1

MM AA TT RR II KK SS

Definisi : Suatu himpunan bilangan atau skalar yang disusun

dalam bentuk bujur sangkar atau empat persegi

panjang, yang terdiri dari baris dan kolom.

Elemen Matriks diapit oleh kurung ( ) atau [ ] bentuk lain

║ ║. Nama Matriks biasanya ditulis dengan huruf kapital seperti

A, B, C, dan sebagainya sedangkan elemen-elemennya dengan

huruf kecil.

II.. BBeennttuukk UUmmuumm MMaattrriikkss

Dari matriks di atas menunjukkan :

o A = (aij), i = 1, 2, …, m (Indeks baris)

j = 1, 2, …, n (Indeks kolom)

o Contoh :

80

15

42

aa

aa

aa

A

3231

2221

1211

o aij adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke – i

dan kolom ke–j. Dengan demikian a11 = 2, a12 = 4, a21 = 5,

a22 = 1, a31 = 0 , dan a32 = 8

mnm2m1

2n2221

1n1211

a...aa

............

a...aa

a...aa

A

Baris_1

Baris_2

Baris_m

Kolom_1

Kolom_2

Kolom_n

2

Ukuran Matriks atau Ordo Matrik

Ordo suatu matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan

banyaknya kolom. Suatu matriks dengan m baris dan n kolom

dikatakan berordo m x n.

Contoh :

Kesamaan Dua Matriks

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B atau

aij = bij , jika dan hanya jika ordo keduanya sama, dan setiap

elemen yang seletak sama, yaitu aij = bij untuk setiap i dan j.

IIII.. OOppeerraassii--00ppeerraassii DDaassaarr MMaattrriikkss

a. Penjumlahan dan pengurangan

Syarat : Dua buah matriks bisa dilakukan operasi

penjumlahan atau pengurangan apabila dimensi

(ordo)_nya sama.

A = [aij], berordo m x n dan B = [bij], berordo m x n

Jumlah A dan B adalah :

A B = [aij] [bij]

= [aij bij], juga berordo m x n

Bentuk umum operasi penjumlahan dan pengurangan :

Contoh :

e f

g h

LNMM

OQPP̶ =

dc

ba

hg

fe+ =

hg

fe

hdgc

fbea

dc

ba

hdgc

fbea

3

1. dan dan

maka :

2.

b. Perkalian skalar dengan matriks

Jika suatu skalar (bilangan) dan A = [aij], maka hasil kali

dengan matriks A adalah :

A = [aij]

Bentuk umum operasi perkalian dengan skalar :

Contoh :

Jika , maka :

5B =

HHuukkuumm--hhuukkuumm ppaaddaa ppeennjjuummllaahhaann ddaann ppeerrkkaalliiaann sskkaallaarr

Jika A, B, dan C matriks-matriks berordo sama, dan suatu skalar,

maka :

a). A + B = B + A (Hukum Komutatif)

b). A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum Asosiatif)

c). (A + B) = A + B (Hukum Distributif)

Contoh :

= .

dc

ba

dc

ba

Tidak dapat dijumlahkansebab oorrddoonnyyaa ttiiddaakk ssaammaa

4

c. Perkalian antara dua matriks

Syarat : Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama

dengan banyaknya baris pada matriks kedua.

(m x p)A x

(p x n)B =

(m x n)C

Syarat yg hrsdipenuhi

Bentuk umum operasi perkalian:

a b

c d

e f

g h

ae+bgx =

ce+dg

af+bh

cf+dh

Contoh :

HHuukkuumm--hhuukkuumm ppaaddaa ooppeerraassii ppeerrkkaalliiaann dduuaa mmaattrriikkss::

2 (A + B) = 2A + 2B

5

Jika A, B, dan C matriks-matriks yang memenuhi syarat

perkalian matriks yang diperlukan, maka :

a). A (B C) = (A B) C (Hukum Asosiatif)

b). A (B + C) = A B + A C (Hukum Distributif)

c). (B + C) A = BA + CA (Hukum Distributif)

d). A (B – C) = A B – A C

e). (B – C) A = B A – C A

f). Perkalian tidak komutatif, AB BA

d. Transpose dari Suatu Matriks (AT)

Batasan I : Suatu matriks A = (aij) berukuran (m x n) maka

transpose dari A, adalah matriks AT berukuran

(n x m) yang didapatkan dari A dengan menuliskan

baris ke_i dari A sebagai kolom ke_i dari AT (dimana

i = 1, 2, 3, …, m).

Batasan II : Matriks stanspose diperoleh dengan menukar

elemen-elemen baris menjadi elemen-elemen kolom

atau sebaliknya.

Dengan perkataan lain : A(aij) = AT(aji)

A =

5925

6801

7143

AT =

567

981

204

513

BBeebbeerraappaa ssiiffaatt mmaattrriikkss ttrraannssppoossee ::

(i) (A + B) T = AT + BT

(ii) (AT) T = A

(iii) (AT) = ( A) T

(iv) (A . B) T = BT . AT ,A dan B harus memenuhi sifat perkalian

, bila suatu skalar

( 3 x 4 ) ( 4 x 3 )

6

Contoh –contoh :

A =

103

212dan B =

0

2

1

BT = 021

AT =

12

01

32

( AT )T =

T

12

01

32

=

103

212= A

A B =

103

212

0

2

1

=

3

4

(A B)T = 34

BT . AT = 021

12

01

32

= 34 = (A B)T

7

JOB SHEET 1

1. Jika :

1-3

2-1H

Hitunglah : a). H + H

b). H2 - HT + 3H

2. Jika

yxy

x

2

2

2

1

82

46

y

3. Diketahui matriks

513

241

652

C,

745

55

7

B,

2

414

322

A

-

--

--

-

r-

q--p

-qr

--

ap

Jika A + B = C maka nilai p , q dan r berturut-turut adalah

4. Nilai c dari persamaan matriks :

abac

a

b

3

2

2

2

33

2

5

adalah …

= , Maka nilai y adalah …

8

IIVV.. JJeenniiss MMaattrriikkss KKhhuussuuss

aa.. MMaattrriikkss BBuujjuurr SSaannggkkaarr

Adalah matriks yang banyaknya baris = banyaknya kolom

(berordo n)

Contoh :

Matriks berordo ( n x n)

Berikut ini adalah matriks bujur sangkar A( 3 x 3)

A =

981

624

593

a11 , a22 , a33 disebut Diagonal Utama

bb.. MMaattrriikkss NNooll

Adalah matriks yang semua elemennya nol, ditulis dengan

matriks 0

Sifat-sifat : 1). A + 0 = 0 + A = A

2). A . 0 = 0 dan 0 . A = 0

(Syarat perkalian harus dipenuhi )

Contoh :

cc.. MMaattrriikkss DDiiaaggoonnaall

Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar

diagonal utama adalah nol.

