Upload
mia-sukseszemangat
View
323
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
1
Bentuk Pangkat Dan Akar Dalam Pemecahan Masalah Matematika
Mia Amelia (1132050046)
Pendidikan Matematika IV B 2015
Program Studi Pendidikan Matematika
Pendidikan MIPA
Fakultas Tarbiyah Dan Keguruan
Uin Sunan Gunung Djati Bandung
Abstrak
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang saling terikat hubungan dengan ilmu lain , hal tersebut yang membuat matematika terasa lebih sempurna sebagai ilmu pengetahuan. Kesempurnaan tersebut tercermin dalam kegunaannya sebagai ilmu yang dapat diterapkan secara laangsung untuk membantu manusia dalam memahami mempermudah , dan menguasai permasalahan sosial , ekonomi dan alam .Matematika juga dianggap sebagai bahasa yaitu menyatukan persepsi dengan istilah yang didefinisikan dengan cermat , jelas dan akurat refresentasinya dengan simbol berupa bahasa simbol yang disepakatii bersama . Seperti hal nya dalam bentuk pangkat dan akar , contohnya dalam menyebutkan banyaknya 10000000000000000000000000 , tentu jika dikomunikasikan dalam bahasa secara langsung kita kesulitan untuk menyebutkan bilangan tersebut karena terlalu banyak tetapi dengan menggunakan konsep pangkat 10000000000000000000000000 dapat dinotasikan dengan 1025
. Pegang teguh sifat matematika; yaitu, matematika bersandar pada kesepakatan, saling terkait materinya, menggunakan variabel-variabel, dan bersifat abstrak sebab matematika adalah hasil abstraksi pemikiran manusia. Matematika menganut kebenaran konsistensi; artinya, tidak boleh ada di dalamnya unsur-unsur, simbol - simbol, konsep-konsep, rumus-rumus yang saling bertentangan. Seperti halnya dalam pangkat dan bentuk akar , keduanya saling keterikatan antara konsep pangkat dan bentuk akar . Jika sebuah konsep ditemukan, ukuran kebenarannya adalah apabila konsep tersebut diterima pada struktur matematika yang sudah ada sebelumnya sama halnya dalam mempelajari bentuk akar harus didahului pemahaman konsep yang matang mengenai onsep bilangan , dapat membedakan bilangan rasional dan irasional , kemudian harus paham konsep dan prinsip dari pangkat maka kita akan menguasai materi tersebut . Jika prinsip (rumus-rumus, sifat-sifat) yang ditemukan, ukuran kebenarannya dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan konsep atau aturan yang sudah ada sebelumnya.
Kata Kunci : Matematika , Bilangan Rasional , Bilangan Irrasional , Pangkat , Bentuk Akar .
I.Pendahuluan
2
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang saling terikat hubungan dengan ilmu lain , hal tersebut yang membuat matematika terasa lebih sempurna sebagai ilmu pengetahuan. Kesempurnaan tersebut tercermin dalam kegunaannya sebagai ilmu yang dapat diterapkan secara laangsung untuk membantu manusia dalam memahami. Mempermudah , dan menguasai permasalahan sosial , ekonomi dan alam .Matematika juga dianggap sebagai bahasa yaitu menyatukan persepsi dengan istilah yang didefinisikan dengan cermat , jelas dan akurat refresentasinya dengan simbol berupa bahasa simbol yang disepakatii bersama . Seperti hal nya dalam bentuk pangkat dan akar , contohnya dalam menyebutkan banyaknya 10000000000000000000000000 , tentu jika dikomunikasikan dalam bahasa secara langsung kita kesulitan untuk menyebutkan bilangan tersebut karena terlalu banyak tetapi dengan menggunakan konsep pangkat 10000000000000000000000000 dapat dinotasikan dengan 1025
.
II. Pembahasan
Banyak permasalahan kehidupan yang penyelesaiannya terkait dengan konsep dan aturan-aturan dalam matematika. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat permasalahan-permasalahan yang diberikan. Di dalam proses pemecahan masalah-masalah yang diberikan, kamu cermati objek-objek yang dilibatkan dalam permasalahan yang diberikan. Objek-objek itu menjadi bahan aspirasi/inspirasi, karena terkadang ada konsep matematika melekat pada objek itu yang tidak kita sadari dan ternyata sebagai kata kunci dalam penyelesaian masalah. Pegang teguh sifat matematika; yaitu, matematika bersandar pada kesepakatan, saling terkait materinya, menggunakan variabel-variabel, dan bersifat abstrak sebab matematika adalah hasil abstraksi pemikiran manusia. Matematika menganut kebenaran konsistensi; artinya, tidak boleh ada di dalamnya unsur-unsur, simbol - simbol, konsep-konsep, rumus-rumus yang saling bertentangan. Jika sebuah konsep ditemukan, ukuran kebenarannya adalah apabila konsep tersebut diterima pada struktur matematika yang sudah ada sebelumnya. Jika prinsip (rumus-rumus, sifat-sifat) yang ditemukan, ukuran kebenarannya dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan konsep atau aturan yang sudah ada sebelumnya.
