ALJABAR MATRIKS

Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier

2x + 3y + 3z = 0

x + y + 3z = 0

– x + 2y – z = 0

Maka koefisien tersebut di atas disebut MATRIKS,

dan secara umum dapat dituliskan sbb :

121

311

232

Jajaran bilangan tersebut di atas disebut MATRIKS,

dan secara umum dapat dituliskan sbb :

mnmjmmm

inijiii

nj

nj

nij

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

321

321

33333231

22232221

1131211

.....

.....

.....

m, n adalah bilangan bulat ≥ 1.

aij = elemen-elemen dari matriks (i = 1, 2.......m).. (j = 1, 2 .......n)

m banyak baris

n banyaknya kolom

Matriks biasanya ditulis dengan notasi (A)

mxnmatriksorde

Macam matriks

• Matriks bujur sangkar, bila m = n

mxn

987

654

321

Elemen-elemen a11, a22, .........., ann

disebut “elemen-elemen diagonal utama”

• Matriks baris, bila m = 1

• Matriks kolom, bila n = 1

Macam matriks

54321 [ A ]mx1

5

4

3

2

1

[ A ]1x n

• Matriks nol, bila aij = 0 :

0000

0000

0000

Macam matriks

TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR

• Matriks Diagonal, Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali

elemen-elemen diagonal utamanya.

4000

0300

0020

0001aij = 0

aii ≠ 0

• Matriks Satuan (unit matriks).

Jika elemen-elemen diagonal sama dengan 1 dan elemen-elemen yang lain sama dengan nol.

Disebut juga matriks identitas = [ I ]

1000

0100

0010

0001

= [ I ]

TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR

• Matriks simetris, jika aij = aji

• Matriks skew-simetris, jika aij = - aji

573

702

321

573

702

321

TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR

OPERASI MATRIKS

• Kesamaan matriks

Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila

aij = bij

[ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang sama.

• Penjumlahan matriks

Bila [A] dan [B] punya orde yang sama, maka

kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan

menjadi matriks [C]

[C] = [A] + [B]

cij = aij + bij

OPERASI MATRIKS

Sifat-sifat penjumlahan Matriks

[ A ] + [ B ] = [ B ] + [ A ] → Komutatif

[ A ] + [ B ] + [ C ] = ([ A ] + [ B ]) + [ C ] → Assosiatif

6

3

5

2

4

1

3

2

2

3

1

0

[C] =

36

23

25

32

14

01

[A] = [B] =

EXAMPLE :

9

5

7

5

5

1[C] =

• Perkalian dengan skalar :Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan bil.skalar kmenghasilkan suatu matriks

[D] = k [A]

dij = k . aij

Sifat-sifat perkalian skalar matriks:

k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B]

k ( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] ) k

OPERASI MATRIKS

[ A ] = ; k = -2

[ D ] =

6

3

5

2

4

1

12

6

10

4

8

2

EXAMPLE :

• Perkalian matriksMatriks [A]mxp dan [B]pxn dapat dikalikan menghasilkan

matriks baru

[E]mxn = [A]mxp [B]pxn

dimana :

i = 1, 2, … m ; j = 1, 2, … n ; k = 1, 2, … p

p

k

kjikij bae1

OPERASI MATRIKS

322

5

3

1

1

2

x

231

2

4

2

1

3

x

22)1(331

25)1(132

xx

xx

122341

152142

xxx

xxx

22124

1515

x

[A] = ; [B] =

[E] =

[E] =

EXAMPLE :

Sifat-sifat perkalian matriks :

• [A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif

• [A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C] ; sifat assosiatif

• [A] [B] ≠ [B] [A]

• [A] [B] = [A] [C] ; belum tentu [B] = [C]

TRANSPOSE MATRIKS

Jika matriks [A] dengan orde m x n

Transpose matriks [A] = [A]T

adalah matriks berorde n x m dengan baris

dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan

baris matrix [A]T

326

3

5

2

4

1

x

236

5

4

3

2

1

x

[A] = [A]T =

EXAMPLE :

Sifat-sifat dari transpose matriks

• ( [A]T )T = [A]

• ( k [A] )T = k [A]T

• ( [A] + [B] )T = [A]T + [B]T

• ( [A] [B] )T = [B]T [A]T

DETERMINAN MATRIX BUJUR SANGKAR

[A]2x2 =

Det. [A] =

2221

1211

aa

aa

21212211 aaaa A

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

3x3[B]

312232211331233321123223332211 ..... bbbbbbbbbbbbbbb B

Co-factor bij = ( –1) i+j Minor bij

Untuk matriks dengan orde yang lebih tinggi ( n x n ) → cara sama

ininiiiiikik

n

k

cacacacaA

.......2211

1

dimana cik = co-factor aik

INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR

• Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERSE dari matrikstersebut.

• Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka

matriks [B] disebut inverse dari matrix [A], dan

matriks [A] adalah inverse dari matriks [B].

• Selanjutnya [A] disebut matriks NON SINGULAR

• Bila [A] tidak punya inverse disebut matriksSINGULAR.

• Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1

101

011

326

421

331

321

100

010

001

[A] = ; [A]-1 =

[A] [A]-1 = = [ I ]

Catatan :

Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa

metoda, antara lain : metode ad-joint, metode pemisahan,

metode Gauss-Jordan, metode Cholesky, dsb.

EXAMPLE :

Metode Gauss-Jordan

Akan dicari inversi dari matriks [A]nxn

Langkah-langkah yang dilakukan :

1) Ambil matriks satuan [I]nxn

2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks [A]

menjadi matriks satuan

3) Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks [ I ],

sehingga setelah proses selesai matriks [ I ] telah

berubah menjadi matriks [A]-1

431

341

331

100

010

001

431

341

331

100

011

001

431

010

331

101

011

001

100

010

331

101

011

034

100

010

301

101

011

337

100

010

001

[A] =

101

011

337

[A]-1 =

LANGKAH KE-1

LANGKAH KE-3

LANGKAH KE-2LANGKAH KE-5

LANGKAH KE-4

LANGKAH KE-n Selesai …?????