A = aij Adalah matriks diagonal jika aij = 0 untuk i j

Contoh :

000

000

000

A

A =

10

01B =

200

070

008

9

dd.. MMaattrriikkss IIddeennttiittyy ((SSaattuuaann))

Adalah matriks diagonal yang elemen-elemen diagonal

utamanya semuanya = 1 dan elemen lainnya = 0

Dengan perkataan lain : jika I adalah matriks identitas maka

Iij = 1 untuk i = j dan Iij = 0 untuk i j

I2 =

10

01; I4 =

1000

0100

0010

0001

Sifat-Sifat Matriks Identitas :

1) A . I = A

2) I . A = A ; syarat perkalian harus dipenuhi

Contoh :

Jika A =

976

854; dan I3 =

100

010

001

, maka :

A . I3 =

976

854.

100

010

001

=

976

854= A

I2 . A =

10

01.

976

854=

976

854= A

ee.. MMaattrriikkss SSkkaallaarr

Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal

utamanya sama = k

Contoh :

Matriks skalar dengan k = 5

800

080

008

8

100

010

001adalah matriks skalardapat ditulis sebagai 8I =

10

Matriks identity adalah bentuk khusus dari matriks skalar

dengan k = 1

ff.. MMaattrriikkss SSeeggiittiiggaa BBaawwaahh ((LLoowweerr TTrriiaanngguulleerr))

Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas

diagonal utama = 0

aij adalah Matriks Segitiga Bawah jika aij = 0 untuk i < j

Contoh :

861

035

002

5427

0103

0051

0004

gg.. MMaattrriikkss SSeeggiittiiggaa AAttaass ((UUppppeerr TTrriiaanngguulleerr))

Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah

diagonal utama = 0

aij adalah Matriks Segitiga Atas jika aij = 0 untuk i > j

200

180

723

8000

0200

5630

7021

hh.. MMaattrriikkss AAnnttii SSiimmeettrriiss

Adalah matriks persegi yang transposenya adalah negative-

nya atau AT = - A.

aij adalah anti simetris jika aij = -aji untuk semua i dan j.

Semua elemen diagonal utamanya = 0

A =

043

402

320

; AT =

043

402

320

100

010

001

11

VV.. DDeetteerrmmiinnaann

Setiap matriks bujur sangkar A selalu dikaitkan dengan suatu

skalar matriks yang disebut DETERMINAN matriks tersebut, dan

ditulis sebagai det (A) atau A

aa.. MMeennccaarrii ddeetteerrmmiinnaann mmaattrriikkss oorrddoo 22 xx 22

Bentuk umum :

Jika A =

dc

bamaka det ( A ) =

dc

ba= ad - bc

Contoh :

Jika A =

54

32maka det (A) =

54

32= 10 – 12 = -2

Jika B =

42

21maka det (B) =

42

21= 4 – (– 4) = 8

bb.. MMeennccaarrii ddeetteerrmmiinnaann mmaattrriikkss oorrddoo 33 xx 33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Metode Sarrus

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12

a21 a22

a31 a32

+ + +---

Det (A) = |A|=

a32 -a11 a22 a33. . + a12 a23 a31. . + a13 a21. . a12 a21 a33. . a11 a23 a32. . a13 a22. .a31- -

atau

a32 -a11 a22 a33. . + a12 a23 a31. . + a13 a21. . a12 a21 a33. . a11 a23 a32. . a13 a22. . a31+ + )) ((

, maka determinan dari A adalahJika : A =

12

Contoh : Hitunglah Determinan dari M =

987

654

321

Jawab : =

987

654

321

87

54

21

Det ( M ) = M = (45) + (84) + (96) – (105) – (-48) – (-72) = 240

Catatan : Metode di atas tidak berlaku untuk matriks bujur sangkar

berordo (4x4) atau yang lebih besar.

cc.. MMeenngghhiittuunngg ddeetteerrmmiinnaann ddeennggaann PPeenngguurraaiiaann ((EEkkssppaannssii))

sseeccaarraa bbaarriiss ddaann kkoolloomm

Minor dan kofaktor :

Definisi : jika A adalah matriks persegi, maka minor entri

aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi

determinan sub matriks yang tetap setelah baris ke-i dan

kolom ke-j dicoret dari A.

Bilangan (-1) i+j Mij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan

kofaktor entri aij.

Contoh :

A =

987

654

321

,maka

Minor Entri a11 adalah M11 =

987

654

321

=98

65=45–48 = -3

Kofaktor a11, adalah :

c11 = (-1 ) 1+1 M11 = (-1)2 (-3) = -3

Baris-1 dan kolom-1 dicoret

13

Demikian juga, minor entri a32 adalah :

M32 =

987

654

321

=64

31= 6 – 12 = -6

Kofaktor a32 adalah :c32 = (-1) 3+2 M32 = (-1) 5 .M32 = (-1) (-6) = 6

TEOREMA LAPLACE

Jika A suatu matriks persegi, maka determinan matriks A adalah

jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau

kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Dengan perkataan lain :

atau

Contoh :

A =

a b c d

e f g h

i j k l

m n o p

Ekspansi menurut baris 1 :

Ekspansi menurut kolom 3 :

A =+ a

f g h

j k l

n o p

-b

e g h

i k l

m 0 p

+ c

e f h

i j l

m n p

- d

e f g

i j k

m n o

Baris-3 dan kolom-2 dicoret

A =

n

j 1

aij . cij = ai 1 ci 1 + ai 2 . ci 2 + . . .+ ai n . ci n

dengan i, disebut ekspansi menurut baris ke-i

A =

n

i 1

aij . cij = a1 j c1 j + a2 j . c2 j + . . .+ an j . cn j

dengan j, disebut ekspansi menurut kolom ke-j

14

CCaattaattaann : dalam pemilihan baris/kolom mana yangdiekspansikan, tidak jadi persoalan karenahasilnya akan sama.

Contoh :

A =

245

342

013

; det (A) = ?

Jawab :

Ekspansi menurut kolom-1 :

Det (A) = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13

= 324

34

-(-2 )

24

01

+ 5

34

01

= 3 (-4) – (-2) (-2) + 5 (3) = -1

Ekspansi menurut baris-3 :

Det (A) = a31 c31 + a32 c32 + a33 c33

= 534

01

- 4

32

03

+ (-2 )

42

13

= 5 (3) – (4) (9) + (-2) (-10)

= +15 – 36 +20 = 35 - 36 = -1

Untuk menyederhanakan perhitungan determinan, ekspansikan

menurut baris atau kolom yang paling banyak mengandung

elemen 0 (nol), karena suku-suku ini hasilnya nol.

Misal B =

718

004

532

A =+ c

e f h

i j l

m n p

-g

a b d

i j l

m n p

+ k

a b d

e f h

m n p

- o

a b d

e f h

i j l

15

Kita ekspansi menurut baris-2,

Det (B)= -471

53

+ 0

78

52 - 0

18

32

= -4(21-5)

= -64

dd.. SSiiffaatt--ssiiffaatt ddeetteerrmmiinnaann

1. Tanda determinan berubah apabila dua baris/kolom

ditukar tempatnya.

