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Cuaderno de Estadística y Probabilidad. Para estudiar y practicar lo básico de la estadística general.
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DEPÓSITO LEGAL: lf 03220043101342X
Prologo
El cuaderno de Estadística y Probabilidad, refleja en forma sencilla y práctico los
contenidos básicos de la Estadística General y Probabilidad Estadística.
Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un
instrumento que facilite el proceso de aprendizaje por el área.
La Estadística desempeña una ayuda importante para los estudiantes y profesionales
que buscan en ella, una herramienta confiable de medición, análisis y estudios de
casos y fenómenos que nos interesan.
El enfoque que le doy a la Estadística en este cuaderno, va dirigido a los estudiantes
y docentes, que andan en busca de una propuesta mas simple y resumida sobre el
tema. Se encierra aquí, todos los temas básicos que a mi juicio, necesitan los
interesados para avanzar a una estadística más compleja.
Atentamente:
Prof. Luis Eduardo Camacho Sáez
Educación Integral: Mención Matemática.
Especialista en Planificación y Evaluación
Egresado de UPEL-IUMP
T . S . U Administración de Recursos Humanos.
Los Teques, Mayo del 2004
1
Agradecimientos:
Especialmente a:
A mi esposa: Yormary por su apoyo constante.
A mis hijos: Maria Fernanda y Adrián Eduardo por ser la
inspiración de todo mi trabajo.
A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.
2
Contenido
PARTE I: Definición de Estadística..............................................................................5 Población......................................................................................................5 Muestra.........................................................................................................5 División de la Estadística.............................................................................6 Etapas de la investigación estadística..........................................................6 La estadística en la educación...................................................................7,8 Variables (cualitativas y cuantitativas).....................................................8,9 Unidad estadística.........................................................................................9 Dato estadístico.............................................................................................9 Medición......................................................................................................10 Escalas de medición...............................................................................10,11 Razón, proporción..................................................................................12,13 Porcentaje, porcentaje de cambio...............................................................13 Índices..........................................................................................................13 Sumatorias.............................................................................................14,15 Ejercicios de la parte I...........................................................................16,17
PARTE II: Distribución de frecuencias simple...................................................18,19,20 Distribución de frecuencias para datos agrupados en intervalos....21,22,23 Histograma de frecuencia...........................................................................24 Polígono de frecuencia...............................................................................24 Polígono de frecuencias acumuladas.........................................................25 Otros tipos de gráficas ( líneas, barras simples y dobles, circular)..........26, .......................................................................................................... 27,28,29 Ejercicios de la parte II....................................................................30,31,32
PARTE III: La media aritmética (simple, para una distribución de frecuencias simples, para datos agrupados en intervalos, ponderada, de varias medias)..........33, ...........................................................................................................34,35,36 La mediana (para datos no agrupados, para datos agrupados en frecuencias simples, para datos agrupados en intervalos)..............................37,38,39,40 Cálculo de la mediana en forma gráfica.....................................................41 La moda (para datos no agrupados, para datos agrupados en frecuencias simples, para datos agrupados en intervalos).......................................41,42 Relación entre las medidas de tendencia central........................................43 Asimetría.....................................................................................................44 Percentiles, cuartiles, deciles.....................................................................45 Cálculo de las medidas de posición para datos no agrupados y para datos agrupados en intervalos..............................................................45,46,47,48
3
Medidas de dispersión.......................................................................48,49,50 Desviación típica...........................................................................50,51,52,53 La varianza............................................................................................54,55 Ejercicios de la parte III.........................................................56,57,58,59,60
PARTE IV: Correlación positiva, negativa y nula................................................61,62,63 Coeficiente de correlación de Pearson. Interpretación del coeficiente..............................................................................................64,65 Coeficiente de correlación escolar..............................................................65 Confiabilidad. Métodos para calcularla................................................65,66 Método de confiabilidad por mitades..........................................................66 Método de confiabilidad de Kuder Richarson.........................66,67,68,69,70 Ejercicios de la parte IV.........................................................................71,72
PARTE V: Definición de probabilidad...............................................................73,74,75 Experimento aleatorio, espacio muestral....................................................75 Suceso, suceso seguro, suceso imposible, probabilidad condicional.........76 Ejemplos............................................................................................77,78,79 Ejercicios....................................................................................................80 Teorema de la Suma...............................................................................81.82 Teorema de la Multiplicación................................................................83,84 Distribución Binomial.........................................85,86,87,88,89,90,91,92,93 Distribución Normal...................................................................................94 Tabla estandarizada...................................................................................95 Ejemplos de Distribución Normal.....................................................96,97,98 Ejercicios de Distribución Binomial....................................................99,100 Ejercicios de Distribución Normal............................................................101 Bibliografía................................................................................................102
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PARTE I:
Estadística:
Es una ciencia que tiene por objeto tomar una decisión basados en la
recopilación, organización, presentación y análisis de datos. La estadística es
descriptiva, deductiva (nos lleva a una solución) todo esto es basado en una
investigación con el fin de llegar a una conclusión.
La parte de la estadística que trata de describir y analizar los datos sin sacar
conclusiones se llama estadística descriptiva. La parte de la estadística que trata de
dar soluciones y conclusiones para los cuales son válidos, se llama estadística
inductiva o inferencial.
Población:
Es una colección de datos con características especiales (cualidad) de un grupo
de individuos o de un grupo de objetos.
Ejemplos:
1.- Conjunto de cadetes de la Guardia Nacional.
2.- Número de docentes del Estado Miranda.
3.- Investigación de los sueldos mensuales de los médicos de un hospital.
Muestra:
Es una parte de la población que se elige con el fin de investigar las propiedades
de la población de donde fue extraída.
Ejemplos:
1.- Cadetes del 2do año de la Guardia Nacional.
2.- Número de docentes del Municipio Guaicaipuro.
3.- Sueldos mensuales de los médicos de la unidad de pediatría.
Elemento Característica
Alumno Estatura, sexo, edad, calificaciones.
Docente Salario, estado civil.
Hogar Gastos.
5
División de la Estadística:
La estadística puede dividirse fundamentalmente en dos partes: Estadística
Descriptiva y Estadística Inferencial.
Estadística Descriptiva:
Esta se ocupa de la recolección, clasificación, ordenación, tabulaciones y
representaciones gráficas de los datos estadísticos que se deriven de la medición de
las características objeto de estudio.
Estadística Inferencial:
Esta se propone obtener conclusiones válidas de la población en estudio, a partir
del análisis de subconjuntos representativos llamados muestras.
Etapas de una Investigación Estadística:
En una investigación estadística podemos distinguir seis etapas:
1.- Planificación de la investigación: esta depende del tipo de investigación ya sea
descriptiva o explicativa (comprobación de hipótesis). Dentro de la investigación
debemos:
a.- Formular el problema de investigación.
b.- Determinar los objetivos generales y específicos de la investigación.
c.- Indagar los antecedentes de la investigación.
d.-Establecer la unidad de investigación : se refiere a quien va dirigida la
investigación, la cual puede ser un docente, un alumno, una escuela, etc.
e.- Determinar si se va a estudiar la población en su totalidad o solo una parte de
ella, es decir, una muestra. Si se trabaja con la población el método se llama censo y
con una muestra se denomina muestreo.
f.- Planificar la elaboración de los censos, encuestas o los test.
g.- Elaborar el cuestionario: que consiste en preparar una serie de preguntas o items
cuyas respuestas proporcionaran los datos para la investigación.
2.- Recolección de los datos: consiste en distribuir y recoger los cuestionarios y
además se debe verificar la calidad de la información obtenida.
6
3.- Sistematización de los datos : consiste en la presentación de los datos a través de
tablas y gráficas estadísticas.
4.- Análisis estadístico: se hallan las medidas de tendencia central, posición,
variabilidad, asimetría, relación. Inferencias para la población respectiva,
estimaciones y comprobación de hipótesis.
5.- Interpretación de los resultados: consiste en traducir las medidas estadísticas
obtenidas y el lenguaje relativo al fenómeno estudiado.
6.- Publicación de los resultados: se dan a conocer los resultados de la investigación
a través de un informe.
La Estadística en la Educación:
Hamdan (1994) afirma que la escuela como elemento clave dentro del sistema
educativo, dados sus objetivos y metas, requiere del auxilio de la estadística para
cubrir los aspectos:
1.- Recabar, clasificar y analizar los datos que generan el manejo de la matricula
escolar con el fin de dar respuestas a las preguntas:
.- Características de los alumnos a su ingreso en el sistema escolar: físicas,
actitudinales, económicas, etc.
.- Características de los docentes: personales, académicas, etc.
.- Distribución de los estudiantes dentro del sistema.
.- Comportamiento de la deserción, repitencia, prosecución escolar.
.- Control del personal administrativos y servicios.
2.- Evaluación escolar:
.- Medida de rendimiento estudiantil.
.- Análisis de grupo o individualidades.
.- Test de aptitudes.
.- Prueba de instrumentos de evaluación: confiabilidad y validez.
3.- Investigación del proceso escolar:
.- Problemas especiales dentro del sistema escolar.
7
.- Interrelaciones intra-sistemas o Inter-sistemas.
4.- Prospectiva del sistema escolar: predicciones a los distintos niveles.
Variables:
Cuando se realiza un estudio estadístico de cierto fenómeno, debemos determinar
cuales son las características de los elementos que constituyen el objeto de nuestra
investigación, estas características deben ser susceptibles de ser definidas o medidas.
Tales características reciben el nombre de variables. Las variables se simbolizan
con las tres últimas letras del alfabeto: X, Y, Z.
Variables Cualitativas (atributos):
Son aquellas que no se pueden medir, es decir, no se pueden expresar mediante un
número. Los atributos se expresan mediante conceptos (palabras).
Ejemplos:
Religión: católica, evangélica, judía.
Nacionalidad: venezolana, extranjera.
Sexo: masculino, femenino.
Variables Cuantitativas:
Son aquellas que pueden ser medidas y se expresan por una cantidad (numero).
Las variables cuantitativas las podemos clasificar en: Variables Discretas y
Variables Continuas.
Variables Discretas:
Son aquellas que admiten únicamente valores numéricos enteros.
Ejemplos:
.- Numero de alumnos inscritos en la Universidad Católica.
.- Cantidad de becas escolares otorgadas por el MECD.
.- Números de escuelas católicas que hay en Caracas.
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Variables Continuas:
Una variable es continua si admite valores fraccionarios.
Ejemplos:
.- Peso de un alumno.
.- Temperatura en Caracas en determinado día.
.- Costo en bolívares de la lista escolar.
Unidad Estadística:
Es el resultado de una observación hecha sobre un fenómeno individual.
Ejemplos:
.- La calificación de un alumno.
.- El sueldo de un docente.
Dato Estadístico:
Se define como el resultado de la observación de muchas unidades estadísticas.
Ejemplos:
.- Las calificaciones de un grupo de alumnos.
.- Los sueldos de un grupo de docentes.
Estadístico:
Es una persona que trabaja en la elaboración y análisis de estadísticas.
Estadísticas:
Son datos agrupados en forma de tablas y gráficas, elaboradas por entidades
públicas o privadas y publicadas para el conocimiento del público interesado.
Parámetro:
Son medidas que describen numéricamente la característica de una población.
Ejemplo:
La calificación promedio de todos los bachilleres graduados en Los Teques en el
año 2002.
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Medición:
Al elaborar estadísticas con unidades y sus variables, es necesario contarlas,
jerarquizarlas y medirlas.
Ejemplo: Unidad (alumno)..........variables......... sexo, edad, estatura, califica-
ciones, cociente intelectual, etc.
Forma de medir las Variables:
a.- Escala Nominal (categorías):
Consiste en aplicar números y otros símbolos para clasificar en categorías las
características observadas, las cuales deben ser mutuamente excluyentes y
colectivamente exhaustivas, es decir, cada observación debe ser clasificada en una
sola categoría y todas las observaciones deben ser clasificadas en alguna de las
categorías.
