12
UNIVE METODOS DE DESC FRE DOCE UNIVERS ESCUE ERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-QUÍMICAS ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS Trabajos métodos numéricos Primer Semestre Académico 2010 E GAUSS-JORDAN CON Y SIN PI COMPOSICIÓN LU Y SU INVERSA EDY ANDRES REYES SANCHEZ ENTE: PhD EDUARDO CARRILLO SIDAD INDUSTRIAL DE SANTAND ELA INGENIERIA DE PETROLEOS MÉTODOS NUMÉRICOS BUCARAMANGA 2010 IVOTEO, A O DER S

Gauss jordan

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Page 1: Gauss jordan

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

METODOS DE GAUSSDESCOMPOSICIÓN LU Y SU INVERSA

FREDY ANDRES REYES SANCHEZ

DOCENTE: PhD EDUARDO CARRILLO

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

ESCUELA

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-QUÍMICAS

ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS Trabajos métodos numéricos

Primer Semestre Académico 2010

DE GAUSS-JORDAN CON Y SIN PIVOTEO, DESCOMPOSICIÓN LU Y SU INVERSA

FREDY ANDRES REYES SANCHEZ

DOCENTE: PhD EDUARDO CARRILLO

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

ESCUELA INGENIERIA DE PETROLEOS

MÉTODOS NUMÉRICOS

BUCARAMANGA

2010

JORDAN CON Y SIN PIVOTEO, DESCOMPOSICIÓN LU Y SU INVERSA

DOCENTE: PhD EDUARDO CARRILLO

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

INGENIERIA DE PETROLEOS

Page 2: Gauss jordan

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

1. Resuelva:

�� ��� �����ó� � 16�3

�1 1 �10 �4 80 7 �2 �20� �100

��� � �3 �

�� ��� �����ó� � 6 2 2�3 4 11 1 �1 21�3� →

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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-QUÍMICAS

ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS Trabajos métodos numéricos

Primer Semestre Académico 2010

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6�� 2�! � 2�� � 2

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�320�8� → � (14) �! → �1 1 �10 1 �20 7 �2 �3�5�8� → �71 1 �10 1 �20 0 12 �3�527� → ��12 → +1 1 �10 1 �20 0 1 �3�594 -

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1.�1 2/ 0 1.9 4/ 0 � �3 .1 2/ 0 .9 4/ 0 � � "�#$$ ��� &1�2�� &�����

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36 2 20 5 20 0 �8 5/ 22�18 5/ 6

7�! �� →

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224 3/ 22�10 3/ 6

Page 3: Gauss jordan

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

�!�� � 2 � 2.�1/

�� ��� �����ó� "�#$$� 16�3

�1 1 �10 �4 80 7 �2 �20��1 1 �10 1 �20 0 12 �3�527� →

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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-QUÍMICAS

ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS Trabajos métodos numéricos

Primer Semestre Académico 2010

�� � �185�85 � 94

! � 2 � 2.9 4/ 05 � 2 � 9 2/5 � �5 2/5 � � 12

. 1 2/ 0 � 2.9 4/ 06 � 2 1 � 9 2/6 � 3 � 9 2/6 � �3 2/6"�#$$ � 8��7�� $&�� 1 �12 23 4 1 �321 � → �6�� �!; 3�� ��

�320�8� → � (14) �! → �1 1 �10 1 �20 7 �2 �3�5�8� → �7

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9:::;1 0 �10 1 00 0 1

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� 42 15/ 5�!

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2/ � � 14

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:::; 1 �11 00 1

�3� 1294 @AAAB

<�?� �!>? @AAAB

224 3/ 22�10 3/ 6

3/5/ 1 3/2 5/9 4/ @A

AB

Page 4: Gauss jordan

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

→ �! � (25) �� → 9::;100

2. Use la regla de la multiplicación matricial para demostrar que las ecuaciones

se derivan de la ecuación

Solución:

3. Use la eliminación de Gauss simple y descomponga los siguientes sistemas

Después, multiplique las matrices resultantes [L] y [U] para determinar que [A] se genera.

