GEMA1200 - Gráficas y Funciones

Gráficas y Funciones

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Plano Cartesiano

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

origen

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

Gráficas

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

yGrafica los paresordenados:1) A(2,3)2) B(-1,2)3) C(-2,-1)4) D(0,-3)

Gráficas

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

A

B

C

D

E

Determina lascoordenadas decada punto.

Gráficas

• Forma Estándar de Ecuaciones Lineales

– Cualquier ecuación que pueda ser escrita de la forma Ax + By = C es una ecuación lineal en dos variables y la gráfica de sus soluciones es una línea recta.

– La forma Ax + By = C es llamada la forma estándar de la ecuación donde A, B y C son enteros, A y Bno son ambos cero y A es no negativo.

Gráficas

• Grafica las soluciones de x + 2y = 8.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y

Gráficas

• Grafica las soluciones de y = ½x – 1.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y

Gráficas

• Graficando Utilizando Interceptos

– Procedimiento

• Para encontrar el intercepto en x, colocamos y = 0 y encontramos x: (x,0) es el intercepto en x.

• Para encontrar el intercepto en y, colocamos x = 0 y encontramos y: (0,y) es el intercepto en y.

Graficas

• Encuentra los interceptos y luego grafica la recta:

1. y = 3x +6

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y

Graficas

• Encuentra los interceptos y luego grafica la recta:

2. 2x + 3y = 0

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y

Gráficas

• Graficando Rectas Horizontales y Verticales

– La gráfica de todas las soluciones de y = C es una recta horizontal.

– La gráfica de todas las soluciones de x = C es una recta vertical.

Gráficas

• Grafica las soluciones de:

1. 2x = 8

2. 5y = -10

3. 3x = -9

4. -2y = -4-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y

Gráficas

• Graficando Ecuaciones No – Lineales

1. Grafica las soluciones de y = x2 + 3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y

Gráficas


2. Grafica las soluciones de y = -ǀxǀ

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y

Gráficas


3. Grafica las soluciones de y = 2/x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y

Utilizando Pendientes para Graficar Rectas

• Definición de Pendiente

1 1 2 2

2 1

2 1

Si , y , son dos puntos distintos

en una recta (que no es paralela al eje de ),

entonces la pendiente de , denotada por , es

A x y B x y

L y

L m

y ym

x x


• Encuentra la pendiente de la recta que pasa a través de los puntos dados.

1. (-3, 1), (-1, -2)

2. (-1, 5), (-1, 6)

3. (1, 1), (2, 3)

4. (3, 4), (1, 4)


• Si una recta tiene pendiente positiva la gráfica sube de izquierda a derecha.

• Si una recta tiene pendiente negativa la gráfica baja de izquierda a derecha.

• Si una recta tiene pendiente cero la gráfica es una recta horizontal.

• Si una recta tiene pendiente indefinida la gráfica es una recta vertical.


• Rectas Paralelas y Perpendiculares.

– Dos rectas no-verticales L1 y L2 con pendientes m1

y m2 son paralelas si y solamente si m1 = m2.

– Dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y solamente si m1 = -(1/m2).


• Una recta L1 tiene pendiente 2/3, determina:

a. Si la recta que pasa por los puntos (5,1) y (8,3) es paralela o perpendicular a L1.

b. Si la recta que pasa por los puntos (-1,-4) y (-3,-1) es paralela o perpendicular a L1.


• Graficando Rectas Utilizando la Pendiente y un Punto.1. Grafica la recta que tiene intercepto en y de 2 y

pendiente -¾.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y


• Graficando Rectas Utilizando la Pendiente y un Punto.2. Grafica la recta con pendiente 3 y que pasa por el punto

(-2,1).

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y


• Forma Pendiente-Intercepto de una Ecuación Lineal

y mx b

pendiente

intercepto en y


• Dadas las siguientes ecuaciones lineales, encuentra la pendiente y el intercepto en y de cada una.

1. y = 5x – 3

2. -y = ¼ x + 2

3. -3x + 2y = 7

Ecuaciones de Rectas

• La Forma Punto-Pendiente de una Recta

1 1 2 2

1 1

2 12 1

2 1

La ecuación de la recta que pasa a través de

los puntos , y , está dada por

donde y .

x y x y

y y m x x

y ym x x

x x


• Encontrando una ecuación dados dos puntos.

1. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5,2) y (6,4).

2. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,1) y (4,3).


• Encontrando una ecuación dado un punto y la pendiente.

1. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la ecuación de la recta con pendiente m = -2 que pasa por el punto (3, 5).

2. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la ecuación de la recta con pendiente m = -3 que pasa por el punto (1, 2).


• Encontrando una ecuación dada la pendiente y el intercepto en y.

1. Encuentra la forma pendiente-intercepto y grafica la ecuación de la recta con pendiente 5 e intercepto en y = 3.

2. Encuentra la forma pendiente-intercepto y grafica la ecuación de la recta con pendiente 3 e intercepto en y = 2.


• Encontrando la ecuación de una recta que pasa a través de un punto dado y paralela o perpendicular a una recta dada.1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través del punto

(6, 1) y es:a) Paralela a la recta y – 3x = 1. Escribe la ecuación en forma

pendiente-intercepto.b) Perpendicular a la recta y – 3x = 1. Escribe la ecuación en forma

pendiente-intercepto.

2. Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través del punto (4, 3) y es:

a) Paralela a la recta y + 2x = 7. Escribe la ecuación en forma pendiente-intercepto.

b) Perpendicular a la recta y + 2x = 7. Escribe la ecuación en forma pendiente-intercepto.

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