1448 dan 2,8636.

Selain dengan Aproksimasi mencari nilai akar dari n juga dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut yang konsep nya hampir mirip dengan Aproksimasi.

Dengan, N adalah sebarang bilangan asli atau bilangan cacah

A adalah bilangan asli yang jika dikuadratkan nilainya sangat mendekati N

Dan b adalah

Misalnya untuk menghitung , maka kita pilih sehingga sangat mendekati 13. Sehingga, , maka

Nilai yang sebenarnya adalah

Berikut ini adalah beberapa nilai untuk √ Nsampai dengan N = 25

Page 25: Akar dan Pangkat

25

Menggunakan Rumus1 1 12 1,414213562 1,4166666673 1,732050808 1,754 2 25 2,236067977 2,2361111116 2,449489743 2,457 2,645751311 2,6477272738 2,828427125 2,8333333339 3 310 3,16227766 3,16228070211 3,31662479 3,31666666712 3,464101615 3,46428571413 3,605551275 3,60606060614 3,741657387 3,74275362315 3,872983346 3,87516 4 417 4,123105626 4,12310606118 4,242640687 4,24264705919 4,358898944 4,35892857120 4,472135955 4,47222222221 4,582575695 4,5827702722 4,69041576 4,69078947423 4,795831523 4,79647435924 4,898979486 4,925 5 5

Selisih terbesarnya ada pada , yaitu mempunyai selisih 0,017949192 dan Selisih terbesar kedua ada pada , yaitu mempunyai selisih 0,004906209.

Dapat disimpulkan Untuk mendapatkan nilai dengan ketelitian yang bagus.Jika kita menghitung suatu bentuk akar yang nilainya sangat mendekati suatu kuadrat sempurna, dan nilainya kurang dari kuadrat sempurna (mendekati dari bawah), maka kita gunakan b dengan nilai negatif. Dan nilai sama dengan bilangan kuadrat sempurna yang didekati. Begitu juga sebaliknya.Intinya , Gunakan nilai A dan b sedemikian sehingga nilai sangat dekat dengan N.

Menghitung pangkat dua dengan metode garis

Page 26: Akar dan Pangkat

26

Contoh 152 = 15 x 15

gambar 1 : buat garis untuk 15 pengali sebagai berikut , setelah itu konstruksi kembali dengan menggambar / menotasikan 15 jumlah pengalinya (lihat gambar 2)

1 5

gambar 2: 15 x 15

252 = 25 x 25 = ....

Keterangan

1 = puluhan

5 = satuan

1 5

Keterangan

Garis hijau dan merah adalah dimisalkan 15 x 15

Langkah selanjutnya ( lihat gambar 2 ) adalah menghitung titik persimpangannya

10

251

1 5 x 1 5 = 2 2 5

0+21 +1

Satuan

Puluhan

Ratusan

Page 27: Akar dan Pangkat

27

312 = 31 x 31 =......

31 x 31 = 9 6 1

Simpulan

+

1

6

9satuan

Puluhan

Ratusan

Ratusan

Puluhan

Satuan

Page 28: Akar dan Pangkat

28

Pangkat didefinisikan “Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif . an

adalah hasil kali bilangan a sebanyak n faktor , dapat ditulis an = a × a×a× …adengana sebagai basis pokok dan n sebagai pangkat .”

Peran pangkat dalam matematika sangat besar untuk membantu memudahkan penotasian dan dalam menghitug bilangan yang sangat besar , begitupun dalam kehidupan sehari – hari pangkat digunakan sebagai alat untuk mempermudah menyelesaikan permasalahan matematika , dalam bidang lain seperti biologi , ekonomi dll pangkat banyak digunakan untuk mempermudah penghitungan bilangan yang mempunyai nilai yang besar .

Untuk menghitung hasil pangkat dari suatu bilangan dapat dilakukan dengan metode garis , metode ini lebih memudahkan dalam mencari hasil dari pangkat suatu bilangan dengan cepat dan teepat .

Akar didefinisikan “Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif . n√a disebbut

bentuk akar jika dan hanya jika hasil n√a adalah bilangan irrasional” .

Perlu diketahui bahwa bilangan irasional umumnya terdapat pada bilangan bentuk akar, tetapi tidak semua bentuk akar merupakan bilangan irasional.