Contoh :

atau :

421

123

052

= -

421

052

123

= +

123

052

421

2. Jika dikali skalar, hanya untuk satu baris/kolom saja

Contoh: A =

230

114

232

Det (A) =

230

114

232

Andaikan baris satu dikalikan 5 maka :

= 5

230

114

232

=

230

114

101510

=

1030

514

1032

a b c

d e f

g h i

d e f

a b c

g h i

g h i

a b c

d e f

= ̶ =

a b c

d e f

g h i

c b a

f e d

i h g

= ̶

tidak perlu diikutkan

16

3. Tiap baris atau kolom boleh ditambah atau dikurangi baris

atau kolom lain, tidak berubah tanda

Contoh :

844

413

532

=

8444

4113

5332

= 0

4. Kalau ada baris atau kolom semua elemennya 0, maka

determinan = 0

Contoh :

121

000

273

A

B =

20206

9042

7071

4038

= 0

5. Kalau ada 2 baris atau kolom yang sama, maka hasilnya = 0

Contoh :

3124

5312

5206

3124

A

B =

651083

96375

45081

96375

74816

= 0

a + g b + h c + i

d e f

g h i

a b - c c

d e - f f

g h - i i

atau

det (A) = 0

det (A) = 0 (baris 1 = baris 4)

a b c

d e f

g h i

=

17

6. Kalau matriksnya berbentuk segitiga atas atau segitiga

bawah, maka tinggal mengalikan semua elemen yang ada

pada diagonal utamanya.

Contoh :

A = det(A) = 1.4 = 4

B = det(B) = 1.5.2 = 10

C = det(C) = 6

18

JOB SHEET 2

1. Carilah determinan dari matriks di bawah ini !

B =

-2 4 -1

3 -7 2

1 3 -4

D =

3 4 -1 4 1

-1 3 2 -2 1

1 0 -1 0 -2

3 9 7 5 4

3 -9 -6 6 -3

2. Diketahui matriks :

Ditanya :|[(F2 + 2F) – FT] + I2| = ?

F =1 -2

0 1

19

VVII.. IInnvveerrss MMaattrriikkss ((AA--11))

Jika A dan B matriks- matriks persegi berordo n dan

berlaku A B = B A = In, maka dikatakan B invers dari A dan

ditulis A-1 , sebaliknya A adalah invers dari B , ditulis A = B-1.

Tidak semua matriks persegi mempunyai invers, terjadi jika

determinan dari matriks ≠ 0 (= Non singular)

Sebuah matriks yang inversnya adalah dirinya sendiri dengan

perkataan lain A . A = I , disebut matriks yang INVOLUTORY.

Contoh :

Matriks A =

104

21mempunyai invers A-1 =

2/12

15

Karena A . A-1 =

104

21

2/12

15=

10

01= I2

Juga A-1 . A =

2/12

15

104

21=

10

01= I2

Ada beberapa cara untuk mencari invers :

1. Rumus abc

Contoh :

A-1 . A = I

dicek dulu apakah determinannya ≠ 0

A=1 2

1 3= 3-2=1

Karena determinannya ≠ 0, maka inversnya bisa dicari

31

21A

20

Misal invers dari A adalah A-1 =

dc

ba

2. Metode Adjoin

Dari matrik A = (aij) di atas. Kita sebut kofaktor dari elemen

aij sebagai cij, transpose dari matrik (cij) disebut matrik Adjoin

dari A.

Adj. A =

nnnn

n

n

ccc

ccc

ccc

........

....................

....................

......

........

21

22221

12111

Dengan pertolongan matrik adjoin kita dapat mencari invers

suatu matrik dengan rumus

a + b = 1

2a + 3b = 0

x2

x1

x2

x1

x2

x1

a + b = 1

a = 1 + 2

a = 3

c + d = 0

2c + 3d = 1

2c + 2d = 0

2c + 3d = 1 _

-d = -1

d = 1

x2

x1

c + d = 0

c = -1

11

23

dc

baA 1

Jadi :

10

01

31

21x

dc

ba

a + b = 1

2a + 3b = 0

x2

x1

2a + 2b = 2

2a + 3b = 0 _

-b = 2 b = -2

A-1 =)det(

.

A

Aadj, dengan syarat det (A) 0

21

Contoh 1 :

A= maka c11 = 3 ; c12 = - 1 ; c21 = -2 ; c22 = 1.

C =

12

13, C

T= adj. A =

11

23, det (A) =

31

21= 1

Jadi, A-1 =1

11

23

=

11

23

Contoh 2 :

Tentukan invers dari matriks berikut :

A =

511

240

432

det(A) =

511

240

432

= 251

24

+

24

43

; Ekspansi Laplace pada kolom-1

= - 36 - 10 = -46

Jadi, A-1 =)det(

.

A

Aadj=

46

1

854

4142

101118

=

23/446/523/2

23/223/723/1

23/546/1123/9

Contoh 3 :

31

21

22

Kita hendak mencari matrik adjoin dari A =

511

240

432

Maka kofaktor ke 9 elemen dari A adalah sebagai berikut :

c11 = +

51

24= -18 , c12 = -

51

20= 2 ,

c13 = +

11

40= 4 , c21 = -

51

43= -11 ,

c22 = +

51

42= 14 , c23 = -

11

32= 5,

c31 = +

24

43= -10 , c32 = -

20

42= -4 ,

c33 = +

40

32= - 8 ,

Jadi, adj. A =

854

4142

101118

3. Metode Gauss

Contoh :

A I2

1 2 1 0

1 3 0 1 1xI

~ 1 2 1 0

0 1 -1 1

-2xII

~

1 0 3 -2

0 1 -1 1} } }

I2

A-1

}

Ditanya A-1 = ?

23

1A-1 =

3 -2

-1

Carilah Invers dari matriks A =

801

352

321

Penyelesaian :

100801

010352

001321

|

|

|

B21(-2) & B31

(-1)

101502

012310

001321

|

|

|

B32(2)

125100

012310

001321

|

|

|

B3(-1)

125100

012310

001321

|

|

|

B23(3) & B13

(-3)

125100

3513010

3614021

|

|

|

B12(-2)

125100

3513010

91640001

|

|

|

Jadi, Invers dari A adalah A-1 =

125

3513

91640

Baris-2 ditambah -2 kalibaris-1, dan Baris-3ditambah –1 kali baris-1

Baris-3 ditambah 2kali baris-2

Baris-3 dikalikan -1

Baris-2 tambah 3 kalibaris-3, dan Baris-1ditambah –3 kali baris-3

Baris-1 ditambah -2kali baris-2

24

JOB SHEET 3

1. Diketahui matriks :

Ditanya : (A2 ̶ AT + B + I2) – 1

2. Carilah invers dari matriks di bawah ini dengan 3 cara :

25

A

B

y2

VV EE KK TT OO RR

Vektor secara geometris dapat dinyatakan berupa garis lurus

yang mempunyai besar dan arah.

