Demidovich Solucionario - Eduardo Espinoza Ramos - Tomo III

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ANALISIS MATEMATICO IIISOLUCIONARIO DEMIDOVICH

TOMO III

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1

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EDUARDO ESPINOZA RAMOS• :r -vrv¿PVMj{vr; yvai? -*-?*>■1 r1 - > - v r * - ' rr\' 'VK/rgr; ,-•>? '■" '> -■ r ~1 ’ ' ■ r < & -■ t : . *V !•• ;<• “*« r

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IMPRESO EN EL PERÚ11 - 10 - 2010

5 /0 EDICIÓN

DERECHOS RESERVADOS. KMB WVWIOKmHmWmKtf f lS K 33wKVM««»irMpBHBnnW SS5?5BSSB8SS8B85SSSS!BBBB3

ESTE LIBRO NO PUEDE REPRODUCIRSE TOTAL Ó PARCIALMENTE POR NINGÚN MÉTODO GRÁFICO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO, INCLUYENDO LOS SISTEMAS DE FOTOCOPIA, REGISTROS MAGNÉTICOS O DE ALIMENTACIÓN DE DATOS, SIN EXPRESO CONSENTIMIENTO DEL AUTOR Y EDITOR.

RUCLey de Derechos del Autor Registro comercial Escritura PublicaHecho el deposito legal en la Bilblioteca Nacional del Perú con el número

N° 20520372122 N °13714 N °10716 N° 4484

N° 2007 - 12592

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PROLOGO

Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los

conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más

alto sitial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto

nace aun antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante como

la vida misma.

El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que

estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes

conquistas.

La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnología a

descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este tercer

tomo, en su cuarta edición del solucionarlo del libro problemas y ejercicios de análisis

matemático por B. Demidovich, el planteo fácil a los diversos ejercicios que se

presentan, además se incluye una colección de gráficos los que ayudarán eficazmente a

la captación de los diferentes problemas.

Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis

publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su

avance y desarrollo intelectual.

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

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Este libro lo dedico a mis hijos:

RONALD, JORGE y DIANA

que Dios ilumine sus caminos para que

puedan ser guías de su prójimo

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6.1.6.2.6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.6.9.

6.10.

6.11. 6 . 12.

6.13.

6.14.

6.15.

6.16.

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Conceptos Fundamentales.

Continuidad.

Derivadas Parciales.

Diferencial Total de una Función.

Derivación de Funciones Compuestas.

Derivada de una Función dada y Gradiente de una Función.

Derivadas y Diferenciales de Ordenes Superiores.

Integración de Diferenciales Exactas.

Derivaciones de Funciones Implícitas.

Cambio de Variables.

Plano Tangente y Normal a una Superficie.

Formula de Taylor para las Funciones de Varias Variables.

Extremo de una Función de Varias Variables.

Problemas de Determinación de los Máximos y Mínimos

Absolutos de las Funciones.

Puntos Singulares de las Curvas Planas.

Envolvente.

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242

246

257

277

290

323

335

345

362

373

384

420

435

479

493

%

Longitud de un Arco de una Curva en el Espacio.

Función Vectorial de un Argumento Escalar.

Triedro Intrínseco de una Curva en el Espacio.

Curvatura de Flexión y de Torsión de una Curva en el Espacio.

INTEGR VLES MULTIPLES Y CURVILINEAS

Integrales Dobles en Coordenadas Rectangulares.

Cambios de Variables en la Integral Doble.r

Calculo de Areas de Figuras Planas.

Calculo de Volúmenes.1 ■’ » 7 i 1 M i . * ' / ; í i- ■ t

/

Calculo de Areas de Superficies.

Aplicaciones de la Integral Doble a la Mecánica.

Integrales Triples.

Integrales Impropias, Dependientes de un Parámetro. Integrales

Impropias Múltiples.

Integrales Curvilíneas.

Integrales de Superficie.

Formula de Ostrogradski - Gauss.

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Funciones de Varias Variables 1

FUNCIONESDE VARIAS VARIABLES

6.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

( 7 ) DEFINICIÓN.- A una función de dos variables x e y se designa porz = f(x,y) donde las variables x e y se llaman

argumentos o variables independientes, en forma similar para el caso de

tres variables.

2 J CONCEPTOS DE EXISTENCIA DE LA FUNCION.-

Se entiende por campo de existencia de la función z = f(x,y) al conjunto de puntos (x,y) del plano XY que determinan la función dada.

( ? ) LINEAS Y SUPERFICIES DE NIVEL DE LAS FUNCIONES.-

La línea de nivel de la función z = f(x,y) es la línea f(x,y) = c del plano XY, en cuyos puntos de la función toma un mismo valor z = c.

Se entiende por superficie de nivel de una función de tres variables u = f(x,y,z) a la superficie f(x,y,z) = c, en cuyos puntos la función toma un valor constante u = c.

1782 Expresar el volumen V de una pirámide cuadrangular regular en función de Su• • , ; i ' ; • ; . 1 • ' ' , 1 ' ■ ' ’ *

altura x y de su arista y.Desarrollo

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2 Eduardo Espinoza Ramos

1783

Por Pitágoras se tiene: 4b2 = 2a2 => a 2 - 2b2

En el triángulo ABC, se tiene: y 2 = b 2 + x 2 => b2 = y 2 - x2

a 2 2 — = y - x2

a 2 = 2 ( y 2 - x 2)

Como V = ^(area basé)x(altura) , en donde

Area base = aA = 2( y 2 - x 2) y la altura es x

Luego F = j 2 ( y 2 - x 2)x = -^ - (y2 - x 2) r r 2x 2 2 \V = - ( y 2 - x ~)

Expresar el área S de la superficie lateral de un tronco de pirámide regular, en

función de los lados x e y de las bases y de la altura z.

Desarrollo

Haremos la representación gráfica de acuerdo a los datos^del problema.

En el A ABC se tiene: a 2 = ( x - y ) 2 + z 2 •••(!)

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1784

2 2 x - y 2por Pitágoras se tiene: h - a - (------- ) (2)

ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

, j 4 - ! + 3(. t - , , ,h = — de donde

h = + 3;) _ además área de la superficie laterales:

x *+■ vS = 6A¡ donde Ax = -------./*, que al reemplazar h se tiene:

S =6(x + y) y]4z 2 +3(.x->>)i

S = - ( x + y)y¡4z2 +3 ( x - y ) ‘

Hallar f A ,3) y f( 1 1 ) si f ( x , y ) = xy + -2 y

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1785

1786

Desarrollo

1

Como f ( x , y ) = xy + - => / ( i , 3 ) = (I)(3 ) + | = | + i = |y 2 2. 3 2 6 3

2 2Hallar f(x,y), f(-x,-y), / ( - , 2 ) , - si f ( x , y) = X y

x y f ( x , y ) 2

Desarrollo

f , , X 2 - y 2 _ ( - x ) 2 x2 - y 2f ( x , y ) = — ------- => f ( - x , - y ) = — ~ = —i------2 xy 2(- x ) { - y )

1 1

f ( L i ) = i L _x ' y 2(—)(—) 2xy

x y

, x2 - y 2 1 2xyf ( x , y ) = — => — — ~ = ~ — 7

2xy / ( x ,y ) x - /

Hallar los valores que toma la función f(x,y) = 1 + x - y en los puntos de la2 r 2parábola y = x y construir la gráfica de la función F(x) = f ( x 9x ) .

vvDesarrollo

Se tiene que f(x,y) = 1 + x - y entonces

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1787

1788

F(x) = / ( x ,x “) = 1 + x - x => y - l + x — xJ

5 1 2ahora completamos cuadrados se tiene y - — = - ( x - —)

que nos representa una parábola de vértice V(— ) cuya gráfica es:2 4

4 2 2 2 4Hallar el valor de la función z = en los puntos de la

i 2 21 - x - y

circunferencia x2 + y 2 = R2

Desarrollo

Como z = f { x , y ) x4 + 2 x2y 2 + y 4 (x2 + y 2)21 ~ x2 - y 2 l ~ ( x 2 + y 2)

7 9 9 í>Como x + y = R entonces z = / ( x ,y ) =R¿

1 - R '

n 2Determinar f(x) si / ( —) = — , (xy > 0)

x y

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1789

1790

Desarrollo

K -)2 + 1 =y ii1

A 2+ i

r , x I 1 , Vl + X'/ ( * ) = ./— + ! = Vi / w = Tí+ x'X

Hallar f(x,y) si f ( x + y , x - y ) = xy + y'

Desarrollo

Haciendox + y = u x - y - u

x =u + v ^2~~ u - v

y =

„ \ r , \ U + V U~ V , U~ V\2Como f ( x + y , x - y ) = f ( u , v ) = —— . - y - + ( - ^ —)

u2 - v 2 u2 2uv v2 w2 wv u2 - u v_ l ---------------------------------------------------------------------

4 4 4 4 2 2

Sea z = yfy + / ( Vx -1 ) . Determinar las funciones f y z si z = x para y - 1

Desarrollo

Como z = yfy + / ( Vx -1 ) y z = x para y = 1NT

Entonces x = l + / ( V x - l ) => / ( V x - l ) = x - l

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Sea U = yfx -1 => yfx =U + 1 => X = ( u + 1)2

/ (Vx - 1 ) = / ( w ) = ( u + 1)2 - 1 = u 2 + 2m / (x) = x2 + 2x

como / ( V x - l ) = x - l entonces z = x - \ + yfy

1791 Sea z = x f (—). Determinar las funciones f y z, si z = >/l + y 2 , para x = 1.x

Desarrollo

Como z = x f ( —) => \J\ + y 2 = / ( y ) , donde z = >Jl + y 2 , para x = 1x

Como z = x f '(—) y / (y) = >jl + y 2 entoncesx

/ ( - ) = J l + ( - ) 2 = ~ ~ ~ de donde z = x f ( - ) = ^ - + - ~X V x I X | X | X |

í v.. z = x - -----------| x|

1792 Hallar y representar los campos de existencia de las siguientes funciones:

a) z = y j \ - x 2 - y 2Desarrollo

Para que z = y j l - x 2 - y 2 esté bien definida debe cumplirse quei i # y * > '' f *4 * i-i' * r. " "

1 - x2 - y 2 > 0 de donde x2 + y 2 < 1

Luego su campo de existencia es el disco de radio 1.

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b) z = 1 +Desarrollo

Para que z = 1 + y ¡ - { x - y ) 2 esté bien definida debe cumplirse que

- ( x - y ) 2 > 0 de donde (x - y ) 2 < 0 como (x - y ) 2 < 0 => y = x

Luego y = x es el campo de existencia de la función z = 1 + >/-(* - y y

c) z = In (x + y)Desarrollo

Para que z = ln (x + y) esté bien definida debe cumplirse x + y > 0, que nos representa un semi - plano que se encuentra sobre la recta x + y > 0

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d) z = x + árceos yDesarrollo

Sea w = árceos y => eos w = y, pero como coseno varia entre -1 y 1 es

decir para este caso - 1 < y < 1 y la x toma todos los valores reales.

Luego el campo de existencia nos representa una faja comprendida entre

- i y 1Y -

1

, i .. \ V , f t * t -~l. ' Y * • /. •' • * J y f V

0 X

- 1

e) z = V T -x2 + y ] \ - y 2Desarrollo

z = y j \ - x 2 + y j \ - y 2 está bien definida si 1 - x2 > 0 a 1 - y 2 > 0

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donde x2 < 1 a y 2 < 1 =í> un cuadrado

Y 4

-1 < x < 1 a -1 < y < 1, que nos representa

- i

« ' ..Vi i / ’t-tH . .... > ■ -V ' ................. - • ;x: • A-'a t. •........

i* .

0 y i:

’:;VV í;Vi1 x

-1

f) z = \¡(x2 + y 2 - a 2)(2a2 - x 2 - y 2) , (a > 0)

Desarrollo

z = f(x,y) está bien definida si se cumple que:

(x2 + y 2 - a 2 )(2a2 - x2 - y 2) > 0 de donde se tiene:

(x2 + y 2 - a 2 > 0 a 2al - x ¿ - y ¿ > 0) v (xz + / - a ¿ < 0 a 2aL - x z - y A < 0)2 2 2 2 2 2

(x2 + y 2 > a 2 a x2 + y 2 < 2 a2) v (x2 + y 2 a 2 a2 < x 2 + y 2)

{a2 < x 2 + y 2 < 2 a z ) v (2az < xz + y z < a z )2 ^ 2 . .2 ^ 2

a 2 < x2 + y 2 < 2 a2 v (p => a 2 < x2 + y 2 < 2a

9 9 9 9Luego a < x + y < 2¿r nos representa su anillo.

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i) z = J y senxDesarrollo

z = yjy sen x está definida si y sen x > 0

” .1 • • • '...................■............... -i - V. •' [.! ‘ •*, '• ¿ i '

como y sen x > 0 <=> (y > 0 a sen x > 0) v (y < 0 a sen x < 0)

<=> (y > 0 a 2nn < x < (2n + 1 )7i) v

(y < 0 a (2n + 1)ti < x < (2n + 2)n

i

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j) z = ln(x + y)Desarrollo

La función z = ln(x + y) está definida si jc + y > 0 que nos representa2

la parte del plano por encima de la parábola y - - x

/ x ~ y xk) z = arctg{------— )1 + 0

Desarrollo

/ x—y x x~yComo z = arctg{- T- T) => t g z =1 + x 2y 2 1 + x2y 2

^ • 7Ü 7TComo tg z vana e n tre y — se tiene:6 2 2

n x - y n , 2 2 ^ *— < y —y < — y como 1 + x y > 0 entonces22 i + x y

— (\ + x1y 1) < x - y < —{\ + x1y 2) de donde 2 2

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1) z =

ambas desigualdades son validas para tos x , y e R

Luego el campo de existencia es todo el plano XY

1

La función z =1

2 2 + /

Desarrollo

está definida para todo x,y e R que cumple

x2 + y 2 * 0 es decir que el campo de existencia es R2 menos el origen

m) z =y jy -y fx

Desarrollo

La función z = .................. está definida si y - V * > 0 a x > 0 de donde

y > \ f x a x > 0 que nos representa la parte del plano sobre la rama de

la parábola y = J x y a la derecha del eje Y sin incluirlo.

n) z = h —x — \ y

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Desarrollo

La función z = —-— f — está definida para x - 1 * 0 a y ^ 0, es decirx - \ y

que el campo de existencia es todos los puntos del plano menos los puntos de las rectas x = 1 a y = 0

, *j • i!1' ín;/ v ' ’ .V *Y '

■ j; 9bol . |

i -%; ?$'m-M'swx'j ■'>0

i

, ..... '. ‘i • •' : ' • ,r: : ; •;

yomuzi u;Á A: ;

ip. , i i i r \n ’ V-: ' "í ■

L A r Oa ~ ?<:’. .. ' • ■%

• ' : .■' . ' ... •

X'

X V

o) z = yjsen(x2 + y 2)Desarrollo

La función z = yjsen(x2 + y 2) está definida para sen(x2 + y 2) > 0

de donde 2nn < x 2 + y 2 < (2n +1 , n e Zk

Y

+

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1793 Hallar los campos de existencia de las siguientes funciones de tres argumentos.

a) ti - Vx + yjy + VzDesarrollo

La función u = Vx + J y + Vz está definida si x > 0 a y > 0 a z > 0

que nos representa el primer octante incluyendo la frontera.

b) u = ln (xyz)Desarrollo

La función u = ln (xyz) está definida si xyz > 0

De donde ( x > 0 a y > 0 a z > 0 ) v (x < 0 a y < 0 a z > 0 ) v

( x < 0 a y > 0 a z < 0) v ( x > 0 a y < 0 a z < 0 )

Que nos representa el 1er, 3er, 6to y 8vo octante sin incluir la frontera.

c) u = arcsec x + arcsen y + arcsen z

Desarrollo

Como la función seno varia entre -1 y 1 se tiene:

-1 < x < 1 a -1 < y < 1 a -1 < x < 1, que nos representa un cubo.

d ) U = yJ 1 - X 2 - - - 2 ~2yDesarrollo

La función u = y j l - x 2 - y 2 - z 2 está definida si:

1 - x2 - y 2 - z 2 > 0 ==> x2 - fy2 + z 2 < l que nos representa el interior

de una esfera incluido el borde.

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1794 Construir las líneas de nivel de las funciones que se dan a continuación y averiguar el carácter de las superficies representadas por dichas funciones:

a) z = x + y

Desarrollo

Hacemos z = c donde c = 0, ±1, ±2,...

Luego x + y = c nos representa rectas, que vienen hacer líneas de nivel.

b) z = x2 + y 1Desarrollo

2 2 \En forma similar que la parte a) se tiene x + y =*c, donde c = 0,1,2,...

y las líneas de nivel son circunferencias concéntricas con centro en (0,0)

donde c > 0

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v 2 2c) z = x - yDesarrollo

Haciendo z = c, c e R se tiene x2 - y 2 - c que son hipérbolas que nos

representa a las líneas de nivel.

Desarrollo

Hacemos z = c luego c = yjxy => xy = c2 que son hipérbolasequiláteras y nos representan a las líneas de nivel.

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Desarrollo

7 'yHacemos z = c de donde (1 + x + y Y - c => x + y +1 = c

=> x + y = k que son rectas paralelas y nos representa a las líneas de nivel.

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f) z — 1 - | x | - 1 yDesarrollo

Hacemos z = c => c = 1 - 1 x | - 1 y | de donde

| x | + | y | = k donde k = 1 - c que nos representa las líneas de nivel que son cuadrados

g) z = y

Desarrollo

Sea z = c, c e R es decir: y - exrepresenta las curvas de nivel.

que son parábolas y que nos

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1795

h) yyfx

Desarrollo

Hacemos z = -~= - c , c e R => y = cj~x que nos representa ramas deV i

la parábola y que son las líneas de nivel.

i)2x

2 2 x2 + /Desarrollo

_ . 2x 2 2Hacemos z = c, c e R es decir: —----- - ~ c => x + y = —x que

x 2 + y ~ c

son circunferencias que nos representa las líneas de nivel.

Hallar las líneas de nivel de las siguientes funciones:

a) z = 'ln(x -y y)Desarrollo

Hacemos z = c, c e R entonces:

ln(x2 + y) = c entonces x2 + y = ec - k

V:V

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1796

Luego x~ t v = k que son parábolas que nos representan las líneas de nivel.

b) z = arcsen (xy)Desarrollo

Hacemos z = c ==> sen c = xy = k que son hipérbolas equiláteras

En forma similar para las demás

c) z = f ( y j x 2 + v2 ) d) z = f(y - ax) e) z = / ( —)

Hallar las superficies de nivel de las funciones de tres variables independientes,

a) u = x + y + zDesarrollo

Hacemos u = c, c g R, entonces x +,y + z = c que son planos paralelos que nos representan las superficies de nivel.

■ ^ 2 7 2b) u = x + y + zDesarrollo

9 0Hacemos u = c, donde c > 0 entonces x + y~ + z“ = c que son esferas

concéntricas de centro (0,0,0) y nos representan las superficies de nivel.

v 2 2 2c) u — x + y — zDesarrollo

? iHacemos u = c donde c e R, luego x" + - z~ = c a queconsideremos dos casos.

7 7 7Cuando c > 0, x + y -?z~ - c nos representan hipérbolas de revolución de una hoja alrededor del eje Z.

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cuando c < 0, v + y~ - z - c nos representan hiperboloides de

revolución de dos hojas, alrededor del mismo eje, ambas superficies están

divididas por el cono x + y ' - = c .

6.2. CONTINUIDAD.-

O LIMITE DE UNA FUNCION.-

Sea z = f(x,y) una función de dos variables, entonces:

lim /(a*, y) = L o V c > 0, 3 ó > 0 tal que si(.v,r »—>(<?,'?)

0 < ! (x,y) - (0,0) I < 6 entonces | f(x,y) - L | < 8

© CONTINUIDAD Y PUNTO DE DISCONTINUIDAD.-• !' i $ • f1 , •' i •*, ’ ’’ ,

La función z = f(x,y) es continua en el punto P(a,b) si:

lim / ( .v , v ) .= f ( a , b )(,v. y )—>( a.h)

Si la función es continua en todos los puntos de un campo determinado,

se llama continuidad en ese campo.

Las condiciones de continuidad de una función f(x,y) puede no cumplirse en puntos aislados o en puntos que formen una o varias líneas y a veces figuras geométricas más complicadas.

1797 Hallar los siguientes limites de las funciones.

a) lim (x2 + y 2)sen(— )(A-, v)-K(),0) " xy V

Desarrollo

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Se conoce que: -1 < sen{— ) < 1xy

-(x2 + y 1 ) < (x2 + y 2 )sen{— ) < x2 + y 2xy

lim - ( x 2 + y 2) < lim (x2 + y 2 )sen{— ) < lim (x2 + y 2) (x, )->(o,o) >(0,0) xy (-*■*>')—>(o,o>

0 < lim (x2 + y 2 )sen{— ) < 0 lim (x2 + y 2 )sen(— ) = 0(*,.y)->(0,0) xy (x,y)-*( 0,0) xy

b) lim x + >(x, )->(oo,ao) x 2 _|_ y 2

Desarrollo

Tomemos el camino y = x que para por e origen

Un, - Í Ü L = |lm 4 ± £ _ = lim i = o(*,>-)->(oc,go) x + y *->0° x + x •X->Q0 x

tomamos otro camino que pase por el origen y = xV ' 'i

x + y x + x 1 + xlim — = lim — = lim = 0

(x,y)-+(cc,oo) x¿ + *->00 x + X x—>oc x -f x

lim 4 ^ = 0(■jO-H00,00) * + y i í

ahora se aplica la definición de limite y se demuestra que si existe

lim 4 ± 4 = 0( a- ,^ ) - > ( oo,x ) x + y

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senxyc) lim —

(*,>-)->( 0,2) x

Desarrollo

Sea y = 2 una recta que pasa por (0,2)

senxy s e n l x ^ s e n l x lim -------- = lim -------- = lim 2 ---------- = 2

(a'O’)- >(0,2) x a—>0 x, a—>0 2x

tomemos otro camino y = 2 + x que pasa por (0,2)

2 2 2 senxy sert(2x + x ) , sen lx . eos x eos2x.senx xlim - = lim 1 = lim(------------------+ ------------------ )

(a,v)->(0,2) x a-»0 X *->0 X X

= lim 2 eos x2 + lim x eos 2x. = 2 + 0 = 2■->o 2x a —>o X

2

d) lim (1 + - ) *(A,.y)->(ao,Á:) X

Desarrollo

Sea y =k entonces se tiene:

X

lim (1 + — )x = lim (1 + — )x = lim [(1 + —)k ]k - e k( x , y ) —> ( o c , k ) X a -> o c x X

e) lim(a,.v)->(0,0) x + y

Desarrollo

Tomemos dos caminos que pasen por el origen

y = 2x, y = 5x entonces se tiene: , , ^v ' y

lim —— = lim — - — = — ... (1)(a,>>)—>(0,0) x y *-»ox + 2x 3

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1798

i

i- x .. x 1 ...hm -------- = lim ---------= — ... (2)>(0,0) x + y *—>o x + 5x 6

xcomo (1) * (2) entonces / í lim

(*,.y)->(0,0) x + y

2 2f) lim * - y

(A-,^)->(0,0) x2 + y 2

Desarrollo

Tomemos dos rectas que pasan por el origen de coordenadas tal como y = 2x, y = 3x

x2 — y2 x2 — 4x2 —3x2 3Si y = 2x, lim - = lim - = l i m - ~ V = — ... (1)

(aj’)->(0,0) x + y *->o x + 4x 5x 5

*2 - y 2 r *2 - 9 * 2 r -8jc2Si y = 3x, lim — - = lim — 7 = l i m -(x,y)->(0,0) x + y X-+0 X + 9x *->° \ Qx

8 410 5

2 2, x — ycomo (1 )^ (2 ) entonces A lim

... (2)

(a, )->(0,0) x 2 + y 2

Averiguar si es continua la función / (jc, y) =

Desarrollo

y j l - x 2 - y 2 si x 2 + y 2 <1

0 si x2 + y 2 >1

9 9Consideremos z = x + y , luego se tiene: F(z) = f (x, y) =y J \ - Z SÍ Z < 1

0 si z < 1

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1798

ahora calculamos el limite de F(z) cuando z —> 1

3 lim F (z) <=> lim F(z) = lim F(z)z—>1 z—► 1 z— 1

lim F(z) = lim \ l \ - z = V1-1 = 0z—> r z—>r

lim F(z) = lim 0 = 0z->r z->r

como lim F(z) = lim F(z) = 0 => 3 lim F(z) = 0z-»r z—>r z —> i

además lim F(z) = F (l) = 0 se concluye que F(z) es continuaz —> 1

Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:

a) z = ln yjx2 + y 2Desarrollo

Como V (x,y) * (0,0), x 2 + y 2 > 0 entonces la función z = ln y¡.x2 + y2 es continua en todo R~ menos en el origen

b) z = ( x -y)2Desarrollo

La función z = ------—- es discontinuidad en todos los puntos y - x.( x - y )2

* 1 ' v C) Z =\ - x 2 - y 2

Desarrollo

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Punciones de Varías Variables 27

1800

>*

La función z = ------ es discontinua en todos los puntos de la1 2 2 - x - y

circunferencia x2 + y 2 =1

Demostrar que la función z =

t v2 xy

si x1 + y 2 ^ 0x2 + y 2 es continua con

0 si x - y = 0

relación a cada una de las variables x e y por separado, pero no es continua en el punto (0,0) respecto al conjunto de estas variables.

Desarrollo

Veremos la continuidad de x e y por separado:

2kxSea y = k entonces /¡ (v) = — — es continua en todas partes puesto quex +ky yx + L ^ 0 y para el caso k = 0, f\ (x) = 0

2 myEn forma similar para x = m se tiene: /> (y) = — -----— es continua en todas

y +m

partes puesto que y 2 + m 2 * 0 , m * 0 y para el caso m = 0, f 2 (y) = 0

Ahora veremos que en (0,0) la función no es continua

Tomemos y = x que pasa por (0,0)

i- 2j*y 2x2lim —-~ = l i m — - = 1 ...(1)

(v,>’)—>(0,0) x2 + y2 v—>0 2x' ■ I : " " ’■ ,■ ¡ l '• . ■ : 1 '■ Í

para y = 4x que para por (0,0)

2 xy Sx2 8lim —------ 7 = lim - — *..(2 )

(Xi\’)—>(0,0)x + y .r->0 \7x2 17

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como (1) y (2) son diferentes

es discontinua en (0,0).

$ lim2xy

por lo tanto la función

6.3. DERIVADAS PARCIALES.-

1) DEFINICION DE LAS DERIVADAS PARCIALES.-

Sea z = f(x,y) una función de dos variables si consideramos a la variable y como constante entonces: la derivada parcial de z con respecto a x es:

,im f ( x + A x , y ) - f ( x , y )r - - ,limA -------- Jx (x >y)C X A x ~ > 0

l HA■s ? yi

si consideremos a la variable x como constante entonces la derivada parcial de z con respecto a y es:,

( 2 ) TEOREMA DE EULER.-

La función f(x,y) se denomina función homogénea de grado n, si para cada factor real k se cumple que:

f(kx,ky) = kn f (x,y)

una función racional entera será homogénea si todos los puntos de la misma son del mismo grado para toda función homogénea diferenciable de grado n, se verifica siempre la igualdad (Teorema de Euler).

xf' (x, y ) + v f ‘y (x, y) = nf (x, y)

Hallar las derivadas parciales de las funciones

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1801 z = x3 - yr’ - 2axyDesarrollo

Como z = x3 - y3 - 3axy

dzdxdzdy

- 3x - 3ay

- - 3 y - 3ax

1802 z = x - yx + >>

Desarrollo

dzdx

Ó Ó2y

(x + yY (x + yY (x +

dz 2 ydx (x + yY

(x + >>) — (x - y) - (x - y) — )(x + y) dz dy y dy * (x + y ) ( - \ ) - ( x - y ) - 2 xdv (x + yY (x + y ) ‘ (x + jy)'

dz -2x

¿y (x + y ) :

1803 z = yX

Desarrollo

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1804

1805

1806

í~2 2= >Jx - yDesarrollo

Z = y[ :2 2 x - y

dzdx

dz

2x

yjx2 - y-y

d>; v? y

ix1 + y 2Desarrollo

dzdy

+y í 2 2 x + y y2 2

X + V(x2 + y 2)2

V 7 7 7 w ) - - J L .dz _ yjx + ydy x2 + y 2

-xy

(x2 + y 2)2

z - ln(x + y]x2 + y 2 )Desarrollo

1 +dzdx

>íX + y l X 2 + y 2 1yjx' + y 2 s]x2 + y 2 {x + yjx2 + V2 ) yjx2 ^ 2

dzCX

+ V '

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l«807

1808

0-fv

cz V I 1 x ' + y y

dy x + V-v2 + V2 a/x2 + v 2(x + A/.v2 + r )

dz

" o 7 7 T 7 (-v+ V ^ 7 )

arc tg(-)X

Desarrollo

ydzdx

vVi+ (z rx

X + v “

dz_dy

1

i + ( - r.Y

o 9 .Y” + V"

CZ<3x

dz'■N

2 2 A' + V

Z = X

Desarrollo

Z = .Y

dz~dxdz•*>

i-i= VA'

= a* 1 ln x

.Vt//(1809 z = e v

Desarrollo

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1810

1811

' VC ) Z s e n ( - ) y ] 1 s e n ( ~ ) y

~ - e ' cos(—)(—) = — e v cos(—)cy x x x x

arcsen•> i

x ~ - v “1 ■>

X “ + V

Desarrollo

, , i -i i— -> o / i _ ■)cz c x ]¡ x + y “ v 2 xv ~ x y “ J 2 x ~ - 2 v ".2 _ -> -> -> I o ¡ 1 / 4 4 \C*Y I x~ - v~ i V j (a*“ 4- _v" ) y x~ - v“ ! .v ; ( v ~ y )

j 2 ~ ~ ~ 2\ v +

cz xv2y]2x~ - 2 y

- - C | A - V

c r c y y x ‘ -f v 2 ~ v~ ^ 2 x 2 - v 2

<* v ~ ! v !(-y 4 - v 4 )’lX “ + v;“

1 -V + a ■ Vr = ln(.s^/7(— 7=“ ))

V-vDesarrollo

x + ci 1 v cos( j— )

2 = = I t.(Jf(í± í . ,

y y,x +

cos( f=~)cz V y , x + «. x + a , x +— = y — ( y ) = yC-lgi—f ^ )c y r x + a \ - - v v• sen j y 2 v2 2>’2

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1812

1813

1814

Desarrollo

u = (xy): => <

cudxSuoydu

— 7

= (.vv)’ ln(.vv)

11 = z uDesarrollo

u =

av

dycudz

= _yz'u ln z

- xzxy ln z

xyz'.AV-I

Hallar 2,1) y f ‘(2,1) si f ( x , y ) = Jxy + -

Desarrollo

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1815

1816

1817

J U 2,1)

f (2,1) =

14-1 _ 12-Jl + l 22 - 2 O

O2 7 2 + 2 4

/ , (2,1) = -

./;'(2,n=o

Hallar / V(L2,0) , f (1,2,0) y f l (1,2,0) si f(x.y.z) = ln (xy + z)

Desarrollo

/ VU\ y , r ) = v

f(x,y,z) = ln (xv + z) => < /,. (x,y, z) -

/ . (x, v\-) =

xy + z x

XV 4- Z

1XV 4- Z

/; .d,2,o)i

=> 2 /; (1.2,0)

./: d,2,o)

2 4 - 0

12 + 0

1

22 ¿mé

17 + 0 ” 2

Comprobar el Teorema de Euler sobre las funciones homogéneas del 1816 1819

/ ( x , y) - Ax~ + 2Bxy + Cy‘Desarrollo

/(A x,ky) = Ak2x2 + 2Bk~xy + CA: V = A‘ ( Ax1 + 2&vv + ( V - A ^/(x ,y )■>

Luego f(x,y) es homogénea de grado k = 2

? oa - + y -

Desarrollo

f (kx,ky) = — = A: 1 , A = k 1 / ( .v , v )A:“ x + A “ y x^ + v “

por lo tanto / (Ax, Ay) = A !/ ( x ,y )

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1818

1819

1820

1821

i

f ( x , y ) = ln(—)X

Desarrollo

f{kx,ky) = l n ( ^ ) = ln(—) =kx x

Luego f(x,y) es homogénea de grado cero

x + y

t iDesarrollo

n i c . k y ) = , tfM,- = - 4 >/<*•>•)yjk2X2 + k 2y 2 yjx2 + y'

por lo tanto f ( k x ,k y ) = k 3f ( x , y )

i j----------------Hallar (—) , donde r = >/x2 + y 2 + z2

Desarrollocbt r

/ o ó"V + z' — = (x2 + y 2 + z2) 2

v>.dx r

— (x2 + y 2 + z 2) 22x = 2x

2x0(x + y + z “ )

Calcular

dx dxdr d#qy qy dr d#

, si x = r eos 0, y = r sen 0

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1822

1823

Desarrollo

x - r eos 0

dxdr

= cosG

dx~dó

- - r sen G

y = r sen 0

dy_drcydo

= sen 0

eos 6 - r sen 6 sen 6 r eos 6

2= r cos^ 0 + r 0 = r

dz dz . . 1 / 2 2 2nDemostrar que x — + y — = 2 , si z = ln(x + y + z )dx dy

Desarrollo

ln(x2 + y 2 + z2)

dz 2 x + ydx

dz

2 2x + yx + y2 y + x

2 2 "x + yx + y

dz dz 2x + xy 2y2 + xy 2(x2 + xy + y 2)

* dx ^ dy x2 + xy + y 2 x2 + xy + y 2 x2 + xy + y 2= 2

dz dzx — + y — = 2

dx dy

dz dzDemostrar que: x — + y -— = xy + z si z - xy + xe

dx ' dy

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1824

1825

Desarrollo

xy + xe

dzex

, V T - y - - - e a + e .\

dzdy

= x + e Y

' V »CZ CZ ■ — — — —x + y — = xy - yeY + x e Y -f vev + xv = xy + (xy + x e Y) = xy +

ex dv

dz dzx h v— = xy + z

ex " dv

Demostrar que — + ~ = 0 , si u = (x - y )(y - z)(z - x)dx dv cz

Desarrollo

u = (x - y)(y - z)(z - x)

CU

dxcucycu

.dz

= ( y - z ) ( z - x ) - ( x - y ) ( y - z )

= (a- - y)(z -x)-(y - x)

= (x- v)(y - z) - (x -

du 8u du w , w .— + — + — = ( y - z ) ( z - x ) - ( x - y ) ( y - z ) + ( x - y ) ( z - x ) ex ev cz

~(y - z)(z - x) + (x - >’)(>’ - z) - (x - y)(z - x) = 0

du cu du— + — + — - () êx ev cz

_ du du cu , . x - yDemostrar que: — + — + — = 1, si « = x +êx ev cz y - z

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1826

1827

Desarrollo

u = x 4- x - yy - z

cuexcudycucz

1 +1

y-<z - x

( y - z ) : X - y

du du du 1 z - x x — y+ --- + -----= 1+ ------- + ----------r +

ex dy dz y - z ( v - z ) (y - z)‘

i * z ~ y i i= 1 + --------- 4 ----------- ^ - r = 1 + ------V-Z ( v - z ) ' v - z v - z

CU ^ CU CU _ Jex cy cz

Hallar z = z(x,y) si. cz

dy x2 4- y

Desarrollo

dz xcy x~ + y4

— , integrando se tiene:

í: .y dy , v , V, , ,— z = arctg(—) + (p{x)X~ + V A*

Hallar z ~ z(x,y), sabiendo que: — = ------- — y z(x,y) - sen y « cuando xex

Desarrollo

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1828

2 , 2 2 C Z X “I- V X-— = —. integrando se tiene: z = — + yMnx + g(>>)dx x 2

cuando x = 1, z = sen y entonces y = — + g(jy) => g(.y) = v - —2 .2

x2 2 , 1_ = l -y lnx + sen y —2 2

J 9Por el punto M (l,2,6) de la superficie z = 2x~ + y se han hecho pasar planos

paralelos a las coordenadas XOZ e YOZ. Determinar, que ángulos forman con los ejes coordenados las tangentes a las secciones así obtenidos en su punto común M.

Desarrollo

a) Si se considera el plano paralelo al plano XOZ, este plano es

perpendicular al eje Y y por lo tanto p = 90° y tg p = co y la pendiente

dzde la tangente seria: tga =

dx= 4(1) = 4 => tg a = 4 y el ángulo

A '= l

formado por la tangente y el eje Z será a + y = 90° => y = 90° - a

de donde t gy = t g ( 9 0 - a ) = c t g a = — => t g y = —4 4

b) Si se considera el plano paralelo al plano YOZ entonces dicho plano es

perpendicular al eje X y su ángulo a = 90° de donde tg a = ao y la

pendiente de la tangente será

Luego t g p -

dy

dz

= 2y = 4- v=2>-2

ay= 4 => tg P = 4

>-2

Y el ángulo formado por la tangente y el eje X será:

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1829

1830

P + y = 90° => y = 90° - p

tgr = tg{9o° - p ) = c tgp = i4

1/ory — _

ft/ 4

El área de un trapecio de bases a, b y de altura h es igual a Sa + b

h , hallar

as as asda db dh

S

y mediante su dibujo, establecer su sentido geométrico.

Desarrollo) ' ' ■ V | • i as _ h

CUf ~ 2>'y:a + b ! as h------ h => < — —

2 aa 2as a + blch 2

Demostrar que la función / ( x , v) = <2 xv

7 7 si x +y~ * 0x“ + y" tiene derivadas

0 si x ~ y — 0

parciales / ’ (x ,y) y / ’ (x ,y) en el punto (0,0) a pesar de ser discontinua en

este punto.Desarrollo

Calculando las derivadas parciales en el punto (0,0)

m i Mizim, lim i m - i m , lim « z » . 0//->o h //->o // /j—»o h

r l (0,0) = lim / < M ± * W Í M = lim / ( Q .* ) - / ( ° .Q ) = l i mo ^ 2 _ „ //—>0 h /?—»o h /?—>0 >/?

ahora veremos la discontinuidad, para esto tomamos dos caminos que pasen por (0,0), tales como y = x, y = 4x

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r 2xy r 2x2 1lim —----- — = lim — - = 1 ... (1)(a', v)—>(0,0) x + y -v_>0 2x

2 xy 8a* 8lim — = lim = — ... (2)

(A-,v)->(0,0) X2 + y 2 -V->0 17X2 17

como (1 ) ^ ( 2 ) entonces $ lim f ( x , y )(a,v)—>(0,0)

por lo tanto f(x,y) es discontinua en (0,0)

6.4. DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN.-

INCREMENTO TOTAL DE UNA FUNCION.-

Si z - f(x,y) es una función de x e y entonces el incremento total de una función definiremos por:

Az = Af(x,y) = f(x + Ax, y + Ay) — f(x,y)

DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN.-

Si z = f(x,y) es una función de x e y entonces a la diferencial total de la función z = f(x,y) es definida por:

( ? ) APLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN A LOS CÁLCULOS APROXIMADOS.-

Si z = f(x,y) se verifica la igualdad aproximada: Az = dz

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1831 Para la función f ( x , y ) = x~y, hallar el incremento total y la diferencial total

en el punto (1,2) compararlo entre sí.

a) Ax = 1; Ay = 2Desarrollo

Af(x,y) = f(x + Ax, y + Ay ) - f(x,y)

Af( 1,2) = f( 1 + 1, 2 + 2) - f( 1,2)

/ ( 2 ,4 ) - / ( l , 2) = f(2)24 - (l)22] - 16 - 2 - 14 /. Af( 1,2) - 14

jyv df (x, v) . of(x, y) df (x, y) = — — dx + dyex cy

# (1 ,2 ) == df y y ) Ax + g / £ j ) - 2(1)2 + (1 )22 = 4 + 2 -- 6dx

Luego Af( 1,2) - df( 1,2) = 1 4 - 6 = 8 .*. Af(l,2) - df(l,2) = 8

b) Ax = 0.1 , Ay = 0.2Desarrollo

Af(x,y) = f(x + Ax, y + Ay) - f(x,y)

Af( 1,2) = f( 1 + 0.1, 2 + 0.2) - f( 1,2) = f( 1.1,2.2) - f( 1,2)

(1.1)2 (2.2) - (l)2 2 = 2.662 0.662 Af(l,2) = 0.662

# (1 ,2 ) = ^ ) ^ x + l AyV

dx dy

2(2)(0.1) + 1(0.2) = 0.4 + 0.2 = 0.6 df( 1,2) = 0.6

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1832

1833

Luego Af(1,2) - df( 1,2) - 0.662 - 0.6 - 0.062

Af( 1,2) - df( 1,2) = 0.062

Demostrar, que para las funciones u y v de varias variables (por ejemplo de dos) se verifican las reglas ordinarias de derivación.

a) d(u + v) = du + dv b) d(uv) = u dv + v du

,/u. vdu-udvC ) d(-)=------------------

v \ r

Desarrollo

d(u + v) 6(u + v) du dv du dv a) d i n + v ) = — dx + -----------dv - — dx + — dx + — dv-H----- dv

ex cy ex ex ey ey

,du . cu . x .dv . dv . .- ( — dx h------ dv) + ( — dx h---- d v ) = du + dv

dv dy ' dx dy

Hn forma similar las anteriores

Hallar las diferenciales totales de las siguientes funciones:

Desarrollo

CZ . CZdz - — d x + — d y

dx dv

dz - (3.v2 - 3y)dx + (3 v~ - 3x)dy

1834 : = .vVDesarrollo

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1835

1836

1837

í7'7 r)'rd z = — dx + — d y

ex dy

7 7

dz = 2 xy dx + 3x~y~dy

7 7.v“ - y

7 7

x" + y"Desarrollo

dz - — dx + — dv/-V,ex cy

(o

y ix~ - \ry y

X 4~ V

C Z 4.vv‘

czdv

(..v*' + v~ Y

-4v2 y( P T 7 ) T

(2 )

ahora reemplazamos (2) en (1): dz4.v y

/ 2 2x2(x 4-y )dx

4x~ v7 7 7( v“ i- y ~ )“

dv

7 7 :

z — sen~x + eos" vDesarrollo

dz dz dz - — dx 4 — dy

dx dv

dz = 2 sen x eos x dx - 2 eos y sen y dy

dz = sen (2x) dx - sen (2y) dy

z - yxDesarrollo

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Funciones de Varías Variables 45

1838

1839

1840

dzdz = — dx-\----------- ay

dx

O 1dz — y xy~ dx + xy (1 + y ln x)dy

i iz = ln(x" + y - )

dz dzdz - — dx H dydx dy

2x 2ydz = — --d x + — -dyx + y x + y

f ( x , y ) = ln(l + —)y

Desarrollo

Desarrollo

dx dy

d f (x,y) = —— d y ---- —-— - dyx + j y(x + y)

y xz = arctg — + arctg — x y

Desarrollo

dz dzdx = — dx H dy

dx dy... (1)

y xz - arctg — b arctg —x y

dzdx

dz

y2 2 x +y

... (2)

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1841

1842

1843

v xahora reemplazando (2) en (1) se tiene: dz - — dx — dy

x2 + y x z + y z

z = ln t g ( - )X

Desarrollo

dz dzdx = — dx H dy

dx dy

dz2 v— — (d y — dx)

Xxsen(— ) x

Hallar df( 1,1) si / (x, y) =

Desarrollo

n 5 /0 ,1 ) . 3 /0 ,1 ) .df{ 1,1)= 7 - -~dx + -d- :— - dydx dy

(1 )

/ (x, y) =y

3/(1,1)dx

3/(10) = -2(2)

reemplazando (2) en (1) se tiene: df( 1,1) = dx - 2 dy

u = xyzDesarrollo

du , du , <3*/ .du = — dx + — ay H------azdx dy dz

du = yz dx + xz dy + xy dz

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1844

1845

1846

1847

x + y + zDesarrollo

, cu . du . du , du = — dx H dy h dz

dx dy ' dz

x dx y dy z dzdu = + —= = +

yjx2 + y 2 + z 2 yjx2 + y 2 + z 2 y]x2 + y 2 + z 2

u = (x^+—yy

Desarrollo

. du . du . du . du = — dx + — dy -l- — dz

dx dy dz

du = (xy + — )z 1 ((y + — )z dx + ( 1 — \r)xz dy + (xy + —) \n(xy + —)dz)y y y 1 y y

xyu = arctg(— ) z

Desarrollo

du . du . du .du = — dx + — dy-\ dzdx dy dz

du = % - ( y d x + x d y - ^ ^ - d z )(xy)2 + z4 z

Hallar df(3,4,5) si f ( x , y , z ) =\R~+ /

Desarrollo

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1848

d(3 ,4,5) = dx + ^ (3; 4’5) dy + dzdx dy dz

d f (x, yz) =xz dx

3 r “ ,y • 12 2

/ 2 2x9 / 2 2x9 \ M + V(v + .T ) 2 (* + / ) 2 *

15 2 0 1rf/(3,4,5) d x dy + - ¿/z

125 125 5

d f (3,4,5) = — (-3 dx - 4 dy + 5 c/z) 2 5

Uno de los lados de un rectángulo es a = 10 cm, el otro b = 24 cm ¿Cómo variara la diagonal L de este rectángulo si el lado a se alarga 4 mm y el lado b se acorta 1 mm? Hallar la magnitud aproximada de la variación y compararla con la exacta.

Desarrollo

I 1 7Por Pitágoras se tiene: L - \Ja~ + ¿r

dL = — da + — db donde a = 10 cmoa oh

b = 24 cm, da = 0.4 cm, db - -0.1 cm

dL = 7 a ■ - da + 7 = - db 10 (0.4)+ . 2 4 _ ( 0 . 1 )L J d b 2 L d d b 2x/lOO + 576 ' Vi 00+ 576

4 2.4 1 .ó ^ r\/-r\dL —------------ = — = 0.062 cm26 26 26

AL = yJ(a + Aa)2 +(b + Ab)2 - y ¡ a 2 + b 2 -0 .0 6 5 cm

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1849

t .

1850

Una caja cerrada, cuyas dimensiones exteriores son de 10 cm, 8 cm y 6 cm; esta hecha de madera contrachapada de 2 mm de espesor. Determinar el volumen aproximado del material que se gasto en hacer la caja.

Desarrollo

Sean x,y,z las dimensiones de la caja, luego el volumen de la caja es:

V = xyz, además x = 10 cm, y = 8 cm, z = 6 cm y dx = dy = dz = 0.4 cm

dv = yz dx + xz dy + xy dz = (8)(6)(0.4) + (10)(6)(0.4) + (10)(8)(0.4)

= (48 + 60 + 80X0.4) = 188(0.4) = 75.2

dV = 75.2 en? con relación a las dimensiones anteriores.

El ángulo central de un sector circular es igual a 80° y se desea disminuirlo en I o ¿En cuánto hay que alargar el radio del sector, para que su área no varié, si su longitud inicial era igual a 20cm?

sDesarrollo

área del sector circular =f A = -- -- - , donde360°

r = 20 cm, es el radio y x = ángulo central = 80°, dx = -1 °

,, 8A , 8A , , . k r 2 , 2nxr ,dA = — dx h----- dr dA = —— dx H-------- dr

dx dr 360 360

¿JA = r^dx + xv dr reemplazando se tiene:

iñ (— D0 = ± ^ ± J ± + 2 0 m ) d r => 1600 dr = 200

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50

1851

Eduardo Espinoza Ramos

dr = = - => dr = - es lo que debe alargar el radio p*ra que el área no1600 8 8

k .

vane.

Calcular aproximadamente:

a) (1.02)3.(0.97)2 b) /(4 .0 5 )2 + (2.93)2

c) sen 32° eos 59° (al convertir los grados en radianes y cuando se calcule el sen 60°, tomar solamente tres cifras decimales; la ultima cifra debe redondearse)

Desarrollo

a) Sea f { x , y ) = x3y 2 donde x = 1, y = 1, Ax - 0.02 , Ay = -0.03

n k a \ -w -Tí a df(x,y) A ,<3/ (A',.y) Af ( x + A\% v + Ay) = f (x, v) 4------------Ay -f----------- Avdx dy

/ ( l .02,0.97) s / ( l , 1 ) + — 11 -■ (0.2) + - - A Ü (_o.()3 )dx dv

(l.02)3(0.97)2 s 1 + 3(1 )(0.02)-2(l)(0.ft3)

= 1 + 0.06 - 0.06 = 1

b) J \x , y ) = J x 2 + y 2 donde x = 4, y = 3, Ax = 0.05, Ay - -0.07

f ( x + Ax, y + Ay) = j \ x , y ) + A* + A>’dx cy

/(4 .05 ,2 .93) s / (4 ,3 ) + (0.05) + 3). (-0.07)cv dv

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yj(4.05)2 +(2.93)2 = 5+ - (0 .0 5 )+ - ( -0 .0 7 ) = 4.9985 5

.'. V(4-05)2 +(2.93)2 s 4.998

1852 Demostrar, que el error relativo de un producto es aproximadamente igual a la suma de los errores relativos de los factores.

Desarrollo

Consideremos z = x¡.x2.x3...xn producto de números positivos, entonces

ln z = ln(jc} .x2 .x3 ...xn) = ln jc, + ln x2 + ln x3 +... + ln xn

dz dx, dx*, dx** dx„ , ,— = — L + —- + —- + ...+ —- dedondez x, x2 x3 x„

Az A-Vt Axo Aas A x „ , . Az— = ------ 1---- — + — - + ... + ------ , donde — es el error relativo de unz X, x2 x3 x„ z

Axi Ax? Áx3 Ax..producto y -----,------ ,------,...,----- son los errores relativos de los factores, por

Xj X2 X3 xn

lo tanto el error relativo de un producto es aproximadamente igual a la suma de los errores relativos de los factores.

1853 Al medir en un lugar el triangulo ABC, se obtuvieron los datos siguientes: el

lado a = lOOm ± 2m el lado b = 200m ± 3m y el ángulo c = 60° ± Io ¿Con que grado de exactitud puede calcularse el lado c?

Desarrollo

Por la ley de los cosenos se tiene que:

V 'l 1a “ +b~ - 2abcosC , la exactitud que puede calcularse el lado c es de

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1854

i

1855

de dx dede donde d e == — Aa + — Ab - \------AC

da db dC

, a - b c o s C b - a c o s C 4f absenCdc = —j=== A<7 + - = = = = = = = A&+ = = ■ — — AC

y¡a2 +b2 - la b e o s C yja2 +b2 - la b c o s C \la2 +b2 - la b c o s C

reemplazando los valores para a = lOOm, b = 200m, C = 60°, Aa ~ 2, Ab = 3,

AC = Io = — , de = 4.25 m180° i M j M ' é i

El periodo T de oscilación del péndulo se calcula por la fórmula T = l n L

g

donde L es la longitud del péndulo y g, la aceleración de la gravedad. Hallar el error que se comete al determinar T, como resultado de los pequeños errores

AL = a , Ag = p cometidos al medir L y g.

Desarrollo

El error que se comete al determinar T es:< ' '! •" ; . ’) ■. . - V •' ■ i , \> '■ , ‘ , ‘ i ,f ‘ ■ ■ . • i , .

J r r d T K r d T n ttsÍ L T r i g a - dT = — AL + -— Ag => dT = —= a ------ ¡= p

L i

dT = ga~g j g L

La distancia entre los puntos /q (a*0 , y 0) y P(x,y) es igual a p, y 1 ángulo

formado por el vector P0P con el eje OX, es igual a a ¿En cuánto variará el

ángulo a , si el punto P toma la posición P¡(x + dx,y + d y ) , mientras que el

punto P0 sigue invariable?

Desarrollo

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x -x ,co sa =

sena

____ o_P

y - y op

r- «

/ocosa = x - x 0

p s e n a - y - y ^

tga = ——— diferenciandox — x.o

sec a .d a =( x - x Q) d y - ( y - y 0)dy

(x - x0 f

pero del gráfico se tiene se/i a =x - x .o

P ¿ ) d y - ( y - y 0)dx( x - x 0) ( x - x 0y

d _ ( x - x 0) d y - ( y - y 0)dx _ cosa dy - sena dx

P Á P

.....6.5. DERIVACION DE FUNCIONES COMPUESTAS.-

( ¡ ) CASO DE UNA SOLA VARIABLE INDEPENDIENTE.-

Si z = f(x,y) es una función diferenciable en x e y, y a la vez funciones

diferenciables de una variable independiente t: x = cp(t), y = \|/(t), la

diferenciación de la función compuesta z = f(cp(t), i|/(t)) se puede calcular por la fórmula:

dz dx dz - - — i

dt dx dt dy

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1856

■ j

1857

©

► t

► t

CASO DE VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES.-

Si z es una función compuesta de varias variables independientes tal

como z = f(x,y), donde x = cp(u,v), y = v|/(u,v), las derivadas parciales de

z con respecto a u y v se expresa así:

& _ dz dx dz dy du dx dy dy du

5v ñ r dv dy dv

dz xHallar — si z = —, donde x = e*, y = ln t

* : '' .y ' ¡Desarrollo

U

V

uV

¿Zz dz ¿/x dz dy , , , é/z e' x 1 ^ e— = — .— + — de dondedt dx dt dy dt dt y y 2 t ln í t in2 í

dzdt t ln2 t

(t ln ¿ - l )

Hallardudt

X 2 r 2, si m = ln sen(—j = ) , donde x = 3t = v i +1

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1858

1859

Desarrollo

du du dx du dy t ,+ — .— de donde se tiene:

dt dx dt dy dt

du , x . 1 _ 1 y x w x , tCtg(-¡=).-¡= .6t - Ctg(-¡=r)(--- 7=)

dt J y 'Jy 2 V r + i

du t x x= c tg ( - = ) ( 6 - — )

dt d y 2y~

Hallar — , si u = xyz, donde x = t2 +1 , y = ln t, z = tg t dt

Desarrollo

du du dx du dy du dz . , t du xz ?— - — — + — .— + — .— dedonde — - y z 2 t + — + xysec~ tdt dx dt dy dt dz dt dt t

2du t +1 o 1 \ i 2— = 2í¿g¿lnM .tgt + (t + Oln/.sec" ¿dt t

Hallar — , si u - —= J = = . ■, donde x = R eos t, y = R sen t, z = Hdt i

v ?

> Desarrollo

du du dx du dv du dz— — — _ f- -— ;-----1-----.—dt dx dt dy dt dz dt

du xz . _ . yz . n . 1— ---------------(-Rsent) ----------------- — (/? eos/) + —= = = = = (0)/// 3 3 / 2 2/ 2 2 \o / 2 2 \ -> v y *(.x2 + y ‘■)2 (x2 + y 2) 2 y

du HR eostsent HR" sen t cosí „ du— = — + 0 = 0 — = 0

d t - - dt(x2 + y 2)2 (x2 + y 2)2

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1860

1861

1862

dzHallar — si z = u , donde u = sen x, v = eos x

dx

Desarrollo

dz dz du dz dv v_jdx du dx dv dx

-l .— = vuv cosx + t/v ln u{-senx)

= cosz (sen x)C0SX 1 - (sen jc)C0S Y sen x. ln (sen x)

dz— = (senx)C0SX [eos x.ctg x - sen x. ln sen x] dx

TT „ dz dz . .y. 2Hallar — y — , si z = arctg(~-) e y - x

dx dx x

Desarrollo

dz _ dx x _ x2 _ y . _ ydx í - f (Z ) 2 1 + zí_ j f 2 + >;2 dx *2 + y 2

X x 2

dz dz dz dy , , , dz y 2 x~ 2 x - y— = — + — .— de donde — = — - + —5----- — = jdx dx dy dx dx x + y x + y x + y

dz _ 2x2 - y“ 2 . . 2dx x + y

Hallar — y — si z = xy donde y = (p(x)dx dx

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1863

1864

Desarrollo

^ = yxrv~' dx

dz dz dz dy dz v._j y— = -----1-----de donde — = yx + x ln xxp (x)dx dx dy dx dx

v r y »/ M 1 — = x; [— + (p (x) ln x]dx x

dz dzHallar — y — , si z = f(u,v), donde u = x

dx dyDesarrollo

U

2 2

V

X

yX

y

dzex

dz cu dz dv dz— >— -i .— de donde — = 2xfu (u,v)+ vexy y (u,v)du dx dv dx dx

cz cz cu cz ov , t , cz — de donde+ - 2 yfu (m, v) + xe™ f v (u, v)

dy du dy dv dy dy

TT „ cz cz XHallar — y — si z - arctg— , donde x = u sen v, y = u eos vdu dv y

Desarrollo

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1865

U

VuV

cz oz ex cz cy_ — — — _ ——f —— # ——du dx cu dy du

cz y X u sen v eos v u sen v eos v

du X1 4 v 2sen v 2 2 X + V

eos V2 2 x 4 y 2 2 xÁ + y

0

czdu

0

d -“\ «**/■>z cz ex cz cydv ex dv dy cv

dzi iCV X 4 v

y *u eos V 4 1 1 X- -f y

u sen v y 4X

i iX~ 4 Vi i ' i i i i

X + y~ f 4 V X 4 V

02dv

- 1

CZ CZ VHallar — y — si z = f(u) donde u = xv 4 —

dx dv ' x

Desarrollo

U

CZ ( Z ( a Vf (u).(y — V ) de donde

ex cu ex

dz'"Sex

f ( x j + — ) v ( l — ]~ )■x

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cz dz du / 1 dz / y 1_ = + dedonde — = f ( x v + — )(x + - )dy cu dy x dy x x

1 8 6 6 Demostrar que si u = <j>{x2 + y 2 + z z ) donde x = R eos r» . du duy - K eos (p sen v|/, z = R sen cp entonces —— = 0 y = 0ccp dy/

Desarrollo

9 9Sea w = x~ + y + z" => u = <j)(w)

U y

9

9 9

9

9

dw dvi> ex cu dv du dz H .----.------(-

d(p dw dx dep dw dy d(p dw dz ccp

dud(p

ib/ (w)2x(-Rsencp eos y/) + cf)' (w)2y(-Rsencpseny/) + ^ \w)2zR eos cp

dud(p

- (j)' (w)2R(-x sen cp eos y/ - y sen cp sen y/ + z eos cp)

i 2- 2R(p (w)[-/? sen cp eos (p eos" y/ - R sen (p eos (p sen y /+ R sencp eos cp]

= 2R~(¡)! (w)[-sencp eos (p{eos2 y /+ sen2y/)+sencp eos cp]

2 / 7 i2 R $ (w)[-s en cp eos cp +sencp eos cp] = 2R"c¡)(w)(0) = 0 duccp

= 0

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1867

1868

du du dw dx du 6\v dv+

8 y/ dw dx dy/ dw dy dy/

Cudy/

- (/)' (w)2x(-R eos cp sen y/) + </>f (w)2 y Reos <p eos y/

= 2R(j)! ( h ’) ( - x eos cp sen y/ + y eos cp eos y/)

/ ¿ ¡V í •; " ' ‘f .11 ’

~ 2R(¡) (w)[-R cos“ (peosy/ seny/ + R eos" (p sen y/ eos y/]

2R(¡) (w)(0 ) = 0ducy/

0

Hallar — si u - f(x,y,z) donde y = cp(x), z = v|/(x,y)dx

Desarrollo

X

U XX

du du du dy du dz— ~ 1 . 1 .—dx dx dy dx dz dx

— = — + de donde — = y/x (jr, y) + y/[, (x, y).<p' (x)dx ex dv dx dx

dudx

f x (x, y, z) + f v (x, v, z).<p (x) + f ! (x, y, z )O a.(x, y) + y/\. (x, y).<p (x)]

v

Demostrar, que si z = f(x + ay), donde f es una función difereneiable, entonces

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1869

Desarrollo

„ du _ duSea u = x + ay — = 1, — = a

dx dy

z = f(u) donde u = x + ay

U

dz dz du „/dx du dx = / »

dz dz du i — = — .— = af (u)dy du dy

dz i dz a — - af (u) = —

d* dydz dz— = a —dy dx

Demostrar que la función w = f(u,v) donde u = x + at, v = y + bt, satisfacen a

dw dw . dw la ecuación — - a — + b —

dt dx dy

Desarrollo

X

t

y

t

dw dw du dw dv dw f dw — - — .— -f — .— - a — + b —dt du dt dv dt du dv

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dw dw , dw— = a — + b —dt du dv

... (1)

dw dw du dwdxdw

du dx dw dv

dudw

dy dv dy dv

... (2)

dw dw dwreemplazando (2 ) en ( 1) se tiene: — = a — + b —

dt dx dy

1870 Demostrar que la función z = y(p(x2 - y 2) satisface a la ecuación

1 dz ^ 1 dz zx dx y dy y

Desarrollo

2 2z = y (p(u) donde u - x - y

UX

ydz dz d u /— = — .— = 2 xy(p (u)dx d u dx

dz dz dz du 2 ¡— = — + — .— = (p(u)-2v (p (tt)dy oy du dy

- . — + — .— = -{2xytp l {n)) + — (<<p{u)-2y2(pl (u))x dx y dy x y

2y<p'(u) + ^ - - 2 y < p ' ( y ) - ^ - ^ = y dondey y y -v

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1 dz 1 dz zx dx y dy y 2

y1871 Demostrar, que la función z = xy + xcp(—)

xdz dz

x f- y — = xy + zdx dy

Desarrollo

satisface a la ecuación

yz - x y + xcp{—) =>

x

i - V AGX X X X

5z , / / A— = x + ^ ( - )qy x

^ i i y w / i<ywX— + y — = x(y + cp(—) ---- (p i—)) + y(x + (p (—))dx dy x x x x

= xy + x ^ (—) - (—) + x.y + y V (—) = x j + (xy + x ^ ( - ) ) = xy + zX X X X

dz dz x — + y— = xy + z

dx ' dy

X

1872 Demostrar, que la función z = ey(p{ye v ) satisface a la ecuación

2 2 ,d z dz(X - y )— + xy— = xyzdx dy

Desarrollo

.V*

Sea z = ey<f>(ye2 y ) = ey(j)(u) donde u = ye 2/

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Aplicando la regla de la cadena se tiene:

i

dóiu) dó(u) du t , du x y = --------.— donde — - —e y

dx du dx dx y

x

d<j>{u) _ d<p{u) du = x_ /dx du dx y

x- 2 x~dtfu) _ d f tu ) a» donde d u = e 2 y - _ £ _ e2y

dy du dy dy y 2

x- 2 x-d(j)(u) __ at/ _ 2y~ x J l y 1 ______

dy du dy y 2(e~y —e y )(j) (u) , como z = ey(p{u), entonces

& =eV ^ = * e V , y (M)dx dx y

x~ 2 -v~í , + M i l = e>m + ey ^ r * « V , /ay ay y

.Y 2 **az . v .i, x -x*é"v (w) + e ve 2v (/>'( u ) - — ey .e2y </> (u) dy /

-5 X" -Y

a z x é, v(x2 - jy 2) — = — — e 2v (/)'(u)- xyeye 2y (j)‘(u) ... (1)

ax y

3 vxy — = xvey(¡)(u) + xyeye 2y (j)1 (u) — — eye 2y (p1 (u) ... (2 )

dy " y

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funciones de Varias Variables 65

2 2 dzsumando ( 1 ) y (2 ) se tiene: (x - y ) — + xy — = xyey <¡>(u) - xyzdx dy

2 2^dz dz(x - y )— +'xy — = xyz

dx dy

1873 IJn lado de un rectángulo de x = 20 m, aumenta con una velocidad de 5m/s, el otro lado de y = 30m, disminuye con una velocidad de 4m/s ¿Con qué velocidad variarían el perímetro y el área de dicho rectángulo?

Desarrollo

X

El perímetro del rectángulo es:

P = 2x + 2y además se tiene:

— - - A m i s e g , — = 5m/ seg dt dt

' ' i

la velocidad con que varía el perímetro es:

dP dP dx dP dy— = — #— + — uJL - 2(5) + 2(—4) = 2m / seg dt dx dt dy dt

por otra parte el área = A = xy; la velocidad de variación del área es:

dA dA dx dA dy x— - — .— + — — y(5) “ 4 (x ), para x = 20, y = 30 se tiene: dt dx dt dy dt

dAdt

= 30(5) - 4(20) = 150 - 80 = 70dA~dt

lOm / seg

1874 Las ecuaciones del movimiento de un punto material son x = t, y = t2 , z - t 3¿Con qué velocidad aumentara la distancia desde el punto al origen de coordenadas?

Desarrollo

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La distancia del punto (0,0,0) al punto P(x,y,z) es:

V 2 2 o / 2 4 6x + y + z = v ¿ + f + ¿ , ahora calculamos la velocidad con que aumenta la distancia del origen al punto P

dr 1 + 212 + 3 tA

^ Vi + t2 + t i

1875 Dos barcos, que salieron al mismo tiempo del punto A, va uno hacia el norte y el otro hacia el ñor - este. Las velocidades de dichos barcos son 20km/hr, 40km/hr, respectivamente. Con que velocidad aumenta la distancia entre ellos.

Desarrollo

Por la ley de los cosenos tenemos que:

z = yfx2 + y 2 - 2xv eos 45

reemplazando valores se tiene:

'202 + 402 - 2(20)(40)—

20V 5-2V 2

6.6. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DADA Y GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN.- V - V +■ ; ■■

(T ) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UNA DIRECCIÓN DADA.-■ v "

La derivada de una función z = f(x,y) en una dirección dada t = PXP se

define por:

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donde f(p) y / ( / } ) son los valores de la función en los puntos P y P} .

Si la función z es diferenciable, se verifica la fórmula

dz dz dz ..'f—. = — eos a + — senad i dx dy

donde a es el ángulo formado por el vector l - P{P con el eje X

En forma similar para función u = f(x,y,z) se verifica la relación

du du du „ du-— = —- cos a + — eos 6 + — eos yd i dx dy dz

— >donde a , P y y son los ángulos entre i - P/¡ y los ejes coordenados.

( ¿ ) GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN.-

Se da el nombre de gradiente de una función z = f(x,y) a un vector, cuyas proyecciones sobre los ejes coordenados son sus derivadas parciales de

dicha función:

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1876

i i i - -i i 7 1 cz ■? dz

grua\z j<\r .— l -7

dx dy

La derivada de la función en la dirección esta relacionada con el gradiente de la misma función mediante la fórmula

dz wigr-adiz)), , -Prd i . / : i ■ ■ : <■

La dirección del gradiente de la función en un punto dado, es la dirección de la velocidad máxima de crecimiento de la función en este punto, es decir: cuando

¿-grad(z), la derivada02

dítoma su valor máximo igual a:

dz i ,dz| ( _ _ _ ) + (— )

ex cy

En forma similar para una función u = f(x,y,z) se tiene:

EL gradiente de una función de tres variables, en cada punto lleva la dirección de la normal a la superficie de nivel que pasa por dicho punto.