Ejemplo:
Muestra: Docentes de una escuela....................clasificación por religión
Católicos
Evangélicos
Judíos
Otras
Ninguna
Las categorías de clasificación no están ordenadas de ninguna forma; el hecho de
colocar una observación en una categoría particular, simplemente indica que es
diferente de otras observaciones hechas en otras categorías y no debe considerarse
que sean más o menos importantes que otras observaciones.
Ejemplos:
.- El número de C.I.
.- El color del cabello.
10
.- Clasificación de los profesionales.
.- El origen racial.
Con este tipo de escala se pueden hacer algunas operaciones estadísticas:
.- Podemos contar cuantos elementos hay en cada una de las categorías formadas y
así obtener sus respectivas frecuencias y porcentajes.
.- Podemos calcular la categoría que tiene mayor frecuencia, la cual recibe el
nombre de Moda.
.- Obtener algunas medidas de correlación, como el coeficiente de contingencia.
.- Aplicar algunas pruebas de hipótesis como la Ji-Cuadrado.
b.- Escala Ordinal (rangos):
Puede ser que los elementos de una categoría no solo sean simplemente distintos
de las otras categorías, sino que estén en alguna relación con ellos.
Los elementos de esta escala se clasifican jerárquicamente por la relación
“mayor que” o “menos que”.
Ejemplo:
.- Resultado de las votaciones: primero, segundo, tercero.
.- Velocidad: alta, media, baja.
.- Rango militar: soldado, cabo, sargento.
La medida estadística de tendencia central más apropiada para esta escala es la
Mediana y además podemos usar los métodos estadísticos no paramétricos.
c.- Escala de Intervalos:
Es aquella que permite que los elementos no solo puedan ser ordenados, sino
también asignados a ciertos números, de tal manera que unas diferencias iguales
entre los números asignados a esos elementos reflejen diferencias en las cuantías de
las características que se han medido.
El punto cero de la escala de intervalos es arbitrario y no refleja la ausencia de la
característica observada, por tanto no resulta apropiada ni la multiplicación y la
división de los números.
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Ejemplos:
.- La escala de temperatura centígrada.
.- La escala de calificaciones.
.- Escalas para medir la inteligencia.
d.- Escala de Razón:
Se diferencia de la escala de intervalos únicamente por poseer un punto cero
verdadero, es decir, que el valor cero de esta escala significa ausencia de la
característica observada.
Ejemplos:
.- El ingreso familiar.
.- El número de hijos de un grupo de familias.
.- El número de alumnos.
Razones, Proporciones y Porcentajes:
Razón: Es un cociente que indica la relación existente entre dos cantidades, una
como numerador con otra como denominador, pero el numerador no debe estar
contenido en el denominador; por tanto la razón puede ser un número mayor que la
unidad.
R = a R = razón
b a = dato que posee la característica
b = dato que no posee la característica
Ejemplo :
En una escuela hay 500 alumnos, de los cuales 300 son varones y 200 son
hembras. La razón de varones con respecto a las hembras es: R = 300 varones = 3
200 hembras 2
Proporción:
Es un cociente que indica la relación existente entre una cantidad y el total de las
unidades consideradas. La proporción se calcula mediante la ecuación:
12
P = a a = cantidad n n = unidades consideradas
Ejemplo:
Se aplicó un test a un grupo de 40 personas, de los cuales 25 son mujeres y 15 son
hombres. La proporción de mujeres es:
P = 25 = 0,625
40
La proporción de hombres es: P = 15 = 0,375
40
Porcentaje:
Son proporciones que se han multiplicado por cien.
P % = P . 100 P % = Porcentaje
P = Proporción
Porcentajes de Cambio:
Son los que indican la diferencia existente entre dos cantidades en forma
porcentual. Se clasifican en porcentajes de aumento y porcentajes de disminución.
Porcentajes de Aumento: Pa = M – m . 100 M = cantidad mayor
m m = Cantidad menor
Porcentajes de Disminución: Pd = M – m . 100 M = cantidad mayor
M m = cantidad menor
Índices:
La palabra índice se emplea para estudiar una variable en función de otra con la
que está relacionada. Dos índices usados en el campo educativo son : El índice de
repitencia y el índice de deserción.
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Índice de Repitencia:
Indica el porcentaje de repitientes en cada curso, especialidad o nivel.
Ir = Tr . 100 Tr = total de alumnos repitientes en un año.
M M = matrícula inicial del curso en el año.
Índice de Deserción:
Presenta la proporción del total de desertores y la matrícula inicial del curso,
rama o nivel de educación.
Id = Td . 100 Td = total de alumnos desertores en un año.
M M = matrícula inicial del curso en el año.
Sumatoria:
La suma de un gran número de términos la podemos indicar mediante la letra
griega ∑. Por ejemplo la suma:
n
X1 + X2 + X3 + X4 + ..........Xn = ∑ . Xi
i = l
n = limite superior de la sumatoria. I = toma valores desde el limite inferior hasta el limite superior. ∑ = sumatoria. I = l limite inferior de la sumatoria. n
∑ . Xi = se lee “suma total de Xi cuando i va desde l hasta n” i = l
Propiedades de la Sumatoria:
1.- La sumatoria de dos o más variables es igual a la suma de las sumatorias de cada
una de las variables: ∑ (Xi + Yi ) = ∑Xi + ∑Yi
2.- La sumatoria de una diferencia de dos o más variables es igual a la diferencia de
las sumatorias de cada una delas variables : ∑ (Xi -Yi ) = ∑Xi -∑Yi
3.- La sumatoria del producto de una constante por una variable es igual al producto
de la constante por la sumatoria de la variable: ∑ K .Xi = K . ∑Xi
4.- La sumatoria de una constante K, desde l hasta n, es igual a n veces la constante:
14
n
∑ K = n . K i = l
Ejemplos:
Dados los siguientes datos: X1= 8 X2 =12 X3 = 4 X4 = 6 X5 = 11
X6 = 9 Y1 = 13 Y2 = 7 Y3 = 5 Y4 = 15 Y5 = 1 Y6 = 10 y la
constante K = 10. Usando las propiedades de la sumatoria, determinar:
5
1.- ∑ Xi = X2 + X3 + x4 + X5 = 12 + 4 + 6 + 11 = 33 i =2
4
2.- ∑ Yi2 = Y1
2 + Y22 + Y3
2 + Y42 = 132 + 72 + 52 + 152 =169+49+25+225=468
i =1
4
3.- ∑ 15 .Xi = 15 . ( X1 + X2 + X3 + X4) = 15 . (8+12+4+6) = 450 i =1
GUIA DE EJERCICIOS
Una empresa proyecta lanzar al mercado una nueva galleta con sabor a mandarina, y realizan un test de aceptación, usando una escala de 1 a 10 puntos, en una muestra de 80 alumnos. La muestra estuvo compuesta por igual número de alumnos de ambos sexos y con edades comprendidas entre 7 y 12 años de una escuela en Los Teques. a.- ¿Cuál es la población? b.- ¿ Cual es la muestra? c.- ¿Cuál es la variable? d.- ¿ La variable es cuantitativa o cualitativa?
A continuación se dan una serie de ejemplos donde se utiliza variables, Identifica cuales son: atributos, variables discretas o continuas. a.- Marcas de cuadernos ________________________ b.- La velocidad de un automóvil _________________________ c.- Cantidad de pupitres de una escuela _________________________ d.- Peso de un alumno _________________________ e.- Estado civil __________________________ f.- Puntos obtenidos en el lanzamiento de un dado _________________
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Si se estudia la población de Venezuela.¿ La estatura promedio de todos los
habitantes de Venezuela es un parámetro o un astadígrafo?
Los resultados en una evaluación de Matemática fueron:
Aprobados = 12
Aplazados = 10
Inasistentes= 8
Determine: a.- La razón de alumnos aplazados respecto a los alumnos
aprobados.
b.- La proporción de inasistentes.
c.- El porcentaje de aprobados.
Dados los datos:
X1 = 20 ; X2 = 14 ; X3 = 5 ; X4 = 8 ; X5 = 3 ; X6 = 11
Y1 = 17 ; Y2 = 4 ; Y3 = 16 ; Y4 = 9 ; Y5 = 1 ; Y6 = 19
y la constante k = 30. Usando las propiedades de la sumatoria, determine:
1.- 5
∑ Y12
i=1
4
2.- ∑ Xii=2
6
3.- ∑ ( Xi – Yi ) i=3
5
4.- ∑ ( Yi + Xi ) i=2
5
16
5.- ∑ 60 . Xi i=2
6
6.- ∑ 9 . Xi2
i=2
PARTE II:
Distribución de Frecuencias Simples:
Cuando se dispone de gran número de datos, es útil el distribuirlos en clases o
categorías y determinar el número de individuos pertenecientes a cada clase, que es
la frecuencia de clase. Una ordenación tabular de los datos en clases, reunidas la
clases y con las frecuencias correspondientes a cada una, se conoce como una
distribución de frecuencias o tabla de frecuencias.
Pesos Frecuencias X f
46 1
47 4
48 5
49 3
50 2
51 3
52 2
53 3
∑ n = 20
17
Frecuencias Acumuladas:
Pesos Frecuencias Frecuencias Acumuladas X f fa
46 1 1
47 4 5
48 5 10
49 3 13
50 2 15
51 3 18
52 2 20
∑ n = 20
Frecuencia Relativa:
fr = f fr = frecuencia relativa
n f = frecuencia
n = total de datos de la muestra.
18
Ejemplo: la proporción de alumnos con 50 kg de peso es: fr = 3 = 0,15 20
frecuencia Porcentual:
fp = 2 . 100 = 0,1 . 100 = 10% 20
Pesos Frecuencias X f fa fr fp
46 1 1 0,05 5
47 4 5 0,20 20
48 5 10 0,25 25
49 3 13 0,15 15
50 2 15 0,10 10
51 3 18 0,15 15
52 2 20 0,10 10
∑ n = 20 1 100%
Distribución de Frecuencias para datos agrupados en intervalos:
Regla:
1.- Determinar el mayor y el menor entre los datos registrados y así encintrar el
rango (diferencia entre el mayor y el menor de los datos).
2.- Dividir el rango en un número conveniente de intervalos de clase del mismo
tamaño. Los intervalos de clase se eligen también de forma que las marcas de clase
o puntos medios coincidan con datos realmente observados. Esto tiende a aminorar
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el llamado error de agrupamiento, en los análisis matemáticos posteriores. Sin embargo,
los límites reales de clase no coincidirán con los datos observados.
3.- Determinar el número de observaciones que caen dentro de cada intervalo de
clase, es decir, encontrar las frecuencias de clase.
Ejemplo:
5 8 11 12 14 17 6 9 1 13 15 17 6 10 11 13 15 18 7 10 12 14 16 18 8 10 12 14 16 19
Rango: es la diferencia entre el valor máximo de la serie y el valor mínimo.
R = VM – Vm
Entonces: R = 19 – 5 = 14 , nuestro rango es R = 14
Intervalos: se toma atendiendo la postura del investigador, en nuestro caso
tomaremos arbitrariamente m = 5.