Suatu vektor digambarkan dengan suatu anak panah, dimana

panjang anak panah menyatakan besarnya vektor dan arah

anak panah menunjukkan arah vektor.

Perhatikan gambar vektor di sebelah :

Titik A disebut titik pangkal vektor

atau titik tangkap vektor (initial point)

Titik B disebut ujung vektor (terminal point)

Suatu vektor yang titik pangkal A dan titik ujungnya B ditulis

AB atau ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diberi garis di

atasnya, misal : a

Vektor standar adalah vektor yang titik pangkalnya terletak

pada titik 0.

y

0 x

Di dalam bidang datar (R2) suatu vektor yang titik pangkalnya

A(x1,y1) dan titik ujungnya B(x2,y2) dapat dituliskan dalam

bentuk komponen sebagai berikut :

MMeennggggaammbbaarr vveekkttoorr ::

26

(x, y)(x,y,z)

x

y

x

z

y

R2 : Vektor dua dimensi (x, y) atau (x1, x2)

R3 : Vektor tiga dimensi (x, y, z) atau (x1, x2, x3)

OOppeerraassii DDaassaarr VVeekkttoorr

Yang akan dibicarakan adalah operasi penjumlahan Vektor dan

perkalian skalar.

a. Penjumlahan vektor.

Misalkan kita hendak menjumlahkan Vektor a dan b .Kita mengenal dua metoda sebagai berikut :

1. Metoda jajaran genjang : Vektor hasil resultan yaitu

ā + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang

dibentuk oleh ā dan b setelah titik awal ditempatkanberimpit.

3. Metoda segitiga : Resultan kita peroleh dengan

menempatkan titik awal salah satu Vektor ( misalnya b )pada titik ujung Vektor yang lainnya, maka resultanadalah bertitik awal di titik awal ā dan betitik ujung di titik

ujung b .

Gambar Vektor 2 dimensi Gambar Vektor 3 dimensi

27

Catatan :

Penjumlahan Vektor bersifat komutatif, artinya untuk setiap

vektor ā dan b berlaku abba ;maka pemilihan Vektor

mana yang didahulukan tidaklah menjadi persoalan. Dapat

kita perbandingkan gambar 3 dan gambar 4 bahwa

abba .

Metode segi tiga baik sekali untuk menjumlahkan lebih dari 2

vektor. Misalkan hendak menjumlahkan edcba , maka

berturut-turut kita tempatkan titik awal dari b pada titik

ujung dari ā, titik awal dari c pada titik ujung dari b dan

seterusnya ( pemilihan urutan tidak menjadi persoalan ).

Resultannya adalah Vektor yang titik awalnya di titik awal Vektor

pertama (ā) dan titik ujungnya di titik ujung Vektor terakhir ( e )

28

Penjumlahan Vektor dengan operasi aritmatika

Rumus umum:

ō = (a1, a2)

ē = (b1, b2)

maka ō + ē = (a1, a2) + (b1, b2)

= (a1 + b1 , a2 + b2)

Contoh :

ō = (3, 2)

ē = (5, 4)

Pengurangan Vektor dengan operasi aritmatika

ō - ē = ō + (-ē)

Rumus umum:

diketahui :

ō = (a1, a2)

ē = (b1, b2)

maka ō - ē = (a1, a2) - (b1, b2)

= (a1 + (-b1) , a2 + (-b2))

= (a1 -b1, a2 -b2)

ō + ē = (3 + 5 , 2 + 4)

= (8, 6)

29

Contoh :

ō = (1, 3)

ē = (4, 2)

Catatan :

Sebagai gabungan dari operasi penjumlahan dan pengurangan

vektor. Misalnya )()1( bababa yaitu menjumlahkan ā

dengan -b . Tentu saja pengurangan Vektor tidak komutatif,

abba .

Contoh :

b. Perkalian Vektor dengan skalar.

Kalau k suatu scalar bilangan riil, ā suatu Vektor, maka

perkalian perkalian scalar k ā adalah suatu Vektor yang

panjangnya k kali panjang ā, dan arahnya sama dengan

arah a bila k positif atau berlawanan.

Bila k = 0 maka k ā = 0 ; disebut Vektor nol yaitu Vektor yang

titik awal dan titik ujungnya berimpit.

PPeerrkkaalliiaann VVeekkttoorr ddeennggaann ssccaallaarr pada operasi aritmatika

Rumus umum:

diketahui : ō = (a1, a2)

Skalar : λ

maka λ x ō = λ x (a1, a2)

= (λa1, λa2)

ō - ē = (1 - 4 , 3 – 2)

= (-3, 1)

30

= a1.b1 + a2.b2

= 3.2 + 5.7 = 41

Contoh :

ō = (4, 2)

λ = 5

TTrraannssppoossee ssuuaattuu VVeekkttoorr

Rumus umum:

diketahui : ō = (a1, a2) maka Transpose ōT=

2

1

a

a

Contoh :

ē = (3, 7) → ēT

=

7

3

PPeerrkkaalliiaann aannttaarraa dduuaa VVeekkttoorr

Rumus umum:

diketahui : ō = (a1, a2) ; ē = (b1, b2)

maka ō x ē = (a1, a2)

2

1

b

b

Contoh :

ō = (3, 5)

ē = (2, 7)

maka ō x ē = (3, 5)

7

2

λ x ō = 5 x (4, 2)

= (20, 10)

31

JOB SHEET 4

1. Gambarlah Vektor (Gunakan kertas berpetak) :

a. ō = (2, 5)

b. ū = (6, -2)

c. ē = (4, 5, 6)

d. ā = (-3, 2, -4)

2. Diketahui vektor:

ā = (2, 0, -1, 3)

ū = (5, 4, 7, -1)

ē = (6, 2, 0, 9)

Hitunglah :

a) ā – ū

b) 7ū + 3ē

c) 3(ā - 7ū)

d) –3ū - 8ē

32

KKoommbbiinnaassii LLiinniieerr ddaarrii VVeekkttoorr--vveekkttoorr

Ada Vektor-vektor : ā1, ā2 , ā3 …, ān

Skalar-skalar : 1, 2, 3 …, n

dapat dikatakan kombinasi linier jika :

ū = 1ā1 + 2ā2 + 3ā3 + … + nān

Contoh :

1. ā1 = (3, 2, 1) ; 1 = 3

ā2 = (0, 1, 2) ; 2 = 5

Buatlah kombinasi linier dari ā1 dan ā2 :

Jawab :

ū = 1ā1 + 2ā2

= 3(3, 2, 1) + 5(0, 1, 2)

= (9, 6, 3) + (0, 5 , 10)

= (9, 11, 13)

2. Diketahui vektor :

ā1 = (1, 2, -1)

ā2 = (6, 4, 2)

Apakah vektor : a. ū = (9, 2, 7)

b. ē = (4, -1, 8)

Masing-masing kombinasi linier dari vektor ā1 dan vektor ā2 ?

