Guía de matemáticas para 3 grado bloque 4

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PATRONES Y ECUACIONES• Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.

SUCESIONES NUMÉRICAS DE PRIMER GRADO

Una sucesión numérica es una serie de números o un conjunto de números que se encuentran escritos ordenadamente en base a una regla dada.

Es sucesión de figuras cuando está representada por figuras.

ORDEN (n) 1 2 3 4 5 6 7

SUCESIÓN DE

FIGURAS

SUCESIÓNNUMÉRICA 1 3 5 7 9 11

PROBLEMA: Encuentra el término 20 de la sucesión: 1, 3, 5, 7, 9, 11…

Para encontrar el término número 20, primero encontramos las primeras diferencias, de derecha a izquierda, en los términos continuos de la sucesión.

n (orden de la sucesión) 1 2 3 4 5 6 11 – 9 = 2 9 – 7 = 2

Sucesión 1 3 5 7 9 11 7 – 5 = 2 5 – 3 = 2

Primera diferencia 2 2 2 2 2 3 – 1 = 2 Como la primera diferencia es 2 y este es constante, esto nos indica que se trata de una expresión de primer grado, de la forma an + c, donde a y c son números constantes. La primera diferencia 2, debe ser uno de los términos de la regla general.

Enseguida, por ensayo y error llegamos a la regla general de la sucesión. Vemos que la diferencia 2 multiplicándolo por cada valor de n y restándole 1, obtenemos cualquier término de la sucesión. 2n – 1 es la regla general de la sucesión.

n = 1 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1n = 2 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3n = 3 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5n=20 2(20) – 1 = 40 – 1 = 39 “El número buscado es 39”

BLOQUE 4

Derecha Izquierda

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ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Completa las siguientes sucesiones de 8 términos, encuentra las primeras diferencias de la sucesión y determina la regla general de cada una.

A)Orden de la sucesión: n 1 2 3 4 5 6 7 8

Sucesión 3 7 11

Primera diferencia 4

¿4n – 1 es la regla general de la sucesión? _______

¿Cuál es el término número 100 de la sucesión? _______

B) n 1 2 3 4 5 6 7 8

Sucesión 8 14 20

Primera diferencia

¿Cuál es la regla general de la sucesión? ___________

¿Cuál es el término 20 de la sucesión? ____ ¿Cuál es el término 40 de la sucesión? ____

C) Escribe los primeros 5 términos que se piden de cada regla general de la sucesión. 1 2 3 4 5

2n + 14n + 43n – 2

3n + 103n - 10

D) Escribe la regla general de cada una de las siguientes sucesiones numéricas.

SUCESIÓN NUMÉRICA REGLA GENERAL3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, …5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, …4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …

Empezamos de derecha a

izquierda

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SUCESIONES NUMÉRICAS DE SEGUNDO GRADO

PROBLEMA: Encuentra la regla general de la sucesión: 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65…

Este es otro tipo de sucesión de números.

n 1 2 3 4 5 6 7 8

Sucesión 2 5 10 17 26 37 50 65

Primera diferencia 3 5 7 9 11 13 15

Segunda diferencia 2 2 2 2 2 2 Hasta la segunda diferencia se encuentra la constante 2, lo que indica que se trata de una sucesión de segundo grado o cuadrática de la forma: n², o, n² + b, o, n² + bn + c.La regla general de la sucesión la podemos encontrar por ensayo y error.

Si elevamos n al cuadrado y le sumamos 1, nos da cualquier término de la sucesión. La regla general de la sucesión es n² + 1.

1² + 1 = 1 + 1 = 2 2² + 1 = 4 + 1 = 5 3² + 1 = 9 + 1 = 10

¿Cuál es el término que se encuentra en el lugar 50?Si n es = 50 La regla general es n² + 1. Entonces: 50² + 1 = 2 500 + 1 = 2 501


1.- Completa las siguientes sucesiones numéricas de 8 términos, aplica el método de diferencias hasta encontrar la constante y encuentra la regla general de cada sucesión.