Sejarah Bentuk Pangkat (Eksponen) dan Akar
Sebelum orang menggunakan x² sebagai simbol xx, x³ sebagai simbol untuk xxx dan seterusnya, dahulu orang merasa kesulitan untuk menuliskan suatu persamaan dengan derajat yang lebih dari satu. Pada saat itu, simbol-simbol x, y, z dan seterusnya sudah digunakan untuk menyatakan bilangan yang belum diketahui nilainya. Namun, ketika mereka dihadapkan pada bilangan-bilangan yang berpangkat tinggi misalnya n, sangat tidak praktis apabila dituliskan dalam bentuk perkalian x sebanyak n kali. Dengan demikian, diperlukan simbol yang sederhana untuk bilangan-bilangan tersebut. Pada abad ke-17 matematikawan Perancis, Rene Descartes menjadi orang pertama kali menggunakan a, b dan c untuk menyatakan bilangan yang telah diketahui nilainya. Pada saat itu, Descartes mulai menggunakan symbol x² untuk xx dan sebagainya. Sejak saat itu persamaan aljabar dapat dituliskan dalam bentuk yang sudah modern.
Menemukan Konsep Bentuk Pangkat
3
Masalah 1
Seorang peneliti bidang mikrobiologi di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tersebut, satu bakteri membelah menjadi rbakteri setiap jam. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dan mencari tahu banyak bakteri dalam waktu 8 jam.
Diketahui:
Satu bakteri membelah menjadirbakteri untuk setiap jam.Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlahnya menjadi 40.000 bakteri.
Ditanya:
a. Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan.
b. Berapa jumlah bakteri dalam waktu 8 jam.
Penyelesaian:
Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t= 0) adalah x0 .
Jumlah ke – t 0 1 .. .. .. .. ..Jumlah bakteri (xt) x0 rx0 .... .... ... ... ...
Dari hasil pengamatan data pada tabel di atas, kita dapat membuat hubungan pertumbuhan jumlah bakteri xt tersebut terhadap perubahan waktu (t).
xt = r × r× r× ….× x0 atau secara ringkas ditulis x t=rt x0..............................(1)
t faktor
dengan tdalam jam, x0 adalah jumlah bakteri saat t = 0 dan radalah banyak bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam. Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3 jam terdapat 10.000 bakteri dan setelah 5 jam terdapat 40.000 bakteri. Kita substitusi ke formula di atas, maka diperoleh x3= r3x0= 10.000 dan x5= r5x0= 40.000
x5
x3
=40.00010.000
r5 x0
r3 x0
=4
r2 = 4
r = 2
4
Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa 1 bakteri membelah menjadi 2 bakteri untuk setiap 15 menit. Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = 2 ke
persamaan r3 x0=10.000 sehingga 8x0= 10.000. Dengan demikian x0= 1.250.Subtitusikan x0=
1.250 ke persamaan (1), pola pertumbuhan bakteri tersebut dinyatakan
xt= 1.250×2t
15 ⟹ x8=(2¿¿8)(1250)=320.000¿
Jadi, setelah 8 jam, peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320.000 bakteri.
Masalah 2
Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi dua bidang kertas menjadi dua bagian yang sama. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.
Tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.
Banyak Lipatan Banyak Bidang Kertas Pola Perkalian1 2 2 = 22 4 4 = 2 x 23 8 8 = 2 x 2 x 24 ... ..................5 ... ..................N ... ..................
Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak bidang kertas yang terbentuk sebagai hasil lipatan bidang permukaan kertas menjadi dua bagian yang sama, n adalah banyak lipatan
k dapat dinyatakan dalam n, yaitu kn = 2n...................................................(2)
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), diperoleh Dari persamaan (1)
Dari persamaan (1) xt = rtx0 , r adalah bilangan pokok dan t adalah pangkat (eksponen) dari r.