Jawab :

a. Jika ū kombinasi linier dari ā1 dan ā2 , maka :

(9, 2, 7) = 1 (1, 2, -1) + 2 (6, 4, 2)

(9, 2, 7) = (1, 21, -1) + (62, 42, 22)

maka diperoleh 3 persamaan :

I. 9 = 1 + 62

II. 2 = 21 + 42 dieliminasi

III. 7 = -1 + 22

9 = 1 + 62

7 = -1 + 22 +

16 = 82

2 = 2

33

Eliminasi

Substitusi ke persamaan I atau III (jangan ke pers. II):

I. 9 = 1 + 62

9 = 1 + 6(2)

1 = -3

Persamaan II, untuk memeriksa apakah hasil sudah betul ?

II. 2 = 21 + 42

2 = 2(-3) + 4(2)

2 = 2 (Cocok)

KKeessiimmppuullaann : vektor ū kombinasi linier dari vektor ā1 dan ā2

ū = 1ā1 + 2ā2

ū = -3ā1 + 2ā2

b. Jika vektor ē kombinasi linier dari vektor ā1 dan ā2, maka :

(4, -1, 8) = 1 (1, 2, -1) + 2 (6, 4, 2)

(4, -1, 8) = (1, 21, -1) + (62, 42, 22)

maka diperoleh 3 persamaan :

I. 4 = 1 + 62

II. -1 = 21 + 42

III. 8 = -1 + 22

Substitusi ke persamaan I atau II :

I. 4 = 1 + 62

4 = 1 + 6(9/8)

1 = 4 - 27/4

1 = -2 3/4

Periksa dengan persamaan III :

8 = -1 + 22

8 = -(-2 3/4) + 2(9/8)

4 = 1 + 62 8 = 21 + 122

-1 = 21 + 42 -1 = 21 + 42

9 = 82

2 = 9/8

2

1

34

8 = 2 3/4 + 18/8

8 = 11/4 + 18/8

8 = 22/8 + 18/8

8 = 40/8

8 ≠ 5 (Tidak cocok)

KKeessiimmppuullaann : vektor ē = (4, -1, 8) bukan

kombinasi linier dari vektor ā1 dan ā2

35

JOB SHEET 5

Diketahui Vektor :

ā1 = (1, -1, 3)

ā2 = (2, 4, 0)

Ditanya :

a. Ū1 = (1, 5, 6)

b. Ū2 = (2, -4, 0)

c. Ū3 = (3, 3, 3)

d. Ū4 = (0, 0, 0)

Apakah masing-masing Ū1, Ū2, Ū3 dan Ū4 merupakan kombinasi

linier dari vektor ā1 dan ā2 ?

36

BBEEBBAASS LLIINNIIEERR ((LLIINNEEAARRLLYY IINNDDEEPPEENNDDEENNTT))TTAAKK BBEEBBAASS LLIINNIIEERR ((LLIINNEEAARRLLYY DDEEPPEENNDDEENNTT))

DDeeffiinniissii II :

Misal : Vektor-vektor ā1, ā2 , ā3 …, ān dikatakan bebas atau

tidak bergantungan jika ada bilangan-bilangan 1, 2, 3 …, n

yang semuanya 0, sehingga 1.ā1 + 2.ā2 + … + n.ān = 0

(= SSeemmuuaannyyaa 00, Tak CCooccookk)

DDeeffiinniissii IIII :

Misal : Vektor-vektor ā1, ā2 , ā3 …, ān dikatakan tak bebas atau

bergantungan jika ada bilangan-bilangan 1, 2, 3 …, n yang

tidak semuanya 0, sehingga 1.ā1 + 2.ā2 + … + n.ān = 0

(= TTaakk sseemmuuaannyyaa 00, CCooccookk)

CContoh :

1. Vektor :

ā1 = 3, 6 → Selalu bebas

3, 6 = 0

ā2 = 0, 0 → Selalu Tak bebas

0, 0 = 0

2. Diketahui dua buah vektor 2, 3 dan 1, 4

2, 3 + 1, 4 = 0

2 + = 0 x 4 8 + 4 = 03 + 4 = 0 x 1 3 + 4 = 0 ( - )

5 = 0 = 0

2 + = 02(0) + = 0

= 0

= 0 = 0

Bebas

37

Cocok / sama:Tak bebas

3. Diketahui dua buah vektor 4, 3 dan -4, -3

Cara 1 : Konsep “Try and error”

4, 3 + -4, -3 = 0

4, 3 + -4, -3 = 0

1 4, 3 + 1 -4, -3 = 0 Tak bebas

Cara 2 : Kedua vector dibuat dalam bentuk ekspisit

4, 3 = -4, -3

4 = -4 = -1

3 = -3 = -1

4. Diketahui vektor-vektor :

ā1 = 1, 3, 2 ā1 = Bebas (karena bukan vektor 0)

ā2 = 2, -1, 4

ā3 = -1, 2, -3

Vektor ā2 dan ā1 :

2, -1, 4 = 1, 3, 2

2 = 1 1 = 2

-1 = 32 2 = -1/3

4 = 23 3 = 2

Vektor ā3 , ā1 dan ā2 :

-2, 5, -3 = 6, -2, 2 + 2, -1, 4

I. –2 = 6 + 2 x 1 –2 = 6 + 2

II. 5 = -2 - x 2 10 =-4 - 2 +

8 = 2

= 4

Substitusi ke persamaan I atau II :

II. 5 = -2 -

= -8 - 5

= -13

1 = 3 2

Tidak cocok :Bebas

38

CCocok

III. -3 = 2 + 4

-3 = 2.4 + 4.(-13)-3 = 8 – 42-3 -34 ( Tidak cocok Bebas Linier)

5. Diketahui vektor-vektor :

a.

1

0

1

,

1

1

0

,

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

321

1 + 3 = 0 → 1 = 0

2 = 0 → 2 = 0

2 + 3 = 0 → 3 = 0

b.

2

2

1

,

0

2

1

,

1

0

1

0

2

2

1

0

2

1

1

0

1

321

1 - 2 + 3 = 0 - 2 - 3 = 0

22 + 23 = 0 2 + 3 = 0

1 + 23 = 0 (-)

Karena : - 2 - 3 = 0 2 + 3 = 0

Jadi : Tak bebas linier

1, 2, 3 semuanya 0, Bebas linier

39

JOB SHEET 6

Diketahui Vektor :

ā1 = 0, 0, 0

ā2 = -8, 2, -6

ā3 = -4, 1, -3

Ditanya, Apakah vektor-vektor di bawah ini Bebas atau

Tak Bebas Linier :

a. ā1

b. ā2

c. ā3

d. ā1 dan ā2

e. ā1 dan ā3

f. ā2 dan ā3

g. ā1 , ā2 dan ā3

h. ā2 , ā1 dan ā3

i. ā3 , ā2 dan ā1

40

dimana i = 1, 2, …

BBaassiiss,, DDiimmeennssii,, ddaann KKoommbbiinnaassii lliinniieerr

Batasan :

1. Himpunan n vektor-vektor { Ū1, Ū2, Ū3, …, Ūn} dinamakan

Basis, jika :

(i). { Ū1, Ū2, Ū3, …, Ūn} → Bebas linier

(ii). { Ū1, Ū2, Ū3, …, Ūn} → Membangun

2. Dimensi adalah banyaknya vektor yang bebas

Contoh :

a.