'l 'lHallar la derivada de la función z - x ~ x y ~ 2 y ' en el punto P( 1,2) y en la

dirección que forma con el eje X un ángulo de 60°.i ■. V ■' '

Desarrollo

o*7 d f ( x vi cz dz- 7 1 , 7 ' “ eos 60° + sen60°

df d i dx cy

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«877

«878

1879

" • 2 ) . (2 - 2 , i - K - U S ) ^ + 0 + => < m 2 > ^d i 2 2 2 (•'/ 2

7 7Hallar la derivada de la función z -- x - 2 ,y 'j’ + a t “ + 1 en el punto M (l,2) en

la dirección que va desde este al punto N(4,6)„

Desarrollo

3 4Se tiene eos a = —, sen a = -•

5 5

C)2Z 'y o "*>— - — eos a + —-- sen a = (3.v' - 4xy + v“) eos « + (-2x~ + 2xy )sen adi ex dy

calculando en el punto M (l,2)

dz „ . .3 , . 4 3 8 5 . dz( 3 ~ 8 "f" 4 ) f ( —2 + 4) “ “ t* ~ — — — 1 —v> —— — 1

di 5 5 5 5 5 di

Hallar la derivada de la función z = \nyjx2 + y 2 en el punto P ( l ,l) en la

dirección de la bisectriz del primer ángulo coordenado.

Desarrollo

O ''**1,

— - — eos 45° + —- se/i 45° = —4 —~ eos 45° + —- sen 45°51 ex dy x y x ~ + y 2

calculando en el punto P( 1,1) se tiene:

& 1 \Í2 _1 7 7 7 2 72 __ 7 2 & _ 72~di~2'~2 ’I ’T “ 4 4 ~ 2 “ 2

OHallar la derivada de la función u = 3x~ - 3 y z + 5 en el punto ) en la

dirección que forma ángulos iguales con los ejes coordenados.

Desarrollo

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1880

1881

y

Se conoce que eos2 a + eos2 fi + eos2 y = 1\ » • ; . , 1 1' ■ , ■ . '■( ! '!% •' ' ...

VsPero como a = p = y => co sa = ± —

3

du du du _ du _ . „ ^— = — co sa + — cosp + — eos r = 2x eos a - 3z eos p - 3y eos adx dx dy dz

calculando en el punto M( 1,2,-1)

8u _ 2V3 3a/3 6%/3 _ 5n/3 6>/3 _ V3 ó» _ 73~ 3 + 3 3 ~ 3 ~ 3 3

Hallar la derivada de la función u = xy + yz + xz en el punto M(2,l ,3) en la dirección que va desde el punto N(5,5,15)

Desarrollo1 ■>

" t.

~ 3 „ 4 12Como eos a = — , eos p = — , eos y = —

13 13 13

dw du du _ du— = — eos a + — eos B + — eos rd¿ dx dy dz

dw- = ( y + z) eos a + (x + z) eos ¡3 + (y + x) eos ydi

calculando en el punto M (2,l,3) se tiene:

dw , 3 , 4 , 12 6 8 . du _ 6 8— — 4(— ) + 5(— ) + 3(— ) — — • • ~~d£ 13 13 13 13 ' di 13

Hallar la derivada de la función u = ln(eA + ey + e z ) en «el origen deif. -■

coordenadas, en la dirección que forma con los ejes de coordenadas x, y, z los

ángulos a , p y y, respectivamente.

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1882

Desarrollo

du du du n du— = — co sa + — eos p eos ydx dx di di

ex ey „ e-cos a + eos B + eos y

Y* 1 J T 9 Y i ; 7 9

ex + ey + ez ex + ey + ez ex + ey + e”

calculando en el punto (0 ,0 ,0 ) se tiene:

du eos a eos B e o s / co sa + cos/? + cosy— = + — + — = -di 3 3 3 3

El punto en que la derivada de una función, en cualquier dirección, es igual a cero, se llama punto estacionario de esta función. Hallar los puntos estacionarios de las siguientes funciones.

7 7a) z — x + xy + y - A x - 2 y

Desarrollo

dz— = 2 x + v - 4 = 0 r „dx \x — 2: => \ n => p(2,o>8 z , O T O V = 0— = x + 2 v — 2 = 0 u

b) z = jc3 + _y3 - 3 xvDesarrollo

§ - * > - 3 , - 0 ^ p ¡m )

— = 3 y 2 - 3 x = 0 ^ P=(U )dy

c) u = 2y 2 + z 2 - xy - y z + 2x

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1883

Desarrollo

dudx

- y + 2 = 0

du- - 4 y ~ z — x = 0 => p(7,2,1)oyCJU

ÜZ2x - y = 0

Demostrar que la derivada de la función z = -— , tomada en cualquier punto dex

9 9 9la elipse 2x* +y~ = c~ a lo largo de la normal de la misma, es igual a cero.

‘ r i ’ j " ■ l > •, *.V ' ■ '■ ; f ■;{. ■ ' ;■ ’ v * 1 i . \ \ •! í ' ' . • i ■ .. . : • ' • J. i ... •

Desarrollo

¿/y 2 x? ? o2x~+ v = c ‘ =>dx y

= tgO

dy 2 vitiLf = — - = = ¿g# => mL( - tgO de donde mZ,jVdx v

1

tgG

mLN = tgatgO

1 + - 4 - ) = tga

2xcosa = sena y

C'Z a-

2 2 + V

oz

+ y

= — cosa h----- senadf dx dv

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1884

1885

1886

+ - M - = Q , ^ = 0•y¡Ax2 + y 2 X y ¡ 4 x 2 4- y 2 d t

Hallar el grad(z) en el punto (2,1) si z = x3 4- y 2 - 3xy

Desarrollo

dz~t d z ^ grad(z) = — i 4-— / , calculando se tiene:dx dy

grad(z) = (3x2 - 3>’) i + (3y 2 - 3x) j en (2,1)

grad(z) = 9 i + (-3 ) j = 9 i - 3 j

Hallar el grad(z) en el punto (5,3) si z = yjx - y 2

Desarrollo

oz ! a z -rgrad(z) = — i + — j

dx dy

X/ 1 ygrad(z) = - = = = ■ í — - = = = = j en (5,3)

V* 2 - y 2 y* 2 2 X - y

5 3 1grad(z) = - i - - j = - ( 5 /' - 3 y)

4 4 4

Hallar el grad(u) en el punto (1,2,3), si u = xyz

Desarrollo

dugrad(u) = — i + — j + — k

dx dy dz4.

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1887

1888

grad(u) = yz i + xz j + xy A: en (1,2,3)

— >grad(ii) - 6 / + 3 j - v 2 k

Hallar la magnitud y la dirección del grad(u) en el punto (2,-2,!) si

Desarrollo

,. , du 0 «A 01/ 7grad (u) = — i + —- j +

ex cy cz

grad(u) = 2 x / + 2 y / + 2 z A en (2 ,-2 , 1)

grad(u) = 4 i - 4 j + 2 k , su magnitud es: j grr/<7(//) j = Vi 6 + 16 + 4 - 6

ahora encontraremos los cosenos directores

4 4 2eos a = — , eos Z? = — , eos y = ~

6 6 3

2 2 2es decir: eos a = —, eos B = — , eos y = —

3 3 3

vHallar el ángulo entre los gradientes de la función z = ln— en los puntosx

y B (l,l) .2 4

Desarrollo

dz~* dz 1 1grad(z) = — i + -— j = — i + —j

dx cy x y

calculando en los puntos A y B se tiene:

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1889

1890

— > — > — grad(z) = -2 i + 4 j , grad(z) = - i + j

( -2 ,4 ) .( - l ,l) 2 + 4 6 3eos üt = - _v 4 + 1 6 .v m V2ÓV2 ^4 0 Vio

COSÉ? ^Vio2 2Hallar la magnitud de la elevación máxima de la superficie z = x + 4y en el

punto (2 ,1 ,8 ).Desarrollo

dz fe ~Tgrad(z) = - L i +-— / => grad(z) = 2 x / + 8 y j en (2 ,1 ,8 )

dx dy ‘•)

>;• ■ V

grad(z) = 4 i + 8 j

La magnitud de la elevación máxima es:

¿g# = (— )2 + (— ) 2 = V l6 + 64 = 8.944 es decir:]¡ dx dy

0 = arctg (8.944) s 83°37’

Construir el campo vectorial del gradiente de las siguientes funciones,

a) z = x + yDesarrollo

dz~> dz~* grad(z) = — i + — j = i + j

dx dy

Luego el campo vectorial es el vector normal a la superficie z = x + y

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b) z = xyDesarrollo

¿V $7grad(z) = —- (' + — j = y i + x j

ex ey

Luego el campo vectorial es una familia de vectores normales a la superficie z = xy en el punto P(x,y).

c) z - x ~ + y 2 'Desarrollo

grad(z) = 2x i + 2 y j , luego el campo vectorial es una familia de7 7vectores normales a la superficie z = x“ + v~ en el punto P(x,y)

6J. DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES.*

( 7 ) DERIVADAS PARCIALES DE ORDENES SU PERIORES.-

Se llaman derivadas parciales de segundo orden de una función z = f(x,y) a las derivadas parciales de sus derivadas parciales de primer orden.

Para designar las derivadas de segundo orden se emplean las siguientes

notaciones.> i

a ^2O CZ C Z ;( - - ) = —T =7 v 7 ?dx dx dx"

dy dx dxdyv’

análogamente se determinan y se designan las derivadas parciales de

orden superior al segundo.

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Si las derivadas parciales que hay que calcular son continuas, el resultado de la derivación no depende del orden de dicha derivación.

(5) DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES.-

Recibe el nombre de diferenciables de segundo orden de una función z = f(x,y), la diferencial de la diferencial de primer orden de dicha función:

i f* ”d2z = d(dz)

y en general^ ¿ ^ d ( d n z )

Si z = f(x,y), donde x e y son variables independientes y la función f tiene derivadas parciales continuas de segundo grado, la diferencial de 2 do orden de la función z = f(x,y) se calcula por la fórmula:

... (1)

E11 general, cuando existen las correspondientes derivadas se verifica la fórmula simbólica

Que formalmente se desarrolla según la ley binomial.

Si z = f(x,y), donde los argumentos x e y son a su vez funciones de una o varias variables independientes, tendremos:

... (2)

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Si x e y son variables independientes, d 2x = 0 , d 2y se hace equivalente a la fórmula ( 1)

1891 Hallard2z d 2z d2zdx2 ’ dxdy ' dy

2 2 x y '•, si: z = c j — + —

a 2 b2

Desarrollo

2 2 X v c

Z = C J — + —,- = —a b2 ab

1,1 i 1 ?y¡b~x- +a~y

dzV-‘ W cbx a 2z abey2CX üyj t f x 2 + a 2 y 2

' ,»■ ■ ' ‘ 1 ;Í, ■■..¡i

ax2

! ... / '«((b2x2 + a 2y 2 ) 2

dz : ; ; ‘; ¡ bcx ==>-.2 C7 Z -abcxv

dx ay 1 ,2 2 , 2 2 Jb x + a y''1 1.'

dxdy 3/ 1 2 2 2 2 \o(b x + a y ) 2

dz acy=>

a 2z abex2dy

h \l u 2 2 . 2 2 jb x + a y e>’2 3

/ l.2 2 2 2x7(o x + a y ) z

n2 ^2 ^2-rr ,1 d Z O Z O Z . t / 2 X1892 Hallar — , — - si z = ln(x + y )

dx~ dxdv dyáDesarrollo

z =

az 2 xf -,2 O z 2 ( v - x 2)

dx x2 + y dx1 (X2 4- y ) 2

dz 2 x d2z - 2 xdx 2xz + y dxdy (x2 + y ) 2

dz 1 d2 z!»

1

dy x2 + y dy2 ‘ (x2 + v) 2

= 0 y la fórmula (2 )

••

i1

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1893 Hallara 2z

dx dysi z = + y ‘

Desarrollo

= 7 ^7

dzdx

y

d2z

y¡2 xy + y 2

xydxdy -

( 2 xy )2

1894 Hallar si z = arctg(—-—- )dxdy 1 -x y '

Desarrollo

J + V v= arctgV— —) 1 - x y

dz 1

dx 1 + x2

= 0d2z

dxdy

P>2 ___________1895 Hallar —4 , si r = yfx2 + y 2 + z 2

dx*

Desarrollo

dr2 2+ V + Z =>

✓ êxk 7 * 2 + 7 + z 2

S2r (x2 + _y2 + z2) - jc2 r 2 2

dx2(x2 + V’2 + z 2 ) 2

-¡2o r r

dx2

1896 Hallar todas las derivadas parciales de segundo orden de

u = xy + yz + zx

x" .3

la función

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1897

1898

Desarrollo

du d 2u . d2u ,— = y + z => ------- = 1 => = 1dx " dxdy dxdz

”5 2 ->2 ^2cu c u d u o udy dv2 oydx dydz

du d 2u _ d2 u d2u— = y + x => —— = 0 => ------- = 1 ~ -> --------- = 1dz dz~ dzdx dzdy

c uHallar , si u = xa y z r

Desarrollo

u ~ xa yPzy => — - a x a ly ^ z rdx

d ^ U „ ¿/—I B—1 y = a p x vA z'a*dy

5 U j a-\ fí-1 /-I ap yx y h z rdxdydz

d2 7H a l la r ^ , si z = sen xy

cxcyDesarrollo

dzz = sen xy => — = y eos xy

dx

~s2o z eos xy - xy sen xydxdy

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d3z

dxdy— - - x sen xy - x sen x - x 1 y eos xy

dxdy'= -2 x sen x y - x y eos xy

1899 Hallar / " ( 0 ,0 ) , / " ( 0 ,0 ) , / " ( 0 ,0 ) si

Desarrollo

f U x,y ) = m(\ + x)m \ \ - y ) n => / xÍ(jc ,j) = o t(o t - 1)(1 + jt)'" 2 (l+ .y)"

/v> ( JC- > ) = m « ( l + a:) " ' ‘ (1 + j O" 1 => / ^ ( 0 , 0

f l \ x , y ) = n(\ + x)m{\ + y ) n 1 => f = n (« - l ) ( l + x)'”(l + j ) " 2

f ‘‘ (0 , 0 ) = n ( n - l )

d 2z <32z .1900 Demostrar que ------ = -------- , si z = aresenA

dxdy dydx

Desarrollo

x - y x — y yz = aresenÁ/—— => sen z = J — -— = J 1 ----

cz y yeos z — = -----p - pero eos z = * —

dx 2x \¡x .y jx -y V *

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1901

<*>czex

y y2 x y fx s jx - y eosz 2 x ] ¡ x - y

1

dxdv -4 y ¡ y ( x - y ) 2

(1)

y dzsenz = J 1 - — -z> cosz —

x dyv x - y

dzdy 2\[x y] x - y eos y 2 JJ'^Jx-y

^2 o z

4 yfy(x-y)... (2 )

comparando ( 1) y (2 ) se tiene:d 2z

■',2Demostrar que

c * OSI Z = X

Desarrollo

c)z2 = X = VX

dxv-l O

dxdvxy 1 + y.xy 1 inx

x y ( l + y l n x ) (1 )

tízz - xy => — = x v ln x^2 C7 Z = xy 1 + vxy~l Inx

dy

= xJ 1 (1 f v ln x) (2 )

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I unciones de Varias Variables 83

comparando ( 1) y (2 ) se tiene:->2 .2C Z O Z

dxdy dydx

2 2 X —yI c>02 Demostrar que para la función f ( x , y ) = xy(— - ) con al

x 4- y

complementaria de f(0 ,0 ) = 0 , tenemos /^ , ( 0 , 0 ) = - l , / ^ . ( 0 , 0 ) = +

Desarrollo

¡) s¡ y < 0 ^dx *->o x *-»o x + y

82f ( 0 , y ) } ^ 8 2m 0 ) _ ,dxdy dxdy

dy y->o y v->o x- + y z

d~f(x, 0 ) } ^ g¿/ ( 0 , 0 ) _ 1

dydx dydx

d 2 z d 2z d2z1903 Hallar — - , , — ^ si z = f(u,v) donde u = x2 + y 2 , v = x y

dx2 dxdy dy2Desarrollo

Xu _

yX

dz dz du dz dvdx du dx dv dx

condición

1

= -y

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d"z d dz du. d .dz dv— — = — ( — . — ) + — ( — . — )

dx" dx du dx dx dv dx

dz d du du d dz dz d dv dv d dz— • — (— + — •— (— )cu ex ex dx dx eu dv dx dx dx dx dv

ez d~u du d .dz dz d v dv d .dz.— .— - + — .— (— ) + — .— - + — .— (— )cu dx" dx dx du dv dx dx dx dv

Sz Sz8)li ’ 8v

c d z .. d , d z . cu d . dz dv c ( ^ ) = — (— )— + — (— )

oz cu o z cv

— 4--------.—dx cu cu du dx dv du dx -\du 1 dx dudv ex

.. (2 )

c .a d dz du „ ...(— — + — (— )( ) d ,d z . dv ~<2 o z cu o z enni ;

+ -> •dx dv du cv ex dv dv ex dudv dx dv" ex

reemplazando (2 ), (3) en ( 1)

-2_ -,2.. qu ¿)2:Zj¿)u z v ov d2z du d 2z dvo z cz o udx2 du dx" dx

+O * ^du" dx dudv ex cv cx‘+— ( 4'

dx dudv ox O v ex)

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I <>04

O zex

f int(w,v)Ax2 + f vv{u, v )y2 + 4xyfjlt(u, v) + 2f v (w,v)

(7 Z 7 r-H} = 4.V f;nt (u,v) + / / , ' ' ( « , v) + 4.ry/TO (m, v) + 2 /u («, v)av

En forma similar para el casoC7 2 CV

O Z O Z CU O C Z OV 2 ^— r + — (— ) * + 2

cj2z du dv dz d 2u dz d2v

dy~ cu" oy dv2 ^+

dy dvdu dy dy du dy dv dv'

( 2 2 U - X “ -f V

cu= 2 y

oydv

— = Xdy

=> <OV2

a 2vcfy2

7Z w

0

^2 O z7 = ^y2fuu(«>v) + (M’,;)+ («> v> + 2 («, V)

2 rll IIdy

en forma similar para el casoa2z

ax-av

5 * = 4xyfl¡u (u,v) + (w,v) + 2 (x2 + j 2 )/„"(« ,v) + (u,v)dxcv

Hallara2 aT TGX

si u = f(x,y,z) donde z = cp(x,y)

Desarrollo

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1905

U

X

yz

X

y

dudx

= fx (x, y, z ) + = f'x (*, y , z ) + <p'x (x, y)f'z (x, y, z)dz ex

d 2 u , v du d u dz , d ,dudx dz dx dx dx dz

= f n ( x , y , z ) +du d 2z dz ,d2u dzdz dx2 dx dz2 dx+ t 1 i r r r - + f í (*> y*z))

d2udx2

U u dz du d2z dz= fxx{*>y>z )+ fx z (x>y>z ) - z - + — • —dx dz dx dx dz dx

r" , . -> fU, ^ , du d Zfjcx (*> y>z ) + 2fxz (* ,.y ,z )— + —y ( — ) + — .—y

d x d z d x d z d x

—x=f!L ( y >’>z)+ 2 /c (*> 3’,z Vx (■*. >0+/ i (*> 3, z K 2 (x, y, z )+ f ' (x , y, z)<¡>" (x, y) or

Hallard2z d2z d2zdx2 ’ dxdy ’ dy2

, si z = f(u,v) donde u = cp(x,y), v = v)/(x,y)

Desarrollo

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dz dz du dz dvdx du dx dv dx

d"z d .dz du dz dv 8 .dz dux 8 .dz dv.— 7 = — (— .— + — .— ) = — (— .— ) + — (— .— )dx~ dx du dx dv dx dx du dx dx dv dx

dz d .du. du d .dz. dz d .dv. dv o .dz.— . — ( — ) + — . — ( — ) + — . — ( — ) + — . — ( — )

du dx dx dx dx du dv dx dx dx dx dv

dz o u du d .dz. dz d v dv d .dz. . T- + --- .---- (--- ) + ----.----7 + ---- .----(----)du dx" dx dx du dv dx dx dx dv

O)

dz u

V

dzdv

d .d z . d .dz .du d .dz üv d z du d z dv ( -----) = ------( ---- ) ----- + ----- ( ---- ) ---- = ----- -- ---- 4---------- . -----dx du du du dx dv du dx du" dx dudv dx

(2 )

d dz. d dz du d d z .d v d2z du d2z dv— (— ) = — (— ) — + — (— )— ------ .— + — 7 .—dx dv du dv dx dv dv dx dudv dx dv dx

(3)

reemplazando (2 ), (3) en ( 1)

d2z dz d 2u du / d 2z du d 2z dv dz d2v dv d2z du d"z dv— 7 = — .— 7 + — (— 7 .— + -------.— ) + — .— 7 + — (------- .— + — 7 .— )dx" du dx dx du" dx dudv dx dv dx dx dudv dx dv dx

d"z d z ,du. 2 d z ,dv. 2 ~ d~z du dv dz d u dz o v— - = — - ( — y + — 7 (— y + 2 -------.— .— + — .— 7 + — .— 7dx" du dx dv dx dudv dx dx du dx dv dx

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1906

1907

en forma similar se obtiene:

d2z d2z du du d2z .du dv dv du. d2z dv dv dz d2u dz d2v+ —TÍ— —T-— •— + — -T-T- +dxdy du dx dy dv dx dy dx dy dv dx dy du dxdy dv dxdy

d2z d2z ,d u .2 d2z .dv^ d2z du dv dz d2u dz d2v= — - ( — y + _ ( _ ) - + 2 -------dy du dy dv dy dudv dy dy du dy dv dy~

Demostrar que la función u = arctg(—) satisface a la ecuación de Laplace

d2u d2u _— + —y - 0dx" dy

Desarrollo

y, du - y d u 2xy— ) => = ------- ----- zz> --------= H------------------x dx x2 + y 2 dx2 (x 2 + )'

du x d u - 2 xy2 . . \

dy x 2 + y 2 dy2 (x 2 + y 2 f

d 2u d2u _ 2xy 2xy _ # d"u d2u _

dx2 dy2 (x2 +>>2 ) 2 (x2 + y 2 ) 2 dx2 dy2

Demostrar que la función u = ln(—) donde r = y j ( x - a )" + \ y - b) 2 , satisface ar

la eeuación de Laplace ^ ^ = 0dx2 dy2

Desarrollo

u = ln (-) = - I n r = - ~ l n [ ( x - a ) 2 + ( v - 6 )2] r 2

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1908

= yl(x-a)2+(y-b)2 => <

dr _ , x - a _ x - a

8x J ( x - a)2 + ( y - b ) 2 rc r _ y -/? _ y ~ b

dy J ( x - a)2 + ( y - b ) 2 r

du _ d u dr 1 x - a _ x - adx dr dx r r r2

du du dr _ 1 (y — b . _ y - bdy dr dy r r r 2

d 2u (y - b)2 - (x - a)2

dx1 [( x - a)2 + { y

d 2u _ {y - b)2 - (x - a)2

~dy* ~ [{X~ a )2 + ( y - b ) 2]2

. . . (1 )

... (2 )

d2u d2usumando ( 1) y (2 ) se tiene: — — + — - = 0

dx dy

Demostrar que la función u(x,t) = A sen (a^t + cp) sen A,x satisface a la., . d 2u 2 d2u

ecuación de las vibraciones de la ecuación —— = adt2 dx2

Desarrollo

duu(x,t) = A sen (aXt + (p) sen Ax ==> — = AaA cos(aAt + (p)senAx

dt

= - A a A sen(aAt + q>)senAxd2uXA— = AAseniaAt + cp) eos Axdx

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1909

d2 u— - - —AAsen(aAt 4- (p)senÁx dx~

d 2 u c 2a " — ^ = a~ (-AA"sen(aÁt + (p)senAx) = -Aa^Á‘~sen(aAt 4- (p)senÁx - ——

¿br dt

2 - \ 2 CU 1 c ua , 2 2ct ex

( x - X r , ) 2 - H v - R , ) + ( - - - fi ->

Demostrar que la función u(x,y ,z , t ) = 7==r~Te 4ot( 2 a^7Ct)'

( x0, v0, z0 son constantes) satisface a la ecuación de ia conductividad calorífica

cu o <32u d2u d2u — = a “(— r + T T 4 — --)ct dx dy~ dz~

Desarrollo

A (x-xü )■+(>'->•„f+(z- =(,yCl l A Xr

ex 2a2t(2a\!~7rt)

_(-v~4))~ +(.V->,o ): +(¿-~r, )2ó2u e7 4ü7 ( x - x 0 )2 1

2 - 1 1 . T o _ o /CX~ (2 tfV/zt)3 4 a 2/ 2 2¿72r

(-y~4 )) +(v-r0)~+(z-¿..,):= e 2 ( - .yo )2__l_x

c¡>’2 (2aV//7) 3 4 a 2/ 2 2 a 2/

( x - v 0 )2 +(y - v0)- + ( z - z 0 )-d2u _ e ( z - z 0 ) 2 1

& 2 ” ( 2 a j ñ t ) 3 4 a 2/ 2 2a2/

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1910

( a - x 0)2+ ( y - y {))2+ (z - z 0)2d2u d2u d2u ^ e_______ ^ (x - x 0 ) 2 + { y - y () f + ( z - z 0 )2 ___3_

d x 2 d y 2 dz2 (layfxt)2 4a212 2a21

(x-Xq)2+(y-y0f+(z-z0)21¡dLu tfu e y x - x ^ f + { y - y (í)2 3^

a W dy2 dz2) ( 4t2 2tM )

(x-x0 )2 +(y-yü); +(z-z0 )2du _ e 4a>‘ , ( x - x0)2 + ( y - y 0)2 + ( z - z0)2 3dt ( 4t2 - ( >

<3w o d2 u d2 u d2 ucomparando ( 1) y (2 ) se tiene: — = a (— - + — — H--—)

dt dx dy dz

Demostrar que la función u = (p(x — at) + V (x + at), donde cp y \|/ son unas funciones cualquiera, diferenciables dos veces, satisface a la ecuación de las

vibraciones de la cuerda = a2dt2 dx2

Desarrollo

du / /u = <p(x - at) + \|/(x + at) => — = -a(p (x - at) + ay/ (x + at)

dt

o u 2 // / \ 2 l¡, X— —~ a (p (x-a t) - \ -a y/ (.x + at)d r

d2u— — = a2^ 11 { x - a t ) + y/!l\ x + at)) ... (1 )dt2

du ¡ /u = cp(x - at) + \\f(x + at) => — = (x - tf /) + ty/ (x + tf/))-ZCX

c u 3 uahora comparamos ( 1) y (2 ) se tiene: —— = a “ — --

2 dv

y y1911 Demostrar que la función z = x(p(~) + \j/(—) satisface a

x x

2 d 2z 4 ¿52z t d2z■V —T + 2>y — — + y —- = 0dv2 dxdy dy2

Desarrollo

z = * * K > W (Z ) => ^ = ^ ) _ z ^ (z ) _ 4 ^ (z )X X OX X X X x X

- - - V < V 4 * ' < ¿ > + 4 / < z >+ V < - > + 4 * ' ,'<z >dx~ x" x x -X x x x x x x

dx x x x' x x x

(2)

la ecuación

(1)

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1912

(2 )

z = x(p{-) +X X

dz 1 / y 1 , y- = -<p { - ) + -<// ( - )oy x x x x

oy' xx x x

(3)

1 1 11 • 2 d ~ z ^ d Z 2 d ' Zsumando (1) + (2) + (3) se tiene: x — - + 2xy ------- + v — r- = 0

dx2 dxdy ' dy'

Demostrar que la función u = <p(xy) + yfxyi//(—) satisface a la ecuaciónx

i d'u 2x~ - - yox

d2 u

dy= 0

Desarrollo

Sea w = xy, v = — ; u - <p(w) + y/w i//(v)x

U

V

X

yX

Se ha deducido que:

r\2c u d2u ,dw . i d2u dv 2 ~ d2u dv dw du d 2w du d2v T = T-( Y + TÍ ) + 2 ------- •----•---- + ---- •----T- + --- •----Tdx' dw dx dv dx dwdv dx dx dw dx dv dx'

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dwII£ ■ yy => < V — —

dx => <dv y

l x.dx2 x2 <

d2 w

dx2 d 2v

= 0

2 yk dx2 x3

u — (p{w) + dw / 1— = p (w) + — = ^ ( v )dw 2 v w

d2w //, x i / ,— - = <2> (w )------ 5-^ (v )34h ’2

u = ^>(w) + Vw ^(v) ® ü = V í r ' , v ) , i ! í _ = £ > )5v ovc?w 2 >/w

5 2m

av= Vw y(v)

Adx2

= >'2((p '(w )---- - 34u ’2

^(v^ + -jy/ñ-y/11 (v) + 2^ -j ^ ( - ^ t ) + 0 +2 v w x"

w y/ (v)x

chr2 //, x y2 , , , y2Jñ J!, , y2V '(v) , 2y^fw y/1 (v)T = y (p(w)-r K y)+— — ^ (v)— ^-r- +3

4w2Vwvvx

_2 a 2M 2 2 , j i t . A ^ ( VK , y 24 w y / n(v): — y = x j ( í ? (m )-------- r - ) + ----------- -- 7 = — + • • • ( * )

(3x - X V W *4w 2

0 0 0 O O Od u d u ,dw\i d~u , dv , ? ^ dv ow di/ d~w du d~v - = ----- ( ---- )“ + ----- ( )" + 2 --------.----.-----+-----•----T- + T - - ---7dy" dw~ dy dv~ dy dvdw dy dy dw dy dv dy

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cw/•

3 II

dy= JC

1 V => i V — —

=> \dv 1

l X dy

J

I HII

d2w

d 2v

S y 2

= 0

0

d2u -> d 2u 1 d2u — T = jc — - + — .— - +c y dw2 x2 dv2 2Vvv

d2uy z = x2j f (<pl¡ (w)

dy t;'" x¿ + yy/ (v) (2)

d ¿ ll y 8 ¿ UX

dx'- v

dy'

2y 2y/'(v) ( lyfmyiy (v) yfw X

2 / ^ / (v) + 2 vvy^(v)Vvv yfwx

2 y 2 y / \ v ) | 2 y 2 y / \ v ) _ Q

Vw Vw2 d 2 U 2 d 2 Ux — - ~ y —7dx dy

— 0

1913 Demostrar que la función z = f(x + <p(y)) satisface a la ecuación

dz d2z dz d 2zdx p dy dx2

Desarrollo

z ~ f(u) donde u = x + (p(y)

U

dxCZ c u

-'“N

CZ= f (u)

CU CX Cl l

-\2C

^ /-*.

t í CZ . c ud dzébrcv 5v o» 5i/ du

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1914

1915

... (1 )

cz az cudy du dy = f'(u)<p (.y)

$■ = / ( « ) CX

d "~ ,u »CU CXdx2 dx

dz d z du dx2

... (2)

comparando ( 1) y (2 ) se tiene:dz d2z _ dz d 2z dx dxdy dy dx2

Hallar U = u(x,y) si _ qdxdv

Desarrollo

d u(x, v)cxcy

0 integrando con respecto a y

cu(x, y)dxdy

= f ( x ) integrando con respecto a x

u(x,y) = F(x) + G(y)

d2 uDeterminar a la ecuación u = u(x,y) que satisface a la ecuación - j - = 0

Desarrollodx'

dx‘0 , integrando respecto a x

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1916

I c> 17

dudx

= p ( y ) , integrando respecto a x

u = x (p(y) + v|/(y) u(x,y) = x (p(y) + \j/(y)

Hallar z , si z = eDesarrollo

_ , dz , dz .Como dz — — dx + — av , entonces se tiene:

dx dy

z - e '-XV

dzdxdzdy

ye XV

reemplazando= xe XV

dz - yexv dx + xexydy = exy (ydx + x dy)_ „xy dz = eAV (y dx + x dy)

r2 ^ 2z • ? d2z d2zd z = — —d x + 2 -------dxdy-\ - d y

dx2 dxdy dy'

dz<?xdzdv

= yeA;v

= xe XV

d2zdx~ d2zd 7 '

d2zdxdy

2 xv7 = y e •

XVx e ■

XV . XV= e • + xye

reemplazando

d Lz = y 2exvd 2x + 2(xyexv + eAV )¿/x¿/y + x exyd Lyxv , xv .2 xv i2

c/zz = exy [y2d 2x + 2(xy + 1 )dx dy + xzd zy] = eA> [(y dx + x ¿/y)z + 2 dx dy]2 12

Hallar <r/2a si u = xyzDesarrollo

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1918

,2 d 2 U 2 d 2 U j 2 d 2 U j 2 d 2 u 7 7d u - — ^-d“x + — - d y + -—j d z + 2(— ~~dydz +d x d y ' dvdz

d2udxdz

dx dz Hrd2u

dxdy)

u = xyz =>

du!k

dudy

dudz

xz ,

= xy ,

c?2t<¿)x2-s2O w

ay2

a 2âz2

- o ,

o

o

d2uoycz^2 c> u

dxdz

= X

= y

a2waxay

= z

w w — 0 + O + O + 2 (x dy dz + y dx dz + zdx dy)

9d u = 2 (x dy dz + y c/x c/z + z dx dy)

7 7Hallar c/“z , si z = cp(t) donde t — x + y~

Desarrollo

d2 z i c 2 z d~ zd~z — — — dx + 2 dx dy -i---- — dy"

ax2 cxcy 2cy

dz __ az a/ax dt dx

= (p‘ (t)2 x = 2 xcp (/)

2O z T~Tex

2cp! (t) + 2x(p \ t ) . 2 x Ax2 <p1 (t) + 2(p> (t)

dz dz dt' - y .CV ct cv

(p1 {t).2y = ycp (t)

d 2z

dv2= 2<p!(t) + 2 y y ( t ) 2 y = y 1 <p!‘ (t) + 2(p (/)

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/ unciones de Varias Variables 99

¡919

_ 9

cdxdy dy dx dy

(2 xqJ (t)) = 2 x (p \ t )2 y - 4xyip (l)

d 1 z = (4x2 (t)(xdx + ydy)~ + 2 > (t)(dx + dy )

Hallar dz y r/“z si z = u , donde m = — , v - xy

Desarrollo

. dz , cz . A , dz dz du dz dv v_| 1 v . d z - — d x h dy , donde — = — .------(- — . — = vu + u m u.y

dx dy dx du dx dv dx y

dzdx

= A T ( - V " 1 - + ( - ) " ln ( - ) .y = y ( - r (1 + ln - ) = y ( - ) * (ln e + ln - )y >’ y y y y y y

dz dz du dz dv+

dy du dy dv dyvuv 1 (— + uv ln u .x

y “

X ) + (—) 'v in(—,.xx Á - r ~ ' ( ,y y- y y

CZ= jr(—) (ln(— )) => dz = y ( —)xv ln(— )dx + (x(—)xy. ln(— ))dv

dy y ye y y y ye

d z ^ i - ^ ’lyln — dx + x W — ldy]y y

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! 00 Eduardo Espinoza Ramos

1920

1921

En forma similar para:

-) Y' i* -> Y' Y P Y

d~z = (—) [v~ ln"(— ) + —]dx~ + 2 [ln — -f xy ln(-—).ln(— )]dxdvv * y x y ‘ v ve

+(x2 in2 ( - ) - - ) d v 2V V

7

Hallar d z , si z - f(u,v), donde u = ax, v = by

Desarrollo

az . czdz = — dx + — dy = afu (ii. v)dx + £/¡; (¿z> v)c/v

cbr oy

? , ">• / / /: 2 ♦;■ /■d ¿'z = a^fuu (//, v)dx~ + 2abfm\u , v)dxdy + b fv, (m, v)t/y‘

Hallar si z = f(u,v) donde u - xe} , v = ye'f<"‘¡ n:í} "i ■-■)"! | - jrJ ;• ■ Y ! "i )

i í í

Desarrollo

O ,v?•T « /’ 7 5 ■' y 1 _d ~z = — ~ ¿/a*‘ + 2 — dx dy h— — c/y"

C Y “ OAY V* .........

^ •> ^ ^ '■) . ^ • ' " v

c “z o “z dz/. o d"z d v ■•> d~z cz/ dv cz 6~u dz d '\— (— ) --i------ (— ) -f- 2 ------- .— . — i . — r' ~ydv2 dz/ 2 dx ¿V2 dv dz/Sv clr dv du Sx* dv d\

~ r = ..c, (w. v) 4- r 2fc'“ ' (íf, v) + 2 f 'Uu,y)ye' ey + j u (//. v)(0 ) + (u, i)(0 )6 A “

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Funciones de Varias V ariables 101

1922

~ ~ T = x2e2yf!m ( « , v ) + 2 ye* eyf+ e2x f ' l v) + xev f'„ (u, v) + 0

^2

7 - 7 = fuu(«» v) + 2y e' e> fuv(u> v) + *2'V/vv («»v) + xe fu (">v)CV "

<32z 5 ,3z, . =-~~ir^-) = eyfú(u,v) + xe2yf¡^{utv) + exf^.{u,v) +cxcy cy ex

+ex+y (1 + xy)f¿l(u, v) + (", v)

^ - T = e' fu v’) + xelyfuu («’v) + e*fí («>v) + é>A+'’ 0 + -KV)/„v (M>V) + Ví’2* /^ (M- V)exoy

d 2z = [elyf!m(w, v) + y 2 e2x ff(«> v) + 2v +

+ k 7 « (u, v) + xe2 v (u,v)+exf l (u, v)+ e v +v (1+ xv)/„t («, v)+ ye2x f ' i (11, v)]dx dy( . '

+f-v2e'-v.4 / (">>') + 2 yexe' f yv(u,v) + e2v/ w («•v) + (u,v)]dy2

Hallar d z si eosDesarrollo

-> d t.d~z - (dx— + d v— ) z , desarrollando

ex dv

,3 j 3 o dJz y 2 / -j , , 2 1 3d z - — - í/.y + 3 — -— dx dv + 3------- dx dy + — - dv~dv av qy arqy qv

dz x c z Y c z x— - eos v , — - = £ eos y , — - = e eos veos y , — - = e eos y , — -¿ir ' 8x2 ‘ dx3

-3 -n3O Z v . <7 Z v .

— -— = - e sen y , = - e eos ydx dy cxdy

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1923

1924

d i z - ex eos y dx3 - 3ex sen y dxl dy - 3ex eos y dx dy2 + ex eos y dy

3 3 ? 2 3d' z - e x (eos y dx' - 3 sen y dx"dy - 3 eos y dx dy + eos y dy )

Hallar la diferencial de 3er orden de la función z = x eos y + y sen x

Desarrollo

i d 2 z i d2 z d~ z ?d z - — - dx + 2 — — dx dv -\ dy

dx2 exoy dV

z = x eos y + y sen xczdx

eos y + y eos x

d z

dx2-y sen x

dxdy- eos x - sen y

czdv

s e n x - xsen y

^2C

2- - x eos v

oy

d~z - - y sen x dx + 2 (cos x - sen y)dx dy - x eos y dy

Hallar df( 1,2) y d 2f ( 1,2) si: f(x,y) = a:2 +xy + y 2 -4 1 n jc - lO ln y

Desarrollo

dx cy

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dx xg / ( U )

dx2 + 2 - 4 = 0

^ y l = x + 2 y J l => ^ = 1 + 4 - ^ = 5 - 5 = 0dy y dy 2

dz = df( 1,2 ) = 0 dx + 0 dy = 0 d f(l,2 ) = 0

d ~ f ( l 2 ) =d f ( \ , 2 ) 2 .

dxÁdx + 2

dxdydx dy +

d / ( 1, 2 ) 2

- 2 +cy

df(x ,y ) dx

cf(x, y) dy

= 2 x + y - ■

a + 2 >>

d2f { x , y )

4 dx2— =>A >c 2f ( ^ y )10 ' — => dxdy; . .

y d2f ( x , y- 2

-

2 +

= 1

= 2 +10

2y

d V i 1. 2 )a*2

a 2/ d , 2 )dxdy

82f(U 2) 2 cy

- 1

_ 9 ” 2

é/2/(1 , 2) = 6¿/a2 + Idxdy + 4.5 dy2

1925 Hallar d 2f i f i , 0 ,0 ), si / (a, y,z) = a 2 + 2 j ’2 + 3z2 - 2a;v + 4az + 2_yzr

Desarrollo

d 2f ( x , y , z) = ( d x f + d y ~ + - ^ - ) 2 /ca cy cz

d 2f ( x , y , z ) = ^ f d x 2 + ^ f d y 2 + ^ f d z 2*v 2 2ov cv dz dxdy dxdz dydzdydz)

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c f ( x , \ \ z )dx

df(x ,y ,z )dy

3 f (x ,y ,z )CZ

- 2 x - 2 v + 4;

= 4 v - 2x + 2.

— 6z + 4x + 2 y

d ~ f ( x , y , z )|

a r

8 f ( x , y , z)

ov '

cr f ( x , y, z) dz2

= 2

= 6

d 2f ( x , y , z )dxdy

d f ( x , y, z)dxcz

d f ( x , y , z )

= 4

= 20V<7Z

d~ f ( 0 , 0 . 0 ) = 2dx2 + 4¿/vz + 6dzz -f 2 ( 0 + 4áxc/z + 2 dy dz)

d 2 f ( 0 , 0 , 0 ) = 2 dx2 + 4¿/y2 + 6 <iz2 + 8 dx dz + 4c/v (iz

6.8. INTEGRACIÓN DE DIFERENCIALES EXACTAS.-

Ira. CONDICIÓN DE DIFERNCIAL EXACTA.-

Para que la expresión P(x,y)dx •+• Q(x,y)dy, en que las funciones P(x,y) y Q(x,y) son continuas conjuntamente con sus derivadas parciales de primer orden en un recinto simplemente con D, represente de por si, en el recinto D, la diferencial exacta de una función determinada u(x,y), es necesario y suficiente

que se cumpla la condición.

dQ dF[dx dy

2da. CASO: DE TRES VARIABLES.-

La expresión P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz, en que P(x,y,z), Q(x,y,z) y R(x,y,z) junto con sus derivadas parciales de 1er orden, son funciones continuas de las variables x, y, z representa la diferencial exacta de una función determinada u(x,y,z), en un recinto simplemente conexo D del espacio, y solo

cuando en D se cumpla la condición:

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1926

dQ dP dR dQ dP dRdx dy ’ dy dz dz dx

Después de comprobar que las expresiones que se dan más abajo son diferenciales exactas de ciertas funciones, hallar estas funciones.

y dx + x dyDesarrollo

(P(x,y)

Q(x,yyX

=> <

dPdydQ

„ dx

= 1

dQ cP -i , x icomo — - = — es exacta entonces 3 u(x,y) tal que:dx dy

du(x ,y) dx

= y , integrando respecto a x

u(x,y) = xy + g(y), derivando respecto a y

du(x,y)dy — x + s (.v)

g (y) = 0 => g(y) = c •. u(x,y) = xy + c

I‘>27 (eos jc + 3x2 y)clx + (.v3 - y i )dy

Desarrollo

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1928

cP cQ ‘ x ,como — = es exacta => 3 u(x,y) tal que:dy dx

dw(x,y)dx

7 7= eos x + 3x y , integrando u(x, y) = x + x y + g ( y ) , derivando

di/(x,y) 3 / 3 2- = x + g (y) = 0 (x ,y) — x - y

dy

g 0 ;) = -.v3 => £(>•) = “

3 yu(x,y) = x y vsen x

(x + 2 y)dx + y dy

(x + y)'Desarrollo

P(x, =

Q(x,y) =

x + 2 y (x + y ) 2

=>v

(x +

d P jx X ,dy

SQ{x,y)dx

2 y(x + y)

2_y

(x + y)'

dP dOcomo — = — es exacta => 3 u(x,y) tal que:

dy dx

du(x,y) n x + 2 y— i—— = p = v , integrando respecto a xdx (x+y) '

u(x,y) J; x + 2 y

(x + y) dx+ g (y ) = ln(x + .y) .V

x + y +g(y)

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1929

u(x, y) = ln(x + y ) — + g{y)x + y

du(x,y) 1

dy x + y (x + y )A + ¿ (y) = Q(x,y) = y

(x + y)'

x + y - x / y— — T + g \ y ) = — T(x + y ) (X + y ) 2

y + g ' ( y ) = y(x + y)'

g ' ( y ) = 0 => g(y) = cy

u(x,y) = lníjc + y ) 1-cx + y

2 2 x 4-y X 2 + y 2Desarrollo

P =

Q =

x + 2 y2x + y

2x — y2 2 X + V

=> i

6P 2x~ - 2xy - 2y 4dy

dQdx

(x2 + y 2)2

2x2 - 2xy - 2y 2

(x2 + y 2)2

dP dQ _ e x ,como — = — es exacta => 3 u(x,y) tal quecy ex

du(x.y) x + 2y , = P = — , integrando respecto a x

dx x + y

u (x ,y )= f dx + g (y ) = | ln(.v2J x~ + y- 2 y

1 . - 2 , 2 • - Xu(x, y) = - ln(jc + y ) + la rc tg— + g ( y ) , derivando2 y $

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1930

1931

6u(x,y) y 2x , 2 x - y— - — = — — ~ — T— T + S — 7

oy x + y~ x + v jc + y

2x - y / 2x - y—— v + s 0 0 = — 5— " tjc + y x 4- y "

=> g (y) = o => g(y) = c

i -) -) xa(x, y) = — ln(.r" 4- y" ) 4- 2arctg{—) 4- c

1 " y

— dx — -~dyv

Desarrollo

ydP i

=> <

Q = y

dy

dQdx y

dP dQ _ . . .como — = -= • es exacta => 3 u(x,y) tal que:

dy dx

= P - — integrando se tiene: u(x, y) = — 4- g ( y ) , derivandodx y y

du(x,y) x ¡ x — = —y + g (y) = Q(x,y) = -—

dy y y

g (y) = 0 => g(y) = c u(x,y) = — f ey

X d x 4- 7= £ = d y

sjx2 + V2

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1932

Desarrollo

P =

Q =

477/y

V* 2 + y 2

8Pdy

dQdx

xy

( * 2 + / ) 2

-x y

(x2 + y 2)~2

dP dQ , x 1como — = —— es exacta ==> 3 u(x,y) tal quedy dx

du(x, y ) _ p _ _ x integrando u(x, y ) = ^ x 2 + y 2 + g ( y ) , derivandodx

$ y i x 2 + y 2 x 2 +

g (y) = 0 => g(y) = c u(x ,y ) = \Jx2 + y 2 +!■ t

Determinar las constantes a y b de tal forma, que la expresión

(ax2 + 2 xy + y 2 )dx - (x2 + 2xy + by2 )dy

(x2 + y 2)2

función z, y hallar esta ultima.

sea la diferencial exacta de una

Desarrollo

Q =

ax +2xy + y

(x2 + y 2)2

x 2 + 2xy + by2

(x2 + y 2)2

dPdy

dQdx

2x3 - 6xy2 + (2 - 4a)x2y - 2y 2

(x2 + y 2 )3 2x3 + (4b - 2)xy2 + 6x2y - 2y }

(x2 + y 2 )3

para que sea exacta debe cumplirse que:

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2x3 - 6xy2 + (2 - 4á)x2y - 2 y 3 2x3 + (4b - 2)xy2 + 6 . Q ’ - 2>’3cy dx

de dondeí 4¿> — 2 = —6 ífl = - l 2-4úf = 6 ^ \b = - 1

ahora calculamos la función z = u(x,y) de acuerdo a los criterios establecidos

Después de comprobar que las expresiones que se dan más abajo son lasdiferenciales exactas de ciertas funciones, hallar estas funciones.

< . .• • . T 7■ , \ ': j f • i ■■ ;■ ¡ •• ; i y ;■■ - ú-;\ ,

1933 (2x + y + z)dx + (x + 2y + z)dy + (x + y + 2z)dz

Desarrollo

P = 2x + y + z , Q = x + 2y + z , R = x + y + 2z

se tiene: z - u(x, y ) = —x + y

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g'y (y , z ) = 2 y + z => g ( y , z ) = y 2 + yz + <p(z)

g lz ( y , z ) = y + <p'(z)

I I 2v + (p (z) = y + 2 z => cp (z) = 2z => (p(z) = z + c

g(y, z) = y 2 + yz + z 2 + c

7 7 7ll(x, v, z) = X~ + XV + XZ + + VZ + Z “ + C

1934 (3x2 + 2 v2 + 3z)dx + (4xy + 2y - z)dy + (3x - y - 2)dz

Desarrollo

P = 3x2 + 2y 2 + 3z , Q = 4xy + 2y - z , R = 3x - y - 2

dP , dQ dR , dP dR „— = — = 4g ; — = — = -1 ; — = — = 3dy dx dz dy dz dx

/ v i 5 m ( x , y , z) es exacta => 3 u(x,y,z) tal que = Pdx

û(x\-y±z) - i x 2 + 2 y 2 -f 3z , integrando respecto a xdx

u(x,y ,z) = x + 2x;v“ + 3xz + g ( y , z ) , derivando

u i (a , y , ¿) _ + ^ Z) = 0 = 4xy + 2 y - z => g ',(>-,z) = 2 v - zcv

✓

^ Z) = 3* + g í (>-, z) = R = 3x - y - 2oz

g í (7 , z) = - y - 2 => g(y,z) = -yz - 2 z + (p(y), derivando respecto a y

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1935

g'y (y, z) = - z + <p' (y) =2 y - z = g' (y,

/ 7 ’(p (y) = 2y => cp(y) = y" +c de donde g(y , z) = - yz - 2 z + y^ + c

u(x, y, z) = xJ + 2xy -f 3xz - yz - 2z + y~ + c

( 2 xyz - 3yr z + 8 xy ~ + 2 ) d x + (x z - 6 xyz + 8 x y + 1 ) d y + (x y - 3xv“ -f 3) d z

Desarrollo

ÍP =

Q =2 xyz

2x~ z

r - 3 y 2z + 8 .vv2 + 2

6 xyz + 8 .v“ y +■1

dPdv

cQ

- 2xz - 6 yz +16xy

_ i xz - 6 vz +16xyf x

ap cooy ex

P = 2xyz - 3 y z + 8 xv“ + 2

(2 = x 2 y - 3xv’2 + 3

apozap

l CX

2 xv - 3 v“

= 2 x y -3 y

a p apcz ax

Luego es exacta => 3 u(x,y,z) tal que:

du(x,y\z)dx

7 7= P - 2xyz - 3 y“z + 8 xy“ + 2 , integrando

w(x, y, z) - A'2 yz - 3xv2z + 4x2 y2 + 2x + g(y\ z ) , derivando

^ C i Z i í l = X2Z _ 6 xyz + 8 x 2 y + g v (y, z) = O = x 2z - 6 xyz + 8x2y + 1 dy

g (y \z ) = 1 => g(y,z) = y + cp(z) de donde g z(y ,z ) ^ cp\z)

du(x,y ,z)dz

= x“y - 3xy + yy (y, z) = P = x y - 3xv" -i- 3

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1936

g'z(y,z) = 3 de donde g'z(y,z) = tpl ( z ) - 3 => <p(z) = 3z + c

g(y,z) = y + 3z + c

u(x,y,z) = jczj>z-3Ayzz + 4jt >> + 2x + .y + 3z + c

(— — y + ( - — y )d y + ( - - -y)í/zy X z y x Z

Desarrollo

P = —

Q = —

R

Q = —

R = —

P = -~

1 z 1$ II 1 1y => <

ay /i X dQ iz '7 dx y21 y I

5S2L i

X z 2:=> 8y< z 2

1 X dQ 1z "7 . dz z2

1 y dR 1X z2 ==> < dx x21 Z dP 1y X2 dz x 2

dP = dQ dy dx

dR dQdy dz

dR dPdx dz

es exacta => 3 u(x,y,z) tal que ’ = P = - — integrandodx y x

X zu(x,y , z ) = —+ —+ g ( y , z ) , derivando

y x

e ,

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1937

/ I ygv(y,z) = - =>

g lz {y ,z ) = - ^ j + ( p l (z)Z

= = , ¿ w - J L

CZ X X z z

"17 / y Mi* $ w yLuego — - + ^ / ( z ) = — Y => (p(z) = c => g ( > \ z ) = - + c

z “ Z z 2

/ x x z yu(x,y ,z) — — l----i he

xdx + y dy + zdz

V* 2 + >'2 + 2 2i

D esarrollo

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1938

Ryjx2 + y ’ + z 2

X

+ z ‘

dRdx

dPaz

■xz

(x + >’~ + z“ )-xz

=> cRex

dPdz

(x2 + V2 + Zz )3

2 \ ?

entonces es exacta => 3 u(x,y,z) tal que

í/m(x,y,z) = dyjx2 + v2 + z 2 , integrando w(x,y, z) = ^/x2 + y 2 + z 2 + c

Se dan las proyecciones de una fuerza sobre los ejes de coordenadasv ’' 1 ' AxX - — :— - , Y = ------ 1—- , donde X es una magnitud constante ¿Cuál debe

(x + y) (x + y)} ’• í y , ; ' . i' . i " + i {• 1 i jy ' ■[. ,»• •?.'*» ;Vf

ser el coeficiente X; para que la fuerza tenga potencial?

Desarrollo

Consideremos dF(x, y)y ' í x

ax 3----------- dy(x + y ) 2 ( x + y ) 2

Donde

P

Q

y(x + y)

Ax

(x + y y

=>

dPdy

dQdx

x - y(•V + v ) 3

(jc + j )3

5P dQPara que sea exacta debe cumplirse que — = — es decir:

8v dx

- Á ( x - y ) = x - y

(x + j ) 3 (x + y)'=> X - - l A — - 1

1939 ¿A qué condición debe satisface la función f(x,y), para que la expresión f(x,y)

(dx + dy) sea una diferencial exacta?

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1940

Desarrollo

f(x,y) (dx + dy) = f(x,y)dx + f(x,y)dy, donde

P(x, y) = f ( x , y ) Q(x,y) = f ( x , y )

cPdy

oQdx = f x (x>y)

para que sea exacta debe cumplirse que:d P _ c Qdy dx

Luego la condición que debe cumplirse es f x (.y , y) = f v ( .y , v )

Hallar la función u, si du = f(xy) (y dx + x dy)

Desarrollo

du = y f(xy) dx + x f(xy) dy, de donde

P = y f (x ,y ) Q = x f (x , y)

8P8y

oQ„ dx

= f ( x y ) +

= f ( x y ) + (xy)

Luego — = —— es exacta entonces como du = f(xy)(ydx +xdy) = f(x,y)d(xy)dy dx

Integrando el 1er miembro con respecto a y, y el segundo miembro con respecto a xy.

d u = \f (xy)d (xy) + ch =í*xy

u = I

i -

f (t)dt + c , donde t = xy, a constante

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6.9. DERIVACIONES ÜÉ FÜNCIÜNteÍ IÍÉ ÍÍf(:ifÁ S>

ler. CASO DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE.-

esta función f y (x,y) * 0 , se puede hallar por la fórmula — = - L í ^ l Z .2 jas

Sea f(x,y) = 0 una función diferenciable de las variables x e y, la derivada de

'idx f y ( x , y )

derivadas de orden superior se hallar por derivación sucesiva de la fórmula dada.

2do. CASO DE VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES.-

En forma similar si la ecuación F(x,y,z) = 0 donde F(x,y,z) es una función diferenciable de las variables x, y, z, determina a z como función de las

variables independientes x, y, y: Fz (x ,y ,z ) * 0 ; las derivadas parciales de esta

función dada de forma implícita puede hallarse por la fórmula:

' dz _ F¿(x,y ,z) dz _ Fy(x ,y ,z)

F ' (x ,y , z ) ’ FÍ(x ,y ,z )

otro procedimiento para hallar las derivadas de la función Z es el siguiente: diferenciando la ecuación F(x,y,z) = 0, obtenemos

8F 8F 8F— dx + — dy + — dz = 08X 8Y 8Z

de donde puede determinarse dz, y por consiguiente:

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3er. SISTEMA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.-

, ÍF(x,y,u,v) - 0Si el sistema de dos ecuaciones < determinar y y v funciones

[G(x,y,w,v) = 0diferenciables de las variables e y y el jacobiano.

dF dFD(F,G)D(u, v)

las diferenciales de estas funciones se pueden hallar de las siguientes ecuaciones:

dF , 3F J dF dF dF J A— dx + — dy H------- 4- — du H-----dv = 0dx dy dz du dv

dG J dG , dG dG dG J A— dx + — dy-\ dz + — du + —-d v = 0dx dy dz du dv

4to. FUNCIONES DADAS EN FORMA PARAMETRICA.-

Si la función diferenciable Z de las variables x e y se da en ecuaciones

paramétricas X = x(u,v), Y = y (u ,v ), Z = z(u,v) yi • i ; - j ' , { '* . " ; f | . , - . t , ■

diferencial se puede hallar el sistema de ecuaciones:

dx dxD(x ,y ) _ du

* 0D(u,v) dy dy

du dv

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1941

1942

conociendo la diferencial dz = p dx + q dy hallamos las derivadas parciales

- - P . - . Qex cy

x2 2 dvSea Y una función de X, determinada por la ecuación — + — = 1 . Hallar — ,

a b~ dx

d~ y d 3y

dx2 dx3Desarrollo

2 2Sea f ( x , y ) = 2 - + Z - - 1

a Ir

f í ( v . y) = —7 , f í ( x , y) = -¿-a~ o

2xdy _ f í e y) = _ y _ _ _ _ ^ £A- / , W ) 2 y rt-v

6 2

dyd y = d_ dy__ d fe2x = ¿>2 y dx_

dx2 dx dx dx a 2y a2 y 2

ib“x

T ? , 7 / 2 » 2 0 I 2 f2 »2 2 / 2 , 4d~v _ b a b~ a y ~ + b x d~y _ b a b b——y — — ( 2 4~* í ■ j 2 ~ 4 3 ' — 2 3¿Zx a~ y a y dx a y a y

d y d , d y . d b 3b dv d y 3b b x 3b x — - ( —) = — (-----------------------1- Z=> — — = ------- (-------- ) = ----------/ 3 / v ^ ' J v ? 1 1 *> 4 j | 3 2 4 v 2 7 4 sz/jc' d!x: í/jc dx a y a~y dx dx a y a y a y

Sea Y una función determinada por la ecuación .r2 y- y 2 + 2 axy = 0 (a > 1).

d 2yDemostrar, que — y = 0 y explicar el resultado obtenido.dx~

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1943

Desarrollo

-> iSea / ( x , y) - x~ + y" -+- 2axy

f ' (x, v) = 2x -t~ 2ay , / (x. y) = 2y + 2ax

c/v 2x -f 2av x + ay dy x + ay2 y + 2ax v + ax dx y + ax

dx\ , w dr. ,2 , ( y + ax)(1 + a — ) -- (x + av){ a + )d y = d (x + ay = _ v_ __ (/.Y dx_dx2 dx y + ax (v + ax)'

1wi ax + a~ \ \ x + c/v .

7 ( y + ¿?x)(1------------------) - (x -f ay)(a----------- —)d~y ' y + ax y + ax

y ~ 7dx" ( v’ + ax)~

2 > (-V + ay)(a, i ( y - a v ) ------------------------------------------ — --------------------------------------------------

d~v Y + ax, -> 2

í /x “ ( v + ax)~

d " v (¿T - 1 )[(>' + ax) v + x(x -f ay))

dx2 ( y + ax)3

d 2 v (a2 - 1)[ y2 + x2 + 2tfxy] ia~ - 1) d~y- - ( 0 ) = 0 . Luego — ~ 0¿/x2 (y -fax)2 (y + ax)' dx

Hallar — si y = 1 + yx dx

Desarrollo

/(x , v) = 1 + / - v => f x (x, >0 = y x ln x

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1944

1945

f U x , y ) = xyx- ' - i

dy f x (x ,y) v ' ln -v >’' lndx f y ( x , y ) 1 - 1 1 -A y ' 1

TT tl dy d y .Hallar — y — — si y = x + ln y

dx dxDesarrollo

f(x,y) = y - x - l n y => 1

f i f \ i 1 y ~ l f v(x ,y) = 1 — = ------y y

dy fí(x,y)- 1 y

dx fí(x,y)Z z l y -1

dy dy y - t </2>’ _ f* ( J; ) - dx 7 dx = y d 2y _ 1

í/x2 dx >’- 1 (.y-l)2 ( y -O2 dx2 ^ (^ “ 0

Hallar ^dx

d 2v

x=\ dx2si x 2 - 2 x y + y 2 + x + y - 2 = 0 utilizando los

A - l

resultados obtenidos, representar aproximadamente la gráfica de esta curva en el entorno del punto x = 1 .

Desarrollo

/ (x, y) = x2 - 2 xy -f y2 + x + >> - 2

f í ( x , y ) = 2 x - 2 y + l , f y (x ,y ) = 2 y - 2 x + \

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1946

dy fx (x ,y ) 2x - 2y + 1 2— = — = -------------------para x = 1, v - v = O, y = O, y = 1dx f v (x,y) 2 y - 2x +1

paradx

— 36 — 1V = 1

d 2 y d 2 .Y -2 y + l -8 d 2 v' = — ----- --— 7)dx2 dx 2 y - 2 x + \ ( 2 y -2 x + l)3 dx4

= 8 6 - 8

A' —l

V i 1 yx + y~ = arctg — (a * 0 ).x

dy d^y Hallar — y

dx dx~Desarrollo

2 2 ySea / ( y) = — ln(x 4- y " ) - a.arctg —2 ' x

« ( - 4 ) ,x v- x + ay

f l ( x , y )

1 1 x + y

i

l+71

1 1 j c " + y

y. . . . . . . . 4 ..................

y - a x

2 1 1 1 1 x y , v y" + y~ 1 + - o

. Y “

x + ay

= f í (*> >’) = x 2 + / = x + ay

* / VW ) Z z ^2 , 2X + y

d 2y _ d x + ay^ _( + l)(x 2 + y 2)dx2 dx a x - y (a x - y ) 3

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2

1947 Hallar y L X si 1 + xy - ln(e 'v + e_Jev) = Odx dx2

Desarrollo

Sea / (x , y) = 1 4 xy - ln(eAV 4 e xy)

z ye™ - ve xy yexy + ve xv - yexy 4 ye xy 2xe xf x (x, y ) = y ~ * ' *

exy 4 e xv e rv 4 e xy exy 4 e~

dy _ f x ( * , _ ydx fUx,yx

d 2y d v 2 y<¿r c/v .x x 2

ID48 La función Z de las variables x e y se da por la

x 1 4 2 y3 4 z 3 - 3xyz - 2 y 4 3 = 0 . Hallar — y —ex dv

Desarrollo

■ •>' , •> dz dz , 7 v dz3x~ 4 3z" ----- 3 y v - 3xy — = 0 => (z^ - xv) — = vz -- xex ex ex

7 2ez yz - x v - yz7 7

ex z “ - x v x y - z ~

6 y2 4 3z~ — - 3xz - 3xy — - 2 = 0 => (3z2 - 3xv) — = 3xz - 6 y"dv dy " dy

dz 3xy - 6 y 4 2 _ 6 y" - 3xy - 2 dy 3z2 -3 x y 3( x y - z 2)

A'V

ecuación:

4 2

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1949

1950

TT dz dz .Hallar — y — si x eos y + y eos z + z eos x = 1

dx dy

Desarrollo

x eos y + y eos z + z eos x = 1

dz dzeos v - v sen z — + eos x — - z sen x = 0

e x CX

dz(eos jc - y sen z)-^- = — eos y - z sen x

ex

dz _ - eos y + z sen x _ z sen x - eos y dx eos x - y sen z eos x - v sen z

dz dz-x sen z + eos z - y sen z -----h eos x — = 0

dy dy

dz dz x sen y - eos z(cosjc- y s e n z ) — = x sen y - eos z

dy dy eos x —y s e n z

9 CZLa función Z viene dada por la ecuación x2 + y “ - z - x y = 0 . Hallar — y

ex

dz— para el sistema de valores: x = - 1, y = 0 , z = 1 .dy

Desarrollo

r, dz n _ dz y - 2 x 2 x - 2 z y = 0 => — = ---------

dx dx —2 z

CZpara x = - 1 , y = 0 , z = 1 , — = - 1

dx

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1951

^ ~ dz x — 2 y2y — 2 z ------- x = O => — = ---------dy dy - 2 z

\ n 1 dz 1para x = 1, y = O, z = 1, — = —2

dz cz d z d z . x y zH a lla r— , — , — 7 , si — + — + — = 1

ex dy dx dxdy a b c

Desarrollo

2x 2z dz dz c2x_ + _ — = o => — = — —a c dx dx a~z

dz c2x 22 Z - X 2 z +

d z _ c í dx \ _ c / a z .2 _2 _2 ' 2 ' _2ck" 0 z 0 z ‘

2 2 _2 2 2 2 22/ 7 2 2\c z _ c , 0 2 + c x ^ _ c , 0 c (b —yá 2 ~ T* 3 ' “ ~T* , 2 3 ” 'ex a z a b z

= S ( £ z y ~ \8x1 a 2¿>2z 3 W z 3 '

2 y 2 z dz . & c2 y— = 0 => — = ----- -f-b c dy dy b~z

d 2z c4 (a 2 - x 2) dy2 “ a 2d 2z 3

d2z c2x= ± ( * ) = ± ( dy dx dj> a 2z

0 - x

) = — r(-0

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1952

1953

d 2 z = c 2 ( b 2 z > = c 4 x y

d x d y a 2 z 2 a 2 b 2 z 3

f(x,y,z) = O demostrar que = -1d y d z d x

Desarrollo

d x J y X . y ) d y _ f í ( x , y ) & _ _ f x ( x , y )

¿y / ; ( * , .y) & /;(x ,.y ) av / r (x, y)

— ?y. — ~ ( f y ( x , y K f í ( x , y ) Z i lh z l ) = _ ia / a z ' a * / / ( * , v ) / ; ( x , y ) ' / . ; ( x , y

Z = cp(x,y) donde y es función de r determinada por la ecuación y(x,y) = 0. d z

Hallard x

Desai rollo

d z * d z (y*"* d v— calcularemos por la formula siguiente: — = — + —d x d x d x d y d x

d z , , , , / , w V/X(x,y)— = <pK(x, y) + <pv(x,y)(---- 7 )d x y/ ( x , y )

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1954

<C<X>') <p¡y (x, y )

¥ y {x ,y )

v)

Hallar dz y d 2z, si x2 + + - a 2

Desaíro!!'mmmmmmmmmmmmrnmmmmmmaa» m

dz I'd z = — dx + — í/y donde V

ex oy ex F dv F

i iSea F(xsy , z ) = x~ + y “ + z ' - a~ entonces: Fx = 2x , Fv = 2y , FJ - 2z

cz .v cz v x yLuego — - — - , — - . Entonces: dz = — dx - — dv

ex z ay z z z

->2 >2 "> a z ") c z o z od ‘ z = — r/x' + 2 —— dx dv + - dy donde-v 2 * -s 7ex” oxoy cy~

dzc

- CX

X -f X

CX2 2 X + Z~ C

P-r 2\ y-,2 Z + -— 2 2 2c z cv - ■ v + z x — a- . 2 2 2 CV Z Z

d2z d . x x x v t _ = — (— ) = — V? luego se tiene:dxdy dy z z3

2 2 7 2 2V - a 2 2 xv , , x - a 2dz - I d x — CX c/v H Cjv¿i z z

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1955 Sea Z una función de las variables x t y determinadas por la ecuación9 9 9 y

2x" + 2 y + z - 8 x z - z + 8 = 0 . Hallar dz y d z para el sistema de valores:

x = 2 , y = 0 , z = 1

Desarrollo

Sea F(x, y, z) = 2x2 + 2y 2 + z 2 - 8 xz - z + 8

Fjr'= 4 x - 8 z , F' = 4y , / z = 2 z - 8 x - l

& /y 4x - 8 z cz 4 ydr FL 2 z - 8 x - l cv F_ 2 z - 8 x - l

, dz . cz , 4 x -8 z , 4>y ,az = — ax h dv = ----------------a x ----------:-------ay

dr <3y 2 z - 8 x - l 2 z - 8 x - 1

para x = 2 , y = 0 , z = 1 se tiene dz = 0

'v 2 ^2 ^2i C Z n C Z C Z o

é/'z = — -dx" + 2 -------dxdy-i— — í/v'dx1 dxdy '

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d 2z _ ^ d z d 4 x - S z dxdy dy dx dy 2z - 8x - 1

para x = 2 , y = O, z == 1, — = O, — — = 0 , d 2z = — (dx2 +dy2)dy dxdy 15

1956 Hallar dz y d 2z , si ln z = x + y + z - 1 ¿A qué son iguales las derivadas

primera y segunda de la función Z?

