Analisis de redes electricas

CIRCUITOS ELECTRICOS UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES

Análisis de Redes eléctricas

ING. GILBERTO OLAN CAMPOS

INSTRUCTOR


Leon-Charles Thevenin: (Meaux 1857 - París 1927)

METODO DE ANALISIS DE REDES ELECTRICAS

EDEN CANO RODRIGUEZ

TERCER CUATRIMESTRE DOMINGOS

UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES CAMPUS COMALCALCOI N G E N I E R I A I N D U S T R I A L

2 0 1 5


C O N T E N I D O

T E M A D E I V E S T I G A C I O N 1. Método de análisis de redes eléctricas

Introducción al análisis de redes eléctricas Elementos básicos de circuitos Componentes básicos Sistema eléctrico de potencia Carga de un sistema eléctrico de potencia Sistemas de transmisión y distribución

2. Teorema de redes eléctricas

Teorema de Thevenina) Voltaje de Theveninb) Impedancia de Theveninc) Circuito equivalente Thevenin

Teorema de Nortona) Corriente de Nortonb) Impedancia de Nortonc) Circuito equivalente Norton

Conclusiones

3. Bipuertos

Concepto de Bipuerto Notación Teoría básica

4. Anexos de exposiciones

Circuitos en estado senoidal permanente. Resonancia eléctrica o en un circuito. Potencia de circuitos


INTRODUCCION AL ANALISIS DE REDES ELECTRICAS

En el método científico, un "esquema conceptual" es una teoría simple y comprensible a partir de la cual es posible explicar una gran variedad de fenómenos. Un esquema conceptual muy conocido es el de la teoría atómica, del cual se toman los conceptos de electrón y carga eléctrica. Otros esquemas conceptuales importantes son la conservación de energía y la conservación de carga.La electricidad y el magnetismo se conocen desde hace muchos siglos. La misma palabra electricidad viene del nombre griego del ámbar, dado que fueron los griegos los que descubrieron la electricidad estática al frotar un pedazo de ámbar. El uso del imán en la navegación también data de siglos anteriores. Sin embargo hasta el siglo XIX no se lograron progresos considerables en el desarrollo de un esquema conceptual que los explicase. Alrededor de 1800 Galvani y Volta descubrieron que la electricidad se podía producir por medios químicos. El invento de la batería eléctrica le permitió a Volta producir una corriente eléctrica, esto es, un flujo de electricidad continua y estable, en contraposición a la electricidad estática producida por máquinas eléctricas anteriores, como la botella de Leyden y el electróforo del mismo Volta. Galvani por su parte realizó una serie de experimentos con ranas, que lo llevaron a creer que la corriente eléctrica era "electricidad animal", causada por los mismos organismos. Volta sostenía que la corriente eléctrica era "electricidad metálica", cuya fuente eran las sondas de diferentes metales insertados en las ancas de la rana. Ambos tenían razón, y Galvani alcanzó la fama como fundador de la fisiología nerviosa, mientras que el invento de Volta revolucionó el uso de la electricidad y dio al mundo uno de sus mayores beneficios: La corriente eléctrica. En reconocimiento a sus descubrimientos se le dió a la unidad de fuerza electromotriz el nombre de Voltio. En 1810, Oersted relacionó el campo magnético con la corriente y Ampère midió la fuerza producida por la corriente. La unidad de corriente eléctrica, el amperio, recibió este nombre en su honor. En 1831 Faraday y Henry descubrieron la inducción electromagnética al observar que moviendo un imán a través de una bobina de alambre de cobre, se originaba una corriente eléctrica que fluía por el alambre. El motor y el generador eléctricos se basan en este principio, por lo que este descubrimiento cambió el curso de la historia del mundo. En honor a estos científicos la unidad de capacitancia se llama Faradio y la de inductancia se llama Henry.


En 1873 James Maxwell reunió todos estos experimentos y otros adicionales para formar un esquema conceptual propiamente dicho. En las ecuaciones de Maxwell, como se conoce este esquema, se explican todos los fenómenos electromagnéticos de acuerdo con los campos que producen la carga y la corriente.El éxito del esquema conceptual de Maxwell se ha corroborado durante un largo período, ya que los resultados deducidos de las ecuaciones de Maxwell concuerdan con las observaciones realizadas durante más de 100 años.