Amplitud de Intervalos: C = R C = 14 = 2,8 M 5
Aproximamos para que sea un número entero: C = 3 Vm + (C-1) = 5 + (3-1) = 5+2 = 7 , entonces el primer intervalo es 5 – 7
Calificaciones
X
5 - 7
8 - 10
11 - 13
14 - 16
17 - 19
∑
Ahora la tabla nos quedará:
20
Calificaciones N° de Alumnos fa
X
5 - 7 4 4
8 - 10 6 10
11 - 13 8 18
14 - 16 7 25
17 - 19 5 30
∑ n = 30
Marcas de Clase o Puntos Medios de los Intervalos:
Mc = Li + Ls 2
Mc = 5 + 7 = 6 Mc = 11 + 13 = 12 Mc = 17 + 19 = 18 2 2 2
Calificaciones N° de Alumnos fa Mc
X
5 - 7 4 4 6
8 - 10 6 10 9
11 - 13 8 18 12
14 - 16 7 25 15
18 - 19 5 30 18
∑ n = 30
Limites Reales o Verdaderos: vienen dados por la suma del límite superior de un
intervalo más el límite inferior del intervalo siguiente dividido por dos:
7 + 8 = 7,5 ; 10 + 11 = 10,5 ; 13 + 14 = 13,5 ; 16 + 17 = 16,5 2 2 2 2
Calificaciones N° de Alumnos fa Mc Limites Reales
21
X
5 - 7 4 4 6 4,5 - 7,5
8 - 10 6 10 9 7,5 - 10,5
11 - 13 8 18 12 10,5 - 13,5
14 - 16 7 25 15 13,5 - 16,5
17- 19 5 30 18 16,5 - 19,5
∑ n = 30
22
23
Polígono de Frecuencias:
El polígono de frecuencias es un conjunto de puntos unidos mediante segmentos
de recta .
Pasos para la elaboración del polígono:
1.- Se trazan dos ejes de coordenadas rectangulares.
2.- Se colocan sobre el eje de las abscisas las marcas de clase y en el eje de las
ordenadas sus respectivas frecuencias.
3.- Para cada marca de clase corresponderá un valor de la frecuencia, señalado en
el sistema de coordenadas rectangulares por un punto.
4.- se unen los puntos mediante segmentos de recta.
5.- Cuando de elabora el polígono de frecuencias se deben dejar en blanco dos
marcas de clase, una por la izquierda y otra por la derecha, con frecuencia cero para
cerrar el polígono.
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Polígono de Frecuencias Acumuladas u Ojiva:
La ojiva indica las frecuencias acumuladas que corresponden a cada uno de los
intervalos.
Pasos para elaborar la ojiva:
1.- Se trazan dos ejes de coordenadas.
2.- Se colocan sobre las abscisas los límites reales de los intervalos y sobre las
ordenadas las frecuencias acumuladas.
3.- Se ubican los puntos en el plano cartesiano.
4.- Se unen los puntos, partiendo del límite real inferior del primer intervalo.
Ojiva
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 12 13 - 15
Calificaciones
Alumnos
25
Otros tipos de Graficas:
26
Circular
27
Anillos
13
5
7
8 1 - 3
4 - 6
7 - 9
10 - 12
13 - 15
28
29
GUIA DE EJERCICIOS:
Un alumno realizó una encuesta a sus profesores y encontró que sus edades
eran las siguientes: 32, 28, 32, 28, 40, 32, 21, 30, 32 y 25 años. Elabore una
distribución de frecuencias simple.
Las edades de un grupo de niños son: 8, 3,5, 4, 6, 8, 3, 4, 7, 7, 5, 6, 3, 4, 6 ,6,7
y 5 años. Elabore una distribución de frecuencia simple.
Se aplicó una prueba a 12 alumnos y las calificaciones fueron: 12, 10, 14, 17,
12, 9, 10, 16, 17,11, 13 y 15 puntos. Elabore una distribución de frecuencias
simple.
Las contribuciones, en Bs. de 30 alumnos para una campaña de limpieza en la
escuela, fueron las siguientes:
85 90 75 65 90 115 75 100 80 55
110 75 60 80 90 100 100 80 45 90
120 80 60 5 120 110 75 65 85 60
Elabore una distribución de frecuencias para datos agrupados en 6 intervalos
y luego grafica: histograma, polígono y la ojiva.
30
Los resultados de una evaluación de geografía, aplicada a 30 alumnos fueron:
10 16 8 18 5 17 1 12 16 17
6 5 14 13 19 18 15 11 8 6
10 13 14 12 9 7 15 14 10 17
Elabore una distribución de frecuencias para datos agrupados en 5 intervalos y
luego grafica: histograma, polígono y ojiva.
El peso en Kg. de un grupo de 40 estudiantes resultó ser:
52 57 55 57 61 59 55 53
56 58 61 63 54 57 52 64
54 50 58 54 51 60 59 54
52 62 64 50 64 60 62 60
55 60 55 60 58 53 55 62
Elabore una distribución de frecuencias para datos agrupados en 5 intervalos y
luego grafique: barras, polígono y ojiva.
La matricula de una escuela durante el período 1997-1998-1999-2000-2001-
2002 fue:
Años 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Alumnos inscritos 250 340 400 450 580 700
Elabore una gráfica de líneas y una gráfica de barras
Dada la siguiente tabla:
31
Sexo
Rendimiento Masculino Femenino
Excelente 20 10
Bueno 60 50
Regular 40 25
Deficiente 15 12
Elabore una gráfica de barras dobles.
Se realizó una encuesta a 7500 alumnos para conocer la preferencia hacia
ciertos sabores de un determinado refresco del mercado. Los resultados
fueron:
Sabor N° de Alumnos
Uva 1875
Manzana 1125
Pera 3000
Durazno 1500
Elabore una grafica circular o de sectores.
PARTE III:
32
Medidas de Tendencia Central:
Las medidas de tendencia central son los números alrededor de los cuales se
encuentra la mayoría de las observaciones de una serie
La Media Aritmética:
Es el punto de balance de una distribución. Se le denomina simplemente media X .
Media Aritmética Simple:
Se calcula sumando todos los datos y dividiendo por el número de ellos. La media de
un conjunto de números: X1, X2, X3,..........Xn se obtiene mediante la ecuación:
X = X1 + X2 + X3..........+ X = ∑ Xn n
Ejemplo: Calcule la media de las siguientes calificaciones: 18, 16, 18, 16,20, 18, 14,
16, 18, 14
X = 18 + 16 + 18 + 20 + 18 + 14 + 16 + 18 + 14 = 168 = 16,8 10 10
Media Aritmética para una Distribución de Frecuencia Simple:
Cuando el número de datos de la muestra es elevado, el calculo de la media se
simplifica si agrupamos los datos en una distribución de frecuencias simple.
Pasos para calcularla:
1.- Se multiplica cada dato por su respectiva frecuencia.
2.- Se suman estos productos.
3.- Se divide la suma anterior por el numero total de datos de la muestra, es decir:
X = ∑ f . X n
Ejemplo: Los siguientes datos corresponden al numero de hijos de un grupo de personas:
33
2 0 2 4 4 6 6 4 6 7
4 4 7 4 2 0 4 6 7 7
Calcular la media de hijos del grupo, usando una distribución de frecuencias
simple:
N° de Hijos N° de Personas f . X
X f
0 2 0
2 3 6
4 7 28
6 4 24
7 4 28
∑ 20 86
X = ∑ f . X = 86 = 4,3 n 20
Media Aritmética para datos agrupados en Intervalos:
Cuando los datos están agrupados en intervalos, el cálculo de la media se hace de
la siguiente manera:
1.- Calculamos las marsas de clase correspondientes a cada intervalo.
2.- Multiplicamos cada marca de clase por su respectiva frecuencia.
3.- Sumamos los resultados obtenidos y lo dividimos por el número total de datos de
la muestra:
X = ∑ f . Mc n
Ejemplo:
34
La siguiente distribución representa las calificaciones de 30 alumnos en una
evaluación:
Calificaciones N° de alumnos Mc f . Mc
X f
5 - 7 4 6 24
8 - 10 6 9 54
11 - 13 8 12 96
14 - 16 7 15 105
17 - 19 5 18 90
∑ n =30 369
La calificación promedio o media del grupo es:
X = ∑ f . Mc = 369 = 12,3 puntos n 30
Media Aritmética Ponderada:
Pasos para calcularla:
1.- Multiplicar cada valor por su respectiva ponderación.
2.- Sumar todos los productos y dividirlos por el número total de ponderaciones.
X = w1 . X1 + w2 . X2 +…….………. + wn . Xh = ∑ w . X W1 + w2 + w3 +…………….wk ∑ w
Ejemplo:
35
La siguiente tabla representa las asignaturas cursadas por un alumno de
Administración de Recursos Humanos en un semestre:
Asignatura Calificación Unidad Crédito
Nómina 7 3
A .R .H 8 2
Registro y Control 5 3
Evaluación y Eficiencia 9 4
Calcular su rendimiento promedio en el semestre.
X = 7 .3 + 8 . 2 + 5 . 3 + 9 . 4 = 21 + 16 + 15 + 36 = 88 = 7,33 12 12 12
El promedio del alumno en el semestre es de 7,33 puntos en una escala del 1 al 9.
La Media Aritmética de Varias Medias:
Cuando tenemos varias medias correspondientes a dos o más muestras y se desea
hallar la media de todas las medias como si se tratara de un solo grupo, se puede
hacer usando la media ponderada.
Ejemplo:
Se aplicó un test a tres grupos de alumnos y los resultados fueron:
X1 = 60 ; X2=50 ; X3=40 ; n1=10 ; n2=60 ; n3=30
Calcular la media aritmética de los grupos combinados.
X = n1 . X1 + n2 . X2 + n3 . X3 = 10 . 60 + 60 . 50 + 30 . 40 =
n1 + n2 + n3 10 + 60 + 30
X = 600 + 3000 + 1200 = 4800 = 48 puntos
36
100 100
La Mediana:
Se define como el valor de la variable que supera la mitad de los datos y a su vez
es superado por la otra mitad de los datos. Por esta razón se le considera como el
valor central, ya que estará situado en el centro de la distribución.
Mediana para Datos no Agrupados:
a.- Cuando el número de datos es impar: ordenando previamente los datos, la
mediana coincide con el término central. 12, 13, 14,15, 17, 18, 19
El término central es Md=15 puntos.
b.- Cuando el número de datos en par: ordenando previamente los datos, la mediana
será la media aritmética de los términos centrales. 14, 15, 15, 16, 17, 18
La mediana es: Md = 15 + 16 = 15,5 puntos 2 Mediana para Datos Agrupados en Frecuencias Simples:
Pasos:
1.- Se calculan las frecuencias acumuladas.
2.- Se halla la mitad de los datos de la muestra, es decir. n/2.
3.- La mediana será el valor de la variable cuya frecuencia acumulada sea n/2 o la
inmediata superior.
Ejemplo:
37
La siguiente distribución representa las calificaciones de un grupo de alumnos:
Calificaciones Alumnos fa X f 13 1 1 14 4 5 15 8 13 16 10 23 17 6 29 18 2 31 19 3 34 20 2 36 ∑ n =36
La mediana anterior se calcula:
1.- Calculamos n/2 = 36/2 = 18
2.- Ubicamos la mitad de los datos, es decir 18, en la referencia acumulada igual a
18 o en la inmediata superior, el valor de la variable correspondiente es 16; luego
Md=16 puntos.
El resultado indica que la mitad de los alumnos tiene calificaciones mayores que
16 puntos y la otra mitad menores que 16 puntos.
Mediana para Datos Agrupados en Intervalos:
38
Cuando los datos están agrupados en intervalos, la mediana se calcula a través
de los siguientes pasos:
1.- Se determina la posición de la mediana, es decir n/2.
2.- Se determina el intervalo medianal (intervalo que contiene a la mediana). Que es
aquel cuya frecuencia acumulada sea igual a n/2 o la inmediata superior.
3.- Se efectúa la diferencia entre el orden de la mediana y la frecuencia acumulada
anterior a la que contiene.
4.- Se calcula la mediana mediante la ecuación:
Md = lri + n - fa (anterior) . C 2
f
Md = Mediana
lri= Límite real inferior del intervalo medianal.
n/2 = Posición de la mediana.
f = frecuencia medianal.
C = Amplitud del intervalo medianal.
