Guía de autoestudio de matemáticas

2016: VAMOS ADELANTE!EN BUENA ESPERANZA,EN BUEN CORAZÓN EN VICTORIAS

CRISTIANA, SOCIALISTA, SOLIDARIA! Ministerio de Educación

Dirección General de Educación Secundaria - Teléf:22538490 Ext:167 y

149

EMAIL: [email protected]

Managua septiembre 2016




149


INTRODUCCION

Estimados estudiantes:

Dentro del actual proceso de globalización y de la modernización

de la enseñanza de la matemática, el Consejo Nacional de las

Universidades (CNU) y el Ministerio de Educación, Se han dado a la

tarea de presentarles un material de ejercicios y problemas

introductorios, con el objetivo que tengan la oportunidad de

consolidar sus conocimientos mediante un entrenamiento matemático

que les permita fortalecer sus capacidades cognitivas e

intelectuales referidas al campo de las ciencias matemáticas.

Este material reúne ciertas características entre las cuales se

pueden destacar las siguientes:

1. Tiene como fuente primaria los temas que tradicionalmente

ofrecen grandes dificultades para los estudiantes de

secundaria; por ello, se hace énfasis en los aspectos

teóricos de los conceptos matemáticos

2. Se han insertado problemas de lógica matemática, semejantes

a situaciones objetivas de fenómenos de la vida cotidiana.

3. El enfoque se ha centrado por un lado, en la proposición de

problemas donde intervienen conceptos, teoremas y

propiedades de las distintas áreas matemáticas, por el otro,

ejercicios de cálculo para desarrollar destrozas y

habilidades.

4. Algunos problemas han sido seleccionados de revistas

matemáticas, de exámenes de entrenamiento y de concursos

matemáticos.




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COMISIÓN DE MATEMÁTICA

INTEGRANTES:

1. Humberto Antonio Jarquín López (MINED)

2. Francisco Emilio Díaz Vega (MINED) Coordinador

3. Héctor Benito Flores Guido (UNAN- LEÓN)

4. Fredy José González Martínez (UNAN- LEÓN)

5. Francisco Rutilio Zelaya (UNAN- LEÓN)

6. Primitivo Herrera Herrera (UNAN –MANAGUA)

7. Armando José Huete Fuentes (UNAN –MANAGUA)

8. María auxiliadora Rosales ( UNA)

9. María Lisseth Valdivia ( UNA)

10. Mauricio Alexander Gonzalez Salazar(UNA)

11. Hank Espinoza (UNI)

12. Roberto Ruiz ( UNI)




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Aritmética

1. La expresión 212 + 212 + 212 + 212 equivale a :

a) 212 b) 214 c) 248 d) 433

2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de

tres dígitos 5b9. Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces a + b es: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8

3. Al simplificar [(9 - 4) + (-10 + 3)] ×(6 × (-5))÷[(-12 + 8) (6 - 9) (95 - 90)] el resultado es:

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2

4. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000?

a) 15 b) 18 c) 17 d) 20

5. Al simplificar 4 (3)2 ÷6 - 3 4 + 2 [5 (7) - 15 × 3] 4 ÷ 12 - 9. El resultado es

a) 19 b) -11 c) 11 d) 29

6. En una ciudad 3

2 de los hombres están casados con los

5

3 de las mujeres. Si

nunca se casan con forasteros, ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad?

a) 7

1 b)

19

7 c)

5

1 d)

12

5

7. Un corredor ha dado cinco y media vueltas a una pista de 300 m,¿Cuántos km recorrió?

a)15 km b) 165 km c)16.5 km d)1650 km

8. El resultado de efectuar – 4(2 - 5

3 ) + 2(5 - 4

3 ) es :

a) 5

7 b) 4

17 c) 10

29 d) – 2




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9. El resultado de nn xx 1 es:

a) nn xx 12 b)

12 nx c) 1nx d)

1x

10. La expresión decimal

9.2 es equivalente a :

a) 9

2 b) 10

3 c) 10

29 d) 9

27

11. El resultado de la operación 4

1

43

32

625818 corresponde a : a) 27 b) 4 c) 26 d) 30

12. El resultado de

7

6

5

4

3

2, es:

a) 15

4 b)

35

4 c)

45

7 d)

30

4

13. ¿Cuánto gano o pierdo si vendo por los 3

5 de los

7

2del costo de un juguete

que me ha costado C$40.00?

a) gano C$24 b) pierdo C$24 c) gano C$140 d) gano C$44

14. La solución de

12

1

12

1

45

2

es:

a) 2 b) -2 c) 1 d) -1

15. El valor de la expresión,

3

2

2

2

22

1

es:

a) – 2 b) 2 c) 1 d) – 1

16. Los 5

4 de 1 000 son:

a) 800 b) 250 c) 200 d) 850




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17. La fracción generatriz de la siguiente fracción decimal: 0.333... es:

a) 3

1 b)

10

33 c)

1000

333 d)

100

33

18. El resultado de efectuar: 1 1 1

(0,3)0,1 0,01 0,001

es:

a) 33 b) 333 c) 3 d) 0.3

19. El resultado de dividir: 0009.027.0 es:

a) 3 b) 30 c) 3000 d) 300

20. Al resolver la operación siguiente:

2

5

65

3

el resultado es:

a) 4

1 b)

4

3 c)

4

5 d)

4

7

RAZONES Y PROPORCIONES 21. El 25% del semiperímetro de una circunferencia mide 3 cm. Su diámetro mide:

A) 12 cm B) 6 cm C) 24 cm D) 18 cm E) Ninguna de las anteriores

22. Cuarenta y seis obreros se demoran 6 días en construir una casa. ¿Cuántos días se

demorarán 69 obreros?

A) 9 días B) 8 días C) 4 días D) 3,3 días E) Ninguna de las anteriores

23. Pedro se demora tres horas en cortar el pasto y su hermano menor se demora el

doble. Si trabajan juntos el tiempo empleado en realizar la labor es de:




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A) 1 hora B) 2 horas C) 3 horas D) 4 horas E) 6 horas F)

24. Si Carlos midiera un 26% menos, su estatura sería de 1,40 m. ¿Cuánto mide Carlos? A. 1,60 m B. 1,70 m C. 1,75 m D. 1,80 m E. 1,89 m

25. Si a : b = 2 : 3, ¿cuál expresión da igual a cero?

A) 3a + 2b B) -3a - 2b C) 3a - b D) 3a -2b E) a-2b

26. ¿Cuál es el 75% de 2 horas?

A) 70 min B) 80 min C) 90 min D) 56 min E) 50 min

27. Juan pinta una casa en sólo 6 horas. Diego pintará la misma casa en 9 horas.

¿Cuánto demoran en pintarla si trabajan los dos juntos?

A) 3,6 horas B) 4,8 horas C) 6,3 horas D) 7,5 horas E) 7,8 horas

28. ¿Qué altura tendría una pila de 1 000 000 de hojas de cuaderno si se

necesitan 10 hojas para tener 1 mm? Compare esta altura con su casa de

habitación.




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a) 1 000 mm b) 10 000 mm c) 1 000 000 mm d) 100 000 mm e) 100

mm

29. ¿Cuántos rieles de 15 m se necesitan para enlazar a una fábrica con la

estación que dista 765 m?

a) 95 rieles b) 85 rieles c) 55 rieles d) 75 rieles e) 45

rieles

30. ¿Cuántos alfileres de 3.5 cm de largo pueden fabricarse con un alambre de

latón de 152.07 m, sabiendo que hay una pérdida de 2 mm de alambre por alfiler?

a) 46 alfileres b) 43 alfileres c) 48 alfileres d) 50 alfileres e)

49 alfileres

31. Para ir a clase, Pedro tiene que andar por término medio 1,520 pasos de 62

cm. ¿Cuántos km habrá recorrido durante un año escolar de 210 días si va al

colegio dos veces al día?

a) 20.2 km b) 18.6 km c) 17.9 km d) 19.7 km e)

18.8 km

32. Dos contratistas han reparado un camino de 5 km 4 hm 5 dam. El primero ha

hecho la mitad más 3 hm 25 m y ha cobrado 86400 córdobas. ¿Cuánto cobró el

segundo?

a) 74 637 b) 75 637 c) 74 000 d) 75 000 e)

78 000

33. La alcaldía de cierto municipio tiene una extensión de 1008 hm2 y otra alcaldía

en otro municipio 1683750 m2 ¿Cual es mayor y en cuantos kilómetros supera

una de la otra?

a) La 1ra y la supera en 1.58 b) La 2da y la supera en 1 c) La 2da y la

supera en 1,58 d) La 1ra y la supera en 1,5 e) La 2da y son iguales.




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34. Un terreno de 26 000 m2 se ha dividido en lotes de 32,5 dam2. Halla el número

de lotes obtenidos.

a) 8 lotes b) 80 lotes c) 800 lotes d) 8000 lotes e)

80000 lotes

35. Se ha necesitado 54,000 losetas para pavimentar los 2,430 m2 que miden las

aceras de una calle. ¿Cuál es en mm2 la superficie de una loseta?

a) 2 222 mm2 b) 2 2222 mm2 c) 222 222 mm2 d) 2 222 222 mm2 e) 22

222,222 mm2

36.Si el m2 de terreno vale 2 euros, ¿Cuántos euros vale comprar un campo de 7

ha?

a) 40 000 euros b) 10 000 euros c) 35 000 euros d) 14 000 euros e) 120 000

euros

37. La isla mayor de la Tierra es Groenlandia y mide 2 180 000 km2 y una de las

más pequeñas es Cabrera, con 2 000 ha. ¿Cuántas veces cabe Cabrera en

Groenlandia?

a) 100 000 veces b) 200 000 veces c) 109 000 vces d) 108 000 veces e) 110

000 veces.

38.En una caja de 0,696 dam3, ¿cuántos cubos de 12 m3 caben?

a) 60 cubos b) 25 cubos c) 30 cubos d) 44 cubos e) 58

cubos

39. Una tinaja que contiene 0,4 m3 de aceite ha costado 800 euros ¿a cuántos

euros resulta el litro?

a) 6 euros b) 2 euros c) 3 euros d) 4 euros e) 5

euros




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40. Un caramelo tiene un volumen de 1,3 cm3. ¿Cuántos caramelos caben en una

caja de 0,4498 dm3?

a) 346 caramelos b) 246 caramelos c) 156 caramelos d) 220 caramelos e) 356

caramelos.

41. Los trozos cúbicos de jabón de 5 cm de arista se envían en cajas cúbicas de

60 cm de arista. ¿Cuántos trozos puede contener la caja?

a) 1 628 trozos b) 1 528 trozos c) 1 428 trozos d) 1 728 trozos e) 1 828

trozos

42. ¿Cuántas botellas de 750 cm3 se necesitan para envasar 300 litros de

refresco.

a) 200 botellas b) 300 botellas c) 400 botellas d) 500 botellas e) 280

botellas

43. Una bodega vende vino al por mayor a 1,45 €/l. ¿Cuál es el coste de un

camión cisterna que transporta 5 m3de ese vino?

a) 7 520 € b) 7 025 € c) 7 050 € d) 7 250 €

e) 7 500 €

44. ¿Cuántos vasos de 0,25 l se podrán llenar con el refresco de una botella de

0,25 dal?

a) 10 vasos b) 20 vasos c) 30 vasos d) 15 vasos e) 25

vasos

45. La capacidad de un depósito de gasolina es 1500 litros. ¿Cuál es su volumen

en cm3?

a) 150 000 c3 b) 15 000 c3 c) 1 500 c3 d) 1 500,000 c3 e)

100,000 c3




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46. Un camión transporta 50 cajas con botellas llenas de agua. Cada caja contiene

20 botellas de litro y medio. Una caja vacía pesa 1 500 g, y una botella vacía, 50 g.

