Curs 5: Conexitate

Curs 5: ConexitateTeoria grafurilor

Radu Dumbraveanu

Universitatea de Stat “A. Russo” din Balt, iFacultatea de S, tiint,e Reale

Aceasta prezentare este pusa la dispozitie sub Licenta Atribuire -Distribuire-ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptata (CC BY-SA 3.0)

Balt, i, 2013

R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 1 / 1

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.ro

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.ro

Mult, imi separatoare

Fiind dat un graf G, o mult, ime U ⊆ V (G) se numes, te mult, imeseparatoare de vırfuri (sau mult, ime de articulare) daca G −U are maimulte componenete conexe decıt G.

Daca se cunoas, te ca |U | = k atunci U se numes, te k-mult, imeseparatoare de vırfuri (sau k-mult, ime de articulare).

Daca k = 1, adica U = {v}, atunci v se numes, te vırf de articulare.

















Vırfurile albe (graful din stınga) formeaza o 4-mult, ime de articulare. Suprimındaceste vırfuri obt, inem un graf (din dreapta) cu patru componenet conexe.







Suprimarea vırfului alb (stınga) rezulta ıntr-un graf (dreapta) cu opt componenteconexe. Cu s, apte componente mai mult decıt cel din stınga. Vırful alb este un

vırf de articulare.



As, adar printre grafurile conexe sınt grafuri care pot fi “rupte” doar prinsuprimarea unui vırf sau a doua vırfuri, iar ın altele pentru a le “rupe” estenevoie de a ınlatura mai multe vırfuri.

Un fel de “grad al conexitat, ii”.

Not, iunea de k-conexitate












k-conexitate

Un graf G este k-conex, k ∈ N, daca:

I |G| > k;I G −U este conex pentru orice U ⊆ V cu |U | < k.

Cu alte cuvinte un graf este k-conex daca are mai mult de k vırfuri s, i nuexista mult, imi de articulare cu mai put, in de k vırfuri.


k-conexitate

Un graf G este k-conex, k ∈ N, daca:

I |G| > k;I G −U este conex pentru orice U ⊆ V cu |U | < k.

Cu alte cuvinte un graf este k-conex daca are mai mult de k vırfuri s, i nuexista mult, imi de articulare cu mai put, in de k vırfuri.


Exemplu: graful W9

s

tu

v

w

xy

z

p

I W9 Cont, ine vırfuri de articulare?I Nu;I Deci este 2-conex.

I W9 Cont, ine 2-mult, imi de articulare?I Nu;I Deci este 3-conex.

I W9 Cont, ine 3-mult, imi de articulare?I Da, de exemplu, {p, v, t};I Deci nu este 4-conex.


Exemplu: graful W9

s

tu

v

w

xy

z

p





Exemplu: graful W9

s

tu

v

w

xy

z

p





Exemplu: graful W9

s

tu

v

w

xy

z

p





Exemplu: graful W9

s

tu

v

w

xy

z

p





Exemplu: graful W9

s

tu

v

w

xy

z

p





Exemplu: graful W9

s

tu

v

w

xy

z

p





Exemplu: graful W9

s

tu

v

w

xy

z

p





Exemplu: graful W9

s

tu

v

w

xy

z

p





W13 este 3-conex, dar nu s, i 4-conex C7 este 2-conex, dar nu s, i 3-conex

S9 este ???-conex, dar nu s, i ???-conex K9 este ???-conex, dar nu s, i ???-conex











Exemple extremale

Ce putem spune despre Kn?Dar despre Nn?

Exista grafuri 0-conexe?Care grafuri sınt 1-conexe?

Pentru a raspunde aceste ıntrebari vom considera negat, ia condit, iilor dindefinit, ia k-conexitat, ii s, i anume:

Un graf G nu este k-conex daca:

I |G| ≤ k sauI exista U ⊆ V ıncıt |U | < k s, i G −U nu este conex.


Exemple extremale







Exemple extremale







Exemple extremale







Exemple extremale







Exemple extremale







Exemple extremale

I Kn este este 1-conex, 2-conex, ... s, i (n − 1)-conex;I Insa Kn nu este n-conex deoarce |Kn| 6> n.

I Sn , n ≥ 2, este 1-conex;I Sn nu este 2-conex ıntrucıt are vırfuri de articulare (de fapt doar unul).