ELEMENTOS BASICOS DE CIRCUITOS (DEFINICIONES PRELIMINARES)

Antes de introducir los teoremas de circuitos, es recomendable recordar los conceptos más importantes que forman parte de ellos. Esto también servirá para fijar la notación y nomenclatura que se utilizara en el desarrollo de este trabajo.

o Nodo: es un punto donde se juntan dos o más conductores.

o Trayectoria: cambio orientado entre dos nodos que pasa una y sola una vez por cada componente.

o Lazo: trayectoria en la que el nodo inicial y el final es el mismo. Se trata, por lo tanto, de un camino en el que el origen coincide con el final. Puede ser simple, si no se pasa más de una vez por cada nodo, o compuesto, si pasa por un nodo intermedio antes de llegar al final.

o Maya: es un lazo simple.

o Asociación serie: un conjunto de elementos que están conectados en serie cuando, al aplicar una tensión en los extremos del conjunto, pasa la misma intensidad del conjunto por todos ellos.

o Asociación paralelo: un conjunto de elementos que están conectados en paralelo cuando, al suministrar una corriente en los extremos del conjunto, cae la misma tensión en todos ellos.

o Circuito equivalente: se dice que dos circuitos son equivalentes con respecto a dos terminales A y B cuando, dados esos nodos en un circuito, existen dos nodos en el otro tales que sus corrientes y voltajes coinciden con los de A y B.


o Terminal o borne: es un extremo de un componente eléctrico o electrónico.

o Relación constitutiva: se llama relación constitutiva de un elemento a la relación entre la intensidad que lo recorre y a la caída de potencial entre sus terminales.

Por otro lado, una propiedad importante que puede poseer un dispositivo es la linealidad. Un dispositivo se dice que es lineal en el siguiente caso: Supongamos que, ante una tensión de entrada v1, la corriente es i1 y, ante una tensión de entrada v2, la corriente es i2. Entonces, el dispositivo es lineal si ante una tensión de entrada.

Donde a y b son números. La definición sigue siendo válida si intercambiamos los papeles de la corriente y la tensión. La linealidad es una de las propiedades más importantes de los sistemas, ya que permite simplificar su análisis enormemente gracias al principio de superposición.

COMPONENTES BASICOS

En este trabajo, vamos a repasar de forma somera las leyes constitutivas de los elementos circuitales básicos, que son la resistencia, el condensador y la bobina. Todos ellos son dispositivos lineales y darán lugar, por lo tanto, a circuitos lineales en los que podremos aplicar el principio de superposición.

El funcionamiento anormal de un sistema de energía eléctrica puede deberse a fallas de aislamiento que producen corrientes de cortocircuito equilibradas o desequilibradas, según el número de fases afectadas por la falla. Su cálculo


constituye la base para diseñar las protecciones automáticas del sistema eléctrico y para definir las características de los aparatos de interrupción. Otra causa de funcionamiento anormal son los sobrevoltajes que pueden presentarse en algún punto del sistema, ya sean de frecuencia fundamental, asociados a desequilibrios como los producidos por fallas de una o dos fases a tierra, o sobrevoltajes transitorios, producidos por la apertura y el cierre de interruptores o por descargas atmosféricas. Estos sobrevoltajes condicionan el diseño del aislamiento de los distintos elementos del sistema y las características de los dispositivos de protección contra los sobrevoltajes. En nuestro caso nos enfocaremos al análisis de fallas en una parte específica de la red eléctrica nacional oriental, formada por las dos unidades de Laguna Verde; de sus correspondientes líneas de transmisión: dos líneas de 400 kV, y dos de 230 kV; así como de sus cargas involucradas

CARACTERÍSTICAS GENERALES DE UN SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA

Un Sistema Eléctrico de Potencia consiste en una gran diversidad de cargas eléctricas repartidas en una región, en plantas generadoras para generar dicha energía que consumen las cargas, en una red de transmisión y una de distribución para transportar esa energía de las plantas generadoras a los puntos de consumo; y todo el equipo adicional necesario para lograr que el suministro de energía se realice con las características de continuidad de servicio, regulación de tensión y control de frecuencia requeridas.