¿Cuál es el peso total de la carga?

a) 1 625 kg b) 1 620 kg c) 1 605 kg d) 1 525 kg e) 1 655

kg

47. Si para construir un muro necesito 2 toneladas de cemento, ¿cuántos sacos de

25 kilos de cemento tendré que comprar?

a) 60 sacos b) 70 sacos c) 50 sacos d) 75 sacos e) 80

sacos

48.Un barco transporta 2800 toneladas de mercancía. ¿Cuántos vagones harán

falta para transportar esa mercancía si cada vagón carga 1400 kg?

a) 2 100 vagones b) 2 010 vagones c) 2 000 vagones d) 2 020 vagones e) 2

200 vagones

ALGEBRA

1. Dado el polinomio lineal 𝑓(𝑥) = 𝑥 −1

2, la suma de 𝑓(𝑥) + 𝑓 (𝑥 +

1

4) + 𝑓 (𝑥 +

3

4) es

igual a:




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A. 4x B. 4x+1 C. 4𝑥 +1

2 D. 4𝑥 −

1

2

2. Si x + y = 1 y xy=1, ¿Cuál es el valor de la expresión 𝑥3 + 𝑦3?

A. -1 B. -2 C. -3 D. -4

3. Si a = -1, b = 3, c = 5, entonces 𝑎+𝑏−|𝑎−𝑏|

|𝑎|+|𝑏|+|𝑐|

A. −1

9 B. 1 C.

1

9 D. −

2

9

4. El valor numérico de la expresión

2 2 3 3 2

2 2 2

a (a b )(a b )(a b)

(a b )(2a 3b )

para a = 1

y b = – 2 es:

A. 27

10 B.

27

10 C.

18

35 D.

15

17

5. Las raíces de la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, serán recíprocas si:

A. a = b B. a = bc C. c = a D. c = b

6. El resultado de 5 5n m m nb y y b es

A. 2m2n y25b B.

m2n2 y25b C. 2m2n y25b D.

m2n2 y25b E. 0




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7. La descomposición en factores de la expresión 3x2 – 2x – 8 es:

A. (3x +4) (x + 2) B. (3x + 4) (x - 2) C. (3x – 4) (x - 2) D. (3x – 4) (x + 2)

8. La descomposición en factores de la expresión x3 – 64y3 es:

A. (x – 4y) B. (4xy + x2 + 16y2)

C. (x + 4y) (4xy + x2 + 16y2 ) D. (x – 4y) (4xy + x2 +16y2)

9. La simplificación de

2 2 2 2

2 2

4b 3a 5ab 2b

ab 2b 3a b

a

a

es:

A. b(3a b)

a

B.

a

b C.

b

a D. 1 E.

a(3a b)

b(3a b)

10. Al simplificar la expresión

1 1

a a1 1

aa

se obtiene

A. a

)a(1 2 B. 1

a

)a(1 2

C. a

)a(1 2

1 D.

1

1

a

)a( 2

E. 1

a

)a(1 2

11. El resultado de la siguiente operación

9x

3x8x3

3x11x4

x4x12

1x

1

2

2

2

2

es:

A.

24x 1

(4x 1)(x 1)

B.

24x 1

(4x 1)(x 1)

C.

24x 1

(4x 1)(x 1)

D.

24x 1

(4x 1)(x 1)




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12. Al desarrollar

2

x y

y x

se obtiene

A. 4 2 2 4

2 2

x 2

y

x y y

x

B.

4 2 2 4

2 2

x 2 y

x y

x y C.

22

4224

yx

yyx2x D.

4 2 2 4

2 2

x x y y

x y

13. Al racionalizar el denominador de la fracción 5x23

2x

se obtiene

A. 2x 5 3

4

B.

2

35x2 C.

2x 5 3

2

D.

2x 5 3

2

14. El conjunto solución de la ecuación 3x 15

1x 5 x 5

es

A. -5 B. 15 C. 10 D. -15

15. El valor de k que proporciona sólo una solución real de la ecuación

x32kkxx2 es :

A. 5 B. 1 C. 0 D. – 1

16. El valor de la variable y al resolver el sistema de ecuaciones

1yx3

4

yx3

2

3yx3

4

yx3

2




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A. 3

2 B.

3

2 C.

8

7 D.

7

8

17 .Al efectuar 4x

2)(x

2)(x

4x

2

2

2

2

se obtiene:

A. 2(x 2)

x 2

B.

2(x 2)

2x

C.

2(x 2)

x 2

D.

2(x 2)

x 2

18. Al resolver la ecuación 41x

1x2

1x

1x

se obtiene que la diferencia entre la

mayor y la menor de las raíces es: A. -5 B. 5 C. 1 D. -1

19. Al resolver el sistema de ecuaciones

22x 3y 5 2 6xy

2x 3y 1 se obtiene que el

valor de la variable y es:

A. 2

3 B.

3

2 C.

2

3 D.

7

8

20. El conjunto solución de la desigualdad x3 + x2 – 2x > 0 es:

A. (– 2; 1) (1;+) B. [– 2;0) [1; +) C. (– 2; 0) [1, +) D. [– 2, 0) (1,

+)




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21. El valor de k de manera que la ecuación 2x2 + kx + 4 = 0 tenga una raíz igual a

– 3 es:

A. 12

13 B.

12

13 C.

22

3 D.

22

3

22. El conjunto solución de la desigualdad | x + 3

2| 2 es

A. – 3

8 x

4

3 B.

8

3 < x

4

3 C. –

3

8< x <

3

4 D.

8

3 x

4

3

23. El conjunto solución de la desigualdad 1 2

x7 3 es:

A. [1; 5] B. [– 1; 5] C. [–1; 0] D. [1; 2]

24. El conjunto solución de la desigualdad |5 – 2x| < 7 está dado por el intervalo

A. (–1; 0) B. (1, 6) C. (-1, 6) D. (–1; 2)

25. El conjunto solución de la desigualdad 2

(x 10)(x 2)0

x 7 x 8

es:

A. [– 10; –1] [2; 8] B. [–10;0) [2;8) C. (-10;-1) (3; 8) D. [–10; 1] [2;8)

26. El conjunto solución de la ecuación 2x 3 x 2 2 es:

A. {-3; 11} B. {3; 11} C. {3;-11} D. {-3;-11}




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27. Si |2x – 1| > 3, el valor de x que no pertenece al conjunto solución es: A. – 3 B. 3 C. 1 D. – 1

28. Si 3x

1x

2

, entonces

3

3

x

1x es igual a:

A. 2 B. -1 C. 0 D. 1

29. El conjunto solución de 3x + | x | = – 8 es:

A. -2 B. -1 C. -4 D. 1

30. Al factorizar la expresión −12x3 + 36x2 − 27x, uno de los factores es:

A) -2 B) (2x − 3)2 C) 5𝑥2 D) (2x + 3)2

31. El resultado simplificado de 3𝑦

2√8𝑥3𝑦74

∙1

3𝑥√8𝑥2𝑦34

, es:

A) 𝑦3 √4𝑥2𝑦4

B) 𝑦2 √4𝑥𝑦24 C) 𝑦3 √4𝑥𝑦23

D) 𝑦3 √4𝑥𝑦4

32. Si x, y, z, son números positivos que satisfacen las siguientes expresiones

1 1 1 7

x 4, y 1, zy z x 3

, entonces el valor de xyz es:

A. -1 B. -2 C. 1 D. 2




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33. Si n > 1, entonces 3 3 3n n n es igual a:

A. 1/27n B. 13/21n C. 13/27n D.

131/127n

34. Si (𝑥 + 𝑦)2 = 2(𝑥2 + 𝑦2 ) entonces el valor de la expresión E dado por

𝐸 = 3𝑥3−𝑦3

𝑥2 𝑦+

3𝑥+2𝑦

5𝑥+

6𝑦

2𝑥+𝑦 , es igual a:

A. 3 B. 2 C. 5 D. 6

35. Si el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 𝑎𝑥3 − 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 − 1 es divisible por (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1), el valor de (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 es: A. 8 B. 64 C. 27 D. 1

36. Si el cociente notable 𝑥30−𝑦𝑚

𝑥𝑛−𝑦2 tiene 10 términos, entonces el valor de (m + n)

es: A. 23 B. 25 C. 35 D. 50

37. Si 264 = a𝑎 𝑦 (√3)54 = (3𝑏)𝑏 , al determinar el valor de 3ª + b se obtiene: A. 66 B. 48 C. 99 D. 44

38. Si (2𝑎 + 𝑏)−𝑐 =1

5 , entonces el valor de (b2 + 4ab + 4a2 es:

A. 25 B. 125 C. 1

25 D.

1

125

39. Un barril contiene 120 litros de alcohol y 180 litros de agua; un segundo barril contiene 90 litros de alcohol y 30 litros de agua. ¿Qué cantidad de litros deberán




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sacársele a cada uno de los barriles para obtener una mezcla homogénea que contenga 70 litros de agua y 70 litros de alcohol?

40. Si x4 − y4 = z3 ; x2 − y2 = 8 ; entonces z3

8 es igual a ∶

A. (𝑥 + 𝑦)(𝑦 − 𝑥) B. (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) C. (𝑥 − 𝑦)2 D. (𝑥 + 𝑦)2

41. Al simplificar

32 4

43 3

1 2 7

3 3 3

x y z

x y z

resulta:

A. x y6 z4 B. x y3 z5 C. x y6 z5 D. x2 y6 z5

42. Si 223 p2xpxx2 es divisible entre x + 1, siendo p un entero, entonces

el valor de p es:

A. 5

2 B.

5

2 C.

1

2 D.

1

2

43. El conjunto solución de la desigualdad 2x

1

3x2

3

es:

A. ( – ;2

3 ) B. (2; 9) C. ( – ;

2

3) (2;9) D. ( – ;

2

3) ∩ (2; 9)

44. Dos enteros 𝑎 > 1 𝑦 𝑏 > 1 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒𝑛 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 = 57 , determinar la suma a + b

A. 4 B. 6 C. 5 D. 7

45. Si 𝑥 + 𝑦 = 1 ; 𝑥𝑦 = 1 ¿Cuál será el valor de x3 + y3?




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A. -1 B. -2 C. -3 D. -4

46. El polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 + 1 se anula en 1, luego p(x) es divisible por:

A. 𝑥 − 4 B. 𝑥 − 3 C. 𝑥 − 2 D. 𝑥 − 1 47. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor el cociente es 5 y el residuo 78. Dichos números son:

A. {548; 118} B. {568; 98} C. {558; 108} D. {538; 128}

48. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste se calcula al dividir la edad mental por la edad cronológica multiplicado por 100. La edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre el efecto fotoeléctrico era: A. 44,2 B) 45,2 C) 47,2 D) 49,2

49. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene?

A. 10 B. 5 C. 25 D. 15

50. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lo pusieron todo en una cuenta que ascendió a 36 córdobas. Todos iban a pagar por igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada uno le tocó pagar 1 córdobas más. ¿Cuántas personas conformaban el grupo original?

A. 5 B. 10 C. 15 D. 12




149


51. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45. ¿Cuál es el mayor de esos tres números?

A. 27 B. 16 C. 15 D. 14

52. Un autobús comienza su trayecto con un cierto número de pasajeros. En la

primera parada descienden 1

3 de los pasajeros y suben 8. En la segunda parada

descienden 1

2 de los pasajeros y suben 2 nuevos. En este momento, el autobús

lleva la mitad del número de pasajeros de los que llevaba al principio del trayecto. ¿Cuántos pasajeros había al principio?

A 18 B 36 C 30 D 42

53. Halla tres números sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la misma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el producto de los dos más pequeños es 85 y que el producto de los dos mayores es 115.

A. 23

2; 10;

17

2 B.

23

2; 15;

17

2 C.

3

2; 10;

1

2 D.

23

2; 1;

17

2

54. Marlene en su bicicleta calcula que si avanza a 10 km/hora llegará a su destino a la 1p.m., y si avanza a 15 km/hora llegará a su destino a las 11 a.m. ¿a qué velocidad, en km/hora, tiene que avanzar para llegar a las 12m.?

A. 8 B. 6 C. 18 D. 12




149


55. Un camino puede recorrerse en “t” horas con una cierta velocidad en km/hr. El mismo camino se puede hacer en una hora menos aumentando en un kilómetro por hora la velocidad. Hallar la longitud del camino en km.

A. t B. 3t t C. 2t 1 D. tt2

56. De un depósito de 100 litros de capacidad, lleno de alcohol puro, se saca una cierta cantidad de alcohol y se le reemplaza por agua. Se saca después la misma cantidad de mezcla y se reemplaza por agua, quedando ésta última mezcla con un 49% de alcohol. Determinar la cantidad de líquido que se ha sacado cada vez.

A. 30 litros B. 15 litros C. 25 litros D. 35 litros

57. La suma de tres números es 21. El cociente de dos de ellos es 2.5 y la suma de estos dividida entre el tercero da como cociente 2. ¿Cuál es el menor de los tres números?

A. 5 B. 6 C. 4 D. 3

58. Un padre actualmente tiene el triple de la edad de su hijo; si hace 6 años la edad del padre era el quíntuple de la edad de su hijo. ¿Cuánto es la suma de las cifras de edad del padre? A. 8 B. 6 C. 10 D. 9

59. Dos tuberías abiertas simultáneamente llenan un depósito en 1 hora 12

minutos. Si una de ellas tarda 1 hora más que la otra, en llenar el mismo depósito

¿en qué tiempo lo llenará la tubería de mayor caudal?