A) n 1 2 3 4 5 6 7 8

Sucesión 1 4 9 16

Primera diferencia

Segunda diferencia

¿n² es la regla general de la sucesión? _______

¿Cuáles números ocupan los lugares 10, 20, 30 y 40 en la sucesión numérica anterior?

n 10 20 30 40

Términos

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B) n 1 2 3 4 5 6 7 8

Sucesión 3 6 11 18 27 38 51 66

Primera diferencia

Segunda diferencia

¿n² - 1 es la regla general de la sucesión? ________

¿n² + 2 es la regla general de la sucesión? ________

¿Cuál término ocupa el lugar 25 de la sucesión? _________

C) ¿Cuál es la regla general de la siguiente sucesión?

Regla general: ___________

¿Cuál término ocupa el lugar 9 en esta sucesión? ___________

2.- Utiliza la regla general n² para encontrar los primeros cinco términos de una sucesión numérica.

nSucesión

3.- Utiliza la regla general: n² + 1 para encontrar los primeros cinco términos de una sucesión numérica.

n 1 2 3 4 5Sucesión

4.- Utiliza la regla general: n² – 4 para encontrar los primeros cinco términos de una sucesión numérica.

nSucesión

n 1 2 3 4 5 6 7 8

SUCESIÓN 4 7 12 19 28 39 52 67

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5.- Utiliza la regla general n² - 1 para encontrar los primeros cinco términos de una sucesión numérica.

nSucesión

6.- Utiliza la regla general: 3n² + 1 para encontrar los primeros cinco términos de una sucesión numérica.

nSucesión

7.- Utiliza la regla general: 3n² + 3n + 1 para encontrar los primeros cinco términos de una sucesión numérica.

nSucesión

8.- Utiliza la regla general n² + 3n para encontrar los primeros cinco términos de una sucesión numérica.

nSucesión

9.- Utiliza la regla general: n² + 3n – 1 para encontrar los primeros cinco términos de una sucesión numérica.

nSucesión

10.- Utiliza la regla general: n² - 3n – 1 para encontrar los primeros cinco términos de una sucesión numérica.

nSucesión

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11.- Analiza la siguiente sucesión numérica:2, 5, 10, 17, 26…

¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es con la que se puede encontrar el valor de la enésima posición de la sucesión? ………………………………………….(___)a) n² + 1 b) n² + 2 c) n² + 3 d) a) n² - 1








¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es con la que se puede encontrar el valor de la enésima posición de la sucesión? ………………………………………….(___)a) n² + 3 b) n² - 3 c) 2n² + 3 d) a) 2n² - 3

16.- Analiza la siguiente sucesión numérica.3, 12, 25, 42…

¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas, es con la que se puede encontrar la enésima posición de la sucesión? …………………..………………………..………….(___)a) 3n² + 3n + 2 b) 2n² + 3n c) 2n² + 3n – 2 d) 4n² + 2n – 2

17.- Analiza la siguiente sucesión numérica.7, 15, 27, 43…

¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas, es con la que se puede encontrar la enésima posición de la sucesión? ……………………………………………………….(___)a) 2x² + 2x + 3 b) 3x² + 3x c) 2x² + 3x + 2 d) 4x² + 2x

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18.- Mi papá me ha dado dinero durante cuatro días seguidos, de tal manera que me ha entregado 4, 10, 18, 28 pesos respectivamente.

Escribe sobre la raya la palabra FALSO o VERDADERO, según sea lo que se establece enseguida:

La expresión algebraica que representa el dinero incrementado cada semana es:

x² + 3x ………………..________________

19.- En un concurso de matemáticas, por contestar bien la primer pregunta el equipo gana 11 puntos, por la segunda pregunta gana 14 puntos, por la tercera 19 puntos, por la cuarta 26 puntos y así sucesivamente.

Escribe sobre la raya la palabra FALSO o VERDADERO, según sea lo que se establece enseguida:

La expresión algebraica que representa el total de puntos incrementados es:

x² + 10 ………………..________________

20.- Una compañía va a contratar el número de empleados en forma sucesiva. La primera semana contratará 3 empleados, la segunda semana 8, la tercera semana 15, la cuarta semana 24…

¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es la que representa el número de empleados incrementados cada semana? ______________

x² + 3x

x² + 2x

Continúa con la sucesión escribiendo el número de empleados que se contratarán en la quinta y sexta semana.