CARACTERÍSTICAS DE LA CARGA DE UN SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA

La carga global de un sistema está constituida por un gran número de cargas individuales de diferentes tipos (industrial, comercial, residencial, etc.). Una carga puede consumir potencia real, reactiva o ambas, tal es el caso de un motor de inducción. Naturalmente las cargas puramente resistivas, como lámparas incandescentes, calefactores eléctricos, absorben únicamente potencia real. La potencia suministrada en cada instante por un sistema es la suma de la potencia absorbida por las cargas, más las pérdidas en el sistema. Aunque la conexión y desconexión de las cargas individuales es un fenómeno aleatorio, la potencia total varía en función del tiempo siguiendo una curva que puede predeterminarse con la carga en nuestro sistema se reparte principalmente sobre las regiones a donde llegan las líneas de transmisión:


- La región donde se ubica la subestación Veracruz II, ubicada en la Ciudad Industrial Framboyanes y donde las dos líneas de transmisión de 230 kV de dos circuitos por fase cada una provienen del Bus de 230 kV, en Laguna Verde.

- La región donde se ubica la subestación de Tecali, ubicada en Puebla, donde llega una línea de transmisión de 400 kV de dos conductores por fase desde la CNLV. - La región donde se ubica la subestación de Puebla II, ubicada en Puebla. Aquí llega una línea de 400 kV de dos conductores por fase desde el Bus de 400 kV de la CNLV.

- La región donde se encuentra la subestación de Poza Rica II, ubicada en Veracruz, donde llega una línea de 400 kV de dos conductores por fase del Bus de 400 kV de la CNLV. Bastante aproximación y que depende del ritmo de las actividades de la sociedad en la región servida por el sistema.

SISTEMAS DE TRANSMISIÓN Y DISTRIBUCIÓN

En general, las plantas generadoras están alejadas de los centros de consumo y conectadas a éstos a través de una red de alta tensión, aunque algunas plantas generadoras pueden estar conectadas directamente al sistema de distribución. La tensión se eleva a la salida de los generadores para realizar la transmisión de energía eléctrica en forma económica y se reduce en la proximidad de los centros de consumo para alimentar el sistema de distribución a una tensión adecuada. Esta alimentación puede hacerse directamente desde la red de transmisión, reduciendo la tensión en un solo paso al nivel de distribución, o a través de un sistema de subtransmisión o repartición utilizando un nivel de tensión intermedio.


TEOREMAS DE REDES

La existencia de modelos matemáticos que describen los circuitos equivalentes de sistema eléctricos complejos, para facilitar su análisis y de los comportamientos de los elementos pasivos y activos que componen un circuito bajo el estudio de la frecuencia compleja.Nos interesa aclarar con detalle aquellas referencias que pueden confundir el análisis eléctrico substrayendo el interés por su conocimiento. Estas realidades del análisis de circuitos abundan en nuestras explicaciones y forman parte prominente del curso impartido en la academia de circuitos de ICE, convirtiendo lo que deberá ser una motivación para el aprendizaje de la teoremas eléctricos.Para calcular la Z o Y de una estructura activa la deberemos poicar retirando las fuentes de voltaje y en su lugar se colocara un corto circuito. de igual manera para las fuentes de corriente se retira y se deja en su lugar circuito abierto de la estructura se analiza en el estado que queda siendo el cálculo de Z y Y como las estructuras pasivas.Cuando la estructura se encuentra contenida dentro de una caja negra y a su vez contiene fuentes de voltaje y/o de corriente se le denomina estructura activa. Para calcularle la impedancia o admitancia interna total se aplica el teorema de Thevenin para calcular la Z y el teorema de Norton para calcular la Y.

TEOREMA DE THEVENIN

El teorema establece que cualquier red lineal activa de dos terminales de las cuales está conectada una impedancia de carga que simbolizamos ZL se puede remplazar por un circuito equivalente que consiste en una fuente de voltaje y una impedancia en serie, como se muestra, de tal manera que por la ZL circulara la misma corriente o voltaje si fuese en circuito original o el circuito equivalente de Thevenin:


Para ello será necesario calcular o encontrar la impedancia de Thevenin y de igual manera el Voltaje de Thevenin, que es precisamente la cada de voltaje que presenta en circuito cuando es retirada la impedancia de carga del circuito original.

VOLTAJE DE THEVENIN

Se retira la impedancia de carga ZL y se calcula el voltaje que se presente en las terminales a y b donde se encontraba conectada dicha impedancia de carga. A este voltaje lo conoceremos como el voltaje Vab o bien el voltaje de Thevenin Vth.