A. 3 horas B. 1 hora C. 2 horas D. 4 horas




149


60. Por Navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. En esta ocasión las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero los hombres lo han repartido: la mitad han dado un regalo a sus compañeros y la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemos que el doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres. Si en total se han dado 318 regalos, ¿cuántos empleados laboran en la empresa? A. 37 B. 16 C. 11 D. 27

61. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se añade un 5 a la derecha el número resultante es divisible exactamente por un número que sobrepasa en 3 el buscado, siendo el cociente igual al divisor menos 16.

A. 32 B. 12 C. 22 D. 44

62. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el número de unidades excede en dos el número de decenas y que el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es 144.

A. 24 B. 46 C. 13 D. 57

63. Si n es un entero positivo, la igualdad (𝑚4 − 𝑘𝑚2𝑛 + 𝑛2)𝑛 = (𝑚2 − 𝑛) 2𝑛 se cumple si k toma el valor:

A. 2 B. -2 C. 4 D. -4

64. Un factor de 5𝑡 − 12 + 2𝑡2 es (t + 4) y el otro es:




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A. (t + 4) B. (2t - 3) C. (3 - 2t) D. (2t + 3)

65. El sistema de ecuaciones tiene solución única si:

A. k = 1 B. k = -1 C. k = 1 y k = -1 D. k ≠ -1 y k ≠ 1

66. Encontrar la solución real del siguiente sistema de ecuación

67. Sean 𝑎 𝑦 𝑏 números reales distintos tales que 2𝑎2 + 2𝑏2 = 5𝑎𝑏.

¿Cuántos son los posibles valores de (𝑎+𝑏)

(𝑎−𝑏)?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

68. ¿Cuántas ternas 𝑥, 𝑦, 𝑧 de números reales satisfacen el sistema?

{

𝑥(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 26

𝑦(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 27

𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 28

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Ninguna

FUNCIONES REALES Y TRIGONOMETRÍA

1. Escriba el producto cartesiano de los conjuntos dados.

a. 𝐴 = {−2, −1,0,1,2}, 𝐵 = {3,5,7}

b. 𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}, 𝐵 = {𝑐, 𝑑, ℎ}.

kx y 1

x ky 2




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2. A partir de los productos cartesianos del ejercicio anterior defina 2 relaciones y

2 funciones.

3. Determine cuáles de las siguientes relaciones representan funciones y cuáles

no. Justifique su respuesta.

a. 𝑓 = {(2, 6), (−3, 6), (4, 9), (2, 10)}

b. 𝑔 = {(𝑎, 2), (𝑏, 3), (𝑐, 5), (𝑎, 7)}

c. ℎ = {(𝑎, 1), (𝑏, 2), (𝑐, 1), (𝑑, 2)}

d. 𝑝 = {(−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1)}

e. 𝑀 = { (𝑥, 𝑦 ) | 𝑦 = 5𝑥 − 3, con 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ }

f. 𝑁 = { (𝑥, 𝑦 ) | 𝑦2 = −𝑥2 − 1, con 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ }

g. 𝑓: ℝ ⟶ ℝ si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6

h. ℎ: 𝑥 ⟼ 𝑦 mediante 𝑦 = ±√𝑥 + 4 si 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.

4. Dadas las siguientes leyes de asignación, determine el dominio y el rango de

su función correspondiente.

a. 𝑓 = {(0, −1), (3, −2), (1, 0), (−3, 5), (2, 6)}

b. 𝑦 = 3𝑥2 + 5𝑥 − 1

c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6

d. 𝑔(𝑥) = √2𝑥 + 4

e. 𝑦 = ℎ(𝑥) = 𝑥

𝑥2−16

f. 𝑦 = 𝑥2

𝑥2+1

5. Efectúe las evaluaciones indicadas para cada función real.

a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 5𝑥 − 3; 𝑓(0), 𝑓(−1), 𝑓(𝑥2 − 3), 𝑓(𝑥 + ℎ)

b. 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 9 ; 𝑔(7), 𝑔(−5), 𝑔(𝑥 + 9), 𝑔(𝑥4 − 2)

c. 𝑦 = 𝐻(𝑥) = 3𝑥

𝑥+1 ; 𝐻(2), 𝐻(0), 𝐻(−3), 𝐻(ℎ + 3).




149


6. Determine dominio, rango y trace la gráfica de las funciones dadas por las

leyes de asignación siguientes:

a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2

b. 𝑔(𝑥) = 4

c. 𝑦 = −(𝑥 + 5)2 + 1

d. ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 − 2

e. 𝑔(𝑥) = −5𝑥 + 1

f. 𝑦 = 𝑥3 − 1

g. 𝑝(𝑥) = {−2𝑥, 𝑥 ≤ 2

−𝑥2 − 4𝑥 + 1, 𝑥 > 2

h. 𝑓(𝑥) = 3√𝑥 − 1 + 8

i. 𝑟(𝑥) = {√𝑥 − 2 , 𝑥 ≥ 2

−𝑥2, 𝑥 < 2

j. 𝑠(𝑥) = 2|𝑥 + 6|

k. 𝑦 = −(𝑥 + 2)3 + 5

l. 𝑓(𝑥) = {|𝑥 − 2| + 3, 𝑥 < 0𝑥 + 5, 𝑥 ≥ 0

m. 𝑦 = −√4 − 𝑥

n. 𝑔(𝑥) = { 𝑥2, 𝑥 < −1

𝑥3, |𝑥| < 12𝑥, 𝑥 ≥ 1

7. Se desea elaborar una caja sin tapa partiendo de una pieza rectangular de

cartón, cuyas dimensiones son 20 × 30 centímetros, cortando en las esquinas

cuadrados idénticos de área 𝑥2, y doblando los lados hacia arriba. El volumen

𝑉, de la caja en función de 𝑥 es:

a) 4𝑥3 − 100𝑥2 + 600𝑥 b) −4𝑥3 − 20𝑥2 + 600𝑥

c) −4𝑥3 + 20𝑥2 + 600𝑥 d) −4𝑥3 + 100𝑥2 − 600𝑥

8. La tasa de crecimiento 𝑦, de un niño, en libras por mes, se relaciona con su

peso actual 𝑥 en libras, mediante la fórmula 𝑦 = 𝑐𝑥(21 − 𝑥), donde 𝑐 es una

constante positiva y 0 < 𝑥 < 21. ¿A qué peso se tiene la tasa máxima de

crecimiento?

a) 21 libras b) −21 libras

c) 10.5 libras d) 10 libras

9. Hace 5 años se compró una casa en $ 16,000, este año fue valorada en

$ 19,000. Suponiendo que el valor de la casa está relacionado linealmente con

el tiempo. La fórmula que indica el valor de la casa en cualquier tiempo 𝑡 (en

años) después de la fecha de compra es:

a) 𝑓(𝑡) = 600𝑡 + 19,000 b) 𝑓(𝑡) = 60𝑡 − 1,900

c) 𝑓(𝑡) = −60𝑡 − 1,900 d) 𝑓(𝑡) = −600𝑡 + 19,000




149


10. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio,

con velocidad inicial de 144 𝑚/𝑠. Su distancia 𝑠(𝑡) en metros sobre el piso a

los 𝑡 segundos de ser lanzado está dada por 𝑠(𝑡) = 6𝑡2 + 144𝑡 + 100. La

altura máxima sobre el piso y la altura del edificio son respectivamente:

a) 42.4 𝑚 y 10.0 𝑚 b) 10.0 𝑚 y 42.4 𝑚

c) 424.0 𝑚 y 100.0 𝑚 d) 100.0 𝑚 y 424.0 𝑚

11. El pago diario de una cuadrilla de trabajadores es directamente proporcional al

número de trabajadores. Si una cuadrilla de 12 trabajadores gana 𝐶$ 5,400

diario. El pago diario en función del número de trabajadores 𝑥 está dado por la

expresión:

a) 𝑓(𝑥) = 450𝑥 b) 𝑓(𝑥) =1

450 𝑥

c) 𝑓(𝑥) = −450𝑥 d) 𝑓(𝑥) = −1

450 𝑥

12. Una fábrica de lámparas tiene costos fijos de $ 3,000 y el costo de la mano de

obra y de materiales es de $ 15 por lámpara, encuentre la función de costo

total del número de lámparas producidas. Si cada lámpara se vende a $ 25, la

función de utilidad está dada por:

a) 𝑈(𝑥) = 10𝑥 − 3,000 b) 𝑈(𝑥) = 10𝑥 + 3,000

c) 𝑈(𝑥) = −10𝑥 + 3,000 d) 𝑈(𝑥) = −10𝑥 − 3,000

13. Para cada pareja de funciones dadas, halle 𝑓 ± 𝑔, 𝑓 ∙ 𝑔 y 𝑓

𝑔 . Determine el

dominio de las funciones resultantes.

a. 𝑓(𝑥) = 1 + 1

𝑥 , 𝑔(𝑥) =

1

𝑥

b. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 , 𝑔(𝑥) = √4 − 𝑥

c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥+3

3𝑥−2 , 𝑔(𝑥) =

4𝑥

3𝑥−2

d. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2, 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 − 1

e. 𝑓(𝑥) = 2𝑥

𝑥−4 , 𝑔(𝑥) =

𝑥

𝑥+5 .




149


14. Sean las funciones reales 𝑓, 𝑔 dadas por las leyes de asignación 𝑓(𝑥) = 𝑥 +

3, 𝑔(𝑥) = 𝑥2, respectivamente. Calcule (𝑓 + 𝑔)(3), (𝑓 − 𝑔)(3), (𝑓𝑔)(3) y (𝑓

𝑔)

(3).

15. Dadas las funciones reales, 𝑝 + 𝑚 y 𝑝, mediante (𝑝 + 𝑚)(𝑥) = 6 −1

2 𝑥 y

𝑝(𝑥) = 3𝑥 + 1, respectivamente. Halle la ley de asignación para la función 𝑚.

16. Dadas las funciones reales, 𝑓 y 𝑓

𝑔 , mediante 𝑓(𝑥) =

1

𝑥 y (

𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑥+1

𝑥2−𝑥 ,

respectivamente. Halle 𝑔(𝑥).

17. Dadas las funciones 𝑓, 𝑔 mediante las leyes de asignación siguientes, calcule

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) y (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥).

a. 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 3, 𝑔(𝑥) = 3 −1

2𝑥2

b. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 , 𝑔(𝑥) = 3𝑥

c. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 1

d. 𝑓(𝑥) = 3

𝑥+1 , 𝑔(𝑥) = √𝑥

3

e. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥, 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 .

18. Sean las funciones 𝑓, 𝑔 dadas por 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 4 y 𝑔(𝑥) = 5𝑥,

respectivamente, halle (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) y (𝑓 ∘ 𝑔)(−2).

19. Verifique que (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥 para los casos siguientes:

a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6, 𝑔(𝑥) =1

2𝑥 + 3

b. 𝑓(𝑥) = 𝑥3, 𝑔(𝑥) = √𝑥 3

.

20. Un incendio en un campo abierto seco, se propaga en forma circular. Si el

radio de este círculo aumenta a una velocidad de 6 𝑚/𝑚𝑖𝑛. Exprese el área

total incendiada 𝐴 (en 𝑚2) como una función del tiempo 𝑡 (en minutos).

a) 𝐴(𝑡) = 36𝜋𝑡2 b) 𝐴(𝑡) = 6𝜋2𝑡2

c) 𝐴(𝑡) = 6𝜋𝑡2 d) 𝐴(𝑡) = 36𝜋2𝑡2




149


21. Dos barcos parten de un puerto a la misma hora, uno viaja al oeste con una

velocidad de 17 𝑚𝑖/ℎ, y el otro hacia el sur a 12 𝑚𝑖/ℎ. Si 𝑡 es el tiempo en

horas que ha transcurrido desde sus partidas, exprese la distancia 𝑑 entre los

barcos como una función del tiempo.

a) 𝑑(𝑡) = 433𝑡2 b) 𝑑(𝑡) = 20.81𝑡2

c) 𝑑(𝑡) = 20.81𝑡 d) 𝑑(𝑡) = 433𝑡

22. Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano. Su forma

debe ser la de un cilindro recto circular de 10 𝑚 de altura con una semiesfera

unida en cada extremo. Su radio 𝑟 debe determinarse, exprese el volumen 𝑉

del tanque (medido en pies cúbicos) en función de 𝑟.

a) 𝑉(𝑟) = 2𝜋𝑟2 (5 −2

3𝑟) b) 𝑉(𝑟) =

4

3𝜋𝑟3 − 10𝜋𝑟2

c) 𝑉(𝑟) = 2𝜋𝑟2 (2

3𝑟 + 5) d) 𝑉(𝑟) =

34

3𝜋𝑟3

23. Determine si las funciones reales dadas por las siguientes leyes de asignación

son biyectivas.

a. 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 5

b. ℎ(𝑥) = 𝑥2

c. 𝑔(𝑥) = 2𝑥

d. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6

e. 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 7

f. ℎ(𝑥) = 5𝑥2 − 𝑥 + 1

24. Para cada una de las funciones dadas por las leyes de asignación siguientes

(a) verifique que son biyectivas (b) halle su inversa 𝑓−1 (c) compruebe que se

cumple la igualdad (𝑓 ∘ 𝑓−1)(𝑥) = (𝑓−1 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥, (d) trace las gráficas de

cada pareja de funciones (𝑓, 𝑓−1) en un mismo plano cartesiano de manera

que se evidencie la simetría respecto a la recta 𝑦 = 𝑥.

a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5

b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 5




149


c. 𝑓(𝑥) = √3 − 𝑥

d. 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2 , con dom𝑓 = [0, 2]

e. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3, con dom𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 0}

f. 𝑓(𝑥) = √𝑥 3

+ 1.