Semanas (n)

1 2 3 4 5 6

Empleados

21.- En la escuela primaria de mi hermano Ismael, se van a formar equipos de limpieza por grados, en forma sucesiva. Los de primer año estarán formados por 6 alumnos, los de segundo año por 14 alumnos y los de tercer año por 23 alumnos.

¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es la que representa el número de alumnos incrementados por grado? ______________

x² + 4x + 2

x² + 2x + 6

Continúa con la sucesión escribiendo el número de alumnos que se incrementarán en cuarto, quinto y sexto grado.

n 1 2 3 4 5 6

Alumnos

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FIGURAS Y CUERPOS

• Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.

CUERPOS GEOMÉTRICOS


1.- En la columna de la izquierda se encuentran dibujados varios objetos, que se pueden girar o dar vuelta hacia la derecha.

Relaciona la columna de la izquierda con la de la derecha, escribiendo dentro del paréntesis la letra que corresponda, según el cuerpo que se forma al girar la figura dándole vuelta a la derecha.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

A

B

C

D

E

F

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CONSTRUCCIÓN DEL DESARROLLO PLANO DE UN CILINDRO

PROBLEMA: Construir el desarrollo de un cilindro recto cuyas dimensiones son 2 cm de radio en su base por 5 cm de su altura.Para construir un cilindro, dibujamos en un pedazo de cartulina el patrón.

FIGURA:

Las siguientes figuras muestran las formas en que se puede hacer el desarrollo del cilindro.


1.- La fábrica de cajas de la ciudad, va a elaborar una caja para USB con las medidas que se muestran en el siguiente diseño. Escribe las medidas correctamente en el desarrollo plano que se encuentra a la derecha.

2 cm

2 cm

2 cmLas dos bases del cilindro son círculos y cada uno con un radio de 2 cm.El desarrollo de su cara lateral es un rectángulo. La altura del rectángulo es igual que la del cilindro o sea 5 cm.La base del rectángulo mide lo mismo que el perímetro de de la circunferencia de la base del círculo.Para encontrar el perímetro de la circunferencia usamos la fórmula: ¶ x d, o sea, 3.14 x 4 = 12.56 cm

5 cm

5 cm

12.56 cm

3 cm

8 cm

TAREA: Lleva a la escuela una caja cilíndrica y desármala hasta que quede el plano de donde proviene.

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2.- La fábrica de cajas de la ciudad, va a elaborar una caja para botellas de vino con las medidas que se muestran en el siguiente diseño. Escribe las medidas correctamente en el desarrollo plano que se encuentra a la derecha.

3.- El Profesor Ernesto les pidió a sus alumnos que elaboraran un cilindro con las siguientes dimensiones. Escribe las medidas que los alumnos deben utilizar en el desarrollo del plano del cilindro.

3.- La maestra Angélica les pidió a sus alumnos que elaboraran un cilindro con las siguientes dimensiones. Dibuja a la derecha el desarrollo plano del cilindro con las medidas exactas que deba tener. CILINDRO DESARROLLO PLANO

5 cm

30 cm

4 cm

6 cm

1.5 cm

3 cm

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MEDIDA• Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo.

TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.La trigonometría es una rama de las matemáticas, que se fundamenta en el estudio de los triángulos rectángulos y la relación entre sus lados y sus ángulos.

Una razón es la comparación por cociente de dos cantidades: Razón =

PROBLEMA: Un poste de 4 metros de altura se encuentra sostenido por un cable que mide 5 metros de longitud. El cable está sujeto en un punto a 3 metros de distancia del poste. El cable también forma con el piso un ángulo de elevación aproximado de 54°. Determina las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente, comparando los lados del triángulo en relación con el ángulo dado.Una razón trigonométrica es la comparación por cociente de los lados de un triángulo rectángulo en relación con uno de sus ángulos agudos.


1.- Observa el triángulo ABC dibujado abajo. Considera el ángulo de 54° y completa la siguiente tabla redondeando los resultados solamente hasta centésimos.

TRIÁNGULO ÁNGULOCATETO

OPUESTOCATETO

ADYACENTE HIPOTENUSA

(SENO)

OPUESTOHIPOTENUSA

(COSENO)

ADYACENTEHIPOTENUSA

(TANGENTE)

OPUESTOADYACENTE

ABC 54°

NOTA: Compara el triángulo ABC con el triángulo del problema y observa que son triángulos semejantes y que los valores del seno, del coseno y de la tangente en un ángulo de 54° siempre son iguales.