Dari persamaan (2) kn = an ,a adalah bilangan pokok dan n adalah pangkat (eksponen) dari a.
Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat. Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi :
5
Bentuk-bentuk pangkat
Notasi
Pangkat n bilangan a dinotasikan sebagai an yang menyatakan perkalian n factor yang tiap-
tiap faktornya adalah a.
Pangkat negative
Untuk a adalah bilangan real dan a ≠ 0 , apabila n adalah suatu bilangan bulat positif maka:
Pangkat pecahan positif
a adalah bilangan real, dan apabila m dan n adalah bilangan bulat positif maka;
Untuk m = 1 maka di dapat :
Pangkat pecahan negatif
a bilangan real dan a≠ 0 , m dan n adalah bilangan bulat positif
Pangkat Nol
an=a x a xa x …… xa
a−n= 1
an, a ≠0
am/n=n√am. a≥0 untuk n genap
a1/n=n√a
a−m /n= 1
am/n, a ≠0
6
Definisi : Untuk a bilangan real dan a≠ 0 maka a0 = 1
Untuk lebih memahami definisi di atas, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0.
23=8
22=4
21=2
20=1
Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif
Sifat 1
Sifat 2
Pada Sifat-1 di atas, terkait bilangan bulat positif m dan n . Ada tiga kemungkinan yaitu
(a) m > n , (b) m = n , (c) m < n.
Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, hasil pemangkatannya adalah 1
7
a. Kasus m > n
Jika m dan n bilangan bulat positif dan m> n maka m– n> 0. Dengan demikian
b). Kasus m = n
jika m = n , maka am
an =1
c. Kasus m < n
Jika m dan n bilangan bulat positif dan m< n maka m– n< 0 dan a ≠ 0. Dengan demikian
am
an =
a×a× a ×…× am faktor<0 dan<n
a × a× a× ..× an faktor<0dan>m
¿a × a×a× ..× a
−m−n=−(m+n)
8
=a−(m+n)= 1
am+n
Jadi am
an =¿=a−(m+n)= 1
am+ndenganm, n bilangan bulat dan m<ndan a ≠ 0
Definisi ( am)n = amn
Definisi
Contoh :
9
Pangkat Pecahan
Selanjutnya akan menganalisis sifat perpangkatan bilangn real dengan pangkat pecahan.
Definisi :
Definisi :
Sifat 4
10
Bentuk Akar
11
Perpangkatan ( penarika akar ) suatu bilangan merupakan inversi dari perpangkatan suatu bilangan . Akar dilambangkan dengan notasi “√… ”. Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional. Bilangan dalam bentuk akar dapat pula di jumpai dalam mencari akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat.
Masalah
Seorang ahli ekonomi menemukan bahwa harga (h) dan banyak barang (b) dapat dinyatakan
dalam permasalahan h = 33√b2 . Jika nilai b = 8 maka berapa niali h ?
Alternatif pemecahan masalah
Akar ke-n atau akar pangkat ndari suatu
bilangan a dituliskan sebagai n√a , dengan a
adalah bilangan pokok / basis dan n adalah indeks/eksponen akar. Bentuk akar dan pangkat memiliki kaitan erat. Bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya. Sebelum mempelajari bentuk akar, kamu harus memahami konsep bilangan rasional dan irrasional terlebih dahulu.
A. Konsep Bilangan Irasional
Sebelumnya kita telah diperkenalkan mengenai bilangan rasional dan bilangan
irasional. Bilangan irasional didefinisikan sebagai bilangan yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk perbandingan ab dengan a,b ∈B dan b ≠ 0. Sedangkan
bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dlam bentuk perbandingan
ab dengan a,b ∈B dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional:
a. π = 3,141592 ...
b. e = 2,718281 ...
c. √2 = 1,414213 ...
d. √7= 2, 6457...
12
b. Konsep Bilangan rasional
Bilangan rasional adalah yang anggotanya memiliki sifat m/n dengan m bilangan bulat, dan n
bilangan asli. Ada dua kemungkinan yang dapat terjadi :
Jika m habis di bagi n , maka mn
adalah bilangan bulat
Jika m tidak habis di bagi n, maka mn
adalah bilangan pecahan
Contoh bilangan rasional:
a. 1799
= 0,171717...
b. √9 = 3,0000 ...
c. 4 = 4,0000 ...
d. 1,6 = 1,6666,,...= 159
Definisi
Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar ¿ ) dinamakan bentuk akar . Tetapi ingat
tidak semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan irasional. Contoh :
√25 dan √64 bukan bentuk akar karena nilai √25 adalah 5 dan nilai √64 adalah 8 , keduanya
bukan irrasional. Contoh :
√20 adalah bentuk akar
3√27 adalah bukan bentuk akar , karena 3√27=3
Perlu diketahui bahwa bilangan irasional umumnya terdapat
pada bilangan bentuk akar, tetapi tidak semua bentuk akar
merupakan bilangan irasional.