Lri = 10 + 11 = 10,5 2
Ejemplo: Calcular la mediana del siguiente grupo de calificaciones:
Calificaciones N° de Alumnos fa
X f
5 - 7 4 4
8 - 10 6 10
11 - 13 8 18
14 - 16 7 25
19 - 19 5 30
∑ n = 30
Solución:
39
Calculamos n/2 = 30/2 = 15
El intervalo que contiene a la mediana es aquel cuya frecuencia acumulada sea
igual a 15 o la inmediata superior, en nuestro caso la inmediata superior a 15, es
decir fa=18; luego la mediana está en el intervalo 11 – 13
De donde: Lri = 10,5 ; n/2 = 15 ; fa(anterior)= 10 ; f = 8 ; C = 3
Aplicando la ecuación: Md = 10,5 + 15 – 10 . 3 = 10,5 + (0,625) . 3 8
10,5 + 1,875 = 12,375
Este resultado significa que 15 alumnos tiene más de 12,375 puntos y los otros 15,
menos de 12,375 puntos.
Calculo de la Mediana en forma Gráfica:
Pasos:
1.- Se grafica un polígono de frecuencias acumuladas u ojiva.
2.- Se determina el orden de la mediana.
3.- Se localiza este punto en el eje vertical, el de las frecuencias acumuladas.
4.- Por este punto se traza una paralela al eje de las abscisas hasta tocar la curva de
la ( fa).
5.- se traza una perpendicular al eje horizontal por el punto de corte con la curva.
6.- El corte de la perpendicular con el eje de las abscisas es la mediana.
40
Ojiva
(fa)
A 30
l 25
u 20
m 15
n 10
o 5
s 0
4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5
Calificaciones
Md = 12,375
La Moda:
Es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia. La moda se simboliza :
Mo.
Moda para Datos Agrupados:
Ejemplo 1: La moda en la serie de calificaciones : 17, 15, 18, 17, 14, 19 es:
Mo = 17, ya que tiene mayor frecuencia (se repite dos veces).
Ejemplo 2: La moda en la serie de calificaciones: 14,17, 11, 10, 19, 12, 15 es:
Mo= no tiene, ya que ninguna calificación se repite.
Ejemplo 3: La moda de las siguientes calificaciones: 20, 15, 20, 15, 18, 17, 15, 20,
18 es: Mo= 20 y 15, ya que ambas presentan mayor frecuencia.
Moda para datos Agrupados en Frecuencias Simples:
41
Pesos Frecuencias
X f
46 1
47 4
48 5
49 3
50 2
51 3
52 2
∑ n =20
La moda de esta distribución es Mo= 48 Kg., ya que es el peso con mayor
frecuencia.
Moda para Datos Agrupados en Intervalos:
Cuando los datos están agrupados en intervalos, la moda es la marca de clase con
mayor frecuencia
Calificaciones N° de alumnos Mc
X f
5 - 7 4 6
8 - 10 6 9
11 - 13 8 12
14 - 16 7 15
17 - 19 5 18
∑ n=30
Es Mo= 12 puntos, ya que es la marca de clase con mayor frecuencia.
Relación entre las Medidas de Tendencia Central:
42
Se cumple la relación empírica de Pearson:
Media – Moda = 3.(Media – Mediana).
Moda = 3 Mediana – 2 Media.
Esta relación permite calcular, cualquiera de ellas, conociendo las otras dos.
Cuando tenemos una distribución abierta, la relación anterior nos permite calcular
la media a partir de la mediana y la moda.
Asimetría:
Una distribución es simétrica cuando X = Md = Mo
Ejemplo:
Si un docente aplica una prueba y en los resultados las calificaciones altas es casi
igual a las calificaciones bajas, la distribución está balanceada uniformemente
alrededor del centro de la distribución.
Distribución Simétrica
A
L
U
M
N
O
S
X – Md – Mo
Calificaciones
43
Distribución Asimétrica Positiva
A
L
U
M
N
O
S +
Mo Md X
Calificaciones
Distribución Asimétrica Negativa
A
L
U
M
N
O
S
X Md Mo
Calificaciones
Medidas de Posición:
44
Son valores que permiten dividir un conjunto de datos en partes iguales.
Percentiles:
Se llaman percentiles a los valores que corresponden a determinados porcentajes
de la frecuencia acumulada. Por ejemplo, el percentil veinte P20 es el valor que
corresponde al 20% de las frecuencias acumuladas.
Cuartíles:
Los tres percentíles que dividen el total de los datos en cuatro partes iguales P 25,
P50, P75 reciben el nombre de cuartiles y se representan por Q1, Q2, y Q3 .
Deciles:
Los percentiles múltiplos de diez P10, P20, P30, .......,P90 reciben el nombre de
deciles y se representan por D1, D2, D3,..........D9.
De lo anterior podemos deducir:
P25 P50 P75
Q1 D5= Q2 = Md Q3
Calculo de las Medidas de Posición para Datos no Agrupados:
Para calcularlas utilizaremos el mismo procedimiento que se usa en el calculo de
la mediana para datos no agrupados, tanto para datos pares como datos impares.
1.- Cuando n es par:
Dx = x . n Qx = x . n Px = x . n 10 4 100
Ejemplo:
45
Los siguientes datos corresponden a las calificaciones obtenidas por ocho
alumnos en una evaluación de Matemática: 18, 16, 19, 18, 13, 20, 10, 17 puntos.
Calcular: D4, Q3 y P25
Ordenamos los datos: 10, 13, 16, 17, 18, 18, 19, 20
D4 = 4 . 8 = 3,2 ; Q3 = 3 . 8 = 6 ; P25 = 25 . 8 = 2 10 4 100
2.- Cuando n es impar:
Dx= x . (n + 1) ; Qx= x . (n + 1) ; Px= x . (n + 1) 10 4 100
Ejemplo:
Los siguientes datos representan las edades de un grupo de alumnos: 20, 18, 19,
22, 19 y 23 años.
Calcular: D7, Q3 y P50
Ordenamos los datos: 18, 19, 19, 20, 21, 22, 23
D7 = 7 . 8 = 5,6 ; Q3 = 3 . 8 = 6 ; P50= 50 . 8 = 4 10 4 100
Calculo de las Medidas de Posición para Datos Agrupados en Intervalos:
Se utiliza el mismo procedimiento para el calculo de la mediana.
P = Lri + P - fa (anterior) . Cf
P = Valor que representa la posición de la medida.
Lri= Límite real inferior del intervalo que contiene la medida buscada.
fa = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida.
C = Amplitud del intervalo que contiene la medida de posición.
Ejemplo:
En la siguiente distribución, calcular: Q1, D5 y P60
Calificaciones N° de Alumnos fa
46
X f
5 - 7 4 4
8 - 10 6 10
11 - 13 8 18
14 - 16 7 25
20 - 19 5 30
∑ n = 30
Calculamos Q1: Hallamos la posición de la media: P = 1 . n = 1 . 30 = 7,5
4 4
Q1 está ubicado en el intervalo 8 – 10
De donde: Lri = 7,5 ; P = 7,5 ; fa(anterior)= 4 ; f = 6 ; C = 3
Aplicando la ecuación: Q1 = 7,5 + 7,5 – 4 . 3 = 7,5 + 1,74 = 9,24 puntos 6
Este resultado significa que el 25% de los alumnos, tienen calificaciones menores
que 9,24 puntos.
Calculamos el D5
Primero hallamos la posición de la medida: P = 5 . n = 5 . 30 = 15 10 10
El D5 está en el intervalo 11 – 13
De donde: Lri = 10,5 ; P = 15 ; fa(anterior) = 10 , f =8 , C =3
D5 = 10,5 + 15 – 10 . 3 = 10,5 + (0,625 . 3) = 10,5 + 1,875 = 12,375 8 Calculamos el P75 = 75 . n = 75 . 30 = 22,5
100 100
El P75 está en el intervalo 14 – 16
De donde: Lri = 13,5 ; P = 22,5 ; fa(anterior) = 18 ; f = 7 , C = 3
47
P75 = 13,5 + 22,5 – 18 . 3 = 13,5 + (0,642 . 3) = 13,5 + 1,926 = 15,426 7
Medidas de Dispersión:
Las medidas de tendencia central no son suficientes para caracterizar una
distribución. Dos distribuciones pueden tener la misma media y ser muy diferentes.
Para poder caracterizar una distribución se necesita otra medida que indique la
dispersión o variabilidad de los datos.
Ejemplo:
Dos alumnos A y B han obtenido las siguientes calificaciones en un lapso en la
asignatura Matemática:
Alumno A: 12, 18, 16, 4 , 2 , 20, 6, 18. Su media es 12 puntos.
Alumno B: 12, 12, 14, 12, 12, 10, 12, 12. Su media es 12 puntos.
La media de los dos alumnos es igual. Sin embargo las calificaciones que han
obtenido son muy distintas, las del alumno B se concentran alrededor de la media y
las del alumno A se separan mucho de la media.
En conclusión, las medidas de dispersión se emplean para determinar el grado de
homogeneidad o heterogeneidad de un conjunto de datos con respecto a una medida
de tendencia central.
Medidas de Variabilidad o Dispersión:
El Rango o Amplitud Total:
Se define como la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de una
distribución. Su ecuación es: R = VM – Vm.
Es la medida de variabilidad más fácil de calcular y la menos estable, ya que los
cambios en unos cuantos valores de la serie de datos pueden afectar
considerablemente su valor.
La utilidad del rango se presenta cuando:
1.- Se quiere una comparación rápida entre dos distribuciones.
48
2.- Los datos son muy escasos o demasiado dispersos.
Ejemplo:
En dos grupos A y B con las siguientes calificaciones:
Grupo A: 14, 12, 18, 11, 15
Grupo B: 14, 15, 13, 13, 15
La media de ambos grupos es 14 puntos.
El rango del grupo A es RA = 18 – 11 = 7 puntos.
El rango del grupo B es RB = 15 – 13 = 2 puntos.
Como el rango del primer grupo es mayor que el rango del segundo grupo, se
puede decir que el primer grupo de calificaciones es más viable, es decir, más
heterogéneo.
Desviación Semi-intercuartilar:
Se simboliza con Q y se define como la mitad de la distancia entre el Q1 y el Q3, o
sea entre el P25 y el P75. Se calcula con la ecuación: Q = Q3 – Q1
2 Entre el Q3 y Q1 existe siempre el 50% de las observaciones.
Si los datos se concentran en el centro de la distribución los Q1 y Q3 estarán cerca
y el valor de Q será pequeño; cuando los datos están dispersos, Q será grande.
25% Q1 25% Q2 25% Q3 25%
25% 50% 75%
Si Q3 – Q2 = Q2 – Q1 la distribución es simétrica.
Si Q3 – Q2 > Q2 – Q1 la distribución es asimétrica positiva.
Si Q3 – Q2 < Q2 – Q1 la distribución es asimétrica negativa.
La utilidad de la desviación semi-intercuartilar se presenta cuando:
1.- La medida de tendencia central es la mediana.
49
2.- Los datos de distribución están muy dispersos.
Ejemplo:
En la siguiente distribución:
Calificaciones N° de Alumnos fa
X f
5 - 7 4 4
8 - 10 6 10
11 - 13 8 18
14 - 16 7 25
21 - 19 5 30
∑ n = 30
Calcule la desviación semi – intercuartil y el tipo de asimetría
Calculamos Q1 y Q3, ya conocemos estos valores anteriormente.
Q = 22,5 – 9,24 = 6,63 2 Q3 – Q2 = 22,5 – 12,375 = 10,125
Q2 – Q1 = 12,375 – 9,24 = 3,135
Como Q3 – Q2 > Q2 – Q1 la distribución es asimétrica positiva.
La Desviación Típica o Estándar:
Es la medida de dispersión más usada y la mas estable, ya que depende de todos
los datos de la distribución.
Mide la desviación promedio de cada dato respecto a la media aritmética.
Permite la comparación de dos o más distribuciones, cuando están dadas las
mismas unidades de medidas, para determinar cual de ellas presenta mayor o menor
grado de variabilidad absoluta.