C

A B

= 0.80 Cateto opuesto Hipotenusa

Hipotenusa Cateto opuesto al ángulo de 54°

3Cateto adyacente al ángulo de 54°

54°45

Seno 54° =

4 5

=

45

354°

45

= 0.60 Cateto adyacente Hipotenusa Coseno 54° = =

35

= 1.33 Cateto opuestoCateto adyacente

Tangente 54° = =

43

654°

810

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• Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

FUNCIÓN SENO

La función seno es el resultado de comparar por cociente el cateto opuesto del ángulo agudo dado con la hipotenusa.

Los valores que adquiere la función seno se puede demostrar en un círculo unitario en donde al radio se le da valor de 1.

CÍRCULO UNITARIO

En forma general podemos definir al ángulo agudo de un triángulo rectángulo, comparando el cateto opuesto y la hipotenusa como:

Sen x = x puede representar a cualquier ángulo.

PROBLEMA EJE: Encuentra la medida del cable que sostiene al poste.

Sen x =

Sen 50° =

0.7660 =

9.19 x

50°

x 9.19 m

30°

Seno = 0.5

r = 1

NOTA: El seno de 50° lo buscamos en las tablas de valores que se encuentra en la siguiente hoja.

Cateto opuesto Hipotenusa

Cateto opuesto Hipotenusa

9.19 x

Si el radio o hipotenusa vale 1, entonces el seno vale 0.5 que es igual a la mitad del radio o de la hipotenusa.

Al crecer el ángulo, crece la medida del seno.

Sen 45° = 0.7071Sen 60° = 0.8660Sen 90° = 1

Se aplica la función seno, porque entre los datos que se dan y el que se pregunta, están el cateto opuesto, la hipotenusa y el ángulo.

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(x)(0.7660) = 9.19

Ángulo Seno Coseno Tangente0 0.0000 1.0000 0.00001° 0.0175 0.9998 0.01752° 0.0349 0.9994 0.03493° 0.0523 0.9986 0.05244° 0.0698 0.9976 0.06995° 0.0872 0.9962 0.08756° 0.1045 0.9945 0.10517° 0.1219 0.9925 0.12288° 0.1392 0.9903 0.14059° 0.1564 0.9877 0.1584

10° 0.1736 0.9848 0.176311° 0.1908 0.9816 0.194412° 0.2079 0.9781 0.212613° 0.2250 0.9744 0.230914° 0.2419 0.9703 0.249315° 0.2588 0.9659 0.267916° 0.2756 0.9613 0.286717° 0.2924 0.9563 0.305718° 0.3090 0.9511 0.324919° 0.3256 0.9455 0.344320° 0.3420 0.9397 0.364021° 0.3584 0.9336 0.383922° 0.3746 0.9272 0.404023° 0.3907 0.9205 0.424524° 0.4067 0.9135 0.445225° 0.4226 0.9063 0.466326° 0.4384 0.8988 0.487727° 0.4540 0.8910 0.509528° 0.4695 0.8829 0.531729° 0.4848 0.8746 0.554330° 0.5000 0.8660 0.577431° 0.5150 0.8572 0.600932° 0.5299 0.8480 0.624933° 0.5446 0.8387 0.649434° 0.5592 0.8290 0.674535° 0.5736 0.8192 0.700236° 0.5878 0.8090 0.726537° 0.6018 0.7986 0.753638° 0.6157 0.7880 0.781339° 0.6293 0.7771 0.809840° 0.6428 0.7660 0.839141° 0.6561 0.7547 0.869342° 0.6691 0.7431 0.900443° 0.6820 0.7314 0.932544° 0.6947 0.7193 0.965745° 0.7071 0.7071 1.000