13
Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat
Perlu diketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar.
Berdasarkan Sifat-5, jika aadalah bilangan real dan a ≠ 0 dengan a>0 ,pn
dan ,mn
adalah
bilangan pecahan n≠ 0 . Jika n , q ≥2 maka (amn )(a
pn )=( a )
m+ pn .
Bentuk akar terbagi atas 2 jenis:
1. Akar Senama
Suatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar) nya sama.,Contoh:
a.√2 , √3 , √5 , mempunyai indeks 2
b.3√5,3√10, 3√11, mempunyai indeks 3.
2. Akar sejenis
Suatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya sama Contoh:
3√2 ,3 3√2 ,5 3√2 ,mempunyai indeks 3, radikannya 2.
Akar Pangkat n
Suatu bilangan z disebut sebagai akar pangkat n dari a jika . Simbol adalah akar kuadrat (akar pangkat dua) dari a. Simbol adalah akar kubik (akar pangkat tiga) dari a. Akan didiskusikan suatu perbedaan yang sangat mendasar di sini. Bagaimana kita menyelesaikan yang berikut ini. Coba kita sederhanakan bentuk berikut ini :
14
Tentunya bentuk pertama akan sangat mudah kita selesaikan. Hasilnya sama dengan 6. Bentuk kedua, tanda minus di depan symbol akar, ini tidak menjadi masalah karena hal tersebut artinya . Jadi, dengan mudah juga kita mendapatkan –6 sebagai jawabannya. Bentuk ketiga, tanda minus di dalam akar. Dengan memperhatikan arti akar pangkat seperti kalimat pada awal tulisan ini, maka kita harus mencari bilangan z, sehingga
. Ada tidak, suatu bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif. Tentunya tidak ada. Sehingga ini tidak mempunyai penyelesaian. Tepatnya, hal ini tidak mempunyai penyelesaian di bilangan real. Dia punya penyelesaian di himpunan bilangan kompleks.
Tentunya kita menjawab bentuk yang pertama itu sama dengan 2. Bagaimana dengan bentuk yang kedua?
Apakah bisa bentuk kedua itu ditulis menjadi ?, yang kemudian sama dengan sama dengan -2?
Ingat! langkah tersebut tidak boleh dilakukan jika bilangan yang di dalam akar adalah bilangan negatif. Jadi, jelas salah ketika kita menjawabnya dengan -2.
Seharusnya, karena , maka jawabannya sama dengan 2.Sekarang kita perhatikan yang berikut ini :
Berbeda dengan yang ini, kalau yang akar pangkat dua, kita mempunyai jawaban yang sama, tetapi di sini kita akan mendapatkan jawaban yang berbeda.
Bentuk yang pertama memberikan jawaban 3, sedangkan bentuk yang kedua memberikan jawaban –3. Sifat yang sangat penting pada akar pangkat adalah sebagai berikut : Untuk a sebarang bilangan real, n adalah bilangan asli dengan n tidak sama dengan –1, maka
Jika n genap,
Jika n ganjil,
Kedua sifat ini penting untuk diingat.
Coba mari kita kerjakan bentuk berikut :
Sederhanakanlah!
15
Jangan sampai dengan cepat kita menjawab . Karena jawaban ini salah. coba kita masukkan , pada jawaban kita, didapatkan –1, tetapi pada soal akan didapatkan . Apakah
benar sama dengan –1? Tentu salah kan.
Ingat sifat yang sebelumya dituliskan, kita harus memberikan tanda mutlak. Sehingga akan didapatkan bentuk berikut :
Kebanyakan kesalahan siswa adalah di sini , yang kebanyakan siswa menjawabnya dengan x saja, padahal seharusnya, itu sama dengan .
Ingat!
Mengenai sifat-sifat dasar pada pangkat / akar pangkat, mungkin semuanya sudah mengetahuinya. Di buku-buku sudah banyak dan tentunya sudah dapat dihafalkan dengan mudah.