50
La desviación típica representa la dispersión de los datos, de una curva de
frecuencias asimétrica centrada sobre la media, llamada Curva Normal.
Desviación Típica para Datos no Agrupados:
S = ∑ x2 - x2
n
Ejemplo:
Calcular la desviación típica para el siguiente grupo de calificaciones: 10, 12, 14,
11, 13
Calificaciones X2
X 10 100 12 144 14 196 11 121 13 169
60 730
Primero calculamos la media: X = 60 = 12 5
S = ∑ x2 - x2 S = 730 - 122 S = 146 – 144
n 5
S = √2 = 1,41
Este resultado significa que en promedio cada calificación se desvía de la media
en 1,41 puntos .
51
Desviación Típica para Datos Agrupados en una Distribución de Frecuencias
Simple:
S = ∑ f . X2 - X2
n
Ejemplo:
Calcular la desviación típica para la siguiente distribución de calificaciones:
Calificaciones Alumnos X2 f . X 2
X f
12 2 144 288 14 3 196 588 16 4 256 102 18 1 324 324
∑ n =10 2224
Primero calculamos la media de la distribución:
X = 148 = 14,8 10
S = 2224 - (14,8)2 S = 222,4 – 219,04 S = 3,36 = 1,83 10
Este resultado significa que , en promedio cada calificación se desvía de la media
en 1,83 puntos.
Desviación Típica para Datos Agrupados en Intervalos:
S = ∑ f . Mc2 - X2
52
n
Ejemplo:
Calcular la desviación típica de la distribución de calificaciones:
Calificaciones N° de Alumnos
X f Mc Mc2 f . Mc2
5 - 7 4 6 36 144
8 - 10 6 9 81 486
11 - 13 8 12 144 1152
14 - 16 7 15 225 1575
22 - 19 5 18 324 1620
∑ n = 30 4977
Primero calculamos la media:
X = 369 = 12,3 30
S = 4977 – (12,3)2 S = 165,9 – 151,29 = 14,61 = 3,822 30
Este resultado significa que, en promedio cada calificación se desvía de la media
en 3,822 puntos.
La Varianza:
La varianza se define como el cuadrado de la desviación típica. Se simboliza con
S 2.
Ejemplo I:
53
Media de una distribución:
X = 148 = 14,8 10
S = 2224 - (14,8)2 S = 222,4 – 219,04 S = 3,36 = 1,83 10
La varianza será S = ( 1,83)2 = S 2 =3,35 puntos.
Ejemplo II:
Una universidad A paga en promedio Bs. 6.300 por hora de clase dictada con
una desviación típica de Bs. 260 y la universidad B paga en promedio Bs. 7.200 con
una desviación típica de Bs. 280.¿ En cual de las universidades el pago de las horas
de clase presenta mayor variabilidad absoluta?
SA2= 260 2 = 67.600 y SB
2= 280 2 = 78.400
La varianza de B es mayor que la de A, por lo tanto en la universidad B hay una
mayor variabilidad en el pago de las horas clase.
Coeficiente de Variación:
Se expresa en porcentaje y es el cociente entre la desviación típica y la media
aritmética de los datos.
Ecuación: C . V = S . 100 X Se emplea cuando se desea comparar dos o más distribuciones, con el fin de
determinar cual de ellas tiene menor o mayor variabilidad relativa.
Ejemplo:
La estatura media de los varones en España es 75 pulgadas con desviación típica
de 2 pulgadas y la media de la estatura en Venezuela es 160 cm y su desviación típica
10 cm. ¿ Cual país presenta menor variabilidad en las estaturas ?.
Como las medidas son distintas, unas en pulgadas y las otras en centímetros, no
se pueden comparar las varianzas, ni las desviaciones típicas. Por tanto, se aplicará
el coeficiente de variación.
C.V = 2 . 100 = 2,6 % Inglaterra
54
75
C.V = 10 . 100 = 6,2 % Venezuela 160
GUIA DE EJERCICIOS
Un alumno realizó una encuesta a sus profesores y encontró que sus edades
eran: 32, 28, 32, 31, 30, 32, 25 y 41 años. Determine: Media de las edades,
55
mediana, moda, rango, desviación típica y varianza.
Antonio obtuvo las calificaciones:19, 18, 15, 15, 16 y 17 puntos. Determine:
Media de las calificaciones, mediana, moda, rango, desviación típica y
varianza.
Halle la media aritmética : mediana, moda, rango, desviación típica y
varianza de los siguientes datos: 5, 8, 4, 3, 7, 8, 4, 2, 9, 5, 6, 7.
Calcule: Q3, D9, P50 y P84 de los datos: 200, 140, 230, 155, 180, 205, 140, 165
140, 190, 180, 225, 240, 140, 140, 155, 165, 140, 140, 140
El número de hijos por familia de un grupo de docentes es: 2, 1, 2, 4, 4, 6, 6,
4, 6, 7, 4, 4,7, 4, 2, 1, 4, 6, 7, 7. Elabore una distribución de frecuencias
simple y luego determine : Media de hijos por familia, mediana, moda,
desviación típica y varianza.
Las edades de un grupo de alumnos son: 13, 15, 14, 16, 18, 13, 14, 17, 15, 16,
13, 15, 14, 16, 16, 17 y 15 años. Elabore una distribución de frecuencias simple
y luego determine: la media de las edades, mediana, moda, desviación típica y
varianza.
Calcule : Q1, D5, P70, y P50 en la distribución:
X f
56
36 237 138 339 440 541 442 243 344 1
Tres secciones A, B y C de una escuela presentaron los siguientes resultados
en una evaluación de matemática:
XA = 11,9 puntos con nA = 24 alumnos.
XA = 14,2 puntos con nB = 30 alumnos
XA = 10,8 puntos con nB= 28 alumnos.
Calcule la media aritmética de los grupos combinados
Calcule la media de las medias en:
___ ___ ___
X1 = 60 X2 = 40 X3 = 50
__ __ __ X4 = 12 X5 = 30 X6 = 60
Un carro a una velocidad de 60 km/h en la primera hora de recorrido, 70 km/h en la segunda hora y 80 km/h en la tercera hora. Halle la velocidad promedio del carro.
___
Si una distribución tiene X = 18, Md = 14 y Mo = 12 entonces es ¿simétrica?, ¿asimétrica positiva? o ¿asimétrica negativa?
57
Dada la distribución de frecuencias:
Peso Alumnos(Kg.) f
50-52 6 53-55 11
56-58 7 59-61 9 62-64 7
∑ n = 40
Calcule: la media de los pesos, Md, Mo, D3, Q1, P60, Q, S, S 2
Dada la distribución:
Bs f
201-230 8231-260 10261-290 16291-320 14321-350 10351-380 7
∑ n=65
Calcule: la media aritmética, Md, Mo, D4, P80, Q3, S, S
Dada la distribución:
Puntajes Alumnos f
7-11 2
58
12-16 717-21 1222-26 727-31 2
∑ n =30
Calcule: la media de las calificaciones, Md, Mo, Q1, P60, Q, S, S 2
La antigüedad en el trabajo de un grupo de docentes, se muestra en la distri- bución:
Antigüedad Docentes (años) f 1- 5 12
6-10 22 11-15 35 16-20 46 21-25 46 26-30 29
31-35 10
∑ n =200
Calcule: la antigüedad promedio del grupo de docentes, Md, Mo, D8, Q1, P60, Q, S, S 2
Los pesos y estaturas de los alumnos de una clase presentan las siguientes medidas: ___
X = 68 kg. con S = 8 kg. ___
X = 1,7 m con S = 0,61 m¿ En cual de los dos variables es más homogénea la clase?
59
En una prueba final de matemática, la puntuación de un grupo de 150Estudiantes fue de 78 con desviación típica de 8. En física la media del
grupo fue 73 con desviación de 7,6.¿ En que asignatura hubo mayordispersión absoluta?. ¿ En que asignatura hubo mayor dispersión relativa?
PARTE IV:
Correlación:
Es una medida estadística que expresa la relación entre dos o mas variables.
La correlación se mide a través del coeficiente de correlación cuyo valor que está
comprendido entre –1 y 1 dependiendo del sentido y el grado de relación entre las
variables. El coeficiente de correlación se simboliza con r .
60
La correlación entre variables puede ser: positiva, negativa o nula.
Correlación Positiva:
Hay correlación positiva entre las variables X e Y, cuando a los valores altos de
X le corresponden valores altos en Y, y a valores bajos en X le corresponden valores
bajos en Y. A continuación el diagrama de dispersión:
Correlación Positiva
Y
5
4 3 2
1 1 2 3 4 5 X
Correlación positiva perfecta, por lo tanto r = 1
Correlación Negativa:
Hay correlación negativa entre las variables X e Y, cuando a los valores altos de
X le corresponden valores bajos en Y y a valores bajos en X le corresponden valores
altos en Y. A continuación el gráfico de dispersión:
Correlación Negativa
61
Y
5
4 3 2 1 1 2 3 4 5 X
Correlación Nula:
Cuando no existe ningún tipo de correlación entre las variables, es decir, las
variables son independientes.
Coeficiente de Correlación de Pearson:
Este coeficiente de correlación se usa cuando la relación entre las variables
consideradas puede ser representada por una línea recta.
Se utiliza cuando la variable es medida en escalas de intervalo.
r = n ∑ X . Y - ∑ X . ∑ Y
n . ∑ X 2 – ( ∑ X )2 n . ∑ Y 2 – ( ∑ Y )2
Interpretación del Coeficiente de Correlación:
Si el valor de r:
1.- Es menor de 0,20 la correlación es insignificante (muy poca relación entre las
variables).
2.- Está en el intervalo 0,20 – 0,40 la correlación es baja (relación muy débil entre
las variables).
62
3.- Está en el intervalo 0,40 – 0,70 la correlación es moderada (relación
significativa).
4.- Está en el intervalo 0,70 – 0,90 la correlación es alta (relación fuerte).
5.- Está en el intervalo 0,90 – 1 la correlación es muy alta (relación casi perfecta).
Ejemplo:
Calcular el coeficiente de correlación de Pearson entre las Horas de Estudio y las
puntuaciones obtenidas por ocho alumnos en una evaluación de Estadística.
Alumnos Horas de Estudio Puntajes
X Y
1 20 64
2 16 61
3 34 84
4 23 70
5 27 88
6 32 92
7 18 72
8 22 77
Se elabora el diagrama de dispersión:
Diagrama de dispersión
P Y
u 100
63
n 90 t 80 a 70
j 60 e 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 X
Horas de Estudio
Como la nube de puntos en el diagrama de dispersión tiende a ser una línea recta,
se procede a completar la distribución.
X Y X2 Y2 X . Y 20 64 400 4096 1280 16 61 256 3721 976 34 84 1156 7056 2856 23 70 529 4900 1610 27 88 729 7744 2376 32 92 1024 8464 2944 18 72 324 5184 1296 22 77 484 5929 1694
192 608 4902 47094 15032
Se aplica la ecuación:
r = 8 . 15032 – 192 . 608 r = 3520
8 . 4902 – (192)2 8 . 47094 – (608)2 16670976
r = 0,86
Este resultado indica una correlación positiva alta, por la tanto la relación entre
las variables es fuerte. En conclusión, a más horas de estudio las puntuaciones son
más altas.
Coeficientes de Correlación en la Evaluación Escolar:
64
Una de las aplicaciones más importantes de los coeficientes de correlación es el
calculo de la confiabilidad de una prueba escolar.
Confiabilidad de una Prueba:
Es el grado en que un alumno obtendría la misma calificación si le fuera
readministrada la prueba, es decir, la consistencia de la prueba al medir lo que se
desea.