9.19 0.7660

x = x = 11.997 m

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Ángulo Seno Coseno Tangente46° 0.7193 0.6947 1.035547° 0.7314 0.6820 1.072448° 0.7431 0.6691 1.110649° 0.7547 0.6561 1.150450° 0.7660 0.6428 1.191851° 0.7771 0.6293 1.234952° 0.7880 0.6157 1.279953° 0.7986 0.6018 1.327054° 0.8090 0.5878 1.376455° 0.8192 0.5736 1.428156° 0.8290 0.5592 1.482657° 0.8387 0.5446 1.539958° 0.8480 0.5299 1.600359° 0.8572 0.5150 1.664360° 0.8660 0.5000 1.732161° 0.8746 0.4848 1.804062° 0.8829 0.4695 1.880763° 0.8910 0.4540 1.962664° 0.8988 0.4384 2.050365° 0.9063 0.4226 2.144566° 0.9135 0.4067 2.246067° 0.9205 0.3907 2.355968° 0.9272 0.3746 2.475169° 0.9336 0.3584 2.605170° 0.9397 0.3420 2.747571° 0.9455 0.3256 2.904272° 0.9511 0.3090 3.077773° 0.9563 0.2924 3.270974° 0.9613 0.2756 3.487475° 0.9659 0.2588 3.732176° 0.9703 0.2419 4.010877° 0.9744 0.2250 4.331578° 0.9781 0.2079 4.704679° 0.9816 0.1908 5.144680° 0.9848 0.1736 5.671381° 0.9877 0.1564 6.313882° 0.9903 0.1392 7.115483° 0.9925 0.1219 8.144384° 0.9945 0.1045 9.514485° 0.9962 0.0872 11.430186° 0.9976 0.0698 14.300787° 0.9986 0.0523 19.081188° 0.9994 0.0349 28.636389° 0.9998 0.0175 57.290090° 1

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1.- Aplica la función seno y resuelve los siguientes problemas.

1.- Encuentra el valor del cateto opuesto en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos.

5.- ¿A qué altura aproximada vuelan dos papalotes, cuando uno de ellos lleva sueltos 40 m de hilo y éste forma con el piso un ángulo de 54° y el otro lleva sueltos 35 m de hilo y éste forma con el piso un ángulo de 37°? ____________ y ____________

x

25°

36°

x

12°x

8 km

35°

x 7.9 m

40°

x25 m

24 m

24 m

3.- ¿Cuál es la altura en que vuela un avión que ha despegado con un ángulo de elevación de 17° y lleva recorridos 8 km de distancia?_________________

4.- La diagonal de la pantalla de una televisión mide 50 cm y el ángulo que forma la diagonal con su base es de 40°. ¿Cuánto mide de altura la pantalla? ___________

2.- Encuentra el valor de la hipotenusa en el siguiente triángulo rectángulo.

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6.- Calcular cuánto miden los cables que sostienen a cada una de las torres.

FUNCION COSENO

45°

27 mx

54°

x40

52°

27 mx

7.- ¿Cuánto mide la hipotenusa de una escuadra de 45° cuyos catetos miden 35 cm cada uno? ______________

8.- La diagonal de la Guía de clase de Matemáticas mide 35.5 cm de largo. El ángulo que forma la base de la guía con su diagonal mide 51°. ¿Cuánto mide la altura de la guía? ______________

PROBLEMA 9.- Una hormiga se encuentra a 30 cm de distancia de una pared. Se dirige en línea recta hacia la pared y empieza a subirla en línea recta, subiendo 90 cm. ¿A qué distancia se encuentra la hormiga del punto de donde inició su recorrido, si ésta forma con el piso un ángulo de 69º?

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La razón o función coseno es el resultado de comparar por cociente en un triángulo rectángulo el cateto adyacente del ángulo agudo con la hipotenusa.

Esto lo podemos analizar en un círculo unitario donde el radio vale 1.

r = 1 El radio es igual a la hipotenusa. Coseno de 30° = 0.8660

Si crece el ángulo baja el valor del coseno.Cos 55° = 0.5736Cos 70° = 0.3420Cos 90° = 0

En forma general podemos definir al ángulo agudo de un triángulo rectángulo, comparando al cateto adyacente con la hipotenusa, como:

Cos x = x representa a cualquier ángulo.

PROBLEMA: Encuentra la medida del cable que sostiene a un poste, que en cierto momento proyecta una sombra de 8 metros y que el cable forma con el piso un ángulo de 45°.