25. Transforme de forma exponencial a logarítmica y viceversa, según el caso.

a. 43 = 643

b. 10−3 = 0.001

c. log31

243 = −5

d. log7 1 = 0

26. Reescriba las siguientes expresiones como combinación de logaritmos en

𝑥, 𝑦, 𝑧.

a. log𝑎 √𝑥 𝑧2

𝑦4 b. log𝑎 √𝑥√𝑦𝑧3 c. log [√ 𝑥2

𝑦𝑧5

3∙ 𝑧]

27. Reescriba los siguientes logaritmos como uno solo en función de 𝑥, 𝑦 y 𝑧.

a. 2 log𝑎 𝑥 +1

3log𝑎(𝑥 − 2) − 5 log𝑎(2𝑥 + 3)

b. log 𝑥3𝑦2 − 2 log 𝑥 √𝑦 3 + 3 log𝑥

𝑦

28. La cantidad de radio puro 𝑞 que queda después de 𝑡 años, cuando

inicialmente se tenía 𝑞0 miligramos es

𝑞 = 𝑞0 ∙ 2−𝑡

1600.

El tiempo 𝑡 expresado en términos de log2 es:

a. 𝑡 = 1600 log2 𝑞0 − 1600 log2 𝑞

b. 𝑡 = 1600 log2 𝑞0 + 1600 log2 𝑞

c. 𝑡 = 1600 log2 𝑞 − 1600 log2 𝑞0




149


d. 𝑡 = −1600 log2 𝑞 + 1600 log2 𝑞0

29. El número 𝑁 de bacterias en un cierto cultivo en un tiempo 𝑡, está dado por

𝑁 = 104 ∙ 3𝑡 . El tiempo 𝑡 en función de 𝑁 utilizando logaritmos de base 3 es:

a. 𝑡 = log3 𝑁 − 4 log3 10

b. 𝑡 = 4 log3 𝑁 − log3 10

c. 𝑡 = 4 log3 𝑁 + log3 10

d. 𝑡 = 4 log3(𝑁 − 10)

30. Trace la gráfica de las funciones reales dadas por las reglas de asignación

siguientes:

a. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 b. 𝑔(𝑥) = 3−𝑥 c. ℎ(𝑥) = 2|𝑥|

d. 𝑓(𝑥) = {4 𝑥 ≥ 25log1/5 𝑥 0 < 𝑥 < 25 e. 𝑔(𝑥) = {

(1

2)

𝑥

𝑥 ≤ 3

−(𝑥 − 3)2 𝑥 > 3

f. 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 3−𝑥 g. ℎ(𝑥) = log1/10 𝑥 h. 𝑦 = log4 𝑥

i. 𝑦 = log2(𝑥 + 2) j. 𝑦 = log2 𝑥 + 3 k. 𝑦 = log2 √𝑥

l. 𝑦 = 2𝑥+3 m. 𝑦 = (2

3)

𝑥

n. 𝑦 = log5(𝑥 − 2)

31. El número de bacterias de cierto cultivo incrementó de 600 a 1800 entre las

7: 00 𝑎𝑚 y las 9: 00 𝑎𝑚. Suponiendo que el crecimiento es exponencial, se

puede mostrar, usando métodos de cálculo, que 𝑡 horas después de las

7: 00 𝑎𝑚 el número 𝑓(𝑡) de bacterias está dado por 𝑓(𝑡) = 600 (31

2 𝑡).

a. Calcule el número de bacterias en el cultivo a las 8: 00 𝑎𝑚, a las 10: 00 𝑎𝑚

y a las 11: 00 𝑎𝑚.

b. Trace la gráfica de 𝑓 desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 4.




149


32. Si 1,000 dólares se invierten al 12 % anual y se capitalizan los intereses

mensualmente, ¿cuál es el monto acumulado después de (a) 1 mes, (b) 2

meses, (c) 6 meses, y (d) 1 año?

33. Si cierta marca de automóvil se compra por 𝐶 dólares, su valor comercial 𝑣(𝑡)

al final de t años está dado por 𝑣(𝑡) = 0.78𝐶(0.85)𝑡−1. Si el costo original es de

$ 10 000, calcule (redondeando a unidades) el valor después de (a) 1 año,

(b) 4 años, y (c) 7 años.

34. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a. 105𝑥−2 = 348

b. log2(9𝑥+1 + 7) = 2 log2(3𝑥+1 + 1)

c. log(𝑥 − 9) + log 100𝑥 = 3

d. 103𝑥−7𝑥 =1

100

e. 2𝑥+2+√𝑥−3 − (5)2𝑥+√𝑥−3 + 8 = 0

f. 49𝑥 − 50(7𝑥) + 49 = 0

35. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

a. {√𝑥 + 𝑦 𝑥 = 2

(𝑥 + 𝑦)3𝑥 = 279,936

b. {53𝑥−2𝑦 = 3,125

116𝑥−7𝑦 = 14,641

36. Escriba cada ángulo en notación decimal en grados:

a. 40° 10′ 25′′

b. 61° 42′ 21′′

c. 98° 22′ 45′′

d. 1° 2′ 3′′

37. Escriba cada ángulo en notación de grados, minutos y segundos:

a. 18.255°




149


b. 29.411°

c. 44.01°

d. 61.24°

38. Convertir los ángulos en grados a radianes y viceversa según el caso.

a. 630° b. 11

6𝜋 c. 720°

d. −7

2 𝜋 e.

15

4𝜋 f. −135°

39. Halle el ángulo complementario de 𝜃 si

a. 𝜃 = 5° 17′ 34′′

b. 𝜃 = 32.5°

c. 𝜃 = 63° 4′ 15′′

d. 𝜃 = 82.73°

40. Halle el ángulo suplementario de 𝛽 si

a. 𝛽 = 48° 51′ 37′′

b. 𝛽 = 152° 14′ 4′′

c. 𝛽 = 136.42°

d. 𝛽 =1

6 𝜋

41. Calcule funciones trigonométricas restantes si sen 𝜃 =√5

5 y cos 𝜃 =

2√5

5.

42. Si 𝜃 es un ángulo agudo, halle las seis funciones trigonométricas si:

a. sec 𝜃 =6

5

b. csc 𝜃 = 4

c. cot 𝜃 =7

24

d. tan 𝜃 =5

12




149


43. Calcule el valor de cada expresión

a. sen2 𝜋

6+ cos2 𝜋

6

b. sec2 𝜋

3− tan2 𝜋

3

44. Sea 𝑃(𝑥, 𝑦) el lado terminal de 𝜃. Calcule las seis funciones trigonométricas

de 𝜃.

a. 𝑃(−6, 2) b. 𝑃(−4, −3) c. 𝑃(5, −2) d. 𝑃 (−1,3

8)

45. Un ángulo central 𝜃 intercepta un arco de 7 𝑐𝑚 de largo en una circunferencia

de radio de 4 𝑐𝑚. Aproxime la medida de 𝜃 en: (a) radianes, y, (b) grados.

46. La distancia entre dos puntos 𝐴 y 𝐵 en la Tierra, se mide sobre un círculo con

centro 𝐶 en el centro de la Tierra y radio igual a la distancia de 𝐶 a la

superficie. Si el diámetro terrestre es de 8 000 millas aproximadamente,

calcule la distancia entre 𝐴 y 𝐵 cuando el ángulo 𝐴𝐶𝐵 mide (a) 60°, (b) 45°, (c)

30°, (d) 10°.

47. Trace la gráfica de las funciones dadas por las leyes de asignación siguientes:

a. 𝑦 = sen 𝑥

b. 𝑦 = 3 cos (𝑥 −𝜋

4 )

c. 𝑓(𝑥) =1

2 cot (

1

2𝑥 −

𝜋

4)

d. 𝑔(𝑥) = − cos(3𝑥 + 𝜋)

e. ℎ(𝑥) =1

2 cos 3𝑥

48. Demostrar las siguientes identidades:

a. tan4 𝜃 − sec4 𝜃 = 1 − 2 sec2 𝜃

b. 1

cos2 𝑥 +1 + tan2 𝑥 = 2 + 2 tan2 𝑥

c. 1+cos 𝛼

sen 𝛼+

sen 𝛼

cos 𝛼 =

cos 𝛼+1

sen 𝛼 cos 𝛼

d. sec2 𝜆 + tan2 𝜆 = (1 − sen2 𝜆) sec4 𝜆

49. Si 𝛼 y 𝛽 son ángulos agudos tales que cos 𝛼 =4

5 y tan 𝛽 =

8

15 . Halle:




149


a. sen(𝛼 + 𝛽)

b. cos(𝛼 + 𝛽)

c. sec(𝛼 + 𝛽)

d. sen(𝛼 − 𝛽)

50. Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones en el intervalo dado:

a. sen 𝑥 − 2 sen 𝑥 = 0 b. 2 tan2 𝑥 − sec2 𝑥 = 0

c. cos (2𝑥 −𝜋

4 ) d. sen

𝑥

2+ cos 𝑥 = 1

51. Se da una circunferencia de radio 10 𝑚. El coseno del ángulo que forman las

tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de

15 𝑚 de longitud es:

a. √2

3

b. 5

8

c. 2

3

d. 1

8

52. Resuelvan el triángulo 𝐴𝐵𝐶 si:

a. 𝑎 = 15 𝑐𝑚, 𝑏 = 18 𝑐𝑚 y 𝛼 = 33° 30′.

b. 𝑎 = 40 𝑐𝑚, 𝑏 = 50 𝑐𝑚 y 𝑐 = 60 𝑐𝑚.

c. 𝑎 = 11.8 𝑐𝑚, 𝑏 = 15.6 𝑐𝑚 y 𝛾 = 34° 20′.

53. La altura de un árbol que está situado sobre un terreno llano, sabiendo que

desde un punto del suelo se observa su copa bajo un ángulo de elevación de

45° y, desde un punto 15 metros más cerca del árbol, a un ángulo de 60° es:

a. 30.5 𝑚

b. 45 𝑚

c. 31.7 𝑚

d. 35.49 𝑚




149


Geometría Euclidiana

I. EJERCICIOS SOBRE CONCEPTOS BÁSICOS 1. En la figura, el ángulo COB mide 120º y el ángulo COD mide la mitad del ángulo BOA. Entonces, la medida

del BOA es:

2. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es: A. Un punto. B. Dos puntos C. Una única recta D. Dos rectas diferentes E. Falta información

3. En la figura, ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre verdadera?

4. R, S y T son tres puntos colineales como se muestran en la figura. Si ST = 4x + 4 y RS es la mitad de ST, entonces la longitud de RT es

A. 3x – 4 B. 3x – 6 C. 3x + 2 D. 6x – 12 E. 6x + 6

3241 mmmm

,

C B

D O A

A. 20º B. 30º C. 40º D. 60º E. 80º

R S T

50º 120º

130º

xº

yº

A partir de la información indicada en la figura, el valor de y es:

A. 170º B. 130º C. 120º D. 100º E. 50º

5.

A. 21 mm

|| B. 31 mm

C. 43 mm

||

D. 42 mm

E. NDLA




149


10. A – B – C – D; E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente; Si AC = 10 y BD = 12, entonces EF = ?

A. 5 B. 6 C. 9 D. 11 E. 22

90º

140º

xº En la figura, si , el valor de x es:

A. 50º 70º C. 130º D. 140º E. 230º

A B

C D

6.

x

y

130º

A B C

D

E En la figura, , entonces el valor de y es:

A. 30º B. 40º C. 45º D. 50º E. 60º

7.

x

140º

115º

xº

150º

8.

9.