VTh = 3000j1 + 1800j2Sistema de Ecuaciones Calculando las resistencias propias y mutuas:



IMPEDANCIA DE THEVENIN

Para calcular la impedancia de Thevenin, deberemos practicar el circuito (fuente de corriente por un circuito abierto y fuente de voltaje por un corto circuito). Esto es con el no de dejar una estructura con solo elementos pasivos:Como podemos observar la resistencia de 1;8[K] se encuentra en paralelo con 3[K], que a su vez este paralelo se encuentra en serie con la de 1;8[K] y finalmente en paralelo con 5[K].


CIRCUITO EQUIVALENTE THEVENIN

Al circuito equivalente de Thevenin, le conectamos la ZL. Para el cálculo final.


TEOREMA DE NORTON

El teorema establece que cualquier red lineal activa de dos terminales de las cuales está conectada una impedancia de carga que simbolizamos ZL se puede remplazar por un circuito equivalente que consiste en una fuente de corriente y una impedancia en paralelo, como se muestra la _gura, de tal manera que por la ZL circulara la misma corriente o voltaje si fuese en circuito original o el circuito equivalente de Norton:

Para ello será necesario calcular o encontrar la impedancia de Norton y de igual manera la corriente de Norton, que es precisamente la corriente que circula a través del corto circuito que presenta en circuito cuando es retirada la impedancia de carga y es sustituida por un conductor en el circuito original.

CORRIENTE DE NORTON

Se retira la carga ZL y se calcula la corriente en las terminales a y b y ese será la Iab. Calculando las resistencias propias y mutuas del circuito, tenemos.


IMPEDANCIA DE NORTON

Para calcular la impedancia de Norton al igual que la de Thevenin deberemos pacificar el circuito (fuente de corriente por un circuito abierto y fuente de voltaje por un corto circuito). Esto es con el _n de dejar una estructura con solo elementos pasivos y separando la ZL de la estructura original:


Como podemos observar la resistencia de 1;8[K] se encuentra en paralelo con 3[K], que a su vez este paralelo se encuentra en serie con la de 1;8[K] y finalmente en paralelo con 5[K].


CIRCUITO EQUIVALENTE NORTON

Al circuito equivalente de Norton reconectamos la Resistencia de carga.


CONCLUSIONES

Todo circuito lineal activo, puede ser reducido por un circuito equivalente serie(Thevenin) o paralelo (Norton).


BIPUERTOS

Un bipuerto es una red que tiene dos pares de terminales. En el Symbulator, se pueden simular los bipuertos como elementos de circuito, asumiendo que:

la red está compuesta sólo de elementos lineales, la red no contiene fuentes independientes (puede contener fuentes

dependientes), los dos nodos superiores de las terminales están conectados a nodos distintos

del circuito los dos nodos inferiores de las terminales se consideran conectadas al nodo de

referencia, 0El Symbulator acepta bipuertos con parámetros de 6 tipos diferentes:

Parámetros de admitancia

Parámetros de impedancia

Parámetros híbridos

Parámetros de ganancia

Parámetros de transmisión

Parámetros de transmisión inversa

Hay tres procedimientos que se pueden realizar en el Symbulator, relacionados con los bipuertos:

Simular circuitos que contienen bipuertos. Para ello, se usan los bipuertos como elementos de circuito.

Encontrar las ganancias en un bipuerto. Para ello, se usa la herramienta gain tras una simulación de un circuito.

Encontrar el bipuerto equivalente de una red. Para ello, se usa la herramienta port y la descripción de una red.

En este capítulo aprenderemos todo lo relacionado con los bipuertos en el Symbulator.

NOTACIÓN

En el caso de los bipuertos, la mínima información necesaria para describirlos por completo es la siguiente:

1. Identificación. Las letras que identifican a los diferentes bipuertos son:

Parámetros de impedancia, la letra z Parámetros de admitancia, la letra y Parámetros híbridos, la letra h Parámetros de ganancia, la letra g


Parámetros de transmisión, la letra a Parámetros de transmisión inversa, la letra b

2. Nombre. Es válido cualquier nombre que empiece con la letra que identifica al bipuerto que se quiere describir, y que no sea una variable reservada, como aquellas listadas en el Manual de Usuario y el punto 1.8.5 de este texto. Ejemplo: zc y yc son variables reservadas que no pueden ser usadas como nombres.