Cos x =

Cos 45° =

0.7071 = x (0.7071) = 8 x =

x = 11.31 m


45°

x

8 m

.8660

30°

1

Cateto adyacente Hipotenusa

AdyacenteHipotenusa

8x

80.7071

8x

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1.- Aplica la función coseno y resuelve los siguientes problemas.

1.- Encuentra el valor del cateto adyacente en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos.

2.- Encuentra el valor de la hipotenusa en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos.

3.- Las siguientes figuras representan resbaladeros. Encuentra el largo.

x

30°

5 m

x

24°

4.5 m

x

57°2.5 cm

x

19°6 cm

x24°

5.6 cm

x30°

4.5 cm

4.- Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 23°. Al poco tiempo ha recorrido 35 km de distancia. ¿Qué distancia ha recorrido sobre la horizontal? ________________

5.- Uno de los cables que sostiene a una antena de televisión, está agarrado de la parte más alta formando con el piso un ángulo de 60º. El cable está sujeto a 25 m de la base de la antena. ¿Cuánto mide de largo el cable? _______________

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6.- En cada uno de los siguientes dibujos aparece una recta inclinada que representa una rampa y una recta horizontal que representa el nivel del suelo. ¿Qué distancia tendrá que recorrer el auto en la rampa para subir al estacionamiento en cada uno de los casos?

7.- ¿Cuánto mide la parte más larga de cada uno de los barcos representados en las siguientes figuras? ______________

20 m18°

16°15 m

23°

35 km

132

8.- Una escalera de 3 m de largo llega exactamente hasta la base de la ventana de una casa, cuando el ángulo que forma la escalera y el piso es de 70°. ¿A qué distancia está el pie de la escalera de la pared? _____________

11.- ¿Cuánto mide el largo de cada uno de los puentes construidos sobre un río tal y como se muestra en los siguientes dibujos? ____________ y ___________

a

3.8 cm

9 m8.5 m

14°

40 m40°

13°

9.- Encuentra cuánto mide el área del cuadrado que está construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo y que ambos representan al terreno de una granja.

10.- Encuentra cuánto mide el lado a en el siguiente triángulo rectángulo.

26°

132

13.- En las fiestas de septiembre se lanzó un cohete y un momento después se escuchó el estallido. Si cuando explotó, nuestra vista estaba observándolo con un ángulo de 35° con la horizontal. ¿Qué distancia aproximada recorrió el cohete si al caer quedó en el suelo a 45 metros de distancia del punto de donde salió?

FUNCIÓN TANGENTE

16 m4 m

13 m

12 m49°

42°

12.- Encuentra el largo de construcción que se lleva de la siguiente rampa, si se llevan construidos 4 m sobre la base y se está haciendo con un ángulo de elevación de 22°

13.- Ahora encuentra el largo de la rampa terminada.

16 m

132

La función tangente es el resultado de comparar el cateto opuesto del ángulo agudo de un triángulo rectángulo con el cateto adyacente.

En el círculo unitario donde el radio vale 1. El cateto adyacente es igual a 1. Por lo tanto la tangente de 30° = 0.5774

Si crece el ángulo, crece la tangente.

Tan 60° = 1.7321Tan 85° = 11.4301Tan 89° = 57.2900 En forma general tenemos que la tangente de un ángulo es:

Tangente x =

Tan 30° = 0.5774

PROBLEMA EJE: Encuentra la medida de b en el siguiente triángulo rectángulo.

Tan x =

Tan 38° =

0.7813 = b (0.7813) = 2.2

b =

b = 2.81


Tangente30°r = 1

38°

b

2.2

Cateto opuestoCateto adyacente

Cateto opuestoCateto adyacente

2.2 b

2.2 b

2.20.7813

132

1.- Aplica la función tangente y resuelve los siguientes problemas.

1.- Encuentra el valor que se pide en los siguientes triángulos rectángulos.