En la figura, el valor de x es

A. 25º B. 40º C. 45º D. 65 E. 75º

En la figura, el valor de x es

A. 30º B. 40º C. 45º D. 50º E. 60º

A

B C

En la figura º + º = 255º, entonces ¿m A = ?

A. 75º B. 105º C. 127.5º D. 30º E. 45º

11.




149


12. Para qué valor de x, los segmentos AB y CD son paralelos?

14. Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? A. 30º B. 60º C. 90º D. 120º E. 135º

15. Dos veces la medida de un ángulo es 30° menos que cinco veces la medida de su complemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? A. 30º B. 60º C. 90º D. 120º E. 135º

25º

xº A. 25 B. 50 C. 65 D. 75 E. 130

A

B

C

D

120º

xº

A B

C D

E

Si , ¿Cuál es el valor de x?

A. 170º B. 150º C. 120º D. 100º E. 80º

13.

60º

110º

xº

16 En la figura las rectas y son paralelas. Entonces el valor de x es

A. 170 B. 50 C. 85 D. 25 E. 30

17. 84°

(x – 6)°

(3x + 10)°

En la figura las rectas y son paralelas. Entonces el valor de x es

A. 170 B. 50 C. 85 D. 25 E. 20




149


19. En una recta se toman los puntos A, B y C, de manera que B es punto medio de . Se toma otro punto

O, tal que B – O – C. Encuentre el valor numérico de .

A. 2 B. 1 C. D. E. Falta información.

II. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

TRIÁNGULOS

__

AC

OB

OCAO

2

1

2

3

P Q

S

R

1 2

3

4

Si m P = 90º, 1 2, 3 4, entonces m R es

A. 30º B. 45º C. 60º

D. 90º E. Falta información.

18.

h

b

h

b

b

B

h

d

D

RECTÁNGULO PARALELOGRAMO ROMBO TRAPECIO

A = b h A = b h A = Dd A = (B + b)h = B’h

B’ d

1. ÁREAS DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS




149


i) h = ii) b =

iii) a = iv) m + n = c

h b a

n m

c A B D

C

Dado un triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, las longitudes de sus lados (a, b, c), la altura correspondiente a la hipotenusa (h) y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m, n), se cumplen las siguientes relaciones métricas:

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS 1. Un poste cercano a un árbol mide 2 m y su sombra en un momento dado mide 1.8 m, entonces si la sombra del árbol en ese momento mide 11 m, la altura del árbol es A. 11 m B. 11.22 m C. 12. D. 12.22 E. 13 m 2. Una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide 3 m y su sombra mide 1.5 m, entonces si el árbol mide 36 m, su sombra mide A. 36 m B. 30 m C. 18 m D. 15 m E. 9 m 3. El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa igual a 10 redondeado a dos decimales es

A = base x altura A = a b

A =

Fórmula de Herón: (Área de un triángulo

en función de sus lados)

A = , donde s

x

c

a

a

b

b h h

A = a h

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

2. RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS




149


A. 7.07 B. 14.14 C. 24.14 D. 24.99 E. 50

5. Un método para encontrar la altura de un edificio es colocar un espejo en el suelo y después situarse de manera que la parte más alta del edificio pueda verse en el espejo ¿qué altura tiene un edificio si una persona cuyos ojos están a 1.5 m del piso observa la parte superior del edificio cuando el espejo está a 120 m del edificio y la persona está a 6 m del espejo? A. 20 m B. 30 m C. 31.5 m D. 120 m E. 126 m 6. La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 m y los segmentos que determina sobre la hipotenusa son entre sí como 7 es a 14. Entonces la longitud del cateto menor es A. 4 m B. 7.07 m C. 12.25 m D. 14 m E. 15.5 m 7. El perímetro de un rectángulo es 85 m y su diagonal mide 32.5 m. Por lo tanto los lados del rectángulo miden: A. 15 m y 27.5 m B. 20 m y 22.5 m C. 7.5 m y 25 m D. 30m y 12.5 m E. 40m y 2.5 m 8. El perímetro de un triángulo mide 50 y sus lados son proporcionales a 4, 6 y 8. Entonces su lado mayor mide A. 50/3 B. 25/9 C. 100/9 D. 25 E. 200/9

9. En un triángulo rectángulo, un lado mide 2 , otro 5 . Si el lado desconocido es el menor,

¿cuánto mide? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11

12. Si un rectángulo de 3 m de ancho y 10 m de largo tiene la misma área que un triángulo rectángulo isósceles, entonces la longitud de cada cateto del triángulo es

A. 7.5 B. 2 C. 15 D. 15 E. 10

13. El área de un trapecio isósceles de bases 22 m y 10 m y cuyos lados congruentes miden 10 es A. 2220 m2 B. 160 m2 C. 128 m2 D. 80 m2 E. 64 m2

106 15

15 3

8 y

x 4

4. En el triángulo rectángulo de la figura, los valores de x e y,

respectivamente son

A. 11 y 13 B. 15 y 16 C. 9 y 8

D. 16 y 8.94 E. 12 y 8.94

6 7

9

El área del triángulo de la figura, redondeada al entero más cercano,

mide:

A. 21 B. 22 C. 27 D. 31 E. 54

10.

6

10

¿Cuál es el área del triángulo de la figura?

A. 20 B. 24 C. 30 D. 48 E. 60

11.




149


14. La siguiente figura consta de siete cuadrados congruentes. El área total de esta figura es 63 cm2. Entonces el perímetro de la figura es:

16. Se tiene un trapecio ABCD donde es la base menor. BC = 10 cm. y CD = 20 cm. Las medidas de

los ángulos A, B y C son 30°, 150° y 120° respectivamente, entonces AD = ? A. 60 cm. B. 50 cm. C. 40 cm. D. 30 cm. E. 20 cm. 17. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden

5 cm y cm, entonces la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo es

A. cm B. 2 cm C. 45 cm D. 11.32 cm E. 5.66 cm

19. ABCD es un cuadrado, el ABE es isósceles, CF = FB. Entonces, la medida del ángulo EFB es igual a

__

BC

40

2

405 13

A B C

G F E

H D

Si ACEG es un cuadrado y el área del cuadrilátero BDFH mide 162 ¿cuánto

mide AC? (las marcas iguales representan partes congruentes)

A. 9 B. 12.72 C. 18 D. 25.44 E. 81

15.

D C

G

A B

H F

E

A. 100 cm2 B. 120 cm2 C. 150 cm2 D. 175 cm2 E. 200 cm2

18. En la figura, los cuadrados ABCD y EFGH son congruentes. AB = 10 cm y G es el centro del cuadrado ABCD. Entonces el

área total cubierta por el polígono AHEFBCDA es

D E C

F

A B

A. 150° B. 135° C. 90°

D. 60° E. 45°

A. 16 cm B. 21 cm C. 24 cm D. 48 cm E. 84 cm




149


21. En un trapecio isósceles, la diferencia de las bases es de 10 m. La altura mide 12 m. y el perímetro 76 m. Entonces su área es: A. 86 m2 B. 176 m2 C. 226 m2 D. 288 m2 E. 300 m2 22. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1 cm. y CE = 2 cm., entonces el área del triángulo ADF en cm2 es igual a

23. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC = 10 y AC = 16. Sea BD la mediana trazada sobre el lado AC y sea G el baricentro. Entonces el área del triángulo ADG es A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 24 24. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC = 17 cm y P un punto cualquiera del lado BC, diferente de

los puntos extremos. Por P se trazan una paralela a que corta a en Q y una paralela a que

corta a en R. El perímetro del cuadrilátero AQPR es

25. De acuerdo a la información que se proporciona en la figura, el segmento de mayor longitud es

AC AB AB

AC

B C D

A F

E

En la figura, ABCF es un paralelogramo. B, C y D son colineales. Si AB = 18,

AD = 30 y FE = 12. ¿Cuánto mide AE?

A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 E. 25

20.

E C B

A D

F

A

B P C

Q

R

A 70°

B

55°

60°

60°

C D

A. 2

1 B.

3

1 C.

4

1

D. 6

1 E.

8

1

A. 8.5 cm B. 17 cm C. 34 cm D. 51 cm E. 68 cm

A. AB B. BC C. CD D. DA E. BD




149


26. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1, CMN es equilátero, El área de CMN es igual a 27. La siguiente figura muestra dos cuadrados de lado 1 cm., donde AEFG se ha obtenido de ABCD al girar este cuadrado 45° sobre el vértice A. Entonces el área sombreada es

28. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que también es isósceles, miden A. 30° B. 45° C. 35° D. 75° E. 60°

29. En la figura ABCD es un cuadrilátero con || . La diagonal es perpendicular al lado .

mBAC = 30°, AC = 4 y AB = BC. Entonces el área de ABCD es igual a

30. Se tiene un trapecio ABCD donde es la base menor. BC = 10 cm y CD = 20 cm . Las medidas de

los ángulos A, B y C son 30°, 150° y 120° respectivamente, entonces el área del trapecio mide

A. 300 cm2. B. 400 cm2. C. 300 cm2. D. 200 cm2. E. 200 cm2.

31. En la figura, mBAC = , mBPC = mBQC = 90°. Entonces la medida de BHC es

AD BC AC CD

3

BC

3 3

A D

C B

G E

F

A D

B C

A N B

C D

M

A. 0.866 B. 0.7071 C. 0.75

D. 0.5 E. 0.4641

A. 2 – 1 B. 0.5 C. 0.451

D. 2 E. 0.375

A . 6 B. 12 C. 12 3 D. 24 E. 30




149


32. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden

5 cm y cm, entonces la medida en cm de la hipotenusa del triángulo rectángulo es

A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 E. 10 33. En la figura, los dos cuadrados tienen el mismo centro. La razón entre el lado del cuadrado menor y el lado del cuadrado mayor es 2/5. Entonces la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado mayor es

34. En la figura, AB = AC = 4, BD = DC = 3 y mBAC = 60°, entonces la longitud del segmento AD es

35. En la figura el cuadrilátero ACDE es un trapecio tal que ED = 15 cm , AC = 24 cm y la altura es 12 cm. Sabiendo que B es el punto medio del lado AC, el área del cuadrilátero OBCD es

20

B C

P H Q

A

A

C B D

E D

O

A. 180 – B. C. 90 –

D. 2 E. 3

A. 1/6 B. 21/100 C. 1/3

D. 2/5 E. 4/9

A. 2 3 – 5 B. 2 3 + 5 C. 1

D. 2 E. 3.5

A B C

A. 112 cm 2 B. 117 cm 2 C. 120 cm 2

D. 140 cm 2 E. 360 cm 2




149


38. ABCD es un paralelogramo. P es un punto de la diagonal . Trazamos por P paralelas a los lados del paralelogramo. Estas paralelas intersecan a los lados del paralelogramo en los puntos indicados en la figura. Sabiendo que el área de ABCD es 40 cm2 , entonces el área del cuadrilátero RQMN es igual a

40. Sea ABCD un cuadrado. Por el vértice A se traza un segmento que corta a la prolongación del lado BC en E, al lado DC en F y a la diagonal BD en G. Si AG = 3 y GF = 1 ¿cuál es la longitud de FE?

AC

E

B A

A cm B. 15 cm C.

D. 30 E.

36. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 6 cm. y CE = DE = 5 cm., entonces la longitud de es

C D

x

10

52.8 132

66

En la figura, a partir de la información dada, ¿cuál es el valor de x?

A. 76 B. 25 C. 13.2 D. 5.28 E. 5

37

A R B

N P Q

D M C

A

B C

3

6

x

En el triángulo rectángulo ABC ¿cuál es la longitud del segmento BC?

A. 15 B. 12 C. 10 D. 9 E. 7.5

39

A D

G

F

B C E

A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 E. 6

A. 10 cm 2 B 20 cm2 C. 30 cm 2

D. 40 cm 2 E. 50 cm 2




149


III. CIRCUNFERENCIA Y POLÍGONOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

5. En la figura el área del círculo mayor es 1 m2. El círculo menor es tangente internamente al círculo mayor y también es tangente a los lados del ángulo inscrito que mide 60°. Entonces el área del círculo menor es

En la figura de la derecha si la medida de los arcos AD y BC son 140º y 80°

respectivamente, entonces el valor de es

A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° E. 80° A

B

C

D

1.

X

Y

Z La circunferencia de la figura tiene radio 2 y el arco XYZ tiene longitud .

¿Cuánto mide la cuerda XZ?

A. B. 2 C. 2 D. E.

A B

C El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB.

Si AC = 8 y BC = 6, el área de la región sombreada tiene un valor de

A. 15.27 B. 24 C. 36.37 D. 61.07 E. 48

2.

A. 2

1 B.

9

4 C. D. 2 E.

2

1

C El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y

CD = 4.8, el área de la región sombreada tiene un valor de

A. 15.27 B. 24 C. 36.37 D. 61.07 E. 48

3.