Desarrollo

Sea F(x,y,z) = l n z - x - y - z + l ddonde Fv = - 1 , F !y = - 1 , F'z = — -1

dz dz dz F —1dz = — dx + — dy donde — = — ^ = —-----

dx dy dx Fzz

5 z _ z _ z dz _ zdx 1 - z z - 1 dx z - 1

dz _ Fy _ - 1 _ z

dy FÍ I _ i Z _ 1

dz = — r— ¿/x---- — dy = —— (dx + ¿/y)z - 1 z — 1 1 — z

2 C'2Z 2 ^ 2z i / ^ 2Z j 2d z - — - c/v + 2 --------- dxdv + — r-rfydx2 dxdy " ay2

(2 z - 8 x - 1X-8 ~ ) - (4x - 8z)(2 — )______________ qr_____________ dy

(2 z —8 x - 1)2

í / 2 z = — - — r (d x 2 (1- z ) 3

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1957

1958

O 7 9Sea la función Z dada por la ecuación x~ + y + z“ = <p(ax + by + cz) donde cp

es una función cualquiera diferenciable y a, b, c constantes. Demostrar que:

(cy - b z ) — H (az - ex) — = bx - ayx dy

Desarrollo

i 2x~ + y~ + z - (p(ax + by + cz)

dz dz dz l x -a (p '2 .V + 2 z — = <p'[a + c — ]

dx dx dx ccp'-2z

_ . dz dz dz 2 y - bcp'2 y + 2 z — - (p [b + c. — ] ^ r

dx dy dy c(p'~2z

d~ d**(cy - b z ) — + (az - cjc) — - bx - ay

dx dy

. w2 x — a(p\ , 2 y — b(p\ 2ayz - 2bxz + bcxcpaccp ' y(cy - feX ----— - ) + («- - crX =-— ------------7 V ---------- “c(p — 2 zc '-fev ) = bx _ avc(p'—2z c c p 2 z

Demostrar que la función Z, determinada por la ecuación F(x - az, y - bz) = 0 donde F es una función diferenciable cualquiera de dos argumentos

dz dz , a — + b — = 1

dx dv

Desarrollo

Sean u = x - az , V = y - bz

dF dF du ^dx d u dx

= F 1 - FU II

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1959

°IL - — — - f i -dy dv dy ' '

dF dF du dF dv ¡ cF ¡— = = Fu.{-a) + Fv (-b) ^ — = -aFu - b F vdz du cz dv cz cz

dz F ' Fv/

¿y Fi-(aF'+bFÍ) aF,í+bF'

dz u 8z aFu bF' aFu + bF'a — + b — = — — - + ----— 5— 7 = — --------- V = 1

dyaFu + bF' aFu + bF' c,Fu +bFv

dz . dz a v b — = 1

dx dv

n /x y , * _ dz dzF( — ) - 0 . Demostrar que x — + y — = z

z dx dyr r

Desarrollo

Sean u = — y v = — como F (—,—) = F(u,v) = 0 z z z z

cF dF du _/ 1 cF= F . .~ =>

dx du ex “ z dx z

dF cF dv , 1 dF F'= F - => -

dy cv dy z dy z

dF _ d F du ^ dF dv cz du dz dv dz

=> ? ¡ r — \ r f + yF!)dz z z cz z

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132 Eduardo Espinoza Ramos — q

1960

dz F' zFu dz Fy zFv

dx F xF' + vF 1 cu F xFf + vF: u -' V z u ~ v

_ dz dz xzF yzFvLuego x hv — = + — 1— -—

dx ' dy xfu + */<; + }f\

dz dz xF + vF.,x — + y — = Z ( 1------- ) = Z

ex cy xFu +yFv

Demostrar, que la función Z, determinada por la ecuación y = x <p(z) + vp(z)

., d 2z dz 2 dz dz d2z d 2z dz 2 Asatisface a la ecuación — - ( — ) - 2 — .— .-------- f — - ( — ) - 0

dx cy ex cy cxcy dy ex

Desarrollo

dz _ <p(z) dz _ 1 í t ^— IZ> — - ... ( 1)dx x(p\z)-\-y/\z) cy x(p\z) + y / \ z )

d 2z = 2 <p(z)(p >(r)[x ^ '( -) + W '(z )] - (z )[-Y "(-) + V "(■z )3

ex2 [x(p\z) + y / \ z ) f(2)

C~Z X(p'Xz) + i//"{z)

dy2 [x (p\z) +(3)

d 2z <p(z)(.xtp "(z) + y/ "(z) - (p '{z)){xcp ’(z) + '(z))3dxdy

de (1), (2), (3) y (4) se tiene que:

d 2z t d z ^ dz dz d 2z — T (— )- - 2 — .— .------- + — T (— ) = 0ex dy dx dy dxdy ‘

(4)

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1961 Las ftmciones Y y Z de la variable independiente x se dan por el sistema de

ecuaciones x2 + y 2 - z 2 = 0 , x 2 + 2y 2 + 3z2 = 4 . Hallar — , — , — ydx dx ’ dx1

d 2 z n 1— — para x = 1 , y = 0 , z = 1 .dx

Desarrollo

Diferenciando las dos ecuaciones se tiene que:

2x dx + 2y dy - 2z dz = 0, 2x dx + 4y dy + 6 z dz = 0

despejando z dz y reemplazando en la otra ecuación

8 dz = x dx + y dy => x dx + 2y dy + 3(x dx + y dy) = 0

, dy Ax4x dx + 5y dy = 0 => — = -------

dx 5 y

dypara x = 1 , y = 0 , z = 1 => — = o

dx

dy , 4x"d 2y 4 y ~ x Jx 4 ' Sy 4 5y 2 4x2

dv2 5 v2 S l y 2 ’ /

d 2 ypara x = 1 , y = 0 , z = 1 => — — = oo

dx

despejando y dy y reemplazando en la otra se tiene:

y dy = z dz - x dx => x dx + 2z dz - 2x dx + 3z dz = 0

dz x5z dz = x dx

dx 5 z

rx i dz 1para x = 1 , y = 0 , z = 1 => — = —dx 5

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1962 Las funciones Y y Z de la variable independiente x se dan por el sistema de

ecuaciones: xyz = a, x + y + z = b. Hallar dy, dz, d 2y , d 2z

Pesarroilo

Diferenciando a la ecuación xyz = a se tiene:

xy dz + xz dy + yz dx = 0 ... ( 1)

Diferenciando a la ecuación x + y + z = b se tiene:

dx + dy + dz = 0 => dz - - dx — dy ... (2 )

reemplazando (2 ) en ( 1) se tiene:

yí -r — y)xy(-dx - dy) + xz dy + yz dx = 0 de donde d \ - :— —— dx . . .( a )

x ( y - z )

de dx + dy + dz = 0 se tiene dy = -dx - dz ... (3)

reemplazando en ( 1) se tiene: xy dz + xz (-dx - dz) + yz dx = 0

de donde se tiene: dz = —— dx ... (B)x ( y - z )

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I '>63

, cz cz 8y cy ozP,2 „ (z + x ■— - y - - - z ~ ) ( x y - xz)~ (xz - yz)(x-y- + y - x - — z) f > dx av (’Y____________________ av_______av____- 2 2, x2e x x ( y - z )

d 2z a [ ( x - v) 2 + ( y - z ) 2 + ( z - x ) 2] .— ~ = — r~ - , de las ecuaciones (a) y (p) se tiene:

L . j i \ j

e x X (> ’ - z)

ov . o y _ .—- = 0 , —— = 0 luego tenemos:d z dz~

d 2y = ^y-jdx2 = — r— - [ (x - y ) 2 + (y - z ) 2 + (z - x ) 2 ]¿/x2dv x ( y - z )

d 2z ~ ~~y~ydx2 = — — — y [ ( x - y ) 2 + ( y - z ) 2 + ( z - x ) 2 ]dx2 d x “ x ( y - z )

Las funciones u y v de las variables independientes x e y, se dan por el sistema

de ecuaciones implícitas:du du d2u d2u d2u dv dv d2v d2 vdx ’ d y ’ d x 2 ’ d x d y ’ d y 2 * d x ’ d y d x 2 d x d y

d “ v— - , para x = 0 , y = 1.d y “

D esarrollo

Diferenciando la ecuación u = x + y se tiene: du = dx + dy ... (1)

diferenciando la ecuación uv = y es decir: u dv + v du = dy ... (2 )

yreemplazando (2 ) en ( 1) se tiene: ( t + y ) d v 4 de donde

x + y

X vd v = d y ---------1— - d x de aquí se tiene:

(x + _v) (x + y)

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\

13 6 Eduardo Espinoza Ram

dv y j dv x-— = — - a x , — = --------- de dondedx (x + y)~ dy (* + >•)

c"v 2 y d 2v 2x

dx2 (x -f y f dy1 (jc+ y ) 3

. i

8 v y - x , du Bu = ademas — = 1, — = 1. Luego:dxdy (x + y ) dx

d~u _ o~u . dru— - = 0 , — - = 0 , = 0 para x = 0 , y = 1 tenemos que:dx dy2 dxdy

du . du .d2u d 2u , d2u . , dv ,„ 1 . — = 1 . — 7 = 0 , — = 0 , — - = 0 , — = - 1 , — = 0 , — = 2 dx dy dx dv' dxdy dx dx'->2 ^2 ° V - A ° V= o ,

dy dxdy

1964 Las funciones u y v de las variables independientes x e y se dan por el sistemé2 ?

de ecuaciones implícitas: u + v = x, u - y v = 0. Hallar du, dv, d"u, a v .

Desarrollo

Diferenciando u + v = x => du = d x - dv •••(!)

Diferenciando u - yv = 0 => du - y dv - v dy = 0 ... (2)

Reemplazando (1) en (2) se tiene:

1 . v , , dv 1 dv vdv d x ---------dy de aquí se tiene:Y V » V V 4 V * * t - X V V i v í y ^

y + 1 y + 1 ' dx y + \ dy y + 1

" ) y

o" v o 'v 2 v 1luego: — - = 0 , — - = , —— = -----------y

dx' d y (v + 1) cxdy (v + 1)

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!% 5

reemplazando en ( 1) se tiene:

, y ,v , du y vdu = dx + dy , de aquí se tiene: - -

y + 1 y + 1 ' dx y + \ dy y + \

d2u „ d 2u —2 v d2wLuego: -7 - 7 = 0 , , 9 ,

ox 0 + 1)“ SxSy (y + lV

Reemplazando estos valores en:

,2 C U , 2 ~ O U O U 2d~u = — -úfjc + 2 ------dxdy + — - d y1 o . . ¿ex dxdy " dy1

j 2 2v 2d 11 = ----------- — dx d y dy y en d~v es decir:Cv + i)- (v + 1)

~,2 í>2 2 , n o y , 9 c v , , o v , ■>d~y = — — ax“ 4- 2 ox c/y + — 7 ay“

cv“ 3x5y ' dy-

d 2 y - - ------ -— 7 c/.x Jy 4 ——7 dy2(y + \ y ' (y + i y

Las funciones u y v de las variables x e y se dan por el sistema de ecuacionesx tt 11 cu du dv dv implícitas: x = cp(u,v), y = \|/(u,v). Hallar

dx dy dx dvDesarrollo

Diferenciando las ecuaciones es decir:

dx - (pudu 4- <pvdv •*•(!) dy - y/"du 4- y/vdv ... (2)

dx-(p dude ( 1 ) despejamos dv = -----

<Pv

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1966

i t • ' i / / 7 ^ — (Pndllreemplazando en (2 ) se tiene: ¿/v = y / u d u + y / v d v = y Hd u f (--------- —— )

^ '/(v = (<3,V;i - ) < / « + = > du = — — — — + ;■ v"rf>.— - (3)<PvVu -Vv<Pu <P‘vV U - V V<P,,

!

de donde — = — r;Ho.v ’ dv <p!vy/'u - y / v<p:u

reemplazando (3) en dv se tiene: í /v = --------— :— -í/,y + ---------- ——r— n'v<PÍ,¥v -<P'v¥u V u V r ~ <PvVu

de donde * - < 5v -av 9Í,v[. ‘P ‘K o <PÍ¥Í - f , . K

CUa) Hallar — y — si x = u eos v , y = u sen v y Z ~ cv

a r ¿¡yDesarrollo

Diferenciando las 3 ecuaciones se tiene:

dx = eos v du - u sen v dv ... ( 1)

dy = u eos v dv + sen v du ... (2 )

dz = c dv ... (3)

dx senvde ( 1) despejando du f- u ------- dv

eos v eos v

7 / dx senvreemplazando en (2 ) se tiene: dv = v eos v.dv + sen v( H- u dv)

eos v eos v

eos v.dy = u eos2 v.dv + sen v.dx + u sen2v.dv

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i unciones de Varías Variables 139

1967

eos v dy = u dv + sen v dx

cp n y COS Vdv dx h dx reemplazando en (3)

u u

c.senv . c. eos v ,d z - ----------- dx + ----------dy de aquí

u 11

dz senv dz c.cosv . .— = - c . ------- , — = ---------- , en forma similar para:dx u dv u

dz dzb) Hallar — , — si x = u + v , y = u - v , z = uv

dx dy

c) Hallar dz, si x = el,+v, y - e 11 v , z = uv

Z = F(r,cp) donde r y cp son funciones de las variables X e Y determinadas pordz dz

el sistema de ecuaciones X = r eos cp, Y = r sen cp. Hallar — a —dx dy

Desarrollo

Diferenciando: dz = F' dr + F^dcp ... (1)

dx = eos cp dr - r sen cp dep ... (2 y

dy = sen cp dr + r eos cp dep ... (3)

i i , dx + r sen(pd(pdespejando de (2 ) dr --------------------cos^>

. dx + r sen (pd(p v .reemplazando en (3) se tiene: dy = se/Kp(-------------------- ) + r eos <pd(p

eos cp

eos cp dy = sen cp dx + r dep

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1968

. eos dy - sen x dx fay = ------ 1--------------- reemplazando en dr se tiene:

r

_ (1 - sen"cp)dx + sew eos dyeos (p

reemplazando los valores de dr y dep en ( 1) se tiene:

/ ¡ sencp / / cos<pdz = (t r eos ( p - F )<zr + (Fr sen (p + F )av

r r

, , , oz / j sen (p cz ¡ , coscpde donde: — = Fr eos (p - F -------- , — = Fr sen ( p - F --------

dx r dv r

dz dzConsiderando z como función de x e y, hallar — y — si: x = a eos cp eos \p,

dx dy

y = b sen cp eos \p , z = c sen ip.

Desarrollo

Diferenciando dx = -a sen cp eos vp dep - a eos cp sen vp dvp ... (1)

dy = b eos cp eos vp dep - b sen cp sen vp dvp ... (2)

dz = c eos vp dvp ... (3)

1 / , X • CXde ( 1) se tiene: —— = - a eos cp sen y/dy/

oyde (2 ) se tiene: = - b sen y/ sen y/

cy/*

• *

02de (3) se tiene: = ccosy/

dy/

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dzdz

dy/ ecos y/dx dx a eos (p sen y/

dy/

dzdz l ecos y/dy dy v sen tp sen \p

dy/

c= — sec (p.ctg y/

a

- 7 CSC {y/)ctg{y/) b

6.10. CAMBIO DE VARIABLES.-

ler. CAMBIO DE VARIABLS EN LAS EXPRESIONES QUE CONTIENEN DERIVADAS ORDINARIAS.-

2do. CAMBIO DE VARIABLES EN LAS EXPRESIONES QUE CONTIENEN DERIVADAS PARCIALES.-

d v dv1969 Transformar la ecuación: x — — + 2x— + v = 0 haciendo x = e'dx

Desarrollo

dydy = dt_ = e-t <ty_ ^ dy = e->dydx dx dt dx dt

dt

dy'

dx dx dx dt dtdt

d 2 y -yt / d 2y dy i d 2 y dy— f = c “ (— f - — ) como x — — + 2x— + v = 0dx~ d r dt dx dx

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2t -2t , d 2y dy , _t dy d 2y dysetiene: e .e (— ;----- ) + 2e .e — + y = 0 => — f- + — + y = Odt2 dt dt dt1 dt

d 2 * dv1970 Transformar la ecuación ( 1 - x 2 )— y - x — = 0 poniendo x = eos t.

dx~ dx

Desarrollo

dxx = eos t => — = -sen t

dt

dy

— = - ___ L &dx dx sen t dt

dt\ í ; ^ . A - f >U : /':■ ■ -.a.- / ; ,v,.:

d 2y _ d y ' _ 1 dy' _ 1 d 2y cosí dydx2 dx sent dt sen2t d t2 ser?t dt

2 d 2y dy como (1 - x )— —- x — = 0 se tiene que:

dx2 dx

2 xr 1 d y cosí ¿/v, , 1 d ) \(1 -c o s /)[ -—.— — •—~ ]~ c o s í( --------------•“ r ) = 0

sen~t dt sen t dt sent dt

d y , x dv , . d y d y— -— ctg(t)— + ctg(t)~j - = 0 => — ^ = 0d r dt dt d r

1971 Transformar las siguientes ecuaciones tomando y como argumento.

d 2y dv ia) — f + 2 y ( - ~ ) 2 ^ 0dx dx

Desarrollo

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I *>72

d 2xdv 1 d 2 v dv2

dx dx dx2 ( - - ) 3dy dy

reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

d~x1 *)

dv' , I -> „ d 'x _ a.v- 2 >’(— )- = 0 => — - 2 v— = 0

. d * 3 ' ' ^ ' ~ J v 2 ' d \

dv dv

k> . »¿v J * 3 J a 2

Desarrollo

d 2xd 2y dv2

Se tiene que — — = ----- — entonces:dx {dxd

dy_ 3 i. ,d~x ? ,c/.v -> í7 x , d\\%3 ( )-( ) - ------------( )-'

dy _ í/v" íA; t/i- í/v

¿x3 ( </ydy

reemplazando en la ecuación se tiene: — - = 0í/j.3

La tangente del ángulo u, formado por la tangente MT y el radio vector OM del

y - zpunto de tangencia (fig 69) se expresa de la forma siguiente: tgu = ------- —

1 + — y 'X

transformar esta expresión, pasando a las coordenadas polares x = r eos cp, y - r sen (p

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Desarrollo

Diferenciando las ecuaciones x = r eos (p , y = r sen (p

dx = eos cp dr - r sen cp dep •••(!) dy = sen ip dr + r eos cp dep . . .( 2 )

dy senepdr + r eos (pd cpdividiendo (2 ) entre ( 1) se tiene:

dx eos cp dr - r sen cp d cp

de donde y ' =

drsencp— + r eos cp

depdr

eos cp r sen cpd(p

yademás tgu =

1 U y 'X

reemplazando ( 1) en (2 ) se tiene: tg u

drsen cp — + r eos cp

depdr

eos cp r sen (pdep

... (2)

r sencp r eos cp

drsen (p 1- reos (p

dep -, r sen (p ,]_i---------- (reoscp eos (p rsernp

dep

)

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dr 2 2 g drr eos (p sen (p.----- f r eos (p - r sen (p(cos (p rsenep)d(p dep

t g U = ---------------------------

r eos 4?(cos (p r sen (p) + r sen ep(sen ep h r eos ep)d(p d(p

r2 (sen2(p + eos2 (p) r r rtg u —-------------------------— — — — ~ => t g u = —

t 2 , 2 x dr dr r ' r'r(eos cp^-sen (p)dep dep

y1973 Expresar la fórmula de la curvatura de una línea: k = ----- — en

[ i+(y')2Vcoordenadas polares x = r eos (p, y = r sen cp.

Desarrollo

Diferenciando las ecuaciones se tiene:

dx = eos cp dr - r sen cp dep •••(!)

dy = sen cp dr + r eos cp dep ... (2 )

, i • , i • , eoscp.dr-dxde ( 1) despejamos dep es decir: dep -----------------r sen (p

rs f /Cos (pdr-dx .reemplazando en (2 ) se tiene: dy - sen ep.dr + r cos(p{----------------- )r sen (p

7 7/• sen (p dy + r cos cp dx - r sen~cp.dr + r cos“ (p dr

r = sen cp dy + r cos cp dx = r dr => dr = sen cp dy + cos cp dx

()t*de donde — = cos <p , — = sencp además:

ex cy

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146 Eduardo Espinoza RamoÉ Ük

1974

drsen ep - — + r eos (p

_2 _ = -------- -JfL------------ p0r 0 ra parte reemplazando dr en d(p es decir en:dx deos (p.------- r sen (p

dep

^ _ eos (p.dr - dx _ eos ep(sen (pdy + eos (pdx- dx) r sen (p r sen (p

. eos (p . senep , , dep senep dep eos epdep = —d y —dx de donde: —- = --------— ; —- = -----—

r r dx r dy r'í

, , dep dep dep dyademas — = —— + —— aquí hacemos los reemplazos respectivos se tiene:

dx dx dy dx

dep _ senep eos (p dy " i •

dx r r dx

P>m dr n2 d 2r 2, r — + senep ,2 i2 ~ r ~7~2+ rdy dx 1 1 1 d y . d y dep dep_j_ - — ----------- calculando — ~ se tiene: — — --------- ------------------

dx C0S(P dx dx (eosdep

_. dr .2 d 2r 22 (— Y - r — — + r l

y" . dep dep~reemplazando en k — se tiene que: k = -----^--------------- ------

— d r —[ 0 + (>,f) 2 ] 2 [(-T“ ) 2 + r 2 ] 2dep

Transformar a las nuevas variables independientes u y v la ecuaciónd z d z 2 2 x — = 0 s i U = X , V = X + v .dx dy

Desarrollo

az dz cu dz dv Conocemos que: — = — .— + — . —

dx du dx dv dx

v

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1975

-— V '■*> ' “ NCU cz cz cz cv cvPero como - — = 1 entone > ■•■tiene: — = — + — .— además — = 2x

dx ex du cv dx dx

dz dz ; "z— = — -+ . . . ( 1 )ex cu r

, ., dz dz dv dz dv cu dvtambién se conoce que: — --- ■ —. — ■-+ donde — = 0 , — - 2 y

dy du dy dv dy dy dy

es decir: — = 2 v — ••• (2 )dy ' cv

d7 dzreemplazando en la ecuación: y — - x — = 0 se tiene:

dx dy

.dz dz. dz dz dzy(---- f 2x— ) - x ( 2 y — ) = 0 => y — = 0 de donde — = 0

du dv dv du du

Transformar a las nuevas variables independientes u y v la ecuación

dz dz . yx h y z = 0 si u = x, v — —

dx dy x

Desarrollo

cz cz du dz cv du dv ySe conoce que — = — .— h----- .— donde — = 1, — = — -

dx du dx dv dx dx dx x

dz dz y dzluego se tiene: — = — ... (1 )

ex cu x~ cv

dz dz du cz■ cv , , . cu rs cv 1ademas — = — .— + — .— de donde se tiene: — = 0 , — = —

dy du dy dv dy oy dy x

dz 1 dzLuego se tiene: — = — ... (2)

dy x c v

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1976

Reemplazando (1) y (2) en la ecuación .v — + y - z = 0dx ' dv

C < C Z y C Z \ z 1 ASe tiene que: x( — )+ y (—.— ) - z = 0du x2 dv x dv

dz y dz y dz dz . dz .y H— .------ z - 0 => x z = 0 o u z = 0

dw x d v x d v dw dw

d2w d2wTransformar la ecuación de Laplace — - h---- - = 0 a las coordenadas polares r

ax2 ay2

y (p, poniendo x = r eos (p, y = r sen (p.

Desarrollo

V ~? 7 vx~ + y~ y 0 = arctg —

dr x d2r x 2

dx J x2 + v 2 dx2 ? 0 -+> (x2 + / ) 2

->2 2 dr v o r y

d y y j x 2 + V2 ^ y ~ 2 2 x 1^ ' (x2 + y “)2

dO —y c 20 2xy==>

a.v a- + v“ ax~ (x +>■■)■

a (9 x d20 - 2J —, ademas se conoce que:dy x 1 + v2 oy2 (x2 + y 2)

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reemplazando en esta ecuación se tiene:

2 2 2 2 d~w , x d w -x y , d w y du= ( - f r = r ) T T + 2( ------- ^ - T ) T ^ +2 j_ , , 2 r? r“ ' . - drd<9 - dr, 2 \ o / 2 \ o

( X + y " ) 2 ( X + y ) -

v- 5 u 2xy duH Z T-J. - + — r - T — ... (1)

(x + y “) dO“ ( x ~ + y )“ dx

también se conoce que:

d 2 u d r . 2 d 2# _ d 2w d r d 0 d 2r dw , d 0 *> d 2w d 2# dw— — = (— ) — - + 2 .— .— + — —.— + (— )“ — - + — —d y d y d r d r . d O d y d y d y d r o d y d O d y " d O

haciendo los reemplazamos en esta ecuación:

2 2 ->2d "w y 2 d “ w 2 x y d w

dy2 ~ i ' » * *

9 9x dw x 2 d w 2 x y dw

+ + ( 2 . 2 * - , „2 , 2 . 2 \2 ' a / i • " ^/ 2 § > v + / ' s e 1 ( x ' + S Y d e(X2 + y - ) 2

sumando ( 1) y ( 2 ) se tiene que:

d 2w d 2w d 2w 1 dw 1 d 2w— y + — 7 — ~ r = = — + t — 7 ... ( a )d x 2 d y dr" ^ + ^ 2 dr x2 + y o0

pero r 2 = x 2 + y 2 entonces reemplazando en (a)

d~w d~w d 2w 1 dw 1 d"w + — - = — - + — +

dx2 dy2 dr2 r dr r 2 dO1

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1977

1978

(32z j d2z xTransformar la ecuación: x —y - y —- = 0 . Haciendo u = xy, v = —

dx dv v

Desarrollo

w A . ,, , . dz dz du dz dvMediante la formula se tiene que: — = — .— h----- .—

dx du dx dv dx

, , du dv 1 . dz dz 1 dzdonde — - y , — = — luego se tiene: — = y 1-------

dx dx y dx du y dv

d2u 7 d2z d2z 1 d2z . . .— r- = y — t + 2 ------- + ——— - de acuerdo al ejercicio 1976.dx2 du2 dudv, y 2 dv-

c u 7 o z _ x o z x~ c z 2 x dz- = x* — - ~ 2 —r . --------+ —----— h— -----de acuerdo al ejercicio anteriori -s 2 2 4 ^ 7 i ^q¡y du y du.dv y H dv y cv

d'zz d2 ,

reemplazando en la ecuación x2 — - - y 2 —y = 0dx dy

i , 7 d2z d2z 1 d2u . 7 , o c 2z 2 x2 d 2z x2 d2z 2x d zx- ( y - - — + 2 —— - y (x~— j ------r T T + ' T 7 7 + _ T~ ) - 0

du du.dv y - dv* diC y~ dudv y* cv~ y~ dv

7 c 2z 2x dz d2z 1 dz drz 1 dz4x~ — = 0 => 2 — — = 0 => 2 - — = ——

du.dv y cv du.dv xy dv du.dv u dv

dz dzTransformar la ecuación v — - x — = (y — x)z introduciendo las nuevasdx cy

2 7 1 1variables independientes u ~ x + y , v = — + — y la nueva funciónx y *'

w = ln z - (x + y).Desarrollo

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1979

du _ ^ du _ ^ ^v _ 1 dv _ 1

dx dy dx x2 ’ dy y 2

w = l n z - ( x + y) => ln z = w + x + y de donde: z = e ■ luego se tiene

dz dw du dw dv dz _ dw 1 c\v— = — .— + — .— => — = 2x --------- 7 .—dx du dx dv dx dx du x~ dv

dz dw du dw dv dz _ dw 1 dw— = — .— + — .— => — = 2 y ----------- --—dy du dy dv dy dy du y“ dv

CZreemplazando en la ecuación: y - - x — = ( y - x ) z y después simplificando

dx dv✓

dwse tiene que — = 0

dv

d 2 z d 2 z d2 zTransformar la ecuación — - - 2 ---------1 :r = 0 tomando como nuevas

dx2 dxdy dy2

y Zvariables independientes u = x + y, v = — tomando una nueva función w = — .x x

Desarrollo

du _ j du _ dv _ y dv _ 1

dx ’ dy ’ dx x 2 dy x ’

zademás como w = — => z = xw de donde:

dz dw .cw du dw cv = W + X = W + X y . ------ 1-------. -----)dx dx du dx cv dx

dz dw y dw = w + X ----------— . —dx cu x ov

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'y Zc zo 2ex

ew du dw dv dw , d 2w du d 2w e v .— .------1------ . ------1--------b a*(-------. ------ 1---------- . — )du dx ev dx du du2 dx du.dv dx

y , d w d~w dv dw ev- - ( --------+ — 7 -.— + — .— )V a / A A» A /x du.dv dv~ dx ev ex

ahora reemplazando se tiene:

2 2 2 2 <3 z dw y dw dw d~ w y d w y~ e w y d w y dw_______________ — ________________________ _ _ i ________________________| _____________________j _ y ________________________ — - ____________________________ | ~ — _________________ — . i — | . _ - ____________________

dx2 du x 2 ev du du2 x du.dv x3 dv2 x du.dv x dv

ez dw du dw dv dw dw— = x — .— + x — .— = x — h-----dy du ey ev dy du ev

e zA 2ey

d 2 a a2 a a 2 a a 2 aw cu e w ev o w ev c w cuA* —. ------b X -------- . ------ 1 — . b

du2 dy du.dv ey dv1 ey du.dv dy

d2zA 2ey

^2 a2 1 a2 a2c w c w l e w o w= A'

e w + +

du2 du.dv x dv.2~b

du.dv

d 2z dw du 1 dw dv+ ---- .— + y

d2w dv d2w du+ x

dx.dy du dy dv dy " du.dv dy du2 dy

y d 2w ev d2w du 1 dw+ —(— — + --------.— ) + - • —

x dv" dv du.dv dv x ev

d 2w dw 1 dw d2w d2w y d2w y d2w 1 dw+ -b + x

dx.dv du x dv du.dv du2 x3 dv2 x du.dv x dv

reemplazando en la ecuaciónd 2 z

- 2A 2 a2c z d z

+dx~ cx.dy ey

0 y simplificando se tiene

que:d 2w

dv2= 0 .

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1980^2 ^2 ^2C7 Z ^ O Z O Z— r + 2 --------+ —cbt o x .o y <3y

v = x - y, w = xy - z, donde w = w(u,v).

U L u ¿ u ¿ .

Transformar la ecuación: . + 2 - + —y = 0 poniendo u = x + y,

Desarrollo

Su du dv _ dv _c r qy gx qy

de la ecuación w = xy - z se tiene: z = xy - w derivando se tiene:

dz dw du dw dv _ dw dwdx ^ du dx dv dx ^ du dv

d2z d2w du d2w dv d2w dw d 2w dudx cu dx du.dv dx dv dx du.dv dx

d2z d2w d2w d 2wdx2 du2 du.dv dv2

en forma similar para — es decir:dy

d 2z d 2w d 2 w d2w + 2 -

cy 2 du2 du.dv dv2

d2w . d2w d2w1 + — y reemplazando en la ecuación

dx.dy diV dv

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6.11. PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE.

ler. ECUACIONES DEL PLANO TANGENTE Y DE LA NORMAL PARA EL CASO EN QUE LA SUPERFICIE ESTÉ DADA EN FORMA EXPLICITA.-

Se llama plano tangente de una superficie en el punto M al plano en donde están situados todas las tangentes en el punto M, a las curvas trazadas en dicha superficie que pasan por el punto M.

Si la superficie está dada en forma explicita en un sistema de coordenadas cartesianas z = f(x,y) donde: f(x,y) es una función diferenciable, la ecuación

del plano tangente en el punto M(xQyy 0, z0) a la superficie es

2 - zo = f.x ( *0 ’ yox* - *0 ) + fí(*o, yo )(.v - ) donde z0 = , y„) a x,y, z,

son las coordenadas variables de los puntos del plano tangente.

La ecuación de la normal tiene la forma:

y - y o z “ zo/ r (•*()’>’o) / , ( -W o ) - 1

2do. ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE Y DE LA NORMAL PARA EL CASO EN QUE LA SUPERFICIE ESTE DADA EN FORMA IMPLÍCITA.-

En este caso la ecuación dada en forma implícita es: F(x,y,z) = 0 y

F(x0, y0, z0) = 0 y la ecuación del plano tangente es:

Fx(x0, y0, z0)(x - x0) + E,; (.v0 , y 0 , z0)(>- - + (x0, y0, z0)(z - z0) = 0 y la

ecuación normal es:

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1981

i

Escribir las ecuaciones de los planos tangentes y las de las normales a las siguientes superficies en los puntos que se indican:

9 9a) Al paraboloide de revolución z = x~ + y en el punto (1,-2,5).

2 2 2 x y zb) Al cono — + ---------- = 0 en el punto (4,3,4)

16 9 8

9 9 9c) A la esfera x + y + z = 2Rz , en el punto: (R eos a , R sen a , R)

Desarrollo

2 2 dz dza) Como z = x + y => — = 2 x , — = 2y en el punto x = 1 e y = -2 sedx dy

dz dztiene que: — = 2 , — = -4 y la ecuación del plano en el punto (1 ,-2,5)

dx dyes: z - 5 = 2(x - 1) - 4(y + z) que simplificando es: z - 2x + 4y + 5 = 0.

x — \ y + 2 z - 5La ecuación de la normal en el punto (1,-2,5) es:

-4 -1

2 2 2 X V zb) Sea / ( jc, y, z) = — + — — que esta en forma implícita: de donde

fy — ~~ i f í = “ en el punto (4,3,4) se tiene que:

1 2f'x - — , f v - — , f [ - - 1 . Luego la ecuación del plano tangente es:

3

1 2— (x - 4) + — (y - 3) - l(z - 4) = 0 y la ecuación de la normal es:^ 3

2{x — 4) 3 0 ; - 3 ) z - 4 v t .---------- = — = ------- que escrito de otra rorma es:1 2 - 1

x — 4 v —3 z - 4

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1982

c) Sea / ( x , y, z) - x2 + y 2 + z 2 - 2Rz de donde se tiene: f x - 2 x ,

f y - 2 y , f i - 2 z - 2 R en el punto: (R eos a , R sen a , R) se tiene

f x = 2 R c o s a , f y = 2 R s e n a , / / = 0 . Luego la ecuación del plano

tangente es: 2R eos a (x - R eos a ) + 2R sen a (y - R sen a ) = 0 dedonde al simplificar se tiene: x eos a + y sen a - R = 0 y la ecuación de

t , x - R c o s a y - R s e n a z - Rla normal es: = = --------

2 /? coser 2Rsena 0

2 2 2 X y z¿En qué punto del elipsoide — + r- + — = 1 la normal forma ángulos iguales

a b c“con los ejes coordenados?

Desarrollo

Para que la normal forme ángulos iguales con los ejes coordenados los cosenos directores deben de ser iguales es decir:

f i = fy = fz donde f ( x , y,z) = ^ - + - + — - 1a b c

2 y 2 y ¡ ^de donde f i = — , , f! = —~ y de acuerdo a la condición se tiene

j x 2 > i 2 z 2a b e

2x 2y 2z - 1 1 1 j • b2que: — = — = — de esta igualdad despejamos: y = —y x , z - — xa b c a a~

2 2 2 x y zesto reemplazando en la ecuación — + — + — = 1 se tiene que

a" b c

4 a2x2 = ---------------- => x = ± , ■...—— y esto reemplazando en

, 2 j 2 2 2 1 2 2a + b + c v a + b + c %

b 2 c 2 b 2 c 2y = — x , z = — x se tiene: y = ± - 7== = , z = ± - 7=----- —

a2 ’ a2 ' 4 a 2 + b2 + c 2 4 ¿ ^ b 2l Z 2-f- b 4- c

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1983 Por el punto M(3,4,12) de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 169 pasan planos

perpendiculares a los ejes OX, O Y. Escribir la ecuación del plano que pasa por las tangentes a las secciones que originan aquello, en el punto común M.

Desarrollo

Como jc2 + y2 + z 2 - 169 => z = 169-

dz x dz vDe donde — - — , — = - — en la cual:

dx z dv

dz xdx

= — es perpendicular al eje OY.

dz vcy

es perpendicular al eje OX y para el punto M(3,4,12) se tiene:

dz 1 dz _ 1

dx 4 ’ dy 3

De acuerdo al gráfico se tiene BMP es paralela al plano XOZ, y la curva BMP

es paralela al plano YOZ, el plano que pasa por la curva BMP es perpendicular

al eje OY, el plano que pasa por la curva AMC es perpendicular al eje OX y la

czpendiente a la curva BMP en el punto M es — y al pendiente a la curva AMC

exOcz

en el punto M es —- y el plano que comprende estas dos tangentes es:dy

z - 1 2 - ( x - 3 ) - - - ( y - 4 ) de donde: 3x + 4y + 12 z - 169 — 04 3

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1984

1985

Demostrar, que la ecuación del plano tangente a la superficie central de 2do

orden ax~ + by2 + cz2 = k en su punto M(x0, y0 , z0) tiene la forma

ax(jX + by0z + cz0z ~ k .

Desarrollo

Sea f ( x , y , z ) = ax2 + byz -fez2 - k de donde: f x = 2 a x , f'y = 2 by , / 7 = lea

En el punto M es f x - 2ax0 , f'Y = 2by0 , f¡. - 2cz0 y la ecuación del plano

es: 2 ax0 (x - x0) + 2 by0 (y - >’0) + 2 cz0 (z - z0) = 0

de donde ax0x + óy0>’ -f ez0z - (í/Xq + f cz¿) = 0

ax0x + by0y -f cz0z = k

Dada la superficie x2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 2 1 , trazar a ella planos tangentes que sean paralelos al plano x + 4y + 6 z = 0.

Desarrollo

Sea / z) = x2 + 2y 2 + 3z^ - 21 de donde: / 7 = 2x , J v = 4y , /_; = 6z

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1986

Calculando en el punto (x0, y 0, z0) se tiene: = 2 x 0 , f y = 4y0 , / z = 6 r 0

además los planos tangentes son paralelos al plano x + 4y + 6 z = 0 entonces:

2x0 = 1 , 4y 0 = 4 , 6 z0 - 6 de donde se tiene: a0 = -- , v0 = 1 , z0 = 1

por lo tanto el plano paralelo a: x + 4y + 6 z es (x - —) + 4(y — 1) + 6 (z -1 ) = 0

de donde 2 x + 8 y + 12 z — 21 = 0

1 1 1 X~ y “Dado el elipsoide — + - 1, trazar a los planos tangentes que

a~ b~ cinterceptan en los ejes coordenados segmentos de igual longitud.

Desarrollo

2 2 2 x y zSea f (x) = — + — + — - 1 de donde se tiene:a2 b2 c2

f ' = — /•/ = 2 z f i =J A' 9 ’ J V , ? ’ J Z 1

a~ b~ c

Calculando en el punto (x0 , ; 0 ,z0) esta en el elipsoide, entonces se tiene:

.2 2 9

« 2 />2 c

la ecuación del plano tangente es: (.v-Jt0 )-::::y- + (.y-;>’0)—^- + ( z - z 0 ) - — = 0, 2 > ’ r 2

«• 6 *

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1987

í5 L + a L + 5 . „ 4 + 4 + 4 * * * , 3 i + ff i> + . 5 i , i . . . (2)a " c ¿r b~ c a " 6 *" c“

ahora encontrarnos los puntos de intercepción con los ejes coordenadas:

npara y = z = 0 => x = —-

nx = z = 0 => y - —>'o

AX — y = 0 => Z ---Z0

cf b~ c~es decir que los puntos de intercepción son: (— , 0 ,0 ) , (0 ,— , 0), (0,0, — )

*0 >0 z 0

además los segmentos que se interceptan son iguales, o sea:

2 / 2 2 2 2 2 a b e * 0 v0 Zn ,x — y = z => — - — = — como —~ 4 —~ 4 = 1 se tiene:*o yo zo <** ^ c-

2 , 2 2A a O C 2 i 2 . 9 , 2 2 \ 4 i i j~ 4 —j X Q 4 — x0 = 1 => jc0 (a + b 4 c ) = a , de dondea " a a

*> , i ?. _____ 6 " , g~______

, / 2 1 1 1 r / 2 ; 1 ^ , 2 2±Va 4 4 c~ +yla*'+b“ + c ±yja~+b 4 c

reemplazando (3) en (2) se tiene: x 4 y 4 z -- ±\fa^ 4 / / 4 c'

Hallar en la superficie x2 4 y2 - z 2 - 2a - 0 los puntos en que los

tangentes a ella sean paralelos a los planos coordenados.

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..y / ' ’ í : '• '* J : ' > i ’' "i i >Funciones de Varias Variables 161

Desarrollo

2 2 2Proyectamos sobre el plano XOY la superficie .y + y~ + z - 2x = 0 haciendo•~i ■) , 2 2

z = 0. Luego tenemos x“ + y~ - 2 x = 0 lo que es lo mismo (x -1 ) + y = 1

que nos representan una circunferencia cuyo gráfico es:

Por los puntos A y B pasan planos tangentes paralelos al plano XOZ donde:

A( 1,1,0) a B( 1,-1,0) y por los puntos 0(0,0,0) y C(2,0,0) pasan planos tangentes paralelos al plano YOZ.

1988 Demostrar, que los planos tangentes a la superficie x y z - n ? forman con los

planos coordenados tetraedros de volumen constante.

Desarrollo

Consideremos el punto /?(x0 ,y 0 ,z0) en la superficie f ( x , y , z ) = x y z - m ?> en

donde / ; - >’0z0 , f ’y = x0z0 , f z = x0y0 .

Luego la ecuación del plano tangente es:

(* ~ x0 )y0z0 + (y - y Q )x0z0 + (z - z0 )x0y 0 = 0

de donde xy0z0 + yx0z0 + zx0y 0 = 3m3

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1989

r r

Luego para y = z = 0 se tiene x = 3 m}

>o-o

Para x = z = 0 se tiene y - 3m3x0z0

r» /x • 3/72Para x = y = 0 se tiene z =Ao>o

Además el volumen de un tetraedro es: V = 0.1178 a* - 0.1178xyz

. 3/m\ 3/«3 w 3 /w \ rr (0.1178X27)F = 0 .1178(------ )(------- )(-------) => F = --------- -f-— - es constante

-Vor o V o *o>o rn

Demostrar, que los planos tangentes a la superficie \[x + + s T z ^ r a

interceptan en los ejes coordenados segmentos cuya suma es constante.

Desarrollo

Tornemos un punto P(x0, y0, z0) de la superficie / (x , y, z) = yfx + >/y + - yfq.

de donde / v = , f!. = — 1==, f i = 12yíx0 ' 2Jyo ’ ‘ , 2P o

Y Y y __ y 7 __ 7

La ecuación del plano tangente a la superficie es: :— + — — - = 02 ^ - \¡zo

de donde: —L=- + - ~ = + — =r = J xq + = yfaV a o v >’o V z o

Ahora interceptamos con los ejes coordenados para:

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1990

y = z = 0 se tie n e x - yja:axo

x = z = O se tie n e y =

x = y = O se tie n e z — yjüz0

sum and o lo s segm entos se tie n e :

x + y + z = yjax^ + y[ay^ + yjaz^ = yfa(y[x¿ + =

L u e g o x + y + z = a es una constan te

1 7a “ v z~D e m o s tra r, que e l cono — + -r- y = — y la es te ra¿T b" c~

,2 , 2 . »2;,A ~ + y " + ( - ) “ = — 0 y c “ ) son tangentes e n tre si en los p un tos

c c"( 0 ,±b ,c )

Desarrollo

2 ^ 2 A V ZC o n s id e re m o s f ( x , y , z ) = — + — ycr b~ c~

b“ + c~ b~g (A * ,y ,z ) = a 2 + v 2 + ( - -----------------)2 — y (b2 + c 2 ) en e l p u n to ( 0 ,± b ,c )c c~

se tie n e : f ' = 0 , / , ' = ± , f l = - - y g ' = 0 , g '. = ±2b, gí =b e c

L u e g o para que sean tangen tes am bas s u p e rfic ie s es necesa rio que sean2b1

p ro p o rc io n a le s las d e rivad as p a rc ia les c o m o : ( ü ,± 2¿?,— —-) es p ro p o rc io n a l ac

2 *> o( 0 , ± — , — ) p ues to que al m u lt ip lic a r p o r ¿ r se o b tie n e lo s té rm in o s de la b c

p rim e ra .

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1991

1992

Se llama ángulo entre dos superficies en el punto de su intersección, al ángulo que forman los píanos tangentes a dichas superficies en el punto que se considera ¿Qué ángulo forman su punto de intersección el cilindro

x2 -f y 2 - R2 y la esfera ( x - R ) 2 +>’2 -fz 2 = R2 en el punto M (—, — - ,0)2 2Desarrollo

Consideremos / ( x , y) = x2 + y 2 - R2

-> R \Í3g (x ,y , z ) = ( a ~7?)2 + v2 + z 2 - / ? 2 en el punto: A/(—,—- ^ ,0 )

se tiene que f ' = R , f'. = 3R , g'x = - R , = 73 R , g : 0

/■*/ I /’ / i /■/ /.fx-Sx+Jv-Sv+Jz-Szse conoce que cos 0 =

(./, )2 + ( / ; )2 + )2 + cg' >2 + (g, )2 + (g i >■

2 7? 1COS 6 = ——- = — => 0 = 60°

47? 2

Se llaman las superficies que se cortan entre si formando un ángulo recto en cada uno de los puntos de la línea de su intercepción. Demostrar que las

superficies x2 + y 2 + z 2 - r 2 (esfera), y=x tg (plano) y z2 = ( x 2 + y 2)tg2cono

que son superficies coordenadas del sistema de coordenadas esféricas r, cp, i{/,

son ortogonales entre si.Desarrollo

Como las coordenadas esféricas son r, cp, \j/, se tiene que:

x = r cos cp cos i;/

y = r cos cp sen \p

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9 9 9 9z = rse n c p y c o ns id e rem os f ( x , y , z ) = x +y + z - r , g (x ,y ) = y - x tg cp,

h(x, y, z) = z 2 - (x2 + y 2 )tg de donde f í = 2 x , f'y z , = - í g ,

g'y = 1 , > K = ~ 2 v ^ , h'z = 2z

si ( x 0 , y 0 , z0 ) es u n p u n to de la s u p e rfic ie e n tre dos

x 02 + y \ + z02 = r 2 , y0 = x0tg(p , z0 = (x] + y02 ) íg ^

para que las su p e rfic ie s sean p e rp end icu la res deben c u m p lirs e que:

f í . g í + f í . g í + / / -g í = o , f í K +f í .gí + .h í=0

h'x .g'x + h'y .g!y + hí ,g'z = 0 es d ec ir: - 2 x0tg<p + 2y0 = 0 = -2 y 0 + 2yn = 0

- 4 x0tg2<p-Ayltg2 + 4zq = - 4 z 0 + 4 z 0 = 0

2 x0tg<p.tg2y/- 2y0tg2<p = 2y0tg2<p - 2y0tg2(p = 0

y1993 D e m o s tra r, que to d o s lo s p la n o s tangentes a la s u p e rfic ie c ó n ic a z = x f (— ) en

xsu p u n to M ( x 0 , y 0 , z 0 ) donde x 0 * 0 pasan p o r e l o r ig e n de coordenadas.

Desarrollo

yC o m o z = x f (—) en tonces en e l p u n to M

JC

dx x x 0 x0

— = / ' ( — ) lu e g o la e c uac ión d e l p la n o es:dy x0

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166 Eduardo Espinoza Ramo

Z - z Q = f ( * ) - > ! ° f '( -Xx-x0 ) + f - y0) x0 x0 x0 x0

simplificando se tiene: x ( f (— ) - — / ' ( — )) + / \ — )(y - y 0) - z = 0x0 x0 ‘ x0 x0

que es la ecuación del plano que pasa por el origen

y y1994 Hallar las proyecciones del elipsoide x + y + z - xy -1 = 0 sobre los planos

coordenados.Desarrollo

Para hallar la proyección sobre el plano XOY se hace z = 0 obteniéndose;2 2x + y - x y - 1 = 0 en forma similar para el plano XOZ se hace y = 0 de

donde x2 + z2 = 1 y por ultimo para el plano YOZ se hace x = 0 de donde

y 2 + z 2 - 1 = 0 .

1995 Demostrar que la normal, en cualquier punto de la superficie de revolución

z = / ( V x2 + y 2) ( / ' * 0) corta a su eje de rotación.

Desarrollo

Como z - f (yjx2 + y 2 ) entonces se tiene:

dz _ f x j ? + y 2)x / ' ( V * 2 + J 2 )>’dx y ? + / ’ & V 7 + / "

T J , , ( X - x ) y j x 2 + y 2 { Y - y)yjx2 + y 2 Z - zLa ecuación de la normal es: = = = = = — = ........... ..... =====— = -------

xf'(\¡x2 + y 2 ) rf'ixjx2 + y 2) "•

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i unciones de Varias Variables 167

, J J „ ( X - x ) J T T y 1 V (Y -y y J . de donde Z - z ------------, ■■■ y Z - zf'(\jx2 + / ) * / W * 2 + v2 )

donde x,y,z son las variables de la recta normal.

Si x = 0 se tiene z = / (<yx2 + y 2 ) +x2 + y2

f \ y ¡ x 2 + y 2)

Corta al eje de rotación para cualquier valor de x e y.

Si y = 0 se tiene z

Corta al eje de rotación para cualquier valor de x e y.

6.12. FÓRMULA DE TAYLOR PARA LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.-

Suponiendo que la función f(x,y) alrededor del punto (a,b) tiene derivadas parciales continuas hasta el orden (m - 1) inclusive. Entonces se verifica la fórmula de Taylor.

/ (*, y) = / ( « , *) + yj [fx (a> - 6)]

+ b x ~ a)2 + fyy (a'b)(y - h)2 + 2/ (a>b)(x ~ a)(y ~ b)\Zmt •

+... + — U x -a ) -^ - + (y-b)-^-]" f ( a , b ) ... (l)donden\ dx dy

R(x,y) = — i — [ ( x - a ) ^ r + ( y - b ) ^ - r ix f ( a + d ( x - a ) ,b + d ( y - b ) ) , (0<9< 1) (« + !)! dx dy

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1996

en o tras ano tac iones :

f ( x + h,y + k) = f ( x , y ) + ~ [hf' (x , y) + kf'v ( x , y ) ]

(x, y ) + 2h*f£ ( x , y) + k1 f'Jy (x, y)]

+ l ( h£ + kA ) - f ( x , y) + — !— { h ^ + k ) " +1 (2)ni ex cy (ft + 1)! ex cy

o b ie n : A / (x,y) = d f ( x , y ) + ^ 7a2f ( x , y ) + ... +— d"_f(x,y)2! ni

+ — -— d"+l f ( x + 8h ,y + 8k) ...(3)(ji +1)!

para e l caso p a r tic u la r cuando a = b = 0 la fo rm u la ( 1) rec ib e e l n o m b re de M a c lo u r in .

D e s a rro lla r f ( x + h , y + k ) en p o tenc ias en teras y p o s it iv a s de h y k , si2 2 / ( x , y) = ax + 2bxy + cy

Desarrollo

f'x = 2 xa + 2by => f ^ = 2 a

fy = 2¿>x + 2cy => / " = 2c

f ( x + h,y + k) = / ( x , y) + h f x + kf.í + 2 + k 1 f " ) r/xy

= ax2 + 2¿*xy + cy2 + 2 hax + 2 tóy + Ikbx + 2kcy + — (h2l a + lh k 2b + A'2 2c)2

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f ( x + h ,y + k) = ax2 + 2bxy + cy2 + 2h(ax + by) + 2k(bx + cy) + ah2 + bhk + ck2

1977 D e s a rro lla r la fu n c ió n / ( x , v) = - x 2 + 2 x y + 3y - 6.v - 2 v - 4 para la fó rm u la de T a y lo r en u n e n te ro de l p u n to ( -2 ,1 ) .

Desarrollo

C a lc u la rn o s sus d e rivad as en e l p u n to ( -2 ,1 )

fx = 0 > = - 2 . / v = 0 , fyy. = 6 , / " = 2

/ ( x , y) = / ( a , ¿>) + [f'x (a, b)(x - a) + f'y (a, b)(y -/>)] +

+ \ [ f ^ a , b ) U ~ a)2 + 2 f " (a, b)(x - - b ) + / " - ]

f ( x , y ) = 1 - ( x - 2 )2 + 2 (x + 2 )(y - 1 ) + 3(v - 1 )2

1978 Hallar el incremento que recibe la función f ( x , y ) = x y al pasar de los

valores x = 1, y = 1 a ios valores x, = 1 + h , y x =1 + k

Desarrollo

/ ( x , y) = / ( I + h, 1 + *:) - / ( l , 1) = h f l ( x , y) + kf'y (.v, y) +

+ \ [ h 2C i x , y ) + 2 k h f^ ( x ,y ) + k 2f ^ ( x , y ) ] +

+7 tffZ(x, >>) + 3h2kf(*, y) + lhk2f ^ (x, y)]o

L u e g o y ^ ( l , l ) = 2 , 4 ( 1 , 1 ) = 2 , 4 ( 1 , 1 ) = 2 , / , ' ( 1 ,1 ) = 1 , 4 = 0 ,

4 ( U ) = o , 4 d , i ) = 2 , 4 ( i , i ) = o , 4 ( i , d = o

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1999

2000

Reemplazando A /(x,y) = Ih + k-rh2 + 2hk + klr

1 1 1Desarrollar la función /(.v, v, z) = x“ + y~ + z“ 4- 2xy - yz - 4x - 3y - r + 4 por

la fórmula de Taylor en el entorno del punto (1,1,1).

D e s a r ro lloSe conoce que:

/( x , y,z) = f (aj i .c) + f x (aj.\c)(x -a) + /;! (a,b,c)(y -b) f f . {aj\c)(z -c) +

4 “ [ / v a - (a ’ C)(X - a ) 2 + fvv (a>b' C X - V “ b ) 2 + fzz b- C ) ( - “ C . ) ¿ +

+ 2 / ’:;. (a, K c)(x - a)(y - /?) -f 2/ v. (a, ¿x c)(y - b)(z - c) +

4-2/.,r {ajy c)(y - b)(z - c) + 2 / / (a, c)(x - a )(z - c)]

1 1 *9como /(.v, v,z ) = .V + y" + r~ + 2.yy- vz- 4.v- 3y - z + 4 en el punto ( 1.1, 1)

se tiene: / ; = 0, /,.( = 2 , /,! = 0 , 2 , . / 2 = 0 , f í - 2 , f xv= 2,V‘- 1 • • •'.! ■ f .i;; • ¡ 1 ‘7 ■ • 7 <, {u / / //

/ / -- - 1, / / = 0 , reemplazando se tiene:

/( x ,y ,z ) = ( x - 1)2 4- (y — l)2 + ( z - l ) 2 + 2(x - l)(y - 1) - (y - l ) ( z - 1)

Desarrollar f(x + h, y + k, z + 1) en potencias enteras y positivas de h, k y 1 si1 1 1

f ( x , v, z) = x" + y~ + z~ - 2xy - 2xz - 2yz

Desarrollo

Se conoce que: f ( x + h,y + k, z + l ) - / ( x , y, z) + /z/v + kfy + lfz f

+ ^ h 2f ¿ + k 2f £ +l2y +2hkf“ - 2 / ; / / v_ • 2 A / / ; , ] ... (1 )

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i unciones de Varías Variables 171

9 9 9c o m o f ( x , y , z ) = x + y~ + z - 2xy - 2xz - 2yz entonces

fx = 2 x - 2 y - 2 z => f £ = 2

f í = 2 y - 2 x - 2 z => f ^ = 2

f ' = 2 z - 2 x - 2 y => f z í = 2

füy = - 2 . f í = - 2 , / " = - 2

re e m p la za n d o en la e c uac ión ( 1) se tie n e :*

f ( x + h,y + k,z + l) = f ( x , y , z ) + 2 h(x - y - z ) + 2 h(y - x - z + 2/(z - x - y) +

+h2 + k 2 + l 2 - 2 h k - 2 h l - 2 k l

2001 D e s a rro lla r p o r la fó rm u la de M o c la u r in hasta lo s té rm in o s de 2 o o rd en in c lu s iv e , la fu n c ió n / (x, y) = ex sen y

Desarrollo

Se conoce que:

f ( x , y ) = / ( 0 , 0 ) + xfl ( 0 , 0 ) + yf'y ( 0 , 0 ) +

+ U x 2f í ( 0 , 0 ) + 2xyf í (0 ,0) + y 2f í ( 0 M ... (1)

c o m o / (x, y => f ( 0 ,0 ) = 0

f ' ( x , y ) = exseny => / x (0,0) = 0

f í ( x , y ) = ex sen y => / " ( 0,0) = 0

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2003

fx y (x ,y) = ex eos y => / " ( 0 , 0 ) = 1

f l (x, y) = ex eos y => / , ' ( 0 , 0 ) = 1

fyy (x,y) = - e xseny => / ^ ( 0 , 0 ) = 0

/ ( x , V ) = / ( 0 , 0 ) + x f ' ( 0 ,0 ) + v / ; ( 0 ,0 ) +

+ ^ ( * 2/ « ( 0 , 0 ) + 2 x y / " { 0 , 0 ) + y 2/ " ( 0 , 0 ) ) +

^ (x3/ ^ (0,0) + 2x2/ ^ (0,0) + 3x2/ " ; (0,0) +

+ \ - M Af L (0,0)+4x3y Q , (0,0) + 6 x2 y 2 (0,0) + 4xf3/ ^ (0,0)+y4/ ^ (0,0))4!

c o m o f ( x ,y ) = eos x eos y en e l p u n to ( 0 ,0 ) se tie n e :

f(oo)=o f 1 = o f 11 = i f 111 = o r = 1 / , / =o f n = - i f !/l = ov , j x v ? 7 jor A’ xxxv v ’ Jxxxx v -> J y ^ •> J y y 1 > -'vyy ’

=1 f 7/ = o f '" = 0 f 111 = 0 = 0 = 1 = oJ y yy y ’ x xy ’ J xxy > J xyy ’ y x u y ’ / xxyy 1 x yvvy

re e m p la za n d o y s im p lif ic a n d o se tie n e :

2 2 4 x- 2 2 4/v a , * + .V x + 6x y + y/ ( x , y ) = 1 ---------- — + —2! 4!

D e s a rro lla r p o r la fó rm u la de T a y lo r , en u n e n to rn o d e l p u n to (1 ,1 ) hasta lo s té rm in o s de 2 o o rd en in c lu s iv e , la fu n c ió n / (x , y) = y x

yí, ^ •

Desarrollo

Se conoce que:

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h unciones de Varias Variables 173

/ ( x , y) = A l 1) + & * X * - 1) + f'y d , 1X.V - 1) + / « ( U D ( * - D 2 +

+ f y y ( 1, A ) ’ - I ) ' + 2 f ' y I X * ~ ~ 0 ]

c o m o f ( x , y ) = y x en e l p u n to ( 1, 1) se tie n e : f ( l , l ) = 1, / * = 0 , f'y = 1 ,

- 0 , f[ ! y = 0 , f-J y ~ 1 ? aho ra re e m p la za n d o se tie n e :

f ( x ,y ) = 1 + ( y - l ) + ( x - l ) ( y - 1)

2004 D e s a rro lla r p o r la fo rm u la r de T a y lo r , en u n e n to rn o de l p u n to (1 ,-1 ) hasta los té rm in o s de 3er. o rd en in c lu s iv e , la fu n c ió n f ( x , y ) = ex+y

Desarrollo

Se conoce que:

A x , y) = A l - 1 ) + J jt /x . ( 1 - I X * - 1 ) + f y 0 . - l ) ( y + 1 )] +

+ ^ [ / » a - 1 X * - 1 )2 + / " ( 1, - 1)(>' + 1)2 +2füy { l - \ ){x -X ){y + \)}

- I X * - D 3 + 3 / ^ ( 1 , - i x * - 1)2O + 1 )

+ 3 /" , (1, - ix * - ix J + o 2 + C í1 -W -v + 1)3]

c o m o f ( x , y ) = e**1 en e l p u n to ( 1, - 1) se tie n e : f ( l , - l ) = 1, 1 , j xx = 1 ■

f ! L = 1 > / r = 1 . fy , = 1 • f m = 1 » / w = 1 ’ füty = 1 ’ re e m P la za n d o se tie n e :

/ ( x , jO = 1 + ( x - 1) + O + 1) + 2 - ( ( x - 1)2 + (y l )2 + 2 ( x - 1 +1)

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2005

+ ~ [ (* ~ 1 )3 + 3 ( x - l ) 2(^ + l) + 3 (x - l) (y - f l)2 + (v + l)3]

« \ i xt n / n i [ ( ^ - D + (^ + l )]2 [(-V — 1) + ( y + 1)]3/ (x, y) = 1 + [( jc - 1) + ( V + 1)] + — — — — + — — —2 * 3 *

D e d u c ir las fó rm u la s a p ro x im a d a s , con e xa c titu d hasta lo s té rm in o s de 2d o o rd en , con re la c ió n a las m a g n itu d e s ex y P para las exp res iones:

1 + a (l + a ) m + (1 + fi)na) a rc tg j—^ b) ÍV

S i | a | y | P | son pequeños en c o m p a ra c ió n con 1.

Desarrollo

1 + (Xa) Sea f ( a , /?) = arctg------- , de donde se tie n e :

r

/ l - l f ,i 2(1-/?)(! + a )* (1 -f a ) 2 + (1 - /? )2 “ [(l + <z)2 + ( l - / ? ) 2]2

r¡ l + ____ // _ 2 (l-/7 )( l + ar)* ( l + a f + Q - t f ' & [(1 + a ) 2 + (1_ /?)2]2

W/ ( l - ^ - ( l - a ) Z u • jf aB = r — , h ac ien d o a = P = 0W [(1 + a ) + (1 - /? ) ]

-/ 1 ,// 1 w 1 w/ 1s e tie n e : f a =-,f aa = - , f p = - , f e =

f ( 0 ,0 ) = a rc tg 1 = 4 5 ° re e m p la za n d o en la fo rm u la r de T a y ló r se tie n e :

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b) Consideremos f { a , P ) - J - — —-— de donde

Ja\ \ + a ) m +(1 + P ) n

C = - J (1 + a r + ( 1 + /? r ( ro - l) ( l+ a )m~2 ~ ( l + « r ' w(1+a)4 V 2

m-1

í ( l + a f + ( 1 + ^ "

/ ; =« a + /? )-*

'(1 + « ) m + (1 + y0)"

4 V 2

fap = ( | ( 1 + / ? r ‘ + « ) m_1 ]

para a = p = 0 se tiene: f(0,0) = \ = ~ 7 ■. f L = TTÍ3"1 _ 4 ) , / « = ^ ,4 16 4

/-// 2 // AW/2 f ,f w = - y > n - A ) , f a/}= — , reemplazando se tiene:

¡ ( U g T + Q + jy = | + = « ü A + l [£ . (3m_ 4)a2 + i ( 3 „ _ 4)J2 4 2! 16 16 16

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s Á Á x M w r M J E w m m M w m

2006 Aplicando la fórmtda d^ Taylor, irasta los términos de 2do orden, calcular" ( \ \ 4 i l f - | W _ _

aproximadffiiéWt: a j yJl.Üi.f ^ rn ^ ü ia n c ^ q ^ S fo i

Desarrollo" í d 4- I ) u \' ~ l" i 14 4- ! }\\\

vAa) Sea f ( x , y ) = Jxyfy en el punto ()v(fsp t¡¡esr\e& + | n ,

14 -

\írl 1 rll 1 />/ 1 rll 2 „// 1

A = - - f xx = ~. / r = - , / w = - entonces"'(tt+Iim , v . , w , / 'W + [)+ ’" (» + 1)| m ,H= = = = = 7- (» + [ ) - (iVr l)(l ~H\)---------------------------------- \

1\+ i)+ y + k) = f( 1 + 0.03, 1 - 0.02)C \f Wü -f1

/ ( I + 0.03,1 - 0.02) = /(1,1) + -(0 .03 ) - 0.2(—) +2 ____ ' ‘V ^3 ( ¡h

, i '’{4\ + í)+ “'(v ++ — [(0.03)2(— )2 - 2(0.03)((K.02)------- f-0 .02)2] = 1.0081

21 4 6 9

íb)\ Consideremos f (x¿y ) = x en el p^ptp]^ l,2) ^ ti^ne\que t( 1,2) = 1.