Mencari nilai akar dapat dari suatu bilangan dapat kita cari dengan mudah dengan kalkulator , tetapi bagaimana jika kalkulator kita mati dan kita penasaran hasil dari akar bilangan tersebut dengan benar dan akurat ? tentunya setiap masalah pasti ada pemecahan solusinya , maka dari itu untuk mencari nilai atau hasil akar dari suatu bilangan dapat dengan mudah didapat dengan menggunakan bantuan kalkulus yaitu Aproksimasi dengan rumus :

Selain menggunakan rumus aproksimasi , mencari nilai atau hasil dari akar suatu bilangan dapat di hitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut :

Dengan, N adalah sebarang bilangan asli atau bilangan cacah

A adalah bilangan asli yang jika dikuadratkan nilainya sangat mendekati N dan

b adalah

n factor

f (x+∆ x) = f ( x )+dy=f ( x )+f ' (x)∆ x

Page 29: Akar dan Pangkat

29

Daftar Pustaka

E.J. Purcell , D. Varberg , Rigdon . Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. Jakarta : Erlangga ,

2007 (Terjemahan dari judul asli :Calculus Ninth Edition E.J. Purcell ,D. Varberg , Rigdon )

Kangiran Marthen. (2010). Matematika. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, 2011.

Matematika : buku guru / Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2013.

Simangunsong, Wilson. Pks Matematika Sma Dan Ma Kelas X Ipa ( Materi Wajib) +

Permintaan.Jakarta Timur: Gema Tama, 2013

. PPU Matematika SMA IPA Jakarta Timur: Gema Tama, 2008.

Anonim.(2010).https://asimtot.wordpress.com/akar-pangkat-n-untuk-n-mendekati-tak-

hingga/ ( diakses tanggal 14 – Maret – 2015)

.https://asimtot.wordpress.com/2011/01/13/akar-pangkat-n/#more-2662

( diakses tanggal 14 – Maret – 2015)

.https://asimtot.wordpress.com/2011/07/20/menghitung-akar-tanpa-kalkulator-menggunakan-rumus/

( diakses tanggal 14 – Maret – 2015)

Anonim.2014.http://www.pintarmatematika.net/2014/04/soal-osn-osk-matematika-sma-2014.html

( diakses tanggal 14 – Maret – 2015)

Anonim.2014.http://ilmu-matematika.blogspot.com/2014/06/1001-contoh-soal-pembahasan-olimpiade.html

( diakses tanggal 14 – Maret – 2015)

Page 30: Akar dan Pangkat

30

LAMPIRAN

“Soal Materi Bentuk Pangkat dan Akar dalam Ujian Nasional tingkat SMA , Olimpiade Matematika SMA dan SBMPTN”

Soal Materi Bentuk Pangkat dan Akar dalam Ujian Nasional

UN Matematika IPA 2012 / 2013

1.

Penyelesaian :

UN Matematika SMA IPA 2007/2008

2.

Penyelesaian

Page 31: Akar dan Pangkat

31

UN Matematika SMA IPA 2009/2010

3.

Penyelesaian

4.

Page 32: Akar dan Pangkat

32

Penyelesian

Ujian Nasional 2010 / 2011

5.

Penyelesaian

Page 33: Akar dan Pangkat

33

6.

Pembahasan

UN Matematika SMA IPA 2014

7. Bentuk sederhana dari 9

2√2−√5=…

A. 6√2+3√5 B.9√2+9√5 C.12√2+√5

D. 18√2+√5 E.18√2+9√5

Penyelesaian

Page 34: Akar dan Pangkat

34

Jawaban (A)

8. Bentuk sederhana dari ( 3a−2b3 c4

15 a3 b−5 c−2 ) adalah...

A.5 a5

b2 c6 C. c2

5 a5 b2

B.a5 b2

5c6 D.5a5

b8 c6 E.a5

5 b8 c2

Pembahasan

Jawaban (D)

Ujian Nasional Matematika SMA IPA 2013

Page 35: Akar dan Pangkat

35

9.

Pembahasan :(Rasionalisasi bentuk akar)

Ujian Nasional SMA Matematika 2013/2014

10.

Penyelesaian

( ab−4 c2

a3b−2 c ) = a1−3 b−4−(−2)c2−1=a−2 b−2c

= c

a2 b2 Jawaban (E)

SOAL MATERI BENTUK PANGKAT DAN AKAR OLIMPIADE MATEMATIKA SMA

×3√2+√33√2+√3

=¿ 15√2+5√315

=¿

Jawaban : C

Page 36: Akar dan Pangkat

36

Agar √n( n+12 )

2

merupakan bilangan kuadrat maka haruslah n merupakan bilangan kuadrat

sempurna . Bilangan kuadrat terdekat setelah 2009 adalah 452=2025.