I N1 este 0-conex (ıncercat, i sa utilizat, i negat, ia definit, iei pentru a arataca nu este 0-conex);

I N1 nu este 1-conex.I Nn este 0-conex;I Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.


Exemple extremale






Exemple extremale






Exemple extremale






Exemple extremale






Exemple extremale






Exemple extremale






Exemple extremale






Exemple extremale; Concluzii

I Orice graf conex netrivial este 1-conex.I Un graf netrivial este 1-conex doar daca este conex.

I Orice graf neconex s, i nevid este 0-conex.I Orice graf nevid este 0-conex.














Numar de conexiune

Cel mai mare numar k ∈ N pentru care G este k-conex se numes, teconexitatea (sau numar de conexiune a) grafului s, i se noteaza prink(G).

As, adar:

I k(Kn) = n − 1;I k(G) = 0 daca s, i numai daca G nu este conex sau |G| ≤ 1;I k(G) = 1 daca G are vırfuri de articulare;I k(G) ≥ 2 daca G nua re vırfuri de articulare.


Numar de conexiune


As, adar:



Numar de conexiune


As, adar:



Numar de conexiune


As, adar:



Numar de conexiune


As, adar:




Fiind dat un graf G, o mult, ime F ⊆ E(G) se numes, te mult, imeseparatoare de muchii daca G − F are mai multe componenete conexedecıt G.

Daca se cunoas, te ca |F | = k atunci F se numes, te k-mult, imeseparatoare de muchii.

Daca k = 1, adica F = {e}, atunci e se numes, te punte.

















λ-muchie-conexitate

Un graf G se numes, te λ-muchie-conex, λ ∈ N, daca:

I |G| > 1;I G − F este conex pentru orice F ⊆ E cu |F | < λ.

Cu alte cuvinte G este λ-muchie-conex daca nu este trivial s, i nu cont, inemult, imi separatoare de muchii din mai put, in de λ elemente.


λ-muchie-conexitate

Un graf G se numes, te λ-muchie-conex, λ ∈ N, daca:

I |G| > 1;I G − F este conex pentru orice F ⊆ E cu |F | < λ.

Cu alte cuvinte G este λ-muchie-conex daca nu este trivial s, i nu cont, inemult, imi separatoare de muchii din mai put, in de λ elemente.


Exemple

fe


Exemple

fe


Exemple

fe

Graf 2-muchie-conex (stınga), dar nu s, i 3-muchie-conex pentru ca dupasuprimarea muchiilor e s, i f devine neconex


Numar de muchie-conexiune

Cel mai mare numar λ ∈ N pentru care G este λ-muchie-conex se numes, tenumar de muchie-conexiune a grafului G s, i se noteaza prin λ(G) (sauk ′(G)).

Din perspectiva “conexitat, ii muchie” conexitatea simpla se mai numes, te“conexitatea vırf”.


Numar de muchie-conexiune

Cel mai mare numar λ ∈ N pentru care G este λ-muchie-conex se numes, tenumar de muchie-conexiune a grafului G s, i se noteaza prin λ(G) (sauk ′(G)).

Din perspectiva “conexitat, ii muchie” conexitatea simpla se mai numes, te“conexitatea vırf”.


Exemple

λ(G) = 2, k(G) = 3


Exemple

λ(G) = 2, k(G) = 3


k(G) vs. λ(G)

TeoremaPentru orice graf G avem k(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G)

Este evident ca λ(G) ≤ δ(G); daca la un vırf de gradul δ(G) ınlaturamtoate muchiile incidente cu acesta numarul de componente conexe vacres, te cu 1.


k(G) vs. λ(G)

TeoremaPentru orice graf G avem k(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G)

Este evident ca λ(G) ≤ δ(G); daca la un vırf de gradul δ(G) ınlaturamtoate muchiile incidente cu acesta numarul de componente conexe vacres, te cu 1.


Grafuri 2-conexe

In cazul cınd un graf nu este conex acesta este format din mai multecomponente conexe.

Vrem sa extindem not, iunea de componenta conexa pentru grafurile carenu-s 2-conexe.

Adica, daca un graf nu este 2-conex atunci el consta din mai multe“componente 2-conexe”.

Analogul este conceptul de bloc:

Un bloc al unui graf este un subgraf maximal conex s, i fara vırfuri dearticulare.