Métodos para calcular los Coeficientes de confiabilidad:
Se usará el método de consistencia interna, que es el grado de relación entre los
items de una prueba, ya que están basados en una sola aplicación de la prueba para
el calculo del coeficiente de confiabilidad. Estos son: El método de confiabilidad por
mitades y el método de confiabilidad de Kuder Richardson.
Método de Confiabilidad por Mitades:
Coeficiente de confiabilidad que se obtiene al correlacionar las puntuaciones de
una mitad de la prueba con las de la otra mitad, generalmente las dos mitades están
constituidas por los items pares y los impares, luego se calcula la correlación de la
prueba en su totalidad usando la fórmula de Spearman – Brown.
El coeficiente de correlación por mitades no corregido se calcula mediante la
ecuación:
___ ___
rPI = ∑ P . I - XP . XI
SP . SI
rPI = coeficiente no corregido
n = numero de alumnos
P = items pares
I = items impares
XP = media de las calificaciones pares ___
65
XI = media de las calificaciones impares
SI = desviación típica de las calificaciones impares
SP = desviación típica de las calificaciones pares
Luego se utiliza la fórmula de Spearman – Brown para calcular la confiabilidad
de la prueba completa:
rt = 2 . rPI
1 + rPI
Este rt recibe el nombre de coeficiente de confiabilidad corregido.
Método de Confiabilidad de Kuder Richardson:
Confiabilidad estimada a partir de los datos proporcionados por una sola
administración de una prueba, utilizando la puntuación media de la prueba, su
desviación típica e índices de dificultad para los ítem.
La dificultad de un item es la proporción o porcentaje de alumnos que lo
responden correctamente.
Se representa con la letra p . Por ejemplo, un ítem con p = 0,75 indica que ha
sido contestado correctamente por el 75 % de los alumnos e incorrectamente por el
complemento de p que llamaremos q, es decir, q = 1 – p = 1 – 0,75 = 0,25 = 25%
El coeficiente de confiabilidad de kuder Richardson se calcula con la ecuación:
rvv = k . S2- ∑ p . q
k – 1 S2
k = número de items de la prueba S2= varianza de la prueba
66
Ejemplo: Una prueba de 15 items fue aplicada a 10 alumnos y los resultados
fueron:
I T E M S
Alumnos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Calificaciones
A 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 6 B 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 13 C 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 10 D 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 9 E 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 7 F 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 6 G 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 7 H 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 9 I 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 10 J 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 9
Respuestas Correctas 8 7 8 7 5 6 5 3 5 5 7 6 5 5 4 86
1.- Calcular la confiabilidad de la prueba usando el método por mitades.
2.-Calcular la confiabilidad de la prueba, aplicando la fórmula de Kuder
Richardson.
Se elabora la tabla de calificaciones pares e impares:
67
ITEMSAlumnos Calificaciones P I P . I
A 6 2 4 8
B 13 7 6 42
C 10 6 4 24
D 9 4 5 20
E 7 3 4 12
F 6 3 3 9
G 7 2 5 10
H 9 3 6 18
I 10 4 6 24
J 9 5 4 20
∑ 86 39 47 187
X 8,6 3,9 4,7
S 2,05 1,57 1,00
Cálculos:
S = ∑ x2 - x 2 S = 782 – 73,96 S = 78,2 – 73,96
n 10
S = 2,05
S = ∑ x2 - x2 S = 177 – 15,21 S = 17,7 – 15,21
n 10
S = 1,57
68
S = ∑ x2 - x2 S = 231 – 22,09 S = 23,1 – 22,09
n 10
S = 1,00
___ ___
rPI = ∑ P . I - XP . XI rPI = 187 - 3,9 . 4,7 rPI = 18,7 – 18,33 SP . SI 10 1,57
1,57 . 1,00
rPI = 0,2356 coeficiente de confiabilidad por mitades no corregido.
Luego se aplicará la formula de corrección de Spearman – Brown:
rt = 2 . rPI rt = 2 . 0,2356 rt = 0,4712 rt = 0,38 1 + rPI 1 + 0,2356 1,2356
Ahora se calcula el coeficiente de confiabilidad utilizando la fórmula de Kuder
Richardson, para ello se elabora una tabla con los índices de dificultad de los items.
Items Respuestas Correctas p q p . q
1 8 0,09 0,91 0,0819
2 7 0,08 0,92 0,0736
69
3 8 0,09 0,91 0,0819
4 7 0,08 0,92 0,0736
5 5 0,05 0,95 0,0475
6 6 0,06 0,94 0,0564
7 5 0,05 0,95 0,0475
8 3 0,03 0,97 0,0291
9 5 0,05 0,95 0,0475
10 5 0,05 0,95 0,0475
11 7 0,08 0,92 0,0736
12 6 0,06 0,94 0,0564
13 5 0,05 0,95 0,0475
14 5 0,05 0,95 0,0475
15 4 0,04 0,96 0,0384
∑ 86 0,8499
La varianza de la prueba la calculamos a través de su desviación típica, es
decir: como S = 2,05 entonces S 2 = 4,20
rvv = k . S2- ∑ p . q rvv = 15 . 4,20 – 0,8499
k – 1 S2 14 4,20
rvv = 1,0497
GUIA DE EJERCICIOS
Las calificaciones de una prueba de aptitud (x) y las calificaciones obtenidas
al final de un curso (y) de un grupo de alumnos fueron:
Alumno: A B C D E F G H I J
70
x 15 15 14 13 11 21 19 18 17 17
y 14 12 10 12 8 17 14 16 12 15
Calcule el coeficiente de correlación de Pearson y explique el resultado.
Las calificaciones de una prueba parcial (x) y final (y) de diez alumnos
fueron:
Alumno: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 15 16 18 12 6 10 17 11 20 8
y 13 14 18 11 8 10 20 10 20 7
Calcule el coeficiente de correlación de Pearson y explique el resultado.
Las estaturas en centímetros (x) y los pesos en kilogramos (y) de un grupo de
estudiantes se indican a continuación
Calcule el coeficiente de correlación y explique el resultado
Alumno: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Estatura 160 163 166 168 170 172 173 175 179 182
Peso 13 63 63 66 71 70 71 72 80 82
Determine la correlación entre las calificaciones obtenidas por un grupo de
alumnos en las asignaturas Matemática II y Estadística
Alumno: A B C D E F G H I J
Matemática II 15 14 16 14 13 17 18 16 17 19
Estadística 17 17 16 16 15 16 19 18 14 19
71
Una prueba de 10 items fue aplicada a 10 alumnos y los resultados fueron:
ITEMS
Alumnos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Calificaciones
A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 9
C 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 8
D 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 8
E 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 7
F 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 6
G 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 5
H 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 9
I 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 6
J 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 4
Respuestas
Correctas 8 7 5 7 7 7 8 7 8 8 72
Calcule la confiabilidad de la prueba:
1.- Usando el método de las dos mitades.
2.- Aplicando la fórmula de Kuder Richardson.
PARTE V:
Probabilidad Estadística
Probabilidad, también conocida como teoría de la probabilidad, es la rama de
las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la
posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La
probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento
necesario de la estadística.
72
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo
XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores,
como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes
contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un
intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por
ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la
probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.
La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1,
ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la
probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos
estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o
acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual
probabilidad de ocurrir. Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos
se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por
ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la
probabilidad de que salga un 5 o un 6 es 2/6. Problemas más complicados estudian
acontecimientos en que los distintos resultados tienen distintas probabilidades de
ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de que salga 5 o 6 al lanzar un par
de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades.
Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de posibles
resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada
aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.
Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad
y la estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un
3 y al menos 4 veces un 6 al lanzar un dado sin hacer trampas 50 veces; si una
persona lanza una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un paso
hacia atrás si sale cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la
persona esté a menos de 10 pasos del origen.
73
En términos probabilísticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente
excluyentes si la probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos
sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es
igual al producto de sus probabilidades individuales. Es decir, dos sucesos son
excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro; dos sucesos son
independientes si la ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el
otro ocurra o no. Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los
casos de un conjunto dado de sucesos ocurran a la vez; probabilidad total es la de
que al menos uno de los casos de un conjunto dado de sucesos ocurra.
Probabilidad condicional es la probabilidad de que un suceso ocurra cuando se
sabe que otro suceso ha ocurrido o va a ocurrir.
Si la probabilidad de que un suceso ocurra es p, la probabilidad de que no ocurra
es q = 1 - p. Por tanto, la confianza en que el suceso ocurra es p contra q y la de
que no ocurra es q contra p. Si las probabilidades de dos sucesos mutuamente
excluyentes X e Y son p y P respectivamente, la confianza en que X ocurra y que Y
no ocurra es p contra P. Si un experimento debe dar como resultado uno de los
sucesos O1, O2,…, On, mutuamente excluyentes, cuyas probabilidades son p1, p2,
…, pn, respectivamente, y si a cada uno de los posibles resultados se le asigna un
valor numérico v1, v2, … vn, el resultado esperado del experimento es E = p1v1 +
p2v2 + … + pnvn. Por ejemplo, una persona lanza un dado, ganando 4 pasteles si
saca 1, 2 o 3 y 3 pasteles si saca 4 o 5; pierde 12 pasteles si saca un 6. El resultado
esperado con un solo lanzamiento es 3/6 × 4 + 2/6 × 3 - 1/6 × 12 = 1, o lo que es
lo mismo, un pastel.
El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis
estadístico. Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo
que significa (se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoriamente y sin
hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos
darán 7. Este concepto se utiliza a menudo para calcular estadísticamente la
74
probabilidad de un suceso que no se puede medir o es imposible de obtener. Así, si
la estadística a largo plazo muestra que por cada 100 personas entre 20 y 30 años
sólo habrá 42 vivos cuando tengan 70, lo que quiere decir que la probabilidad de
que una de esas personas llegue a los 70 años es de un 42 por ciento.
La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas
y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan
dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia
problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante
relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del
cálculo.
Experimento Aleatorio:
Se llama así a aquel tipo de experimento en el cual no es posible establecer el
resultado en forma previa y exacta, sin embargo, si permite establecer los posibles
resultados.
Espacio Muestral:
Se llama así a un conjunto que reúne todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio.
Suceso:
Acontecimiento o evento, son subconjuntos del espacio muestral y pueden ser
simples o compuestos, los simples están formados por conjuntos unitarios, mientras
que los compuestos tienen más de un elemento.
Suceso Seguro:
Es aquel que siempre ha de ocurrir.
Suceso Imposible:
75
Es aquel que no tiene oportunidad de ocurrir. Ejemplo: Dejar caer un dado y
salga el N° 7.
Probabilidad Condicional:
Si E1 y E2 son dos sucesos, la probabilidad de que ocurra E2 , dado que ha
ocurrido E1, se denota por P{E2 /E1} o P{E2 dado E1} y se llama probabilidad
condicional de E2 dado que E1 se ha presentado.
Si la ocurrencia o no ocurrencia de E1 no afecta a la probabilidad de ocurrencia
de E2 , entonces P{E2 /E1} = P{E2} y se dice que E1 y E2 son sucesos independientes;
si no ocurre esto, los sucesos se dicen dependientes.