2.- Un piloto aviador ve desde su avión que el aeropuerto se ubica como se muestra en la siguiente ilustración, desde el punto donde se encuentra. ¿A qué altura vuela? _________

3.- La Torre Latinoamericana, tiene una altura aproximada de 180 metros, incluida la antena. ¿Qué distancia en línea recta debe recorrer una persona para llegar hasta la torre, si el punto donde ella se encuentra forma con el extremo superior de la antena un ángulo de 76°? _____

x29°

18 km

x

4.6 19°

x

75 m14°

x

500 m35°

x

100 m42°

4.- ¿Cuál es la altura del edificio? ______

132

5.- ¿Cuál es la altura de un edificio del Seguro Social y la de su antena? _______ y _____

9 m29°

20 m32°

18°

27°

20 m

10 m58°

6.- ¿Cuál es la longitud del puente del ferrocarril de Cuiteco? ____________

7.- ¿Cuál es el área del cuadrado construido sobre el cateto del siguiente triángulo rectángulo? ____________

132

8.- Encuentra la altura de los árboles representados enseguida.

b

9 u34°

40 m

50 m51°

61 m56°

60 m45°

10 m40°12 m

32°

9.- Encuentra la altura del edificio. 10.- Encuentra la medida del área del rectángulo construido sobre el cateto del siguiente triángulo rectángulo.

11.- Encuentra la altura aproximada de una astabandera, construida en un Estado de la República Mexicana.

12.- Observa el siguiente triángulo.¿Cuánto mide el lado b? __________

13.- Encuentra la altura de un monumento si desde una distancia de 6 metros se instala un cable a su parte más alta con un ángulo de elevación de 72°.

14.- Encuentra la altura de un poste si desde una distancia de 8 metros se coloca un cable a su parte más alta con un ángulo de elevación de 50°.

132

ACTIVIDAD DE AFIANZAMIENTO

INSTRUCCIÓN: Escribe, según corresponda, dentro del paréntesis la letra o letras que contesten correctamente cada cuestión o sobre la línea el resultado correcto.

1.- De acuerdo con los datos del siguiente triángulo rectángulo, ¿cuáles de las siguientes razones trigonométricas son correctas?................................................ (____)(____)(____)

a) Sen A = b) Cos A =

b) Tan A = c) Sen A =

2.- ¿Cuánto mide el lado a en el siguiente triángulo rectángulo?............................... (____)Considera: Sen 23° = 0.3907

a) 0.3907b) 0.0300c) 5.0791d) 33.27

3.- ¿Cuánto mide el lado b en el siguiente triángulo rectángulo?.................... ___________Considera: Sen 39° = 0.6293

53°

x

35 m61°10 m

a13

6

8

10

C

BA

86

610

810

68

23°

b23 m

39°

4.- Un edificio proyecta una sombra sobre el piso cuyas medidas se presentan en el siguiente dibujo. ¿Cuál es la altura del edificio?............ (____)

Considera: Tan 61° = 1.8040

a) 18.04 metrosb) 53.35 metrosc) 110.044 metrosd) 87.46 metros

5.- ¿Qué distancia recorrió un cohete, si salió con un ángulo de elevación de 53° y al explotar cayó al suelo a 35 metros de distancia del punto de donde salió? _______

Considera: Cos 53° = 0.6018

132

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES

• Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa.

RAZÓN DE CAMBIO

Cuando dos variables se conectan por una relación funcional, se estudia el cambio relativo de una de las variables respecto de la otra, o sea, que se determinan las razones de cambio del fenómeno. A la razón de cambio de la distancia en relación con el tiempo se le llama velocidad. Un ejemplo de razón de cambio es el siguiente.

PROBLEMA: ¿Cuál es el incremento por hora de la distancia recorrida por un automóvil, suponiendo que es el mismo durante cada hora?

400

320

240

160

80

1 2 3 4 5 6 7 H o r a s

Razón de cambio = = = = 80

SECUENCIA DE ACTIVIDADES DIDÁCTICAS

1.- La siguiente gráfica nos presenta la temperatura promedio durante los primeros meses del año en un poblado de la República Mexicana.

25° C

20° C

15° C

10° C

1 2 3 4 Meses

¿Cuál es el incremento mensual de la temperatura? _____________

¿Cuál será la temperatura en el quinto mes? ______________

..

.

(5,400)

(1,80)

La razón de cambio es el incremento en la distancia respecto al tiempo.

Razón de cambio = 80

..

.