Akar pangkat n (untuk n mendekati tak hingga)
Berbicara mengenai bentuk akar, teringat dengan bilangan irasional. Karena bilangan irasional sangat
erat hubungannya dengan bentuk akar. Lambang untuk akar sendiri yaitu dengan a adalah
sebarang bilangan. Jika a adalah bilangan negatif, maka bilangan akar tersebut masuk ke dalam
bilangan kompleks.Lalu bagaimana dengan bentuk akar untuk n yang sangat besar? Untuk
nilai n yang sangat besar, dan nilai a tidak 0, maka bentuk akar akan menuju ke 1. Mengapa
demikian? Perhaatikan bahwa bentuk akar itu sama dengan .Untuk nilai n yang sangat
besar, maka mendekati 0. Dan tentunya nilai dari untuk a tidak 0 adalah sama dengan 1.
Jadi nilai akar untuk n yang sangat besar, apabila a tidak 0 atau pun negative, maka nilainya
mendekati 1.
Bagaimana jika a = 0?
Untuk a = 0, tentunya dengan mudah kita menjawab bahwa nilainya sama dengan 0. Karena 0
dikalikan dengan sebarang bilangan hasilnya adalah 0. Begitu juga .
Operasi pada Bentuk Akar
a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
16
Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk
akarnya senama. Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai eksponen dan
basis sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah bilangan real dan r ≥0 berlaku sifat-sifat berikut
Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa apq =
q√ap . Sifat perkalian dan pembagian
bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut .
Contoh soal
Hukum-hukum akar pangkat n suatu bilangan
Apabila n genap maka di asumsikan a ,b ≥0
( n√a )n=a
n√ab=n√a . n√b
n√ ab=
n√an√b
,b ≠ 0
n√am=( n√a )m
m√ n√a=m. n√a
Operasi aljabar pada bentuk akar
Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
17
Hanya dapat dilakukan jika akar-akarnya sejenis
Perkalian bentuk akar
Perkalian bentuk akar dapat dilakukan jika akar-akarnya senama
Pembagian
Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti √2 ,√5 ,√3+√7 ,√2−√6 , dstmerupakan bilangan
irrasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan, maka dikatakan
sebagai penyebut irasional . Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional. Cara
merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pecahan itu sendiri. Akan
tetapi, prinsip dasarnya sama, yaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawannya. Proses ini
dinamakan merasionalkan penyebut.
a n√c+b n√c=( a+b ) n√c
a n√c−b n√c=(a−b ) n√c
n√a x n√b=n√ab ( indeks sama, yakni n )
n√a x m√a=am+nm.n ( indeks berbeda, yakni m dan n )
n√an√b
=n√ ab
18
19
Contoh 1 :
Contoh 2 :
20
Contoh 3 :
21
Menyederhanakan bentuk
22
Contoh saol
Panjang suatu persegi panjang (2+3√2) cm dan lebarnya(1+2√8) cm. keliling persegi
panjang tersebut adalah …
Pembahasan:
Menggunakan rumus keliling terlebih dahulu dan menerapkan rumus
a n√c+b n√c=( a+b ) n√c
k=2 x( p x l)
¿2 x {( 2+3√2 )+(1+2√8 ) }
¿2 x {2+3√2+1+2¿ (karena √8=√4 . 2=2√2¿
¿2 x {2+3√2+1+4√2}
¿2 x {3+7√2 }
¿(6+14√2)cm
Menghitung Akar Tanpa Kalkulator (Menggunakan Rumus) Pendekatan
Dalam buku David Darling yang judulnya The Universal Book of Mathematics. Di dalamnya ada subjudul yaitu “Bakhshali manuscript”
23
Dalam kalkulus menghitung akar tanpa kalkulator dapat dilakukan dengan pendekatan ( Aproksimasi ). Misalkan kita memerlukan aproksimasi yang baik terhadap √4,6 dan √8,2 , tetapi kalkulatornya mati , cara yang paling efektif adalah dengan mencari nilai dari akar tersebut menggunakan aproksimasi yang hasilnya sangat akurat .