Si se denota por E1E2 el suceso de que ocurra E1 y E2, llamado a veces suceso
compuesto, se tiene: P {E1E2} = P{E1} P{E2 / E1}
Para Sucesos Independientes: P {E1E2} = P{E1} P{E2}
1.- Sean E1 y E2 , respectivamente, los sucesos “cara en el quinto lanzamiento” y
“cara en el sexto lanzamiento” de una moneda. Entonces E1 y E2 son sucesos
independientes, así que la probabilidad de cara en ambos lanzamientos quinto y
sexto es: P{E1E2} = P{E1} P{E2} = ½ . ½ = ¼
76
2.- Si la probabilidad que A viva 20 años es 0,7 y la probabilidad que B viva 20
años es 0,5. Entonces la probabilidad que ambos vivan 20 años es:
P(A . B) = (0,7)(0,5) = 0,35
3.- Supóngase una caja que contenga 3 bolas blancas y 2 bolas negras. Sea E1 el suceso de que “la primera bola extraída sea negra” y E2 el suceso de que la segunda bola extraída sea negra”, en probabilidad sin remplazamiento. Aquí E1 y E2 son sucesos dependientes. P{E1} = 2 = 2/5
3+2
P{E2 / E1} = 1 = ¼ 3+1
Entonces la probabilidad de que ambas bolas extraídas sean negras es:
P{E1E2} = P{E1} P{E2 / E1} = 2/5 . ¼ = 1/10
Sucesos Mutuamente Excluyentes:
Dos o más sucesos se dicen mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno
cualquiera de ellos imposibilita la ocurrencia de los otros. Así, si E1 y E2 son
mutuamente excluyentes, P{E1E2} = 0
En particular, P{E1 + E2} = P{E1} + P{E2}
1.- Si E1 es el suceso “extracción de un as de una baraja de cartas” y E2 es el suceso
“extracción de un rey”, entonces P{E1} = 4 = 1 y P{E2} = 4 = 1 . 52 13 52 13 La probabilidad de extracción de un as o un rey en una sola extracción son
sucesos mutuamente excluyentes :
77
P{E1 + E2} = P{E1} + P{E2} = 1 + 1 = 2 13 13 13
2.- Si E1 es el suceso “extracción de un as” de una baraja y E2 es el suceso
“extracción de una espada”, entonces E1 y E2 no son mutuamente excluyentes,
puesto que puede ser extraído el as de espadas. Así la probabilidad de extraer en una
extracción un as o una espada o ambas cosas es:
P{E1 + E2} = P{E1} + P{E2} – P{E1E2}
= 4 + 13 - 1 = 16 = 4 52 52 52 52 13
3.- Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20
azules y 15 naranjas. Halle la probabilidad de que sea:
a.- Naranja: p(N) = 15 p(N)= 0,20 p(N)= 20% 75
b.- No sea roja o azul: p ( R ) ó p(A)
p R = 10 75
p(A)= 20 p R ó p(A) = 10 + 20 = 30 = 40% 75 75 75
c.- No sea Azul: p(A) = 20 = 0,26 = 26.6%
78
75
d.- Blanca : p(B) = 30 = p(B) = 40% 75
e.- Roja, blanca o azul : p ( R ) ó p (B) ó p(A) = 60 75
Determina la probabilidad para cada uno de los siguientes casos:
La aparición de un numero impar en el lanzamiento de dos dados.
79
La aparición de un as, el diez de diamantes o el dos de corazones en una sola
extracción de una baraja de 52 cartas.
La obtención de 7 puntos en una sola tirada de un par de dados
De una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules se extrae una al azar. Determinar la probabilidad de que sea : a) Roja b) Blanca c) Azul d) No roja e) Roja o blanca
Se hacen dos extracciones de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabili-dad de que las dos cartas extraídas sean ases, siendo las extracciones:
a) Con remplazamiento P{E1E2} = P{E1} P{E2}
b) Sin remplazamiento R = 1/221
Se extraen sucesivamente tres bolas de una caja que contiene 6 rojas, 4blancas y 5 azules. Hallar la probabilidad de que sean extraídas en el orden
roja, blanca y azul si las extracciones son: a) Con remplazamiento P{RBA} = P{R} . P{B} . P{A} b) Sin remplazamiento 6 4 5 = 4 15 14 13 91
Teoremas de las Probabilidades:
Teorema de la Suma: para sucesos o acontecimientos calificados como
compatibles (pueden ocurrir al mismo tiempo). P(A ó B) = P(A)+P(B) – P(A y B)
80
En una clase hay 20 damas y 10 caballeros, la mitad de las damas y la mitad
de los caballeros tienen ojos azules. Se elige un elemento cualquiera de la cla-
se. Determinar la posibilidad de que el elemento elegido sea caballero o que
tenga ojos azules.
A = suceso que representa ser caballero B = tener ojos azules P(A)+P(B) – P(A y B) = 10 + 15 - 5 = 20 = P(A) = 2 30 30 30 30 3
P(B) = 15 30 P(A ó B) = P(A)+P(B) – P(A y B)
P(A ó B) = 2 + 15 - 2 . 15 P(A ó B) = 60 + 45 - 30 3 30 3 30 90 90
P(A ó B) = 75 90
Al dejar caer un dado se producen seis resultados posibles. Determine la pro-
babilidad de que la cara superior del dado represente:
a) Un N° par b) Un N° mayor que 4
81
c)Un N° primo d) Un N° primo o par
Supongamos que una empresa decide al principio de cada mes si gastara 100
ó 200 dólares en publicidad durante ese mes. La decisión por una u otra op-
ción es la misma. Determinar la probabilidad de que el gasto sea:
a) Mayor de 400
b)Igual a 400
Em = 300 = 100, 100, 100
400 = 100,100,200 ó 100,200,100 ó 200,100,100
500 = 100,200,200 ó 200,100,200 ó 00,200,100
600 = 200,200,200
Un T . S . U recién graduado solicita trabajo en dos empresas E1 y E2. La pro-
babilidad de que lo acepten en esas empresas valen 0,15 y 0,45 respectivamen-
te mientras que la probabilidad de que ambas empresas lo acepten es de 0,12.
Determine la probabibilidad de que lo acepten en alguna de las empresas por
lo menos.
P(A ó B) = P(A)+P(B) – P(A ∩ B)
Teorema de la Multiplicación: cuando los sucesos que se analizan resultan ser
independientes, o sea que la ocurrencia de algunos de los sucesos no afecta la
probabilidad de ocurrencia de los demás sucesos, en otras palabras, el espacio
siempre se mantiene. La expresión para sucesos independientes es P(A B) =
P(A).P(B).
La expresión para sucesos dependientes es P(A B) = P(A).P(B /A).
82
Una caja contiene cuatro tarjetas azules, 6 blancas, 8 rojas. Si se extraen dos
tarjetas en forma consecutiva y remplazamiento, entonces determinar la pro-
babilidad de que las tarjetas extraídas resulten ser:
a) De color blanco b) La primera blanca y la segunda azul
c) Ambas rojas d) Del mismo color
Aplicar la fórmula: P(A B) = P(A).P(B).
3 hombres hacen una sola vez disparos al blanco, la probabilidad de éxito para
cada una de ellos es 1/3 , ½ , 1/5 respectivamente. Determinar la probabilidad
de que:
a)Sólo uno de ellos logre dar en el blanco.
b) Al menos dos de ellos logre dar en el blanco.
c) Ninguno de ellos logre dar en el blanco.
Aplicar las fórmulas: a) (1/3.1/2.4/5) + (2/3.1/2.4/5) + (2/3.1/2.1/5)
b) (1/3.1/2.1/5) + (1/3.1/2.4/5)+(1/3.1/2.1/5)+(2/3.1/2.1/5)
c) Calcularlo.
P(H1) = 1/3 = 2/3 P(H2) = ½ = ½ P(H3) = 1/5 = 4/5
Supongamos que en una caja existen 4 tarjetas rojas, 6 verdes y 2 blancas
si se extraen 2 fichas ¿ Determinar la probabilidad de que ambas resulten:
a) De color rojo b) De color verde c) De color blanco
83
d) Del mismo color e) Que la 1ra sea blanca f) Que la 2da sea verde
fórmulas: a) P(R R) b) P(V V) c) P(BB)
d) P(RR + VV + BB) e)P(BB + BV + BR)
f) Calcularlo
Supongamos que tenemos 2 cajas que contienen 4 fichas blancas, 3 rojas, la
primera y 2 blancas, 2 rojas la otra, independientemente se extrae una ficha
de la caja “A” y se mete dentro la caja “B”. Determinar la probabilidad de
que ambas fichas resulten ser:
a) De color rojo (resp. 9/35)
b) De color blanco (resp. 12/35)
c) Del mismo color (resp.21/35)
d) De distinto color (resp. 2/5)
Distribución Binomial:
Llamada también Distribución Probabilística Directa por ser esta el tipo de
variable que se maneja.
Supongamos que “N” es el número de veces que se realiza con experimento
aleatorio (es el tamaño de la muestra) y además “p” es la probabilidad de observar
el suceso suponiendo que el experimento aleatorio se realice en una oportunidad,
además “q” es la probabilidad de no observar el suceso suponiendo igualmente que
84
el experimento se realiza una sola vez. La suma de la probabilidad de ocurrencia y
de no ocurrencia es 1.
Además sea “x” el número de veces que estamos interesados que ocurra el suceso
o acontecimiento. Las variables anteriormente señaladas están relacionadas
mediante la expresión P(x = ?) = p x . q n-x
1.- ¿ Cuál es la probabilidad de contestar correctamente al menos 6 de las 10
preguntas de un examen verdadero o falso?
x ≥ 6 p(x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10)
P(contestar) = 6 ---------60% p = 0,60 n = 10 n – x = 4 P( no contestar) = 4 ---- 40% q = 0,40
P(x=6) = (10/6) . (0,60)6 . (0,40)4
C10,6 = 10! C 10,6 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! 6! 4! 6! 5! 4! 3! 2! 1!
C10,6 = 210 p (x=6) = 210 . (0,046656). (0,0256)
p(x=6) = 0,2508226
p(x=7) = C10,7 . (0,70)7 . (0,30)3
85
p = 7----0,70 C10,7 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! = 120 q = 3-----0,30 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!
P(x =7) = 120. (0,70)7 .(0,30)3
P(x=7) = 120 . (0,0823543).(0,027)
P(x=7)= 0,2668279
P(x= 8) = C10,8 . (0,80)8 . (0,20)2
p =8----0,80 C10,8 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! = 45 q =2----0,20 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!
P(x=8) = 45 . (0,167772)8 . (0,04)2
P(x=8) =0,3019896
P(x=9)= C10,9 .(0,90)9 . (0,10)1
p =9---0,90 C10,9 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! = 10 q =1---0,10 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!
P(x=9) = 10 . (0,387420) . (0,10)
P(x=9) = 0,387420
P(x=10)= C10,10 . (1)10 . (1)0
C10,10 = V10,10 = 1 P10 p(x=10) = 1 . 1 .1
86
p(x=10) = 1
p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+p(x=10)= 0,2508226+0,2668279+
0,3019896+0,387420 = p(x ≥ 6) = 2,207
2.- Halle la probabilidad de: a.- 2 ó más caras; b.- menos de 4 caras en un
lanzamiento de 6 monedas.
a.- 2 ó más caras: p(x ≥ 2) p(x=2)= C12,2 . (0,16)2 . (0,84)10 p =2--- 0,16 C 12,2 = 12! 11! = 66 q =10---0,84 2! 1!
87
P(x =2)= 66 . (0,0256). (071490)
P(x =2)= 0,29551
P(x=3) = C12,3 . (0,25)3 . (0,75)9 C 12,3 = 12! 11! 10! = 220 3! 2! 1! P(x=3) = 0,25808
P(x=4)= C12,4 . (0,33)4 . (0,67)8
p =4---0,33 p =8---0,67 C12,4 = 12! 11! 10! 9! = 495 4! 3! 2! 1!