= = — — H r r r r = r r r ^ r - - ) ( \ \ - f f ) - i - j ) { f - - V\ } — ------------------- : i. * ~ = v v . \'"/o r, . o-,... , r C |/ L v' ■

5 C \ 'í~ ; i “t“ * í ) - 4- ( ) “ * *

r

Luego f(x,+ h , ; v + ^ 7 = i r - p , 0 ^ 2,+ 0.01)í "i" ■ i 1 : !•< ------------------------ .,(-- ! "Íí\ t-!) - ) = ,.u\

\ t í \ \- / . . _

/ ( I - 0.05,2 + 0.1) = 1 - 0.05(2) + - (0 .0 5 )2 (2) - 2(0.05)(0.01)(0.95)2 012\

\ \ \ V i i

- — - * . \ * - m ^ . } — , ^ \ , — - v \ . i ----- ( 0 , 0 ) 1 . ‘ j í v j U * j r ; 0 - t \ ~ X ) i r t B q

■’ ' ' = 1 - 0.1 + (0.05)2 -(0.05)(0.01) = 0.902

2007 Sea Z u n a ;; ftmcióiv,nimplj deu & e y, determinada por la ecuación» o j fV> ’ r)í

z - 2xz + y = 0 que toma el valor de z = 1 cuando x = 1 e %y = 1. Escribir

varios términos del desarrollo <Je la función ^ e f í pótenciasr crecientes de las»<\*\m <• , r m i T\u -i-m\\ t (A i-IH- ’0o+í)| a ¡ ñ c r i? x%{ k v r m a ) — ¡ — ■ f- ~ : - i .dffererfelá^ x - T (fe y - T ^ f bA ¿ ~ + l ~ r ~ ~

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* Cf •:

Desarrollo

Calcularemos su diferencial: 3z dz - 2(x dz + z dx) + dy = 0

~ . 2 z d x - d y dz 2 z dz 1De donde dz = entonces — = — ------- y — = — — -~ 2 o . . 2 m J 3 , . 23z - 2 x 3x 3z“ — 2x a_y 3z — 2x

,2 2 — (3z2 - 2x) - 2z(6z — — 2)d z 5x ; v cbcax2 (3z2 - 2x)2

¿ & 5z6 z^ “ 6 z ------ 2a z a>- a z

dy- (3z - 2x) axa^ (3z2 ~ 2 x f

para x = y = 1 = z se tiene:

dz _ d2z d2z dz d2z— = 2 , - = - 1 6 , —— = 10, — = - 1 , - = - 6 . Luegoex dx dxdy dy dy

z = f ( x , y) = 1 + 2(x -1 ) - (y -1 ) + i ( -1 6(x - 1)2 - 6 (y - 1)2 + 20(x - l)(v -1))W ’;v/ J ( J

f ( x , y ) = l + 2 ( x - l ) - ( y - l ) - 8(x- 1)2 - 3 ( y - 1)2 +10 (x -1 )(^ -1 )

(>. 13. EXTREMO DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.-

lra. DEFINICIÓN DE EXTREMO DE UNA FUNCIÓN.

Una función f(x,y) tiene un máximo y un mínimo f(a,b) en el punto p(a,b), si

para todos los puntos Px(x,y) diferentes de p(x,y), de un entorno

suficientemente pequeño del punto P, se cumple la desigualdad f(a,b) > f(x,y) o f(a,b) < f(x,y), el máximo o mínimo de una función se denomina extremo, en forma similar se termina los extremos para una función de tres variables.

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178 í


2do. CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS.

Los puntos, en que la función diferenciable f(x,y) pueda alcanzar un extremo (es decir, los llamados puntos estacionarios) se hallan resolviendo el sistema de

ecuaciones f'x (x, y) = 0 , f'y (x, y) = 0 ... (1)

(Que es la condición necesaria para la existencia de extremo)

El sistema (1) es equivalente a la ecuación df (x,y) = 0, en el caso general, en el punto extremo P(a,b) de la función f(x,y) o no existe df(a,b) o df(a,b) = 0.

3ro. CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMO.

Si P(a,b) es un punto estacionario de la función f(x,y) es decir df(a,b) = 0; entonces

i) Si d 2f { a , b ) < 0 , siendo dx2 + d y 2 > 0 , f(a,b) es un máximo de la función f(x,y).

ii) Si d 2f ( a , b ) > 0 , siendo dx2 + d y 2 > 0 , f(a,b) es un mínimo de la función f(x,y).

iii) Si d 2f ( a , b ) cambia de signo, f(a,b) no es punto extremo de la función

f(x,y)

Las condiciones mencionadas equivalen a:< ; y f / t - v ff ;v r j "ví; ■

f *(a,b) = f ' ( a , b ) = 0 y A = f £ ( a , b ) , B = f " ( a , b ) , C = f £ ( a , b ) .

2formamos el discriminante A = AC - B , entonces: *>

, . , 1 . . . , . • e * V •i f • • [ ; " • t. • • ■ i ' • : • ! - ;VÍ . •< > , ! ; . : f : ■

i) Si A > 0, la función tiene un extremo en el punto P(a,b) y es un máximo si

A < 0 (o C < 0) y un mínimo si A > 0 (o C > 0).

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ii) Si A < O, en el punto P(a,b) no existe extremo.

lii) Si A = 0 en el punto P(a,b) no existe extremo (si A = 0 la existencia del

extremo de la función en el punto P(a,b) queda indeterminada es necesario continuar la investigación).

4to. CASO DE FUNCIONES DE MUCHAS VARIABLES.-

Para las funciones de tres o más variables las condiciones necesarias para la existencia de extremos son análogas que los casos anteriores.

5to. EXTREMO CONDICIONADO.-

Se llama extremo condicionado de una función f(x,y) en el caso más simple, al máximo o mínimo de esta función, alcanzando con la condición de que sus

argumentos estén ligados entre si por la ecuación <p(x,y) - 0 (ecuación de enlace) para hallar el extremo condicionado de la función f(x,y) con la

ecuación q>(x,y) = 0 se forma la llamada función de Lagrange.

F(x,y) = f(x,y) + X tp(x,y) donde X es un multiplicador constante indeterminado, y se busca el extremo ordinario de esta función auxiliar. Las condiciones necesarias para que haya un extremo se reduce el sistema de tres ecuaciones.

+ ÁÉ £ = odx dx dx

í £ = á C + / l£ 2 = 0dy cy cy

... (2)

con tres incógnitas, x, y, A. de las que, en general, se pueden deducir estas.

El problema de la existencia y el carácter del extremo condicionado se resuelve sobre la base di estudio del signo que tiene la segunda diferencial de la función

de Lagrange.

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. ’ t* ' M - I * • r * . a. J ■ I f M t H K - Vrt ..4’ .«<- <«•- 4..- MtrflM 'l.w m iKVO 4' .JUHHil' ••%.•« .-«*b*W.‘U 1» I * V •>.» • « ■MMri’MOT» <• / W H H Í ' lW W l

1 l? {i*d r c x c y d y

Mv BíomieVAO ai 0 ~ ¿ a&i/.o ah (n,r á] oJi'u/q i f-- ■ 0 - /., iZ (¡si

r¿ ' C n p ^ ^l s i ^ to a de C a l o r e s - J A , que ^hyestigaiáosjobtétndó de (2), con la condición de que dx y dy> pstén^lapionaáqs*jeptr^ ^ p ^ p r la ecuación

^ dx + dy = 0 , (dx2 + dy2 * 0 ).OX J f l A I H / ' / ^ A I I b b J M 3 0 ^ 3 / Ü I >/■!" ! 3 0 O ^ A 3 .o ) ! '

1 1 '■í iá 1 fü í íé ió ii ft>cí,5r)Jííé iiüfáí' ií f iJ rníá^ im o "¿bríd i6to ii¿ tfo ; k i 3 f 2F <f b f tm m ín im o. ? w > h 3 ! n & ¿ o z a o ? o i - ' ¿ u o f c f c j a o b n s n o * z o : i : t í - ? x y : > b e i Q í n i ^ i x o

condicionado, si d"F > O ; en particular, si el discriminante A para la función

F(x,y) en el punto estacionario* é&í póMtivó|CM(éSte(piÉitOl Káteá,<wñ. máximocondicionado de la función f(x,y) si A < O (o C < 0) y un mínimo

iv; Iqüí,'¿ chiH Q%K0 h ív ./íl ôn/iui un¿) ajL obhr.oblbao^ ornVi?¡to smaH o?, condicionado, si A > 0 (o C > 0).

rüjn oup üt> n o b ib n o o ib noo oi>/iisfAhjU: .n o b n u -i v.- ev¿ O.) o rrr ic ifn o orrdxf-;mb nóiofiEirafoftna Similar íoárbd. easdde>Iasífunciones«delüesnvamble&^rnu2-u

¿íi n o 'j (y>fx)'i n o h m i í ü o b n o io í f>no_ o .n ^ i ix : ) b m í b r i m e oInvestigar si tiene extremos las siguientes funciones de dos variables.

.ugnmgfíJ vi? riobniil #L&fn&!í. ib .íinrnói ^ 0 •■ ív././o í/>;b&u:b •

2008 z = ( x - 1 ) 2 + 2 y2v i n o f ó n o o l o b i í o i l q i í l u m n u A ■ ^ e ¿ a r r o l Í o ' / ' ' ^ A r

y .n J . w i l i x i f s r r o i jm J i s ú z z v b o n ^ m l n o o r í i ín t / o h w r d d 3 3 v o L im í/ t n s i id im

gîi so gSe$d¿ « t)$ x#2y? í¿haHa*em<s«#Sr:.puntos:'ostacácwrairio^:.para esto

encontramos las derivadas parciales: a : .j

d z

1 ) d x

d z

= 2(x - 1) = 0 => x = 1 10<\V~i . Vj

; X'") x ’> y. >=> p( 1,0) punto estacionario

= 4 y = 0 => y = 0d y

.zñías li'juhvh mlsj-nq qz Alhhhaá1 vj .oup.acl sL ,.b,7 ..r, ncyi nvahora encontramos las derivadas parciales de 2do. orden en el punto p(l,0),

oh.fí/ioíaibnco onmix'j b b i^t:bi£3 h v e,iP 2Z „ , t . d 2 r r d 2 Z

í¿1()i ’Ji > UI iiÁL.»[33? 2 | ¿rf’ p-4 M¡>4 4 ¡d x 2 ’ Sri9>» ’ (3v2

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2009

2010

Formando el discriminante se tiene: A - AC -B^ = 2(4) - 0 = 8 > 0 a A > 0

Luego en el punto P( 1,0) la función tiene un mínimo es decir: para x = l , y = 0 se tiene: z min = 0

z = ( x - \ ) 2 - 2y2Desarrollo

z = ( x - l ) 2 - 2 y 2 — = 2 ( x - l )dx

d2 z

dx2= 2

czdy

= - 4 yd2z

dv2= - 4

d .dz. d (— ) = — ( 2 * - l ) = 0

dxdy dy dx dy

para encontrar los puntos estacionarios se tiene:

didx

= 0 de donde x = 1

dzdy

= 0 de donde y = 0

a = A)Adx dy dxdy

2(—4) - 0 < 0( 1,0 )

como A < 0, la función no tiene extremos.

z = x2 +xy + y 2 - 2 x - yDesarrollo

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182 Eduardo Espinoza Ramoi

2011

2 2 z - x + xy + y - 2 x - y CZ— = 2x 4- y - 2dx

d z => — = 2

dx"

dz

dy

d2zx + 2y — 1 => — - = 2

dv'

d z ddxdy dy

(2x + y - 2 ) = \

dz dzpara encontrar los puntos estacionarios se tiene: — = 0 y — = 0

dx dy

de donde se tiene:2x + y - 2 = 0

x + 2 y -1 = 0resolviendo

x = 1

>> = 0

A =~)2 ^2 2 o z d zdx2 dy2 'dxdy

(2)(2) — 1 = 3 > 0( 1,0 )

a 2zcomo

ax'> 0 => existe un mínimo en el punto p(l ,0).

( 1,0 )

Es decir zmin = l2 +1(0) + 0 - 2 ( 1 ) - 0 => zm in = -l

z = x3y 2( 6 - x - y ) , (x > 0, y > 0)

Desarrollo

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2012

CZ CZ,encontraremos los puntos estacionarios para esto hacemos — = 0 y ^

dx ' cv0

x2y 2 (18 - Ax - 3y) = 0

1 2x3y - 2 x4 y - 3 = 0es decir: resolviendo el sistema se tiene:

x = 0, y = 0, p(0,0), x = 3, y = 2, p 2(3,2)

- 36x2v2 - 1 2x2y 2 - 6 xy3, - 1 2 x3 - 2 x4 - 6 x3 vax2 ay2

a2zdxdy

2 23 6 x y - S x y - 9 x y

a2z a2z a2z 2para el punto p x (0,0) se tiene: A = — 7 7 - ( ) = 0

dx2 dy2$ extremo

ahora veremos para el punto P2 (3,2)

a2z a2z a2z 2 &2z aA = — — - - ( ------ ) =11664 y c o m o — - < 0•2 °--2 'dxdydxz d y dx'

se tiene un máximo en el punto P2(3,2) donde z max = 106.

z = x4 + y 4 - 2x2 + 4xy - 2 y‘Desarrollo

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2013

dz czencontraremos los puntos estacionarios para esto hacemos: — = 0 a — = 0

dr dy

, . 4 r 3 - 4 x + 4y = 0es decir:

4 y 3 + 4x - 4y = 0resolviendo el sistema se tiene:

x - 0, y = 0 => /¡(0 ,0 ), x = \¡2

y = - J 2 => P2(V2,-y¡2)

x = ~\Í2 , >’ = V2 =>

-\2 ~*2 ^2 -v2,c z ^ c z , o z c zPara los puntos A y P3 se tiene que: A = (— -)(— ~) - (------ ) > 0 a — ~ = 0

dx" dy dxdy dx~

entonces la función tiene un mínimo en z min = -8 y para el punto /^(0 , 0 ) se tiene A = 0 no tiene extremo.

a 2 b 1Desarrollo

1 x y xy i 2,2 Z ~ X}> a2 ~ ab

^ •> *> 3cz v / i 7 x~ y a~b y —2x"v—v~

I - - I ‘ ✓v / -7, o 9 o x v— Ja~b^ -x" - \r ,.......... -

-T abâ2b2 - x 2 - y 2 abyja^b2 - x 1 - y 2

, 2 2/2 o - 3GZ X / 1 , 2 2 7 # r - 2xv - xyja^b - x - y ^

abyja2b2 - x2 - v2 ab^¡a2b2 - x 2 - y 2■ » ■ V . '

dr drhaciendo — = 0 y — = 0 para obtener los puntos estacionarios se tiene:

dx dy

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2014

a 2b2y - l x 2y - y 3 = 0

a2b2x - 2xy2 - x3 = 0resolviendo el sistema se tiene:

a bx = 0, y = 0, x — ± j= , y = ±-r=

73 73

a b x <2 b .Luego para los puntos / j (— =r) y P2{ - —j = , - —j=) se tiene:

d2z d 2z d2z 2 A A = (— )(— ) - (-T-r -) > 0 y como _ 2a2z <0

ojc ay

entonces la función tiene un máximo en Z max =373

^ 6 x ✓ a b xy para los puntos P3( - j = , — y PA{— -¡=,—¡=) se tiene:7 3 ’ 73

a2zd2z d2z d 2z 2 n v l _A = ( - ) ( — ) - ( — — ) > 0 y como — > 0ax ay ax'

entonces la función tiene un mínimo en Z min

se tiene A = 0 no tiene extremo.

ab373

para el punto P5 (0,0)

z = l - ( x 2 + / ) 3Desarrollo

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2015

dz dzHaciendo — = 0 y — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir:

dx dy

A A • 32 Z r, 32 Z r, d2 Z r,x = 0 ; y = 0 y para este punto se tiene: — - = 0 , — - = 0 y = 0dx dy dxdy

y como para cualquier valor de x e y se resta de 1 de la gráfica

2z = \ - ( x + y ) 3 se tiene z max = 1 esto ocurre en el punto (0,0).

z = (x 2 + y 2)e (x2+y2)Desarrollo

z = (x2 + y 2)e~(x2+y2) => — = { 2 x - 2 x y 2 - 2 x } )eHx2+y2)dx

~ = ( 2 y - 2 x 2y - 2 x i )eHx2+yl) dy

dz dzhaciendo — = 0 y — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir:

dx dy

2x - 2xy2 - 2x3 = 0

2y - 2x2y - 2x3 = 0resolviendo el sistema se tiene:

9 9x = 0, y = 0, x + y =1 luego para el punto p(0,0) se tipne:

d 2z d 2z 8 2z 2 r, d2zA = > 0 A T T < 0dx dy dxdy dx

' 2 2La función tiene un mínimo en z min = 0 para el caso en que jc + y =1 se

* a d2z A , , • , . 1tiene A > 0 y como — - < 0 , la función tiene un máximo en z max = —dx2 e

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2016

2016

Vil + x ~ 2

9 9+ x + y~Desarrollo

1 + x — y cz y~ —x + xy + 1

•y/l + x 2 + y 2 ex yj\+X2+ y

dz _ x + xy + y +1

dy yj\ + x 2 + y 2

dz dzHaciendo — = 0 y — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir:

dx dy

y - x + xy -l-1 = 0

- ( x 2 +jty + y + l) = 0resolviendo el sistema se tiene:

d 2z ,d2z v , d2x = 1, y = -1 de donde en este punto: A = (— r)(— - ) - ( > 0

dx~ dy dxdy

como:d2zdx2

< 0 => la función tiene un máximo en Z max = V3

8 x y z = — + — + y (x > 0, y > 0 )x y

Desarrollo

8 xz = — i y

x ydzdx

8 1 + _

* ydz _ x dy y :

+ 1

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Sz SHacemos — = 0 y — = 0 es decir:

dx dv

4 +i = 0

+ 1 = 0y

Resolviendo el sistema se tiene: x = 4, y = 2

a2zen donde para este punto se tiene: A = ( - ) ( > 0 y —t > °

dx~ dv~ dxoy dx“

entonces la función tiene un mínimo en: z min = 6

2016 z = ex }'(x2 — 2y 2)Desarrollo

ex y (x2 - 2 y 2 ) => — = (x2 + 2x - 2y2 )ex vdx

dz ,-— = (2y~ - x~ - 4 y)edy

X - V

Sz Zhaciendo — = 0 a — = 0 es decir:

dx cv

x 2 + 2 .y - 2 y 2 = 0

2 y2 — x 2 ~ 4 y = 0resolviendo el sistema se tiene que:

x = y = 0, x = 4, y = -2 . Luego para el punto fj (0,0) se tiene:

-\2.C Z . .O Z v O Z jA = (-— )(——) - (~:-----Y < 0 no tiene extremo y para el punto B> (-4 ,2 )ax2 dy*- dxdy

T",a2z. , a V „ a2z v? a2.

se tiene: A = ( ^ X ^ r y ) - ( j r z r Y > 0 y como — < 0dx dy dxoy dx"

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2(117

entonces la función tiene un máximo en z max = 8e

Hallar los extremos de las funciones de tres variables:

u = x~ + y" + z - xy + x - 2z

Desarrollo

2 o 9u = x + y + z~ - xy + x - 2z derivando se tiene:

du du du _ _2 x — y + 1 , — = 2 y — x , — - 2 z - 2

dx dy dz

haciendo — = — = — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir:dx dy dz

2x~ y + 1 = 02 v - x — 0

✓

2z - 2 = 0

2 1resolviendo el sistema se tiene: x = —, y = —

3 3

' * > ' 2 / - s 2 2 2o u d u d u - d zademas — — = — - = — — = 2 a --------- = 2

dx2 dy2 dz2 dxdy

d2udxdz

d2u0 ; ------- = 0 además se conoce que:

dydz

2 d u 2 d 11 j 2 d 11 i 2 - d~ud uO

8û d 2udxJ

dx~ h -d y H-------— dz~ + 2 dxdy + 2 -------- dxdx + 2 ---------dyd ;ay dz dxdy dxdz dydz

2 1 2 i - v d~ Uen el punto (— ,— ) se tiene d u > 0 y como — - > 03 3 dx

entonces la función tiene un mínimo en Z min = -

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i ? O2018 u = x-\------+ — + — , (x > 0, y > 0, z > 0)

4x y zDesarrollo

2 2^ y z 2Como w = x + ------ 1 h—, se tiene:

4* y z

du _ y 2 dw _ y z 2 dw _ 2z 2dx 4x2 dy 2x y2 ’ dz y z 2

TT . du du du _ t .Haciendo — = — = — = ü para obtener los puntos estacionarios es decir:

dx dy dz

1 -4x2

2y Z

2x /2 z 2

= 0 resolviendo el sistema se tiene: , = ± I , y = ± 1, z = ± 1

comod w y d u 1 2z d w 2 4

= — +dxz 2x3 ’ dy2 2x y 3 ’ dz2 y z3

d 2u y d udxdy 2x2 ’ dxdy

= 0 ,d 2wdydz

2z

1 . n ^ J i > Q ja función tiene un mínimopara el punto (— ,1,1), w > 0 y como

1dx'

en z min = 4 y para el punto: (— ,-1 ,-1 ) no se tiene en cuenta de acuerdo a2mt

las condiciones del problema.

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2019

2020

Hallar los extremos de las funciones Z, dadas de forma implícita:

x2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4y - 6 z - \ l = 0

Desarrollo

Consideremos / ( x , y, z) = x 2 + y 2 + z2 - 2x + 4y - 6z -11 = 0 de donde

f l = 2x - 2 , f ' = 2y + 4 , / / = 2z - 6 haciendo = f[, = f l = 0

para obtener los puntos estacionarios es decir:

2 x - 2 = 0

2^ + 4 = 0 2 z - 6 = 0

resolviendo el sistema se tiene que: x = 1, y = -2, z = 3

como x2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y - 6z -11 = 0 determina dos funciones es decir:

z = 3 ± y 2 5 - ( x - l ) 2 -(>> + 2)2 para una función en el punto x = 1, y = -2 se

tiene un máximo en z = 8 y para la otra función en el punto x = 1, y = -2,

se tiene un mínimo en zmin = -2 .

x3 - y 2 - 3x + 4y + z2 + z - 8 = 0

Desarrollo

Sea / (x, y, z) = x3 - y 2 - 3x + 4y + z 2 + z - 8 = 0 de donde se tiene:

f l = 3x2 - 3 , f ¿ = - 2 y + 4 , f l = 2z + I dedonde = f [ = 0

para obtener los puntos estacionarios es decir x = ± 1, y = 2. Luego para el

punto / j( l ,2 ) se tiene:

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2021

2022

d2z d 2z d2z 2 d 2z . .A = (— -)(— -) - ( ) > 0 y como — - > 0 la función tiene un mmimo en

dx1 dy2 dxdy dx2

zmin = 1; para el punto Px{ - 1,2) se tiene > 0 y A < 0 => la función tiene un

máximo en zmax = -2 .

Determinar los extremos condicionados de las funciones:

Z = xy si x + y = 1Desarrollo

Sea F(x,y) = xy + A(x + y - 1) de donde se tiene:

F ‘ = y + A , F ’ = x + A, F * = 0 , F " = 1 , F " = 0xy*//vv

formamos el sistema siguiente

F ' = 0

f ; =ox + y = 1

y + A x + A x + y

= 0 = 0 = 1

x = v2 2

2 2diferenciando x + y = 1 se tiene dx + dy = 0 además d F = -2¿/x < 0

entonces la función tiene un máximo en: Z max = para el punto

z = x + 2y , si x + y" = 5

Desarrollo

Sea /^(x, v) = x + 2 + y + Z(x + y - 5) de donde

= 1 + 2Ax, F ' = 2 + 2Ay, , f " = 0 , f£ =2/1

ahora formamos el sistema siguiente:

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f ; - oF v - O

v) •“ Oí

1 + 2Áx O< 2 - i- 2Xy = Oi ■> ix~ 4- v~ - 5 = 0

resolviendo el sistema se tiene:

x t' 1, y - 2, - . x -• - l . v - -2, A = ---") ' " 9

corno d ¿F ~-2?AdxJ rdy~) para x p l, y *=2, i

Se tiene t / 'F < 0 => la función tiene un máximo en zmax = 5

para x - i, y - -2, 2 ~ - se tiene: d F > 0

~min ~

la función tiene un mínimo9/ _

9 . X V .- .r ‘ + v" , si ~ + — = 12 3

Desarrollo

, v) = x¿ + v2 + 2 ( - -f — -1 ) de donde:2 3

f ¡ ? X' + ■— F - v -t- --- F // = 2 F !/ = 0 F lf = 2í v » * v 3 ' XV *V ’ _V V


r?1 , ¿ 2v -i—9/•; = o

<3i!

F ' = 0 0 ¡ !A _

9 ^2 y -f- —* 3

O1!

f ( V. .n = 0> X V7 ---h —--1 3

i ii O

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2024

v - i £ - 1 1X ~ 3 ’ y ~ 13’ ~ 13

para este punto se tiene d 2F - 2(dx2 + dy2) > 0

la función tiene un máximo en Z max = 3613

? ? ncos“ x + eos y“ , si y - x - —4

Desarrollo

Sea F(x, y ) = eos2 a* + eos2 v + A( y - x - —) de donde: Fx - -2 eos a.sen x - Á ,4

Fy = -2 eos y sen y , F'x - - 2 eos 2a* , Fvy = -2 eos 2 y , /^ . = 0

Fonnamos el sistema siguiente:

Fx = 0

F v = 0

<P(X, V) = 0

-2 eos a* sen x - A = 0 -2 eos y y + / = 0

71y - x = —

4

> z=> séw 2x - -sen 2y

71como v - x + — => sen 2x = -sen(2x H— )

4 2

o o 71 K osen 2x - -sen 2x eos----- sen — eos ¿a'2 2

sen 2x = - eos 2x

sen 2x = — eos" x + sen"x => 2sen x eos a* = 2sen"x — 1 , de donde

4 ° — 2- • 1 A J -1- ^ —- -> sen x = ± 0.9238 y,sen x - %sen~x + 1 = 0 , de donde sen x - ±,

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2025

sen x = ±0.3856 de estas soluciones tomamos las siguientes:

para x = 67.5°, y =157.5°

3>7Tsen x = 0.9238 => x = arcsen(0.9238) = — + kn donde k = 0,l,2,3.

Sen x = -0.3826 => x = arcsen (-0.3826)

x = —7r + kn para k = 0,1,2, en este punto d F > 0 la función tiene un 8

3 3mínimo en el punto (— n + kn,—x + kn)

8 8

^ . 2 - V 2 , ,1 n . 9n . xZ min = --------- y para el punto (— + kn, h kn)

2 8 8

de donde d 2F < 0 => la función tiene un máximo en: Z max =2 + V 2

u = x - 2y + 2z , si + z2 = 9

Desarrollo

Sea F(x ,y , z ) = x - 2 y + 2z + A(x2 + y 2 + z 2 - 9 ) , de donde se tiene

F' = l + 2Ax, F ' = - 2 + 2Ay , Fz/ = 2 + 2Az , F " = 2 A , F " = 2 A , F " = 2 A ,

= 0 , FyZ - 0 , F"z = 0 . Formamos el sistema siguiente:

=JCF 7 =y

0

0

1 + 2x = 0-2 + 2y = 0 resolviendo el sistema se tiene que:

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2026

2x = ± l , y = ± 2 , z = ± 2 , A = + — además d 2F = 2A(dx2 + d y 2 + d z 2)

para los valores x = 1, y = 2, z = 2, A =

se tiene d F < 0 => la función tiene un máximo en z max = 9

1 2para los valores x = -1, y = -2, z = -2, A = — se tiene d F > 0

entonces la función tiene un máximo z min = -9.

2 2 2u = x 2 + y 2 + z 2 , si -t-~~r”"i- — 1 ( a > b > c > 0 )

a 2 b2 c2

Desarrollo

2 2 2 7 7 7 x y zSea F{x , y, z) = x + y + z + + + —y -1 ) de donde se tiene:

a b c

Fl = 2 x +2 Ax

F Í = 2 + , F " = 2 +

a 2A

F ' = 2 y +2 Ay

u 2Ayy 9 - ZZ

Z777 — f 11 xy * yz

_¡ 2AzFz = 2 z + —

F " = 0XZ

F 11 = 2 + 2ÁXXa

Ahora formamos el sistema siguiente:

F ’ = 0

f; = o

f ' = o

<p(x, y, z

2x2x + - y = 0

a

2 V + = 0

2z2z + — = 0

c2 2 2 x y z

—r + + r = 1a

resolviendo el sistema se tiene que:

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2027

2028

para x = ± a, y = z = 0, A = - a

y = ± b, x = z = 0, A - - b ‘

z - ± c, x = y = 0, A — - c ‘

para x = ± a, d F < 0 tiene máximo en Umax = a

para z = ± c , d F > 0 tiene mínimo en Umin = c

u = xy2z 3 , si x + y + z = 1 2 , (x ,y ,z>0)

Desarrollo

Sea

F' = 2jtyz3 + / l , f ; J x y V + A, F £ = 0 , F " = 2xzJ , Fz" = 6xyzz ,

F(x,y , z ) = x\ ::* + A(x + y + z — 12) de donde:2 . 2 II .// .//

.y

.//F ” = 2yz i , F 1' = 6,v , / 'v; = 3j>zzz , formamos el sistema siguiente:.// 2 _2

K = o

F ' = 0

f; = o

<p(x,.y,z) = 0

• z + /í = 0

2 xyz + A = 0 resolviendo el sistema se tiene:

3.xy2z 2 + A = 0

x = 2, y = 4, z = 6, X = -3456

2 2 3donde este punto d F < 0 => la función tiene un mínimo en Umin = 2.4 .6

u = xyz con las condiciones x + y + z = 5, xy + yz + zx = 8

Desarrollo

Sea F(x,y,z) = xyz + A(x + y + z - 5) + p(xy + yz + xz - 8) de donde:

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198 Eduardo Espinoza

F xí = yz + A + Py + p z , F'y = xz + A + p x + Pz ,

adem ás se tiene : F[' - FÍL = F l = O , FA A V V A

F vr = y + p aho ra fo rm a m o s el s is tem a s ig u ie n te :

Fz - xy + A + p v + Px

z + P , Fvz — x + p \

Fí - 0X

f ; - o f : = o<p(x,y,z)y/(x,y,z)

00

16

yz + A + p y -f PzXZ ~h A Px Pz xy + A + P y -f- P x x + y 4- z = 5 xy + yz + xz = 8

000 re s o lv ie n d o el s is tem a se tie n e que:

para A = — , /? 4 se tie n e : ¿ A A A3 3 3 3 “ 3 3 3 3 3 3

para A = 4 , (3= -2 , se tie n e : F4 ( 2 , 2 , 1 ), F5( 2 , l , 2 ) , F6 ( l , 2 . 2 )

c o m o las co n d ic io n e s son:

x + y + z = 5 , x y + y z + x z = 8 d ife re n c ia n d o se tie n e dx dy + dz = 0

(y + z )d x + (x + z )d y + (y + x )d z = 0

re s o lv ie n d o en té rm in o s del d ife re n c ia l dy se tie n e :

dxv x — v- - dy , dz — dy

x

{5 4d~F = (z + A )dx dy + (x + p)dy dz + ( y + p)dx dz para A — — , P — — en.9 3

2 • , 1 1 2 4estos p un tos d F < 0 en tonces la fu n c ió n tie n e un m á x im o en U m a x = ------2 í

para lo s v a lo re s A = 4, (3 = -2 en estos p un tos d 2F > 0 la fu n c ió n tie n e uni m ín im o en U m in = 4

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2029

2030

"X* | 12 | ^ .......... ....... .Demostrar la desigualdad 1— - —— > -y xyz , si x > 0, y > 0, z > 0

F

INDICACION: Buscar el máximo de la función u = xyz con la condición deque x + y + z = s

Desarrollo

Sea F(x,y,z) = xyz + X(x + y + z - s) de donde: Fx = yz + A , Fv = xz + A ,

Fz = xy + A además: Fxx = F VT = FÍ = 0 , Fxy = z , Fyz = x , Fxz = y


f ; = o f ;

= 0= 0

yz + /i = 0 xz + A- - 0 xy + A = 0 x + y + z = s

resolviendo el sistema se tiene que para A — ; x = y = z = ^

s s scomo d 2F < 0 la función tiene un máximo para el punto »“ ) en

zz max =27

Luego la desigualdad — > yxyz es verdadera con lo cual queda

demostrada.

Determinar el máximo absoluto de la función: z = 1 + x + 2y en las regiones:_

a) x > 0 , y > 0 , x + y < l

b) x > 0 , y < 0 , x - y < l

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200 Eduardo Espinoza Ram<

Desarrollo

E x a m in a n d o en la fro n te ra de la re g ió n .

C uand o x = 0 se tie n e z = 1 + 2 y com o x + y < 1 en tonces z max = 3

en e l p u n to (0 ,1 ) y adem ás en el p u n to (0 ,0 ) se tie n e Z m in abs = 1

A h o ra cuando y = 0 se tie n e z = 1 + x c o m o x + y < 1 en tonces z max

abs = 2 para el p u n to (1 ,0 ) y para e l p u n to (0 ,0 ) se tie n e Z m in abs = 1, lu e g o el v a lo r m á x im o a b so lu to es z = 3 para el p u n to (0 ,1 ).

b) C u a n d o x = 0 se tie n e z = 1 + 2 v , -1 < y < 0 com o x - y < 1 (ver

g rá fic o ) => Z m a x abs = 1 en el p u n to (0 ,0 ) y en el p u n to (0 ,-1 ) se tie n e

A h o ra cuando y = 0 se tie n e z = 1 + x , 0 < x < 1 ==> z m a x - 2 en el— -d t-p u n to ( 1,0 ) y en el p u n to ( 0 ,0 ) se tie n e : Z m in abs = 1.

L u e g o el v a lo r m á x im o a b so lu to es z = 2 para v a lo re s de x = 1, y = 0.

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¡ unciones de Varias Variables 201

m \ Determinar el máximo y mínimo absoluto de las funciones:

9 2 9 • ' 2 2a) z ~ x y b) z - x - y en la región x + y < 1

Desarrollo

2 2 2 ">a) Suponiendo que x + y - 1 => x = 1 - y~

O O f/.Z ^como z = x " y = y ( l — ~ y - z de donde — = 1 - 3 y" = 0

dy

1 , 2 i . . /2 1y = ± —— x = ± J — luego se tiene para el punto ( ± J - ,—pr)V 3 V 3 V 3 V 3

2 2 1 2 Z max «fe = — pr y para el punto ( / — + / - ) , Z min =/--- J V/i 4/ ? 4/ / 9 ^ ****** *1 7 /--3 ^ 3 V 3 V 3 3 V 3

b) Sea f ( x , y ) = x2 - y 2 + A(x2 + y 2-1 ) de donde:

ahora formamos el sistema

./; - 2 . v 2/l.v , f ' = 2 A y - 2 y,f''x =2 + 2A, / " = 2 A - 2 , / " = 0

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202 Eduardo Espinoza Ramos ________________________

fx = 0 2x + 2Ax = O~ O > => ^ 2 d y - 2 y - 0 resolviendo el sistema se tiene:

<p(x,y) = 0 x 2 + y 2 = 1

para X = -1, x = 0, y = ± 1

A, = 1, x = ± 1, y = 0

Luego se tiene que para el punto (± 1 ,0 ) se tiene z max abs = 1 y para el

punto (0,±1) se tiene z min abs = -1

Para la región dentro del circulo el valor de la función es menor que 1 y a menos l .

2032 Determinar el máximo y mínimo absoluto de las funciones z = sen x + sen yTí Tí

sen (x + y) en la región 0 < x < — , 0 < v < —2 " 2

Desarrollo

Como z = sen x + sen y + sen (x + y) entonces

cz- eos x + cos(x + y ) , eos y + cos(x + y) y para encontrar los puntos

ex cv

estacionarios hacemos — = 0 , — = 0 es decir:cz „ cz

de donde eos x + eos y = 0 => x = y , x = -y

reemplazando en la ecuación eos x + eos (x + y) = 0

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7T 71 71 77x — — como x = y => y = — como — < — está dentro de las condiciones

3 3 3 2y para el caso de que eos x = -1 => x - tu que no está dentro las condiciones

K Kdel ejercicio. Luego para el punto se tiene un máximo interno

3 3

3n/3Z maxa/)5 = — — y para el punto (0,0) se tiene un mínimo en la frontera

Z mintí¿)v - 0.

2033 Determinar el máximo y mínimo absoluto de la función z = x3 + y - 3xy en la

región 0 < x < 2 , -1 < y < 2Desarrollo

7 7 CZ i CZ 7Como r = x + y - 3xy entonces se tiene: — = 3x“ - 3 y , —- = 3 y“ - 3x y

ex oy

cz dzpara encontrar los puntos estacionarios hacemos — = 0 , — = 0 es decir:

ex dv

3x - 3 y = 0

3 y 2 -3.v = 0=> resolviendo el sistema se tiene: (0,0) y (1,1)

ahora de acuerdo a las condiciones del problema se tiene cuando x = 2, y = -1 se tiene un máximo absoluto (máximo de frontera) en z =13 y cuando x = y = 1 se tiene un mínimo absoluto (mínimo interno) en z = -1 y cuando x = 0, y - -1 se tiene mínimo de frontera en z = -1.

6.14. PROBLEMAS DE DETERMINACIÓN DE LOS MÁXIMOS V MÍNIMOS ABSOLUTOS DE LAS FUNCIONES.-

2034 Entre todos los paralelepípedos rectangulares de volumen V dado, hallar aquel cuya superficie total sea menor.

Desarrollo

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Por condición dei problema se tiene:

VV = xyz de donde z = — además la superficie es:

xv

2 x v 2 y vA = 2xy + 2xz + 2yz d donde: A - 2xv H--------h ——

XV XV

. . 2v 2vA = 2 x y + h —

V x

cA , 2v o A Derivando se tiene: — = 2 v — - , —

ex x~ cv2x -

2v

V

cA cAHaciendo — = 0 , — - 0 para obtener los puntos estacionarios se tiene:cv

V -2Vx

0

IV2x - —— = 0

V

> resolviendo el sistema se tiene que: x - y - \>

d A 4V 5~A V. . . . _ _

ex x cy

y a i*» ^ v exoy

> 0 en el punto x = y - IÍV y como2 4 2 ic A x A

ex cv dxcv

2 4c A

ex> 0

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inficiones de Varias Variables 205

2035

la superficie total seria menor cuando x = y = z = 1¡V donde At = 6V3

Que dimensiones deberá tener un baño abierto, de volumen V dado, para que su superficie sea la menor posible?

Desarrollo

Consideremos las dimensiones del baño x,y,z donde: V = xyzVxv

además su área es: A = xy + 2xz + 2yz donde:

2F 2VA = xv + — h derivando se tiene:y *

dA 2V cA 2V = y , = .Vdx x“ oy V

d2A 4Vd 2A 4V d 2A

dx2 3 ’ z 2X CV1 ’ dxdy

= \

/ ! 711!1

/ // x // /

f .................................. ..............J/

formando el sistema siguiente se tiene:

dAdxdAdy

= y 2V2

X

2V- x -

0

0

resolviendo el sistema se tiene: x = y = i f lV

2 i 4 ,2 a 2 48 A c A . o A o 8 Acomo — —.— — — —)“ > 0 y — — > ü .

dx2 dy2 dxdy dx2

Luego la superficie es mínima para x = y = \¡2V , z 2C

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Eduardo Espinoza Ram-

E n tre todos los tr iá n g u lo s de p e rím e tro ig u a l a 2p , h a lla r e l que tie n e mayo^| área.

Desarrollo

c o n d ic ió n del p ro b le m a :

x + y + z = 2p ... ( a )

adem ás el área de un tr iá n g u lo conoc iend o sus lados es:

A = y¡P(P - x)( P - y) (P - z) , com o z = 2p - x - y , re e m p la za n d o se tie n e :

2 p ( x + y) - p ( x + y + 3 x y ) + p x y (x + y ) - p

dAdx

2 p 3 - 2 p 2x — 3 p 2 V + 2 p x y + pyf 'X ^ ^ ^

2 y 2 p ( x + y ) - p ( x + y + 3 x y ) + p xy ( x + y ) - p

dA-y p

2p - 2 p y - 2px + px + 2 p x yEV 2 ^ 2 p 3 (x , y ) - p 2 ( x 2 + y 2 + 3 x y ) + p x y (x + y ) - p ‘

fo rm a n d o e l s is tem a s ig u ie n te :

dÁ = o> =>

dxd /l

2 p 3 - 2 p 2x - 3 p 2y + 2 p xy + p y 2 = 0

dy0 2 p - 2 p y - 3 p x + p x " + 2 p x y = 0

- ( I )

•..(2)

s im p lif ic a n d o y sum and o ( 1) y ( 2 ) se tie n e : (x - y ) ( x + y - p) - 0 de donde:

x - y - 0

x + y - p = 0x - yx + y = p

com o 2 p ' - 2 p “ x - 3 p 2y + 2 p x y + p y = 0

2p 2 - 2px - 3py + 2xy + y = 0 como x = y tenemos:

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2037

2p 2 - 2 p x - 3 p x + 2x2 + x2 = 0

i i 2 p3x" - 5 p x + 2p = 0 de donde al resolver se tiene: x = — = y = z

Luego se trata de un triángulo equilátero.

Hallar el paralelepípedo rectangular de área s dada, que tenga el mayor volumen posible.

.Desarrollo

Se conoce que: V = xyz

S = 2xy + 2xz + 2yz S ~ 2xy 2 (x + y)

Sxy - 2x2 y 2 , .Luego V - — — derivando se tiene:

2(x + y)

5V _ 1 Sy2 - 2 x 2y 2 - 4 x y 3 _ 1 Sx2 - 2 x 2y 2 - 4 r V~~ ~ V ’ 1 ) > ^ ~ ^ V _ ^2 '

dx 2 (x + y ) ‘ dy 2 (x + v)

formando el siguiente sistema se tiene:

dVa*d vdy

S - 2x" - 4xy = 0

S - 2y 2 - 4xy = 0x = y

como S = 2xy + 2xz + 2yz 5 - 2x‘S = 2x + 4xz => z =4x

2 2como - 2x“ - 4xy - 0 => s - 2x = 4xy

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208 Eduardo Espinoza Ramos« - . . ■ ■ m . » ,, — — - . . — -I— — ............................................ ..... . i i ■ l l » ■ ■■ » ,— M— r — n, - — ■■■■— .— ■— — .11 .. • m

S - 2x2 4xyLuego z = ----------- = —— = y ; x = y = z. Luego se trata de un cubo

4x 4x

2038 Representar el número positivo A en forma de producto de cuatro factores positivos, cuya suma sea la menor posible.

Desarrollo

De acuerdo a las condiciones del problema se tiene: a = xyzt, s = x + v + z + t

Sea f(x,y,z,t) = x + y + z + t +A(xyzt) de donde se tiene:

f x ~ 1 4- A y z t , f y - 14- Axzt , f l - 1 + Axyt , f j = 1 + Axyz

formando el sistema se tiene:

fx = 0J X 1 4- yzt = 0fy = 0 1 4- xzt = 0

!i o > => <1 4- yyt - 0

oII

oII&

cp(x,y,z,t) = 0y

xyzt = a

\_

resolviendo el sistema se tiene: x = y = z = t = ci4 .

1 i 1 1Luego a - a 4 .a4 .a4 .a4

2039 En el plano XOY hay que hallar un punto M(x,y) tal, que la suma de ios cuadrados de sus distancias hasta las tres rectas x = 0, y = 0, x - y + 1 = 0 sea la menor posible.

Desarrollo

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2040

Y 4

\\

\^ M (x,y)

l

A X

condición del problema es: F - [d(A,M)\ + [ d ( B , M )] +[d(M,C)]'

De donde: d(A,M) = y , d(B,M) = x , d (M ,C) = ——-V 2

Luego / ( jc, y ) - x“ + y +2 , 2 , (x ~ >* + 1)* derivando se tiene:

f l = 2x + (x - y +1), f y = 2y - (x - y +1)

es decir: f x = 3x - y +1 , / v = 3y - jc - 1, formando el sistema se tiene:

K = o

f í = o> => <

3x - y +1 = 0 3 y - x - 1 = 0

x = v

Luego el punto M (x, y) = M4 4

Hallar el triángulo de perímetro 2p dado, que al girar alrededor de uno de sus lados engendra el cuerpo de mayor volumen.

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Desarrollo

A p lic a n d o la le y de cosenos se tiene :

9 9 9y — x" + z " - 2xz eos 0 eos 61 ~> x “ + z " y

2 xz

9 7adem ás cos~ 0 = 1- sen 6 re em p lazand o se tie n e :

2 2 21 2n ( x + z - y .21 - sen 6 = (— i

Y => sen26 = 1 - ( 2L j t £ ------2 1 )2xz 2xz

adem ás se tie n e sen6 = — => h2 = z 2sen"6

por condiciones del problema se tiene:

/ r xx + y + z = 2p y F = — reemplazando se tiene:

i

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/' unciones de Varias Variables 211

por el multiplicador de Lagrange se tiene:

ti 4x2z2 - ( x 2 + z 2 - y 2)2f ( x , y , z) = — ( — — + 2(x + y + z - 2/?))3 4x

/ /r 2x2y 2 + l x 2z 2 - 2 y 2z 2 - 3 x 4 + y4 + z4 .f x = 7 T ( ^ : ) + ¿12 x

r = — ( J y 12

t i 4x2y + 4yz2 - 4 y 3 ) + A

ti 4x z + 4y z - 4 z '■) + A

formado el sistema siguiente se tiene:

f x = 0

fy = 0 =>

f l = o

O 2 2 , o 2 2 o 2 2t i I x y + 2x z - 2 y z l 4 , 4 . 43x -f y + z12 x;r 4x2 y + 4 vz2 -- 4 v3 x ( — ) + A12 xk 4x2z + 4y2z - 4 z 3 x

(----------- :-------------) + A12

— 0

0

) + A = 0 ... (1)

... (2)

(3)

(x,y,z) = x + y + z = 2p - (4)

resolviendo el sistema se tiene: de (2) y (3) tenemos:

(z - y)(zL + 2jyz + y 2 - x2 ) = 0 luego y = z, z"+2yz + y z - x z - 02 2

de (2) y (1) se tiene que:

2x2y 2 + 2x2z2 - 2 y2z ? - 4xJ - 3xH + y '' + zH + 4xzJ - 4xyAz = 0 (5)

reemplazando y = z en las ecuaciones (4) y (5):

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212

2041


- 3 x 2 - 4xy + 4y 2 = 0 ... (6)

x + 2 y = 2p ... (7 )

3de (7) despejamos x = 2p - 2y reemplazando en (6 ) se tiene que y = — p

4

_ pcomo x + 2 y = 2 p => x - ~

p 3 3luego los lados del triangulo es: x = — , y = — p , z = — p

2 4 4

En un plano se dan tres puntos materiales: Px (xj, y l ) , P2 (x2, y 2) Y i 3 ( * 3 , J;3 )

cuyas masas respectivas son mx, y m3 , que posición deberá ocupar el

punto P(x,y) para que al momento cuadrático (momento de inercia) de este sistema de puntos, con relación a dicho punto P (es decir, la suma

9 9 ?m]P]P + m2P2P + m3P3P ) sea el menor posible.

Desarroílo

De acuerdo a las condiciones del problema se tiene:

I = mx (x - Xj) + m2 (x - x2 ) + m3 ( x - x3) de donde

d l v—— = 2ml (x — Xj) + 2 m2 (x — x2 ) + 2 m3 (x - x3 ) = 0 , entonces dx

(2ml + 2m2 + 2m3)x = 2mxxx + 2m2x2 + 2 w3x3 de donde se tiene:

mxx | + m2x2 + m3x3 mx -f m2 + m3

Ix = m l ( y - v,)2 + w2(>>->-2)2 + )'

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2042

dlxdy = 2m\ (y - y \ ) + (y - y 2) + 2nh (y ~ >3) = 0

( 2 m, + 2 w 2 + 2m3)y - 2mxy\ + 2m2y2 + 2m3y3 de donde se tiene :

v^ mxy { +m2y2 +m3y3

m{ + m2 + m3

H a c e r pasar u n p la n o p o r e l p un to M (a ,b ,c ) que fo rm e con lo s p la n o s coordenados un te tra e d ro que tenga el m e n o r v o lu m e n p os ib le .

Desarrollo

1 • ' 1 1 1 • 1 A V _L a ecuac ión del p la n o que in te rc e p ta a los ejes es: — 4- — 4— = 1a y b' c'

ci b cadem ás el p la n o pasa p o r e l p u n to : M (a ,b ,c ) = > ------1------- 1— = 1a ' b y c y

aho ra fo rm e m o s la fu n c ió n de acuerdo a las c o n d ic io n e s del p ro b le m a :

Abh „ a b c - L a yb yc y , a b e - LV = ------- + M — 4- — 4--------- ) = ------------4-A(— +------------- )

k a y b y c y 2k a y b y c y

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2043

donde k es un factor de proporcionalidad.

dV b'c' „ a Luego ---- = ---------A

da' 2 k a ’ db' 2kdV a 'c ' „ b dV b'a' „ c— = --------- A—- , — = /t

a b'2 de' 2 k ,2

Formando el sistema se tiene:= o

2 ka'c'

a'2Ab

2 k b a

0

= 0

di r

de'a b e_ » i» ia b e

= i

a '¿ ' . c A2 k ,2

a b e— i----- 1—

Va' b' c'

resolviendo el sistema se tiene que: — = — = — y reemplazando en la ultimaz b c

ecuación se tiene: a ' - 2 a , b' = 2b, c ' - 2 c

x y z . x y zcomo P — \------ \— = 1 => P - — t- — + — = 3

a ' b ' c ' a b e

Inscribir en un elipsoide un paralelepípedo rectangular que tenga el mayor

volumen posible.Desarrollo

2 2 2, t 1 • • , V V zLa ecuación del elipsoide es: — + — + — = I

a~ b c

Y el volumen del paralelepípedo es xyz.\ -

~~Í

J 1 7x ir z~Luego formamos la función: V - xyz + A(— + -1 ) de donde:

a ~ b ~ c ~

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2044

8Vdx

vz +2Ax 8Va 2 ’ dy

xz2Ay dV 2AzIr cz

- xy +

aho ra fo rm a m o s el s is tem a s ig u ien te :

exdVdydV

0

= 0 =>

= 0

2Ax vz + ------- = 0

¿r 2 A v

X Z ■+ = Ub2

2Az xy -f — - 0

c

...(1)

• (2)

. . . (3)

2 2 2

<p(x,y,z) = 0 => —- + ^ - 4 - - — =1Z i _ ¿a b c

... (4)

re s o lv ie n d o el s is tem a se tiene : de ( 1), ( 2 ) y (3 )

*> •■> 2a*" y “ z~

a 2 1 2 2 b cre em p lazand o en la ecuac ión (4 ) se tiene :

a b cx - ± —p r , y - ± —= r , z - ± —t=- esto es en los sem ie jes .

V3 ' y3 v3

2f/ 2/2 2 cL u e g o las d im e n s io n e s del p a ra le lep íp ed o es:V 3 V3 v 3

C a lc u la r las d im e n s io n e s e x te r io re s que deberá te n e r un ca jón re c ta n g u la r a b ie rto , del que se dan e l espesor de las paredes ó y la capacidad ( in te r io r ) V , para que a l h ace rlo se gaste la m e n o r can tid ad p o s ib le de m a te r ia l.

Desarrollo

S i las d im e n s io n e s del c a jó n re c ta n g u la r son x , y , z su v o lu m e n in te r io r es:

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¡

i tí

2045

V7 = (x - 25)(y -- 26)(z - 26) y la superficie es: A = 2xy + 2xz + 2yz

Luego fonuemos la función siguiente:

V = 2xy + 2xz + 2yz + X(x - 26)(y - 25)(z - 26)

T /elex

2y -f 2z + A(y - 26)(z - 26)

6V

ov- = 2x + 2z + A(x - 26)(z — 26)

eVCZ

- 2x + 2y + A(x - 2S)(y - 26)


e v/■■Vex

eVovdV

0

= 0

o

[<p(x,y,z)oz

2 v + 2z + A(y~ 26) = 0 2 v + 2.v + A(x - 26)(z - 26) = 0

2.v + 2 v + 2. (x — 26)( y - 26) - 0 (a - 26)( v - 26)(z - 26) = E

z) = 0V '

resolviendo el sistema se tiene: de ( I), (2) y (3) se tiene x - y 2z

(1)(2)

(3)14)

de donde en (4) se tiene:

V ( X “ 2 ) - Vl = -------------------- - V A\Jl V

nJL

t f lF + 2 8 , v = $Í2V + 2 8 , = +.s

i 2Y“ >TEn que punto de la elipse 7

a~ b~coordenados él triangulo de menor área.

+ —---1 la tangente a esta forma con los ejes

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i unciones de V arias Variables 217

Desarrollo

► X

x yLa recta tangente a la elipse que intercepta a los ejes es: L : — H— = 1

¿L b'

Formamos la función siguiente:

a 'b ' , /x v 1v , , a'b' , ,q ------- (_ 1_ — ]) ¿onde ------ es el area2 a' b' 2

Luego se tiene:dA b' Ax dA a 1 Xy

Ahora formamos el sistema siguiente:

d 4 b f /l y£ 1 = 0 ; = o

a/?’o

i ,¿ aa ' /l vT ~ /lt

= o

(p{a\b') = 0 ; —; + 77 = 1<7 h

. . . (o

...(2)

...(3)

resolviendo el sistema se tiene: de (1) y (2) se tiene que . b ' „

a x

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218

2046


b 'p o r o tro lado la p end ien te de L es tga = y la p end ie n te de la ta ng en te aa f

2 2 , 2 1 1 - x ^ 1 *la e lip se : — + — = l es t g a - — —

a~ b a y

L u e g o se tie n e : t g a =b' b2.x b' y x2 y2/t! 2 i 2 2 i 2o a y a a y x a b

2x2 . a bR e e m p la za n d o en la e lip se se tie n e : — — = 1 => x = ± —j=r, y = ±«2 ■ ” 7 5

H a lla r los ejes de la e lip se sx" + 8xy + 5y = 9

Desarrollo

2 2 ^ L a ecuac ión genera l de 2do g rado es: Ax + By + Cxy + Ex + Dy + F = 0

Para e lim in a r el té rm in o x y , cons id e rem os a e l á n g u lo que se va a g ira r ,

C 8 n kD ond e tg l a = ------- = -------- entonces 2a - — => a - —A - B 5 - 5 2 4

x = x ' cos 4 5 ° - y ’se /7 4 5 ° - —— —

v = jc 's e n 4 5 ° + v 'c o s 4 5 ° = A" + 47 5

' 2 2 ahora re e m p la za m o s en la ecuac ión 5x* + 8x y + 5y - 9

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9 9s im p lif ic a n d o se tie n e : 9x '+ > > ’ = 9 lo que es lo m is m o

Y ’ y ' 0 \--— = 1 => a = 9 a b = 1

1 9

L u e g o el e je m a y o r es 2a = 6 y el e je m e n o r 2b = 2

2047 Es una es fe ra dada, in s c r ib ir e l c il in d ro cuya s u p e rfic ie to ta l sea m á x im a .

Desarrollo

A ltu ra del c il in d ro = H = 2h ; R a d io de la es fe ra = R ; R a d io del c il in d ro = r

área to ta l del c il in d ro = 2icrh + 27ir

D e acuerdo a las c o n d ic io n e s de l p ro b le m a fo rm a m o s la fu n c ió n s ig u ie n te :

$ A - Ircrh + 2 /z r2 + Á(r2 + h2 - R2) donde (h ,r ) pertenece a

ax2 -f y 2 = R2 en tonces: h2 +r2 - R2

c A c)A.— = 2/rh -f 4 itr + 2Ar , — = 2nr + 2Ah , aho ra fo rm a m o s el s is tem a s ig u ie n te : dr dh

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220 Eduardo Espinoza Ram

2048

= 0drdA = 0dh(p(rJi)

=> <2/7 + 2 n r + 2Ar = 0 ... ( 1)2 /z r + 2 /l/z = 0 . . . ( 2 )r2 + h2 = R2 ... (3 )

re s o lv ie n d o el s is tem a se tie n e que: de (1 ), (2 ) y (3 ) se tie n e que:

8 r 4 - 8/-2/?2 +R4 = 0 d e d o n d e r = — V 2 + 7 2 . r = — y ¡ 2 - 4 l1 ?

para r = — y¡2 + \ í l => h = — \ ¡ 2 - \¡2 2 2

y = — \J 2 - y¡2 => h = — yJ 2 - y¡21 1^ i w

, d 2/4 o 2/! d 2.4adem as — — = 4 ;r + 2 /t , — — = 2 / , ----------= 2 /rc> 2 a //2 aro/z

d 2A d 2 A o 2A 2 n • , . ÍZ TZ , ^ [Z /H(— r-)(— —) - ( ---------)“ < 0 tiene m áxim o en r = — yj 2 + v 2 , h = — \ ¡2 - \ ¡ .dr dh2 drJñh 2 2

c o m o H = 2 /i = R\¡2~ y¡2 , r = — \¡2 + J~22

lueg o el ra d io de la base del c il in d ro es:

y = — V 2 + V 2 y la a ltu ra es RyJ2 - ^ 2 donde R es el ra d io de la esfera.2

L o s cursos de dos río s (d e n tro de los lim ite s de una re g ió n determ inada]rep resen tan a p ro x im a d a m e n te una p aráb o la y - x y una recta, x - y - 2 = 0 ,H a y que u n ir estos río s p o r m e d io de un cana l re c tilín e o que tenga la m enoi lo n g itu d p os ib le . P o rq ue p u n to s habrá que tra z a r lo ?

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Desarrollo

G ra íic a n d o la parábo la y — .v“ y la recta x - y - 2 = 0

Sea Px (Ay, V j ) de la p a ráb o la => y { - jc, y la d is ta n c ia del p u n to /^(jc, , y , )

X, — y, — 2 7a la recta x - y - 2 = 0 es D = — — -¡= — pero y, = jc,- V 2

JC - A'2 - 2E n to n c e s re e m p la za n d o se tie n e : D = —— ’-j=—- V 2

. , . d D 1 - 2x,D e riv a n d o se tie n e : ------= --------------= 0 => jc, =d x . ■y¡2

1c o m o y { = A*f => V] = — lueg o la d is ta n c ia es D

- 2I s í l

-1 8

la p end ien te de la rec ta x - y - 2 = 0 es m} = 1 y la p e n d ie n te de la

p e rp e n d ic u la r a esta rec ta es m2 = -1 .

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2049

2050

L a ecuac ión que pasa p o r P A — , —) y m1 = - \ es v - — = - l ( j t - —) es decir2 4 ‘ 4 2

4 x + 4 y - 3 = 0 ahora re so lv ie n d o el s is tem a s ig u ie n te : x - y —2 = 0se4 x + 4 v - 3 = 02tie n e x = ~ , y = - ~ de donde el p un to de la p a ráb o la : v = x

debe u n irse con el p u n to / ? ( — ) de la recta x - y - 2 = 0 con una“ 8 8

lo n g itu d8

£ = = £ 1 - 3 ~ 2

D e s a r ro l lo

H a lla r la d is tanc ia m ás co rta del p u n to M ( í ,2 ,3 ) a la recta

L a ecuac ión de un p lano que pasa p o r el p u n to M ( 1,2 ,3) y que sea.r v rr

p e rp e n d ic u la r a la recta: es: H x ~ O ~ 3 (y - 2 ) + 2 (z - 3 ) = 0

es d e c ir x - 3 y + 2 z - 1 = 0 ahora hacem os la in te rse c c ió n del p la n o con lax - 3 y + 2z = 1

J J 4 1 3 1recta es d ec ir: < x v z de donde jc = — , v = — , z = —- = ^ - = - 4 4 7

.1 - 3 2

1 3 1 -ahora h a lla re m o s la d is ta n c ia d en tre lo s p un tos : M í 1,2,3) y P( — , ------ , —) es14 14 7

i ' ^ — \n \2 /o \2 \ 2 _ v 2 7 3 0d ec ir: d — . 1(1 ) + (2-h------ ) -t- (3 — ) —------------14 14 7 14

L o s p un tos A y B están s ituad o s en d ife re n te s m ed io s óp tic o s , separados el uno a l o tro p o r una línea rec ta ( f ig 7 2 ) la ve lo c id a d de p rop ag ac ión de la lu z en el p r im e r m e d io es ig u a l a V¡ , en el segundo a V2 . A p lic a n d o el “ p r in c ip io de

1 r HFe i-m at” , según el cua l e l ra y o lu m in o s o se p ropaga a lo la rg o de la lín e a A M B , para c u yo re c o rr id o neces ita e l m ín im o de t ie m p o , d e d u c ir la le y de la re fra c c ió n del ra yo de la lu z .

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D e s a r ro llo

Sea u — f + A (a tg a + b tg p - c)eos a V2 eos p

cu a 2 du b 2— = — tga sec a 4- Áa sec a ; — = — tgn sec o + Ab sec pda V] c p V2

fo rm a n d o e l s is tem a s ig u ie n te se tiene :

dudacu

= 0

0

a— tga sec a + Aa sec" a = 0

:z> <!Cpa tga + btg p - c

— tgp sec p + Ab sec~ P = 0

re so lv ie n d o el s is tem a se tie n e : sena _ V¡ senP ~ V2

2 0 5 1 A p lic a n d o el “ P r in c ip io de F e rm a t” d e d u c ir la le y de la re f le x ió n del ra yo delu z de un p la n o en u n m e d io hom og éneo , ( f ig 73)

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2052

D e s a r ro llo

P o r tra ta rse de un p lano en un m e d io h o m og éneo se tie n e V¡ - V1

L u e g o sea u a b , 1-----------------+ a tga + b tg ¡3 — c)Y¡ cos a \\ cos p

du a 2 cz/ b 1 ntga sec a + A a sec a ; = — tgp sec p + Ab sec“ / )

da l i cp V

fo rm a n d o el s is tem a se tie n e que: cuda

dudp

= 0

= 0

o

/g t f sec « + / l í / sec~ a = 0

/ tgp sec P + Ab sec" /? - 0

a tg a + b t g p - c = 0 => a tg a + b tg p = c

re s o lv ie n d o e l s is tem a se tie n e : sen a = sen p de donde a = p

S i p o r un c irc u ito e lé c tr ic o de re s is te n c ia R pasa p o r u n a c o rr ie n te í, la can tidad? 'de c a lo r que se desprende en u n a un id ad de tie m p o es p ro p o rc io n a l a !~R

¿ D e te rm in a r, com o habrá que d is tr ib u ir la c o rr ie n te 1 en / , , / 2 e p

v a lié n d o s e de tres cond uc to res de re s is te n c ia R2 y R3 , re sp e c tiva m e n te para c o n se g u ir que e l d e sp re n d im ie n to de c a lo r sea m ín im o ?

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/unciones de Varias V ariables 225

D e s a r ro llo

D e acuerdo a las c o n d ic io n e s del p rob lem a se tie n e :

ah o ra d e fin ire m o s la fu n c ió n : / 7(7 , , í¿ > / 3 ) - / ( A * A »^3 ) f ^ de donde:

F ( / j , / 2, / 3) = / f At + / 2- r 2 + / 3 a 3 + / ( / i + / 2 + / 3)

aho ra h a lla re m o s sus d e rivad as parc ia les :

dF cF dF— = 21 F + A , — = 2 F I F + Á , = 2 I , R , + ÁcL 1 1 dF - “

fo rm a re m o s el s is tem a s ig u ie n te :

5 /,c Ff / T

0

o

o

=>

d i 2

1 = 1, + / 2 + / 3

2 / , A, 4-A — 0212R2 +A = 0 2 /3A3 + A = 0/ j + /-) + / 3 — /

re s o lv ie n d o el s is tem a se tiene :

/,/?! = = / 3A3 esto reem p lazand o en al ecuac ión / j + / 2 + / 3 = / se tiene :

/, -/A 2A 3

A¡ A2 + Aj A3 + A2 A3/ , =

//?, /?3

R\R¿ 4~ Aj A3 + A2A, / i

/A, AA, A. + A, A3 a- A, A

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6.15. PUNTOS SINGULARES DE LAS CURVAS PLANAS.-

Ira. DEFINICIÓN DE UN PUNTO SIGULAR.-

U n p u n to M (x0,y 0 ) de una cu rva p lana f ( x ,y ) = 0 , se lla m a p u n to s in g u la r, si sus coordenadas sa tis facen s im u ltá n e a m e n te a las tres ecuaciones.

/ 0*0 ’ >'o) = 0 . / v l W o ) = 0 , / / ( x o ,.F0 ) = 0

2do. TIPOS PRINCIPALES DE PUNTOS SINGULARES.-

S up ong am os que en el p u n to s in g u la r M (-Y0 , v0 ) las derivadas de 2do o rden.

A = f x Á x^y<))

B = f'xy(* 0 > 3 ’0 )

C = f ’y y ( X Q , y 0 )

A = AC - B2no son tod os ig ua les a cero y que:

en este caso tend rem os:

a ) S i A > 0 , M será un p u n to a is lad o ( f ig 74 ) ✓

b) S i A < 0, M será un p u n to c runad a l (p u n to d o b le ) ( fíg 75 )

c) S i A = 0, M puede ser u n p u n to de re troceso de 1 ra especie ( f ig 7 6 ) o de2 da especie ( f íg 7 7 ) o un p u n to a is la d o , o p u n to dob le cotangentesc o in c id e n te s o tecnod o ( f íg 78).

A l re s o lv e r los p ro b le m a s de este apartado, se cons id e ra o b lig a to r ia m e n te la c o n s tru c c ió n de las cu rvas.

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/■ unciones de V arias Variables 227

1053

M

FIG. 74 R G . 75

M

FIG. 77

FIG. 78

> curvas s ig u ie n te s :

v = -v~ + xDesarrollo

Sea / (x,y) = x 2 + v 2 - .v4 de donde f x (x,y) = 2x - 4 x 3 , / v (a \ y ) = 2 y

A h o ra fo n n a m o s el s is te m a s ig u ie n te : <f ( x , y ) = x 2 +- .v 4 = 0

f x i ^ y ) - 2 a - - 4 r 4 = 0

f ' ( x , y ) = 2y = 0

re s o lv ie n d o el s is tem a se tie n e : x = y = 0 => p (0 ,0 )

r fyy(X,y

{f^,(x,y)

2

0

12x2<

f í (0,0)

fyy (° ’ 0)

A (0,0)

7/

2

0

A - / v; . ( 0 , 0 ) - / vv( ( ) , 0 ) - ( / ^ ( 0 , 0 ) ) = 4 > 0 , lu e g o el p u n to p (0 ,0 ) es p u n to a is lad o .

FiG.76

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2054 ( y - x 2)2D e s a r ro l lo

7 5 5Sea / ( x , y) = ( y - x~)~ -- x~ de donde se tie n e :

fie (-V, V) = -4 .V (y - -V2 ) - 5 x 4 , / ' ( x , y ) = 2 ( y - . f )

f ( x , y ) = ( y - - = 0ahora fo rm a m o s el s is tem a s ig u ie n te : ■! f x (x, y ) = - 4 x ( y - x~) - 5 x - 0

f í Ú ,);) = 2 ( y - x 2 ) = 0

re s o lv ie n d o el s is tem a se tie n e x = y = 0 es d e c ir p (0 ,0 )

f y y ( V. V ); ¡

f n A . X - . V )

4 y + 12x 2 - 20x 3 f í (0.0)

< f y y (0,0) = 2

I 0 ( 0 , 0 ) - 0Ax

A ~ f[íx( 0 ,0).fyV( 0 , 0 ) - - ( f ^ :( 0 ,0 ))2 = 0 , lu e g o ei p u n to p (0 ,0 ) es un p u n to de

re troceso de 2da especie.