EXAMPLE :

MATRIKS ORTHOGONAL

Suatu matriks bujur sangkar [A] disebut matriks

orthogonal

bila [A]-1 = [A]T

[A] [A]T = [A] [A]-1 = [ I ]

cossin

sincos

cossin

sincos

cossin

sincos

100

0cossin

0sincos

100

0cossin

0sincos

100

0cossin

0sincos

[A] = [A]T =

[A]-1 =

[T] = [T]-1 =

[T]T =

Karena [T]-1 = [T]T → matriks [T] disebut matriks orthogonal

Karena [A]-1 = [A]T → matriks [A] disebut matriks orthogonal

EXAMPLE :

TEORI DEKOMPOSISI MATRIKS

Bila [A] = sebuah matrix bujur sangkar maka

matriks tersebut dapat diekspresikan dalam

bentuk :

[A] = [L] [U]

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

......

..........

..........

......

......

......

321

3333231

2232221

1131211

n x n

nnnnn llll

lll

ll

l

....

........

........

0....

0....0

0....00

321

333231

2221

11

nn

n

n

ni

u

uu

uuu

uuuu

....000

........

........

....00

....0

....

.333

22322

113211

=

n x n n x n

[L] = lower triangle matriks

[U] = upper triangle matriks

331412

392520

632736

713

025

009

800

250

734

=

EXAMPLE :

[A] = [L] [U]

dapat diperoleh tanpa

inverse matriks

dapat diperoleh tanpa

inverse matriks

Aplikasi pada solusi persamaan linier simultan :

[A] {X} = [B]

[L] [U] {X} = [B] → misal [U] {X} = {Y}

[L] {Y} = [B] {X} = [U]-1 {Y}

{Y} = [L]-1 [B]

Sehingga : {X} = [U]-1 [L]-1 [B]

SOLUSI PERSAMAAN LINIER SIMULTAN

Persamaan Linier Simultan dengan n buah bilangan tak diketahui

dapat dituliskan sbb :

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

..........

..............

..............

..............

..........

..........

2211

22222121

11212111

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

....

.......

.......

....

....

21

22221

12111

n

n

x

x

x

x

1

2

1

.

n

n

b

b

b

b

1

2

1

.=

Secara matriks ditulis, [A] {X} = [B]

4x + 3y + z = 13

x + 2y + 3z = 14

3x + 2y + 5z = 22

523

321

134

z

y

x

22

14

13

=

[ A ] { X } = [ B ]

{ X } = [A]-1[B]

z

y

x

=

1

523

321

134

22

14

13

= …..??????

EXAMPLE :

PARTISI MATRIKS

Suatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara

hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya.

363534333231

262524232221

161514131211

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

A

23

13

22

12

21

11

A

A

A

A

A

A=

dimana ;

2625

1615

13aa

aaA

21

11

11a

aA

242322

141312

12aaa

aaaA

3121 aA 34333222 aaaA 363523 aaA

Aturan-aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matriks partisi

persis sama dengan mengoperasikan matriks biasa

BA 222221

1211

xAA

AA

122

1

xB

B

222121

212111

BABA

BABA

222221

1211

xAA

AA

334310

264

135

x

A

2323

42

51

X

B

122

1

xB

B

4416

3711

42

51

64

35111 BA

46

2323

2

1212 BA

812234222 BA

321642

51310121

BA

4028

4822

3914

[B] ][A

EXAMPLE :

sehingga ;

BEBERAPA RUMUS KHUSUS

[ A ] = Matriks bujur sangkar dan simetris ; orde n x n : aij

[ B ] = Matriks empat persegi panjang ; orde n x m : bij

{ X } = Vektor kolom ; orde n x 1 : xi

{ Y } = Vektor kolom ; orde m x 1 ; yi

n

i

n

j

jiijnxn

T

xn yxaAX1 1

21

121 ][}{Bila ;

Maka ;1}{][

....

....}{

2

1

nxnxn

x

x

x

XAX

n

}]{[}{}{

21 XAXXA

X

T

;

atau sebaliknya ;

653

542

321

A

3

2

1

x

x

x

X

3

2

1

32121

21

653

542

321

}]{[}{

x

x

x

xxxXAX T

= ½ ( x1 x2 x3 )

321

321

321

653

542

32

xxx

xxx

xxx

xxxxxxxxx 323121

2

3

2

2

2

121 106464

EXAMPLE :

Ф

Ф

321221

1

3264221 xxxxxxx

321312

2

542104821 xxxxxxx

321213

3

6531061221 xxxxxxx

}{}{

653

542

321

3

2

1

3

2

1

XAX

x

x

x

x

x

x

YBXmxnxm

T

xn 11][}{

1mxnxm YB

X

Bila ;

Maka ;

1211109

8765

4321

43xB

3

2

1

x

x

x

4

3

2

1

y

y

y

y

{ X }3x1 = { Y }4x1 =

4

3

2

1

321

1211109

8765

4321

y

y

y

y

xxxYBXT

EXAMPLE :

4321

4321

4321

321

1211109

8765

432

yyyy

yyyy

yyyy

xxx

343212432114321 12111098765432 xyyyyxyyyyxyyyy

4321

1

432 yyyyx

4321

2

8765 yyyyx

4321

3

1211109 yyyyx

4

3

2

1

3

2

1

1211109

8765

4321

y

y

y

y

x

x

x

YB

X