3. Nodos. Un bipuerto tiene cuatro puntos de conexión, dos superiores y dos inferiores. Para una simulación en el Symbulator, los dos inferiores se asumen siempre conectados al nodo de referencia. Los superiores deben estar conectados a nodos distintos entre sí. Sólo es necesario darle al simulador los nombres de estos dos nodos superiores a los cuales está conectado el bipuerto.

Así, los bipuertos se definen como se muestra a continuación:

letranombre, nodo 1, nodo 2

Según sea necesario, se agregan uno o dos ceros al final.

4. Valor de los parámetros. Los bipuertos son elementos únicos, porque requieren algo que ningún otro elemento requiere en el Symbulator: variables almacenadas previas a la simulación. Cada bipuerto que se simule como parte de un circuito, requiere que los valores de sus 4 parámetros estén almacenados en 4 variables, una para cada parámetro, de la siguiente forma:

Parámetro 11, en la variable letranombre11




Debe tenerse la precaución de introducir estos valor en unidades enteras, y no en sus múltiplos. Esto significa que no se deben introducir en milis (m), micros (), kilos (k), megas (M), etc.

RESPUESTAS RELACIONADASEn el caso de un bipuerto, se entregan dos respuestas relacionadas. Se trata de dos corrientes: la corriente que entra al bipuerto por el primer nodo, y la corriente que entra por el segundo nodo. Recuérdese que estos dos nodos son los superiores, pues el inferior en ambos lados es el nodo de referencia. Estas corrientes se almacenan en variables llamadas iletranombre NODO, donde letranombre es el nombre del bipuerto, y NODO es


el nombre del nodo. Así, para un bipuerto que se llame yp, y que esté conectada a los nodos 1 y 2, las respuestas relacionadas serán iyp1 e iyp2. Recuérdese que ambas corrientes se consideran entrando al bipuerto por los nodos superiores.

Veamos nuestro primer problema de bipuertos.

Problema N 039

Planteamiento. En el siguiente circuito, los parámetros del bipuerto mostrado son zp11=20/3, zp12=1/3, zp21=2500/3, zp22=200/3. Encuentre: a) el voltaje en el nodo de carga y las corrientes que entran al bipuerto por ambos extremos, b) la impedancia de entrada y las ganancias de corriente, voltaje y potencia del bipuerto, c) la impedancia de salida de la red, vista por la carga, y d) los equivalentes de este bipuerto en los otros cinco tipos de parámetros.

Figura 55. Circuito para el Problema N° 039.

Solución:

Este problema, especialmente diseñado para inaugurar nuestra experiencia con los bipuertos, será resuelto en cuatro partes.

La pregunta a) será respondida simulando el circuito usando un análisis de corriente directa. Llamaremos al bipuerto zp. Primero, definimos las variables que describen los parámetros del bipuerto.

20/3zp11:1/3zp12:2500/3zp21:200/3zp22

Tras insertar esta línea y presionar , veremos en el área de historia el valor del último de estos parámetros como respuesta a nuestro comando. Lo que a nosotros nos interesa es que se almacenaron los valores en las variables. Nótese que usamos el operador : y el comando . Una vez que están almacenadas las variables de los parámetros del bipuerto, procedemos a ordenar la simulación. A continuación, la descripción que utilizamos:

sq\dc("e1,1,0,1;r1,1,2,2;r2,3,0,20;zp,2,3,0")

Nótese que, como la descripción del bipuerto sólo require tres términos, rellenamos con un cero para mantener la simetría. Presionamos . Tras las frases, aparece Done. El problema nos ha preguntado el voltaje en el nodo de carga y las corrientes que entran al bipuerto por ambos extremos. Obtenemos


estos valores así: el voltaje en el nodo de carga lo obtenemos con v3, y vale 2500/71 voltios; la corriente que entra al bipuerto por la izquierda la obtenemos con izp2, y vale 13/71 amperios; y la corriente que entra al bipuerto por la derecha la obtenemos con izp3, y vale -125/71 amperios. El signo negativo de esta última corriente nos indica que la corriente realmente está saliendo del bipuerto por la derecha, y no entrando.