A D B

.

4.




149


11. La expresión (p + q) p = (r + s) r, se cumple en la situación representada por

C Q

P T

En la figura C es el centro de la circunferencia de radio r y es un

segmento tangente en T, de longitud 2r, entonces PC mide

A. r B. r C. 3r D. r E. 5r

6.

10

8

Los extremos de la figura son semicírculos, ¿Cuál es el área de la

región sombreada?

A. 80 B. 8 C. 10 D. 16 E. 16 + 80

7.

O

A

B

C

En la figura es un diámetro. Si m AB = 50°, entonces m BAC = ?

A. 25° B. 50° C. 65° D. 90° E. 130°

8.

En la figura, los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10. Si se unen los

centros de los círculos se forma un cuadrado. ¿Cuál es el área de la región

sombreada?

A. (400 – 100) B. 400 – 100 C. 100 – 400

D. 400 – 100 E. 400 – 400

9.

D B

P

A

C

En la figura, la medida del arco AB es 30°, y la medida del BPA es 35°.

Los medidas del arco CD y el ángulo DAC (en grados) son respectivamente

A. 100 y 25 B. 50 y 50 C. 100 y 50

D. 50 y 25 E. 25 y 50

10.

r

r r

r

s s

s

p

p p p

s q

q

q

q

A B C D




149


12. En la figura se dan tres semicircunferencias mutuamente tangentes. son diámetros de las

circunferencias menores. El punto B está en la semicircunferencia mayor. . Si BD = 2, entonces

el área sombreada es igual a

13. Las medidas de los arcos AB y AC se indican en la figura. La medida del BAC es

14. En la figura, une los centros de los círculos tangentes. , BC = 8 y AC = 10, entonces la

longitud de la circunferencia pequeña es igual a

DAyCD

BD CA

BC AB BC

C D A

B

A

B C

130° 110°

A. 55° B. 60° C. 65° D. 110° E. 130°

A

B C

x

15.

0.4 La figura representa un círculo inscrito en un cuadrado que a su vez

está inscrito en otro cuadrado. B es punto medio de AC ¿Cuál es el área

de la región sombreada? A. 0.025 B. 0.048 C. 0.1428 D. 0.153 E. 0.1582

A

B

C

A. 1 B. C. 2 D. 4

3 E.

4

9

A. B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

La figura representa un hexágono regular, ¿cuál es el valor de x?

A. 3 3 B. 6 3 C. 6 D. 18 E. 9 3

16.




149


18. Seis triángulos equiláteros de 1 cm. de lado se unen para formar un hexágono como se muestra en la figura. Se circunscribe un círculo alrededor del hexágono ¿cuál es el área de la región sombreada?

19. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia como se muestra en la figura. Se tiene m A = 50º y

m C = 60º. Se trazan tangentes por A, B y C de manera que se forma el triángulo circunscrito A’B’C’. Entonces la medida del ángulo A’ es:

20. El triángulo ABC es equilátero y sus lados y son tangentes a la circunferencia con centro en O y

radio . El área del cuadrilátero AOBC es

AC BC

3

A B

P

D

C

Los segmentos AC y BD se cortan en P y son tangentes a las

circunferencias en los puntos A, C, B y D.

Si AC = 31, PB = 19 ¿Cuál es el valor de AP?

A. 6 B. 12 C. 15 D. 25 E. 50

17.

C

C’ B

B’

A

A’ A. 40º B. 60º C. 80º D. 100º E. 120º

A

B

O C

A. )2

3( cm2 B. )

2

33( cm2 C. )

2

3( 2 cm2

D. 3

3cm2 E. )3( 32 cm2

A. 3 B. 6 C 3 3

D. 6 E. 12




149


21. Si un ángulo central de 30° en una circunferencia intercepta un arco de 6 m de longitud, entonces el radio de la circunferencia mide

A. /36 B. /6 C. D. 36/ E. 180

24. Una moneda circular de radio 1, está sobre una mesa. Si ponemos cuatro monedas más grandes de igual tamaño alrededor de ella, ¿cuál es el radio de las monedas grandes que permite que cada una sea tangente a las dos adyacentes y a la de radio 1?

A. 1 B. 1 + C. 2 D. 2 + E. 2.5

25. En la siguiente figura ABC y AEB son semicírculos, F es el punto medio del diámetro AC, B es punto medio del arco AC y AF = 1¿Cuál es el área de la región sombreada?

26. Si el radio de un círculo aumenta en unidades, ¿cuánto aumenta su perímetro?

A. B. 2 C. 3 D. 2 E. 22

2 2

O

En la figura se tiene una circunferencia de radio 1 y un hexágono regular de lado

1. Si O es el centro de la circunferencia, entonces el área de la región sombreada

es

22.

A B C

Los arcos AB y BC son semicírculos cuyos centros están sobre un diámetro

del círculo que se muestra en la figura.

Si BC = 2 AB, entonces la razón entre el área de la región sombreada y el

área de la región no sombreada es:

A. 2 B. C. 1 D. E.

23

A. 1/2 B. 2 C. /4 D. 3/4 E. /4 – 1/2

A

B

F C

E

A. 0.5 B. 0.866 C. 1 D. 1.5 E. 2




149


27. Dos semicírculos de radio 3 están inscritos en un semicírculo de radio 6 como se muestra en la figura. Un círculo de radio r es tangente a los tres semicírculos. ¿Cuánto vale r ?

30. El lado mayor del rectángulo de la figura mide 20. La curva trazada en su interior está formada por cinco semicircunferencias ¿cuál es la longitud de la curva?

r

A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 E. 3

En la figura los círculos adyacentes son tangentes y tienen radio 1.

¿Cuánto vale el área de la región sombreada?

A. 6 – 3 B. 3 – 2 C. 2 – 1

D. 6 – 1 E. 6 – 3

28.

B O C

A En la figura, m BCA = 90º, BA = 5 y AC = 3. ¿Cuál es el área del círculo con centro en

O?

A. 16 B. 8 C. 6 D. 5 E. 4

29.

A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 E. 5




149


32. Tres círculos de radio 1, con sus centros colineales son tangentes como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

33. La figura muestra un hexágono regular inscrito en un círculo. Si el área del círculo es 1, ¿cuánto mide el área del triángulo ABC?

34. ¿Qué polígono regular tiene la misma cantidad de diagonales que de lados? A. Pentágono B. Hexágono C. Octógono D. Decágono E. Dodecágono

35. Sean O el centro de una circunferencia de radio r y ED = r. Si mDEC = k (m BOA), entonces el valor de k es:

36 . Si se aumenta el radio de un círculo en un 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?

A. 50% B. 100% C. 200% D. 100% E. 300%

La figura muestra dos segmentos perpendiculares tangentes a ambas

circunferencias, las cuales son tangentes entre sí. Si el radio de la circunferencia

pequeña mide 1, entonces el radio de la circunferencia más grande mide

A. 3 + 2 B. 4 C. 6 D. 4 + 2 E. 8

31

A. 8 – 2 B. 4 – C. 12 – 3 D. 8 – 3 E. 4 +

A B

C O A. B. C. D. E.

A O C E

B

D

A. B. C. 1 D. 2 E. 3




149


37. Se tienen tres círculos concéntricos de radios 1, 2 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la razón entre el área de la región cuadriculada y el área de la región oscura?

38. El segmento AB es diámetro de una circunferencia de radio 1 y lado del triángulo equilátero ABC. Si la circunferencia corta a AC y BC en los puntos D y E respectivamente, entonces la longitud AE es:

A. 1 B. C. D. E.

39. En una circunferencia se tienen dos cuerdas paralelas de longitudes 10 y 14 que distan 6 entre sí. Entonces la longitud de la cuerda paralela a ambas y que equidista de ellas mide:

A. 11 B. 12 C. 13 D. E.

40. Un triángulo equilátero y un hexágono regular están inscritos en el mismo círculo. Si se divide el área del hexágono entre el área del triángulo se obtiene:

A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. E. 3

CUERPOS SÓLIDOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

2. Tres vértices de un cubo, de los cuales no hay dos que estén en la misma arista, se unen para formar un triángulo. Si la arista del cubo tiene longitud 1, ¿Cuál es el área del triángulo formado?

A. B. C. D. E.

32

3

3

5

2

32

184 192

3

2

6

2

3

2

2

4

6

4

3

A. B. C. D. E. 2

En el prisma recto de la figura, las bases son triángulos equiláteros, con perímetros de 30

cm.. Si la altura del prisma es 10 cm. ¿cuál es el área total de la superficie del prisma?

A. 100 B. C. 100 D. 300 E. 50 + 300

1.

IV. VOLUMEN




149


5. La altura de un prisma rectangular es un tercio de su longitud y el ancho es la mitad de su longitud. Si la diagonal del prisma mide 30 cm., su volumen es A. 900 cm3 B. 1688.25 cm3 C. 2833.8 cm3 D. 4583.5 cm3 E. 9000 cm3

6. Al introducir un trozo de metal en un tanque rectangular con agua, de dimensiones 50 cm. x 37 cm., el nivel del agua subió 1 cm. ¿cuál es el volumen del trozo de metal? A. 13 cm3 B. 87 cm3 C. 88 cm3 D. 1850 cm3 E. 9250 cm3

7. ¿Cuál es el número máximo de diagonales que pueden trazarse sobre las caras de un cubo de manera que no hayan dos diagonales que tengan un punto en común? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

8. En la figura se muestra un paralelepípedo rectangular. Si a = 2b y b = , ¿Cuál es el volumen en términos

de c?

A. B. C. D. E.

9. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide es 6 ¿a qué distancia de la sección transversal está el vértice? A. 1.5 B. 2.25 C. 4 D. 4.75 E. 5

c

2

2c

222c 3c

3c

2

3c

4

A B

C D

E

F

G

La figura representa un cubo. La intersección del plano ABG y el plano BCE es la

recta

3.

De un cubo de 5” de arista se forma un cilindro circular recto de 3” de diámetro, entonces

el volumen de la parte sobrante del cubo, en pulgadas cúbicas, es aproximadamente

A. 8 B. 10 C. 80 D. 90 E. 100

4.

a

b

c




149


10. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide es 6 ¿cuál es la razón entre los volúmenes de la pirámide mayor y la menor? A. 3/2 B. 2 C. 9/4 D. 3 E. 27/8 11. La base de una pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12. Si la altura es 10, el volumen de la pirámide es

A. 40 B. C. D. 40 E. 120

12. En un tronco de pirámide, la altura mide 10 m y las bases son cuadradas de 5 m y 9 m de lado respectivamente. Hallar la diferencia (en m3 ) entre su volumen y la de un prisma recto de igual altura y de base igual a la sección del tronco paralela a las bases y equidistante de ellas.