Punctele de legatura ıntre blocurile unui graf sınt vırfurile de articulare.


Grafuri 2-conexe








Grafuri 2-conexe








Grafuri 2-conexe








Grafuri 2-conexe








Grafuri 2-conexe








Exemplu

Blocurile acestui graf sınt:


Exemplu



Exemplu



Blocuri

TeoremaPentru orice graf G orice cilcu part, ine ın ıntregime unui bloc.

Demonstratie.Orice ciclu este un subgraf conex s, i fara vırfuri de articulare.Deci apart, ine unui subgraf maximal cu acesta proprietate.Astfel de subgrafuri se numesc blocuri.


Blocuri

TeoremaPentru orice graf G orice cilcu part, ine ın ıntregime unui bloc.

Demonstratie.Orice ciclu este un subgraf conex s, i fara vırfuri de articulare.Deci apart, ine unui subgraf maximal cu acesta proprietate.Astfel de subgrafuri se numesc blocuri.


Blocuri

TeoremaFie G un graf conex cu cel put, in 3 vırfuri. Atunci urmatoarele sıntechivalente:

1. G este un bloc;2. Orice doua vırfuri din G apart, in unui ciclu comun;3. Orice vırf s, i muchie din G apart, in unui ciclu comun;4. Orice doua muchii din G apart, in unui ciclu comun;


Ilustrare


Teoremele Menger

Doua sau mai multe lant, uri se numesc independente daca au cel multdoua vırfuri comune - capetele.

Teorema (Menger 1927)[?] Fie G = (V ,E) un graf s, i U ,W ⊆ V . Atunci numarul minim devırfuri care separa U s, i W ın G este egal cu numarul maxim de(U ,W )-lant, uri independente.

Teorema (Menger 1932)[?] Un graf G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex daca s, i numai daca ıntre oricedoua vırfuri exista cel put, in doua lant, uri independente.


Teoremele Menger





Teoremele Menger





Demonstratie.Suficient, a. Daca ıntre orice doua vırfuri ale lui G exista cel put, in doualant, uri independente atunci nici un vırf al lui G nu poate fi vırf dearticulare. Deci G este 2-conex.Necesitatea. Fie G un graf 2-conex. Vom demonstra teorema prin induct, iepe distant, a d(v,w) dintre doua vırfuri v s, i w.Fie d(v,w) = 1, ıntrucıt G este 2-conex reiese ca v s, i w nu pot fi vırfuride articulare s, i evident muchia {v,w} nu poate fi punte, ceea cepresupune ca exista un ciclu C ın G care cont, ine muchia {v,w}. Iata celedoua lant, uri independente cautate: v,w s, i vCw.Presupunem ca teorema este adevarata pentru orice doua vırfuri cudistant, a mai mica decıt k ∈ N. Fie v s, i w doua vırfuri cu d(v,w) ≥ 2.Consideram un (v,w)-lant, de lungimea k s, i fie x un vırf care ıl precede pew ın acest lant, . Intrucıt d(v, x) < k, din ipoteza induct, iei, pentru acestedoua vırfuri exista doua lant, uri independente P s, i Q. Pe de alta parte,ıntrucıt G este 2-conex, G − x este conex s, i respectiv cont, ine un(v,w)-lant, P ′.


CorolarDaca G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex atunci pentru orice doua vırfuriexista un ciclu care le cont, ine.

CorolarDaca G este un bloc cu |G| = n ≥ 3 atunci pentru orice doua muchiiexista un ciclu care le cont, ine.

Demonstratie.Fie e1 s, i e2 doua muchii. Subdividem aceste doua muchii s, i notam vırfurilenoi prin v1 s, i v2. Graful nou la fel este bloc s, i deci putem aplica corolarulde mai sus. Adica exista un cilcu care cont, ine aceste doua vırfuri. Daraceste doua vırfuri nu alt, i vecini decıt extremitat, ile mucgiilor e1 s, i e2. Decis, i ele paart, in ciclului.










Teorema Menger; Versiunea globala

Teorema (Menger-Whitney)Daca |G| ≥ k + 1 este k-conex daca s, i numai daca orice doua vırfuri sıntunite prin cel put, in k lant, uri indepenedente.


Education

Curs 5: Conexitate