4 2 2 4 62 0 5 5 a v = a x - xD e s a r r o l lo

Sea / ( .x ,y) - a*y2 - a 2x4 + x6 de donde se tie n e :

J'x ( x , y) - -4 a 2x3 + 6 x 5 , f (x. y) = 2a4y

ahora formamos el sistema se tiene:

f ( x , y ) = a 4 y 2 - a 2x 4 f x 6 = 0/ * ( x , >■) = ~ 4 a 2 x 3 + 6x D = 0/ v (-X, y ) = 2 a4 y = 0

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/• unciones de Varias Variables 229

re s o lv ie n d o el s is tem a se tie n e x = y = 0 es d e c ir p (0 ,0 )

f £ ( x , y ) I2a2x 2 +3 0 x 4f í ( x , y ) = 2ayy

•//

/ " ( 0 , 0 ) = o4 ( 0 , 0 ) = 2 a 4

4 (0,0) = 0f xy ( * , y) = 0

A = 4 ( 0 , 0 ) . / " ( 0 ,0 ) - < 4 ( 0 ,0 ) )2 = 0 , lu e g o el p u n to p (0 ,0 ) es u n p u n to tacnod o .

2056 x 2y 1 - x 2 = 0Desarrollo

Sea / ( x , y ) = x2y 2 - x 2 - y 2 de donde se tie n e :

fx (x, y) = 2 xy2- 2x , ( x , y) = 2 y

A h o ra fo rm a m o s e l s ig u ie n te s is tem a

r/ \ 2 2 2 2f ( x , y ) = x y - x - y

f l (x, y) = 2xy2 - 2x = 0= 0

f J x , y ) = 2x y - 2 y = Q

re s o lv ie n d o e l s is tem a se tie n e x = y = 0 es d e c ir p (0 ,Q)

f „ (x, y) = 2y - 2

fyy(X, y) =2X2 - 2

f ' l ( x , y ) = 4 xy

=>/ " ( 0 , 0 ) = - 2

4 ( 0 , 0 ) = - 2

4 (0,0) = 0

A = 4 (0,0 ) . 4 (0,0) - ( 4 (0, o))2 = 4 > 0 , en tonces e l p u n to p (0 ,0 ) es un

p u n to a is lado .

1(157 jt3 + y 3 - 3axy - 0 (Folium de Descartes)

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230 Eduardo Espinoza

2058

Desarrollo

*5 *5Sea f ( x , y ) = x + y - 3axy de donde se tie n e :

fx (*> y) = 3* 2 - 3ay> (-*>

aho ra fo rm a n d o e l s is tem a se tie n e :

3 3J(x, y) = x~ + y - 3axy = 0

f l (x, y) = 3x2 -3ay = 0

f í (x, y) = 3y 2 - 3ax = 0

re s o lv ie n d o e l s is tem a se t ie n e x = y = 0 , es d ec ir: p (0 ,0 )

f x x ( x > y ) = 6 x

= 6 y

fíy (x, y) = - lafyy (*> y)

•//

/ « ( 0 , 0 ) = 0

/ v v ( 0 , 0 ) = 0yy•/// " ( 0 ,0 ) = - 3 a

A = ( 0 , 0 ) . / " . ( 0 ,0 ) - ( / " ( 0 ,0 ))2 = - 3 a < 0 , en tonces e l p u n to p (0 ,0 ) esp u n to c runad a l.

y 2 (a - x) = x3 (c iso id e )Desarrollo

Sea f ( x , y ) = y ( a - x ) - x , de donde se tie n e :

fx (x> y) = - y 2 - 3x2 > fy (x> y) = 2 y(a ~ x)

aho ra fo rm a m o s e l s is tem a:f ( x , y ) = y ( a - x ) - x = 0

f í ( x ,y) = - y 2 ~ 3* 2 = °f U x ,y) = 2 y { a -x ) = 0 '*Í'

resolviendo el sistema se tiene: x = y = 0, es decir: p(0,0)

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f unciones de Varias Variables 231

J05‘>

106(1

= -6x

fyy (x, y) = 2 -

fxy (X, y) = ~2y

f!L(o,o> = of " (0,0) = 2a

4 ( 0 , 0 ) = O

A = / " ( 0 , 0 ) / " ( 0 , 0 ) - ( / " ( O , O ))2 = O , lu e g o e l p u n to p (0 ,0 ) es u n p u n to deyy xy

re troceso .

( x 2 + y 2 ) 2 = a2 (x2 - y 2) (L e m n is c a ta )

Desarrollo

Sea f ( x 9y) = (xz + y 2)2 - a 2(x2 - y z ) , de donde

f ' ( x , y ) = 4x(x2 + y 2) - 2 a 2x , f ' ( x , y ) = + y 2)+

aho ra fo rm a m o s e l s is tem af ( x , y ) = (x2 + y 2)2 - a2 (x2 - y 2)

f ’x (x,y) = 4x(x2 + y 2) - 2 a 2x = 0

fy (x, y) = 4 y (x 2 + y 2) + 2a2y = 0

= 0

re s o lv ie n d o e l s is tem a se tie n e : x = y = 0 es d e c ir p (0 ,0 )

fxx(x,y) = \2x2 +4y2 -2a '

f l ( x , y ) = 4x2 + \2y2 + 2a1

f í ( x , y ) = 8 xy

f í i 0 , 0 )XX

*//yy

= -2a'

f " (0,0) = 2a-

f " ( 0 , 0 ) = oxy

A = f xx ( 0 ,0 ).f"y ( 0 ,0 ) - ( / " ( 0 ,0 ))2 = - 4a4 < 0 entonces e l p u n to p (0 ,0 ) es u n

p u n to c runad a l.

(a + x)y2 = ( a - x)x3 (Estrofoide)

Desarrollo

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232 Eduardo Espinoza Ra

2061

9 ^Sea / ( x , y) = (a + x)y ~ - (a - x)x de donde se tiene:

f l (x,y) = y 2 - 3ax2 + 4x3 , f l (x, y) = 2_y(a + x)

ahora formando el sistema se tiene:

2 2 / ( x , = (a + x ) j - - x)x

f í (x , y ) = y 1 ~3ax2 + 4x3 = 0

= 0

f y (x,y) = 2y(a + x) = 0

resolviendo el sistema se tiene x = y = 0 es decir p(0,0)

f í ( x , y ) = -6ax + l2x-

f í ( x , y ) = 2(a + x)yyf!cy{x,y) = 2 y

/ » ( 0 , 0 ) = 0

2a

0

4 (0,0)

A = 4 (°> ° ) - 4 (°, 0) - ( 4 (°> °))2 = 0 entonces el punto p(0,0) es un p u ifl crunadal

(x2 + y 2 )(x - a)L = bzx z (a < 0, b < 0) (concoide) examinar tres casos:,2 , 2 2

1) a > b 2) a = b

Desarrollo

3) a >0 = 2*(* - a )2 + 2(x2 + y 2 )(x - a ) - 2 b 2x , (x, y) = 2;;(x -

ahora formando el sistema de ecuaciones:

/(*> y) = (x¿ + y¿ )(x - aY of l (x, y) = 2x(x - a)2 + 2(x2 + y 2 )(x - a)

f'y (X, y) = 2 y(x - a)2 = 0

2 b2x = 0

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resolviendo el sistema se tiene x = y = 0 > « > \

füx ( x > y) ~ 2(x ~ a )2 + 4 x ( x - a ) + 4 x ( x - a) + 2 ( x 2 + >>2 ) - 2 b2> í ’ j . i.. - - t

f ^ x , y ) = 2 { x - a ) 2 + S x ( x - a ) + 2(x2 + y 1) - 2 b 1 => /" (0 ,0 ) = 2a2' f £'■ y "".ífT'V'i'í r/ ó'- i ■* '7 í »'í ,f! 5*7; V ■! S “

f ^ x , y ) = 2 { x - á ) 2 => /" (0 ,0 ) = 2a2

f ^ x , y ) = 4 y ( x - a ) => /"(■0,0) = 0

A = / " (0 ,0 )./" (0,0) - ( /" (0 ,0))2 = (2a2 - 262 )2a2 - 0" ¡‘ 1 , • ; * •; . • .í ' r ■; ■ •' ' í i. % /

A = 4a2(a2 -¿>2)1 s; • ¿¡ ■' i,-: ? j j, .Ai i* .■ 5 i ';.i i / ■ r.'>¿ í;¡ <; [1 -1 i . \

1) Si a > b se tiene A > 0 entonces p(0,Q) es un punto aislado.

2) para a = b se tiene A= 0 entonces p(0,0) es un punto de retroceso deIra especie,

3) Para a < b se tiene A < 0 entonces p(0,0) es un punto crumadol.f - í. ,0

2062 Determinar como varía el carácter del punto singular de la curvav I f ■ *' I í $ / f ■' /J ?’• , 5 4 <• ’l ;<*■'’ * /'• i? j. * / ' í '.v¿ ’ I #’ i „ ' ■' ■

y 1 - (x - a)(x - b ) ( x - c) en dependencia de los valores de a, b y c (a -riSea f ( x , y ) = y - (x - a)(x - b)(x - c) de donde

f x (x,y ) = - 3 x 2 + 2(a + b + c)x + a + b - a b , (x ,y ) = 2y‘ .1 f. r u- > - \ ■■ j'S l..' ' • v' < ./ ..4-t 1 í ... .r. .K4 .i'

ahora formando el sistema de ecuaciones se tiene:

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234 Eduardo Espinoza Ram ' "M M I I ^ ■ I.HI I. , » " " ■ ■— ■■■■ .. . . ,■■■■■■■1111!,. I. I ■■■■■■ IPI, , . I. I I l i l i) , 11 I I I..................................... j j j

f (x , y) = y 2 ~(x~ a)(x - b)(x - c) = O

• fx (x,y) = -3x2 +2(a + b + c)x + a + b - a b = O

fy(x ,y) = 2y = 0<

A _ \ .. • 1 ? ••

resolviendo el sistema se tiene: x = a, x = b, x = c, y = 0

füx (*>y) = ~ 6 x +2 (a + b + c)

■ f w ( x , y ) = 2

füy(.x,y) = o

A = f " (x, y).fl(x,y)-(f¡i(x, y))2

- i fsi a, b y c no son iguales entre sí, entonces no hay punto singular

Si a = b < c, el punto p(a,0) es un punto aislado

Si a < b = c, el punto p(b,0) es un punto crunodal

Si a = b = c, el punto p(c,0) es un punto de retroceso de 1 ra especie.

Ira. DEFINICIÓN DE LA ENVOLVENTE.-

Envolvente de una familia de curvas se llama a la curva (o el copjunto á curvas) tangentes a todas las líneas de dicha familia, además cada uno de sti puntos tiene contacto con alguna de las líneas de la familia que se examinara.

t • _ . , .. í2do. ECUACIÓN DE LA ENVOLVENTE.-

¡ . . . ,

Si una familia de curvas dependientes de un parámetro variable a.

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2(163

2664

t ie n e e n v o lv e n te , las ecuac iones p a ra m é tric a s de esta se d e te rm in a n p o r m e d io de l s is tem a de ecuac iones:

f ( x , y , a ) = 0 f á (x , y ,a ) = 0

... (1 )

E lim in a n d o e l p a rá m e tro a de l s is tem a (1 ) , o b tend rem os u n a ec u a c ió n de la fo rm a :

D (x ,y ) = 0 ... ( 2 )

D e b e a d ve rtirse , que la c u rva (2 ), o b te n id a fo rm a lm e n te lla m a d a c u rva d is c r im in a n te , adem ás de la e n v o lv e n te , s i esta e x is te , puede c o n te n e r lugares g e o m é tric o s de p u n to s s in g u la re s de la fa m il ia dada, que n o fo rm e p a rte de la e n v o lv e n te de la m is m a a l re s o lv e r lo s p ro b le m a s de este p á rra fo se re c o m ie n d a

A,

h a c e r e l g rá fic o .

2 o @H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m il ia de c irc u n fe re n c ia s ( ) + = —

Desarrollo

Sea f ( x , y , a ) - ( x - a ) 2 + y— . . . ( 1)

/ a D e donde f a ( x , y,a) - - 2 ( x - a ) - a = 0 => x = —2

R e e m p la za n d o en (1 ) se tie n e y = ± x

H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m il ia de rectas y = kx + — ( k es u n p a rá m e tro ,2 k

p = constante)Desarrollo

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Sea/ ( * , v , k) = y - k x - — = O

2k

f l ( x , y , k) = - x + ~ - = O2 k

... O )

... ( 2 )

D e (2) se tie n e k = ±<2x

ree m p la za n d o en ( 1)

>’ = ±(2/7X)2 => = 2 /?X

2 0 6 5 H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m il ia de c irc u n fe re n c ia s de ra d io s ig u a le s a R , cuyos cen tros se encuen tra en e l e je O X .

D e s a r ro l lo

L a ecuac ión de la c irc u n fe re n c ia de c e n tro en e l e je O X es:

(x - h)2 + y 2 - R2 de donde:

Seaf ( x , y j i ) = ( x - h ) ~ + y - R = 0 f ¿ ( x 9y,h) = - 2 ( x - h ) = 0

. . . ( 1)

. . . ( 2 )

D e la e c uac ión (2 ) se tie n e x = h y que al re e m p la z a r en la ecuac ión (2 ) se tie n e y = ± R .

2 0 6 6 H a lla r la c u rva que e n v u e lv e a u n seg m en to de lo n g itu d 1, cuando sus e x tre m o s resb a lan p o r lo s e jes de coordenadas. < x

Desarrollo

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C o m o — + — = 1 de donde b —a b a - x

adem ás en e l A A O B p o r P itá g o ra s se

tie n e : a2 +b2 = 1

2 2a2 + a y. = i donde

{a - x y

2 2\ 2 a yf ( x , y 9a) = a + :(a - x ) A

1 = 0

¡2ay ( a - x - 1) f a (x,y,a) = 2a + ------

( a - x )0

1 3 2 1

de donde a = x + x 3j^2 adem ás b = y + x 3y 3

c o m o a2 +b2 = l 2 => x 3 + ^ 3 = l

2 0 6 7 H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m il ia de rectas que fo rm a n con lo s ejes coordenados tr iá n g u lo s de área constan te s.

Desarrollo

x v ,L a ecuac ión de la re c ta es — + — = 1 ,a b

c o m o datos d e l p ro b le m a se tie n e :

a bs = - 1- (á re a de l t r iá n g u lo ) de donde

2 Sb - — , re e m p la za n d o en la ecuac ión a

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238 Eduardo Espinoza Ramosi 1 't ■'/? r¡¿ ■ :i J ' ■' % - • ' ■ ■ 1 ' 'j

2068

x y i x ay .— + — = 1 se tie n e : — + — = 1 ... ( 1)a = ¿z 2 S

que es lo m im o 2*Sx + a y - 2aS = 0

2

sea / ( x , y, z) = a y + 2Sx - 2aS de donde

fa (*> yâ) - 2ciy - 2S , aho ra fo rm a n d o e l s is tem a de ecuac iones se tie n e :

f ( x , y , a ) = a^y + 2Sx -2aS = 0 S/ a = ~f a (x,y,a) = 2 a y - 2 S = 0 y

que a l re e m p la za r en ( 1) se tie n e : — + — = 1 de donde xy = —S 2 S 2

H a lla r la e n v o lv e n te de las e lip ses de áreas constan te s, cuyos e jes de s im e tr ía co in c id e n .

D e s a r r o l lo

2 2L a ecuac ión de la e lip se es: + ~ r = 1 ... ( a )

a o

2 &adem ás e l área de la e lip se es: S = rcab => b = 2 2 7ü a

2 2 2 4 2 2re e m p la za n d o en la ecuac ión ( a ) se tie n e : x S + y í ira'=a*S* . . . ( 1)

a h o ra cons id e ram os la fu n c ió n <f ( x , y , a ) = x 2S 2 + y 2; r t f4 - a2S 2 = 0

fa (x, y,a) = 4 a37ry2 - 2aS2 = 0 j

S 2 Sde donde a2 = — ^ r- r re e m p la za n d o en la ecuac ión ( 1) se tie n e : xy - ± —2n y ' I ‘ ln

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2 0 6 9 A v e r ig u a r e l ca rác te r de las cu rvas d is c r im in a n te s de la fa m il ia de cu rvas s ig u ie n te s (c es e l p a rá m e tro )

a) y - ( x - c ) (p a rá b o la cúb ica)

Desarrollo

Sea f ( x , y , c ) = y - ( x - c ) , de donde

f !c ( jc, y, c) = 3 (x - c)2 a h o ra fo rm a n d o e l s is tem a

/ ( x , y,c) = y - ( x - c ) 3 = 0 ... ( 1)fe (*> y , c ) - 3 ( x - c ) 2 = 0 . . . ( 2 )

de la ecuac ión ( 2 ) se tie n e : x = c

a l re e m p la za r en la ecuac ión ( 1) se tie n e y = 0 p o r lo ta n to la c u rva d is c r im in a n te y = 0 es e l lu g a r g e o m é tr ic o de lo s p u n to s de in f le x ió n y la e n v o lv e n te de la fa m il ia dada.í .

O lb ) y = ( x - c) (p a ráb o las sem i cúb icas)v

Desarrollo

Sea f ( x , y , c ) = y 2 - ( x - c ) 3 de donde f ¿ ( x 9y,c) = 3 ( x - c )2

A h o ra fo rm a m o s e l s is tem a s ig u ie n te

f { x , y , c ) = y 1 - { x - c f = 0 ... (1)

fc (x ,y ,c ) = \ x - c f = 0 . . . ( 2 )• !' n [} ’ ' ■ v. !’”í . •• ; ‘ -‘I i •:-i ' í , } . •. • ’ *. .* , ■ . / ..'p'ift.. '

de la ecuac ión (2 ) se t ie n e x = c que a l re e m p la za r en ( 1) se tie n e y = 0 , lu e g o la c u rva d is c r im in a n te y = 0 es e l lu g a r g e o m é tr ic o de lo s p u n to s cusp id o las y la e n v o lv e n te de la fa m ilia . ^ ;

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240 / M Eáüardo Espinoza Ramok

7 i t J J ü) (parábola de Naíl) J<

Desarrolloo /Sea / (x , y , c ) = y - ( x - c) de donde f c ( x , y , c ) = 2 (x - c )

A h o ra fo rm a n d o e l s is tem a se tie n e :obriob sh /(.)•■

f ( x , y,c) = y 2 - ( x - c)2 = 0I ílffíOteitf rJ OÍ

f c ( x , y, c) = 2(x - c ) = u

de la ecuac ión (2 ) se tie n e x = c ,,q u e ,a l re e m p la z a r e p ^ l) se t ie n e y = 0

p o r lo ta n to la c u rva d is c r im in a n te y = 0 es e l lu g a r g e o m é tr ic o de lo s p un tos cusp ida les p e ro que n o es dé la e n v o lv e n te . no

; • j x « » ✓ * f . V , \ S ^ *( f •.** I • ? v m T O 1 9- y l i V - J * w » i-..* . - M V v , /

d i / . + x ) ( y — c) = x ( a - x ) (e s tro fo id e )A í ! r A l , r w v f o h cr r -V,:* * >V t r< j . T>. • ! « /

Desarrollo bi‘l:

Sea / (x , y , c) = (a + x)(y - c)2 - x 2 (a - x ) de donde

f ñ ( * * y »c ) - - 2 ( a .+ x ) ( v - c ) , aho ra fo rm a m o s e l s is tem ar c V K ” • í r.. i . n A Qonnu *¿b - /. f - ! “ i ) . J , > ) \ \YJS

h tX; ? i j j j rn' i} f f j I ;f ( x , y,c) = (a + x ) ( jy - c ) - Je (a - i ) = Ó

¡fc (* , y,c) = - 2 (a + *)(>>- c ) =¡=:0

(S )V . : ; i_ ' ■ . ide la e c uac ión (2 ) se tie n e y = c, que a l re e m p la za r en la ecuac ión ( 1) se

,0 / s n a ii t id h e ^ ! lu é g o la c u rva d is c r im in a n te S ed e sc Ó m p o n e en lasôínuq <!ol ■ií-téctas'7íx?'^:ij0 (q itó es) e fH u¿ ar geó iW étfícó tíé jiü h tó s C ifeíldales) y x = a

(q ue es la envo lven te^ ;

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2070 L a ecuac ión de la tra y e c to r ia que s igue u n p ro y e c til lanzad o desde e l p u n to O , con la ve lo c id a d in ic ia l V0 y fo rm a n d o u n á n g u lo a con la h o r iz o n ta l

2gX(p re sc in d ie n d o de la re s is te n c ia de l a ire ), es y = x t g a — — -— to m a n d o2V¡ eos2 a

e l á n g u lo a com o p a rá m e tro , h a lla r la e n v o lv e n te de todas las tra y e c to r ia s del p ro y e c til s ituad os en u n m is m o p la n o v e r t ic a l (p a rá b o la de seg u rid ad ) v e r f ig u ra .

D e s a r r o l lo

Sea f ( x , y , a ) = y - x t g a + — — , de donde2V0 cos^ a

f a (-L y \a ) = ~ * s e c 2 a + s e c a t g a ajiora f 0rman¿0 ej si ste m a se tie n e :

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de la ecuac ión ( 1) se tie n e : tga VrOg X

que al re e m p la za r en ( 1)

y = x tga2Vq cos2 a

=> y =Vro gx2g 2V02

6.17. LONGITUD DE ESPACIO.-'

ARCO DE UNA CURVA EN EL:u íi

L a d ife re n c ia l de l arco de u n a c u rva en el espacio en coordenadas cartes ianas

rec tang u la res es: dS - yj(dx)2 +(dy)2 +(dz)2 desde x ,y ,z son las Icoordenadas v a ria b le s del p u n to de la cu rva .

1 "-.s. ' ‘ -hfi

S i X = x ( t ) , Y = y ( t ) , Z = z ( t) son las ecuac iones p a ram é tric as de la c u rva en e l espacio , la lo n g itu d en el in te rv a lo c o m p re n d id o en tre / - tx y t = t2 será:

H a lla r la lo n g itu d de los arcos de las cu rvas que se dan en los p ro b le m a s 2071 - 2 0 7 6

2p2071 x = t, y = t2 , z = desde t = 0 hasta t = 2.

3Desarrollo

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2072

073

fi d x . 2 , d v . 2 , d z .(— ) + (“7“) + ("T")

d t d t d t2dt = jTVSl + 4 t 2 + 4í4 dt

= y](\ + 2t2)2 dt = j^ ( l + 2 t 2)dt = ( / + ~ - ) ^ = 2 - f y16 22

3

x = 2 eos t, y = 2 sen t, z = — í desde t = 0 hasta t = rc71

Desarrollo

A* =

J =

Z =

2 cosí I s e n t

3£71

dxdtdydtdz~dt

- - 2 sent

= 2cosí

_ 37T

í ls = Idt dt dt

, , . n 4cos2 t + 4sen2t + — dt

+ 9

x — e* eos í , >> = e 'se w í , z = <?' desde t = 0 hasta el valor arbitrario de t.

x — e cosí

yz

= e sen í => <¡

c/jtdtdydtdzdt

Desarrollo

= e' (eos t - s e n t )

= e \ s e n t + cosí)

= e

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2 0 7 4

2 0 7 5

.dx. 2 .dy.') .dz. 2 ,( — ) + ( - j -Y + ( — ) d t dt dt dt \

V e2t (eos t - sen t) + e2t (sen t + eos t)2 + e2t dt Í e*^¡3dt ~ ^Í3(el o

2 3y = — , z = — desde x = 0 x = 6

Desarrollo

y = X

~23

dydxdzdx

ri ,dv^ .dz 2 j+ +(— ) dtdt dt 1 + x2 + — dx

rt.

6

o= 6 + 36 = 42

x2 = 3 v , 2 x y = 9z desde e l p u n to 0 ( 0 ,0 ,0 ) has ta e l p u n to M (3 ,3 ,2 ) .

Desarrollo''nurría í^ ’j **

•«*, '•Mrtfl.'fWV «¡¡r/*’í'Hlt#».'»rtru«i i.J

P a ra m e tr iz a n d o la c u rva se tie n e :\ \ 1 3» i1

t . . . ^

x 2 = 3 y2 xy = 9z

y =1

X > 2xT => <i ¿¿X 7 . T

< v

2 x 3 dz 2x27 dx 9

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2076

2077

S = \ + (— )2 + (— )2 dx dx dx fl, 4 a2 4 a4 .

1+ + -------9 81

1(1 + dv = f (1 + ( a + ) / ] = (3 + 2) - 0 = 5

X a ^ “H Xy -a rc s e i ir - ) , z = — ln ( --------- ) desde 0 (0 ,0 ,0 ) hasta e l p u n to M { x ^ y ^ z § )a 4 a - xDesarrollo

y = arcsen-a , ,^ + x

z = - l n ( )4 a - z

dx J

dza~ - X 1

2

dx 2(a2 - a2 )

a2 a41+ —:-------r +

a 2 4 ( a 2 - a 2 ) '

,J& ' a 2 ,0 + ~ ) dx

2(a 2 - a2 )“ fjÍ'V , a2 . , r a . .a + A .,/-^ a . ,^ + aó .

(1 + r r-)í/A = [ A + - ln ( ------- ) ] / = A ó + - l n ( ---------) = Xq + Zq

2 (a 2 - A 2) 4 a - A / o 4 a-A¡,■ «

L a p o s ic ió n de u n p u n to en c u a lq u ie r in s ta n te t ( t > 0 ) se d e te rm in a p ara lasecuac iones x = 2 t, y = ln t, z = t1 . H a lla r la ve lo c id a d m e d ia de l m o v im ie n to en tre los ins tan tes t = 1 y t = 10 .

Desarrollo

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-Í14 + 4 - + 4 ? dtn

i(2 t + j Y d t = J ( 2 t + - ) d t = ( i 2 + ln f ) /™

= (1 0 0 + ln l0 )- ( l + 0) = 99 + ln l0

s r r oESCALAR.

La función vectorial a = a(f) puede determinarse dando las tres funciones escalares ax{t) , ay (t) y az(f) de sus proyecciones sobre los ejes de

coordenadas:

—> —>La derivada de la función vectorial a = a(t) con respecto al argumento escalar

t es una nueva función vectorial determinada por la igualdad.

r

El modulo de la derivada de la función vectorial es igual a:

—> —)El extremo del radio variable r = r( t ) describe en el espacio una curva.

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Q u e rec ib e e l n o m b re de h a d o g ra fo d e l v e c to r r .—>

d rL a d e rivad a -------- rep resen ta de p o r s i un ve c to r, tangente a l h o d o g ra fo en e ldt

p u n to co rresp ond ien te .

—>d r dS| -------1= — , donde s es la lo n g itu d de l a rco d e l h o d o g ra fo , to m a d a desde c ie rto

dt dt

d rp u n to in ic ia l. E n p a r tic u la r | --------1 = 1dt

—> d rS i e l p a rá m e tro y es e l t ie m p o , - j - = v es e l v e c to r de la ve lo c id a d de l

—>e x tre m o de l v e c to r r , y — ~ = — - = w es e l ve c to r de la ace le rac ió n ded? dtd ic h o e x tre m o .

2do. REGLAS PRINCIPALES PARA LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES DE UN ARGUMENTO ESCALAR.-

* i d ¿ a d b d e1 ) - ( a + b - c ) = -------+ ------------------

dt dt dt dt

d / ~\ da— yma) = m , m es una constan tedt dt

d / ^ dtp da . ., , 4— (cp a ) - a — + tp , (p(t) es fu n c ió n de t.dt dt dt

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2078

— (a xb ) = - x b + a x W d t dt dt

dH

< /"» . . . .

— a(<p{f)) ----dt dt dt

d a . . i -*,a = 0 , s i | a | = constan tedt

D e m o s tra r que la fu n c ió n v e c to r ia l r - r x - ( r 2- r x) t donde rx , r2 son lo s ra d io s vec to res de dos p un tos dados, es la ecuac ión de una rec ta .

Desarrollo

C o n s id e re m o s r = x i+ y j + z k

f \ = \ i + X j + ^ k

—> —> —> —>r2 = x2 i+ y 2 j + z2 k

c o m o r - r x = ( r 2 - / } ) t , se tie n e :

—>( * - .*¡) /+ ( y - ^ ) j + ( z - z [ ) k = ((a j - a¡) /+ - ) y+ (z 2 - 3 ) k )t

X-Xi = (x2 - ^ ) t

y-Jí =(y2 -Jí)t =>( Z - 2 ¡ = ( z , - ^ ) t

t =

t =

t =

x2- x iy-y y2-yz - zi ^ 2 - 3

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2079

, , , . x - x , y - y , z - z, , . , ,de d onde se tie n e : — = - — = — que es la ecuac ión de una recta*2 ~ *i y 2 “ y\ z2 - zi

D e te rm in a r, que líneas son lo s h o d ro g ra fo s de las s ig u ie n te s fu n c io n e s ve c to r ia le s .

i

a ) r = a t + c b )

c) r = a t + b t d )

—>d onde a , b y c son vec to res constan tes, a l m is m o tie m p o lo s ve c to re s a y —►

son p e rp end icu la res e n tre si.

D e s a r r o l lo

r - a eos t - f b sen t

r - a cosh t + b senh t

a) Se tie n e r - a t - v c donde r = x i + y j + z k

a = ax i + av j + ciz k

c = cx i + cv j + cz k

c o m o r = a t+ c => r - c = a t

(x - c v ) i + ( V - c y ) j + ( z - c 2) k = a xt i + a y t j + a z t k

X -C x

y ~ c\c_ =

axta jy

a j

t =x - c .

aX

t = y ~ cv v

t =

ay z - c .

a _

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JC C y mmm“' ^ ' c*d e d o n d e s e t i e n e : ---------- -- = — — — = ~ — — q u e e s l a e c u a c i ó n d e u n a

a y a v a .

r e c t a .

b ) r - a c o s í + b s e n t • • • ( ! )

m u l t i p l i c a n d o p o r a a l a e c u a c i ó n ( 1 )

—> —► —> —> —> —y —>r .a =\ a \~ cosí y a . b = 0 p o r q u e a JL b

“ r " r r ^ y ^

r . a =1 a I e o s / = > c o s í = — :—a

m u l t i p l i c a n d o p o r b a l a e c u a c i ó n ( 1 )

- r . b— *

,2r . ¿ > = | é | i ’e n / = > s e n t =

b

—> —> —► —>2 . , 2 . , r b.s e n ^ t + e o s í = ( — :— ) + ( — :— ) = 1 , q u e r e p r e s e n t a a u n a e l i p s e

b I2 l a '2

c) r = a t + b t m u l t i p l i c a n d o p o r a y b

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-» -> r . a— Oa Y

( — 1— ) rep resenta a una p a ráb o la

— ^d ) r = í7 cosh t + b senh t , m u lt ip lic a n d o p o r a y b

—■> —> —yIIO a—> -»r . b =

Vb 1

c o s h t =-» -> r . a

z=> <a j

—> -> r . b—>b l2

•—> —> — > — >

/ ■ ¿7 ? r b j (—:— )*- _ ( —:— )*■ ±= 1 5 qUe es la ecuac ión de una h ip é rb o la .a b i~

2 0 8 0 H a lla r la d e rivad a de la fu n c ió n v e c to r ia l a ( / ) = a(t).a°(t) , donde a ( / ) es una—

fu n c ió n escalar, m ie n tra s que a°(í) es un v e c to r u n id a d , en lo s casos en que el— y

v e c to r a(t) va ría .

1) S o la m e n te en lo n g itu d 2 ) S o la m e n te en d ire c c ió nt '■ . . ' . . . . , . . . . . . ’lt . . ' 1 • '

' • . ., . ‘ ■ _ 1 ,i : ,, 'V a •* • ¡% . . ■»■' '. " ! , •' • ■ ¡ ; >. . .*

3 ) E n lo n g itu d y d ire c c ió n (caso g ene ra l)V . ' 1 1 '•

E sc la re c e r el sen tid o g e o m é tric o de los re su ltad os ob ten id os

Desarrollo

— ^C o m o a(t) = a(t).a°(t) se tie n e :

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2081

2082

2 ) = a j L ao ^ ( v a r i a j a d ire c c ió n y s e n tid o ) „dt dt

d d a(t) “ t , \ da (t)3 ) — a(t)=— -— ,a°(t) + a(t) —dt dt dt

A p lic a n d o las reg las para la d e r iv a c ió n de fu n c io n e s v e c to r ia le s de u na rg u m e n to esca lar, d e d u c ir la fo rm u la para la d e r iv a c ió n de l p ro d u c to m ix to de

—► —> —>tres fu n c io n e s v e c to r ia le s a , b , c

Desarrollo

d -> -»— ( a .{b x c ) ) - — dt dt

—> —> —>e a , b y c es a .(b x c)

a x ay ü z

b x by b. d e sa rro lla n d o se o b tie n e :

Cx cy cz

d ~? -* d a -? -* d b ~? d e— (a \ b x c)) = --------( b x c)+ a .( x c ) + a ( b x )dt dt dt dt

H a lla r la d e rivad a , con respecto a l p a rá m e tro t, de l v o lu m e n de l p a ra le lep íp ed o— > — > — > — >

c o n s tru id o sobre lo s tres vec to res : a(t)= i + t j + t k

b(t) = 2t i - j + t k

c(t) = -t2

Desarrollo

> > >E l v o lu m e n de l p a ra le lep íp ed o = a . { b x c)

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d( a j b x c) — — dt

1 t t2

21 - i / 37- r i 3 i

— (t4 + 2t2 + 1) = 4 +4 r = 4*(/2 +1)dt - ' ■■

La ecuación de un movimiento es r = 3cosí i + 4 sen t j , donde t es el tiempo.

Determinar la proyección de este movimiento, la velocidad y aceleración del mismo. Construir la trayectoria del movimiento y los vectores de la velocidad y

7T 71de la aceleración para los instantes t = G, / = — y / = —

Desarrollo■ í , i i j

r = 3cos¿ i + 4sen l jd r '■ ■■ ' = -3sen t i + 4cos/ /

A

d 2 ra 2

. « 4 V

= —3cos t i —4 sent j

t =a *v = ------= 4 i , fl =

dt,1 L .#” * L* • 1 3. i -

d 2 r dt2

= - 3 i

r..- / Pí íii ím d r y j2~? 4y¡2 “ í— , v = —— = ---- — 1+—— J , a

7r f 2 r <*2

í ¿ •

4 ^ 2 - - i - 1— r

t = ~ r2

d rv = ------= —3 i , a =dt

d2 r dt2

2084 La ecuación de un movimiento es: r - 2 eos t i + 2sen t j + 3í A: . Determinar latrayectoria, velocidad y aceleración de este movimiento ¿A qué son iguales la magnitud de la velocidad y aceleración y cuales son sus direcciones en los

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Desarrollo

tt-Como r = 2cos¿ i + 2 sent j + 31 k

w"l *'J l .

d r = - 2 sent i + 2cosí j + 3 k = v

d 2 r7 — - 2 eost i —ls e n t j = w

dt

para t = 0, se tiene v = 2 j +3 & , w - - 2 iV * •' *1..:

^ r —r —T 7 —f/ = —, se tiene v = -2 / + 3 A:, w = —2 i

2 • . I. • : \CVV/.*

además V t, j j= V Í3 , .2d* dt

2085 La ecuación de un movimiento es: r = cos a cos wt i + sen t cos wt j + senwt k

donde a y w son constantes y t es el tiempo. Determinar la trayectoria, magnitud y la dirección de la velocidad y la aceleración del movimiento.

f , . f ' . f • v ’■ > , .■- - y T ' , y ' . v y , / f ‘ t ,

Desarrollo

-► -> —> -> r = cos a cos wt i + sen orcos wt j + s e n w t k

d r x '• d r- ~ - = —w e o s a s e n w t i ^ w s e n a s e n w t j + w c o s w t k =i> I |= iv

i s?‘‘ •-} *\ IJ i i l, -}¡: firwfrv . - * -■

'JiíO! ?í?¿ ;*■' •/ ‘‘2 . í it»; . - ' - • * h ' ; ; r*WTfÍ - • ' ¡ t-> ’ -■ • 7 - " ‘ * ->rf r 2 ^ 2 2 7 r . 2— r- = - w cosacos wt i — w sena cos wt j - w senwt k => , — r - = w

dt2 : 2

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2086

2087

L a ecuac ión del m o v im ie n to de u n p ro y e c til (p re sc in d ie n d o de la re s is te n c iagrt

del a ire ) es: r - r0 t — — k , donde r0 = (Vox + Voy + Voz) es la v e lo c id a d

in ic ia l. H a lla r la ve lo c id a d y la ace le rac ió n en c u a lq u ie r ins tan te .

Desarrollo¡ i

gt2 7 d r 7r =rfít k => --------= r« - gt k

0 2 dt 0

d 2 r dt2

L u e g o V = J V 0l + V 02y + (Vm - g t ) :

2D e m o s tra r, que s i u n p u n to se m u e ve p o r la p a ráb o la y = — , z = 0 de ta la

fo rm a , que la p ro ye c c ió n de la v e lo c id a d sobre e l e je O X se m a n tie n e constan te dx( — = cons tan te ), la a c e le ra c ió n ta m b ié n se m a n tie n e constan te . dt

Desarrollo

x 2 d x A AC o m o y = — , z = 0 adem ás — L = Vx ; | Vx \=VX = constan tea dy

d 2 X A A l = Wx 9 | | = w Y = 0 en este caso la ac e le ra c ió n se m a n tie n e constan tedt2

—sobre la p ro ye c c ió n O X , aho ra cons id e rem os r u n v e c to r de p o s ic ió n—> —y —¥r = x i + y j

x d r t~*.r = x i -\ j => --------= M ----- j =VX

a dt a

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2088

2089

d 2 r 2- — = - j = w dt a

L u e g o se m a n tie n e constan te para c u a lq u ie r v a lo r de t.'■ - • v 'í' v i , - ' ‘ ‘ . f »; ) .

U n p u n to s itu a d o en la rosca de l to m il lo , que se enrosca en u n a v ig a , describe u n a h é lic e c irc u la r x = a eos 0 , y = a sen 0 , z = h 0 donde 0 es e l á n g u lo de g iro áé[ to m il lo , a, e l ra d io de l t o m i l lo y h la e le v a c ió n c o rre sp o n d ie n te a l g iro de u n ra d ian te . D e te rm in a r la v e lo c id a d de l m o v im ie n to de l p u n to .

Desarrollo

—> — >C o n s id e re m o s e l v e c to r de p o s ic ió n r - x i + y j + z k y c o m o x =a eos 0 ,

—► —> —> —> y = a sen 0 , z = h 0 en tonces r = a eos 6 i +a sen 0 j + hO k de donde

d r d r dO ~> dO = ------ .— = (—asen9 i + acos6 j + h k)w donde — = w (ve lo c id a ddt dO dt dt

de ro ta c ió n d e l to m i l lo )t

d rL u e g o se tie n e : --------= ( -a sen6 i + a e o s0 j + h k)wdt

dt

H a lla r la v e lo c id a d de u n p u n to de la c irc u n fe re n c ia de u n a m ed a , de ra d io a, que g ira con u n a ve lo c id a d a n g u la r cons tan te w , de ta l fo rm a , que su c e n tro , a l o c u r r ir esto , se desp laza en lín e a rec ta con u n a v e lo c id a d cons tan te V0 .

iDesarrollo

C o n s id e re m o s e l v e c to r de p o s ic ió n de la tra y e c to r ia

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r = x i + y j => r — a eos / + a sen wt ja—>

~> d vV --------= -awsen wt i + ¿zwcos wt j , donde F v = aw sen wt , F, = a v íe o s u /

dt

c o m o la c irc u n fe re n c ia se desp laza con u n a v e lo c id a d h o r iz o n ta l z F(o

la v e lo c id a d f in a l es F : V = ( V0 - awsenwt) i +awcoswt j de donde

V ~\V \ - \J{V0 - aw sen wt)2 + (aw eos wt)2

I ó ó I F = | F | = JF0“ +a~w~ - 2awV0sen wt

6.19. TRIEDRO INTRÍNSECO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO.-

E n to d o p u n to M ( x ,y ,z ) que no sea s in g u la r, de una c u rva en el espacio—> —r - r(t) , se puede c o n s tru ir un tr ie d ro in trín se c o fo rm a d o p o r tres p lanos

p e rp end icu la res e n tre si. V e r fig u ra .

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d y1) E l p la n o o sc u la d o r MMlM 2 , en e l que están s ituad o s lo s v e c to r e s y

dt

d 27dt2

d y2 ) E l p la n o n o rm a l MM2M 3 , p e rp e n d ic u la r a l v e c to r ydt

3 ) E l p la n o re c tif ic a n te MM]M 3 , p e rp e n d ic u la r a lo s dos p la n o s p r im e ro s .

L a s in te rse c c io n e s de estos tres p la n o s fo rm a n tres rectas:

i) la tang en te ii) L a n o rm a l p r in c ip a l MM2

iii) la b in o rm a l MM3

que se d e te rm in a n re sp e c tiva m e n te p o r lo s vec to res—>

d r1) T -------- (v e c to r de la ta ng en te )dt

— ^2 ) B = — — x ---- - (v e c to r de la b in o rm a l)

dt dt2

— ^3 ) N = B x T (V e c to r de la n o rm a l p r in c ip a l)

-> T B Z NL o s co rre sp o n d ie n te s ve c to re s u n ita r io s T = --------, B = , N = ——

B I I V

A —> A ti y A A A—> d y ~

Se pueden c a lc u la r p o r las fo rm u la s T = — — , V = - ^ - , B = T x NdS *, d y

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2090

S i X , Y , Z , son las coordenadas v a ria b le s d e l p u n to de la tang en te , las ecuac iones de d ichas tangen tes en e l p u n to M ( x ,y ,z ) te n d rá n la fo rm a .

X - x _ Y - y Z - z Tx Tv Tz ... ( 1)

dx dv dzdonde T' = — , Tv = — , T = —x dt y dt 2 dt

p a rtie n d o de la c o n d ic ió n de p e rp e n d ic u la rid a d de la rec ta y e l p la n o , ob tenem os la ecuac ión d e l p la n o n o rm a l.

Tx (X - x) + Ty ( Y - y ) + T2 ( Z - z ) = 0 ... (2 )

s u s titu y e n d o en las ecuac iones ( 1) y (2 )

Tx ,Ty , Tz p o r Bx ,By ,Bz y Nx , Ny , N z ob tenem os las ecuac iones de las

rectas b in o rm a l y n o rm a l p r in c ip a l y re sp e c tiva m e n te , de lo s p la n o s o sc u la d o r y re c tif ic a n te .

S i la c u rva en e l espacio se da c o m o la in te rse c c ió n de dos su p e rfic ie s->

d k d rF(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0 en lu g a r de lo s ve c to re s ----- y se puede

dt

2 2 2 2 r to m a r lo s vec to res d r = ( d x , d y , d z ) y d r = ( d x , d y, d z ) , p ud iénd osec o n s id e ra r u n a de las v a ria b le s x,y,z c o m o in d e p e n d ie n te y sup one r su segunda d ife re n c ia l es ig u a la cero.

A A A

H a lla r lo s ve c to re s u n ita r io s p r in c ip a le s T ,B 9N de la c u rv a x - 1 - eos t, y -

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Desarrollo

Sea r ( t ) = ( \ - c o s t , s e n t , t ) en tonces

a

-> d r - rT = -------= (sen t, eos t, 1) , — r - = (eos -s e n t, 0 )

dt dt '

n d r pa ra t = — , — = (1, 0 , 1) ,

2 dt

d 2 r

dt2= (0 , - l , 0 )

de donde T = ( 1, 0 , 1) => , = - = ( - ) = , 0 , 4 =)I T\ \Í2 \ ¡ 2

d rB = -------x — —dt dt

i j k

1 0 1

0 - 1 0

( 1, 0 , - 1)

» B , 1 « 1 x i ~ kB = — = ( - 7 = ,0 , - - — ) =B \¡2 V T 42

— > — > — >

— >

«

*

— >

j A:N = B x T =

■ " i V > *. ( r1 0 - 1 = ( 0 , - 2 , 0 )1 0 1

—►A ^

AT = — = ( 0 - 1, 0 ) = - J

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2091 H a lla r lo s vec to res u n ita r io s de la ta ng en te y n o rm a l p r in c ip a l de la e sp ira l

c ó n ic a r ( t ) = el (e o s / i + sent j + k ) en u n p u n to a rb itra r io . D e te rm in a r lo s á n g u lo s que fo rm a n estas rectas con e l e je O Z .

Desarrollo

d r , t t = e (eos t - sen t) i + e (eos t + sen t) j + e kdt

d 2 r

d t2- l e 1 sen t i + 2 el eos t j + e * k

~2 d r d r B jcdt dt2

e (eos t - sen t)

- l e 1 sen t

—> j

ét (eos t + sen t)

l e 1 eos t

^ r y --------------------------------------------------------------------------------------- ------ ^B = e2t(sent - e o s t) i - e * (sen t +cosí) j + l e f k

N = B x Tr \ .

e ( s e n t - e o s t ) - e Ll(sent + cos¿) 2e e* (eos t - s e n t) el (eos t s e n t) el

21 2t

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2092

sent + eos t sent - eos t) j

Aeos <(T,OZ) =

A<(T,OZ) =

=>A

c o s < ( jV , OZ ) = 0A

<(N,OZ) =

K~67T

A A AH a lla r lo s vec to res u n ita r io s p r in c ip a le s T ,B , N de la c u rv a y = x , z - 2 x en e l p u n to x = 2 .

Desarrollo

—2 d rSea r = ( x , x , 2 x ) de donde - 7 — = ( l , 2 x ,2 )

dxd 2 r dx2

( 0 , 2 , 0 ) para x = 2

—>~> d rT = — = (1 ,4 ,2 )

dxT I = V Í + T 6 + 4 = V Í I

—> —>2, T . 1 4 2 d rT = —— = ( - = , - = , - = ) c o m o - 7— = (1 ,4 ,2 ) ,1— ? /— ? i—

V 21 V 21 v 21 ¿/xJ 2 r dx1

= ( 0 , 2 , 0 )

k2

0

= ( “ 4 ,0 ,2 )

A 5 4 2* = = ( - — , 0 , - 7= )

20 V 20

— ^N = B x T

i-41

J0

4

k22

= (-8 ,10 ,-16 )

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2093

A-» v

\N\

8 1016 4

82\/l05 ’2VÍ05 ’ 2VÍ05 VT05 ’ Vl05 ’ x/í05

)

Dada ía hélice circular x = a eos t, y = a sen t, z = bt escribir las ecuaciones

de las rectas que forman las aristas del tetraedro intrínseco en un punto

arbitrario de dicha línea. Determinar los cosenos directores de la tangente y de

la normal principal.

D e s a r r o l loi, 1 " , '( - " .7 ' ‘w

—>Sea r (/) = (¿7 eos t, a sen t , ¿tf), derivando

_> d rTdt

r~j ?(-a sen t, a eos t,b) => | T |= sja~ +

de donde T-»A J7 a sent a eos ¿

T si a2 +b1 si a2 + b2 sia2 +1?)

d 2 7dt

(-a eos t, -¿7 se/? 0), ahora calculamos

.d r d r

B = ------- x — -dt d r

1

■a sen t -acost

jacost

-a sent

kb0

(ab sen t , eos t, a“ )

—>B = (absent,-abcost,a ) i? 1=

2, i? , absent B = ------- = ( abeost a

si a2 + b2 asía2 +b2 asía2~+'b2

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b s e n t - b c o s t b

yja2 + b 2 yja2 + b 2 yja2 + b 2

—> —> —N = B x T =

i j k

a b s e n t - a b c o s í a

—.a s e n t a eos t b

- ( - ( ab2 + a3) eos /, - ( a b z + a J ) s e n t , 0 )

N = ( ab2 + a3)V c o s 2 t + s e n 21 = a(a2 +b2)

NN = —— = ( - eos t, - s e n t , 0 )

I N I

L u e g o la ecuac ión de la rec ta ta ng en te que pasa p o r e l p u n to

(a eos t, a sen t, b t) es: x - a eos t _ y - a s e n t _ z - b t

-a s e n t a eos t

L a rec ta b in o m ia l es: j t - ¿ i c o s / _ y - a s e n t _ z - b t

b s e n t - b c o s t a

L a rec ta n o rm a l p r in c ip a l se tie n e : x - a eos t y - a s e n t z - b t

eos / s e n t a

L o s coseno d ire c to re s son:

-a s e n t n a e o s / beos a = , ......... — , eos [5 - -r ■■ =....= , eos / ='Ja* ~+b2 4 a -2 + b 2

Y lo s cosenos d ire c to re s de n o rm a l p r in c ip a l son:*

eos P x - s e n t , eos y x = 0eos a x - eos / ,

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2094

2095

E s c r ib ir las ecuaciones de los p lanos que fo rm a n e i te tra e d ro in tr ín s e c o de la¡ f : ■ . • '■ t

c u n a x = t, y = t2 , z = P en e l p u n to M (2 ,4 ,8 ) .

Desarrollo

Sea r (t} = (/, r , t ) , de donde se tie n e :

— = (1 .2 / ,3 r ) dt para t = 2

d 2 r = ( 0 ,2 ,6 0

-> d rdt

- (1 ,4 ,1 2 )

i 2d r

dt— = ( 0 , 2 , 12)

— —)■2d r d~ r

B = x —~dt

l1

0

J42

—> A'12

12( 2 4 , - 1 2 ,2 )

L a ecuac ión de la ta ng en te en el p u n to M (2 ,4 ,8 ) se tiene :

a* - 2 v - 4 o

La ecuac ión del p la n o o sc u la d o r es:

2 4 (x - 2 ) - 12 (y - 4 ) + 2 (z - 8 ) = 0 de donde 12 x - 6y + z -- 8 = 0

L a ecuac ión de l p la n o n o rm a l es: l ( x - 2 ) + 4 (y - 4 ) + 12 (z - 8 ) = 0

x - f 4 y + 12z — 114 = 0

E s c r ib ir las ecuac iones de lo s p lanos que fo rm a n el te traed ro in trín se c o de la c u rva x + y + r = 6 , x “ - y* + z^ = 4 en el p u n to M ( 1 ,1 ,2 )

Desarrollo

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C:x 2 + y 2 + z 2 = 6

x 2 - v2 + z 2 =4p a ra m é triza n d o la c u rva se tie n e :

sum and o las dos ecuac iones se tie n e :

'y * ) * ) I O2x"'+2z = 1 0 => x +z = 5 => z = V 5 — jc adem ás v “ =1 - y = l

Sea r(t) ~ ( / , ! , V s T 2 ) para t = l se tiene :

7xo=(i,o,-7=4=) => 7(i)=(i,o,-7)7 5 - t 2 2

la ecuac ión de l p la n o n o rm a l es:

1( a - 1) - 0 ( v - 1) ~ — (z - 2 ) = 0 de donde 2x - z =: 0

;• '(/) = (1,0, — 7= ) :=> r \ t ) = (0 ,0 ,----------------- => r"(l) = (0,0,7 5 ~ 2 (5 - ñ 2

^£ = r \ \ )x r ”( l )

k

1 0 —

0 0 -

O

L a e c uac ión de l p la n o o sc u la d o r es: 0 (x - 1 ) + — (y - 1 ) + 0 (z - 2 ) = 08

de donde se tiene: y - 1 = 0

OO i ÍS

i

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N = B x T =

i

0

1

J58

O

->k

O

2

( 1 6 ’ ° ’ 8 }- — ( 1, 0 , 2 )16

L a ecuac ión de l p la n o re c tif ic a n te es: 1 ( x - 1) + 0 (y - 1) + 2 (z - 2 ) = O

2 x + z - 5 = O

2096 H a lla r las ecuac iones de la tangente , de la n o rm a l p r in c ip a l y de la b in o rm a l eni4 P t2u n p u n to a rb itra r io de la c u rva : x = — , y - — , z - — . H a lla r lo s p u n to s en4 3 <2

que la tang en te a esta c u rva es p a ra le la a l p la n o x + 3 y + 2 z - 10 = 0

Desarrollo

t4 t3 r Sea r {t) = {— ) =>4 3 2

,3 ,2

r " ( í ) = (3 / , 2 / , 1)

B = ~r\t)x r"(t)

—>/

—» j

—> k

/ 3 t2 t

3 í2 2 / 1

—> -> —i 7 k

N = B x T = - / 2 2 r 3

r 1 / 2 t

= ( í 6 + 2 f 4, / 3 - - 2 t h)

- P { r + 2 t , \ - t H, ),

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2097

4 1 2t t tL a ecuac ión de la tangen te que pasa p o r el p u n to M ( — , — , — ) es:4 3 2

t t rx V z ------

4 _ 3 _ 2t2 t 1

, 4 í 3x V -- - z ------

4 ' 1 oL a ecuac ión de la b in o rrn a l es: - -- 1 21 -~t2

4 1 0t t rx V - - z -------4 3 2L a ecuac ión de la n o rm a l p r in c ip a l es: - -2t + t4 1 - I 4- t 2/3

S i P: x + 3 y + 2z - 10 = 0 en tonces

~r\t)HP « ~r\t) Jl N = ( L 3 ,2 ) r \ t ) .N = 0

(1,3, 2 ) . ( í3, í 2 , 0 = 0 => íi +3t1 +2t = 0

t(t2 +3t + 2) = 0 => t = 0 , t = - 1, t = -2

para t = 0 , x = 0 , y - 0 , z = 0

t = - 2 , x = 4 , y — — , z ~ 23

«■

H a lla r las ecuac iones de la tang en te , de l p la n o oscu 1 ador, de la n o rm a l0 - yt 2p r in c ip a l y de la b in o m ia l de la c u rva x = t, y = - t, z = — en el p u n to t r;r 2 .

C a lc u la r lo s cosenos d ire c to re s de la b in o m ia l en este p u n to .

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D e s a r ro l lo

Sea r(t) = ( / , - / , *— ) => ( 1 , - 1 , í )

r ' \ t ) = (0,0,1)

para t = 2 , 7* = ( 1, - 1, 2 ) , r " ( 2 ) = ( 0 , 0 , 1)

i j k1 -1 20 0 1

= ( - 1 - 1, 0 )

N = B x Ti j k-1 - 1 0

1 -1 2= ( -2 ,2 ,2 ) = 2 ( - l , l , l ) = -2(1,-1,-1)

para t = 2 se tie n e x = z = 2, y = -2 , P (2 ,-2 ,2 )

L a rec ta tangen te : x —2 >> + 2 z - 2

R ecta n o rm a l es: x - 2 v + 2 z - 2

1 - 1

J

e l p la n o o sc u la d o r es: 1 (x - 2 ) + 1 ( y + 2 ) + 0 (z - 2 ) = 0

L o s cosenos d ire c to re s de la b in o m ia l es: c o s a = —J=r, eos /? =V 2

—p r , eos y = 0 V 2

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2 0 9 8 E s c r ib ir las ecuac iones de la ta ng en te y del p la n o o sc u la d o r a las c u rva s s ig u ien tes .

7 7Ta ) .v = R~ eos t , y = R sen t eos t, z = R sen t, cuando t = —4

b ) z = x 2 + y 2 , x = y en e l p u n to ( 1, 1,2 )

c) x 2 + y 2 + z2 = 25 , x + z = 5 en e l p u n to ( 2 , 2> /3 ,3 )

D e s a r r o l lo

—a ) Sea r(t) = (Rcos t ,Rsentcosí ,Rsent)

—>r ’( í ) = (-Rsen 2tyRcos2t,Rcost)

r \ t ) - ( - 2 / ? eos 2t, -2R sen 21, - R sen t )

ti R R Rpara t - — , x - — , v = — , z = —j=r4 2 2 V 2

r ’( ^ ) = = - * ( 2 , 0 , - V 2 )

y —X _ 2 y ~ 2 ‘ V 2L a recta tang en te es: — —— = ----------- = ------- ;=—

2 0 —v/2

i? R r~ RL a ecuac ión del p la n o n o rm a l es: 2 (x - - - ) + 0 (y - — - y 2 (z — 7= ) =f 0

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2099

b ) z = x +y , y = x => z = 2x . Sea r(t) = (t,t,2t )

C a lc u la n d o t = ? se tie n e (t,t,2t2) = (1 ,1 ,2 ) => t = l

r ' ( 0 = (1 ,1 ,4 0

r " ( 0 = (0 ,0 ,4 )para t = 1

r ' ( l ) = (1 ,1 ,4 )

> 1 (1 ) - ( 0 , 0 , 4 )

la rec ta tang en te es: jc — l y — l z — 2

L a ecuac ión d e l p la n o n o rm a l es: 1 (x - 1) + 1 ( y - 1) + 4 (z - 2 ) = 0

x + y + 4 z - 10 = 0

c) x 2 + y 2 + z 2 = 2 5 , x + z = 5 = > z = 5 - x

.v2 + y 2 + (5 - x ) 2 = 25 => 2;c2 + y 2 = 1 0 x

V 10x - 2 x 2 de donde r (¿ ) = ( ¿ ,V l0 í - 2¿2 , 5 - t ) para t = 2

V l O í - 2 r7 ( 2 ) = (1 ,— 7= , - l ) = - L ( 2 > / 3 , l , —2> /3)

2 V 3 2 V 3

L a rec ta de la tang en te es x - 2 _ y - 2 \ Í 3 _ z - 32%/3 -2^3

L a ecuac ión de l p la n o n o rm a l: 2y¡3(x - 2 ) + l(y - 2^3) - 2y¡3(z -3 ) = 0

Es d ec ir: 2a /3x + v - 2V3z = 0

2 .Hallar la ecuación del plano normal a la curva z = x z + y , y = x en e l origen de coordenadas.

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2100

Desarrollo

C2 2 z - x - y

y = xp a ra m é triza n d o la c u rva se tiene :

y = x , z = x 2 - x2 = 0 de donde a(t) = (t,t, 0 ) , para t = t0 se tie n e

a(t0) = (t0,t0,0) = (0,0,0) => ¿0 = 0

« •(0 = ( 1, 1, 0 ) => a \ 0 ) = ( 1, 1, 0 )

la ecuac ión de l p la n o n o rm a l es: 1 ( x - 0 ) + l ( y - 0 ) + 0 (z - 0 ) = 0

x + y = 0

H a lla r la ecuac ión d e l p la n o o sc u la d o r a la c u rva x = el , y = e~l , z = 7 2 / en el p u n to t = 0 .

Desarrollo

Sea r(t) = (et9e t ,y¡2t)

? ’( / ) = 2 ) _

r " ( í ) = ( e ' , e - ' , 0 )

r ’( 0 ) = ( l , - l , V 2 )

7 " ( 0 ) = ( 1, 1, 0 )

5 = r ' ( 0 ) x r " ( 0 ) =? j

1 -1 V 2

1 1 0

= ( - V 2 , V 2 , 2 )

1 .

L a ecuac ión de l p la n o n o rm a l es: -y¡2(x - 1) + \¡2(y - 1) + 2 (z - 0 ) = 0

y¡2x - \ f l y - 2 z - 0

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2101 Hallar las ecuaciones de los planos osculador a las curvas:

o 'y o o oa ) jc“ + = 9 , -+■ - 3 en el p u n to ( 2 , 1,2 )

D e s a r r o l lo

C>’ = v ? - 3

r = V 1 2 - 2 ,v2

Sea

'■’( 0 = ( 1,■2?

)

r " ( í ) = ( 0 ,

7 r - 3 ’ V l 2 - 2 í 2

- 3 24 =>—>

B = 7\2)x~r\2)

3 ’2 (12 - 2¿2 )

— -> —>/ j1 2 - 2 —

0 - 3 - 3

r \ 2 ) = ( 1, 2 , - 2 )

^ "(2 ) = ( 0 , - 3 , - 3 )

( - 1 2 , 3 , - 3 )

L a ecuac ión de l p la n o o sc u la d o r es: -1 2 (x - 2 ) + 3 (y - 1) - 3 (z - 2 ) = 0

4 x - y + z = 9

b) x 2 = A y , x3 = 2Az en e l p u n to (6 ,9 ,9 )■4

Desarrollo

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— > p pSea r(t) = (t,— , — ) donde t = 6

4 24

t t

1 tr \ t ) = ( 0 , - , - )

7 x6) = (1,:3 , | ) = | (2 ,6 ,9 )¿ L * j L *

> ( 6 ) = ( 0 , i | ) = 1 ( 0 ,1 ,3 )

B = r ' ( 6 ) * r " ( 6 )1 j k2 6 90 1 3

= (9 ,- -6 , 2 )

L a ec u a c ió n del p la n o o sc u la d o r es: 9 (x - 6 ) - 6 ( y - 9 ) + 2 (z - 9 ) = 0

9 x - 6y + 2 z = 18

c) x + z =a , y +z~=b~ en c u a lq u ie r p u n to de la c u rva ( x 0 ,^ 0 , z 0 )

D e s a r r o l lo

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2102

i

B = r \ t )x r \ t ) =

j

a‘j b 2 - 12

¿ 22 .2x3

k

1

0

( b - z 2)(a2 - t 2)2

[ b 2 ( a 2 - t 2 ) 2 , a 2 ( b 2 - t 2 ) 2 , - t 2b 2 + ¿ 3 a 2 )

1 ( ¿ 2 X o , a 2 ^ o , - Z o ( - ¿ 2 + a3 3• V o

L a ecuac ión de l p la n o o sc u la d o r es:

b 2x l ( x - x 0) + a 2Jo (.v - j 0 ) + z¿ ( - 6 2 + a 2 ) (z - z0 ) = 0

b 2 x^x - a2Vq y + ( —b 2 + a 2 )zqZ =b2x^ + Jq + Zq ( - ¿ 2 + a 2 )

= b2(x04 - z04 ) + a 2(jo4 + z04 ) = a2¿>2 ( a 2 + b2 - 4 z 0 ) + 2 a 4z04

H a lla r las ecuac iones d e l p la n o o sc u la d o r, de la n o rm a l p r in c ip a l y de la b in o rm a l a la c u rva y = x , x = z en e l p u n to ( 1, 1, 1).

Desarrollo

y =xX = z

=> <x = y

z - y

Sea r(t) = (t2, t , t4) , t = 1

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2103

r '(0 = ( 2 Ú 4 /3)

r \ t ) = (2 ,0 ,1 2 r)

r'(l) = (2,1,4) = JO )

7"(D = (2 , 0 , 1 2 )

B =1 j k2 1 42 0 12

= (12 ,-16 ,-2 ) = 2(6, -8 ,-1 )

La ecuación del plano osculador es: 6(x - 1) - 8(y — 1) — l ( z — 1) = 0

— —y —yN = B x T

z + 3 = 0

— > — »i j k6 -8 -12 1 4

= (-31, -26 ,22) = -(31,26, -22)

La ecuación de la recta binormal que pasa por el punto (1,1,1) es:

x -1 y - 1 z -1-8 - 1

La ecuación de la normal principalx —1 y -1 z — 131 26 -22

Hallar la ecuación del plano osculador, de la normal principal y de la binormal! •

a la hélice cónica x = t eos t, y = t sen t, z = bt en el origen de coordenadas. Hallar los vectores unitarios de la tangente, de la normal principal y de la binormal en el origen de coordenadas.

Desarrollo

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r ' ( t ) = ( c o s í sen t,sen t - f 1 c o s í , b)—r"(t) = (~2 sen t - i eos /, 2 eos/ - 1 sent, 0)

i • : '• <5 : r P ) = ( l ,0 ,6 )= 7 ’(l)

/•"(O) = (0 , 2 , 0 )V

B = r'(0).v r"(0) =

— —) —£i j té

1 0 b0 2 0

I" ... *

“Vi

ri (-26 ,0 ,2 ) = 2 (-6 ,0 ,l)

La ecuación del plano osculador es: -b(x - 0) + 0(y - 0) + 1 (z - 0) = 0

-bx + z = 0 n i

— > - >

N - B x T

I Hii; n ‘;: í'í í/i o.í

—> ->' j k-b 0 11 0"/ ; i O íí! í

n;

: ij'. i4::i

La ecuación del plano rectificante que pasa por el punto (0,0,0) es:ÍT! i, l

i ■ i-10(x - 0) 4- (b +1)(y - 0) + 0(z - 0) - 0 /. y = 0

y la ecuación de lá binórrñál (recta) es la intersección de los planos normal yl.í O í *„ ;; i ' í. j, ? ,¿ ¿ Á / ' -J ¿i Lf ■' • üj f ¡jc + bz -- 0

rectiíicante es decir: ^¡ . i 'í 5

V = 0f' : ! : ¡V'

6.20. CURVATURA DE FLEXION Y DE TORSION DE UNACURVA EN EL ESPACIO*- Vler. CURVATURA DE FLEXION.-i .. - jf •

La curvatura de flexión de una curva es un punto M, es el número

k -1 <p

= lim -H-y donde 9 . es el ángulo de giro de la tangente (ángulo deR As-a0

contingencia) en el segmento de curva MN y As, la longitud del arco de este segmento de curva R se llama radio de curvatura de flexión.

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Si la curva se da por la ecuación r == r (s ) donde s es la longitud de arco, tendremos:

para el caso en que la curva se da en forma paramétrica general, tenemos:

1

—> > d r d " r ,

dis^ 1R • d r >3

2do. CURVATURA DE TORSION.-

Se entiende por curvatura de torsión de una cura en el punto M, él número

donde 0 es el ángulo de giro de la binormal (ángulo de contingencia de la curva

M N . La magnitud p se llama radio de curvatura de la torsión.

Si r = r (s ) se tiene:

d r d r d tds ds2 ds

P dsr f r

ds'

d¡5

■V ' I?f Á'

donde el signo menos se toma cuando los vectores — y v tienen la mismads

dirección, y el signo más en el caso contrario.

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2104

-> —>S i r - r (t) donde t es u n p a rá m e tro a rb itra r io se tend rá :

3ra. FÓRMULA DE FRENET.-

d r _ V dV r P dJS Vdt R ’ dS R P ds P

D e m o s tra r , que s i la c u rv a tu ra de f le x ió n es ig u a l a cero en to d os lo s p u n to s de u n a lín e a , esta es u n a recta .

Desarrollo

D e l tr ia n g u lo Bkl^ se tie n e :

BK - BL + L{k donde LAk = t

—com o la lo n g itu d del v e c to r t es e l m is m o entonces

t | = | t + At ¡ p o r lo ta n to é l A Bkl^ es isósce les y e l á n g u lo 0 es e l v é rt ic e de

la tang en te a la c u rva cuando pasa del p u n to A a l p u n to B , com o 6k = l im | — | c o m o 0 = 0, puesto que e l á n g u lo de ro ta c ió n se c o n fu n d e con

As-»0 As

0la recta. L u e g o se c o n c lu ye : k = l im j — ¡ = 0As—>0 As

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2105

2106

2107

Demostrar, que si la curvatura de torsión es igual a cero en todo los puntos de una curva, esta es una curva plana.

Desarrollo

La demostración es similar al ejercicio 2104, por lo tanto se deja como un entrenamiento.

9 9 9Demostrar, que la curva x = 1 + 3t + 2t , y - 2 - 2t + 5t , z = \ - t es plana,

hallar el plano en que se encuentra.