Solución:

CD

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Primer Semestre Académico 2010

9::; 1 3/ 1 3/1 00 1 1 3/�1 2/9 4/ @AA

B → �� � (13) �! → 9::;1 00 10 0

→ �� � (13) �� → 9::;1 0 00 1 00 0 1 �1 4/�1 2/9 4/ @AA

B �� � �14 ; �! � �12 ; �� � 94

Use la regla de la multiplicación matricial para demostrar que las ecuaciones

CE FCGF � CDF H CEFIJK � ILK

se derivan de la ecuación CEFMCGFINK � IJKO � CDFINK � ILK

CEFCGFINK � CEFIJK � CDFINK � ILK CEFCGFINK � CDFINK → CEFCGF � CDF �CEFIJK � �ILK → CEFIJK � ILK

Use la eliminación de Gauss simple y descomponga los siguientes sistemas

7�� 2�! � 3�� � �12

2�� 5�! � 3�� � �20

�� � �! � 6�� � �26

Después, multiplique las matrices resultantes [L] y [U] para determinar que [A] se genera.

CDFINK � ILK � 0

CDF � �7 2 �32 5 �31 �1 �6� → �! � (27) ��; �� � (17) ��

1 3/01 1 2/�1 2/9 4/ @AAB

Use la regla de la multiplicación matricial para demostrar que las ecuaciones

FUse la eliminación de Gauss simple y descomponga los siguientes sistemas

Después, multiplique las matrices resultantes [L] y [U] para determinar que [A] se genera.

( ) →

Page 5: Gauss jordan

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CEFCCDF

4. Use la descomposición LU para resolver el sistema de ecuaciones del problema 3.

Muestre todos los pasos del cálculo. También resuelva el sistema para un vector alterno

del lado derecho.

Solución:

Sustitución hacia adelante:

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Primer Semestre Académico 2010

�7 2 �30 4.429 �2.1430 �1.286 �5.571� → �� (1.2864.429) �! →

�7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193� � CGF

Q!� � 27 � 0.2857

Q�� � 17 � 0.1429

Q�! � �1.2864.429 � �0.290

CEF � � 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1�

C FCGF � � 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1� �7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193C F � CEFCGF � � 7 2 �31.999 5.000 �3.0001.003 �0.9986 �6.000�

Use la descomposición LU para resolver el sistema de ecuaciones del problema 3.

Muestre todos los pasos del cálculo. También resuelva el sistema para un vector alterno

ILKR � S12 18 �6T CEFIJK � ILK

� 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1� U7�7!7�V � U�12�20�26V

3143193�

Use la descomposición LU para resolver el sistema de ecuaciones del problema 3.

Muestre todos los pasos del cálculo. También resuelva el sistema para un vector alterno

Page 6: Gauss jordan

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7� � �12

7! � �20 � 0.2857W�12� �7� � �26 � 0.1429W�12�

Con la sustitución hacia atrás:

��� �

Ahora para el vector alterno:

Solución:

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Primer Semestre Académico 2010

7� � �12

0.28577� 7! � �20

0.14297� � 0.297! 7� � �26

� � �16.57

� 0.29W�16.57� � �29.09

IJK � U �12�16.57�29.09V

CGFINK � IJK

�7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193� U���!��V � U �12�16.57�29.09V

Con la sustitución hacia atrás:

�� � �29.09�6.193 � 4.697

�! � �16.57 2.143W4.697�4.429 � �1.469

� �12 � 2W�1.469� 3W4.697�7 � 0.7184

INK � U0.7184�1.4894.697 V

Ahora para el vector alterno: ILKR � S12 18 �6T CEFIJK � ILK

Page 7: Gauss jordan

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Con la sustitución hacia adelante:

7� � 12

7! � 18 � 0.2857W12� � 147� � �6 � 0.1429W12� 0.29

Con la sustitución hacia atrás:

5. Determine la matriz inversa para el problema 3. Revise sus resultados verificando queCDFCDF<� � CXF

Solución:

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Primer Semestre Académico 2010

� 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1� U7�7!7�V � U1218�6V

Con la sustitución hacia adelante:

7� � 12

0.28577� 7! � 18

0.14297� � 0.297! 7� � �6

14.57

29W14.57� � �3.49

IJK � U 1214.57�3.49V

CGFINK � IJK

�7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193� U���!��V � U 1214.57�3.49V

Con la sustitución hacia atrás:

�� � �3.49�6.193 � 0.564

�! � 14.57 2.143W0.564�4.429 � 3.563

�� � 12 � 2W3.563� 3W0.564�7 � 0.938

INK � U0.9383.5630.564V

Determine la matriz inversa para el problema 3. Revise sus resultados verificando queDetermine la matriz inversa para el problema 3. Revise sus resultados verificando que

Page 8: Gauss jordan

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Con la sustitución hacia adelante:

Con la sustitución hacia atrás tenemos:

Que es el resultado de la primera columna.