Aproksimasi
Penyelesaian
Tinjau grafik y = √ x yang di sketsakan dalam gambar dibawah ini
Ketika x berubah dari 4 ke 4,6 maka √ x berubah dari √4=2 ke (secara aproksimasi )√4+dy
Sekarang
dy= 0,5
√4=2
dx= 0,6
f (x+∆ x ) = f ( x )+dy=f ( x )+f ' (x)∆ x
24
dy = 12
x−12 dx =
1
2√xdx
yang di x = 4 dan dx = 0,6 memiliki nilai
dy = 1
2√4(0,6 )=0,6
4=0,15
√4,6 ≈√4+dy=2+0,15=2,15
Demikian pula di x = 9 dan dx = −0,8.
dy = 12
x−12 dx =
12√x
dx
dy = 1
2√9(−0,8 )=−0,8
6=−0,133
karena itu
√8,2 ≈√9+dy=3−0,133=2,867
Perhatikan bahwa dx dan dy dua – duanya negatif dalam kasus ini .
Nilai – Nilai Aproksimasi 2,15 dan 2,867 boleh dibandingkan terhadap nilai – nilai sejati ( sampai empat posisi desimal) 2,1448 dan 2,8636.
Selain dengan Aproksimasi mencari nilai akar dari n juga dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut yang konsep nya hampir mirip dengan Aproksimasi.
Dengan, N adalah sebarang bilangan asli atau bilangan cacah
A adalah bilangan asli yang jika dikuadratkan nilainya sangat mendekati N
Dan b adalah
Misalnya untuk menghitung , maka kita pilih sehingga sangat mendekati 13. Sehingga, , maka
Nilai yang sebenarnya adalah
Berikut ini adalah beberapa nilai untuk √ Nsampai dengan N = 25
25
Menggunakan Rumus1 1 12 1,414213562 1,4166666673 1,732050808 1,754 2 25 2,236067977 2,2361111116 2,449489743 2,457 2,645751311 2,6477272738 2,828427125 2,8333333339 3 310 3,16227766 3,16228070211 3,31662479 3,31666666712 3,464101615 3,46428571413 3,605551275 3,60606060614 3,741657387 3,74275362315 3,872983346 3,87516 4 417 4,123105626 4,12310606118 4,242640687 4,24264705919 4,358898944 4,35892857120 4,472135955 4,47222222221 4,582575695 4,5827702722 4,69041576 4,69078947423 4,795831523 4,79647435924 4,898979486 4,925 5 5
Selisih terbesarnya ada pada , yaitu mempunyai selisih 0,017949192 dan Selisih terbesar kedua ada pada , yaitu mempunyai selisih 0,004906209.
Dapat disimpulkan Untuk mendapatkan nilai dengan ketelitian yang bagus.Jika kita menghitung suatu bentuk akar yang nilainya sangat mendekati suatu kuadrat sempurna, dan nilainya kurang dari kuadrat sempurna (mendekati dari bawah), maka kita gunakan b dengan nilai negatif. Dan nilai sama dengan bilangan kuadrat sempurna yang didekati. Begitu juga sebaliknya.Intinya , Gunakan nilai A dan b sedemikian sehingga nilai sangat dekat dengan N.
Menghitung pangkat dua dengan metode garis
26
Contoh 152 = 15 x 15
gambar 1 : buat garis untuk 15 pengali sebagai berikut , setelah itu konstruksi kembali dengan menggambar / menotasikan 15 jumlah pengalinya (lihat gambar 2)
1 5
gambar 2: 15 x 15
252 = 25 x 25 = ....
Keterangan
1 = puluhan
5 = satuan
1 5
Keterangan
Garis hijau dan merah adalah dimisalkan 15 x 15
Langkah selanjutnya ( lihat gambar 2 ) adalah menghitung titik persimpangannya
10
251
1 5 x 1 5 = 2 2 5
0+21 +1
Satuan
Puluhan
Ratusan
27
312 = 31 x 31 =......
31 x 31 = 9 6 1
Simpulan
+
1
6
9satuan
Puluhan
Ratusan
Ratusan
Puluhan
Satuan
28
Pangkat didefinisikan “Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif . an
adalah hasil kali bilangan a sebanyak n faktor , dapat ditulis an = a × a×a× …adengana sebagai basis pokok dan n sebagai pangkat .”
Peran pangkat dalam matematika sangat besar untuk membantu memudahkan penotasian dan dalam menghitug bilangan yang sangat besar , begitupun dalam kehidupan sehari – hari pangkat digunakan sebagai alat untuk mempermudah menyelesaikan permasalahan matematika , dalam bidang lain seperti biologi , ekonomi dll pangkat banyak digunakan untuk mempermudah penghitungan bilangan yang mempunyai nilai yang besar .
Untuk menghitung hasil pangkat dari suatu bilangan dapat dilakukan dengan metode garis , metode ini lebih memudahkan dalam mencari hasil dari pangkat suatu bilangan dengan cepat dan teepat .