Desarrollo

Como

x

y= l + 3í + 2 r

= 2 - 2 t + 5t2

z — 1 — t

Eliminamos el parámetro t, se tiene:

2x — 2 + ót + 41

3y = 6 - 6 t + 15/'

19z = 1 9 - 1 9 / 2

- (1)

- (2 )

.. (3)

sumando las tres ecuaciones tenemos 2x + 3y + I9z = 27, que es la ecuación del plano en donde se encuentra la curva.

Calcular la curvatura de las líneas

a) x = eos t, y = sen t, z = cosh t, cuando t = 0

Desarrollo

Sea r (¿) = (eos t, sen t , cosh t) , de dondeV .

r \ t ) = (-sen t, eos t, senh t) r'(0) = (0,1,0)

r"{t) = ( - eos t , -sent , cosh/) r"(0) = (-1,0,1)

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r'(0)x r \ 0) =i0

- 1

—> ->j k1 0

0 1

= (1, 0 , 1)

k _ r '(0 )x r" (0 ) | _ | (1, 0 , 1) | ^| p (0) |3 I (0 , 1, 0 ) |3

b) x2 - y 2 + z 2 = 1, y 2 - 2x + z = 0 en el punto (1,1,1)

Desarrollo

2 2 , 2 ix —y + z =1 Sea C : paramétrizando la curva se tiene:

y 2 - 2 x + z = 0

9 9Al suma las dos ecuaciones se tiene: x + z - 2x + z - 1, completando

2 2 1 1cuadrados se tiene: (jc — 1) + (z~ + z + —) = 2 + —4 4

, v2 , 1x2 9 1 3 1 3(jc — 1) + (z + — ) = — entonces x = 1 + — e o s í , z = v — sent

2 4 2 2 2

. 1 3 5 3y = 4/2 + 3cosM se«í => y = J — + 3 c o s í— sent2 2 V 2 2

3 1 3 5 3Sea r (í) = (1 + —cosí,— + — sent,J — + 3 cosí — se«í)

2 2 2 V 2 2

3 sent + — cosí3 3 ?rYí) = (— sent,—cosí ,-----, ....= = = = = )2 2 r

2 J — + 3 cosí — sent V 2 2

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2108

- * 3 3 3 r \ t ) = (— eos/,— sen / ,— (

2 2 2 /5

eos /sent

+ 3cos/ — sent 2 2

/ COS/x2 ^ (sent-\ )

25 3 -( - + 3cos/ — sent)2 2 2

))

;r 3 3 -* k 3 3r ’(—) = (— , 0 , - —) , r"(-) = (0, — ,— )

2 2 2 2 2 2

3" 2

0 - - -

71 -* 7Tr \ - ) |

I r X f ) P

4 40 - 1

9= - ( - U , D

2 4

3 32 2

9 /r4 _ 3 >/3 _3V ó3 ^ 2V 2 4

Calcular las curvatura de flexión y de torsión de las siguientes curvas en cualquier punto

a) x - e l eos t , y = elsen t , z - e t

D esarrollo

—>Sea r (/) = (e1 eos /, e sen t ,e‘)

—►r \ t ) = (V eost - e*sen / ,¿ se n t + el eos/ ,el )

—r "(/) = (-2 sefl /.e*, 2 eos )

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r \ t ) x r"(t) = e (cos t - sent)

e* ( -2 sen t)

j k

e* (sen t cosí) e*

e* (Icost) e

= e2t (sen t - cos t, -(eos t + sen t ), 2 )

r"'(t) = (-2e* (sen t + cos t\2e* (cos t — sen t),e*)

^r'(t). r"(t)x r'"(t) =

e* (cost - sen t) e* (sen t + cos t) e*

- 2 sen t .e* 2 cos t.e* e*

-2e* (sent + cos¿) 2e* (cos t —sen t) e*

- e3tcos t - sen t sen t + cos t 1

- 2 sen t 2 cos t 1

-2(sent-\-cost) cos t - s e n t 1

= 2e

r'(t) |= 4 l e *, | r'(t)x r"(t) |= y¡6e2*

kr \ t )x r"(t)| 4~2e-1T -

r'(t). r"(t)x r'"(t) e-t

-y ->r\t) \ ! r \ t )x r"(t) |‘

b) x = a cosh t , y = a senh t, z = at (helice hiperbólica)

Desarrollo

r (t) = (a cosh t , a senh t, at) r '(/) = (cz ao/?/z /, a cosh t, a )

—yr"(t) = (a cosh t, a senh t,0) , r"'(/) = (a.sett/z¿,¿zcoshí,0 )

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2109

r \ t )x r \ t ) =

—> i

->j

— » k

asenht a cosh t aa cosh/ asenht 0

(-<3 senh t,a cosh t , - a ‘

r \ t ) | = \Í2a cosh t , | r'(Y)* r "(/) | = J l a 1 cosh t

r\ t) . r"(t)x r'"(t)asenht a cosh t a a cosh t asenht 0

asenht a cosh t 0

= a'

k =r \ t )x r \ t ) \ V2 ¿z2 cosh/ 1

r \ t ) 2 ^ a 3 cosh31 2a cosh2 1

T -a' 1

r \ t )x r \ t ) 2a 4 cosh2 t 2a cosh2 t

Hallar los radios vectores de curvatura de flexión y de torsión de las siguientes líneas en un punto arbitrario (x,y,z)

2 3 2a) x = 2a y , x - 6a zDesarrollo

C :x = 2 ay

x 3 = 6 a2 z

xv =

2a

A6 a1

t 2 / 3Sea r ( t ) - ( t ,— ,— - ) , derivando

2 a 6a~

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?'(í) = ( 7 " ( í ) = (0 , - , 2 r ) , P"(í) = (0 , 0 , - Ua a aÁ a

r \ t )x r"(t)

— —> ->i j k

1t 2ra 2 a 2

01 t

oa

= (t

' A2a3 ’ a 2 a

t2 /4 í2 + 2 a 2' ,W I = J l + - + 7 7 = -----------

a 4a' 2 a'

-> / 2 + 2 a 2r'(í)*r"(OI =

2 a

r\t)r'(l)x 7"(t) |

(í2 + 2 a 2 ) 2 . ( r '( í )x r ''( 0 ):— ; p =

4 a' r \ t ) . r"(t)x r m(t)

(t2 + 2 a 2 ) 2

4 a 3

b) x - 3 p y , 2xz = p ÁDesarrollo

Cx3 = 3 p 2y

2 xz - p 1

y =V

.2P2x

t3 z?2Sea r (/) = (í, — —, — ), derivando

3p 21

V d 2 21 t)2 2 3r - ( 0 = ( l — , ~ r ) , r " ( O = ( 0 — , ^ r ) , r m(t) = (0 , —2 ’ .3P 1 P A t4

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gr ' ( t ) . rX t)xrm(t) = —

t

r \ t ) |3 ( / + 2 r4 ) 2

(7 '( /)* r" (0 ) 2 (/74 + 2 í4 ) 2

2110 Demostrar, que los componentes tangencial y normal del vector de aceleración

dV V1w se expresan por las formular wT = r , vv = - — v , donde V es la

dt R

velocidad, R radio de curvatura de flexión de la trayectoria, x, v los vectores unitarios de la tangente y la normal principal a la curva.

Desarrollo

Consideremos el gráfico siguiente:

A

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Si en un instante t, un punto móvil se encuentra en A, determinado por el

vector O A - r ( t ) de acuerdo a la figura y en otro instante t + At se

-> -»encuentra en el punto B determinado por el vector OB = r( t + A t ) .

Luego el vector AB se denomina vector desplazamiento del punto A, la razón

del vector desplazamiento AB con respecto al incremento correspondiente al tiempo t se denomina velocidad media durante un tiempo.

t7 A B A rV med = ------= = AL

At At

La velocidad del punto en un instante dado se determina por:

—> —> —>A r d r d r

V = lim Vmed = l im = — es decir: V =A/—>o A/—>0 At dt dt

ahora tomemos la longitud s del arco, al cual a s consideremos como función—> —> —>

d k d r ds d rdel tiempo t. Luego tenemos V — ------ = -------- .— - t v donde t — — es un

dt ds st dsds

vector unitario de la tangente y v = — es el vector velocidad.dt

dvLa aceleración w de un punto es w = —

dt

ds d 2s d r . ,Como v = — => vv = — — como V = ------= tv ademas

dt d r ds

dV d . x dV T_ d r d r d r dsw = ----- = — (r,v ) = r + V pero — = — .— entonces se tiene:

dt dt dt dt dt ds dt

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2111

dV Trdr ds dV TTi d zw = r + V . =T + V -----dt ds dt dt ds

dV vV¿w = r H pero w = wr + w.

dt R r v

dV V2 dv V2Luego wr + wv - r + — v entonces \vr = r — , w = — v

T dt R dt v R

Por la hélice circular R(t) = (a eos t, a sent, bt) se mueve uniformemente un

punto con velocidad v. Calcular su aceleración w.

Desarrollo

Como R(t) = (a eos a sen tybt) , derivando d Rdt

(~a sen t, a eos t,b)

d 2 R d 2 R

dr— = ( - a e o s t , - a s e n t , 0) ; — — = ( a s e n t , - a eost ,0 )

dt'

d R d R •*— r -

dt dt

/-a sen t -acost

Jacost -a sen t

kb0

2= (ab sen t, -a b eos t, a )

V2como wv = — v pero

R

d R d Rx1 dt drR

a

( df ?dt

a + b 4

Luego w.a V 2

Va + b

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2112 r • 2 3La ecuación de un movimiento es r(¿) = (t,t ,t ) determinar en los instantes

t = 0 , t= 1 .

1) La curvatura de flexión y de la trayectoria.

2) Los componentes tangenciales y normal del vector de aceleración del movimiento.■, ' 1 -> 1 ' ' í % r , í ' y • ' / . ‘ ■ *. .* %

• s : v • » . • ... i ; * -i: l. . K .? ; • ■■■' • r: f í

Desarrollo

Como r (t) = (f ,/2, /3) , derivando se tiene: ■U ’ ; i: i■ ' 'i' rw J , > ?:

/•’(?) = ( 1 ,2 / ,3 r ) , /■"(*) = ( 0 , 2 , 6 0 , r " ' ( / ) = (0 ,0 ,6 )i r ' - ■ i ; ! , } ; .. ! ‘ i f ' . f t . r \ % l .i' y 3 (,■ : i f

para t = 0 , r '(0 ) = (1, 0 , 0 ) , r"(0 ) = (0 , 2 , 0 ) , r m(0 ) = (0 , 0 , 6 )

—» —»->i j

—> &

r ' ( 0 ) j t r " ( 0 ) = 1 0 0 = (0 ,0 ,2 ) => I0 2 0 •#

-> —>

r'(0)x r"{0 ) |= 2

k 1 | r ' ( 0 ) x r'(0 ) I 2 _ g

* | r ' ( 0 ) 1 1

r ’(0 ) | = 1

componente tangencial wr = ? y la normal wv - ?

— y'i ■ / "• ' •• :l ■■■ . \ ' í :¡ "V = — = ( l ,2 r .3 r ) pero F =1 F | = ó + 4 r + 9 í4

d t

entonces vr¿ F 4/ + 18F

para t - 0 se tiene w

dt Vl + 4 r + 9 í4

dVdt

- 0 . Luego u’r - 0 , wv - 0

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CAPITULO VII

INTEGRALES MÚLTIPLES Y CURVILÍNEASs -1 • i.} i. ? 7 j

7.1. INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS RECTANGULARES.-

lro . CALCULO INMEDIATO DE INTEGRALES DOBLES.-

Se llama integral doble de una función continua f(x,y) sobre un recinto cerrado y acotado S del plano XOY al limite de la suma integral doble correspondiente.

f ( x , y ) d x d y = lim > >max Atfj —>0 ¿Lmmd émmmámax Ay k ~>0 i k

... (1 )

donde Ax¿ = xj+l - x ¡ , Auk =Ava+| - y k y la suma se extiende a aquello valores de i y k, para los que los puntos (x ,, y k) pertenecen al recinto S.

2do. COLOCACIÓN DE LOS LIMITES DE INTEGRACIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE.-

Se consideran dos formas principales de recinto de integración.

l ) El recinto de integración S, está limitado a izquierda y derecha por las

rectas x = xx y x = x2 (x2 > X j), mientras que por abajo y por arriba lo

está por las curvas continuas y = (p} (x) e y = <p2(x) ( P i W - <P\ (x ))

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Integrales Múltiples y Curvilíneas 291

Luego la integral doble se puede realizar reduciéndola a una integral reiterada de la forma.

© El recinto de integración S, está limitado por abajo y por arriba por las rectas y, = y e y 2 = y (y2 > y¡) mientras que por la izquierda y por la

derecha lo está por las curvas continuas x = (px(y) , x - { ¡ /2{y)

(y/2(y)>y/\(y))

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2113

2114

Luego la integral doble se puede realizar reduciéndola a una integral reiterada de la forma.

*yi eviiy) m m í *)f ( x , y )d x d y = j dy | f { x yy )d x = j ( | f (x ,y )d x )dy

s

Calcular las siguientes integrales reiteradas.

w (x +2y)dx

Desarrollo

dy( (x2 + 2 y)dx = (x2 + 2 y)dx)dy

= J V U 2 x y ) / ' d y = 1 ( 1 + 2 y+ = - + 4 = — + 3

L í

dy

(x + y )Desarrollo

J3 J (x + y Y J) J (x + y f i x + y f i

f (— -------- -—)dx = -[ln |x + 2 | - l n | x + l | ] /x + 2 x + 1 '

4

3

l n | ^ l l | / “ = —(ln— — ,n —> = , n ~ x + 1 / 3 5 4 24

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2115

2116

f dx f xldyi + r

Desarrollo

Í n j ; r x 3 / ] /r— x~ a x = ---------/ = —4 12 / o 12

H x'Vv

JVA

Desarrollo

f Aí i ? = f - f

■(— - — ) / 2 = - [ - - 4 ) - ( - - - ) ] = — ] = —6 4 / i 3 6 4 3 12 12

í " í2117 I dy I ( x + 2 y)dxJy2 -4

Desarrollo

j . ^X + = (x + 2v)dx)dy = J ( ^ - + 2 x v ) j dy

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4 i 3 (~y

+ y55

- j U -243

5

4 A 3 . o 2

/ + ^ 3 + 1 8 / + 9 j ) / 33

243-8 1 + 72 + 162 + 27) - (--------8 1 -7 2 + 162-27)] = 50.4

f n mdep

Jas*

2118 I d o I r drm sen q>

Desarrollo

r n m f 2* i** t * V2 / ad(p I r dr - I ( I rdr)d(p= I — j d(p

Ja sen (p J) vasencp ^ asen(p

1 {2/r a2 C2= — I (a2 - a 2sen2(p)d(p = — I cosA (pd(p2

a (l + cos2 <p)d<p = ^ W + ^ y— I (l + cos2 (p)d(p- — [cp +o

2 2 a a n— (2 7i + 0 - 0 ) = ------

f K mdep I rd r =

va sen (p

a n

2119K*2

Kd(p

í

COS (p2 2r sen (pdr

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Desarrollo

n ' k¿o eos cp tucos (p| d(p I r^sen ( p d r - | ( | r~ seiCcp dr)d(p

n*7 r 3 ? , 3cos ‘

— sen~(p d(p * 3 / o

n

" p «3 y a

27 ¡z 3eos (p.sen'(pd(p

JL 3 5 A21 12 „ 2 x "> , 21 sen íd sen'cp. / ->(\-sen~(p)sen (pcoscpdrp = — (-------------- -— ) / ^3 3 5

2 2

71

l

2120i-y

27 1 l 1 1 27 2 2 5- 3 12— [(---- ) -(— + ")] - — ( ) - 18(---:-) - — - 2.43 3 5 3 5 3 3 5 15 5

V i - * 2 - .y 2 dyDesarrollo

sj\ - x 2 - v2 c/v = / 2 2 yj\ — x - y dy)dx

fl _ | _ v 2= | ( ~ ^ \ ~ x - y + —- — aresen

V i — v 2

V T-j=-) / dx.2 / 0

í1 - X

[ (0 + —- — aresen 1) - 0 ]¿t/a:2, í

1 - x“ /r . . — í/x

■7 '2

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2121

x + y

2122

Escribir las ecuaciones de las líneas que limitan los recintos a que se extienden las integrales dobles que se indican más abajo y dibujar estos recintos.

M

yf (x ,y )d x

-1

Desarrollo

[ * ■ £ f ( x , y)dx = £ ' £ f ( x , y)dy)dx = if/a , y)dxdyD

donde D :<- 6 < y < 2

y 2^ — 1 < x < 2 - y

l 4

Y ^grafícando la región D se tiene:

Los limites de integración es de

y = 6 a y = 2

y 2De x = ------1 a x = 2 - y

4

H +9f { x , y ) d y

Desarrollo

/«3 f>x+9 fkx+9 p

dx I f ( x , y ) d y = I ( I f (x ,y )d y )d x = I i f ( x , y ) d x d y•I Jx2 J Jx 2+9 J J

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2123

fi/•*-*

2124

donde D :<1 < x < 3

x2 < y < x + 9

graficando la región

í * í

M

0-vf (x ,y )d x

0-vf ( x , y)dx

Desarrollo

i - r f ( x , y)dx)= í l ' 1' ,y )dxdyD

donde D :í

0 <

>’<

X

Los limites de integración es de y = 0 hasta y - 4, de x — y a x - 1 0 - y

K f (x ,y )dy

y < 4, graficando la región se tiene:

x < 1 0 - jy

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2125

Desarrollo

*2:

r 4

f ( x , y ) d y = í 'f f ( x , y)dy)dx = u n * , y)dx dyÍ PD

donde D :<1 < jc < 3x , grafícando la región se tiene:— < y < 2 x 3

*3 **¡25-x2

M

f { x , y)dy

Desarrollo

25-jTf ( x , y ) d y =

«í pjlí-(

•of ( x ,y )d y ) d x =

D

donde D :0 < x < 3

0 < y < y j 2 5 - x 2, grafícando se tiene:

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2126

Y

= s¡25x¿

Los limites

t*ri*r

donde D :<- 1 < x < 2

, graficando se tiene:x“ < v < x + 2

*Los limites de integración es de x = -1 a x = 2 de y - x" a y = x + 2

de integración es de x = 0 a x = 3 de y = 0 a v = V25 - x 2

f ( x , y ) d y

Desarrollo

Í

2 pv+2

( j f (x ,y )dy)dx = | |íf'

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Colocar los limites de integración, en uno y otro orden, la integral doble

J*J*/(a% y)dxdy para los recintos S qua continuación se indican

s

2!27 S es un rectángulo cuyos vértices son: 0(0,0), A(2,0), B (2,l) y C(0,1).

Desarrollo

Í C

y)dxdy = y)dy

2128 S es un triángulo cuyos vértices son 0(0,0), A(1,0) y B (l,l) .

Desarrollo

íí/ ( x , y)dx dyi)

f(x ,y)dx)dx{)

s

í í J\x,y)dx)dv

2129 S es un trapecio cuyos vértices son 0(0,0), A(2,0), B( 1,1) y 0(0,1)

Desarrollo

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tw


130

2131

(0,1)

0

íff (x, y)dx dy

sH

í 'í

f ( x , y)dy)dx) +M

/ (x, y)dy)dx

f(x ,y)dx)dy

S es el paralelogramo cuyos vértices son A (l,2), B(2,4)

Desarrollo

Y

D íff ( x ,y)dxdyx+3

( I f (x ,y )dy)dx'¿X

X

S es un rector circular OAB con centro en el punto 0(0,0) cuyo arco tiene sus

extremos en A( 1,1) y B( 1 1 ) .

W H N M I

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302 Eduardo Espinoza Ramo

2132

í*í / O , y )+ dyf

rJi-y2

-jb-f (x, y)¿/x

2-jc¿f ( x , y ) d y + f ( x , y ) d y

S es un segmento parabólico recto AOB, limitado por la parábola BOA y por el segmento de recta BA, que une entre sí los puntos B (-l,2) y A (l,2)

f*fJ-if (x , y)dy f (x , y)dx

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2133

2134

S es un anillo circular limitado por las circunferencias cuyos radios son r = 1 y R = 2 y cuyo centro común está situado en el punto 0(0,0).

Desarrollo

O OLas ecuaciones de las circunferencias son: .r + y = 1 , xz + y z = 4

í,14-x2 fi «/ 4-x-

+ I dx l f ( x , y ) d y + dx I f ( x , y ) d yl]~x2 J

f ( x ,y )d x +m

\ d y /—f ( x , y)dx +

f ( x ,y )d x + f ( x ,

está limitado por la hipérbola y2 - .v 2 = l y por la circunferencia

- + y z = 9 (se considera el recinto que comprende el origi

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2135

X2 + y2 = 9

Calculando los puntos de intersección se tiene:

-3 X * 2 + / = 9[ y 2 - x 2 = l

==> Sx — ± 2

y = ±V5

J dx( ¡9—x2

-a/9-.v2f ( x , y ) d y + dx

Í 2 p / í + x 2 /*3 p / 9 -.v2

dx I __f(x,y)dy+ dx I J'{x,y)dy =

2 J-vl+ .v“ J-V9-.V2

Í -i r-\ly2~i r -1 W9~>'dy I /(.* , j)d x + I dy | ___ / ( x , >’)¿v +

- 5 J-J9-V2 J-Vs

f ( x , y+r

i p-'Jy2 “i/ ( x , >>)¿x

+J J jy2-]

f (x, >')<&

Colocar los limites de integración en la integral doble / ( * , dy si el

recinto S está determinado por las desigualdades siguientes:

a) x > 0 , y > 0 , x + y < 1

Desarrollo

y2 - x2=1

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M

—Xf(x,y)dy)dx

í'í- V

f (x ,v )dx)dy

b) .v2 + <

Desarrollo

íí f (x,y)dxdy

s

/ ( x , y)dydx

j . ->a -v~f(x .y )dx )dy

Va"

1 "> c) x~ + y~ < x

Desarrollo

x 2 + y 2 - x => (x - —)2 + y 2 = — circunferencia de centro (~ ,0 )

Desarrollo

ííf ( x , y)ddy

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J J

/ ( x,y)dxdy

sO

x-x

■yjx—x¿f ( x , y)dy)dx

1 \+\j\-4y2

f ( x , y)dx)dy

d) y > x , x > 1 , y < 1Desarrollo

\ y ( . x , y ) d x d y

sÍ,(f/Ky)dy)dx

í ' í

f (x ,y )dx )dy

e) y < x < y < 2 a

Íi my+2a

n

Desarrollo

f { x , y)dx =

rmx - r ita fiadx I f ( x , y)d + J dx

fi&a

•feadx I / (x, y)dy + I í /(.v , y)dy

a f x - 2 a

Investigar el orden de integración en las siguientes integrales dobles.

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2136M

2xf { x ,y ) d y

Desarrollo

Sea D :0 < x < 4

. graficando la región3x2 < y < 1 2 x

ííf ( x , y ) d x d y =

D

2137f * r•I) *2x

f { x , y ) d y

Desarrollo

w

2xf ( x , y ) d y

y)dx

12

Sea D :0 < x < 1 2x < y < 3x

graficando la región

ííf ( x , y)dxdy =W .

f (x ,y )dy)dx

D

i

( f ( x , y)dx)dy + ( f ( x , y)dx)dyW

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2138f

y 2 i {*Ja - x

2 a

f ( x , y ) d y

Desarrollo

Sea D :0 < x < a

2 2 a - x2a

< y < yJa2 -graficando

íff ( x ,y)dxdy =r ¡ 2 2- x

(£ i2 a

f (x ,y )dy)dx

;(

jf ( x , y)dx)dy

¡a - 2 a y

+m

a2

la2-y2f ( x , y)dx)dy

2139 f2 a x -x

dx I / ( x ,

Desarrollo

Sea Z):

a— < x < a 2

0 < y < yjlax -

graficando

J J

f ( x , y)dx dy =m fN 2 a x - x

( I f ( x , y)dy)dxa

D

H ' » -y)dx)dy +

t - L ,

i •

f ( x , y)dx)dy

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2140

2141

r a {*j4axdx\ -

vy2ax-x'f ( x , y ) d y

Desarrollo

0 < x < 2aSea D :

V 2 ax - a*2 < y < a/4ax, graficando

íf/ ( x, y)dx dy; —a f* j4 a x

( I _ f ( xJ\J2ax-x~

Í

i fia- ¡a2~v2( I

W f ( x , y ) dx

+ f ( f ___f(x ,y)dx)dy +•J) J a+yja2- y

ly[2 a+

Jb

míaOy"

4a

f (x ,y )dx)dy

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310 Eduardo Espinoza Ramos,

Desarrollo

Sea D : <0 <.y < 1

->/r y <x<\, graficando

íff ( x , y )d x d y =

D

2142

Desarrollo

Í ' C pJ\x ,y )dx)dy

+

f(x ,y )dy)dx

í ' f »f (x ,y )dy )dx

Sea D0 < < I

, graficando

í í / ( "'f ( x , y)dx dy = ( I , / ( x ,

D

rJT*f(x,y)dy)dx +

J2f(x,y)dy)dx

+ f{x ,y )dy)dx

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2143

2144

& R

í ’ *ídx | /(.v , y)dy + | ^ dx

J2 Rr*i

’R2- x 2

f ( x , y ) d y

Desarrollo

Ir 2- y 2

f ( x ,

f fifi enx

4 f ( x , y ) d y

Desarrollo

Sea D : <0 < x < n 0 < x < sen x

, graficando

Y

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2145

2146

íí/ ( x, y)dx dy -

Df msen x

* íf { x ,y ) d y Í fvr-arsen v

dy I

varesen y

f (x ,y )d x

Calcular las siguientes integrales dobles.

J J 'x d x d y , donde S es un triángulo cuyos vértices son 0(0,0), A ( l,l) y B(0,1)

Desarrollo

ííx dx dy -a

í í /

x dx)dy

1 ídy = - | 0 2

= z i / ' = 16 / o 6

ííx d x d y , donde el recinto de integración S está limitado por la recta que

pasa por los puntos A(2,0) y B(0,2) y por el arco de circunferencia de radio 1 que tiene su centro en el punto (0 , 1).

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________________________________________ M i

Desarrollo! y '« i ¡ *»

\ j '4h ] | Tv> /.Vi | |

La ecuación de la circunferencia e s 'x 2 + (y ^ 1)^= 1 de donde X ’k 4%y - y

La ecuación de la recta,es x + y = 2\,=> x = 2 - y ^r V V.< \ • ‘.'V ,v V. V' \,i |j * § \ |0 ñ')>Vj\v> - I ív.-if.-ysKs í 5

í íx dx dv = a* £¿r)¿/y = í í / r dy

•i .* . r .

-if- [ 2 y - y ¿ - ( 2 - y r í (6y - 4 - 2y~ )dyr , \ il¡m»; í i’ ,;.í 11hív ni; 'í;’í 7. "jo.b v ” i — • *

- v ¡ !s I L

3 ■ • f -y

V* Sfr8 ) _ (3 _ 4)]

2 3 f 5 A • o Oh...)

= —[ 5 - — ] = — 2 3 6

oIloTm/'jCIJtS"í*.¿i*T»r«4 VkK V-VÍ'Í*<VÍ»VV* « W M k W m

2147 íí;dxdy *.■

• u i X\ 1

*i*í3w w

, donde S es la parte del círculo de radio a, con centro en el

TV> V

f \ -j | l .... ;vV

V o 7 ¿ r - . rj f *i —------ , ¡*i■* , | 7» f ’l . |

pú ito €)(0 ;G) situado en elvpnjnfer cuadrante.■ ' - í. i íl

Desarrollot

0 ) -y "

V -9’1A ”

Ii 8"i

■-Oy■ %

4 *a-fim aqióad«JíL^«nferencia esr i / ¡o

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314 Eduardo Espinoza Ramóh

2148

ís

idxdy

i i 2 sja~ ~x - y •>

¡mi a X (

dy

J a 2 2 2 x ~ y-)¿/x

aresen 2 = 1 2 ..2 /

¡~~2 2 Va - adx

Va - x o(aresen 1 - aresen O )dx

)

,/ * - / o

,7TX / " /ZY/

^ i O

í f 7 ¿/x d y , donde S es un triángulo con los vértices en los puntos

0(0,0), A( 1 1 ) y B( 1,1).

Desarrollo

f f í v ^ , = f ( f vJ J Jo l x

■y ?x - y”

- k

: í

í

y r T 7 x y _ / A ,í :- \¡x~ y +— aresen —I / ax

' 2 x / -x

x~ x[(0 -f-— aresen 1) - (0+— arasen(~ 1 )]dx

2 í m

x- x(— aresen 1 + — aresen 1 )dx2 2

dxX37T ‘ 1 71

0 6

y

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2149

2150

JPx y - y d x d y , donde S es un triángulo con los vértices en los puntos

0(0,0), A (10,l) y B (l,l) .

Desarrollo

JPxy - v dx dy —í « n xy — y dx)dy = f —J)3>

7 ~ / l0> -(xy - y - ) - j dy

s

Y ‘l3

1/ í ^

A (10,1) -!J( Q j ^ - 0 )d

I^ i

= l 8 .Í y 2dy = 6 v3 j

0 1 X

í íey d x d y , donde S es un triángulo mixtilíneo OAB, limitado por la parábola

y = x y por las rectas x = 0 , y = 1

ííX

e dxdy = j f ( jf e' dx)dy = j e 1’ j dy

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316 j Eduardo Espinoza Ramos

1Í 2 j «*»•*,

(yey - y)dy = ( iv' - e 1’ • ~ ) / = ( e - e ~ 4 ) (0 - 1- 0 )-2 / 0 2 2

2151 íf:x dxdy— , donde S es un segmento parabólico limitado por la parábolax + /

y# i,

y Xy por la recta y = x

Desarrollo

íí:S

xdxdy2 2 x + y

( f , - J dy n yix = t x ( - a r c t g - ) l zdx = f ' AJ' v +v" J) -v x I -- J,

(arctg 1 - arctg—)dx

m2I (-— arctg—)dxJ) 4 2

' 2t n x x , . . ¡ h í= [— - x arctg - + ln(4 + x“ )] / ».

4 2 / o

■; I, í ■■ V ; J'J'i /*• *•; i /

— + In 8 ) ~ ( 0 + ln 4 ) = ln 22 Y 4

i!? i í

2152 Calcular las siguientes integrales y dibujar los recintos a que se extiende

a) f * í+cosx

2

y senxdx

Desarrollo

Í 0 < X < 7TSea Z):^ , graficando

[ 0 < y < 1 + cosx

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ííy sen x dx dy =+ C O S X f fT 3 l 4- r n < ; r2 I v sen x / 1+C0SA

y sen x dy)dx = I -— j dx

s

T j - 1,l+co“ ,‘(1 + eos jc ) senx dx = — .3 Jb , I 3 /

K

o 121 [0 - 2 4]

b)H

y 4dy

Desarrollo

Sea D :0 < jc <

712 , graficando

cosx < y < 1

1 5tt — 16 150

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c)n i*3cosv

J > 1 *2 ___ 2sen yd x

Desarrollo

Sea D : <7T 71

< y < -2 2

0 < x < 3 cos y

ti

ííx 2sen2y dx dy =M

f& cosy2 2 x sen ydx)dy

n 7i3 ____ 2

Í 2 x sen y / 3cosy , f 2 3 2 * / «F= 9 cos y sen y dy

* 3 / o JL*2

72T

„ 5 , , 2 x 2 » sen y. / y9 I (1 - .sen >-)■*<?« cos 3; ¿fy = 9(— -----------— ) j

2 2

Antes de resolver los problemas del 2153 - 2157 se recomienda hacer los dibujos correspondientes.

2153 Calcular la integral doble I I xy2d x d y , si S es un recinto limitado por laíí.2parábola y — 2px y por la recta x = p.

Desarrollo

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ífÍ pJ2 pp

( I , xyzdx)dy

■ psíl JVÍ P^2 2 2 „

/ f / ¿ *2 p

í

V2 2 2 6

PV2 2 8 p 2

= (/ y y 7 , / P ^ _ 2 p 5yÍ2 &p5y¡2 _ 5 ^ 2 (2 _i_) 4 ^ 2 p 5

6 56/2" • -pd2»/ 56 3 7 21

J P

2154 Calcular la integral doble | Jxydxdy que se extiende el recinto S, limitado

5

por el eje OX y la semi circunferencia superior (x - 2)~ + y =1

Desarrollo

v i y= s/i • (x - 2)2 ífxydxdy = (í

xydy)dx•1)

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2155 Calcular la integral doble íídxdy, donde S es un circulo de radio a, tangente

2 a - x

a los ejes coordenadas y que se encuentra en el primer cuadrante.

Desarrollo

La ecuación de la circunferencia es:

( x - a ) 2 + ( y - a ) 2 = a 2

Y ' L

( (a .a) \a ----------| ---------- j

U. i jv ¡ y \

0 a Xy = a ± y ja 2 - ( x - a ) '

íídx dy 2 a - x r e

•Ja2-{x-a dv

-Ja2 -{x-a)2' 2a~* )dx

— -— [(a + aJa2 - ( x - a ) 2 ) - ( a - y]a~ - ( x - a ) 2 )]r/.r 2 a - x

r 2 a - x " J 5

dx - —a-j2a 2a - x 3

2156 Calcular la integral doble J J *y d x d y , donde S está limitado por el eje de

sabscisa y el arco de la cicloide x = R(t - sen t), y = R(1 - eos t), 0 < t < 2n

Desarrollo

í(l-COSÓ

- eos t)dt I y dyf f

R

, 5 i(l + cos¿) dt ~ — R k

2

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íf2157 Calcular la integral I I xy dx dv en la que el recinto de integración S está

slimitado por los ejes de coordenados y por el arco de astroide x - R eos t

y - R sen31 , 0 < t < —2

Desarrollo

2 2 3

[ a * - x 3)2 4 5 2 7f f Ma3-x3)~ j mR Î J.xy£/x¿/y = I xdx I y dy = — I (R2x - 3 R 3x 3 +3 R3x 3 - x 3)dx

80

92158 Hallar el valor medio de la función f ( x , y ) = xy~ en el recinto

S = {0 < x < 1, 0 < y < 1}.

INDICACIONES.- Se dá el nombre de valor medio de una función

f(x,y) en e. redn.o S al dañero -onde S en e,

5

denominador señala el área del recinto S.

Desarrollo

Calculando el área del recinto S

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2159

S - dy ~ dy)dx - dx = 1

f Jj*/ (x, y) dx dy - J*Jxyzdxdy

V - 16 / o 6

Hallar el valor medio del cuadrado de la distancia del punto M(x,y) del circulo9 9 9( x - a) + y < R al origen de coordenadas.

Desarrollo

A la distancia del punto M(x,y) al origen elevado al cuadrado denotaremos por:

/ (x, y) = x2 + y 2 , luego tenemos:

y *a+R *jRz-(x-aY/ = — I ( I (x2 + y 2)dy)dx

>2 , \2

R‘f

+/? -i _£.(x2^ R 2 - ( x - a ) 2 + ~ ( ^ 2 ~ ( x ~ a ) 2)2)dx = a2 +

R

f = a2 +

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integrales Múltiples y Curvilíneas 323

1 .2 . C A M B I O S D E V A R I A B L E S E N L A I N T E G R A L D O B L E ,

1ro. INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES.-

Cuando en la integral doble se pasa de las coordenadas rectangulares x e y a las

polares r, 0, relacionados con Jas primeras por las expresiones.

j x ~ r eos 0 , y := r sen 0

Se verifica la fórmula

íí / (x. y ) dx dy = I I / ( r eos O r sen 0 )r dr d0S

Si el recinto de integración S está limitado por los rayos 0 - a , 0 = jó (a <

y por las curvas r = t \ { 0 ) y r = r->( 9 ) donde r , { 0 ) < r , ( 0 ) y además son

funciones uniformes en el segmento a < 0 < p, la integral doble se puede

calcular por la fórmula.

f {0 yr) r dr dOú V'! .

vaS

Í 2 '

(0)f (<9, r)r dr

donde F(r,0) = f(r eos 0, r sen 0)

(0)F(6,r)dr se considera constante la magnitud 0.

0)• , ' ■ • ' , . ,

Si el recinto de integración no pertenece a la forma examinada, se divide en

partes, de manera que cada una de ellas represente de por sí un recinto déla

forma dada.

al calcular la integralI

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2160

2do. INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS CURVILÍNEAS.-1

En e! caso más general, si en la integral doble I h , y) dx dy se quiere pasar

de las variables x, y a las variables u y v relacionadas con aquellos por medio de las expresiones continuas y diferenciables.

x = <p(u,v), y = \j/(u,v)

que se establecen una correspondencia biunívoca y continua en ambos sentidos, entre los puntos del recinto S del plano XOY y los puntos de un recinto determinado S ’ del plano wo’v , al mismo tiempo que el Jacobiano.

/ = £(*> y)D(u,v)

conserva invariable su signo en el recinto S, será valida la fórmula.

Los limites de integración se determinan de acuerdo con las reglas generales sobre la base de la forma que tenga el recinto S ' .

Pasar a las coordenadas polares r y 0 y colocar los limites de integración para

las nuevas variables en las siguientes integrales.

j f dx J f (x ,

’s,v i» /

y)dy

Desarrollo

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2161

2162

Sea* 5r o < jc < iO < y < 1

x = r eos 0 , y = r sen 0

íf/ ( * , y) dxdy =H

f ( x , y ) d y ‘

7t 1

f4 d6 | C0S<9 / (r eos 0 ,r sen 0)r dr +

7T 1

f (r eos O, r sen G)r dr

í n x í /(^d x 2 + y 2 )dy

Desarrollo

Graficando la región sobre el cual se integra

Pasando a coordenadas polares

x = r co§ 0 , y = r sen 0

r

fXKdx 1 /'(V-x2 + y 2 )dy =

MC0S<9 f ( r )r dr

í í/ ( x ,y)dxdy donde S es un triángulo limitado por las rectas y = x, y = -x,

e y = 1

Desarrollo

Graficando la región S se tiene:

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2163


x'= r eos 0 , y = r sen 0

H

3;rTtr4

dO I / ( /e o s 9 ,r se n 0 ) rd r

n-)dyDesarrollo

Sea S :1 < X < 1

X* < y < 1

graficando la región S se tiene:

, Pasando a coordenadas polares


jt senO

Í dx Í / {—)dy = F d 6 ícos 6, f ( íg 0)r dr +Xi Jx2x X X

3 K

+ ^ d d J R / (tg @)r dr +

sen 0

eos2 # f ( t g 0 ) r d r

NOTA.- Como y - x 2 2 a» ^ sen 6r sen ü — r eos 6 => rj = 0 , r2 = ----- —eos 0

2164 íf/ ( * , y ) d x d y , donde el recinto S está limitado por la lemniscata

(x2 + y 2)2 = a 2(x2 - y 2)

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x =r cos 0 , y = r sen 0

4 2 2 o /ir - a r cos20

r = O, r = a Veos 2#

íí/ O , y ) dxdy = MVeos 2#

dO I / ( r cos O, r sen 0)r dr +

+E - í

Veos 2$/ (r cos 0 , r sen 0)r dr

2165 Calcular la siguiente integral doble, pasando previamente a coordenadas

polares J 'Jydxdy donde S es un semicírculo de diámetro a con centro en el

apunto C(—,0)

La ecuación del gráfico es: ( x - ~ ) 2 + y 2 = —2 •* 4

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2166

x 2 + y 2 - ax - O v - M a x - x

como x = r eos 0 , y = r sen 0 entonces

r2 - a r cos# = 0 => r = 0 , r = a c o s 0

íí71

y dxdy =M

pacosO K

r sen 6 rdr f T S“ Vacosé?deo

71 3 3-— [0 - 1] = —

o 12 12

Pasando a coordenadas polares, calcular la siguiente integral doble

Jf( * 2 + y 2)dxdy que se extiende al recinto limitado por la circunferencia

x2 + v2 = 2 axD esarrollo

x2 y 2 - 2ax ( x - a ) 2 + y 2 = a 2

pasando a coordenadas polares


r = 2 a r eos (9 => r 2 a eos 0

r .rdr)dO

= 2 ÍT/4 , 2acosé?

0

711 f 2 4 4 ^ _ 4 f 2 / l + COS2<9, 2d 0 = — I 16a eos OdO =%a2 Jb f 1 y d d

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2167

2168

= 2 aT l

(1 + 2 cos 2 #+ eos2 26)d9 - 'z

Calcular la siguiente integral doble, pasando a coordenadas polares

JJvü~ ~ " >’2 donde el recinto de integración S es un semicírculo de

5

radio a con centro en el origen de coordenadas, situado sobre el eje X.

Desarrollo

y = \fa2 - x2/ o o

r = VéT -x"

JPa - x ~ - v dxdv

s

£

/*Ja2-x~-------------------( I yja1 - x 1 - y~ dy)dx

re

2 JT2 ( f V« 2 ~ r 2r d r y i0 = j 2 (a 2 - r 2)* j" d O = j 1 ° *3 / o 3

Calcular la integral doble de la función f(r,0) = r sobre el recinto limitado por

la cardiode r = a(l + eos 0 ) y la circunferencia r = a (se considera el recinto

que no contiene al polo)Desarrollo

J JP/ (x, y) dx dy = | xjx2 + v2 dxdy = 2

K

b íz(l+COS#)

r~dr)dO

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2 1 6 9

2170

2a'J f ir [ ( l + c o s 0 )

í f

2 a \¿ t, „ „ i(eos ' 0 + 3 e o s ' 0 + 3 cos 0 )d 6

i i71 Z.L. 3( — -+ )a

2 9

C a lc u la r la s ig u ie n te in teg ra ! pasando a coordenadas

D esarrollo

J k i * J a " - A'2 _________________

dx y x 2 + y 2 dy

i Jo

Sea D : <0 < x < a

0 < y <s¡a2 — x~

x ~ r cos 0y = r sen 0

=> dx d v = r d r d0

F— t r+ y" dxdy = I (

(W 71a -xy¡'x2 + y 2dy)dx = j * ( r.rdr)d0

D

713 r 3 - a/ a __ ü f 2

3 / o “ l la - 12 ... a k d o ------

C a lc u la r la in te g ra l s ig u ie n te , pasando a coordenadas p o la re s

¥

~x2 - y 2 d x d y y donde el re c in to S está l im ita d o p o r Ja h o ja de

le m n isc a ta ( a “ + v ~ ) ~ = a" ( x “ - y ) , x > 0

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2171

Desarrollo

í x = r eos 0 4 ? *> o o< ==> r - a~r1' (cos“ 0 - sen^0)

y - r sen 0

0 *7 /r “ = ¿r eos 26 => r = a\¡ eos 20 , Graficando

• « ______________________________ « — «/V eos 2# _________

^ y ja ^ - x 2, - y 2 dxdv = 2 j ( sí a2 - r 2 r dr)dO

s

a3 ,n 1 6 V 2 - 2 02 3( ~ ^ )

2 ,2Caleular la integral doble | | J l dxdy , que se extiende al recinto S,

2 2 y ylimitado por la elipse — + — = 1 , pasando a las coordenadas polares

¿r ¿rx y

generalizadas r y 0 según las fórmulas — - r eos 0 , — = r 0a b

: ■ '"i- • < . j \ i;

Desarrollo

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2172

.Y

ay

= reos Ojc = arcos O v = br sen 9

J(r ,9 ) =

ÍJ

<?(*, y)d (r ,0 )

'1 -a

a rorcydr

2 » 2dxdy

ex89dy89

a eos 9 —arsen 9 b sen 9 br eos 9

a b r , Graficando

abrdr)d9 =ab f d 9 =

2abn

Transformar la integral f dx f f ( x , y ) d y , (0 < a < p, c > 0) introduciendoJ) Xxx

las nuevas variables u = x + y , uv = y

Desarrollo

Comox + y = u y — uv

í x = u( 1 - v)

J(u,v) = d(x, y)d(u,v)

\y- uv

dx dxdu dvdy_ dydu dv

, de donde

V ,

1 - V -u V u

u

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2173

calculando los limites de la integral

x - 0 , u - 0para < C 9

y - ax - uv , va

1 — v

1 + apuv

v = u . v =a 1 + p

X

dx I f ( x£

( 11 ' f ( u ~ uv> uv)u da )dvf - f1 +a

Efectuar el cambio de variable u = x + y, v = x - y en la integral

Hdx I f ( x , y ) d y

Desarrollo

X -f y - u

x - y = v y

U + V

~2 u - V

J (u, v) ~

dr dr 1 1d(x,y) da dv 2 25(m,v) dy dy 1 i

cu dv 2 2

Sea D 1

0 < .v < 1

[ 0 < y < 1

21

D

0 1 ;

Calculando parax = 0 , v — --a ¡y - 0 , v = u

} x = 1 , /./ + v = 2 |v - - 1 , a ~ v - 2

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2174

v - u - 2

ííf {x , y ) d x d y dx f (x . y)dy = 1~ ~ ~ )¡ «A»* v) ! ^ll dv

D R

f*C/,ír'!r"i'H" i/ + v u -W-Vw ( , f2 v „ w + v i/ - V ,-— -)du + | rfv J / ( —— ,-y -)¿ /w ]

Calcular la integral doble j J í / x J y , donde S es un recinto limitado por la

5i i i i.x“ y“ 2 * “ v“curva (— + — ) = —

a~ o n k

INDICACIÓN.- Efectuar el cambio de variables x = a r c o s 0 , y = b rse n 0

Desarrollo *

2 2 2 2 x y i x v Como la ecuación es: (— + —;-Y = —r - ~ , entonces

a 2 b2 h k¿

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Integrales Múltiples y Curvilíneas

7 7 7 0a o c t eos* 0 b sen 6

r f = - ------------ -— ) de donde el limite inferior es r = 0 , y el limiteh k

Ur o b2superior es r J — cós" O - s e n ~6

!r k~

a 1 ' 6 2como r debe ser real entonces — cos~ 6 - —- sen10 > 0 , de donde para el

h k~Qfr

primer ángulo coordenado, tenemos que tgO < —bh

Luego por simetría del campo de integración con respecto a los ejes, se puede calcular basándose en el 1er cuadrante multiplicado por 4.

1H v‘4Íoh f a ' i /> t ...

A -~cos~0,1 m »lrd u

s ’ 0 — - - s e n " 6

abr dr

sa 2 ó 2 ak ab

= ab[(—r - 7 T )arctg(—r + — )] h~ k~ bh hk

I X CÁLCULO DE AREAS DE FIGURAS PLANAS -

lro . EL AREA EN COORDENADAS RECTANGULA RES.-

E1 área S del recinto plano (S) es igual a:

Si el recinto (S) está determinado por las desigualdades a: a < x < b,

cp(x) < y <v¡/(x) de donde se tiene:

¡■K*)s = dx dy

«7 •

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2do. EL AREA EN COORDENADAS POLARES.-

Si el recinto (S) está determinado en coordenadas polares r y 0, por las

desigualdades a < 0 < p, f(0 ) < r < g(0 ), se tiene:

2175 Construir los recintos cuyas áreas se expresan por las siguientes integrales:

a) H: dv b) f dy dxva - v

Calcular estas áreas y cambiar el orden de integración.

Desarrollo

a) Sea S :- 1 < v < 2

x 2 < y < x -f 2, graficando

2 t -»X X / "5 - (— + 2 x ) /

2 3 / -

(x + 2 - x 2 )dx

= 4 —i 2

Í

2 M+2 H p/C p/vc/x J dy = j dy J ¿/x + J dy Jj dx

b) Sea 5 :0 < y < a

a - y < x < yfaA ~ y- , graficando

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2176

I, 2 2 [a - y

dym

dx ( ^ - y 2 - a + y)dy

r v T a* y y ^ i / a- [ - yja - y ~ + — arcsen{-) - ay + "— ] /2 2 a 2 / o

2 2 a K a4 2

X

s =f p / á ^ - J 2 p / ? - A ' 2

dy I dx = I dx I

J a - v Jo J a - x

dy

Construir los recintos cuyas áreas se expresan por las integrales.

i r c tg l fñsecO

a) [, dQ | rdr

n

b)(1+COS0)

dO I rd rMCalcular estas áreas.

Desarrollo

a) fr c t g l *3 sec 0 *arc tg2 2 3 sec# 9

" I j / o ¿ í , = 24 4 4

£r c tg l

sec2 6 dQ

92

. arctg 2 Q Q« . « / . - f p - o - j

4

b)

/r

M2

(l+cos¿?)/T 2T*3 / tf(l+cos$) ¿7

r ¿ r = I" — / d& = - ,£ 2 / a 2 JLí2 2

/r

ñ [( l + cos¿7)“ -l]¿/6>

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338 Eduardo Espinoza Ramod i 1------ — *

2177

2a a 2a

^ d x í = ± d y + t d x i - d y +f í/xf dv

A

2apT 2 x - a

J 34

dx +

a2 X p 2a — 3x . l a

dx + I ---------- dx = ------2 k 2 120

5 2

2178 Calcular el área de la figura situada sobre el eje OX y limitada por este eje, la

parábola y 1 - 4ax y la recta x + y = 3a.

Y ♦ Desarrollo

Calcular el área limitada por las rectas x = y, x = 2y, x + y = a,x + 2 y = a, a > 0 .

Desarrollo

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2179

2180

Calcular el área limitada por la elipse ( y - x)~ + x~ - 1

Desarrollo

■\J\ — xA f & \ d y = f [ix + & ) - ( X- ^ 7 )dx

J-l Jv— \J 1 —.Y2 j-l

= J* 2 \ J \ - x 2<dx = 2 [~ Vi - a*2 + aresen x] j

= 2[ ( 0 + ~ ) - ( 0 - —)] = n 4 4

Hallar el área limitada por las parábolas >’ = 1 Ox + 25 , y " - - 6 x + 9

/ís 9 - v

r/vVil r - 2 5

10

dx5 9 - v2 v2 - 25

V í/ 6 10 )</v

iVÍ5

15

v i 5

Vis 15^ ' 3 7-VÍ5

4 [(15V15 - V i5 ) - ( —15n/Ts + V Í5) - 4 ( 2 0 7 l 5 ) = ^ ( V í 5 )15 3 15

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340

2181


Hallar el área limitada por las siguientes líneas, pasando a coordenadas polare

x2 + v2 = 2 x , x 2 + y 2 = 4jc , y = x, y = 0

Desarrollo

x - r cos 6

v = r sen 0r 2 = 2 r cos 6 ir = 2 cos 0

=> \r 2 = 4 rc o s # [r = 4cos#

r = 4 cos 0

r = 2 cos 0

Í í ? cos0 f c r 2 , 4co*0 1 ñ 7 2d 0 \ r dr = — / d 0 = - \ (lóeos2 0 - 4 eos2 0)d0

•feeos# J) ^ 2cos# 2

A =

n /T

A = 6 J r eos2 e de = 3 J r <1 + eos 26>)í/6> = 3(6» + sen ° )

nsen 2 , /rkx, 3/t 3 1

3[(— 1---------) ~ ( 0 ) ] —-------1— •• A — 3(— 1— )4 2 4 2 4 2

2182 Hallar el área limitada por la recta r cos 0 = 1 y la circunferencia r = 2 (se

considera la superficie que no contiene el polo).Desarrollo

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2183

2184

n 71

r = s e c 0

A = 2•*) «sec#

r dr —t !

d esec O

A P (4 - sec2 9)d0 = (40 - t g 0 ) j J

A - l í - S

Hallar el área limitada por las curvas r = a (l+ eos 0), r = a eos 0

Desarrollo

71 7(l+cos60A = 2 Í- (1 + c<2 de r

•1/COS#

r dr + 2 H,(I+cos6') 5

r d r =

i i i ix y~ i x~ y~

Hallar el área limitada por la línea (— + -— )“ = ----------4 9 4 9

Desarrollo

Seanx = 2 r eos 0

= 3r sen 0=> dx dy = 6r d0 dr

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rA - r2 (eos2 0 - senÔ) => r = 0 , r - Veos 20

— eos 2/9 *— 2 c 7/í6 rrfr = 2 4 F ^ . /

= 12 •Í C O S “

/T

/ 4 = / o

2185 Hallar el área limitada por la elipse (x - 2>’ + 3) + (3x + 4 v - l )

Desarrollo

Sean <(f m = x - 2 y + 3

2 u + v - 5

[v = 3x + 4 y - l

x =

V =v — 3í/ -f- 10

ÍÓ

Calculando el Jacobiano se tiene:

J(u, v) c(-y,.v)5(u,v)

A » JJ 'dxJ, = Jf

CX dx 2

d u di’ 5cy_ dv

•/3

d u CV 10

J(u,v) Idu dv =

5

10

2 +JL-_L50 50 10

10 í fR R

2 = 1 0 0

vr= 10 donde /?: u2 + v2 = 100

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5 H /

7110 1

dO = - o 5 r\QOd0 = 2 O O /2

/ oA = IOtt

2186 Hallar el área del cuadrilátero curvilíneo limitado por los arcos de las parábolas

x2 = a y , x2 - by , y 2 = a x , \v 2 = /?x (0 < a < b, 0 < a < P)V 1 S <Desarrollo

y

yX

- a

a

= P

u - — , a •>3 => ;>

uv

1 r y = 3 V’3

2 I X = / C V 3

Calculando el Jacobiano se tiene:

4’5 .

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2187

J(u,v) = o(x,y)d(u,v)

dxducy_du

dxdvdydv

_ 2 2 2 — - 2 - a 3 v3

ir* - ííA = I \dxdy = I || J(u , v) | du dv =

39 O

1 i í 1- w J -3 3

1

2 2

— lt?V 33

? ■>m3v 3

]_3

¿/v

D R R

V -i

p v ’ ■ R

a

0 a b u

ííA - | | dx dy ~ \ \ d u dv - i * ( ' * . *X X 3

D R

Hallar el área del cuadrilátero curvilíneo limitado por los arcos de las curvas

y 2 =ax , y 2 = b x , xy = a , xy = P (0 < a < b, 0 < a < P)

Desarrollo

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yx

yX

a

= b

vu , a < u < b

x yxy

a

pv = xy, a < v < p

R = {(u,v) / a < u < b, a < v < p¡

y vix

xy = vy =uv

i iy - i/3v3

_i ±x - u 3V3

J(u, v) cjxyy)3(«,v)

2 -i

dx dx 2 — - — u 3 v 3

2 - - -- — u 3v 3---- —

du dv 3 3dy dy 1 - - -

- u 3 v 33

1 - - - — t/3 v 33du dv

2 _ - — u i _

4

A =

9 u

J(u ,v ) \dudv = -9 JJ u 9

r V f du

i d v i -

D R R

y * *

9 a 9 a

7.4. CALCULO DE VOLUMENES.-

E1 volumen V de un cilindroide, limitado por arriba por la superficie continua z = f(x,y), por abajo por el plano z = 0 y lateralmente por la superficie cilindrica recta que corta en el plano XOY el recinto S es igual a:

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r •

v = \ f (x ,y )d x d yJ « i ' : ; , .

2188 Expresar, por medio de la integral doble, el volumen de una pirámide cuyos vértices son 0(0,0,0), A( 1,0,0), B( 1,1,0) y C(0,0,1), colocar los limites de integración.

D esarrollo

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ííV = I \ f {x ,y )dxdy í * í (1 - x)dxti m

, d ' í (1 - x)dy

2189

En los problemas 2189 - 2192, hay que dibujar los cuerpos, cuyos volúmenes se expresan por las integrales dobles que se dan.

H ( l - x - y ) d y

Desarrollo

Sea D :0 < x < 1

0 < y < 1 - jc

La parte sombreada es la proyección del sólido.

2190

2191

Desarrollo

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2192

2193

Sea D: <ÍO < x < 2

0 < y < Vi - x

f"vI (4 - x - y ) d y

Sea D:0 < x < 2

2 - x < y < 2

Desarrollo

Dibujar el cuerpo, cuyo volumen expresa la integral

f•> 7ia —x~

dx I y[a2 - x 2 - y Zdy , y basándose en razonamiento geométricos,.

hallar el valor de esta integral.

Desarrollo

Sea D :0 < x < a

0 < y < ^ j a 2 - x 2/ 2 2 2 , z = yja - x - y

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2194 Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide elíptico7 7z = 2 a" + y“ + 1 , el plano x + y - 1 y los planos coordenados.

Desarrollo

Sea D :x — 0 , y = 0 , z = 0

x + y = 1planos coordenados

proyectado al plano XY se tiene:

V = H -J f í 3

(2a + y +1 )</y — I [-2a + 2a — a +1 + -]í/a

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2195

2196

2197

_ x4 2x* x 1 (1 —jc)* 3 3= [----- + ------------- + x ----------— ] = — u

2 3 2 12 4

Un cuerpo está limitado por el paraboloide hiperbólico z = x " - y ' y los

planos y = 0 , z = 0 , x = 1 calcular su volumen.

Desarrollo

' - H

■ í

(x“ - y )dy = I (x dxo

(xJ - — )dx = — I x c/x 3 3 í

4- / 6 /

1 1

6 / o 6F = - H 3

6

Un cuerpo está limitado por el cilindro x + z - cr y los planos y = 0, z = 0,

y = x calcular su volumen:Desarrollo

f i f i

¿z - x ' d v

V = xsfa2 — x2 dx — — u23

Hallar los volúmenes de ios cuerpos limitados por las superficies siguientes:

? 2 ?¿zz = y " , x + y~ = r “ , z = 0

D esarrollo

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2198 y - Va , y = 2\[x , x + z = 6 , z = O

Y *Desarrollo

y = 2 s/x

\

H \

ln

0

" V

CD X

£ yfxV = (6 - x ) d y

V = ( 6 - a ) V * é/a = ^ a/ ó

2199 z = a 2 + v 2 , v = a z , y = l , z = 0

1 ^(a" + y“ )cly)dx

¡i><v;

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352,

Eduardo Espinoza Ramoé..... , .• -

1 1 1 1 1 1 1 L4 ------ I— ) — ( ------ 4- — - — —

21 5 3 3 / -i 21 5 3 3 21 5 3 3

2 2 + 4 _ 8 8

21 5 3 105

3 .Y2200 x 4 y 4 z = a, 3x + y = a, — + y = a , y = 0, z = 0

Desarrollo

a18

2 T 2 i2 2 0 1 — 4 - = 1 , y = —x , y = 0 , z = 0

tí" c «Desarrollo

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2202

V f ‘fb

f ( f ^Jo Jo ^

2 - x2 dy)dx

i) a- l o ¿r J-)jc" jc dx

abe

9 9jc + y = 2ax , z = ax, z = |3x (a >|3)

Desarrollo

Proyectando al plano XY se tiene:

2 9 o 2; r + y " = 2 a x => ( jc - + y “ = a

x = r eos 6?< => dx dy = r dr d0[y - rsen6

Í- ÁüacosO

' A(a - f))r eos 9 r dr)d9

V = ( a - f i ) £*f2

« eos 0

r eos Odr)dO = ( a - f i )2 r eos# i 2acos'*

----------- / du/ o

= ( » - / » p 8“ 3 c° s - g ^ = 8‘,,(< ,- w ■* 39

2 eos4 0 d97T

71

8a- (a - /?) 2 2 + C O S 2 6 J -> f/1

2

jL

í

2a ( a - f í ) \ i (j + 2 eos 2# + eos2

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354 Eduardo Espinoza Ramos— ............— ..... - g .................................—

2203

71

2a ( a - f í ) [2 3 . „ cos4<9 1 (—+ 2 cos 26 + )dO

3 1 ^ 2 22

71

2a- (a - p )PJ_£ 2

_ cos4¿? , _ + 2 eos 2 # -i---------- )d0

7T

2 a ~ \ a ~ P ) r3& __ senAO / -> — [— + sen 20 + ---------] / ~

3 2 8 / ---2

3 4 4F = a ' 7 r ( a - P)

En los problemas 2203 - 2211 empléense coordenadas polares y generalizados.

Hallar el volumen total del espacio comprendido entre el cilindro x“ + y - = a ■7 2 7 7y el hiperboloide x + y - z - a

Desarrollo

x - r eos 0Mediante coordenadas polares se tiene:

[y = rsenOdx dy = r dr d0

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V = 2 ^ r dr)clO = 2 + r^)2 j dO

V = | f (2 a 2 V ía - a 3 ) ¿ / 0 = |C~/T

í <2^-Y)a*dO

3 _ 4av r(2 V2 - D

2204 Hallar el volumen total del espacio comprendido entre el cono7 7 7 7 7

2(x~ + v’ ) - = 0 y el hiperboloide x~ + r z ‘

Desarrollo

7 7 7= —a"

Proyectando al plano XY

0 0 0 2 (.r + v ) = r ‘

x + v ~ = z “ —a “

~ , 7 7 . 22(z - a ) - z => a

1 7 TLuego x“ + v" - a"

F

H

t . /*2/rV r2 + a 2 - y¡2r)rdr)dO = 2 I

*2;rI [(2 a 2 V ia - V ia 3) - (a 3 - 0 )]¿/x

r 1 / 2 2X7 VIr" ¡°[— (r + a ) - ] / dO3 3 / o

F =*2/T

I (a3 V I - a 3 )í/^ = ^ V ( 7 2 - 1 )

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O O O O O2205 Hallar el volumen limitado por la superficie 2ax = x + y “ , + y - z - a ,

z = 0 .

? 2 1v~ y r “2206 Determinar el volumen del elipsoide — 4- — + — = 1

a" b“ c“

Desarrollo

2 iX v~ z ~— + = 1 — — proyectando al plano XY, z = 0cr b~ c~

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V = 2 z dxdy = 2 HO 7i C - v \J(i i ,v) \dudv

D R

V = 2a¿>c* 7 7" - du dv

R

V - labe r - F ’r rd r )dO = labeo

f4 abe

f = n3

2207 Hallar el volumen del sólido limitado por la hiperboloide 2 a* = x + v~ y la7 7 7 7esfera x + y +2~ - 3a “ (se sobre entiende el volumen situado dentro del

paraboloide).Desarrollo

Calculando la proyección

lax — x 2 + y 2

2 2 2 ->2x + y + z = 3a

z + 2az - 3a" = 0 ==> (z + 3a)(z — a) — 0

? 9 ?de donde z = a por lo tanto se tiene x“ + y “ = l a

x = r eos 0V — r ve/2 ó1

dx dy - r dr d0

.u, .

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358 Eduardo Espinoza RamaÁ

2208

n

V -*¿n M í a * W2 a _________ 2

( (z2 - 2, )t/r)£/6> = 4 2 ( ( V 3 a 2 - r 2 - — )r.d r ) d d0 2 a

X

V = 4 (ff*Jla

[(3(3 2 - r 2) 2 r - - —]dr)dO2 ab

x

V = 41 r 4 V2*( _ _ ( 3 _ r 2 )2 ) /

8 ( 3 / 0

;r

F = 4 J p [ (- y - y ) -(-W 3 a 3)]^

x

V - 4 ^ 3 ^ 6 ^ 3 - 5 3— )<3 d ü = a k6 3

Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XOY, el enmaro2 ? ' x + y = 2 <az y el cono xz + y

Desarrollo

.2 , 2 2

Proyectando el plano XY

-7 1j x“ + y = 2az

i i iX 4- V" = Z~

=> z = 2 a

por lo tanto x" 4 y = 4a

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2209

2210

Í l-'/T Ala

(IVr

( r )r dr)dO2 a

3 4r r3 8 a / o»/

fF =V f 2'7— dG =3 Jb

4 a3;r

Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XY, la superficie

ae - X - V

Y 4

y el circulo x2 + y 2 = R2

Desarrollo

Xr = R

V 0 / R ^

La proyección sobre el plano XY es

1 " > r , nx + y~ =

X

í z dxdy r r ae 1 rdr)dO

D

V -

R~

V ~ a n { \ - e "R )

Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XY el paraboloide2 2 2 x~ v , -i- , , x y 2x -f —r- y el cilindro

a2 ' t 2a a a 2 b2

Desarrollo

Seanx = ar(l + eos#) V = br sen 0

dxdy = abr dr dB

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360

2211

Eduardo Espinoza Ramoh•M

V - 2/•— ÁlcosO

n

abr~ .r dr)dO = 2 I ab4 . 2 co s#

M / : d e

n K

\ í

V = - I " a/>(16)cos4 9 d 9 = 8 i ^ ¿ ( 1 + COs2 6>)2 ^ 6>J W

;r ;r1 + cos4#

V = 2 ¿z6 (l + 2 eos 20 + eos2 20)d0 = 2 afr(l + 2 eos 26 +..)d0

/í

F eos 4<9 40/r

V = 2 I ' a& (- + 2 eos 26» + —— - )d9 = 2ab[- 9 + sen 29 + / 2J> 2 2 2 8 / o

_ , r3;r 3V = 2ab[— + 0] = -------

4 2

0 9 *7¿En qué razón divide el hiperboloide a " -i- v“ - z“ = a" al volumen de la esfera1 o o

x + v~ -f z" < 3a~ ?

Desarrollo

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2212

!V“ ---------- wFj = 2 | ( | V r“ - t/“ rdr)dO =

/TF> = 4 p ._( í \¡3a2 - r 2 r dr)dO -

• á r c e o s J — J ~ — —

(óV3 - 8 );zYr

3

Luego » í+ * 2 = — (6> /3 -4 ) por lo tanto la razón que divide al volumen de

la esfera entre el hiperboloide es:F, + F, 3x/3 - 2

F,

Hallar el volumen d el sólido limitado por las superficies z = x + y, xy = 1, xy = 2 , y - x, y = 2 x, x = 0 (x > 0 , y > 0 )

u

Desarrolloy = 2 x

= xy de donde

de donde

1 

yX

yX

= 1

— = 2

é,*r\

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362 Eduardo Espinoza Ramoá . , , . .

ademásx> = u

v = ^

ux = j — 1

v y el jacobiano es: J(u ,v )~ -— — 2 v

y -■ yj 11V

V =

v = — 2

J{u, v) ¡ dv)du =Ü ' S

L + \fñv)dv)duv

r+ — r)dv)du = (2\Í2 - 1 )

V2

3

7.5. CALCULO DE AREAS DE SUPERFICIES.-

El área A de una superficie regular z = f(x,y), que tenga como proyección en el

plano XY un recinto S es igual a:

x y z2213 Hallar el área de la parte del plano - + — + - = 1, comprendida entre los planos

a b ecoordenados.

Desarrollo

X V xProyectando al plano XY se tiene: z = 0, — + — = 1 => y = b ( 1 — )

a b a

Yn\

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2214

x v c( 1 - — f )

a b

czCX

cv

cac~b

Aíís

1 + (— )2 + (— ) 2 dx d vdy

X

A =I 2 ?1 + ~ - + ~dy)dx -

4 y a bl

a 2 -\~b2 + ( a 2 + b 2)c2a b

r * ( i - £Jb «)¿/x

AJ ( a 2 +b)2(\ + c2) b / a J ( a 2 + b 2)(\ + c2) ab.

- )(Z?x x2a '' A o> /.

/í = —^(a" + 6 2 )(1 -fe*2)

Hallar el área de la parte de superficie del cilindro j r + f - , (z > 0)

comprendida entre los planos z = mx y z = nx (m > n > 0 )

Desarrollo

Y z = mx

r = R

Proyectando al plano XZ se tiene:

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364

2215

Eduardo Espinoza Ranm .