∴nilain>2009 yangmemenuhi

merupakan bilangan kuadrat adalah 2025

Page 37: Akar dan Pangkat

37

maka x = 1337 , y = 669 dan z = 668

Page 38: Akar dan Pangkat

38

Page 39: Akar dan Pangkat

39

SNMPTN 2010

1. Jika n memenuhi 250,25 ×250,25×250,25× ..× 250,25=125 , maka (n−3 )(n+2)= ….

A. 36B. 32C. 28D. 26E. 24

Page 40: Akar dan Pangkat

40

Pembahasan:

250,25 ×250,25× …× 250,25=125

¿¿ ¿¿

0,5 n=3 n=6

(n−3¿ (n+2 )=(6−3)(6+2)¿24 Jawaban : E

SNMPTN 2009

2. Jika a ,b ≥ 0, maka pernyataan yang benar adalah ….

A. √ab ≤a+b

2B. √ab ≤ b√a

C. √ab ≤ab2

D. √ab ≥ a√bE. √ab ≤ ab

Pembahasan : Diketahui : a ,b ≥ 0Ditanya : pernyataan yang benar ? Jawab: Karena , b≥ 0 ; artinya a dan b bilangan positif atau nol. Agar hasilnya positif kedua bilangan di kuadran :¿

↔ a−2√ab+b≥ 0↔ a+2≥ 2√ab

↔ √ab ≤a+b

2Jawaban : A

SNMPTN 2008

3. Jika

12− 1

√512+ 1

√5

=¿ a+b√5 maka a+b=…

A. 1B. 2

Page 41: Akar dan Pangkat

41

C. 3D. 4E. 5

Pembahasan :

Diketahui :

12− 1

√512+ 1

√5

=¿ a+b√5

Ditanyakan : a+bJawab:

12− 1

√512+ 1

√5

=

√5−22√5√5+22√5

=√5−2√5+2

. √5−2√5−2

¿ 9−4√51

¿9−4 √5Ini berarti a=9 dan b=−4

Dengan demikian a+b=9+(−4 )=5

Jawaban : E

4. Dalam bentuk pangkat positif x−2− y−2

(xy)−2 =¿…..

A. ( x+ y )(x− y )B. −( x+ y )(x− y )C. ( x− y )2

D. x (x− y )E. −x (x− y )

Pembahasan:

Ditanyakan bentuk positif dari x−2− y−2

(xy)−2

Jawab:

x−2− y−2

(xy)−2 =

1x2 −

1y2

1(xy )2

=

y2−x2

(xy )2

1(xy )2

= y2−x2

¿ ( y+x ) ( y−x )=( x+ y ) ¿

¿−( x+ y )(x− y ) jawaban: B

SNMPTN 2012

Page 42: Akar dan Pangkat

42

5. Jika a dan b adalah bilangan bulat positif yang memenuhi ab=220−210 , maka nilai a+b adalah ….A. 3B. 7C. 19D. 21E. 23

Pembahasan:

ab=220−210

¿2 .219−219=219 a=2 b=19a+b=21

Jawaban : D

6. √√43 x 44 x45=… A. 1B. 4C. 16D. 64E. 256Pembahasan:

√√43 x 44 x45=√√43+4+5

¿√√412

¿¿

¿43=64 Jawaban : D

7. jika diketahui x4 y2=64 dan xy=4 , maka berapakah nilai 2 x−6?

A. – 9 B. – 6C. – 5D. – 3E. – 2

pembahasan:

x4 y2=64

Page 43: Akar dan Pangkat

43

x2(xy)2=64

x2(4 )2=64

x2=4 s

2 x−6=2 (2 )−6atau2 (−2 )−6

¿−2 atau−10

Jawaban : E

SNMPTN 2011

8. √0,81+ 3√512=…A. 6,9 B. 7,9C. 8,9D. 9,9E. 10,9

Pembahasan :

√0,81+ 3√512=0,9+8=8,9

Jawaban : C

Page 44: Akar dan Pangkat

44

SBMPTN 2012 Matematika DasarJawaban : (D)

10.Nilai dari 2x+5−2.2x+2

3.2x+3 = ...

A. 0 B. 1 C.2 D.3 E.4

Penyelesaian 2x+5−2.2x+2

3.2x+3 =2x+5−2x+3

3.2x+3 =2x+3

2x+3 ( 22−13 )=( 22−1

3 )=1

Jawaban : (B)