A. 4 B. 7 C. 40 D. E. 70

13. En una pirámide cuadrada, en la que el lado de la base mide 8 cm y la altura mide 20 cm, se traza una sección paralela a la base a 14 cm de ésta. Entonces el área de dicha sección es A. 2.14 cm2 B. 5.76 cm2 C. 16.32 cm2 D. 31.36 cm2 E. 44.08 cm2 14. Los diámetros de dos cilindros circulares rectos concéntricos son 12 y 6 pulgadas respectivamente y la generatriz común es de 20 pulgadas, entonces el volumen del espacio que queda entre ambos cilindros es

A. 270 pulg3 B. 270 pulg3 C. 540 pulg3 D. 540 pulg3 E. 2160 pulg3

15. El volumen de una cisterna cilíndrica es 1200 m3 y su altura es igual al diámetro, por lo tanto su área total es A. 190.98 m2 B. 576.25 m2 C. 600 m2 D. 625.13 m2 E. 712 m2 16. Un cono de revolución tiene 13 cm. de generatriz y el radio de la base es de 5 cm. Se corta por un plano paralelo a la base que corta a la generatriz en un punto distante 5.2 cm. del vértice. Entonces el volumen del tronco de cono formado es A. 351.52 cm3 B. 294.05 cm3 C. 202.8 cm3 D. 135.2 cm3 E. 67.6 cm3 17. Dado un cono circular recto con radio 3 m y generatriz 5 m, entonces su área lateral es

A. 2 B. 12 C. 15 D. 16 E. 30 18. El área lateral de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de 6 cm. de radio y 8 cm. de altura, por medio de un plano paralelo a la base del cono y que lo corta a una altura de 4.5 cm. es A. 304.84 m2 B. 216 m2 C. 152.42 m2 D. 84.82 m2 E. 28.27 m2 19. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntos para hacer una esfera mayor. El radio de la nueva esfera es

A. 2.5a B. 5a C. 6.5a D. a E.

40

3

40 3

33

40

3

3 35

a5




149


20. Un cono tiene una altura igual al doble de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es A. 1/2 B. 1 C. 3/2 D. 2 E. 4 21. Un cono tiene una altura igual al triple de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es A. 1/2 B. 1 C. 3/2 D. 3/4 E. 3 22. La altura de un cono es 5 cm. Un plano a 2 cm. del vértice es paralelo a la base del cono. Si el volumen del cono más pequeño es 24 cm3 , el volumen del cono más grande es A. 750 cm3 B. 375 cm3 C. 240 cm3 D. 120 cm3 E. 48 cm3

23. Un cubo está inscrito en una esfera. Si el área de la superficie total del cubo es , entonces el área

de la superficie de la esfera es A. 10 m2 B. 15 m2 C. 20 m2 D. 30 m2 E. 40 m2 24. La base de una pirámide hexagonal tiene un área de 26 m2. Si el volumen de dicha pirámide es 78 m3, entonces su altura mide A. 3 m B. 4 m C. 6 m D. 9 m E. 12 m

26. El área de la superficie total de un cubo es 12 m2. Entonces la longitud de su diagonal es

A. B. C. 2 D. E.

27. Si la generatriz de un cono mide 25 m y el diámetro de su base es 8 m, su volumen mide A. 200 m3 B. 400 m3 C. 413.48 m3 D. 418.88 m3 E. 1587.4 m3

28. En una esfera de radio 2, se tiene inscrito un cilindro de manera que el diámetro del cilindro es igual al radio de la esfera. Entonces el área lateral del cilindro es

A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 E. 8

240m

2 3 5 6

3 3 3

A

C

B

25 Si el cono de la figura tiene un volumen de 31000 3

cm9

, C es el

vértice, AB un diámetro y mACB = 120°, entonces el diámetro de la

base, en centímetros, es

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 E. 30




149


UNIDAD DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

1. El triángulo de vértices 𝐴(−5, −1), 𝐵(2, 3) y 𝐶(3, −2) es:

a) Isósceles b) Equilátero c) Rectángulo d) Rectángulo isósceles

2. El perímetro 𝑃 y el área 𝐴 del cuadrilátero cuyos vértices son 𝐴(−3, −1),

𝐵(0,3), 𝐶(3,4) y 𝐷(4, −1) son:

a) 𝑃 = 20 𝑢, 𝐴 = 22 𝑢2 b) 𝑃 = 22 𝑢, 𝐴 = 22 𝑢2

c) 𝑃 = 20 𝑢, 𝐴 = 22 𝑢 d) 𝑃 = 20 𝑢2, 𝐴 = 22 𝑢2

3. Los vértices de un triángulo son 𝐴(3,8), 𝐵(2, −1), 𝐶(6, −1). La longitud de la

mediana trazada al lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ es:

a) √28 b) 28 c) √82 d) 82

4. Los vértices de un cuadrado son (−1,3), (3, −1), (−1, −1) y (3,3). La longitud

de sus diagonales es:

a) 2 b) 4 c) 4√2 d) 3√2

5. Dos vértices opuestos de un cuadrado son (5,1) y (−1,3). El área del cuadrado

es:

a) 40 𝑢² b) 20 𝑢² c) 10 𝑢² d) 16 𝑢²

6. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3, −2). Si la

abscisa del otro extremo es 6, su ordenada es:

a) 3 b) 2 c) −6 d) b y c son verdaderos

7. Sea un segmento cuyos extremos son los puntos 𝐴(−2,3) y 𝐵(6, −3). Los

puntos de trisección del segmento son:

a) (2

3, 1), (

10

3, −1) b) (

2

3, −1), (

10

3, 1)

c) (−2

3, 1), (

10

3, −1) d) (

2

3, 1), (

10

3, 1)




149


8. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio es

(4,3). El otro extremo es:

a) (1,2) b) (−1, −2) c) (−1,2) d) (1, −2)

9. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3,2). Si la abscisa de otro punto

de la recta es 4, su ordenada es:

a) −5 b) 5 c) −4 d) 4

10. Dados los puntos 𝐴(3,2) y 𝐵(5,4) halla un punto 𝐶, alineado con 𝐴 y 𝐵, de

manera que se obtenga 𝐶𝐴

𝐶𝐵=

3

2

a) (21

5,

16

5) b) (−

21

5,

16

5) c) (

21

5, −

16

5) d) (2, 3)

11. Dado el segmento de extremos 𝑃₁(3, −2) y 𝑃₂(−4,1), encuentre las

coordenadas del punto 𝑃 que lo divide en la razón −2

a) (11,4) b) (−11,4) c) (5,4) d) (11, −4)

12. En un triángulo el baricentro 𝐵(𝑥, 𝑦) es tal que las distancias de este punto al

vértice 𝑀(2,4) y al punto medio 𝑁(1, −1) del lado opuesto están en la relación 𝑀𝐵

𝑀𝑁= 2. Las coordenadas del punto 𝐵 son:

a) (4

3,

2

3) b) (−

4

3,

2

3) c) (−

2

3,

4

3) d) (2, 1)

13. Las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos 𝐴(−1,4) y

𝐵(−5, −8) en la razón −1

3 son:

a) (1, −2) b) (2, −1) c) (1,10) d) (−1,10)

14. Las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos 𝐴(3,2) y

𝐵(−1, −1) en la razón 1

2 son:

a) (2,1) b) (−1,2) c) (−5

3, −1) d) (

5

3, 1)




149


15. Encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son 𝐴(5,4); 𝐵(−3,8)

a) (1,6) b) (6, 1) c) (−1,6) d) (1, −6)

16. El punto medio de un segmento es (2,2). Si uno de sus extremos es (−2,3), el

otro es:

a) (6,1) b) (6,3) c) (6, −3) d) (6, −1)

17. Encuentre los extremos del segmento cuyo punto medio es (2,1), si la abscisa

de uno de ellos es 𝑥 = 6 y la ordenada del otro es 𝑦 = −1.

a) (6,1); (−2, −1) b) (6,3); (−2, −1)

c) (6, −3); (−2; −1) d) (6, −1); (2; −1)

18. Una recta 𝑙₁ pasa por los puntos 𝐴(3,2) y 𝐵(−4, −6) y otra recta 𝑙₂ pasa por los

puntos 𝐶(−7,1) y el punto 𝐷(𝑥, −6). Sabiendo que 𝑙₁ es perpendicular a 𝑙₂, el

valor de 𝑥 es:

a) −1 b) 3 c) −3 d) 1

19. Dados los vértices de un triángulo 𝐴(2,0), 𝐵(1, −3) y 𝐶(2, −5), el otro extremo

de la mediana correspondiente a 𝐵 es:

a) (2, −5

2) b) (0,

1

2) c) (

5

2, 0) d) (

3

2, 0)

20. La mediatriz del segmento determinado por los puntos 𝐴(−2,3) y 𝐵(4,1) pasa

por el punto:

a) (2,3) b) (3,4) c) (−2,1) d) (1,2)

21. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (−4, −1) y (5,2).

a) 2 b) 1

2 c)

1

3 d) 3

22. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (−3,3) y (4, −4).

a) 2 b) 1 c) 3 d) −1




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23. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (−5,2) y (−5, −4).

a) No existe b) 0 c) 6 d) −2

24. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (𝑥, −3) y (−2,6) es 3, el

valor de 𝑥 es:

a) 2 b) 5 c) 6 d) −5

25. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (−3,4) y (1, 𝑦) es cero,

entonces el valor de la ordenada es:

a) 3 b) 0 c) No existe d) 4

26. Una recta de pendiente −2 pasa por el punto 𝐴(−1,4). Hallar su ecuación en la

forma simétrica.

a) 𝑥 +𝑦

3= 1 b) 𝑥 +

𝑦

2= 2 c) 𝑦 +

𝑥

2= 2 d) 𝑥 +

𝑦

2= 1

27. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es −4 y que pasa por el punto de

intersección de las rectas 2𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 y 3𝑥 − 2𝑦 + 9 = 0.

a) 4𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0 b) 4𝑥 + 𝑦 − 9 = 0

c) 𝑥 − 2𝑦 − 8 = 0 d) 4𝑥 + 𝑦 − 10 = 0

28. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son 𝑃₁(−3,2) y

𝑃₂(1,6).

a) 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 b) 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 c) 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 d) 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0

29. Una recta pasa por el punto 𝐴(7,8) y es paralela a la recta que pasa por los

puntos 𝐶(−2,2) y 𝐷(3, −4). Su ecuación es:

a) 𝑥 + 𝑦 − 82 = 0 b) 6𝑥 + 5𝑦 − 82 = 0

b) c) 𝑥 + 6𝑦 − 82 = 0 d) 6𝑥 − 5𝑦 + 82 = 0




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30. Hallar el valor de 𝑘 para que la recta 𝑘²𝑥 + (𝑘 + 1)𝑦 + 3 = 0 sea perpendicular

a la recta 3𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0.

a) 2±√7

3 b)

1+√3

2 c)

1±√2

7 d)

1±√7

3

31. Sean las rectas paralelas 3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0 y 6𝑥 − 8𝑦 + 9 = 0. La distancia

entre ellas es:

a) 10 b) 10

7 c) 7 d)

7

10

32. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos (−2,1),

(3,4) y (5, −2).

a) 77°28′16′′, 54°9′44′′ y 49°12′59′′ b) 50°28′16′′, 54°9′44′′ y 48°21′59′′

c) 77°28′16′′, 54°9′44′′ y 48°21′59′′ d) 72°28′16′′, 59°9′44′′ y 48°21′59′′

33. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los

puntos (−2,1) y (9,7) y la recta final pasa por los puntos (3,9) y 𝐴 cuya

abscisa es −2. La ordenada de 𝐴 es:

a) −3 b) 8 c) −8 d) 0

34. Una recta 𝑙₁ pasa por los puntos (3,2) y (−4, −6) y la otra recta pasa por el

punto (−7,1) y el punto 𝐴 cuya ordenada es −6. Hallar la abscisa del punto 𝐴,

sabiendo que 𝑙₁ es perpendicular a 𝑙₂.

a) 1 b) 5 c) −1 d) −5

35. Encuentre la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta paralela a la

recta que pasa por los puntos (1, −2) y (3,8).

a) 5 y 78°41′24′′ b) 4 y 41°78′24′′

c) 5 y 24°41′78′′ d) 4 y 78°41′24′′




149


36. Hallar los ángulos agudos del triángulo rectángulo cuyos vértices son 𝐴(2,5),

𝐵(8, −1) y 𝐶(−2,1).

a) 59°18′31′′ y 30°41′20′′ b) 56°18′35′′ y 33°41′24′′

b) c) 24°18′35′′ y 65°41′24′′ d) 56°38′35′′ y 33°21′24′′

37. La ecuación de una circunferencia es 𝑥² + 𝑦² = 50. El punto medio de una

cuerda de esta circunferencia es el punto (−2,4). La ecuación de la cuerda es:

a) 𝑥 − 2𝑦 − 10 = 0 b) 𝑥 − 2𝑦 + 10 = 0

b) c) 𝑥 + 2𝑦 + 10 = 0 d) 2𝑥 − 2𝑦 + 10 = 0

38. Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12 𝑐𝑚 en el centro y un

diámetro en la parte superior de 32 𝑐𝑚. ¿Cuál es la distancia del vértice al

foco?

a) 16

3 b) −

16

3 c)

3

16 d) 4

39. La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, longitud del eje transverso

12 y pasa por el punto (8, 14) es:

a) 𝑥²

252−

𝑦²

36= 1 b)

𝑥²

36−

𝑦²

252= 1 c)

y²

252−

x²

36= 1 d)

𝑥²

252+

𝑦²

36= 1

40. En una elipse, los radios focales son los segmentos que unen los focos con un

punto cualquiera de ella. Las ecuaciones de las rectas que contienen los

radios focales correspondientes al punto (2, 3) de la elipse 3𝑥² + 4𝑦 = 48 son:

a) 𝑥 − 2 = 0; 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0 b) 𝑥 + 2 = 0; 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0

c) 𝑥 − 2 = 0; 3𝑥 + 4𝑦 + 6 = 0 d) 𝑥 + 2 = 0; 3𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0