A = I I 11 + (— )2 + (— y d x d ydx dv

s

íírwh^ - Ib r rS s

A = 4r < rJb Jnx 4 r

2 2 '«a V K —X dz)dx = 4 R (m -n ) I , A - dzr

fl

O/í = 47?“(a?7 - /i)

7 7 7Calcular el área de la parte de la superficie del cono jc - y = z , situada en el

primer ociante y limitada por el plano y + z = a.

Desarrollo

y = a - z

2 2 2 x - y — z = V ? T 7

dx v

yjy2 + z 2

dx _ z

dz -Jy2 + z 2

I I

1 + (— ) 2 + (— )2dydz = A - | |V2 dydidx dy JJ-

A = \Í2 dy)dz = \¡2 - z)dz = \ [ l {az - j =a

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2216

2217

7 7

Calcular el área de la parte de superfipie del cilindro x~ +y~ = ax , cortada del

mismo por la esfera x2 + y2 + z 1 - a2

Desarrollo

Proyectando al plano XY, (x + —) 2 + y 2 = —2 4

2 . 2

dyex

a - 2x ey

2 yfc0

2 d zax - x

La intersección entre el cilindro y la esfera es

° .2x" + y - ax<

1 2 2x + v + z - a\ *

•a +ja~ - a x I

II ( J• 3 • 3 *

,1 ,d \’ 2 ,dy\ 2 J 1[1 + ( t - ) + ( t “) dxdz

CX CZ

A = 4 f*Jla' -a x dz

y j a x - x 2 í

)dx = 2a I x 2dx - 4a

7 7 7 7Calcular el área de la parte de superficie de la esfera x“ + y “ + z “ = a , cortada

x 2 y2 por la superficie — + = 1

a~ b

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366

Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramal I

2218

czex

dzdy

a2 - x 21

- V

Ai 2 *> 0yja -* X - V

Ví ? 1 1

yja - x~ - \r

i-------------------------------------- —

A = S I I . I1 + *í íV-f v

■> 1 j ■■> 1 2a~ --x~ - y~ a~ -x~ — ydx dv

A =a dv

& x - v

b■)dx = 8 a" crxsení—)

a

C a lc u la r el área de la p arte de s u p e rfic ie del p a ra b o lo id e v~ 4- z “ = 2 a x ,

c o m p re n d id a en tre e l c il in d ro jC = ax y el p la n o x = a.

Desarrollo

y = a x)’ = 6/A'

v*" + z “ = 2 or

y = ±Jax

yjlax - y~X

ozÍ5-

a

2 a x - vcz

2 C'Vy

v2 a.v - v

m , a x 1

f ‘Jí Jy .

.■s1

a y2 ax - y~ 2 ax - y '

-dy)dx

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2219

A = 4 dy)dx = 4b

V2 2 ycix-a arcsenJ 2 ax l o/yfax

dx'

fl - 1(2ax + a~ ) 2 arcsen{—j=)dx - k

V 2

« 1(2 ízx + a ) 2 dx

4 - — (2ax + a )2 I ---- (3V3-1)3a / o 3

7 7Calcular el área de la parte de superficie del cilindro x 4- y = 2ax7 7 7comprendido en el plano XY y el cono x + y ' = z

Desarrollo

a - x-) "> / -> dvxz + v~ - 2 ax => v = ±V2 ¿/x - x" de donde — = —========= ,

a t v 2 ¿zx - xcalculando la intercepción se tiene:

dy<7Z

0

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368

2220


Calcular el área de la parte de superficie del cono x * - y7 7

del cilindro x + y - lax

Desarrollo

2 2 2 íz" situado dentro

7 9 7La proyección de x - y = z~ sobre el plano XY es

x2 - y 2 =0 => y = x, y = -x

2 2 x + y - ax / &\2 7 a( x — y + y~ = — 2 4

yjx2 -

A = 4 I I./I + (— ) 2 + (— )2dxdy = 4 I IJ1 + — - +‘ cbc

2 2 2 2 x - y x - ydxdy

r eos 6 rd r

V r2 eos2 0 - r 2sen20)d0

A = 4y¡2/* - ÁLacosB

f ‘feos#

Veos2 6 -se n 2 6rdr)dO

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2221

K

A = 4V2 reos#9 O

eos*" 0 -sen"0

y-*- .lacosd

¡2 1 od6 = 8 / 2/ 2 (*4

" 1cos 0

V 7 7cos" 0 -sen"0de

ir

A = 8 / > « 2“ T

eos3 OdOTC

2 sen 0- 8 / 2 / f 0 — sen" 0} cos 0vr 2sen~0

z = sen 0 => dz = cos 0 d0 para 0 = 0 , z = 0 , 0

di

A = 8 / 2 a f> r T í h ¿ B = 8 „ ! ( ^ ) = 3™ : •Ji—l e *

Demostrar que las áreas de las partes de las superficies de los paraboloides7 7 7 7 . 7 7 7

.x"+ y"= 2¿/z y x ~ - y ~ = 2 a z cortados por el cilindro x + y~ = R" son

iguales.Desarrollo

x2 + y2 = R2 Ecuación de la superficie es:

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370

2222

Eduardo Espinoza Ramos-*!

para la superficie x2 - y 2 = 2 a z de donde — ~ —, — =dx a dv a

A = I IJ l + (-T“)z + ( ~ Y d x d y = I IAl+ ?-r + ^ —dxdv

s s2a a

a ~ — I I V ^2 y ~ d% dy ... (2 )

Comparando (1) y (2) se tiene que (1) = (2) con lo cual queda demostrado.

Una esfera de radio a esta cortada por dos cilindros circulares cuyas basesi

tienen los diámetros iguales al radio de aquella y que son tangentes entre sí a lo largo de uno de los diámetros de la misma. Hallar el volumen y el área de la parte de superficie de la esfera que queda.

Pesarrolío

La ecuación de la esfera de radio a es:

2 1 ">A* + V + z = cr => Z yja - x 2 -~y2 de donde

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2223

AK rcos<9/•/* /•-- ma cose/ ,

s

Superficie de la esfera cortada y la superficie de la esfera no cortada es:

'7 9 TC *yA = 4/Ta“ - 8 ¿r ( y -1 ) = 8 “ , ahora calculamos el volumen que queda.

reos# /•va2- /-2

V = 8M cos * \

<1 rdz)dr)dO

71 areos#M

e ó s e / _________ . ^

ry[a2 - r 2dr)d0 = ~~a3

En una esfera de radio a se ha cortado un orificio, con salida de base cuadrada, cuyo lado es igual también a a. El eje de este orificio coincide con el diámetro de la esfera. Hallar el área de la superficie de esta cortada por el orificio.

Desarrollo

La ecuación de la esfera de radio a es: x2 + y 2 + z 2 - a 2

V 9 1 9a - x - y~ =>dz x d.z

f , p L - T 4 - ^ + - T - Z lJ J V ^ Jb Jb V « +JT f l T - j r - y5

= 8 [ P ( P . . = = = )<&] = 8 a f aresen—= = = = = 1 2dxJ, J> ^ a 2 _ x 2 _ y 2 J, Va2 - x 2 1 0

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372

2224

Eduardo Espinoza Ram\

aA = 8 a | arcseni— = = = = = )dx = 9a 2arctg----

2 7 7 ^ 7 5

a

fCalcular el área de la parte de superficie helicoidal z = c arctg — , situada en ei

y9 9 9primer octante y que está comprendido entre los cilindros x - + y - = a ]

x 2 + y 2 = b 2

Desarrollo

c.arctg —x dz cy dz exy dx x 2 + y 2 ’ dy x 2 + y 2

III dz 2 2 f f I c2y 2 c2x 2

s s

A =.2 . _.2 . _2 A2 . .2

jL ± Z _ ± £ ^ 4 = p ( f6 ^ L a ^ — rdr)ddx y J) «L

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7.6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE A LA MECANICA.- Y , __________ ___

le r . MASA Y M OM ENTOS ESTÁTICOS DE LA LAMINAS.»

Si S es un recinto del plano X Y , ocupado por una lamina, y p(x,y), es la

densidad superficial de dicha lamina en el punto (x,y), la masa M de esta y sus

momentos estáticos M x y M y con respecto a los ejes O X y O Y se expresan

por las integrales dobles.

M == Q p ( x yy)clxdy , M x - ^ y p ( x , y ) d x d y , M v - J J v p(x , y )dx dy „,.(!)

s s s

Si la lamina es homogénea, p(x,y) constante., | . . . . . . . . ,

2do. COORDENADAS DEL CENTRO DE GRAVEDAD DE LA SLAMINAS.-

Si C (.\,y ) es el centro de gravedad de una lamina se tiene:

- M ] - M x - —t - , y = M

donde M es la masa de lamina y M x , M x sus momentos estáticos con

respecto a los ejes de coordenadas.

Si la lamina es homogénea, en la fórmula ( l) se puede poner p = 1.í ' V : i !•■.

‘ ■ ' ' ' • M

3er. M OM ENTOS DE INERCIA DE LAS LAMINAS.»

Los momentos de inercia de una lamina, con respecto a los ejes X, Y son

iguales respectivamente a

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2225

Ix = Q y 2 p(x ,y)dxdy

s

¡ v = j T t 2/?(.v, y)dxdy

s

... (2 )

El momento de inercia de la lamina con respecto al origen de coordenadas.

7° = J J U 2 + .v 2 )p(x,y)dxdy = Ix + / v .v

... (3)

poniendo p(x,y) = 1 en las fórmulas (2) y (3) obtenemos los momentos

geométricos de inercia de las figuras planas.

Hallar la masa de una lamina circular de radio R, si su densidad es

proporcional a la distancia desde el punto al centro e igual a 6 en el borde de la

lamina.Desarrollo

Yi 1Como la lamina es circular — r = Rentonces x2 + v2 = R2m/

De acuerdo a las condiciones del V 0J X

problema se tiene: p(x ,y ) = — \¡x2 + y 2

ííM ~ I Ip(x ,y )dxdy = x + y 'dxdy - r r R.r.r dr)d 6

s

n 2 k8 ■ <W = - — R

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2226 Una lamina tiene forma de triángulo rectángulo con catetos OB = a y OA = b; su densidad en cualquier punto es igual a la distancia desde este al cateto OA. Hallar los momentos estáticos de la lamina con respecto a los catetos OA y OB.

Desarrollo

(p(x,y) = x)

M X í f vp(x ,v)dxdy

s

J N

ab-bxa

M „ = I ( " xydy)dx =)

f 2 üb~hx ,

2 / o 2

r

Jb a) dx

2af b2 r , 2 3x(a - 2 ax + x )¿/x = — - I (a~x-2ax -fx )dx

2 a 1 Jb

b2 ,a2x2 2ax3 x4 / a b2 ,a4 2a4 a4 . a 2b2

2a(- + >/ — ( 1 ) —

4 / o 2a2 2 3 4 24

ífxp(x ,y)dxdy = I |x =í íab-bx

r( I * x2dy)dx

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376 Eduardo Espinoza Ramos\

2227 Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura OmAnO limitadas por las curvas y = sen x y por las rectas OA que pasa por el origen de

71coordenadas y por el vértice A(— ,1) de la sinusoide.

2

La ecuación de la recta es y = mx donde m = — y p(x,y) = 1 entonces:K

í í71

M — I I y d x d y - r - f y dy)dx =K24

s

p /• mu en x

xdy)dx =1 2 - ^

12

71/• <• peen x

M = I Id!* ¿/y “ 12 I 1dy)dx -4 - K

- M y \ 2 - n á x -

M 3 (4- ; r )K

M 6(4 - tt)

2228 Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la

cardioide r = a (1 + eos (p)

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2229

Desarrollo

M - 2

=2

f f f« f

frdr )d (p - I a (1 + eos (py dep3 /rar

( 1 + c o s p )o

r eos (pdr)d(p

fM y = ^ | a 3(l + cos?>)3 eos<pd(p =5/ra'

- M y 5ax -

5apara 7 = 0 por simetría. Luego (x, y ) = (— , 0)

M 6 6

Hallar las coordenadas del centro de gravedad de un sector circular de radio a,

cuyo ángulo ¿fentral es igual a 2 a.

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2230

y

2231

Desarrollo

Usando coordenados polares se tiene:

A/„ - 2

r - í

rrM - 2 | ( | rdr)dO - a 1 ^ d O - a1

r e o s 6 r d r ) d 02a

a

rcosOdO

M2a 3

v 3 sen 0a 2a^sena

como xM 3a

, v = 0 por simetría.

Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las9 9

parábolas v = 4 x + 4 e y~ = -2 x + 4

y2 = 4x + 4

Desarrollo

Mí

4-yy

( j , ' dxyiy = 8

M,. í4 - y"

16( | xdx

Luego x —- M v 2

M 5y y - 0 por simetría (x>y) = ( t» ^ )

Calcular el momento de inercia del triángulo limitado por las rectas x + y - 2,

x = 2 e y = 2 con respecto al eje OX

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2232

Desarrollo

- u < .i

íf-¡x = 1 1 y 2p ( x ,y ) d x d y , como p(x,y) = 1

f íin.riwi’íí.l

por ser segmentos geométricos de inercia de figuras planas

Luego Ix = | lyííl i

í í / dx)dy = 4

• y *-•

. <LHallar el momento de inercia de un anillo circular de diámetros d y D (d < D).

a) Con respecto a su propio centro.í>

b) Con respecto a su diámetro

a) íí

Desarrollo

[x2 + y 2) p (x ,y )dxdy

íí(x2 + y 2)dxdy

Por ser momentos de inercia de figuras planas.

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2233

2234

Ahora usando coordenadas polares se tiene:

D

íí<1o = l l ( x2 + y 2• n rdr)dO = — (£>4 - d A) 32

2

D

bi ' - - í í= 11 r*sen20 dO dr - f ' f r*sen20 d r)d 0 = — (D 4 -¿ /4)64

Calcular el momento de inercia de un cuadrado de lado a, con respecto al eje que, pasando por uno de sus vértices, es perpendicular al plano del cuadrado.

Desarrollo

7° = J j + y 2 ^ d x d y

s

(x2 + y 2 )dy)dx =2 d

Calcular el momento de inercia del segmento interceptado de la parábola... j ‘ . . f 1 } , / y ? . •' ; 1 ; i l f ;i V| i 1 I ' - ’.*■

y 1 - ax por la recta x = a, con respecto a la recta y = -a.

Desarrollo

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2235

fc

2236

/Í i ax

( (v + a J-yfax

x2 j x i) dy)dx =5

Calcular el momento de inercia de la superficie limitada por la hipérbola xy 4 y la recta x + y = 5, con respecto a la recta y = x.

Desarrollo

La distancia del punto (x,y) a la recta

y = x es: dx - v

xy = 4 o=> .Y" - 5A- + 4 - 0

A' + V = 5

/ = — dy )dx i= ~ | (/•fi X

(a*- - 2 xy + v‘ )dy)dx

í/ 2 2 . y( x V -- VV i— >/

5--v 3dx = 16 ln 2 - 9 —

84

En una lamina cuadrada de lado a, la densidad es proporcional a la distancia hasta uno de sus vértices, calcular el momento de inercia de dicha lamina con respecto a los lados que pasan por este vértice.

!i 1 •••, ■ ■ .i

Desarrollo

r 2 9De acuerdo a las condiciones del problema se tiene p(x ,y ) = xjx + y~ , el

momento de inercia se determina con respecto al eje X, luego pasamos a

coordenadas polares.

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2237

2238

K /T

M sec cp m - mi CSC cpkr(r sen<p)~ r dr)d(p + I ( I kr(r sen (p)~ r dr)d(p

;sc cp jF-

n nk t i

Ix = ~ J^4 sen2(p.a5 sec5 <pd<p + sen2(p.aJ cscJ cpdcp

4

ka5/ v = ----- [ 7 ^ + 31n(V2 + l)]

40

Hallar el momento de inercia de la superficie de la lemniscata r~ = 2«" eos 2(p, con respecto al eje perpendicular al plano de la misma que pasa por el polo.

Desarrollo

JTmm m— miyjlcoslcpI0 = I |( jt2 + y 2)dxdy = 4 14 ( I r2dr)d(p

s

n nay j lcos lcpÍ4 . ayj2cos2cp ti A ?

r I d ( p - I a (4 eos 2cp)d(p

= v + - 2 a 4( I + 0 ) = ^

Hallar el momento de inercia de la cardioide r = a( 1 + eos cp) con respecto al

polo.Desarrollo

r r C* pHl+coscp) fitr r 4 „(i+Cos<p)70 = I |( x 2 + y 2)dxdy = 2 I ( I r3dr)d(p = 2 I ~ / Q ^

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’ . x . f!

2239

4

- É í -

4 1

4(l + COS0>)4</ > =— r 2 1

(1 + 2 eos <p + eos2 <p) d<p

19 aA7r.19 _ eos 4 ^ 2 v»(--- h5 cos0 + 4cos2<p + --------- - s e n (peos(p)d(p =4 2 8

t uCalcular el momento de inercia de una lamina homogénea limitada por un arco de la cicloide x = a (1 - sen t), y = a (1 - eos t) y el eje OX, con respecto al eje OX.

Desarrollo

Se tiene que x = a(t - sen t) => dx = a( 1 - eos t )dt' j -j: /r-fi • >4- ; •..( ■ . . >. i

y = a (1 - eos t)

r(l-cos/)

x

+ + fQ. n «(1-cos/)= 1 I v2dfccrfy = I ( I y 1 a ( \ - e o s t)dy)dt

?'K.' ' * i ¿r.<3

= « r ( i - e o s t ) ~ ia(l-cos/) a

dt = — f i a* (\ - eos t)* dt o 3

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a 4 ,35/ 7 _ . / 2;r 35/ra ,JJ¡ / „ sen hi sen i . /= — [ -------- 1— sen-------------21- 4 sen H----------- ) /

3 6 4 16 3 / o 12

7.7. INTEGRALES TRIPLES.-si'. s • -5 •• > - • • i •* • ■'&>* - S f f .’y ,

Ira. LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS RECTANGULARES.-

. . . f , " k ■ : ■ ■■-, f ■ / ■ I I I I 1 ' > >'■ * ■ 1 J h ■ ■ •• • • ■ • v •' 6 • * * ’• 1 v i < • '• ■ * ■' . . .• , / t »

Se llama integral triple una función f(x,y,z) sobre un recinto V, al limite de la correspondiente suma triple.

\ \ \ f ( x , y , z ) d x d y d z = _J im ^^ ^ ^ f ( x ¡ ,y¡ . z ,)Ar,A>,.Az¡y max Av, — >0 i j k

max Áz, — »0

el cálculo de la integral triple se reduce a calcular sucesivamente tres integrales ordinarias (simples) o a calcular una doble y una simple.

2do. CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL TRIPLE.-

Si en 1» integral triple hay tpte pasa, de las variables

V

x, y, z a las variables u, v, w relacionados con las primeras por las igualdades

x = (p(u,v,w), y = \j/(u,v,w), z = <|>(u,v,w) donde las funciones <p, \j/, <|>.

Son continuas, junto con sus derivadas parciales de primer orden.

Establecen una correspondencia biunívoca continua en ambos sentidos entre los puntos del recinto de integración V del espacio OXYZ y los

V

puntos de un recinto determinado V % del espacio O 'U VW y

El determinante funcional (jacobiano) de estas funciones es:

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J {u,V, = y, z)d(u,v,M’)

CX dx dxdwCZ

cu dv dy dy du dv dw cz cz dzdu cv dw

Conserva invariable su signo en el recinto V, entonces, será válida la fórmula.

I x,y,z)dxdydz = ÍÍJ/w‘ i, v, w), y/(u, v, w), (p(u, v, w) | J(u, v, vv) | du dv dw

v v

En particular:

© Para las coordenadas cilindricas r, cp, hr

x = r eos cp, y = r sen cp, z = h obtenemos que J(r,cp,h) = r

© Para las coordenadas esféricas cp, vp, r ( 9 es la longitud, vp la latitud y r el

radio vector) donde x = r eos vp eos cp , y = r eos vp sen cp , z = r sen vp2 2tenemos J((p,y/,r) = r eos y/

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3er. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.-

E1 volumen de un recinto del espacio tridimensional OXYZ es igual a:*-

La masa de un cuerpo que ocupa el recinto V

donde y(x,y,z) es la densidad del cuerpo en el punto (x,y,z).

Los momentos estáticos de un cuerpo, con respecto a los planos coordenadosson:

• A L- • . \■/ '<% :M yz =

• : *S> i

y(x, y, z)z dx dy dz

y(x, y , z)x dx dy dz, i * . • fe

r / ’ .

ZÜV íy(x,y,zr ; : V G ' .

Ut'

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Las coordenadas del centro de gravedad

- Hyz~ M - A/n.X = i - % v = , z = —

M ' M M

Si el cuerpo es homogéneo, en las fórmulas para determinar las coordenadas

del centro de gravedad se puede poner y(x,y,z) = 1 .

Los momentos de inercia, con respecto a los ejes coordenados son:

/ , = Í Í J c y 2 + z 2)y (x ,y ,z )dxdydz

y

- JJV

| J(jc2 + z 2 )y(x, y\ z)dx d y dz

'■ " |J|( x 2 + y 1 )r(x, y, z )d x d•/ V

V

poniendo en estas fórmulas y(x,y,z) = 1 , obtenemos los momentos geométricos

de inercia del cuerpo.

A) CÁLCULO DE LAS INTEGRALES TRIPLES.

Calcular los limites de integración de la integral triple

Í Í L , y , z )dxdydz para los recintos V que se indican a continuación.

v

2240 V es un tetraedro limitado por las superficies x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0

Desarrolloi

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JffV = I l^ f (x ,y , z )d x d y d z

v

H - x - Y

f ( x , y , z ) d i

22241 V es un cilindro limitado por las superficies x “ + y~ = R , z = 0, z = H.

Desarrollo

fííF = l l j / ( * , y, z)dx dy dz

v

f p/tf2—.Y2 W/

J-\lR~-x~ Jof (x ,y , z ) d z

2242x v

V es un cono limitado por las superficies2 2 Z

¿r c~Desarrollo

Y

:>a X

* i f

X

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l} ¡ 2 2 -ya -xr r r r1 r ü v r111/ (-*» V,z)dx dy dz = I dx I “ dy i / (a*, v, z )d

V U a ° X

9 92243 V es un volumen limitado por las superficies z = 1 - x - y , z = 0

Desarrollo

V f ( x , z)¿/x dy dz

2244

IH i-.\2

, - v M/l- r Jo

*>

- v - r

f ( x , y , z ) d z

dx I dvdz

y[x + y + z + 1

Desarrollo

dx I d\di

y[X

j ° dx (2tJx + y + 2 - 2yjx + y + 1 )dy

f 4 - 4 “ / lI l~ (x + y + 2)2 - ~ ( x + y + l )2] / d y

4 ¡ o 2 3 3 3“ I [(* + 3) 2 - ( x + 2 ) 2 - ( x + 2) 2 + (x + l)2]¿/x

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4 .2 , - 2 , 2. /° 1 6 ..= - b ( - v + 3 ) - —- ( x + 2)2 + -( .v + l)2] / = — (3 /

3 5 5 5 / i 15 2

2245 JT dx f * dy jf~ 2 x dz

Desarrollo

¿ J / T X\¡4x - y 2 dy

1

V2

f2 xy I i y j i 'f *I [ ~ v 4 .x - y “ + 2x aresen — ¡=] / dxJb 2 2\¡x ' o

—7= í [xyfxy/4x- 4 x + 2x aresen 1 ]dxn/2 l

1_ f XTt dx = —j= / =V 2 Jb 2 V 2 ' o

1 7 1 7 ?a"-x~ +Ja~-x - y

2246 I ¿/x I ¿/ydz

1 2 2 2 2 sja - x - y - z

Desarrollo

i ia" ~a"dy

2 2 2 a - x - y dzf~2 2 2 Iy a -X - y - z

*r> 1 ri

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r 1 o oz

arcsen(—F= = = = = ) / c/y\[a2 - x 2 - y2 ' "

I 7 7V ¿r —j raresen l dy I y / dx- f f v o

/r2

r r~i t , /r * r~i 7 a 2 x Ia\a~ - x dx - —I- y j a - x H aresen —

2 2 2 a ! o

— [(0 + a2 aresen l ) — 0] —4 8

H- x M - x - y

2247 I dx | dv | xyzdz

Desarrollo

H •• í ; H ¥/>-H ■x v ( l-x -y ) ,----- :----¿/y

1 f* x3 y2 xy4 2x2 y3 ? ? xy2 2xv3 / !”A‘- I (—— + 1------- x" v“ + —--------— ) / dx2 Jb 2 4 3 ' 2 3 / o

1 1 a i 1 2x5 9x . -t. 5x n /- — (-2x + 9 x - 12x + 5x)dx = — ---------+ -------- 4r3 + — /2 Jb 6 12 5 4 2 /

1 (111) 13312 80 260

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2248

2249

Calcular JKdx dy di

(x -f y *f z + 1)', donde V es el recinto de integración que está

limitado por los planos coordenados y por el plano x + y + z = 1 .

Desarrollo

1dx dy di

(x + y + z + 1)dz

( x + J/ + Z + 1)

(1 1

4 (.v -f y + 1)J)dy

]_2

Í

l - . Y

dx

i r r i - v i /A i i[(------+— ) — (() + )]í/.V —

? l 4 2 x + 1 2r , 3 - x i - ,(---------------- )dx

i , 4 x -f 1

1 3 x x “ . . ,_ ------------- ln x + 1 /2 4 8 / o 2 4 8

1 5 ln 2 5— (—- ln 2 ) = -----------2 8 2 16

Calcular J j j ( x + y + z ) 2 dx dy d z , donde V es la parte común del paraboloide

v2 , .2 i i i2ax > x + y y de la esfera x~ + y + z = 3¿z

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Desarrollo

Proyectando la intersección al plano XY

x “ + v' XIZ

1 ■> 1 - ..y" -f v “ + z = 3a

z* + 2 ¿/r - 3//" = 0 z = a

7 7 7por lo tanto \*“ -i- y “ = 2a~ es la intersección proyectada

Yo o

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2250

7 7 z3[(x + y)~z + (x + y)z~ + — ] /

3 / o

v = —— [I8>/3 — — ]

Calcular Í J j z 2<¿rrfyífe, donde V es la parte común de las esferas

7 7 7 „ 7 7 7 7 _ _x^ + v“ + z~ < R" y x“ + y~ + z~ < 2 /?z

Desarrollo

z =N/ R2 - x2 - y2

= R - 7 R 2 - x 2 - y 2

Y

Proyectando la intercepción al plano XY se tiene:

x 2 + y 2 + z 2 = R2

X 1 + y 2 + z 2 = 2Rz

7 R=> 2 Rz = R“ => z ——

2

2 2X + V = —

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2251

íífS R s¡ 3R2 -4 a x 2

z~dxdvdz = í¿ (f. O O “>IR--.X- - v2

>/3/? | j3 R ¿--4axdz)dv)dx

vJR-yjfd-X2-.

S R y ¡3 R 2 - .V2 i— —

Í 2 f 2 . 3 .y]R'-\--) 5 9 7 TR

ííí=Calcular " j - dxdydz , donde V es el volumen limitado por el plano z

v

Qy

y“ z ‘por la mitad superior del elipsoide ^ - f ^ ~ + —

a" b c

Desarrollo

a

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2252

2 2 2 2 2 2 2 x y z 2 2 ,, x y i x y— + — + — = « => z = c ( l ---- - ) => Z = c j l J ------ ya 2 62 c2 a 2 b 2 V a b 2

j j j z dx dy dz = 2 ^ zdz)dy)dx

V

£<f\ la2- x 2 2 2

c2 (\ - y - j )dy)dx a b~

3 * J a 2- x 2 , r r 2 „ 2f V = c 2 f ( ! - - $ ■ > V "

J-„ « 2 3 6 / O y a 2 36- / O

c 2 6

rsi1

1

3b2 /

1 6 2

sil "> * 7 1

3/?" a

•7

n - ^ , (a

Í n A* l b~ 2 2 \ ~\ b \~~2 T í[ l - — r(flT - x ¿) ] - \ ¡ a ¿ - x Adx

a 2 3 / r a a

r [ l~ ~ T ---- ^-(<32 -X 2 )]V<32 - X 1 dxi - a 3 í T

j 2bcA r 2 x “ . n 7 , abc~K

x2 dxJLa 3 ¿r

2 2 2Calcular I I I (^r- + - + :Lr)dx dy dz , donde V es la parte interna del elipsoideI 2 l 2 -a b e

x1 y 2 z 2~T + 7 T + — - 1 a b c

D esarrollo

x = p sen (p eos 0y - p s e n ( p s e n 6 => J(p,6,(p) - p 2sen(p

p eos cp

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2253

para el caso del elipsoide se tiene:

x = apsenepcosO2y = bepsenepsenO => J(p,@,ep) = abep senep

z - epeosep

Uf(^ r + ~ r + :Lz- )dx dydz = 8 a 2 b2 c2

n n

0 í( I p~abcp senep d p)dep)dO

v

K TC

8 abe¡ i

/ d e p ) d 6 / o

8 abeTC TC

t í senepdep)dO

k n irSabe f í / y ,^ 8 abe f 2 4abc/r

I - e o s e p / ~ c W - I d(i ~J) ' o 5 J,

f f f h 2 2Calcular 111 zdxdydz , donde V es el recinto limitado por z“ =- — (x~+ y )R

vy por el elipse z = h.

Desarrollo

Mediante coordenadas cilindricas se tiene:

x — r eos 0v - r sen 6 => J (r ,0 ,z ) = rz - z

JJJz dx dy dz = 4 f< f< íir

rzdz)dr)dO — 2 í rzVh r

R

0dr)d6

JC

Jb Jo 47? Jo

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2254

2225

ííí‘Calcular I , siguiente Integral, pasando a cootdenadas dlíndHcas |J |* * * ,V

7 7 7 *donde V es el recinto limitado por las superficies x + y + z = 2R z ,

2 2 2x + y = z y que contiene al punto (0 ,0 ,R).

Desarrollo

x = r eos 6y - r s e n O => J(r,0,z) = r , proyectando al plano X Yz - z

2 2 2 x + y = z=> z = 0, z = R

x2 + y 2 + { z - R ) 2 - R2

7 7 7Luego se tiene x~ + y~ = R~ es la proyección sobre el plano XY

\lR2 -rP P P t&x pR mR+yJR*—r"

I I \dx dy dz = I ( 1 ( 1 rdz)dr)dO

v

= £ ( jT [r(7? + \¡R2 - r 2 ) - r 2

i

Rr2 1 r ' /*(---------- ( R - - r - ) 2 ------ ) / dO

2 3 3 / o

f2'7 ,/?3 /?3 tf3= I (— + ----------- )cW - R JiJ, 2 2 3

Calcular dx f " dy f zy¡x2 + y 2 dz , transformando previamente a las

coordenadas cilindricas.

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2256

Desarrollo

Sea D :

0 < x < 2

0 < y < s¡2x — x 2 0 < z < a

ÁL mj 2 x - x 2 ma1*1 x2 + y 2 dz M cosO f»a

<J>rdz)dr)dO

r+~ a2cos# 2 n 2 3

= M2 eos 6

d eo

n

~ a 2 F e o s 3 OdO = “ ~~ \ ¿ ( \ - s e n 20 )c o § 0 d 6

K

f4a‘

(sen 6ser?0v /T 4 a 2 _ L 8 ¿z2

■>/ ■(1— ) = 3 / o 3 3 9

Calcular*2r f d l r x - x 2

I dx•fe J - y j l r x - x 2

. . i i ->[ 4 r ~ - x ~ - y

dy dz

Desarrollo

Sea D : <

0 < x < 2 r

-V2rx - x2 < y < \¡2rx

( ) < z < 2 2X

x = p cos 6y = p sen 6 J(p,0,z) = p

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400 Eduardo Espinoza Ramols

2257

r *' ~A' - v“

dz = 2

M cos 0

<f7 7

«2co$0 p J 4 r ~ - p ‘

( I pdz)dp)dO

= 2Í- *2rcos# _____ /7

p^ d p)d0 23 f 4 - • /

2r cos¿?

o

i /r| f (8 /fW < 9 - 8 r> )d e = ^3 3/i o J w / i _ 1 6 r P ( s e n 3( 9 - l ) r f é l

' . 4 ^ .

16r eos (9 /•, 8 r 4—— [-co stf + — ------ 6» ] / ¿ = — (íTi*,-)

3 3 / o 3 3

CalcularR 2 - x :

dx I dyR j-y¡R2- X2 f

'V-.r2-v;(x~ + y 2

previamente a las coordenadas esféricas.

transformándola

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K*L7T

( r<f• 3 • 3 4)

p 1 sen2 cp.p2 sen cp d p)dcp)d O

f ‘f■3 5 7 *

.p / d(p)dO 5 / o f

: sen~ cp 5 / n , . ,„ R5 *2/r

b

3 1/ COS (D /o . _(-cos#> + ----------- ) / ~d9

3 / o

r

5 j ,

r , m ; , 1 ,n j. f 1*í ( 0 - 0 ) - (y l +-)}d0 = - ~ - 9 = — —3 15 / o 15

2258 C a lc u la r la in te g ra l, pasando a las coordenadas es fé ricas

W

") Jx ~ + y ~ + z dxdy d z , donde V es la p a rte in te rn a de la es fe ra

v1 2 ”> -

X + V + Z “ S. Y

Desarrollo

P ro ye c ta n d o al p la n o X Y se tie n e z = 02 ■ 7

X + V" - X

x = /:? .ve/? cp eos 0 y — p sen cp sen 0 Z - p eos cp

J(pJKcp) = p'sencp

K

m

x + y + z dxdy dz M < fmt (¡sen <p co se O

p.p*'sencp d p)dcp)dO

v

4

71 TC

Í7 í* /i / sen (p cos 0 1 í*2 a" ( I e sencp dcp)d6 = — J ( j sen'cp cos Odcp)dO

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2259

X

42* , 2 COS (D eos5 0

(—eos (p + -------------------- —X

)cosAo / dO / o

x x

i r4 JL-[(i ( - i + —- —)] eos4 e de

3 5 3 5 = - f4 X*— eos4 6 d 6

a 152

15

^ /r+ COS 2 . 0 . 2 i 1 _ 2 »/i----------- ) dO = — I (1 + 2 eos 2 # + eos 26)d6

2 15 1 *2 2

x

£<!X

LP15 J_*3 eos 40 1 30 2sen26 sen 40

[— + 2 eos 2 0 + --------- 1úí0 = — [— + ----------- + --------1 5 J * 2 2 15 2 2 8

— [(— + 0 ) - ( - — )] = — 15 4 4 10

B) CÁLCULO DE VOLÚMENES DE INTEGRALES TRIPLES.-

Calcular, por medio de una integral triple, el volumen del cuerpo limitado por9 9 9las superficies y = 4 a — 3ax , y - ax , z = ±h

DesarrolloI

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2260


y 2 — 4 a2 —3 ax

v~ — ax=> 4a" — 3ax = ax —> x =a , y = ±a

1V = I i \dxdydz

4a -y~

r - r - r ,

( I dz)dx)dy =■ 2h

4 a ~ - V

i < r dx)dy

v a a

r 3a 3a- i /

1 7 > /£7

2*[(4 a 2 4 a 2

V = 32a h 9

Calcular el volumen de la parte de cilindro v 2 -f y 2 = 2a.v , comprendido entre

el paraboloide a" + y = 2az y al plano XY.

7

Desarrollo

x2 - y2 2 a"~

Y

Y

0

0

- x -

r = 2a eos

/Pasando a coordenadas cilindricas se tiene:

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x = reos Oy = r sen 6 => J(r,0,z) = rz - z

JIFdx dy dz = 2

7t r(&acosO (+—

H f rdz)dr)dO - 2acosé? 3

l adr)dO

n

í f T / , 2acos6? 1

d O = — o 4a

K

f 16a4 eos4 6 d 0

K 7t

f.3 l ~ „ ------- 0 ^ 2 J / , 3 I ¿ ( 2 + 2cos26> +a I (l + cos2 #) d O - a feos 4#

/r3r3<9 senAG1

= a [ b 2 # +2

] / 2 = a 3 (— + 0 ) = 2 í!2 L 8 / o 4 4

2 7 2 22261 Calcular el volumen del cuerpo limitado por la esfera x + y" + z = a~ y el7 7 7

arco z = x + y la parte posterior con respecto al cono.

Desarrollo


2x + y

x

yz

— p sen cp eos 6O < p < a

71 „ Kp sen cp sena , — <g)S —

4 2p eos (p O < 6 < 27ü

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2262

F íffdxdydz = 2 f ‘í ‘f7p sencpdp)d(p)dO

r « fp~ I a 2 a3 f§

sen (p j d(p)dO = — I ( JJ* sen cp d(p)dO

? 3 f2/T *- y - | -C O S(p / ld0-

aO

3 / o/2 ;r 2y[2a37T

2 2 2Calcular el volumen del cuerpo limitado por la esfera x + y + z~ ~ 4 y el7 7 •paraboloide x“ + y“ = 3z (la parte interior con respecto al paraboloide).

Desarrollo

Proyectando al plano XY la intersección de superficies

( i o y ,

x“ + y + z = 4 •> . „=> z ~ + 3 z - 4 - 0 => z —1

2 2 ox + y ~ 3 z

Y- k_ r = \ / 3

2 2 o. x + y = 3

l y ' Í x = r eos <9

V 0 iv/3 I ^y = r sen 0V

z = zV

íííF = I I |¿/xc/y¿/z íK fmjA-r2

( ( rdz)dr)d6

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2263

2264

19— d6 =12 J>

19/T

Calcular el volumen del cuerpo limitado por el plano XY, el cilindro9 9 9 9 7 9 *+ v” = a r y la esfera x + + z“ = a~ (interno respecto al cilindro).

Desarrollo

r = a eos 0

x = r eos 6y — r sen 6 => J(r,0,z) = rz = z

71

í í f/*/ eos 0

dx dy dz = 2 I ( I ( r dz)dr)dO

v

71cosO

71

'\¡a2 - r 11dr)dO = —— (a 2 - r 2)2 ja eos 61

o

/r /T

f'[ ( a " - a COS~ 0 ) “ - a ]¿ /0 =3 J. 3 f2a

[—cos0 +.3/. -3eos* 0

v \ ! “ = --------1( -3 / o 3 9.

2 1 y z"Calcular el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide — + —

b cplano x = a.

2 — y al a

Desarrollo %i»1

Proyectando la intercepción

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V = dx dy dz =

b c

2xa

, x = a

Y + = ?i 2 2b C

v - rh eos 6✓

z - r e sen 6 de donde J(r,6 ,x) = bcr

jc = JC

f ' f ' t rdz)dr)dd

v

2264 1 Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies2 2 2 2 2 2 .x y z 2 x y z

(— + — + -y ) - —y +-- 2----- Ta 2 b c2 a ¿>2 c 2

Desarrollo

Mediante coordenadas esféricas

x = apsencpeosO y = b p sencp senO z = c p eos cp

J{p,cp,0) = p sencp

reemplazando las coordenadas esféricas en la ecuación

2 2 2 2 2 2X V Z X V Z(----- f-— i---- y = ------(----------V V c2 ' a 2 b2 2

p - p~ {sen cp - eos cp)

p 1 - sen1 cp - eos1 cp => p - y[sen^p-eos^p

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V = I i j dx d v dz«2 rr ¿vr ¿*] sen" (p - c o s " - cos~ cp)sen cpdcpYlO

y _ aben2

4sf2

2 Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies9 0 0 9 0 0

2_ + Z _ + £ l = 2 , 4 + ^ - ^ = o , (z > 0 )a b c~ a b e

Desarrollo

Proyectando al plano XY la intercepción.

2 2 2i L + Z _ + £_ = 2 , ,« 2 b2 c 2 ^ ^ x 2 >-2z = C => ——H r- = 1

£ _ + 2 L _ £ _ = 0a 2 6 2 c 2

.v = a p s e n cp eos 0y - b p s e n cp s e n 6 => J(p,(p,0) - abe p ~ s e n cp

Z = C p C O S í p

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2265

? i 2X y 2 r. 1 1 — 2

0 * 2 2 p 2 — 2 => p — \ j 2

2 2 iÍ l + Z _ _ f l = 0a 2 b2 c2

2 2 2 . 1 ^p~sen (p - p cos tg cp = l => <; rr ,

- I ) 2 jt --------- ( v 2 - l )/T }

¿\abe(\¡2 — X)7T

C) A PLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES A LA M ECANICA Y A LA FÍSICA,

Hallar la masa M del paralelepípedo rectangular 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c

si la densidad en el punto (x,y,z) es p(x,y,z) = x + y + z.

Desarrollo

JJJM - | | | p{x, y>z)dxdydz [<J (a* + y + z)dz)dy)dx

v

1 c *.7 W] / dy )dx - (1 o ' 3 • J

[(x + y)c + — ]dy)clx

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2266

i 2 2 / 0

b c be' 1 )dx

? 1

x be b1 ex bc2x . ¡a abe ( + +

2 2 r V o 2(a + b + c)

1 9 1 1Del ociante de la esfera x + y" + z~ < c , x > 0, y > 0, z > 0, se ha cortado el

x ycuerpo OABC, limitado por los planos coordenadas y por el plano — + — = 1,

a b(a < c, b < c).

Desarrollo

x2 + y 1 + z 2 < c2 , x > 0 , y >0 , z > 0

X VLa ecuación del plano — + — = 1, a < c, b< c por definicióna b

M = donáQ P(x^ ’z) = z’ dV - dx dy dz

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2267

íf í

O < x < a

M - I I I z dx dy dz => O < y < 6 ( 1 ---- )a

O <Z<yfc^ - X 2 - V

«7Ü ( ü(l*3 • 3 Jb

i -» n

c~ - x * - v~

z dz)dy)dx

(o í

O *1A- -dv )dx = — I (

9 1) ' .*>

¿O...)a ( 2 (c - x - V

f1 T 2 2 V3 / W - - *[(c2 - x 2 ) v - ~ ] / "

3 / o 26 r r 2 /i 2 /, & /, ,[c'( 1 — ) ~ x (1— ) — —(1— ) ]dx

a a 3 ¿z

3 3. . ... r a aM = —[----- + — + —2 3 4 26 ¿zJ a 3 zzc" ¿z6 \

*~íT

. , ¿Z¿> , ? , 0 » 2\ 2 2 i 0 xA/ - — “ -f 6 c~ - b ) - — (6 c - a - h )24 24

9 O 7 7En el cuerpo de forma semiesférica x + y + z" < a ' , z > 0, la densidad varia

proporeionalmente a la distancia desde el punto al centro. Hallar el centro de', ■ í\ - , V. 1 ‘ - ■' i • • • , "i • \ •, ,v » ' Vgravedad de este cuerpo.

Desarrollo

9 9 9 9x~ + y - + z“ < , z > 0 por dato p( r ) = kr

por definición rM -M I

r ám donde Mí í h

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rM =m

r p d V = — fT[ r k r d V M J J J M

S í 'd V c V

donde <3V es el volumen que encierra la masa M, en coordenadas polares

71r = r(sen 9 eos <p, sen 9 sen (/>, eos 9 ) , donde 0 <<9< — , 0 < (() < 2tc, 0 < r < a

(sen 9 eos <¡), sen 9 sen (¡), eos 0).r sen 9 drdO d<j)

M x cu = kr4dr)sen 9 d 9) eos <f>d(f> = 0

M yCM í ' f ' f kr4 dr)sen2 9 d9)sen (/) d (¡> = 0

71*¿ 7 1

2 kr4 cos9sen9d9d(j>dr

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2268

2 _ 7T rInsen'O ¡y kr~ ¡ a kna

l ' A I

M = JJJ*. = j*Jj*p d V ~ k | | | / 3sen O drdO d(f)

dr cv dr

kitcC4 t 4 ^, a _ 5 2<7

M - k .— .2 /r = ------- ; zrM = — :—r = —4 2 GW fcra4 5

- n 2aX C M ~ y C U - O >

Hallar el centro de gravedad del cueipo limitado por el paraboloide

y + 2z“ = 4.x: y por el plano x = 2.

D esarrollo

7.Sea 6V : ^X de donde v 2 + ~ - = 4jc

* = 2 * 1

En el problema no da la función de densidad se asume que esta es constante, es

decir p(x,y,z) = p por definición:

rCM i í f f — ¿ J P -dv dr

donde también por definición M - \ p d \ííf'

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rCM =(-

ÍJP

I r dV

dV

d V j j í .d V c V

A(x)dx donde A(x) es el área de la

d v

correspondiente a la intersección del plano x = x con dW

V2 z 2-— + — = 1 donde 4x 2x

\a - 2

b = yjlx, A(x) = 27TyJ2x

JJf' x dx - 4x^2

dV = V

ev

l+flx J ~ 4 x - 2 f

(d V

V - 2

-42.x J - \ l4 x - 2 z 2dy)dz)dx

Í \j4x - 2z 2 dz)dx - 2^¡2k I x dx\¡2x •*)

por lo tanto xCM -“ ■ t J s Í S Íd V

x d V =\ 6 - J l— A

3 4

A'ÍItt 3

XCM = - > ycM = zcu = 0 por simetría

de la elipse

V =4s¡2n

2269 Hallar el momento de inercia del cilindro circular, que tiene por altura h y por radio de la base a, con respecto al eje que sirve de diámetro de la base del

propio cilindro.

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2270

Desarrollo

(r"sen"(p + z~)r d<p dr dz Tra h 2 „»? x (3 a1 + 4 i r )12

c V

El eje del cilindro se toma como eje OZ, al plano de la base del cilindro como plano XOY. El momento de inercia se calcula con respecto al eje OX. Después de pasar a las coordenadas cilindricas, el cuadrado de la distancia del elemento

r d<p dr dz al eje OX es igual a r 2sen2cp + z2 .

Hallar el momento de inercia del cono circular que tiene por altura h, por radio

de la base a y de densidad p, con respecto al diámetro de su base.

Desarrollo

h y I d dm

c v

yy 1 d 2<pdV

o V

Iyv JJfp I I Í d l dV

V

d = distancia del punto p al eje Y. En coordenadas cilindricas

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2271

opx jixO

-> —> j ky zi o

= - z i + x k

^vy = ^ ~ P C° s2 ^ +d V d V

(1"77) f-71( | ( r 2 eos2 (j) + z 1)rd(j))dr)dz■r r 4' í

“ M(1" i) r 2

r(— + z 2 )dr)dz

„ a4H a2H \ npHa2 2 o » 2 v 2^P(—— + — (3a¿ + 2 H ¿)

40 60 60

Hallar la atracción que ejerce el cono homogéneo, de altura h y ángulo en el

vértice a (en la sección axial), sobre un punto material, que tenga una unidad

de masa y que este situado en su vértice.

D esarrollo

V

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M = masa del cono (se asume que la densidad por la ley de gravitación universal del cono es constante)

—ykm}mj un

Fn - donde ml y m2 son masas puntuales y r12 es la distanciar12

* - k m , u n u nentre ellos, k - constante universal de gravitación Fn = -----~~f—~ — (1)

ri2 > —yFl2 ~ fuerza de atracción de la masa m{ sobre ía masa m2, u n ~ vector

unitario cuyo sentido va de mx a m2

—y —ymx -- dm , ni2 = i , m - (0 , 0 ,//)-- r

en coordenadas cilindricas r - (r eos (p, r sen ó, z)

—>r 12 “ (0 ,0 , h) - (r cos (p, r sen <p, z ) , 0 < (f) < 2 re

0 < z < h

0 < r < a(l - —) h

. k dm(r cos (p, r sen <p,z-h )d i i -i — - 3

[ r + { h - z y ]

para encontrar la fuerza total gravitacional del cono sobre la partícula de masa

m debernos de integrar.

Í Í K - Í Í'dm(r cos (p, r sen <p, z - h )

F r o t a ! = k p

dv dv [r + ( h - z Y ]

\r cos (p, r sen <p, z - h )r dr d = 0r r:n

, j f d t

dv [r + ( z - h ) ]

Mi= 2knp

M h-z) tga

(z — h)dz rdr

[r2 + (/i - z ) 2 ] 2

f2 n k p I (z — h). --- - -- S —- dzh - z

■2/rkp( 1 - cos á ) z j = - 2 xkrph( 1 - cos a )

Ftotal = -2nkph{ \ - cos a ) w.

Demostrar, que la atracción que ejerce una esfera homogénea sobre un punto material exterior a ella no varia, si toda la masa de la esfera se concentra en su centro.

Desarrollo

d F12kmxm2

12«12

¿ F i 2 =k dm m

r 12r312

_ km M dVd Fn = — — — r 12

r 3 Fr12

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hnM dVV * r?

r 1212

r 1 2 = r2 - 1] = (O, O, z0) - (r sen 9 eos <¡), r sen 9 sen </>, r eos 9)

r 12 'i 22 2 '[r .9^7“^ + (z0 + r cos#)z ]2 , entonces se tiene

I

d FkmM 2r senOdrdOdij)

V[r2sen20 + (r eos 9 — z0)" ]2

(r sen 9 eos c¡), sen 9 sen </>, r eos 9 - z0)

íí.ar

*kmM r2sen O drdOd9(r sen 9 eos <j>s sen 9 sen (j), r eos 0 — z0)V

[r2sen20 + (r eos0 - z0)2]2

i«2/res obvio que Fxlolal= 0 (sen<j)d(¡)

Jo

mlrreos (¡)d<¡) = 0)

Fz totalkmM

V f n^ r2sen 9{r eos 6 - z0 )dr d9d<j)

3“[r2sen29 + (r eos 9 - z 0)2]2

2nkmMV ~ ~

Or"sen 9{ r eos 9 - z 0)d 9-)dr

(r + Zq — 2rz0 eos 9 }~

4 r 2f/rAjtkmM

v J í r 2dr

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AirkMm R A ir kMm R

Fzo

F.z total'kMm

■o

además la fuerza entre dos masas puntuales

kMm

'0

.. (a)

( P )

por lo tanto (a ) y (p) son exactamente iguales las expresiones.

7.8. INTEGRALES IMPROPRIAS, DEPENDIENTES DE UN PARÁMETRO. INTEGRALES IMPROPIAS MULTIPLES: . • . ... • ■■ ■ ■ i' ■ ■ ■' ; : • • ;_____;_, m '

Ira. DERIVADA RESPECTO DEL PARÁMETRO.-

Cumpliendo ciertas restricciones que se impone a las funciones f(x,a) y

y a las correspondientes integrales impropias, se verifica la regla de

Leibnis.

f / ( jc, a)dx«X

f a (x,a)dx

2do. INTEGRALES DOBLES IMPROPIAS.-

a) CASO EN QUE EL RECINTO DE INTEGRACIÓN ES INFINITO.-

Si ia función f(x,y) es continua en un recinto infinito S, se supone.

... ó )

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donde C es un recinto finito, situado totalmente en S, entendiéndose por

C —» S, que ampliamos el recinto C según una ley arbitraria, de manera que en este entre y permanezca en el cualquier punto del recinto S.

Si el segundo miembro tiene limite y éste no depende de la elección que se haga de C, la correspondiente integral impropia recibe el nombre de convergente; en el caso contrario se llama divergente.

Si la función subintegral f(x.y) no es negativa (f(x,y) > 0), para que la

integral impropia sea convergente es necesario y suficiente que exista él limite del segundo miembro de la igualdad (1), aunque sea para un sistema de recintos C que completen el recinto S.

b) CASO DE UNA FUNCIÓN DISCONTINUA

Si la función f(x,y) es continua en todo recinto ceñudo y acotado S. a excepción del punto P(a,b), se supone.

... (2)

donde S£ es el recinto que resulta de excluir del S un recinto interior

pequeño de diámetro r, que contiene al punto P. En el caso de que exista él limite (2) y de que no dependa de la fonna de los recintos interiores pequeños que se excluyan del recinto S, la integral considerada se llama convergente, mientras que en el caso contrario, es divergente.

Si f(x,y) > 0, él limite del segundo miembro de la igualdad (2) no depende de la forma de los recintos internos que se excluyen de S; en particular, en

8calidad de tales recintos pueden tomarse círculos de radio -- con centro

-£m*>

en el punto P.

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El concepto de integrales impropias dobles es fácil pasarlo al caso de integrales triples.

2273 Hallar / ' ( j c ) , s í / ( j c )

¡mxjxy

. v

f ( x )

e ^ dy , x > 0

Desarrollo

^ _ ,2 re~A> dy ~~~ I e A> dy + I e xy dy , calculando la derivadar > > + r

Ja Jax va va

f ’(.r) = - e ' ' 3 - j y 1e~xy2 dyJa

UW “00

2274 Demostrar, que la función u - I — — satisface a la ecuación de+ (y - z ) ‘

dzu d 2ulaplace — - + — - = 0

ox" 2Desarrollo

u*« a . .f x x f ( z ) d z du _ r ^

J-x x 2 + ( y - z ) 2 dx J .x

d-'-u „ r ° [ 3 ( y - z ) 2 - x 2) x f { z )_dz(J)

- 2 Í•¿-ocdx2 J-oo [x2 + (>> - z )2 ]3

. F™ ( y - z ) x f ( z ) d z- 2 r

J—ooay JIoo fx2+ (y-z)2r

o 2?/ _ r ” [ 3 ( y - z ) 2 - x 2 ] x / ( z ) < f e

ay2 L íx2 + ( y - z ) 2f

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2275

ahora sumando (1) y (2) se tiene:

d2u 32u _ 2 r [3( y --z)2 - X ]x/(z)<7z | 2

J-Xax ay

p [3 ( j ; ~ z ) 2 ~ x 2 ] x / ( z )^2

J-x [ x 2 + ( y - z ) 2[ x 2 + ( y - z ) 2 ]3 3 - 0

d 2u d2u+

.2 a. .20

a x qy

La transformada de Laplace F(p) para la función f(t) se determina por la

fórmula F(p) = e~pt f ( t ) d t . Hallar F(p) sí

a) f ( t ) - l b) f ( t ) = ea t c) f(t) = sen pt d) f(t) = e o s pt

Desarrollo

a) F ( p ) = T e píf ( t ) d t r -ptdte~pt / * 1— / = (0 -1 ) =p í o p

\_

P

F(P)P

b) F(p) ~ e~p‘f ( t ) d t = f e - p'ea,d t = f e ^ ' d tJO í

/* = () 1 1a - P ¡ o a - p p — a

c) F(p) = jT° e p‘f ( t ) d t = | e pt sen p t d tI_pt - p sen p t - P eos p t V x

0 n~P

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2276 Aplicando la fórmula

í x il 1 ln x dx

x" 1 ln x dx n > 0, calcular la integralb n

Desarrollo

u — ln x

dv ■- x>l ]dx

du -dx

xnV

n

í x"”1 ln Jt ífr = ——- / 1 - - f x" ■' ífc = 0 ! !n/ o n J,

í x ! l n x dx =

/?“ n

2277 Aplicando la fórmulab

£ ptdt - - - , p > 0, calcular la integral I r e ptdt P f

D esarrollo

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2278

2279

f - pl 2j 2 te~pí / x 1 r - p t j i 2 1 1£ / + — I = —[0-h—(—)]

P P ' 0 P Jb P P P

1

p 3

Utilizando la derivación respecto al parámetro, calcular las siguientes integrales.

f — (a > 0, P > 0)v

Desarrollo

- a x ~ f ix r - a x e* - 6 .e — c h \ e , [ edx - I dx — i dx •••(!)

F(a) F(fi)

F(a) = j — <7x => F ’(a ) = - f e axdx = --—- _> F(a) = - ln a ... (2)Jb x J) a

F(/?) = j f rí> F '(/? ) = - £ e = - 2 => F(P) = - ln p ... (3)

Reemplazando (2), (3) en ( i )

P

I

' _ e - f ix ndx = - ln a + ln /? = ln

x a

- a x - Bxe -e-X

senmxdx (a > 0, P > 0)

Desarrollo

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2280

Tí \ ^ SL{sen mx) = ----- arctg —2 m

e ax- e Px k s + a . n s + p .----- sen mxj - (----------------arctg-------) - (-----arctg--------)x 2 m 2 m

e ax- e f3x s + P s + aL{----------------sen(mx)dx) - arctg----------arctg-------

f

x m m

-sx e ax - e Px s + p s + ac .----------------sen( mx)ax - arctg---------- arctg-------m m

f. -s x e ax - e px . ,

lim I e ‘ . sen{mx)dx = hm(arctg----------arctg------- )s->o V x v—>o m m

P aarctg arctg —

m m

farctg a x . — — dxx(l + X )

DesarrollorSea F ( a ) = | arC- ?-a * d x , derivandoA'(l + X )

F'(a) = ídx

(1 + x2 )(1 + a V )

s r ,Ax + B Cx + D 1 r , /F \ a ) = I ( — + ------ •— )<:& = ------- - [arcfg x - a arc/g ax ] /A 1 + x 1 + a x 1-a"

ce

0

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2281

r £ í £ £ 2 £ * = £ i 0„ + a ) 1 *(! + * ) 2

Íl n ( l + a 2 j c 2 ) , . .. .i:-;-:- - dXx 2' i \ - x 2

Desarrollo

v f1 ln(l + a zx2) , , . ,Sea F ( a ) ~ I = = - d x , denvando se tiene:

F \ a ) = - 2 a

i) x 2 yj\

f

.v2

dx

A ( l - a 2x 2) j \ - x 2

- - a Í dx f dx ^ ^ + < 2 ... (1)

(a x -h l ) v l - x 2 J) ( a x - Y ) v l - x 2

— = = = = yja2 -1 ln (a2 + a — 1) ... (2)(ax + l)vl~x2

f = • -- -1 ln(¿z2 - a -1 ) ... (3)J) ( a x - \ ) y j l - x 2

reemplazando (2) y (3) en (1)

F ’(a) = - a l y fa 2 -1 ln(a2 + a -1 ) - \ l a 2 -1 ln(a2 - a -1)]

r~5 “ a + c r - l = - a V a - l l n ( — )2 ia - a - 1

Í 2 2 , ___—— jÜLJL = -1 )

x2V l - . r 2

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2287

Seax = reos O v - r sen O

dx dy = r dr d0

Pasando a coordenadas polares se tiene: Mdy 71

/ 2 2 a 2(x + y +a ) 4a

La integral de Euler - Poisson, determinada por la fórmula / f e x dx , se

puede escribir también en la forma I - e v dy multiplicando entre sí estas

fórmulas y pasando después a las coordenadas polares, calcular I.

Desarrollo

íh> , rr

- X " i . I - v ~Ip = | e"x dx = | <T-V dyíy sea I - lim / el valor de la integral

p ~ y og

Luego Ip = I A c/x | e y dy - í íDonde R n es el cuadrado O ABC de lado P

Sea Rx la región del primer cuadrante comprendida por la circunferencia de

radio P, es decir: +>

Y R2 la región del primer cuadrante correspondiente por la circunferencia de

radio yflp , es decir:S S ‘

~( x2 + y 2 )dx d y , luegot

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2288

0 ~(jr +>' ] dxdy 0 dxdy

R-,

x = r cos 6por medio de coordenadas polares se tiene: <

[y = r sen 0

7T

M

e rdr)dO < / “ < f < r - rdr)dO

dx dy = r dr d0

71 71

l

—r— / rd e oc se tiene: 4 p 4

lim —(1 -e p ) < \ \ m I 2 < lim — (1 -e ¿p )p—>00 4 p—>00 p—■>00 4

7!T _2 1 1 i r2 ^ rn— T

f e x dx —

Calcular j ¿/x j dy | — ----- —Jb Jb «o (x * '+ >y +/ + z 2 +1)2

Desarrollo

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22 8 9

Pasando a coordenadas esféricas se tiene:

x = p eos 0 sen § , y = p sen 0 sen , z = p eos (j)

C y C ; r dz f , f & w w1 & 1 ¡ 7 7 7 T 7 7 T ? - 1 < 1 ( 1 ¡ 7 +? +7 7 m d '

f'f'I p s m j ) 7TV dp)d(j))d9 = —(p +1) »

Averiguar si convergen las integrales dobles impropias.

íí 2 o 2 oln(x + y )¿/xc/y, donde S es él circulo x" + y < 1

Desarrollo

Excluimos de S el origen de coordenadas con su entorno de amplitud 8, es

decir examinamos I£ - J ] W x2 + y 2d x d y , donde el recinto que se excluye

sr

es un circulo de radio 8 con centro en el origen de coordenadas, pasando a las coordenadas polares tenemos:

L = JJ"ln \Jx2 + y 2 * dxdy - r \nrdr)dO - J " [ ~ l n r j ^ r d r \ d 6

2 2 ,27r[—— — ln £ — ] de donde 7 = l i m / = - —

4 2 4 £--»o 2

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2290

2291

íí d xdv, donde S es un recinto que se determina por la desigualdad

(*“ + v“ )

x2 + y 2 > 1 (parte exterior del circulo).

Desarrollo

5

fx 1 •2x

—— - / dO - f (0 + — -— ) d 0 cuando 2 a - 2 > 0^ - 2 / i l 2 a - 2

/r<2 - 1

si a > 1

ci\ TCLuego | | — = —— 7 es convergente si a > 1íí

5(x + y ~)■

íídx dv

s S ( x - y ) 2, donde S es un cuadrado | x | < 1, | y | < 1

Desarrollo

Ponemos a la recta y = x con una franja estrecha y supongamos

íídxdy ^=2= = lim

3l\x~ y)2 " : ~ > 0b b

—7—^ — V/ v + lim^ 7 ) 2 í c/y

b Ja+s l j ( x - y)

Los dos limites existe por lo tanto f f dx dv es convergente.

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2292 ííí; dx dy dz . . — , donde V es un recinto, que se determina por la

(x + y~ + z “)v

2 . 2 2desigualdad + y + z“ > 1 (parte exterior de la esfera)

Desarrollo

Pasando a coordenadas esféricas se tiene:

x = p cos 0 sen (j) , y = p sen 0 sen <\> , z = p cos <|>

v

J) I ( 2 a - 3 ) p i

f ‘í sen(f> d(p)dO si 2 a - 3 > 02 a - 3

f^n — COS (f) /2 a - 3 I

71dO

l a - 3 / o

3 2 3si a > — = ----------- 2 n si a > —

2 2 a - 3 2

JJJi« . . dxdydz 4;r 3

L“'8° 11'(T T T T T f ° " 2 ^ 3 s' a > I

3Por lo tanto es convergente si a > —

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7.9. INTEGRALES CURVILÍNEAS.^

Ira. INTEGRALES CURVILINEAS DE PRIMER TIPO.-

Sea f(x,y) una función continua e y = cp(x), a < x < b, la ecuación de una

curva plana determinada C. Marcamos un sistema de puntos M¡ (x¡, y ;) (i =

0,l,2,3...,n), que dividen a la curva C en arcos elementales M¡_XM¡ =A Si y, -i ■ >' .. ' '■ '• ■ ' ■); 1 8 ' ■ • ; , ' , ‘ r r ? H / ■ ( ,■ '

formamos la suma integral.

S/7 = ^ f(x¡ ;yi )ASi . El limite de esta suma, cuando n —» oo y —> 0/-i

recibe el nombre de integral curvilínea de primer tipo.

(dS es la diferencial del arco) y se calcula por la fórmula

f f {x , y)dS f 7 ( „ ( WJa

1 + (p w (x) dx

En el caso de que la curva C esté dada en forma paramétrica x = cp(t), y = \j/(t),• 1 . i

(a < t < p) tenemos

Se considera también las integrales curvilíneas de primer tipo de funciones de tres variables f(x,y,z), tomadas sobre una curva en el espacio, que se calculan

* , ■ í • < '■» •' i ' 1 ' -':'h ' •" Í,V|análogamente.

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La integral curvilínea de primer tipo no depende del sentido del camino de integración. Si la función sub integral f se inteipreta como la densidad lineal de la curva de integración C esta integral representará de por si la masa de curva C.

2do. INTEGRALES CURVILÍNEAS DE SEGUNDO TIPO.-

Si P(x,y) y Q(x,y) son funciones continuas e y = (p(x) es una curva plana C, que se recorre al variar x desde a hasta b, la correspondiente integral curvilínea de segundo tipo se expresa de la forma siguiente:

En el caso más general, cuando la curva C se da en la forma paramétrica

x = cp(t), y = \|/(t), donde t varia de a hasta p, tenemos:

Fórmulas análogas son validas para la integral curvilínea de segundo tipo tomada sobre una curva en el espacio.

3er. CASO DE INTEGRAL EXACTA.-• > i 1

Si la expresión subintegral de la integral curvilínea de segundo tipo es la diferencial exacta de una función uniforme determinada U = u(x,y), es decir:

P(x,y) dx + Q(x,y) dy = du(x,y) esta integral curvilínea no depende del camino de integración y se cumple la fórmula de Newton - Leibniz.

... (1)

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donde (jq,y ]) es le punto inicial y (x2, y 2) , el punto final del camino. En

particular, si el contorno de integración C es cerrado se tiene:

P(x, y)dx + Q{x, y)dy = 03 ■ >'•* ''4' .V ■

¿ ■'V / '<5 ‘

... (2)

Si, 1) el contorno de integración C está comprendido totalmente en un determinado recinto simplemente conexo S y 2) las funciones P(x,y) y Q(x,y) junto con sus derivadas parciales de 1er orden, son continuas en el recinto S, la condición necesaria y suficiente para la existencia de la función u es que se verifique idénticamente en todo el recinto S la igualdad .

... (3)

Si no se cumple la condición (1) y (2), la subsistencia de la condición (3) no garantiza a la existencia de la función uniforme u y las fórmulas (1) y (2) pueden resultar ser erróneas.

Señalemos un procedimiento para hallar la función u(x,y) por medio de su diferencial exacta, basado en el empleo de las integrales curvilíneas.

4to. FÓRMULAS DE GREEN PARA EL PLANO.-

© Si C es la frontera del recinto S y las funciones P(x,y) y Q(x,y) son continuas, junto con sus derivadas parciales de 1er orden, en el recinto cerrado S + C. Se verifica la fórmula de Green.

donde el sentido del recorrido del contorno C se eligen de forma que el

recinto S queda a la izquierda.

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Sto. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES CURVILÍNEAS.-

El área limitada por un contomo cerrado C, es igual a:

y d x = Q xdy C 1* C

(el sentido del recorrido del contorno debe elegirse contrario al movimiento de las agujas del reloj).

Mas útil para las aplicaciones en la siguiente fórmula.

El trabajo de una fuerza, cuyas proyecciones sean X = x(x,y,z), Y = y(x,y,z), Z = z(x,y,z) (o correspondientemente, el trabajo de un

• »; • í , 1 ' f.„ , '• • • • i •• ' ! .campo de fuerzas) a lo largo del camino de C, se expresa por la integral.

.

A ■ r . fxdx -\- y d y + , zdzr

• .y\, r: . : . .