4

3,

2

1 Basis

b.

1

5,

4

3,

2

1 Bukan Basis

c.

0

1

2

,

3

2

1

Bukan Basis

3. Kombinasi linier

Vektor Ā kombinasi linier dari { Ū1, Ū2, Ū3, …, Ūn} jika

terdapat 1, 2, 3, … , n sehingga :

Syarat lain : Tak bebas linier

Contoh :Tentukan apakah himpunan vector di bawah ini Basis ?

1.

0

1

2

0

λ

2

0

1

λ

0

1

1

λ 321

Â Û i i

i

n

1

2

0

,

2

0

1

,

0

1

1

A

41

Jadi A : Basis

Cocok

Jadi B : Bukan Basis

1 + 2 = 0 2 - 23 = 0

1 + 23 = 0 (-)

22 + 3 = 0

2 - 23 = 0 x2 22 - 43 = 0

22 + 3 = 0 x1 22 + 3 = 0 -

-53 = 0

3 = 0

22 + 3 = 0

22 + 0 = 0 2= 0

1 + 2 = 0

1 + 0 = 0 1= 0

1, 2, 3 = 0 (Semuanya 0)

(i) Bebas linier

(ii) membangun

2.

2-

2

1

,

2

0

1

,

0

1

1

B

0

2-

2

1

λ

2

0

1

λ

0

1

1

λ 321

1 + 2 + 3 = 0 2 - 3 = 0

1 + 23 = 0 (-)

22 - 23 = 0 : 2 → 2 - 3 = 0

(i) Tak bebas linier

(ii) Membangun

42

Jadi C : Bukan Basis

3.

1

1

2

,

2

2

1

C

0

1

1

2

λ

2

2

1

λ 21

21 + 4 2 = 0

21 + 2 = 0 _

32 = 0 → 2 = 0 ; 1 = 0

(i) bebas linier

(ii) tidak membangun

4. Tentukan apakah himpunan vektor di bawah ini kombinasi

linier ?

Vektor

1

0

1

kombinasi linier dari

2

1

0

1

1

1, , karena :

CCara I :

2

1

1

λ

0

1-

1

λ

1

0

1

21

1 = 1 + 2 → 1 = ½ + ½ (CCocok => Tak Bebas)

0 = -1 + 2 → 1 = 2 = ½

1 = 22 → 2 = ½

Karena Tak bebas linier : Kombinasi linier

1 + 22 = 0

21 + 1 = 0

21 + 2 = 0

43

CCara II (Metode Gauss):

Catatan :

Tak bebas : Banyak baris tak nol < banyak kolom tak nol

Bebas : Banyak baris tak nol = banyak kolom tak nol

.

Bukti :

5. Dari soal no. 1, gunakan cara II

Bukti :

Matrik akhir mempunyai : baris tak nol = 3

kolom tak nol = 3

6. Dari soal no. 2, gunakan cara II

Banyak baris tak nol = 2Banyak kolom tak nol = 3

Jadi akibatnya :Tak bebas linier

Bebas linier

Baris tak nol = 2Kolom tak nol = 3

2 < 3Tak bebas linier

Buktikan Tak bebas linier

44

JOB SHEET 7

1. Apakah Kombinasi linier atau bukan dari :

2. Apakah himpunan vektor di bawah ini basis atau bukan

45

SSIISSTTEEMM PPEERRSSAAMMAAAANN LLIINNIIEERR ((SSPPLL))

II.. SSiisstteemm PPeerrssaammaaaann LLiinniieerr HHoommooggeenn

a11 x1 + a12 x2 = 0

a21 x1 + a22 x2 = 0

Sistem Persamaan linier ini mempunyai jawab Trivial dan

Tak trivial.

IIII.. SSiisstteemm PPeerrssaammaaaann LLiinniieerr TTaakk HHoommooggeenn

Sistem Persamaan linier tak homogen mempunyai jawab, jika

dan hanya jika rraannkk mmaattrriikkss kkooeeffiissiieenn = rraannkk mmaattrriikkss lleennggkkaapp.

Batasan :

Banyak maksimal vektor-vektor yang bebas linier disebut

rank matriks.

CContoh :

Penyelesaian Cara I :

1. Apakah persamaan di bawah ini mempunyai jawab ?

0

0

x

x

aa

aa

2

1

2221

1211

2221

1211

aa

aaA Disebut matriks koefisien

A x = 0

a x a x b

a x a x b

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

22221

11211

baa

baab)(A, Disebut matriks lengkap

A x = b

x x

x 2x1 2

1 2

0

3

2

1

2

1

2221

1211

b

b

x

x

aa

aa

3

0

x

x

2-1

1-1

2

1

46

x x

x 2x1 2

1 2

0

3

Mempunyai jawab

1 -1A =

1 -2

Jadi Rank A = 2 ………. (I)

1 -1 0(A, b) =

1 -2 3

Jadi Rank A, b = 2 ………. (II)

Karena I = II , maka persamaan Mempunyai jawab

2.

Jadi Rank A = 0 ………. (I)

1 -1 2(A,b) =

2 -2 2

Jadi Rank A, b = 2 ………. (II)

Karena I ≠ II , maka persamaan Tidak mempunyai jawab

Penyelesaian Cara II :

1.

x1 – x2 = 0

x1 = -3

a1 = {1, -1} → Bebas

a2 = {1, -2} → Juga Bebas

a1 = {1, -1, 0} → Bebas

a2 = {1, -2, 3} → Bebas

x x

2x 2x1 2

1 2

2

2

a1 = {1, -1} → Tak bebas

a2 = {2, -2} → Tak bebas

a1 = {1, -1, 2} → Bebas

a2 = {2, -2, 2} → Bebas

→ x2 = -3

jadi

47

Tidak Cocok

jadi tidak mempunyai jawab

▪▪

▪

▪

+2

-2

+1

-1X1

X2

CocokMempunyai jawab

0 = 0

2.

0 1

Menurut ilmu ukur persamaan tersebut sejajar.