Akar didefinisikan “Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif . n√a disebbut
bentuk akar jika dan hanya jika hasil n√a adalah bilangan irrasional” .
Perlu diketahui bahwa bilangan irasional umumnya terdapat pada bilangan bentuk akar, tetapi tidak semua bentuk akar merupakan bilangan irasional.
Mencari nilai akar dapat dari suatu bilangan dapat kita cari dengan mudah dengan kalkulator , tetapi bagaimana jika kalkulator kita mati dan kita penasaran hasil dari akar bilangan tersebut dengan benar dan akurat ? tentunya setiap masalah pasti ada pemecahan solusinya , maka dari itu untuk mencari nilai atau hasil akar dari suatu bilangan dapat dengan mudah didapat dengan menggunakan bantuan kalkulus yaitu Aproksimasi dengan rumus :
Selain menggunakan rumus aproksimasi , mencari nilai atau hasil dari akar suatu bilangan dapat di hitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
Dengan, N adalah sebarang bilangan asli atau bilangan cacah
A adalah bilangan asli yang jika dikuadratkan nilainya sangat mendekati N dan
b adalah
n factor
f (x+∆ x) = f ( x )+dy=f ( x )+f ' (x)∆ x
29
Daftar Pustaka
E.J. Purcell , D. Varberg , Rigdon . Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. Jakarta : Erlangga ,
2007 (Terjemahan dari judul asli :Calculus Ninth Edition E.J. Purcell ,D. Varberg , Rigdon )
Kangiran Marthen. (2010). Matematika. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, 2011.
Matematika : buku guru / Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2013.
Simangunsong, Wilson. Pks Matematika Sma Dan Ma Kelas X Ipa ( Materi Wajib) +
Permintaan.Jakarta Timur: Gema Tama, 2013
. PPU Matematika SMA IPA Jakarta Timur: Gema Tama, 2008.
Anonim.(2010).https://asimtot.wordpress.com/akar-pangkat-n-untuk-n-mendekati-tak-
hingga/ ( diakses tanggal 14 – Maret – 2015)
.https://asimtot.wordpress.com/2011/01/13/akar-pangkat-n/#more-2662
( diakses tanggal 14 – Maret – 2015)
.https://asimtot.wordpress.com/2011/07/20/menghitung-akar-tanpa-kalkulator-menggunakan-rumus/
( diakses tanggal 14 – Maret – 2015)
Anonim.2014.http://www.pintarmatematika.net/2014/04/soal-osn-osk-matematika-sma-2014.html
( diakses tanggal 14 – Maret – 2015)
Anonim.2014.http://ilmu-matematika.blogspot.com/2014/06/1001-contoh-soal-pembahasan-olimpiade.html
( diakses tanggal 14 – Maret – 2015)
30
LAMPIRAN
“Soal Materi Bentuk Pangkat dan Akar dalam Ujian Nasional tingkat SMA , Olimpiade Matematika SMA dan SBMPTN”
Soal Materi Bentuk Pangkat dan Akar dalam Ujian Nasional
UN Matematika IPA 2012 / 2013
1.
Penyelesaian :
UN Matematika SMA IPA 2007/2008
2.
Penyelesaian
31
UN Matematika SMA IPA 2009/2010
3.
Penyelesaian
4.
32
Penyelesian
Ujian Nasional 2010 / 2011
5.
Penyelesaian
33
6.
Pembahasan
UN Matematika SMA IPA 2014
7. Bentuk sederhana dari 9
2√2−√5=…
A. 6√2+3√5 B.9√2+9√5 C.12√2+√5
D. 18√2+√5 E.18√2+9√5
Penyelesaian
34
Jawaban (A)
8. Bentuk sederhana dari ( 3a−2b3 c4
15 a3 b−5 c−2 ) adalah...
A.5 a5
b2 c6 C. c2
5 a5 b2
B.a5 b2
5c6 D.5a5
b8 c6 E.a5
5 b8 c2
Pembahasan
Jawaban (D)
Ujian Nasional Matematika SMA IPA 2013
35
9.
Pembahasan :(Rasionalisasi bentuk akar)
Ujian Nasional SMA Matematika 2013/2014
10.