— 4----------

Si la fuerza tiene potencial, es decir, si existe una función U = u(x,y,z)• í* ■ ; •; ‘ ’ ' ([ / ’ ' ;(• í í ' / "• . y y . . .*»

(función potencial o de fuerza) tal que: 4 “ - x , ~~ = y , — = zdx dy dz

El trabajo independientemente de la forma del camino C, es igual a:

f;[x2, y2',z2 ) Á x 2,y2, z2 )

A - I ; xdx + y d y + z d z - I du = u(x2, y 2 z 2 ) ~ u(x\ y\->z \)

donde (xl , y l , zx) es el punto inicial y (x2, y 2, z 2 ) punto final decamino.

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A)

2293

INTEGRALES CURVILINEAS DE PRIMER TIPO.-

Calcular las siguientes integrales curvilíneas.

í xy dS , donde C es el contorno del cuadrado | x | + | y | = a, a > 0

a x (t) = ( a - a t , a t ) , 0 < t < 1

(0 = ( -a t , a - a t ) , 0 < t < 1

a 3 ( t ) = ( -a 4- at , -a t ) , 0 < t < 1

# 4 (0 = (at, - a + at) , 0 < t < 1

a 2\ t ) = ( - a , -a ) => | a 2'(01 =

a 3’( 0 = ( « , - a ) = > | « 3' ( 0 | = V 2 a

a 4f(OI=>/20

I x y d S = ^ x y d S + | xydS 4- | x y d S 4- | x y dSí i . í .

(a - at)aty¡2a dt 4- - at)\Í2a dt 4-

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2294

+ - a t ( - a + at)\¡2a dt + at( -a + at)\Í2a dt

f xydS = a ^ ¿ - i / 1 + V2a3( 4 + T > / 1 +Jc 2 3 / 0 2 3 / o

¿2 .3 i ,2 .3 i+V2a3( y - ^ - ) / + a i 4 2 { - — + —) /

2 3 / o 2 3 / o

£ ,2 .3 .2 ,3 .2 ,3 ,2 ,3 i;t}>¿S = V2a3[-— -— — + — + -— -—

3 3 2 3 2 2 2 3 / o

= 7 2 a \ t 2 - t 2 + P - t 2) ^ = 0

í s]x2 + y 2 + 4

0(0 ,0) y A( 1,2).

^ , donde C es un segmento de recta que une entre si los puntos

Desarrollo

Sea a(t) = (t,2t) => &X0 = (U2) => | a \ t ) | = y¡5

a(a) = (a,2a) = (0,0) => a = 0

a(b) = (b,2b) = (1,2) => b = 1

f _.r= ( - — ¿ £ = = f1 f ^ dt = ln 1 -Jst + yjst2 +4 | /Jc yjx2 + y 1 + 4 J) V/2 + 4¿2 + 4 i) v 5 ^ + 4 o

/? ^= ln | V? + 3 1 - ln 10 + 2 1= ln| — —

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2295i

2296

í2 2

X Vxy d S , donde C es el cuadrante de la elipse — + — = 1, situado en el

cr b

primer cuadrante.Desarrollo

Sea a(t) = (a eos t, b sen t) => a \ t ) - { -a sen t , b eos t)

¡ a ’(t) |= Va2sen21 + b2 eos2 1

T í

f xy dS — J^2 a cr 2 / 7 o 9 7a eost.bsen tsla~sen~t + b~ cos“ t dt

abi

2 (a2 - b 2)2(¿r - b~)eost sent(a sen~t + b~ eos" í )2¿/í

‘ 3ab 2 i ? ,2 2 \3 / ^ — .—(a sen t + b eos t y

2{a2 - b 2) 3. / o

3 -) oab r/ o .r ab (a ~ -b ) ab(a~ +ab + b )

3 “ [(<*“) “ (*“) “ ] = .— 1~— “T~ = ¡T---------3 (a~—b~) 3 (a“ —b~) 3(a + b)

í

, donde C es el primer arco de la cicloide x = a(t sen t),

y = a(l - eos t).Desarrollo

Sea a(t) = (a(t - sen t), a(l - eos t» , 0 < t < —2

a \ t ) = (a(l - c o s í ) ,asent) => | ar'(/) | = V2«Vl - eos/

/T n

^ y 2dS = ¿ r( l - c o s í ) 2 V2<Wl - c o s í dt = \Í2a} Asen4 — .yflsen — dt

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2297

2298

K

j V í / S = 8a3 J p .2 / \2 *(1 -cos —Y sen —dt 2 2

re

= 8<z3 | (1 - 2 eos2 — + cos4 — )sen—dt2 2 2

O 3/ o / 4 3 ¿ 2 5 Y / 2 ^ 5 6 3= 8¿z (-2 eos — + —e o s eos2 3 2 5 2 / o 15

x 2 + y 2 ¿/S, donde C es el arco de la envolvente de la circunferencia

x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t, at sent) (0 < t < 2n)

Desarrollo

a(t) = (a(cos t + 1 sen t), a(sen t - 1 eos t)) => a '(í) = (at eos t, at sen t)

dS =| a \ t ) \dt = sja212 eos2 t + a 2t2sen2t = at dt

yjx2 + y 2 dS = yja2 (eos t + t sen t)2 + a 2 {sen t - t eos t)2at dt

f

re _______ 2 3 2K 2 3V Í + 7 íA = y ( l + r ) 2 j = ^ _ [ (1 + 4^2 )2 _ 1]

(x2 + y 2 )2 dS , donde C es el arco de la espiral logarítmica r - aem(p

(m > 0) desde el punto A(0,a) hasta el punto O(-ao,0).

Desarrollo

í

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x = r cos cp , y = r sen cp

x - aem(p cos cp

y — aem<p sen cp

Sea a((p) = (aem(p coscp,aem(p sen<p) , oc < cp < com(p

a '(<p) = aem(p (m cos (p - sen (p, m sen (p + eos cp)

a'icp) |= aenétp V mü + 1r

íO „ 9

I V + V- )-

T,(a 5 yjnT +1 5m?1 / 0 __ a3\Jm~ + 1

5/w —00O

í9 9,9 a5 Vw +1(x + y ) dS ~

5m

í2299 I {x-í- y )(IS , donde C es el lazo derecho de la lemniscata r'

Desarrollo

x = r cos <£>

y = r sen (p

x - ciyfcos2(p cos (p

y - dyfcoslcp sencp

Sea a((p) = ( a j eos 2)

e5m<p d(p■oo

= a 2 cos 2(¿9

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444f i, ; , _ ____ . ' ' . . ; r ..Eduardo Espinoza Ramos

2230

„ , . senZcp eos3(p xa\<p) = a(— --------- ,—= = £ = )ylcos2(p y eos 2(p

a \ 6 )| = a 1 a^/cos2~cp -Jcoslp

71

| ( x + >’)J5 '= I (aJeo s 2) j

l u 4 l J 2 . , 2 rz= a~[(------------ ) - ( ---------------)] = a V2

2 2 2 2

4TC

~ 4

f 3 /2 3I (x + z)¿/S , donde C es un arco de la curva x = t, y = - 7= , z - V , 0 < t < 1

Jb V 2Desarrollo

3¿2Sea a ( 0 = , 0 < t < 1

V2

a '( í) = (l,3V2í,3í2) => |a '( 0 |= V T + 1 8 r + 9 /4

f ( x + z )í/5 = jf <7 + /3 ) ^ + 18/2 + 9 t4dt = ~ ( \ + m 2 + 9 t4)2 ^

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2301 ídS

2 ? 2 x + y~ + z, donde C es la primera espira de la hélice circular x

z = a sen t, z = btDesarrollo

Sea a(t) = (a cos t, a sen t, bt), 0 < t < 2n

a \ t ) = ( -a sen t, a cos t,b) => | a \ t ) ^fa2 + b2

1

dS2 , 2 , 2 x + y + z f yja2 + b2dt \¡a2 +Í)2 bt ,2k

a 2 W t 2

DI /arete— /

ab a / o

V#2 +/?2ab

arctg2xb

a

2302 V o o 2 2 2 ^2y “ + z c/S , donde C es el circulo x + y + z - ¿T , y = x

Desarrollo

C :V = -V

paramétrizando la curva se tiene:

a cos t a cos tx = — , z = a sen t, y = 75

, a cosí a cos t ,Sea a ( í) = (— 7=r - , — , asent )75 ’ 75

= a cos t,

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2303

2304

3 2Hallar el área de la superficie lateral del cilindro parabólico y = — x , limitado8

por los planos z = 0, x = 0, z = x, y = 6.

Desarrollo

El área de la superficie lateral del cilindro que tiene la generatriz paralela al eje OZ, cuya base es el cilindro de integración y las alturas iguales a los valores de

la función subintegral, por esto S = donde C es el arco O A de la

3x2parábola y = ----- que une los puntos (0,0), (4,6).

8

312Sea a(t) = (t,— ) , 0 < t < 4

8

3 ........................ 1 9 12

o f L 912 , 4 912 ~ ; 4 1 6 rzz 1NS — I x d S — a I h 1 dt —— (1H ) / —— (37V37—1)Je Jb V 4 27 4 / o 27

Hallar la longitud del arco de hélice cónica x = aet cost , y = a e s e n t ,

z ^ a e *, desde el punto 0(0,0,0) hasta el punto A(a,0,a).

Desarrollo

Sea a(t) = (aef eos t, ae*sen tâe*)

a( tx) = (aet] eos tx, aetx sen tx, aet]) = (0,0,0) => tx —> oo

a ( í2) = (ae*2 eos/2, a e 2sent2, ) = (a,0 ,a) =í> t2 = 0

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2305

2306

a \ t ) = ae*(e o s /- se n t , se n t + cosí, 1) => | a \ t ) |= aefV3

L - j^ | a'(t) \dt = j*0 ayfíe* dt - a\¡3et j — ay¡3 L — ay¡3

i iX~ y

Determinar la masa del contorno de la elipse — + •- = 1 , si su densidad lineala b

en cada punto M(x,y) es igual | y

Desarrollo

M [ p ( x , y)dS donde p(x,y) = | y

2 2c - — + Z _ = i 2 . 2 a b

paramétrizando la curva x = a c o s í, y = b sen t

Sea a(t) = (a eos t, b sen t)

a ' = ( - a sen t , b eos t ) a \ t ) r 2 1 i 2\¡a sen t + b~ eos t

I' rM = I \ y \ d S = | b eos t v eos2

¡O. a b= (b + ——v— aresenia ^ b - a

Hallar la masa de la primera espira de la hélice circular x = a eos t, y = a sen t, z = bt, si la densidad en cada punto es igual al radio vector del mismo.

Desarrollo— — .— » m m » m m i u n a » * .* -»

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2307

M = I p (x ,y , z )d S donde p (x ,y , z ) = yjx2 + y 2 + z 2

M = y[x2 + v2 + z 2 dS y C: a(t) = (a cos t, a sen t, bt)

a'(t) = ( -a sen t ía cost,b) => | a \ t ) |= y¡a2 + b 2

M = yja2 + b 2t2 yja2 + b2dt = yja2 + b 2 y]a2 +(bt)2dt

V# vbt í~ 2 , 2 2 i ir / 2 j 2 2 n ¡ 2n—------------ [— yj ci + b t H ln|¿>/-+-\£Z -\-b t | ] /h 2 2 / o

/ - —

= [2 ;rW a2 + 4 ¿> V + a 2 ln | 2jtb + Va2 + 4 ¿ V | - a 2 ln a]2b

/ 2 Tlr n ,,.2 2 a 2 , , 2bx + ']a2 + 4¿>2;r2 n= Va + 6 [W a + 46z;r + — ln | --------------------------- 1]2/? a

Determinar las coordenadas del centro de gravedad del semi arco de la cicloide

x = a(t - sen t), y = a( 1 - cos t), 0 < t < 27t

Desarrollo

Sea a(t) = (a(t - sen t), a(l - cos t)) de donde

a \ t ) = (a(l - cos t \ a sen t ) => | a \ t ) |= a 4 2 ^ \ - eos/ - 2a sen —2*

M - | a \ t ) \ d t - 2a sen-^dt = - A a c o s ^ j - 4 a

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2308

2309

x —

í a(t - sen t)2a sen — dt 2__

M4 a

y [

a( \ - eos t)2a sen — dt2 4 a

M 3

4 ci 4 aLuego las coordenadas son (— .—-)

3 3

Hallar el momento de inercia con respecto al eje OZ, de la primera espira de la hélice circular x a eos t, y = a sen t, z = bt.

D esarrollo

Sea a(t) - (a eos t, a sen t, bt)

/ pa \ t ) - (-a sen i , eos/ ,b ) | a '(/) ¡ = v a" + h

•2/TI a a 1/ . - Jj (.v2 4- y 2 )/?(.v, y ,z)dS = i (¿T eos" t + a 2sen"i )Ja~ 4- h"'dt

L J)

2 /7 ' > f~ ~> 7 "> j ) _ nü~sja~ 4- b " dt ~ 271 a~ Vu" 4 />"

•o

¿Con qué fuerza influye la masa M, distribuida con densidad constante por la

circunferencia jr“ + y = éC , z = 0, sobre la masa m, situada en el punto

A(0,0,b)?D esarrollo

Sea U(x,y,z) = u función potencial de la ñierza además

. du du duF = I xdx + y d y + zd% donde se tiene: x = — , V = — , z

í dx ' dy dz.

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Luego F - I x dx + y dy + zdz =y¡(a2 + 62)3

donde X = x(x,y.z), Y = y(x,y,z), Z = z(x,y,z) son las proyecciones correspondientes al trabajo de campo de fuerza.

R) IN T E G R A L E S C U R V IL ÍN E A S D E S E G U N D O T IP O .-

Calcular las siguientes integrales curvilíneas.

2310 I ( a " - 2xy)dx + (2xy + y ¿ )dv , donde AB es el arco de la parábola y - a 'J a b

que van desde el punto A(1,1) hasta respecto B(2,4).

D esarro llo

Sea a(x) - (x, x2) , 1 < x < 2

Í ( a 2 - 2xy)dx + (2x>’ + v2 )dy = t [ ( x 2 - 2x~) f (2x3 + x 4 )2x]dx

r 3 4 ^ 5 6 ?x x 4x x(x2 - 2x3 + 4 x 4 + 2x5 )r/x = (--------- + — + — ) /

3 2 2 3 /

8 , 128 64 1 1 4 1= ( — 8 + ------- + — - ( -------- + - + - )

3 5 3 3 2 5 3

70 . 124 1 1219 i n 19 8 + ----- + - = ------ = 40—3 5 2 30 30

2311 I (2a - y)dx + x dy , donde C es el primer arco de la cicloide x - a(t - sen t),íy = a(l - eos t) recorrido en el sentido del crecimiento del parámetro t.

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2312

D esarrollo

íK

7

[(a + a cos/)&(l - eos t) + a~(t - sent)sen t]dt

a f [(1 - cos“ t) + t sen i - sen~t]dt = a" I t sen t dtr/ Ln 2

= a~{sent - / e o s / ) / = ¿ r ( 0 - 2 ; r - 0) = -2cCn/ o

í 2 x y d x ~ x 2d } \ tomándola a lo largo de las diferentes caminos, que parten

del origen del coordenadas 0(0,0) y que finaliza en el punto A (2 ,l).

a) Sobre la recta OmA.

b) Sobre la parábola OnA, cuyo eje de simetría es el eje OY.

c) Sobre la parábola OpA, cuyo eje de simetría es el eje OX.

d) Sobre línea quebrada OBA.

e) Sobre la línea quebrada OC A.

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452 Eduardo Espinoza Ramos.... " t

2313

a) Sea cx(t) = (2t,t), O < t < 1

j 2 x y d x - x 2dy = j [ 4 r .2 - 4 t 2]dt = \ ( S t 2 - 4 t 2)dt= f 4t2dtJoa Jo Jo Jo

4t3 /> _ 4T / o’ 3

b) a(t) = (í, — ), 0 < t < 24

I"7

2 x y d x - x dy = —)c/r = 0 2

c) a ( í ) = ( y , í ) , 0 < t < 1

L 2 x y d x - x20 / o 20

L 2xy dx + x 2dv en las mismas condiciones del problema 2312 ■

Desarrollo

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2312

D esarrollo

r [(a + a eos t)a(\ - eos /) + a~ (t - sen t. )sen t]dt

r

n

~) i t 'ya ' I [(1 - cos~ t) + t sen t - sen~t\dt = a~ I / sen / difa (sent - t eos:os t ) / ~ T

/ o= a~( 0 - 2 7T - 0) = ~2cr K

\JOA

2.vi' dx — x~dy , lomándola a lo largo de las diferentes caminos, que parten

del origen del coordenadas 0(0,0) y que finaliza en el punto A (2 ,l).

a) Sobre la recta OmA.

b) Sobre la parábola OnA, cuyo eje de simetría es el eje OY.

c) Sobre la parábola OpA, cuyo eje de simetría es el eje OX.

d) Sobre línea quebrada OBA.

e) Sobre la línea quebrada OCA.

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2313

a) Sea a(t) = (2t,t), O < t < 1

í 2 x y d x - x 2dy - í [ 4 / 2.2 - 4 t 2]dt = fJoa Jo Jo

(8¿2 - 4 t 2)dt = I 4tLdt

41 / l 43 / 0 3

í

I Í 4 - 12xy dx - x zdy = | (— - f —)dt - 0

c) a(t) = (— ,í) , 0 < t < l<2

2x y d x - x 2dy= (/3i 3o 20

i. I x y d x + x dy en las mismas condiciones del problema 2312

Desarrollo

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2314

2315

t2b) Sea a(t) = (t,—), 0 < t < 2

4

2xy dx + x 2 dy = ( ~ 4- ~ ~ )d t — tJdt - 4

en todas las demás caso también da 4

(x -f y)dx — (x — y)dv . , ? o ?_— _— _— -----— -- , tomando a lo largo de la circunferencia 4- v" - a

x 4- yen sentido contrario de las agujas del reloj.

D esarrollo

Sea a(t) = (a eos t, a sen t), 0 < t < 2rc

J (x 4- y )dx - (x - y)dy | a(sen t 4- eos t )(-« se/; /) - a (eos t - sen t)ci eos t

J „y2 4- v2 Jb a1 eos" t y a 2sen21

í•'\r '> / 2 7 \¿7" (-sen í - sen t eos t + sen t eos t - eos" t ) _

-dt2

a

Í 7 \ ■ ■ / ¿X( - s e n 7 - eos" t)dt = —r / -2/r

o

y 2dx 4 v2c/v , donde C es la mitad superior de la elipse x=a eos t y=b sen t,

que sigue en el sentido de las agujas del reloj.

D esarrollo

Sea a(t) = (a eos t, b sen t) de donde

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2316

¡*71

7 3 9 3( - ab sen t + a~b cos t)dt

íVJZ\—ab2 (1 — eos2 t)sent + a2b{\ - sen21) cos t]dt

9 , eos3 9, • ser? t _ /°= \-ab~ ( - cos t A---------) + a~b(sen t . » ) /

7T

[-ab2( - \ + i ) + a2b( 0 - 0)] - [-a/>2 (1 - 1)]

J

? 2 la b 2 lab2 la b 2 4 2= - a b - ( - - ) - ( -----— = — — A-— — = - a b z

3 3 3 3 3

cos y dx - sen x dy , tomándola a lo largo de segmento AB de la directriz

del segundo ángulo coordenado, sí la abscisa del punto A es igual a 2 y la ordenada del punto B igual a 2.

D esarro llo

Sea a(t) = (-t,t), -2 < t < 2

IJABcos y dx - s e n x dy

XJE

t

( - cos t - sen(-t))dt

( - cos t + sen t)dt

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2317

2318

/2- { - s e n i - eost) j — ( - sen2 - e o s 2 ) - (-sen{-2) - cos{-2))

= (- sen 2 - eos 2) - (sen 2 - eos 2) = -2 sen 2

—íf W ? donde C es el lazo derecho de la lemniscata c x “ + y

r = a eos2<p, que sigue en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

D esarro llo

r 2 = a 2 eos 2(p

r = ay]eos 2 cp

x = r eos cp acospyjeos 2 >

v = r sen cp - a sen cpyjeos 2(p

^ x v ( v d x - x d y ) _ (*4

> ' .v2 - , ’ “ = J

4 ¿/“xen 9 eos ( - a cp sen 3cp-a eos (p eos 2<p)n4

2 2 . 2 2 ¿/ eos 2(p eos cp + a eos 2cp sen (pd(p

j3 | 4 sen cp eos cp{sen (p senicp + eos (peos2(p)

í

d(pa

a 42 J 5

sen 2(p eos 4<p dcp — 0impar

Calcular las integrales curvilíneas de las expresiones diferenciales exactas

siguientes.

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í

;2,3)a) | x dy + v dx

1,2)

D esarrollo

*2 ,3 ) -(2,3) (23)| a* dy + y dx = I d ( a , y ) ~ xy / = 6 - ( - 2 ) = 8

4 -1 ,2 ) 4 - K 2 ) ' (~L2 >

í3,4)

b) | a dy + y dx (0 , 1)

D esarro llo

I

I

3,4) v2 + y2 /<3'4) 25 1xdy + ydx= / = - - - = 12

(0,1) 2 2

i , i )

c) I (a -f y)(dx + dy)(0,0)

D esarrollo

f (1J) f 0 '0 Í A + V ) 2 /I ( a + y)(dx + ¿ /y ) = I (.x- -i- v ) í / ( a + y ) = - — -— /

4 o,0) 4 0,0) 2u+,y ,<'-»=2_0=2

(0,0)

Í 2,l)

2

.2)

2j) dd) | 2 _ _ ( p 0r U11 camino que no corte al eje OX)

D esarro llo

f* ~ ’ 1 } y dx - x dy _ f*2J \ x _ a /

4i,2) • y" 4i,2) y y '(2’i) = 2 _ J _ == 3

y / 0,2) 2 2

■v,3) dx + dy ê) I ^p0r un camino que no corte a la recta x + y = 0)

í L,i) x + y9 9

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2319

íD esarro llo

x'y ) dx + dy - ln(x + y)

2 2

íÍ-A’2 vv2 )

f) | (p(x)dx + y/(y)dyA , , V, )

D esarrollo

Í (a2,V2 ) py 2cp(x)dx + i//(y)dy = I <p(x)dx + I if/(y)dy

V,, v , ) J x l J y ¡

Hallar las funciones primitivas de las expresiones subintegrales y calcular las

siguientes integrales.

f;3,o)

a) | (x 4 + 4 x y 3)dx + (6 x 2y 2 —5y4)dy2 - 1)

D esarrollo

dP 2 P(x, y) = x4 + 4xv3 cyQ{x,y) = 6x2y 2 - 5 y 4 oQ = 2

dx

dP dOcomo — = — es exacta => 3 f(x,y)dy dx

ta lq u e m h A =P(, , y) y s « i z ) . e ( I O ,)dx dy

— 1—— = P (x , y) = x 4 + 4xy3 integrandodx

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v ? ,

f ( x , y) = |( x + 4 xy)dx + g(y) = h 2x 2>'2 + g(y) derivando

Cf(x,y) s 2 2 ií \ n / ¿ 2 2 c 4— = 6* y +g (y) = Q(x, y - 5 ydy

g \ y ) = - 5 y 4 => g(v) = - /

f ( x , y ) = - r + - y 5

Í 3,0) ¿3,0)(x4 + 4 xy3 )dx + (6.v2 v2 - 5 )dy = I df(x, y )

-2 , - 1) 4 - 2 - 1)

/ (3.0) 243 32= f(x, y) = y (3 ,0 ) — / ’(—2, — 1) = ( — ) - ( - — - 8 + l) = 62

/ 1-2,-D 3 5

4o

;u)b) I ( - ¡ ' V , +y)dy + ( J = = = + X)dy

:o,0) yjx~ + y " \¡x~+y

D esarro llo

Y " i ?

(—===== 4- y)dx + -...■'~ 4- „y )¿/v =/ 2 7 1 ”> yjx +y~ yjjir+y

xdx vdy , , xdx+ vdy . .h— p = ^ = - 4- y 4- x dv — — ............... • + y dx 4- x dy

V ~> ~> I 7 T ■ ' ' I 1 1x + v" yjx 4- y \jx 4- y~

d x 4- y 2 ) 4- d(xy) = d(yjx2 + y 2 +xy)

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2320

2321

( i , i )

(J x 4- v~ 4- xv) / —- V2 4- 1/ (0,0)

Calcular la integralx dx 4- vdv!]

, tomándola en el sentido de las agujas del•r ^ 1 + v" + v“

reloj; a lo largo del cuarto de la elipse

primer cuadrante.

D esarrollo

"» 2 X " V’

2 + 7 7a b1, que se encuentra en el

íx dx 4- v dv

V

K04)

4«-0)d(\¡ 1 + a'" 4- y ~ )

Xr X 3 , ( 0 4 )

= 4 1 + X 4- V // (u.0)

— V 1 4 /?” - 1 4 Cí

Demostrar, que si f(u) es una función continua y C es un contorno cerrado

“regular a trozos'1, la f ( x 2 + y 2 )(x dx + y dy) — 0

'■ ' ' 1 i '< ■ ■ . ■ ■■ ■ V'

D esarrollo

o ? ? du . jSea u ~ x~ + v“ — = x ax 4- y dy

2

c ji /( .V 2 + .V2 )(-vdx + ydy)=-^ | / ( « )du = 0I í

' i/ (x2 4- y 2 )(x í/x 4- y dy) = 0

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2322 Hallar la función primitiva u, sí:

a) du = (2x + 3y)dx + (3x - 4y)dy

D esarrollo

Sea \ p 2x + 3 y

| Q = 3.v - 4 v=>

dPcydQdx

= 3

= 3

- d P d O _ .Como — = — - es exacta => d u tai quecy ex

duex

P - 2x + 3y , integrando u = | (2x + 3y)dx + g ( y )

7

u ~ x“ + 3xv + g (y ) , derivando respecto a y

ducy

- 3x + g \ y ) = Q = 3x - 4 v

g \ y ) = - 4 y g (y ) = -2y~ 2 -> 2 u - x + 3xv - 2 v. / • /

7 7 7 7b) du - (3x“ - 2xy + y~ )dx - (x“ - 2xy + 3 y“ )dy

D esarro llo

du_ , U l l . C U . C U _ 1 _ 7 ,Como du - — r/x + ■— c/v entonces — - 3x“ - 2xv + y" , integrando*7 -sex qy <7X

f= I (3 jf - 2xy + )dx + g(>’)

u 2 = x - x~y + xv + g ( y ) , derivando respecto a y

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— = -V- + 2xy + g '(>•) = -(.v2 - 2 xy + 3.V )cv

g '(y) = - 3 y" => g(y) = - v" u - a ' - a " y + a;v" -- v*

, dx dvc) du vx -i- v x 4- y

Desarrollo

. dx dy dx + dv d ( x + y ) ju --------- i-----:— — — —------------ -—

X -r V A* -r V A' 4 V X 4 V

. d (A' 4- V ) ¡ I I I Ilt - i—. in | a' 4 y u = ln x - yf A" 4 V

Calcular las siguientes integrales curvilíneas, tomadas a lo largo de curvas en el1

espacio.

2323 I (y - z)dx 4 (z - x)dy 4- ( a* - v)dz , donde C es una espira de la hélice circularíx - a eos t, y = a sen t, z = bt, correspondiente a la variación del parámetro t

desde 0 hasta 2 ti./■ t .

Desarrollo

& Jt

I ( v -- z)dx 4- (z - x)dy + (a* — y)dz = I [{a sen t - bt)(- a sen t ) 4

af

+(bt - a eos t )a eos t + (aeost - a sen t)b]dt

>2 K9 9( - asen~t 4 bt sen t + bt eos t - a c o s “ t 4 b eos t - b sen t]dt

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f 'a I i~a + b(t - \ ) s e n t 4- b(t + 1)eost]dt

= a[-at 4- b (- t eos 14-2 sen t + t sen 14-2 eos t)] J

= a[(-2aji; - 2b7i 4- 2b) - (2b)] = -2a7c(a + b)

l n

0

2324 donde C « 1. d r c u n íé r e n d , x - R c o s a c o s , .

y = R eos a sen t, z = R sen a (a = constante) recorriendo en el sentido del crecimiento del parámetro.

D esarrollo

C^y dx 4- z dy + xd z - [/? eos a sen t ( - R eos a sen t ) +

4-R sen a R eos a eos t + R eos a eos t.0]dt

Á ln

f [- /?7 eos2 a s e n 2t 4- R 2sen a eos a eos t]dt

L eos2 o r(l-co s2 r)R I [-------------------------- (- sen a coser eos t]dtf

O Oeos" a eos a s e n l t _ / 2yT ->- ----- n ------------------- y sena cosa sent] / = - a eos" a.ir

2 4 / o

12325 I xydx+ vzdy + zx d z , donde OA es el arco de la circunferencia14

~) 0 9x" 4- y" 4- z = 2 R x , z = x, situado por el lado del plano XOZ, donde y > 0.

Desarrollo

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2326

9 9z = x => 2x + y = 2Rx , paramétrizando

2 „ y2 n , V 2 f l 2x -/JxH = 0 => (x ) +2 2 2 4

j ^ R R s¡2R tdonde x - — i— eos t, y = sen t2 2 2

, R R ' J l R Rsera a(t) = (— I— eos t ,-----Rsent, — + — eo s/), 0 < t < —

2 2 2 2 2 2

7T

xy dx + yz dy + zx dz = [(—R R , V2 n R

+ — eos t ) ----- R sen t(---- sen t) +2 2 2

sÍ2 n ,R R , 42 n R R ^ RR sen t(— + — eos t) R eos t + (— + — eos t y ( sen t)\dt

n

2 2 2 2 2 2 , 2

f f c f í - 1 ^

[------- /?3 (1 + eos t)-sen21 + — (1 + eos t )sen t eos t -(1 + eos t)2 sen

8 4 8

= {l z A - J L y/2)R324 32

Calcular las integrales curvilíneas de las diferenciales exactas siguientes:

£16,4,8)

a) | x dx + y dy - zd z1,0-3)

Desarrollo

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c)

d)

X “ 4- V 2 — Z 2 y ( M , 8 ) J L / = —[(36+ 16-64)-(1 + 0 -9 )] = -2

2 / (i,o,-3) 2

£+ Ac)

b) | yzdx + zx dy + xy dz; u , n

D esarro llo

Í{a,b,c) Ma,b, c)

yz dx + zxdy-\- xy dz - I d(xyz) = xyz /

i,u) 4 i,i,d

i

(a%b,c)

( 1, 1, 1 )

3’4,5 xdx + y dy + zdz

o,o,0) a/x +

D esarro llo

fM'5)fga»±£jU f3A5,rf( 7777)+.o,o) y¡x2+ y 2 + z 2 Jo.o.o)

4 x 2 +y 2 +z 2 ñ A'S) = 5 A/ (0 ,0 ,0 )

£* ,J \— )vv yzdx +zxdy + xydz

1,1,1)

D esarro llo

= ln (A ;v z ) /, 1 , r( * ,y ,— )

^ = ln 1 - ln 1 = 0(i.i.O

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C )

2327

2328

F O R M U L A D E G R E E N .-

Valiéndose de la fórmula de Green, transformar la integral curvilínea

I = Q V* 2 + y 2 dx + y[xy + ln(x + yjx2 + y 2 )]dy , donde el contorno C limita Jc

un recinto S.D esarrollo

+ yP = y /^

Q - ylxy + y v •*2 + y2)

dPdy

cQdx

y

+ y

y~ + y

s j y + y 2

i = (j) J x 2 + V'2 dx + y[xv + ln(x + J x 2 + y 2 )]dv = í [(—— - — )dx dyJc J J c-Y cy

S

5r~ ~ r~i 2

y¡X + y ~ yJX + y)dxdy íf-y dxdy

4 2(xlAplicando el teorema de Green, calcular I — ( ^ 2 (x~+ y )dx + (x + y ) dy ,

donde C es el contorno de un triángulo, cuyos vértices están en los puntos A (l,l) , B(2,2) y C (l,3) y que recorre en sentido positivo. Comprobar el resultado obtenido, calculando la integral directamente.

D esarrollo

2 (* 2 + y2)P

£? = ( * + y)=>

dP_dy

dQ, dx

= 2 (x + y)

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2329

/ = 2(x2 + y 2 )dx + (x + y ) 2dy = “ ~Z~)dxdydx dy

í í

2(x - y)dx dy

2(x - y)dy)dx

JT (2 x y - y 1) / dx

70 .. 40-Ax)/' = 4(—— + 2) =

Aplicando la fórmula de Green, calcular la integral - x 2y dx + xy2d y ,

donde C es la circunferencia x 2 + y 2 = R2 , que se recorre en sentido contrario

al de las agujas del reloj.D esarro llo

P = - x ¿y

Q =

dP - x “

R x

ay

a £. dx

= y

aplicando la fórmula de Green

i -xzy dx + xy¿dy = \ \ { - ^ - - — -)dxdyíf‘dx dy

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í í(x2 + y 2 )dx■ H r rdr)dO

i

71 / .R4 / o 4

r \

2330 Por los puntos A(1,0) y B(2,3) se ha trazado una parábola AmB, cuyo eje coincide con el eje O Y, y su cuerda es AnB. Hallar la integral

4J A m B n A

(x + y)dx — (jc — y)dy directamente, aplicando la fórmula de Green.

D esarrollo

y - k = 4 px~■t )

para A( 1,0) se tiene: - k = 4p

para B(2,3) se tiene: 3 - k = 1 6 p

' 1 , tentonces p = —, k = 14

Luego y - x 2 -1

4v A m B n A

(x + y )d x - ( x - y)dy = JT \ ^ - = dxdy

s síf

= -2 n a- 3 ídy)dx - - 2 I ( 3 x - 3 - x ~ +\)dx

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2331

2332

x 3 3x2 / 2 8 1 3-2(------ + ------- 2x) = -3 [ (— + 6 - 4) - + — 2)]

3 2 ! \ 3 3 2

7 3 23 1= - 2 [ ------- --- + 4] = -2[~— + 4] = - -

3 2 6 3

Hallar la integral I exy(y¿dx + (\ +xy)dy) si los puntos A y B están* A m B

situados en el eje O X y el área limitada por el cam ino de integración A m B y

por el segm ento A B , es igual a S.

Desarrollo

Por diferencial exacta se tiene:

. X V / . . 2

f 7 /<*•'I e^[y dx + {\ + xy)]dy = I

J A m B 4 « ,0 ) a ’

(b, 0)

0)

e A(0) (0) - e a<0) (0) = 0 - 0 = 0

Calcular la Cfc — y_^_ exam inar ¿os casos:1 c x 2 + /

a) Cuando el origen de coordenadas esta fuera del contorno C.

b) Cuando el contorno rodea n veces el origen de coordenadas.

Desarrollo

——ydy

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2333

2334

R R

■ i

x d y - y dx _2 2 c X + y

Demostrar que si C es una curva cerrada, entonces: eos(x,n)dS = 0 donde

S es la longitud del arco y n la normal exterior.. . . i- , ' ' - ;• ■ i

D esarro llo

Si se supone que la dirección de la tangente coincide con la dirección deldy

recorrido positivo del contorno, tendremos que cos(x, n) = eos {y, t) = — , pordS

consiguiente:£ f

cos(x, n)dS = dy = 0 cos(x,n)dS = 0

Valiéndose de la fórmula de Green, hallar la integral

/ = (j^ [jtcosO ,n) + ysen(x ,n)]dS donde dS es la diferencial del arco y n, la

normal exterior del contorno C.

Desarrollo

cos(x,n) = cosíy,t)=-¥;dS

dxsen(x,b) = sen(y,t) - — —dS

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2335i ■

Q> [xcos(x,n) +ysen(x,n)]dS = Q (x— - y — )dS = 0 x d y - y d xJc Jc ds ds Jc

í 1[x cos(x, n) + y sen (x, n)]dS = Q x d y -yd xí

p - ~yQ = x

dPdy

dQk dx

= -1

= 1

/ = [xcos(x,n) + ysen(x,n)]dS = ^{-^--~z~)dxdydx dy fí2 dxdy - 2S

R R

i [x cos(x, n) + y sen (x, n)]dS = 2S

Calcular la integral o — —— tomada a lo largo del contorno del cuadradoi 'c x+y\ ii i ' t i " 1 ' í • « ■> , - ■)

que tiene sus vértices en los puntos A(1,0), B(0,1), C(-1,0) y D(0,-1), con la condición de que el recorrido del contorno se haga en sentido contrario al de las agujas del reloj.

D esarro llo

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r dx — el vi *

( ' x ydt - dt 2t -1

mí

4~-dt - dt

■4"1 í

dt — {—d t) f di dtIt + 1 í ; í

j= 0 - 2 dt -f 0 f f2 di - -4 | dt = -4 t / ° - -4 (0 +1) = -4J-i 1 -i

dr — dv

r + v*- -4

D) APLICACIONES DE LA INTEGRAL CURVILINEA.

Calcular el área de las figuras limitadas por las siguientes curvas.

2336 Por la elipse x = a eos í, y = b sen t

D esarrollo

' V7rv .

xdv V d x1O

(a eos i b eos / + b sen f a sent )dt

ib •) n{eos"/ + scn~

ab?

d/rd? 1,7

J / - r/ZiT/ o

•>

2337 Por el astroide r =■ a cosJ / , v - a sen' í

D esarrollo

.7

1 * 1 fv . ' iA - — Q x dy - y dr - 4[— i “ (<7 eos" t.3a sen't eos / -(asetd t)(~3a eos' t sen t ))dt

2 JoC

r r/ >•

~ (3¿r cos t sen't + 3a~ setr i cos“ ¿)dr

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2338

2339

i

= 6 a~K)

/ T - ) 7 1 - i

2 7 2 , 6¿T fz , 6crserrt eos' t dt = I sé77' 2tdt -----4 1 8

T í

7(1 - cos4f)¿//

3¿r r sen 4/ /y 3¿r;rT [' “ r V » = n r

Por la Cardioide x = a(2 cos t - cos 2t), y = a(2 sen t - sen 2t)

D esarrollo

x dy - y dx = (2 cos t - cos 2/)(2 cos t - 2 cos 2 /)

- a (2 sen t - sen 21 )(-2 sen t + 2 sen 2t)]dt

í= I rr[(2cos¿ -cos2 t)(2cost-2cos2 t) + (2sent - sen 2t)(2sen t - 2 sen 2t)]dt

!í= 2a ' I [(2 cos t - co$2t)(cost - cos2t) + {2 sen t - sen 2t)(sen t - sen 2t)]dt

Iy 1 ~ ) " > /

2a~ I (2 eos' t + 2 serrt - 3 cos t cos 21 - 3 sen t sen 2t + eos' 2t + sen“ 2/)r//

2¿72 (3 - 3 cos 3 / - 2 a 1 (21 - ser/ 3o //r

oóa~/r

Por el lazo de Folium de Descartes x3 + y - 3axy = 0 , a > 0

D esarro llo

3<7f 3 « rSea y = tx => x = , v =

1 + /J L + r

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2340

2 í

A = (^) jc dy - y d x , donde la curva es:

->/ . . 3at 3at2 . .« ( 0 = ( 7 , t ) 9 0 < t < o c1 + / 3 1 + c

A = l r ^ ( ~ ) - ~ ^ )2 J) l + r3 i + t3 1 + r 1 + í 3

3at2 v 3¿z/ 2 w 3aí

/Í = 9 í/2 f y dt = 9a2[------- l- r ] / "Jod + / 3 ) 2 3(1 + / ) > o

A = 3a2 (0 + 1) = 3a2u2 A = 3a2u2

iPor la curva (x + y) = axy

D esarrollo

9 9 V , ►

Sea y = xt => (x + xt) = ax~t de donde x = 7 , v = ,o + o 3 ' ( i + / r

at a t2

?at atSea « (/) = ( r , t )

(1 + / )3 (1 + / ) 3

í

¿í, . 1 at at~ a r at

A = — I - d ( --------- ) ------------ T - d { ---------r-)2 J) (1 + / ) (1 + / ) 3 - (1 + 0 (1 + 0

, 1 f114 - 2 / 3 - 2 / 2 - / , a , aA = - I = dt =— ••• A = —

2 J, (1 + 0 60 60

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2341 Una circunferencia de radio rueda sin resbalar sobre otra circunferencia fija,

de radio R, conservándose siempre fuera de ella, suponiendo que — sea unr

número entero, hallar el área limitada por la curva (epicicloide) que describe cualquiera de los puntos de la circunferencia móvil. Analizar el caso particular en que r = R (cardioide)

D esarro llo

La ecuación de la epicicloide tiene la forma:

,_ R + r , _ R + rx = (R + r)cost - re o s 1 ; y = (R +r)sent - r s e n ------- 1

donde t es el ángulo de giro del radio del circulo fijo, trazado en el punto de contacto.

rA - — | x dy - y dx

\ í

R + r . . R + rA = ~ \ ([(tf + r) cos t — r cos------- t][(R + r ) c o s t - ( R + r )c o s ------- 1]

2 A, r r

R -f- r R. “l- r-[(/? + r)sent - r s e n /][—(/? + r)sent -f (R + r)sen------- t])dt

R + r f * , •> R + rA - —-— I [(R + r)(sen~t + cos“ z) — [(7? + 2 r)c o s /co s 1

. R + rA = -------

2

~(R + 2r)(sen t + sen 1) + r cos“ -t + r sen t]dtr r r

[(R + 2 r ) - ( R + r ) eos— t]dt = ——~ ( R + 2r) I ( 1 - c o s — t)dt

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Integrales Múltiples y Curvilíneas AIS

A = ^ - ^ ( R + 2 r ) [ t - - s e n - t ] / ^ A = (R + r)(R + 2r)jt2 R . r ¡ o

2342 Una circunferencia de radio r rueda sin resbalar por otra circunferencia fija, de

Rradio R, permaneciendo siempre dentro de ella, suponiendo que — sea un

r

número entero, hallar el área limitada por la curva hipocicloide descrita por cualquiera de los puntos de la circunferencia móvil, analizar el caso particular

en que r ~~~ (astroide).

D esarro llo

La ecuación de la hipocicloide se obtiene de la ecuación de la epicicloide correspondiente (ver problema 2341) sustituyendo r por - r es decir:

R — r R — rx - ( R - r ) eost + r eos 1 ; y - (/? - r ) s e n t - r s e n 1

r " r

donde t es el ángulo de giro del radio del circulo fijo, trazado en el punto de

contacto.

1A = — I x dy - y dx

1 f&X _ y . g __ y -

A = — I ([(i? - r) eos t + r eos —-— í][(7? - r ) eos t - ( R - r ) eos------ í ] -

R — r R — r-[(i? - r)sen t - r sen------- 1] [-(i? - r)sen t - ( R - r)sen------- 1 ])dt

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2343

AR - r

í

K(R - 2 r ) | ( 1 - c o s — t)dt = ——- { R - 2 r ) ( t - — sen — t ) ¡

2 R r / oRr

.7 1

AR - r

(R - 2r)(2n - 0) de donde A = (R - r)(R - 2r)n

p i R r , 3RPara el caso en que r = — se tiene A = ------k4 8

Un campo está engendrado por una fuerza de magnitud constante F, que tiene

la dirección del semi eje positivo OX. Hallar el trabajo de dicho campo, cuando

un punto material describe, en el sentido de las agujas del reloj, el cuarto del

círculo = R" que se encuentra en el primer cuadrante.

D esarro llo

rWAB = I F .d i de donde d i - dx i + dy j => F = F i

fWAB = \ F d x = FIf ••• WAB = F.R

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2344 Hallar el trabajo que realiza la fuerza de gravedad al trasladar un punto

material de masa m, desde la posición v4(X),y,,z,) hasta la posición

z 2) )(el eje OZ está dirigido verticalmente hacia arriba).

D esarro llo

Fuerza de gravedad: x = 0, y = 0, z = -mg

Zj < z < z2 , z > 0

como x = y = 0 => dx = dy = 0

cuya magnitud es proporcional al alejamiento del punto respecto al origen de coordenadas, si el punto de aplicación de dicha fuerza describe, en sentido

2345 Hallar el trabajo de una fuerza elástica, dirigida hasta el origen de coordenadas,

x vr r m t r a r i n a l d e l a s a c n i i a s HpI r p l n i e l e n a n t n d e la e l i n s e 1-------------= 1 situado

Fuerza elástica x = kx, y = ky

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2346 Hallar la función potencial de la fuerza R(x,y,z) y determinar el trabajo de dicha fuerza en el trozo de camino que se da, sí:

a) x = 0, y = 0, z = -mg (fuerza de gravedad) y el punto material se desplaza

desde la posición A(x{, y x, z x) a la posición B(x2, y 2, z2) •

, . ux uy k z , .

b) x - — - , y = — - , z = — —, donde u = constante yr r r

V9 9 9+ y + z “ (fuerza de atracción de Newton) y el punto material se

desplaza desde la posición A(a,bc) hasta el infinito.

9 9 9c) X - - k ~ x , Y = - k y , Z = - k z , donde k = constante (fuerza elástica),

9 9 9 9estando el punto inicial del camino en la esfera x" +>’“ + z = JR y el9 9 9 9final de la esfera x + y~ +z~ = r~ (R > r)

, : « • . . ' . • - 4 *

D esarro llo

a) Fuerza potencial = diferencial exacta x = y = 0, dx = dy = dz, z = -mg

íw - I -m g d z = -m g ( z l - z 2)

b) w= Jx dx + y dy + z dz =-u x dx - uy dy - u dz u

3 ¡ 2 t2 2, 2 1 V cl + b + c(x“ + y + z~ Y

c) X = - k 2x , y = - k 2y , Z = - k 2z

w = - k 2 \x dx + y dy + zd z es exacto

w = - k 2 ( f ( R2) - f(r))

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/

479

7.10. INTEGRALES DE SUPERFICIE.

le r . IN T E G R A L E S D E SU P E R F IC IE D E P R IM E R T IP O .-

Sea f(x,y,z) una función continua y z = cp(x,y) una superficie regular S.

La integral de superficie de primer tipo representa de por sí él limite de la suma integral.

n

LA___ ___■ « -* 0 0

f ( x , y , z ) d S = lim y

i ____

donde AS¡ es el área de un elemento i de la superficie S, al que pertenece el

punto (x¡, y ¿,z¡); el diámetro máximo de estos elementos en que se divide la

superficie tiende a cero.

El valor de está integral no depende del lado de la superficie S que se elija para la integración si la proyección C de la superficie S sobre el plano XOY es uniforme, es decir que cualquier recta paralela al eje OZ corta a la superficie S en un sólo punto, la correspondiente integral de superficie de primer tipo se puede calcular por la fórmula:

2do. IN T E G R A L D E S U P E R F IC IE D E S E G U N D O T IP O .-

Si P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z) y R = R(x,y,z) son funciones continuas y S es

la cara de una superficie regular S que se caracteriza por la dirección de la

normal n(cos a , eos p, eos y) la correspondiente integral de superficie de

segundo tipo se expresan de la forma siguiente:

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] P dy dz + Q dzdx + R dxdy = f f(P eos a 4- Q eos f i + R eos y)dS

-v y mi ¿í a h * v > •*

Al pasar a la otra cara S de la superficie, está integral cambia su signo por el contrario.

Si la superficie S está dado de forma implícita F(x,y,z) = 0, los cosenos directores de la normal a esta superficie se determinan por las fórmulas

ip '~ iu'

1 dF 1 dF 1 dFeos a - — .— , eos p —— .— , cosx = — .—D dx D dy D dz

donde D = ± J (— )“ + (— ) + (— ) y el signo que ponga delante deldx dy dz

radical debe elegirse de acuerdo con la cara de la superficie S que se tome.

3er. F Ó R M U L A D E S T O C K E S .-

Si las funciones P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z) y R = R(x,y,z) tienen derivadas continuas y C es un contorno cerrado, que limita una superficie bilateral S, se verifica la fórmula de STOCKES:

r/— < f íP BRJ ^ ¿dQ dP. ,[(—---- — } eos a + (~ — — ) eos P + { - — — ) eos y] dS

dy dz cz dx dx

donde eos a , eos P y eos y, son los cósenos directores de la normal a la superficie S, debiendo determinarse la dirección de la normal de tal forma que, desde esta, el recorrido del contorno C se efectúa en sentido contrario al que siguen las agujas del reloj (en un sistema de coordenadas de manó derecha).

Calcular las siguientes integrales de superficie de primer tipo.

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2347

2348

í í(x 2 + y 2)dS , donde S es la esfera x 2 + y 2 + z 2 - a 2

Desarrollo

2 2 2 2 x + y + z = a

dz

¿k

X dz yV « 2 - * 2 ~ v 2 ’ c> V « 2 - * 2 -

í í í í(x2 + y 2 )dS = I I (x2 + y 2) J l + ( |^ )2 + (— )2 ¿x dy

ex dyS D

í í (*2 + / ) J i + \ — 7 + — 4 — 2 dxdya - x - y a - x - y

D

= a íí2 2 + y

D

I 2 Iy]a - xdxdy

y

dr)dO• t ' h h

3 i) 3

J I / x 2 y y dS, donde S es la superficie lateral del cono2 2 2

= o ,a 2 a 2 2

(0 < z < b)Desarrollo

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2349

*2 y 2 zl a b l— + — - - y = 0 => z = - Va a b a

dzdx

bx (7Z bya^jx2 ~+y2 + _y2

JFx 2 + y 2 d s JF + ( ^ ) 2 + A 2* ^dx dy

D

yjx2 + y 2 ll + b2y 2+ — JLJ L — dxdy

Da 2(x 2 + y 2) a2(x 2 + y 2)

JF dxdy

D

<2jV*2+.',2dxdy

D

yJa 2 4-d— T( r,2 í /r V ^ = 2 f W Z ± Z

Calcular las siguientes integrales de superficies de segundo tipo.

Ií>>z ¿/y ¿/z + x z ¿/x ¿/z + x>> í /x dy , donde S es la cara exterior de la superficie

del tetraedro limitado por los planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = a.*

> ’

Desarrollo

Según el teorema de Gauss.

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2350

I íí-( h 1 )dxdydz= \ \P d y d z + Q d zd x + R dxdy

dx dy dzs

Pcomo <| Q

R

yzxz

xy

dP_dxdQdydRdz

= 0

= 0 luego se tiene:

= 0

ííy zd y d z + x zd zd x + xydxdy = | | | (—— + —r~ + ~~)dx dy dzí í í dx dy dz

k

í í í(o + 0 + ü)dx dydz = 0

í í2 2 2 x y z

z dx dy , donde S es la cara exterior del elipsoide T + 7T + T - 1a b~ c

D esarro llo

2 ^ 2x y za b e

1 =>2 2 :

* + ^ = i - za2 b2 ‘ c2

z 2 I z 2el eje mayor es: a j 1— j ; el eje menor es: b j 1

Área de la elipse es: A = 7c(base mayor)(base menor)

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2351

Jf fzdxdy = 2n | ab( 1 - ~ ) d z = 2irab{z - ~ t ) j = 27iab{c - Y v3c'

Jfz dxdy = Anabc

ííx dydz + y dzdx + z dxdy , donde S es la cara exterior de la superficie de

la sem i esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , (z > 0).

D esarro llo

Según el teorema de Gauss.

P = Y

<C? = y

P = z2

a p

SR_dz

= 2x

2z

Jfx 2dy dx + y 2dz dx + z 2dx dy = 1 1 1(2* + 2 v + 2z)dx dy dzhf

A'

Jff71

2 x dx dy dz = 8 Yb J

I 2 I- r

) •

44 * ¿2 7T

r ( r c o s 0)dz)dr)d0 = a arcsen \= -----

íff;r2 I I Ij2¿/x¿/y£/z = 8 ma

(

/ 2 2 'a —rr.r sen 0 dz)dr)dO

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352

2 j j j z d x d y d z = 8 (

( -e o s# ) j

k r?*3(

O JO

o 2

r.zdz)dr)dO = ------

&

por lo tanto se tiene:

4 _ 4 _ 4 _ 4

íí2 2 , , 2 » i a n a n a tc a tíx dyaz + y dz dx + z dxdy = ------------------1-------- = -------

Hallar la masa de la superficie del cubo 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1, si la

densidad superficial en el punto M (x,y ,z) es igual a xyz.

D esarro llo

Sobre el plano XY, 0 < z < 1

1 n \ 2 /dz 2 iZ = i => j i + ( — ) + ( — r = iex dy

Sobre el plano XZ, 0 < y < 1

y - , =* +OX dz

V-14 / 0 4

Sobre el plano YZ, 0 < x < 1

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2353

X = 1 =>dy dz

Mi = | < | ( 1 W z W , = |y /W = f U , =

3por lo tanto Masa = M = M x + M 2 + A/3 = —

Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la cápsula parabólica

homogénea az = x 2 + y 2 , (0 < z < a)

D esarro llo

p(x,y,z)= 1, 0 < z < a

1 . 2 2 \ dz 2x dz 2yz = - ( x ~ + y z) => — = — , — = —a dx a dy a

2 2 2 2 2 z = a => az = x + y => x + y = a

M = , P ( x , y , z ) l + (— ) + (— ) ¿JhV*'\) dx

_ . _ 2 - 2' 4 a:2 4 /1 + — — + —— dy)dx

V a2

\a2- x 2 1y] a2 + 4(x2 + y 2 )dy)dx

x = rc o s# t=> dx dy = r dr d0

y = rsenG

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2354

M - f ( f ry¡ar +4rI dr)d0 = ~(5^5-1)a Jb J) 6

M xv = f f z p ( x , y , z ) d a = | ( f°— 'Ja2 + 4r2dr)d8 =^-^-{25^[5 +1)JJ J) Jb a a60R

- _ M xy _ a (25^5 + 1) M 10(5^5-1)

x = v = 0 , pues la cápsula es simétrica respecto al eje Z.

Hallar el momento de inercia de la parte de superficie lateral del cono

z = y[x2 + y 2 (0 < z < h) con respecto al eje OZ.

D esarro llo

r “> 2 dz x dz y

8x V x 2 + y '8y

íí-2 2\ I, r z \2 ,dz ~L

I \(x + y + +(— )~dydxR

z = h => z — y¡x2 + v2 => x2 + y 2 - h2

i z = f í ( x 2 + y2) J i + j j ( * 2 +

R R

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2355

/ 7 = y¡2 J J í *2 + y 2)dx dy = yÍ2 J 'J r2.rdrd& = y¡2 r3dr)dO

R R

4 j f ) / o 4 / o 2

Valiéndose de la fórmula de STOCKES, transformar las integrales:

a) (x 2 - yz)dx + (y 2 - zx)dy + (z2 - xy)dz b) i y dx + zd y + xd z

P

Q

= x - yz

= y 2 - y z

R - z - x y

D esarro llo

dR dQ dP dR dQ dPdydR

dz

dQdy dz

dz dx dx dy

0 . = 0dz dx dx dy

ia) (x ~ yz)dx + (y - zx)dy + (z - xy)dz

í ídR dQ .dPdR. _

[ ( - f -)cos or + ( - — — ) cos + ( - — — ) cosdy cz dz dx ex cy

í í(0 cos a + 0 cos p + 0 cos y)dS = 0

s

b)

P

QR

yz

X

ioII dQ = xdR SQ

dy dz dy .dz

a p - n , dR 1— = \ => <dP dRdz dx dz dx

a e - o ,

ll&

dQ dPdx dy dx< dy

= -1

= -1

= -1

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I


i ¿ ¿ j i i i y ^ dQ, ,dP dR dQ dP.ydx + zdy + xdz = 11[(—----- — )c o s¿2 + (—-— ) e o s¡3+ — — )cos/ ]<i¿dy dz dz dx dx dy

í íeos a + eos p + eos y)dS

2356

Aplicando la fórmula de STOCKES, hallar las integrales que se dan a continuación y comprobar los resultados, calculándolas directamente.

í

(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz , donde C es la circunferencia

x 2 + y 2 + z2 = a2 , x + y + z = 0

D esarro llo

P = y + z Q = z + x R = x + y

í

8R dQSy dz8P dRdz dxdQ dPdx dy

= 1- 1=0

= 1- 1=0

= 1- 1=0

(y + z)dx + (z + x)dy + (x 4- y) dz

í í, ,r/dR a o , ,&P dR. . ,8Q 8P.

= 11[(— “ a ) cos a + + — — )c °s /? + ( - — — ) eos y]dSdy dz dz dx dx dys

í í(o cos ex + 0 cos P + 0 cos y)dS = jJo.¿/ó, = 0

5 S

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2357i

O O(y - z)dx + (z - x)dy + (x - y)dz , donde C es la elipse* + y = l , x + z = lc

D esarro llo

Según el teorema de Stockes: Qn.rot(f)dS = f.dr ... (*)

D

como ndS = dS = ruxrv du dv expresamos (*) como xrv .roí f dudvÍFD

tomada sobre la región D sobre el plano uv

f(y - x, z - x, x - y) expresado como vector, tomado sobre el plano x + z = 1 y

la circunferencia x2+ y 2 =l que es D.

Si las ecuaciones del plano se toman comox = uy - v la normal positiva n tiene z = \ - u >

la dirección de ruxrv = [1 ,0 ,- l]x[0,1,1] = [1,0,1]

Donde r = rv = y el elemento de área vectorialCU CU CU OV CV CV

es: n.dS = ruxrvdu dv = [1,0,\]dx dy

ahora él ™ ,(/ ) = . S . í p . )dy dz dz dx dx

= ( - 1 - 1 , - 1 - 1 , - 1 - 1 ) - ( - 2 ^ 2 )

Luego J*j« rot(f)dS = J*J[1,0 ,1].[—2 ,- 2 ,- 2 ]dxdy = -4 JJdxdyD D D

pero D es el área de la circunferencia de radio 1 entonces

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Integraém M úkipfasy Curvilíneas 491

c j (y -z )dx + ( z - x)dy + (x - y)dz - -4 | | í / j c dy - - 4 (n r2) = | -4n | = 4tí

D

i2358 a x dx + (x + y)dy + (x + y + z)dz , donde C es la curva x = a sen t, y= a eos t,

z = a(sen t + eos t) (0 < t < 2n)

D esarrollo

—►a(t) = (a sen t , 0 eos t , t + eos /) ) , 0 < t < 2tc

x dx + (x + + C* + J + z )dz -c

r [a sen t(a eos i) + a(sen t + eos t){-a sen t) + 2a(sen t + eos t)a(eos t - sen t )]dt

a2 (~3sen2t+ 2cos2 t)dt = a2 [ - — —^°S- —■ + 1 + cos2¿]¿/¿

* i 5(----- b — cos2t)dt = - n a 2

2 2

2359 Q y 2dx + z 2dy + x 2d z , donde ABCA es el contorno del A ABC con los J a b c a

vértices en los puntos A(a,0,0), B(0,a,0) y C(0,0,a)

Desarrollo

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2360

AB = {A + { B- A) t l O<t <\ } = {(a

y'dx + z dy + x~dzAB

í

- I [a2t2(-adt + 0) =

/•' t i l -

BC = {B + ( C - B)t / 0 < / < 1}

Joc

= {(0, a - at, at) / 0 < t < 1}

.3(0 + a212 { -a dt) + 0 = - —

CA = {C + ( A - C)t / 0 < t < 1} = {(at, 0, a - at) / 0 < t < 1}

( j v2dx + z 2dy + x 2dz = - a 3 I t 2dt = - —JC4 i ) '

3

3

í

3 3 32 , ? , 2 t a a a 3

v á + z dy + x dz ----------------------- - - aA B C A 3 3 3

¿En qué caso la integral curvilínea / = (j Pdx + Qdy + R dz será igual a cero,

para cualquier contorno C?

D esarro llo

V curva cerrada C se tiene 1 = 0 entonces

P dx + Q dy + R dz es una diferencial exacta

at, at, 0) / 0 < t < 1J

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dR dQ dP dR dQ _ 8Pdx dx dvc v CZ C2

1 =í

Pdx + Qdy + R dz = I I c o s a +í ía p a/? _ . a e ap^+(_------— ) eos p + (----------- ) eos y]dSdz dx dx dv

í í(0 . eos ex -V 0. eos P + 0. eos y )dS — J | O.dS — 0

s sí í

í

/ = n P dx + Qdy + Rdz = Q'c

7.11. FORMULA DE OSTROGRADSKI -■ GAUSS.-

Si S es una superficie regular cerrada, que limita un volumen Vx y P = P(x,y,z),

Q = Q(x,y,z) y R = R(x,y,z) son funciones continuas, junto con sus derivadas parciales de 1er orden en el recinto cerrado V, se verifica la fórmula de Ostrogradski -- Gauss.

í í(P c o sa + £> eos P + R cosy)dS í í í

ap dQ dR _ , . ,( h — h )¿/jc dy dz

dx dy dz

donde eos a , eos p, eos y, son los cósenos directores de la normal exterior a la superficie S valiéndose de la fórmula de Ostrogradski - Gauss, transformar las siguientes integrales de superficie, sobre la superficie cerrada S, que limitan el

volumen V (donde eos a , eos p, eos y son los cósenos directores de la normal

exterior a la superficie S).

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2361

2362

2363

í íxy dx dy + yz dy dz + zx dz dx

sD esarrollo

i j i j dx dy + yz dy dz + zx dz dx - J J j/z dy dz + zx dz dx + xy dx dy

s s

í í í[^ - + (zx) + - f - (xy)]dx dy dzex ey ez

v

í í í(o + 0 + 0 )dx dydz = 0

v

ííxy dx dy + yz dy dz + zxd zdx = 0

íí2 2 2 x dydz-\-y dzdx + z dxdy

D esarro llo

J*jx2dy dz + y2dz dx + z 2dx dy - | | | [

5 V

r d 1 d 2 0 2 - * , , ,[— x “ H----- y H z Jdx dy d:dx dy ez

í í í= 2 (x + y + z)dx dy dz

íív

x co sa + y eos J3 + z eos y ío . ;

íx2 + y 2 +dS

Desarrollo

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2364

V * 2 +>'2 + z'

Q

R =

y

+ z ‘

,/x 2 + _y2 + z 2

dP 2 2 / + Zdx 3

2 1 + / + z 2)2dQ 2 2 xz + /dy 3

(x2 + y 2 + z 2) 2dR 2 2 x + ydz 2

(X2 + / + Z 2 )2

í íx cos a + jy cos p + z cos y

2 " " 2 " _2v í í í¿/S = I I l ( i 1 )dxdydz

dx dy dzv

í í í2 dx dy dz

V2 2 2x + y + z

í í(— cos a + — cos fl + — cos y)dSdx dy dz

D esarrollo

dup =dxdu

Q = cydu

R =dz

dP d2udx dx2dQ d2udy dy2

dR d2udz dzÁ

í ícu

(— cos a-i----- cos p -i-— cos y)dSdx dy dz

s Ví í í

(SP_+ SQ + SR_)dxdydzdx dy \dz

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2365

2366

í í ív

d2u d2 u d2 u

Valiéndose de la formula de Ostrogradski - Gauss, calcular las siguientes integrales de superficies.

í í x dydz + y dzdx + z~dxdy , donde S es la cara exterior de la superficie del

cubo 0 < x < a, 0 < y < a, 0 < z < a

D esarro llo

J dz + y 2dz dx + z 2dx dy = í í í - + 2y + 2 z)dx dy dz

= 2 f < H (x + y + z)dz)dy)dx = 2 f ' f ^ T ■]/dy)dx

= 2 1 ° ( J Í t ( x + y a + ~2^dy'*dx = 2 j ‘(-axy + - j - + ~ y.) / odx

2 jT(a2x + a 3)í/x = 2a2( ^ - + a x ) j = 2 a2 ( ^ ! ) = 3a4 2

ííx dy dz + y dz dx + z dx dy , donde S es la cara exterior de la pirámide

limitada por la superficie x + y + z = a, x = 0, y = 0, z = 0

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■ I


2367

2368

| í ( i dy dz + y dzdx + z dx dy) = J j j ( l +1 +1 )dx dy dz

s v

í í

H - x ma—x —y m m - x( I dz)dy)dx - 3 I ( i (a - x - y ) d y ) d x

Jo J d Jd

= 3f[(<1 dx " 3 ( a - » ) ’ / *

_ _ I [ 0 - ^ 1 = 2 Í3 3

x 5dydz + y 3dzdx + z* d xd y , donde S es la cara exterior de la esfera

2 2 2 2 x + y + z = a

j j 'x3dy dz + y* dz dx + z 3dx dy = 3 í í í

Desarrollo

2 . 2 , 2(x + jT + z )dx dy dz

v0.7T

f ( ^ ^ P Asen<¡)dp)d<l>)de = | £ ( j ^ Sf -~fd<t>)dO

t t ( ^sen^d<¡>)d9 = ^ - £ - e o s # j * d 9

> t ■ • , ■ ' •

3« 5 f2" ............... „ 6 a 5 f 2* ,a 12 5du = — a nf ' - ' - . ' - T Í

f f ( x 2 co sa + j 2 eosP + z 2 c o s y )d S , donde S es la superficie exterior total

2 2 2

del cono + 2 .------7 = 0 , 0 < z < ba2 Ir <■

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2369

D esarro llo

j j ( x 2 eos a + y 2 eos ¡3 + z 2 eos y)dS = Jíh + 2y + 2z)dx dy dz

pasando a coordenadas cilindricas

9 2 2 2 b rx~ + y — a => x = r eos 0, y = r sen 0, z = — —a

br

\ \ ( x 2 cos or + y 2 eos f i + z2 eos y)dS = 2 r 2 (eos 6 + sew # + —)¿/z drdO

s

f

n *a 2 br( I [r (c o s# + se/2 6) + ~ V I a dr)dO

_ 2 b f2^ r

a Jo A3 é r((eos 6 + sen 6)r i )dr)dO

2a

2b f2* _ a4 a 4¿>r

jj

[(eos 0 + sen 6)— + ------]d 0a 1 4 8a

2 b r, a o y a 3 w 2*= — [(sen0 - c o s &)— + ------ ]a 4 8 / o

2 2 2 a b 7T(x cos a + y cos P + z cos y)dS = --------

Demostrar, que si es una superficie cerrada y í cualquier dirección constante

(eos(n9 i)dS = 0 donde n es la normal exterior a la superficie S.ÍJ‘5

Desarrollo

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Como P, Q, R son constantes t ~ dirección constante

Jfeos (n,£)dS= Jff + dxdydz = JJjÔ + 0 + 0 )dxdydz

. dxdydz- 0

370 Demostrar, que el volumen V, limitado por la superficie S, es igual a

K=- j Q(xcosa+ ycos {}+ zcosy)dS, donde eos a , eos p y eos y son los

5

cósenos directores de la normal exterior a la superficie S.

Desarrollo

p = *3

o - i - <

R . í3

dx 3

dy 3

dR_}_^dz 3

V~~ Q(xcos a + ycos P + zcos y) dS5

-i Jff4 ííí

^ r ^ + Í T ^ +^(¿Í)dxdydz=f + 1 + dxdydz V v

Jff' 1 1

3 dxdydz- 111 dxdydzv

Jff 1 ÍJ<V - 111 dxdydz- j | |(* c o sa r + y c o s /? * z c o s / ) ^

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Demidovich Solucionario - Eduardo Espinoza Ramos - Tomo III