3.

x1 – x2 = 1 , misal x2 = tx1 = 1 + t

x2 = t

4. x + 2y + 3z = 6

2x - y + z = 2

x + 7y + 8z = 11

0x1 + 0x2 = 1

x x

2x 2x1 2

1 2

2

2

x1 - x2 = 2

2x1 - 2x2 = 2

x x

2x 2x

1 2

1 2

1

2

0x1 + 0x2 = 0

48

0x + 0y + 0z = -1

0 ≠ -1

Tidak Cocok Jadi tidak mempunyai jawab

5. x 2y + 3z = 6

2x ─ y + z = 2

x + 3y ─ z = 3

y + z = 2 y = 1

x + 2y + 3z = 6 x = 1

6. 2x1 - x2 + x3 – x4 = 3

x1 + x2 - 2x3 = 2

x2 - x3 + x4 = 1

x1 + x2 - 2x3 = 2

x2 - x3 + x4 = 1 Misal : x4 = t

x3 + x4 = 1 x3 = 1 - t

x2 = 1 + 1 – t – t = 2 – 2t

x1 = 2 + 2 + 2t + 2 - 2t = 2

1000

2110

6321

1xII

~

~

1110

2110

6321

5:

5:

~

5550

10550

6321

~

5:

~

3410

10550

6321

1xI

2xI

~

3131

2112

6321

1100

2110

6321

5:

~

~

5500

2110

6321

1xII

~

~

3410

2110

6321

z = 1

1

1

1

z

y

x

110220 10

11110

20211

2:

~

~

20

11110

20211

3xII

~

~

11530

11110

20211

Mempunyai jawab

49

Jawaban Trivial

x1 = 2

x2 = 2 - 2t

x3 = 1 - t

x4 = t

PPeerrssaammaaaann LLiinniieerr HHoommooggeenn

1. x1 + x2 - x3 = 0

x1 - x2 + x3 = 0

2x1 + x2 + 2x3 = 0

2. 2x1 - x2 - x3 - x4 = 0

x1 + x2 - 2x3 = 0

x1 + x2 - 2x3 = 0

x2 - x3 + 1∕3x4 = 0

Misal :

x3 = s dan x4 = t

x2 = x3 - 1∕3x4 = s - 1∕3t

x1 = - x2 + 2x3 = - s + 1∕3t + 2s

= s + 1∕3tJawaban Tak trivial

50

JOB SHEET 8

Apakah sistem persamaan linier tak homogen di bawah ini

“Mempunyai Jawab” atau “Tidak mempunyai Jawab”, jika “Ya”

tentukan jawabannya !

1. x y + 2z = 1

x + y 2z = 2

x 3y z = 2

2. 2x1 + x2 + 2x3 + x4 = 1

x1 x2 2x3 = 2

2x1 3x2 + x3 2x4 = 2

3. x1 x2 x3 x4 2x5 = 3

2x1 x2 2x3 x4 2x5 = 2

3x1 x2 x3 2x4 x5 = 4

Apakah sistem persamaan linier homogen di bawah ini

mempunyai jawaban “Trivial” atau “Tak Trivial”

1. w + x 2y + z = 0

w + x 2y 2z = 0

2w x + 2y + 3z = 0

2. x1 x2 2x3 x4 3x5 = 0

x1 2x2 x3 2x5 = 0

x1 x2 x3 3x4 2x5 = 0

51

SSiiffaatt--ssiiffaatt PPeerrssaammaaaann LLiinniieerr TTaakk HHoommooggeenn

1. Tidak mempunyai penyelesaian, jika unsur terkanan dari

baris terbawah = 1

Contoh :

2. Mempunyai penyelesaian, jika unsur 1 dari baris terbawah

tidak pada kolom terakhir

Contoh :

a. Mempunyai tepat 1 penyelesaian, jika banyak baris tak

nol = banyak nilai yang dicari

b. Mempunyai lebih dari satu penyelesaian, jika banyak

baris tak nol banyak nilai yang dicari

Contoh :

1. x1 – x2 + x3 = 4

2x1 – x2 – x3 = 2

x1 – 2x3 = 1

Jawab :

Apakah persamaan iniMempunyai penyelesaian ?

Tidak mempunyai penyelesaian

;

52

2. x1 – x3 + 2x4 = 2

2x1 – x2 – x3 + x4 = 3

2x1 – 2x2 – x4 = 2

Jawab :

Penyelesaiannya :

Banyak baris tak nol = 3

Banyak nilai yang dicari = 4

x1 x3 + 2x4 = 2

x2 – x3 + 3x4 = 1

x4 = 0

x2 x3 + 3x4 = 1

x2 = 1 + x3 – 3x4 = 1 + t – 3(0) = 1 + t

x1 = 2 + x3 – 2x4 = 2 + t – 0 = 2 + t

Apakah persamaan iniMempunyai penyelesaian ?

Sifat 2Jadi mempunyai penyelesaian

3 < 4

Jadi lebih dari satupenyelesaian (sifat 4)

Misalkan :x3 = t

53

4 = 4

3. x1 + x2 – x3 + x4 = 3

2x1 – x2 + x3 – x4 = 1

x1 + 2x2 – x3 + 2x4 = 4

x1 + 2x2 – x3 + 3x4 = 5

Jawab :

Penyelesaiannya :

Banyak baris tak nol = 4

Banyak nilai yg dicari = 4

Jadi mempunyai tepat satu penyelesaian (sifat 3)

x4 = 1 , x3 = -2/3 , x2 = 1 – 1 = 0

x1 = 3 – x4 + x3 – x2 = 3 – 1 – 2/3 – 0 = 4/3

Apakah persamaan iniMempunyai penyelesaian ?

Sifat 2 : Mempunyai penyelesaian

54

JOB SHEET 9

Apakah persamaan-persamaan ini mempunyai penyelesaian.

Jika Ya, tentukan penyelesaiannya !

1. 4x1 + 8x2 – 4x3 = 4

x3 = 2 + x2

2. 2x1 – 2x3 – 2x4 = 2 + 4x2

x1 – 4x2 = 2 – x3 + 2x4

3. 2w – 2y – 2z = 2 + 4x

w – 4x = 2 – y + 2z

2 + x + y = 0

8x – 4y = 4

55

14

32A

( (λ – 2) (λ –1) – 12 = 0

301

120

801

A

KKAARRAAKKTTEERRIISSTTIIKK EEIIGGEENN

Batasan :

1. Vektor ū R, ū 0 dan R, dimana A ū = ū, maka

disebut nilai eigen

2. diketahui maka akan terdapat persamaan eigen dan

vektor eigen.

A matriks ukuran n x n dan bilangan sembarang, maka terjadi

:

A ū = ū A ū = I ū

I ū – A ū = 0 ( I – A) ū = 0

Supaya ada jawab tak trivial maka l I – A l = 0

Contoh :

1.

Jawab :

2.

Tentukan : 1. Persamaan eigen

2. Nilai eigen

3. Vektor-vektor eigen

4. Ruang eigen beserta basis dan dimensinya!

Carilah nilai-nilai eigen !