TEORÍA BÁSICA

Una aplicación que se encuentra frecuentemente en la práctica es el uso de un dispositivo que sirva para transmitir una señal de información. Dicho dispositivo al cual denominaremos circuito de dos puertos o simplemente bipuerto, además de transmitir la señal, algunas veces, la debe amplificar, filtrar o modificar de alguna forma, otras veces también se utiliza para proporcionar un acoplamiento entre la señal de entrada y la carga. La configuración general de un bipuerto se muestra en la Fig. 1(a), en el que por conveniencia el subíndice 1 se asigna a las variables del puerto de entrada y el subíndice 2 a las variables del puerto de salida.

Como la configuración general del bipuerto tiene cuatro terminales, es teóricamente posible definir una variable para cada una de las corrientes en cada terminal. Para eliminar esta posibilidad, cada puerto de la red debe satisfacer la siguiente la condición: la corriente que entra a una de las terminales de un puerto es, para todo tiempo, igual a la corriente que sale por la otra terminal del mismo puerto; tal como muestra la Fig. 1.(b). Puesto que ahora tenemos cuatro variables, I1, I2, V1 y V2, en lugar de las dos que se requieren para describir una red de un puerto, ahora se necesitan dos ecuaciones para relacionarlas. Esas ecuaciones tienen la siguiente forma general.


U1(s) = k11(s)W1(s) + k12(s)W2(s)

U2(s) = k21(s)W1(s) + k22(s)W2(s)

Donde las variables U1(s), U2(s), W1(s) y W2(s) pueden ser cualquiera de las variables I1(s), I2(s), V1(s) o V2(s). Los kij(s) se denominan parámetros de red y son funciones de red que las relacionan. Los posibles valores que pueden tomar U1(s) y U2(s) se muestran en la Tabla I y son el resultado de las combinaciones de cuatro elementos tomados de dos en dos. Una vez que U1(s) y U2(s) se especifican, W1(s) y W2(s) quedan determinados.

Cada conjunto tiene propiedades específicas que lo hacen diferente de cualquier otro y adecuado para aplicarlo a ciertas configuraciones de redes. Cabe señalar que conocido un conjunto de parámetros es posible encontrar otro, si es que éste existe. Parámetros z o de impedancia de circuito abierto. En esta sección consideraremos el primer caso de la Tabla I; V1(s) y V2(s) para las variables U1(s) y U2(s); e I1(s) e I2(s) para W1(s) y W2(s); quedando la Ec. (1) de la siguiente forma:

V1(s) = z11(s)I1(s) + z12(s)I2(s)

V2(s) = z21(s)I1(s) + z22(s)I2(s)

ya que los miembros de lado izquierdo del conjunto resultante tienen dimensiones de voltaje y las variables W1(s) y W2(s) tienen dimensiones de corriente; los parámetros kij(s) tienen dimensiones de impedancia. La Ec. (2) puede escribirse en forma matricial como:

V(s) = Z(s)I(s)

donde la matriz Z(s) se denomina matriz de parámetros z y sus elementos zij(s) parámetros z.


Para una red dada, los parámetros z pueden determinarse aplicando un conjunto de entradas de prueba a la red. Para ver esto, considere la primera ecuación de la Ec. (2); si el puerto de salida de la red está en circuito abierto, entonces I2(s) = 0, quedando la ecuación:

Recordando que las funciones de red se definen como (transformada de la salida)/(transformada de la entrada), la Ec. (4) indica que debe utilizarse como entrada una corriente en el puerto de entrada y considerarse como respuesta el voltaje en el mismo puerto. Por lo que el parámetro z11(s) queda definido por la relación:

Un procedimiento similar puede emplearse para calcular z21(s); por lo que

Los otros dos parámetros zij, restantes, pueden encontrarse aplicando una corriente en el otro puerto. En la Fig. 2 se muestran las condiciones necesarias para determinar dichos parámetros.


Una propiedad importante de los parámetros es que si para una red dada son conocidos, puede encontrarse cualquier función de red a partir de ellos. Por ejemplo, considere el problema de calcular la función de transferencia de voltaje de circuito abierto. La condición de circuito abierto implica que I2(s) = 0, por lo que de la Ec. (2) se tiene

V1(s) = z11(s)I1(s

V2(s) = z21(s)I1(s)de donde

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