149


41. La ecuación de una hipérbola con centro en el origen, longitud del eje

transverso 8, excentricidad 4

3 y con focos sobre el eje 𝑋 es

a) 7𝑥² + 9𝑦² = 112 b) 9𝑥² − 7𝑦² = 112

c) 7𝑦² − 9𝑥² = 112 d) 7𝑥² − 9𝑦² = 112

42. El filamento de una lámpara de flash está a 3

8 de pulgadas del vértice del

reflector parabólico y se encuentra en su foco. La ecuación del reflector,

suponiendo que está dirigido hacia la derecha y su vértice en el origen es

a) 3𝑥 − 2𝑦² = 0 b) 3𝑥 + 2𝑦² = 0 c) 2𝑥 − 3𝑦² = 0 d) −3𝑥 − 2𝑦² = 0

43. Una parábola cuyo foco es 𝐹(0, 6) y la ecuación de la directriz es 𝑦 = −6, tiene

por ecuación:

a) 𝑥² = 24𝑦 b) 𝑦² = 24𝑥 c) 𝑥² = −24𝑦 d) 𝑦² = −24𝑥

44. Si la excentricidad de una cónica es 5

2, entonces se trata de una

a) Parábola b) Elipse c) Circunferencia d) Hipérbola

45. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por (−3, 4)

es

a) 𝑥² + 𝑦² = 16 b) 𝑥² + 𝑦² = 25 c) 𝑥² + 𝑦² = 9 d) 𝑥² − 𝑦² = 25

46. De los siguientes puntos el único que se encuentra sobre la circunferencia

𝑥² + 𝑦² = 1 es

a) (√2, −1) b) (√3

2, −

1

2) c) (1, 1) d) (−1, −1)




149


47. Si los extremos de un diámetro de una circunferencia con centro en el origen

son (√5, 2) y (−√5, −2), la ecuación de dicha circunferencia es

a) 𝑥² + 𝑦² = 9 b) 𝑥² + 𝑦² = 3 c) 𝑥² + 𝑦² = 16 d) 𝑥² − 𝑦² = 9

48. Si (2, 2) es el punto medio de una cuerda en la circunferencia 𝑥² + 𝑦² = 16, la

ecuación de dicha cuerda es

a) 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 b) 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 c) 𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 d) 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0

49. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el

punto de intersección de las rectas 3𝑥 + 3𝑦 = 15 y 2𝑥 − 2𝑦 = −2 es

a) 𝑥² − 𝑦² = 13 b) 𝑥² + 𝑦² = 13 c) 𝑥² + 𝑦² = 9 d) 𝑥² + 𝑦² = 11

50. La ecuación de una elipse con focos en (±√5, 0) y longitud del eje mayor igual

a 6 es

a) 9𝑦² − 4𝑥² = 36 b) 4𝑥² + 9𝑦² = 36 c) 9𝑥² + 4𝑦² = 36 d) 4𝑥² − 9𝑦² = 36

51. La ecuación de una parábola que tiene su foco en el punto 𝐹(2, 0) y su

directriz es la recta de ecuación 𝑥 = −2 es

a) 𝑦² = −8𝑥 b) 𝑦² = 8𝑥 c) 𝑦² = −1

8𝑥 d) 𝑦² =

1

8𝑥

52. Dada la parábola que tiene por ecuación 𝑥² = −6𝑦, encontrar las coordenadas

del foco y la ecuación de la directriz

a) 𝐹 (0, −3

2) y 𝑦 = −

3

2 b) 𝐹 (0, −

3

2) y 𝑦 =

3

2

c) 𝐹 (3

2, 0) y 𝑥 = −

3

2 d) 𝐹 (−

3

2, 0) y 𝑥 =

3

2




149


53. Las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola 𝑥 =

−1

4𝑦² son respectivamente

a) (1, 0) y 𝑥 = 1 b) (−1, 0) y 𝑥 = 1

c) (0, −1) y 𝑥 = −1 d) (1, 0) y 𝑥 = −1

54. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco (−√2, 0) es

a) 𝑦2 = 4√2𝑥 b) 𝑥2 = 4√2𝑦

c) 𝑦² = −4√2𝑥 d) 𝑥² = −4𝑦

55. El foco y la directriz de la parábola 2𝑦 − 𝑥² = 0 son respectivamente

a) (0, 2) y 𝑦 = −1

2 b) (

1

2, 0) y 𝑦 =

1

2

c) (1

2,

1

2) y 𝑦 = −

1

2 d) (0,

1

2) y 𝑦 = −

1

2

56. La ecuación de la parábola cuyo foco es (4, 0) y directriz 𝑥 = −4 es

a) 𝑦² = 16𝑥 b) 𝑦² = −4𝑥 c) 𝑦² = 4𝑥 d) 𝑦² = −16𝑥

57. La ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es el eje 𝑌, vértice en el

origen y que pasa por (−2, −2) es

a) 𝑥2 = 2𝑦 b) 2𝑥2 = −𝑦 c) 𝑥2 = −2𝑦 d) 𝑥2 = −𝑦

58. Si la longitud del eje mayor es 16 y la distancia focal es 8, entonces la

ecuación de la elipse con eje focal en el eje 𝑌 es

a) 𝑥²

48−

𝑦²

64= 1 b)

𝑥²

48+

𝑦²

64= 1 c)

𝑥²

64+

𝑦²

48= 1 d)

𝑥²

64−

𝑦²

48= 1




149


59. Si la excentricidad es 4

5 y la distancia focal es 16, la ecuación de la elipse con

eje focal en el eje 𝑋 es

a) 𝑥²

100+

𝑦²

36= 1 b)

𝑥²

36+

𝑦²

100= 1 c)

𝑥²

100−

𝑦²

36= 1 d)

𝑥²

16+

𝑦²

36= 1

60. La excentricidad de la elipse 2𝑥² + 4𝑦² = 8 es

a) √2

2 b)

√3

2 c)

√3

3 d) −

√2

2

61. El único punto que no pertenece a la elipse con focos sobre el eje 𝑋, eje

mayor 20 y eje menor 10 es:

a) (−5, 5√3

2) b) (5,

5√3

2) c) (5,

2√3

2) d) (5, −

5√3

2)

62. La ecuación de la elipse que pasa por (3, 2√3), con vértice correspondiente

al eje menor (0, 4) es

a) 𝑥²

16+

𝑦²

36= 1 b)

𝑥²

36−

𝑦²

16= 1 c)

𝑥²

36+

𝑦²

16= −1 d)

𝑥²

9+

𝑦²

36= 1

63. Los focos de la hipérbola 4𝑥² − 9𝑦² = 36 son

a) (0, ±√13) b) (±13, 0) c) (0, ±13) d) (±√13, 0)

64. Las asíntotas de la hipérbola 25𝑦² − 16𝑥² = 400, son:

a) 𝑦 = ±4

5𝑥 b) 𝑥 = ±

4

5𝑦 c) 𝑦 = ±

5

4𝑥 d) 𝑥 = ±

5

4𝑦

65. La ecuación de la hipérbola con asíntotas 𝑦 = ±3

2𝑥, es

a) 𝑥²

4−

𝑦²

9= 1 b)

𝑥²

2−

𝑦²

3= 1 c)

𝑥²

4+

𝑦²

9= 1 d)

𝑥²

9−

𝑦²

4= 1




149


66. Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son (±1, 0) y sus focos

(±2, 0). Entonces su ecuación es

a) 𝑥²

1−

𝑦²

3= 1 b)

𝑥²

1+

𝑦²

3= 1 c)

𝑥²

3−

𝑦²

1= 1 d)

𝑥²

1−

𝑦2

3= −1

67. La excentricidad de la hipérbola 𝑦² − 4𝑥² = 4 es

a) −√5

2 b)

2

√2 c) −

5

√2 d)

√5

2

68. El foco y la directriz de una parábola cuya ecuación es 𝑦² = 36𝑥 son

respectivamente:

a) 𝐹(−9,0) y 𝑥 = 9 b) 𝐹(9, 0) y 𝑥 = −9

c) 𝐹(0, −9) y 𝑦 = 9 d) 𝐹(0,9) y 𝑦 = −9

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DOSIFICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA

CURSO DE REFORZAMIENTO ESCOLAR A ESTUDIANTES DE

QUINTO AÑO ENCUENTRO CONTENIDO ANALÍTICO

1

UNIDAD I: ARITMETICA.

Operaciones con fracciones aritméticas: Suma, Resta,

Multiplicación, División y Potenciación. Problemas

de aplicación.

Notación Científica. Definición. Operaciones con

expresiones numéricas en notación científica.

2 Conversión de los diferentes sistemas de

Medidas: Longitud, superficie, capacidad,

volumen y peso. Problemas de aplicación.

Razones y Proporciones .Porcentajes, Interés

simple. Interés compuesto.

3 Regla de tres simple y compuesta (Directa e

Inversa). Problemas de aplicación.

4 UNIDAD II: ALGEBRA.

Productos Notables y Factorización (de acuerdo

al programa vigente del MINED)




149


Simplificación y operaciones con fracciones

algebraicas.

5 Potenciación y radicación de expresiones

algebraicas: Propiedades, Operaciones usando

potencias y radicales y Racionalización de

fracciones algebraicas

6 Resolución de ecuaciones en una variable:

Lineales, Cuadráticas y reducibles a ellas.

7 Relación entre las raíces y los coeficientes de

la ecuación cuadrática (Teorema de Vieta, uso

del discriminante).

Sistemas de ecuaciones lineales en dos y tres

variables. Problemas de aplicaciones

8 Definición y propiedades de desigualdades:

Intervalos, Desigualdades lineales,

Desigualdades cuadráticas y cúbicas

(factorizable), Desigualdades racionales y

Desigualdades con valor absoluto

9 UNIDAD III: GEOMETRIA EUCLIDIANA

Conceptos generales: puntos, rectas, plano, relación

“estar entre”, segmento, rayo, semirrecta, ángulo,

perpendicularidad, paralelismo, rectas paralelas

cortadas por una secante

Polígonos regulares e irregulares. Problemas de

aplicación.

10 Puntos y rectas notables de un triángulo.

Congruencia de triángulos. Criterios de Congruencia

11 Teorema fundamental de la proporcionalidad y teorema

de Thales, Semejanza de triángulos y Criterios

fundamentales

Relaciones métricas en un triángulo rectángulo

(Teoremas: Pitágoras, Altura y de los Catetos)

Problemas de aplicación

12 Circunferencia: Radio, diámetro, cuerda, arco,

rectas tangentes y secantes, ángulos (Central,

Inscritos, semi inscritos, circunscritos, interiores

y exteriores). Relaciones métricas en una




149


circunferencia. Problemas de aplicación.

Área de regiones planas: triángulo, cuadrilátero,

círculo y polígono regular. Área de sectores

circulares y sectores sombreados. Problemas de

aplicación

13 Definición y propiedades de cuerpos sólidos, áreas

laterales, totales y volúmenes de cuerpos sólidos:

Prisma, cono, cilindro, pirámide y esfera. (No

truncados). Problemas de aplicación.

14 UNIDAD IV: FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL

Definición y propiedades de las funciones en

general. Comportamiento analítico y grafico de

funciones Función constante. Función lineal. Función

cuadrática, Función valor absoluto. Función raíz

cuadrada. Función seccionada. Problemas de

aplicación.

15 Definición y propiedades de las Funciones

exponenciales y logarítmicas. Ecuaciones

exponenciales y logarítmicas. Problemas de

aplicación.

16 Razones trigonométricas. Conceptos, definiciones,

dominio, recorrido y gráficas de las tres funciones

trigonométricas fundamentales (Seno, coseno y

tangente).

Identidades y ecuaciones trigonométricas. (Ángulos

medios, sencillos y dobles, potencia hasta grado

dos).

17 Resolución de triángulos rectángulos y

oblicuángulos. Problemas de aplicación

18 UNIDAD V: GEOMETRIA ANALITICA PLANA

Elementos básicos de la geometría analítica en el

plano cartesiano: Distancia entre dos puntos.

División de un segmento en una razón dada.

Coordenadas del punto medio de un segmento.

19 La recta: Pendiente de una recta. Ecuaciones de la

recta: Punto-pendiente, cartesiana, pendiente-

ordenada, simétrica y general. Ángulo entre rectas.

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

Distancia de un punto a una recta. Distancia entre

dos rectas paralelas.

20 Estudio y determinación de los elementos, tipos de




149


ecuaciones y gráficas de las cónicas con centro en

el origen: Circunferencia, Parábola, Elipse e

Hipérbola. Problemas de aplicación

Nota:

Se recomienda realizar una evaluación al finalizar cada unidad

desarrollada. El tipo de prueba deberá simular la estructura de un

examen de admisión (Selección múltiple).

En la unidad de Funciones se recomienda abordar los conceptos,

definiciones y propiedades. Características de las funciones de

todos los tipos (algebraicas y transcendentes) según su

comportamiento (Dominios, intercepto con los ejes coordenados,

paridad, monotonía (Creciente y decreciente), asíntotas,

recorridos y gráficas).

Education

Guía de autoestudio de matemáticas