Ahora para la segunda columna:

Con la sustitución hacia adelante:

Con la sustitución hacia atrás tenemos:

Ahora para la tercera columna:

Con la sustitución hacia adelante:

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Primer Semestre Académico 2010

� 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1� U7�7!7�V � U100V

Con la sustitución hacia adelante:

IJKR � S1 �0.286 �0.226T �7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193� U���!��V � U 1�0.286�0.226V

Con la sustitución hacia atrás tenemos:

INKR � S0.172 �0.047 0.036T primera columna.

Ahora para la segunda columna:

� 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1� U7�7!7�V � U010V

Con la sustitución hacia adelante:

IJKR � S0 1 0.29T

�7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193� U���!��V � U 010.29V

Con la sustitución hacia atrás tenemos:

INKR � S�0.078 0.203 �0.047T tercera columna:

� 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1� U7�7!7�V � U001V

Con la sustitución hacia adelante:

IJKR � S0 0 1T

Page 9: Gauss jordan

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Con la sustitución hacia atrás tenemos:

Entonces la matriz inversa es:

Verificando que CDFCDF<� � C�7 2 �32 5 �31 �1 �6� � 0�0

6. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando la descomposición LU con pivoteo

parcial:

� 14 �12 �→ �! � ( 412) ��; �

→ �

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Primer Semestre Académico 2010

�7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193� U���!��V � U001V

Con la sustitución hacia atrás tenemos:

INKR � S�0.047 �0.078 �0.161T

Entonces la matriz inversa es:

CDF<� � � 0.172 �0.078 �0.047�0.047 0.203 �0.0780.036 �0.047 �0.161�

CXF � 0.172 �0.078 �0.047�0.047 0.203 �0. .780.036 �0.047 �0.161� � �1.002 0.0010.001 10.003 0.001

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando la descomposición LU con pivoteo

�� 7�! � 4�� � �51 4�� � 4�! 9�� � 62 12�� � �! 3�� � 8

7 �4�4 9�1 3 � → ��� �� &1�2�� → �12 �1 34 �4 91 7 �4�

) �� � ��12 → �12 �1 30 �3.667 80 7.083 �4.25� → J� �#�1�

�12 �1 30 7.083 �4.250 �3.667 8 � → �� (3.6677.083) �!

CGF � �12 �1 30 7.083 �4.250 0 5.8 �

�0.002�0.0010.997 �

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando la descomposición LU con pivoteo

�#�1� �� &1�2�

Page 10: Gauss jordan

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Con la sustitución hacia adelante:

7� � 8

7! � �51 � 0.08333W8� � �7� � 62 0.5177W�51.667�

�Con la sustitución hacia atrás:

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Q�� � 412 � 0.3333

Q!� � 112 � 0.08333

Q�! � �3.6677.083 � �0.5177

CEF � � 1 0 00.08333 1 00.3333 �0.5177 1�

� 1 0 00.08333 1 00.3333 �0.5177 1� U7�7!7�V � U 8�5162 V

Con la sustitución hacia adelante:

7� � 8

0.083337� 7! � �51

0.3333 � 0.51777! 7� � 62

�51.667

� � 0.3333W8� � 32.59

IJK � U 8�51.66732.59 V

CGFINK � IJK

�12 �1 30 7.083 �4.250 0 5.8 � U���!��V � U 8�51.66732.59 V

Con la sustitución hacia atrás:

�� � 32.595.8 � 5.619

�! � �51.667 4.25W5.619�7.083 � �3.923

V

Page 11: Gauss jordan

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��

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Primer Semestre Académico 2010

� � 8 1W�3.923� � 3W5.619�12 � �1.065

INK � U�1.065�3.9235.619 V

Page 12: Gauss jordan

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Tomado y desarrollado de la Chapra, ejercicios propuestos 9.11 y 10.1 - 10.5.

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BIBLIOGRAFÍA

Tomado y desarrollado de la Chapra, ejercicios propuestos 9.11 y Tomado y desarrollado de la Chapra, ejercicios propuestos 9.11 y