.(4,25)

(1,10)

KILÓMETROS

Cambio en la distanciaCambio en el tiempo

400 - 805 - 1

3204

132

¿Cómo encuentras la razón de cambio en este fenómeno? ________________________

________________________________________________________________________

Razón de cambio = = =

2.- Resuelve el siguiente problema.

La escuela organizó un discoteque en el que cobraron $30 por persona.

¿Cuánto pagó Luis y sus dos hermanos por las entradas? ___________

Si Luis llevó aparte otros dos invitados, ¿cuánto pagaron por todos? ____________

Partiendo del problema anterior, completa la siguiente tabla y elabora la gráfica correspondiente.

Alumnos 3 6 9Costo 150 360

180

150

120

90

60

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 NÚMERO DE PERSONAS

COSTO

$

240

270

210

¿Cuánto pagarán 7 personas? ______

¿Cuál es el incremento en el costo de

3 a 9 personas? ______________

¿Cuál es la razón de cambio del

problema? ____________

¿Cuánto recaudó la escuela si entraron 324 personas, pero de éstas, 19 no

pagaron boleto? __________________

132

3.- La siguiente gráfica nos muestra los cambios en la distancia recorrida por una atleta, durante varios días de la semana que practica para participar en una carrera pedestre de 40 km el recorrido.

40

35

30

25

20

1 2 3 4 5

D Ì A S

4.- Analicen la siguiente gráfica que muestra los cambios en el gasto de energía eléctrica (wat) en una empresa, durante los primeros meses del año. Después den respuesta a las preguntas.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

M E S E S

¿Cuál es el cociente del incremento o razón de cambio en gasto de luz? ______________

•

•

•

¿Cuál es el incremento en la distancia entre el primero y el quinto día? _____________

¿Cuál es la razón de cambio?

Si el primer día corresponde al lunes, ¿cuál es la distancia que recorrió el jueves? ___________

KILÒMETROS

.

.

2200

1 800

1 400

1 000

600

200

VARIACIÓN

¿Cuánto varió el gasto de luz del

primero al tercer mes? ________

¿Cuánto varió el gasto del primero

al cuarto mes? ______________

Suponiendo que el incremento fue el mismo cada mes, ¿cuánto varió el gasto del tercero al sexto mes?

__________________________

¿Cuál es el incremento mensual

del gasto de luz? _____________

Si el primer mes corresponde a enero, ¿cuál es el gasto de luz en

marzo? _____________________

y ¿cuál será el gasto de luz

en diciembre? _______________

132

ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS• Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la desviación media con el rango como medidas de la dispersión.

DESVIACIÓN MEDIA Y RANGO

PROBLEMA: Encuentra la desviación media y el rango de la siguiente serie que representa las calificaciones en Matemáticas de 8 alumnos del grupo en el bloque 4.CALIFICACIONES: 9, 10, 8, 5, 6, 9, 7, 10.

El rango es igual a el valor máximo de los datos menos el valor mínimo: 10 – 5 = 5

La desviación media es la media aritmética o el promedio de las distancias de cada dato a la media.Para encontrar la desviación media hacemos lo siguiente:Primero encontramos el promedio o media de las calificaciones de los 8 alumnos:

Promedio: x = = = 8 Promedio o media

Enseguida sumamos las distancias que hay de cada una de las calificaciones al promedio y el resultado lo dividimos entre el promedio o media, para encontrar la desviación media.

Dx =

Dx = = = 1.5 La desviación media es 1.5


1.- Calcular promedio o media, el rango y la desviación media de las siguientes series de números. Analiza las diferencias entre el rango y la desviación media.

CONCEPTO SERIE RANGO PROMEDIOO MEDIA

DESVIACIÓN MEDIA

Calificaciones 9, 8, 7, 7, 5, 6.Horas diarias trabajadas

12, 10, 8, 6.

Edades de hermanos 58, 56, 54, 42, 50, 40.Dinero gastado por día 170, 150, 80, 100,

220.

9 + 10 + 8 + 5 + 6 + 9 + 7 + 10 8

64 8

(9 distancia con 8) + (10 d 8) + (8 d 8) + (5 d 8) + (6 d 8) + (9 d 8) + (7 d 8) + (10 d 8) 8

1 + 2 + 0 + 3 + 2 + 1 + 1 + 2 8

12 8

Education

Guía de matemáticas para 3 grado bloque 4