P(x=4)= 495 . (0,011859) . (0,04060)
P(x=4) = 0,23833
P(x=5)= C12,5 . (0,42)5 . (0,58)7 p=5---0,42 q=7---0,58 p(x =5)= 792 . (0,01306) . (0,02207)
p(x=5)= 0,22828
p(x=6)= C12,6 . (0,50)5 . (0,50)7 p=6---0,50 q=6---0,50
88
p(x =6)= 924 . (0,015625) . (0.015625)
p(x=6)= 0,22558
p(x=7)= C 12,7 . (0,58)7 .(0,42)5
p(x=7)= 792 . (0,02207) . (0,01306) p =7---0,58 q =5---0,42 p(x =7)= 0,22828
p(x=8)= C12,8 . (0,66)8 . (0,34)4
p(x=8)= 495 . (0,03600) . (0,01336)
p(x=8)= 0,23813
P(x=9)= C 12,9 . (0,75)9 . (0,25)3
p(x=9)= 220 . (0,07508) . (0,015625)
p(x=9)= 0,25808
P(x=10)= C12,10 . ( 0,83)10 . (0,17)2
p(x=10)= 66 . (0,15516) . (0,0289)
p(x=10)= 0,29595
p(x=11)= C12,11 . (0,92)11 . (0,08)1
p(x=11)= 12 . (0,39963) . (0,08)
p(x=11)= 0,38364
P(x=12)= C12,0 . ( 1)12 . (0)0
89
p(x=12)= 1 . 1 .0
p(x=12)= 0
p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)+p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+
p(x=10)+p(x=11)+p(x=12)
p(x ≥ 12) = 2,649
b.- Menos de 4 caras: p(x < 4)
p(x=4)= C12,4 . (0,33)4 . (0,67)8
p(x=4)= 495 . (0,011859) . (0,04060)
p(x=4)= 0,23833
p(x=3)= C 12,3 . (0,25)3 . ( 0,75)9
p(x=3)= 220 . (0,015625) . (0,07508)
p(x=3)= 0,25808
p(x=2)= C12,2 . (0,16)2 . (0,84)10
p(x=2)= 66 . (0,0256) . (0,17490)
p(x=2)= 0,29551
p(x=1)= C12,1 . (0,08)1 . (0,92)11
90
p(x=1)= 12 . (0.08) . (0,39963)
p(x=1) = 0,38365
p(x=4)+p(x=3)+p(x=2)+p(x=1) = 0,23833+0,25808+0,29551+0,38365 = 1,17
3.- El 30% de piezas producidas por una máquina presentan defectos.
Halle la probabilidad de que 5 piezas elegidas al azar:
a) 1 presente defecto p(x=1)= C5,1 . (0,30)1 . (0,70)4
n =5 p(defectuosos)= 30%---p C = 5! = 5 5,1! p(no defectuosos)=70%--q
P(x =1)= 5 . (0,30) . (0,2401)
P(x =1)= 0,3601
91
b.- Ninguna presente defecto: p(x =0)= 1 . (0)0 . (1)5
p = 0 p(x =0)= 1.0.1 p(defectuosas)=0---0% q = 5 n = 5 p(x =0)= 0 p(no defectuosas)=5---1%
c.- A lo sumo 2 piezas defectuosas:
p(x=2)+p(x=1)+p(x=0)
p(x=2)= C5,2 . (0,40)2 . (0,60)3
C5,2 = 5! 4! = 10 2! 1!
P(x=2)= 10 . (0,16) .(0,216)
P(x=2)= 0,3456
P(x=0)= 1 . (0)0 . (1)5
P(x=0)= 0
92
Distribución Normal:
Llamada también Distribución Continua, por ser estas el tipo de variable que le
corresponde manejar. Viene establecida mediante las siguientes funciones:
f(x) = 1 ℮ - (x – x )2 en donde σ representa la desviación estándar. σ √2 2σ2
℮ = base de los logaritmos neperianos.
x = promedio o media del grupo o de la muestra con la cual se trabaja o a la cual
está dirigida la investigación
x = los distintos valores que tiene la variable dentro de la muestra.
Curva de Gauss o Curva de la Distribución Normal:
0,5 y 0,5
- ∞ + ∞
93
Características:
1.- Se considera simétrica respecto del eje de ordenadas.
2.- Es una curva asintótica respecto al eje de las abscisas, es decir, la curva se
acerca cada vez más hacia el eje pero sin llegar a tocarlo.
3.- La curva se extiende desde mas infinito (+ ∞) hasta menos infinito (- ∞).
4.- El área comprendida entre la curva y el eje de las abscisas representa la
sumatoria de las probabilidades de cada uno de los valores posibles que pueda
adquirir la variable y su valor es de1 ó 100 %.
Para determinar los valores de las probabilidades se requiere el uso de una tabla
que contenga los valores en forma estandarizada como lo muestra la siguiente tabla:
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0,1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0754 0,2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0,3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0,4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0,5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0,6 0.2258 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2518 0.2549 0,7 0.2580 0.2612 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0,8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2996 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0,9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1,1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1,2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1,3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1,4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1,5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1,6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1,7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1,8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1,9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2,1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2,2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2,3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2,4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2,5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2,6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2,7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
94
2,8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2,9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 3,1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.49933,2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.49953,3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.49973,4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.49983,5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 3,6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.49993,7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.49993,8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.49993,9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000
Supongamos que el 30% de empleados de una compañía son menores de 35
años, el 50% son mayores de 35 pero sin pasar de 50 y el resto son personas
de 50 años o más. Determinar la edad promedio de los empleados de esa
compañía. Determinar también el N° de empleados que pertenecen a cada
grupo mencionado, sabiendo que la compañía cuenta con un número de emplea-
dos equivalente a 100 veces el valor del promedio.
x = σ =
Respuesta :
0,5 y 0,5
20% 30% Z =0,52 30% 20%
- ∞ x1 = 35 x x2 = 50 + ∞ Z1 = - 0,52 Z2 = 0,84
95
Z1 = x – x Como no se conoce el valor de Z, se busca en la tabla aproxi- σ mándose al 20% ó 2,0000 Z2 = x – x 0,1985 = Z1 = 0,52 σ 0,2996 = Z2 = 0,84 σ = x1 – x2 = 35 – 50 = -15
Z1 – Z2 -0,52 – 0,84 -1,36 Z1 = x – x = Z1 σ = x1 – x σ σ = 11,02 Z2 = x – x = Z2 σ = x2 – x Z1 = σ = x1 – x = -0,52 (11,02) = 35 -x σ Z1 σ = x1 – x x = 40,73 años
- Z2 σ = x2 + x N° de empleados:
(Z1 – Z2) σ = (x1 – x2) 100 x = 100 (40,73) = 4.073
En un examen de estadística la media fue 78 y la desviación típica 10. Deter-
mine: a) Referencias tipificadas (valores Z) de dos estudiantes cuyas califi-
caciones fueron 93 y 62 puntos respectivamente. b) Las calificaciones de 2 es-
tudiantes cuyas referencias tipificadas fueron – 0,6 y 1,2 respectivamente.
Parte a:
x = 78 x1 = 93 Z1 = x1 – x = 93 – 78 = 1,5
σ = 10 puntos. σ 10
Z1 = ? x2 = 62 Z2 = x2 – x = 93 – 78 = -1,6
Z2 = ? σ 10
Parte b:
Z1 = -0,6 Z σ = x1 – x x1 = Z σ + x
Z2 = 1,2 x1 = (-0,6). (10) + 78 = x1 = 72 puntos.
x1 = ?
96
x2 = ? x2 = (1,2). (10) + 78 = x2 = 90 puntos
Hallar el valor de x y σ de un examen en el que las puntuaciones de 70
puntos y 88 puntos tienen referencias tipificadas de –0,6 y de 1,4 respectiva-
mente.
x = ?σ = ?
x1 = 70 puntos
Z1 = - 0,6
x2 = 88 puntos
Z2 = 1,4
-0,6 = 70 – x = 0,6 σ = -70 + x σ
1,4 = 88 – x = 1,4 σ = 88 – x σ
Sistema de ecuaciones: 0,6 σ = -70 + x
1,4 σ = 88 – x
97
2,0 σ = 18
0,6(9) = -70 + x
5,4 = - 70 + x
x = 75,4
Hallar el valor de: a) 5! b) 6! c) C8,3 d) C7,5
2! 4!
Hallar la probabilidad de que en tres lanzamientos de una moneda aparezcan
a) 3 caras, b) 2 caras y sello, c) 2 sellos y 1 cara, d) 3 sellos
Hallar la probabilidad de que en 5 lanzamientos de un dado, el 3 aparezca:
a) ninguna vez, b) una vez, c) dos veces, d) tres veces, e) cuatro veces
Hallar la probabilidad de que una familia con 4 hijos tenga:
a) al menos 1 niño, b) al menos 1 niño y una niña. Supóngase la probabi-
lidad de nacimiento de un niño igual a ½.
De un total de 2.000 familias con 4 hijos cada una, ¿ en cuántas de ellas cabe
esperar que halla: a) al menos 1 niño, b) 2 niños, c) 1 ó 2 niñas
98
d) ninguna niña.
Si el 20% de los cerrojos producidos por una máquina son defectuosos, deter-
minar la probabilidad de que 4 cerrojos elegidos al azar: a) 1 sea defectuoso
b) 0 sea defectuoso, c) a lo más 2 cerrojos sean defectuosos.
La probabilidad de que un estudiante nuevo se gradúe es 0,4. Determinar la
probabilidad de que 5 estudiantes nuevos: a) ninguno se gradúe, b) uno se
gradúe, c) al menos uno se gradúe.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 9: a) dos veces, b) al menos
dos veces en 6 lanzamientos de un par de dados ?.
Hallar la probabilidad de que lanzando una moneda 6 veces aparezcan:
a) 0 caras, b) 1 caras, c) 2 caras, c) 3 caras, e) 4 caras, f) 5 caras,
g) 6 caras.
Respuestas: a) 1/64 b) 3/32 c) 15/64 d) 5/16 e) 15/64
f) 3/32 g) 1/64
De un total de 800 familias con 5 hijos cada una, cuántas cabe esperar que
tengan : a) 3 niños, b) 5 niñas c) 2 ó 3 niños. Suponer iguales la probabi-
lidad de niño y niña.
99
Respuestas: a) 250 b) 25 c) 500
Cual es la probabilidad de obtener 11: a) una vez, b) dos veces en dos
lanzamientos de un par de dados.
Respuestas: a) 17/162 b) 1/324
En un examen final de matemática la media fue 72 y la desviación típica 15.
Determinar las referencias tipificadas (graduaciones en unidades de desvia-
ción típica) de los estudiantes que obtuvieron puntuaciones de:
a) 60 b) 93 c) 72
Dos estudiantes fueron informados de que habían recibido referencias tipifi-
cadas de 0,8 y -0,4, respectivamente, en un examen de inglés. Si sus puntua-
ciones fueron 88 y 64, respectivamente, hallar la media y desviación típica
de las puntuaciones del examen.
Las puntuaciones de un ejercicio de Física fueron 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
dependiendo del número de respuestas correctas a 10 preguntas formuladas.
La puntuación media fue 6,7 y la desviación típica 1,2. Suponiendo que las
puntuaciones se distribuyen normalmente, determinar:
a) El porcentaje de estudiantes que consiguió 6 puntos.
b) La puntuación máxima del 10% más bajo de la clase.
c) La puntuación mínima del 10% superior de la clase.
100
La media de los diámetros interiores de una muestra de 200 monedas produ-
cidas por una máquina es 0,502 pulgadas y la desviación típica 0,005 pulga-
das. El propósito para el que se destinan estas monedas permite una toleran-
cia máxima en el diámetro de 0,496 a 0,508 pulgadas, de otro modo, las mo-
nedas se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de monedas defec-
tuosas producido por la máquina, suponiendo que los diámetros se distribu-
yen normalmente.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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Graw-Hill, 1974.
2. Cortada, Nuria; Carro, José. Estadística Aplicada. Buenos Aires: EUDEBA, 1975.
3. Escotet, Miguel. Estadísticas Psicoeducativa. México: Trillas, 1973.
4. Pulido, Jesús. Estadística General. Caracas: I.U.M.P.M 1986
5. Glass, Gene; Stanley, Julian. Métodos Estadísticos Aplicados a las Ciencias
Sociales. Madrid : Prentice – Hall, 1974
6. Murray R Spiegel. Estadística, Teoría y Ejercicios. México: 1970. Schaum
7. MICROSOFT Encarta 1999
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