Penyelesaian
( ab−4 c2
a3b−2 c ) = a1−3 b−4−(−2)c2−1=a−2 b−2c
= c
a2 b2 Jawaban (E)
SOAL MATERI BENTUK PANGKAT DAN AKAR OLIMPIADE MATEMATIKA SMA
×3√2+√33√2+√3
=¿ 15√2+5√315
=¿
Jawaban : C
36
Agar √n( n+12 )
2
merupakan bilangan kuadrat maka haruslah n merupakan bilangan kuadrat
sempurna . Bilangan kuadrat terdekat setelah 2009 adalah 452=2025.
∴nilain>2009 yangmemenuhi
merupakan bilangan kuadrat adalah 2025
37
maka x = 1337 , y = 669 dan z = 668
38
39
SNMPTN 2010
1. Jika n memenuhi 250,25 ×250,25×250,25× ..× 250,25=125 , maka (n−3 )(n+2)= ….
A. 36B. 32C. 28D. 26E. 24
40
Pembahasan:
250,25 ×250,25× …× 250,25=125
¿¿ ¿¿
0,5 n=3 n=6
(n−3¿ (n+2 )=(6−3)(6+2)¿24 Jawaban : E
SNMPTN 2009
2. Jika a ,b ≥ 0, maka pernyataan yang benar adalah ….
A. √ab ≤a+b
2B. √ab ≤ b√a
C. √ab ≤ab2
D. √ab ≥ a√bE. √ab ≤ ab
Pembahasan : Diketahui : a ,b ≥ 0Ditanya : pernyataan yang benar ? Jawab: Karena , b≥ 0 ; artinya a dan b bilangan positif atau nol. Agar hasilnya positif kedua bilangan di kuadran :¿
↔ a−2√ab+b≥ 0↔ a+2≥ 2√ab
↔ √ab ≤a+b
2Jawaban : A
SNMPTN 2008
3. Jika
12− 1
√512+ 1
√5
=¿ a+b√5 maka a+b=…
A. 1B. 2
41
C. 3D. 4E. 5
Pembahasan :
Diketahui :
12− 1
√512+ 1
√5
=¿ a+b√5
Ditanyakan : a+bJawab:
12− 1
√512+ 1
√5
=
√5−22√5√5+22√5
=√5−2√5+2
. √5−2√5−2
¿ 9−4√51
¿9−4 √5Ini berarti a=9 dan b=−4
Dengan demikian a+b=9+(−4 )=5
Jawaban : E
4. Dalam bentuk pangkat positif x−2− y−2
(xy)−2 =¿…..
A. ( x+ y )(x− y )B. −( x+ y )(x− y )C. ( x− y )2
D. x (x− y )E. −x (x− y )
Pembahasan:
Ditanyakan bentuk positif dari x−2− y−2
(xy)−2
Jawab:
x−2− y−2
(xy)−2 =
1x2 −
1y2
1(xy )2
=
y2−x2
(xy )2
1(xy )2
= y2−x2
¿ ( y+x ) ( y−x )=( x+ y ) ¿
¿−( x+ y )(x− y ) jawaban: B
SNMPTN 2012
42
5. Jika a dan b adalah bilangan bulat positif yang memenuhi ab=220−210 , maka nilai a+b adalah ….A. 3B. 7C. 19D. 21E. 23
Pembahasan:
ab=220−210
¿2 .219−219=219 a=2 b=19a+b=21
Jawaban : D
6. √√43 x 44 x45=… A. 1B. 4C. 16D. 64E. 256Pembahasan:
√√43 x 44 x45=√√43+4+5
¿√√412
¿¿
¿43=64 Jawaban : D
7. jika diketahui x4 y2=64 dan xy=4 , maka berapakah nilai 2 x−6?
A. – 9 B. – 6C. – 5D. – 3E. – 2
pembahasan:
x4 y2=64
43
x2(xy)2=64
x2(4 )2=64
x2=4 s
2 x−6=2 (2 )−6atau2 (−2 )−6
¿−2 atau−10
Jawaban : E
SNMPTN 2011
8. √0,81+ 3√512=…A. 6,9 B. 7,9C. 8,9D. 9,9E. 10,9
Pembahasan :
√0,81+ 3√512=0,9+8=8,9
Jawaban : C
44
SBMPTN 2012 Matematika DasarJawaban : (D)
10.Nilai dari 2x+5−2.2x+2
3.2x+3 = ...
A. 0 B. 1 C.2 D.3 E.4
Penyelesaian 2x+5−2.2x+2
3.2x+3 =2x+5−2x+3
3.2x+3 =2x+3
2x+3 ( 22−13 )=( 22−1
3 )=1
Jawaban : (B)