14

32

λ0

0λ

14

32

10

01λ

2 3

4 1

λ2 – 3λ + 2 – 12 = 0

λ2 – 3λ - 10 = 0 λ1 = 5 , λ2 = -2

56

NNiillaaii EEiiggeenn

– x3 = 0

Rt,

0

1

0

t

Jawab :

1.

2. – 2 = 0 1 = 2

( – 1) ( – 3) – 8 = 0

2 – 4 + 3 – 8 = 0

2 – 4 – 5 = 0 2 = 5 dan 3 = -1

3. 1 = 2

x3 = 0 x1 ― 0 = 0 x1 = 0

Misal x2 = t

Vektor eigen ialah

4.Ruang eigen E1 =

01

2λ0

01λ

3λ01

12λ0

801λ

= ( – 1) ( – 2) ( – 3) + 0 + 0 – 8 ( – 2) – 0 – 0 = 0

= ( – 2) { ( – 1) ( – 3) – 8} = 0 PPeerrssaammaaaann EEiiggeenn

1

2

3

2

5

1

101

100

801

3201

1220

8012

0

0

0

x

x

x

101

100

801

3

2

1 x1 – 8x3 = 0

- x1 – x3 = 0

3

2

1

x

x

x

= t

0

1

0

57

3x2 – x3 = 0

Misal : x2 = t , x3 = 3tx1 – 6t = 0

x1 = 6t

–3x2 – x3 = 0

Misal : x2 = t , x3 = -3tx1 – 12t = 0

x1 = 12t

dimensinya E1 = 1 , basis =

2 = 5

x1 – 2x3 = 0

3x2 – x3 = 0

-x1 + 2x3 = 0

Vektor eigen ialah =

Ruang eigen E2 =

Rt,

3

1

6

t

dimensinya E2 = 1 , basis =

3 = -1

-x1 – 4x3 = 0

-3x2 – x3 = 0

-x1 + 4x3 = 0

0

0

0

x

x

x

01

130

804

3

2

1

2

4x1 – 8x3 = 0

-x1 + 2x3 = 0

0

0

0

x

x

x

401

130

802

3

2

1 - 2x1 – 8x3 = 0

- x1 – 4x3 = 0

0

1

0

3

2

1

x

x

x

= t

3

1

6

3

1

6

58

Ruang eigen E3 =

dimensinya E3 = 1 , basis =

3

2

1

x

x

x

= t

-3

1

12

Vektor eigen ialah =

59

JOB SHEET 10

Diketahui matriks :

Tentukan kedua Matriks di atas :

1. Persamaan eigen

2. Nilai eigen

3. Vektor-vektor eigen

4. Ruang eigen beserta basis dan dimensinya!

60

DDIIAAGGOONNAALLIISSAASSII

Batasan :

Matriks bujur sangkar dapat didiagonalkan, jika terdapat

matriks tak singular P, sehingga P-1.A.P matriks diagonal.

Misal A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks tak

singular P sehingga A1 = P-1.A.P

dimana :

A1 = matriks diagonal

P = matriks tak singular

Dalil :

Matriks A (berukuran n x n) dapat didiagonalkan jika dan

hanya jika A mempunyai n vektor eigen yang bebas linier, dan

vektor-vektor eigen matriks A itu adalah kolom-kolom matriks

P yang mendiagonalkan A.

Contoh :

1. Tunjukkan matriks A =

dapat didiagonalkan

2. Tentukan matriks tak singular yang mendiagonalkan matriks

A

3. Tentukan matriks diagonalnya.

Jawab :

1.

301

120

801

01

2λ0

01λ

3λ01

12λ0

801λ

= ( – 1) ( – 2) ( – 3) + 0 + 0 – 8 (– 2) – 0 – 0 = 0

= ( - 2) { ( – 1) ( – 3) – 8} = 0

61

–8x3 = 0

3x2 – x3 = 0

Misal : x2 = t , x3 = 3tx1 – 6t = 0

x1 = 6t

Nilai Eigen

– 2 = 0 1 = 2

( – 1) ( – 3) – 8 = 0

2 – 4 + 3 – 8 = 0

2 – 4 – 5 = 0 2 = 5 dan 3 = -1

1 = 2

0

0

0

x

x

x

101

100

801

3

2

1

x3 = 0 x1 ― 0 = 0 x1 = 0

Misal x2 = t

Vektor ā ialah

2 = 5

0

0

0

x

x

x

01

130

804

3

2

1

2

x1 – 2x3 = 0

3x2 – x3 = 0

-x1 + 2x3 = 0

Vektor ē ialah =

3

2

1

x

x

x

= t

3

1

6

– x3 = 0

4x1 – 8x3 = 0

- x1 + 2x3 = 0

1

2

3

2

5

1

-x1 – x3 = 0

3

2

1

x

x

x

= t

0

1

0

62

-3x2 – x3 = 0

Misal : x2 = t , x3 = -3t

x1 – 12t = 0

x1 = 12t

3

1

12

,

3

1

6

,

0

1

0

3 = -1

-x1 – 4x3 = 0

-3x2 – x3 = 0

-x1 + 4x3 = 0

Vektor ō ialah =

3

2

1

x

x

x

= t

Maka ā, ē, ō =

Himpunan vektor-vektor di atas merupakan calon P. Adapun

syarat P adalah (1) NNoonn SSiinngguullaarr (2) BBeebbaass lliinniieerr

Kita coba cek kedua syarat tersebut :

(1) Apakah Non Singular ?

(2) Apakah Bebas Linier ?

-2x1 – 8x3 = 0

-x1 – 4x3 = 0

3

1

12

0

0

0

x

x

x

401

130

802

3

2

1

= 36 + 18 = 54 0 (Non Singular)

63

330

111

1260

Karena kedua syarat terpenuhi ( non singular dan bebas linier)

maka himpunan vector-vektor tersebut syah sebagai P

selanjutnya berarti matriks A dapat didiagonalkan.

4. Jadi P =

5.Tentukan A1, cari dulu P -1 = ?

~

~

~

III2

100330

0011260

010111

100330

010111

0011260

~

3:

~

~

3100110

2-011800

010111

100330

2-011800

010111

~

III

II

0100

001-10

010111

2-0100

001-10

010111

-21

31

31

181818:

~

~

18

3:

~

~

300

210

111

1XII

~

~

110

210

111

3:

6:

~

330

1260

111

~

I

II

330

111

1260

100

210

111Banyak baris tak nol = 3

Banyak kolom tak nol = 3

Jadi ;

Bebas linier

64

91-

181

921

9-1

18-2

91-

181

92

181

3-1

0100

0010

1001

~

~

2xIII

000

0010

102-01

18

1

91

181

92

181

91

182

0

0

1

2

22

18

1

01

401

18

2

22

18

1

01

401

18

3

81

01

120

0

3

120

30

111

6

18

036

18

1

00

0900

0

1

02

00

050

0

Jadi P-1 =

A1 = P-1.A.P

65

JOB SHEET 11

Diketahui matriks :

Carilah matriks diagonal_nya !