Makalah setengah putaran

  • View
    200

  • Download
    37

Embed Size (px)

Text of Makalah setengah putaran

  1. 1. 1 RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN BAB VII SETENGAH PUTARAN disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd Oleh Niamatus Saadah 1201125122 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA 2015
  2. 2. 2 BAB VII SETENGAH PUTARAN Setengah Putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi. Suatu setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu sehingga disebut juga pencerminan pada suatu titik. Definisi Sebuah setengah putaran pada suatu titik adalah suatu padanan yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut : 1. Apabila maka 1() = sehingga titik tengah ruas garis . 2. = Setengah putaran adalah suatu transformasi Bukti: Akan dibuktikan Bijektif. Untuk membuktikan Bijektif maka harus dibuktikan terlebih dahulu Surjektif dan Injektif. (1) Akan dibuktikan Surjektif Untuk menunjukkan Surjektif, akan ditunjukkan () = Ambil sebarang = () = , () = = Jadi, = = () Jika maka A menjadi sumbu ruas garis , berarti () = Jadi, Surjektif (2) Akan dibuktikan Injektif Missal 1 2 Kasus I 1 = 2 = Untuk 1 = maka (1) = 1 = 1..1*)
  3. 3. 3 Untuk 2 = maka (2) = 2 = 22*) Dari 1*) dan 2*) maka diperoleh (1) (2) Kasus II 1 2 Ambil sebarang 1, 2 1 2 1 , 2 , 2, 2, Sehingga (1) = 1 dan (2) = 2 Andaikan (1) = (2) Karena (1) = (2) Maka 1 = (1) = (2) = 2 Sehingga diperoleh 1 = 2 dan 1 = 2 Menurut teorama, Melalui dua titik hanya dapat dibuat satu garis Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa 1 2 Pengandaian 1 2 (1) = (2) harus dibatalkan. Jadi, (1) (2) Jadi Injektif Dari (1) dan (2) maka diperoleh Surjektif dan Injektif Karena Surjektif dan Injektif, maka Bijektif Karena Bijektif, maka adalah suatu transformasi. Jadi, terbukti bahwa suatu setengah putaran adalah transformasi. Teorema 7.1 Andaikan sebuah titik, dan dua garis tegak lurus yang berpotongan di . Maka = . Bukti : Diketahui sebuah titik, dan dua garis tegak lurus yang berpotongan di . a) Kasus I : Karena maka dapat dibentuk sebuah sistem sumbu orthogonal dengan sebagai sumbu X dan sebagai sumbu Y. sebagai titik asal. Ambil titik Perhatikan Gambar 7.2
  4. 4. 4 Ditunjukkan bahwa untuk setiap berlaku () = () Andaikan (, ) dan () = (1, 1) Karena () = maka titik tengah sehingga (0,0) = ( 1 + 2 , 1 + 2 ) Diperoleh 1 + = 0 1 = dan 1 + = 0 1 = Artinya () = (, ) (1) Komposisi pencerminan () = [()] = (, ) = (, ) Artinya () = (, ) (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh _ () = (). Jadi, = b) Kasus II : = Menurut Definisi, () = (1*) () = () = .(2*) Dari persamaan (1*) dan (2*) diperoleh () = (). Jadi, = . Teorema 7.2 Jika dan dua garis yang tegak lurus maka = Bukti (, ) (, ) P(x,y)
  5. 5. 5 a) Kasus I : Karena , maka () = (). () = (()) = ((, )) = (, ) = (). diperoleh () = () = () Jadi, = b) Kasus II : = Karena = , maka () = () = () = () = Sehingga diperoleh () = (). Jadi, = . Teorema 7.3 Jika setengah putaran, maka = . Bukti Andaikan dan dua garis yang tegak lurus maka = dengan titik potong antara dan . ( )1 = 1 1 = 1 . Karena 1 = dan 1 = maka = 1 . Karena , maka menurut teorema 7.2, = . Sedangkan menurut teorema 7.1, = . Sehingga diperoleh 1 = = = . Jadi, 1 = . Teorema 7.4 Jika = (, ) dan = (, ) maka () = ( , ). Bukti a) Kasus I : Misalkan " = (1, 1) dan () = " maka titik tengah " sehingga diperoleh (, ) = (( 1+ 2 ) , ( 1+ 2 ))
  6. 6. 6 Maka 1+ 2 = dan 1+ 2 = sehingga diperoleh 1+ 2 = 1 + = 2 1 = 2 ..(1*) 1+ 2 = 1 + = 2 1 = 2 (2*) Dari persamaan (1*) dan (2*) maka (1, 1) = ( 2 ), (2 ) Karena () = ", maka () = (1, 1) = ( 2 ), (2 ) Jadi, () = (2 , 2 ). b) Kasus II : = Karena = , maka (, ) = (, ) artinya = dan = . () = () = = (, ) (, ) = ((2 ), (2 )) = ((2 ), (2 )) Jadi, () = (2 , 2 ). 7.2 Lanjutan Setengah Putaran Kita ingat kembali tentang refleksi atau pencerminan. Definisi refleksi atau pencerminan ialah 1. gAAAMg , 2. 'PPMg , yang bersifat g adalah sumbu ruas garis 'PP Jelas bahwa gA yang dicerminkan terhadap garis g maka A berimpit dengan petanya. Titik yang demikian dinamakan titik tetap (invariant) refleksi. Definisi A dinamakan titik tetap (invariant) transformasi T apabila berlaku T(A) = A Dari definisi tersebut, kita dapat memperoleh fakta bahwa sebuah refleksi garis g memiliki tak hingga banyaknya titik tetap yaitu semua titik pada sumbu refleksi g itu sendiri. Sedangkan pada sebuah setengah putaran di P (Sp), maka satu-satunya titik varian adalah P, sebab Sp(P) = P dan Sp(X) = X dengan PX dan P titik tengah ruas garis 'XX .
  7. 7. 7 Definisi Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis dinamakan kolineasi Karena setiap isometric adalah suatu kolineasi maka refleksi dan setengah putaran adalah suatu kolineasi. Diantara kolineasi tersebut ada yang disebut dilatasi Definisi Suatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi jika untuk setiap garis g berlaku sifat ()//. Teorema 7.5 Andaikan SA suatu setengah putaran, dan g sebuah garis. Apabila , ()// Diketahui : SA sebuah garis g, gA Buktikan bahwa ()// Bukti : Misal , karena P g maka A titik tengah PP dengan P = SA(P) karena Q g maka A titik tengah QQ dengan Q = SA(Q) Perhatikan APQ dan AQP Untuk membuktikan bahwa g g maka harus ditunjukkan APQ dan AQP adalah kongruen. m(< Q) = m(< P ) (sudut bertolak belakang) PA = AP ( karena A titik tengah PP ) PQ () = = () A () =
  8. 8. 8 QA = AQ ( karena A titik tengah QQ ) Menurut definisi kekongruenan (S Sd S) sehingga APQ AQP Karena APQ AQP maka PQ = QP Karena PQ = QP maka g g Jadi, ()// Contoh Diketahui dua garis g dan h tidak sejajar. A sebuah titik yang tidak terletak pada g atau h. Tentukan semua titik X pada g dan semua titik Y pada h sehingga A titik tengah ruas garis XY . Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar hAgA , Ditanya : tentukan semua XYgahtitik ten, AhYgX Jawab : Ambil gP Jika PSP A' maka gSg A' melalui P dan PA=AP, g//g Jika g memotong h di Y Tarik YA memotong g di X Maka X dan Y pasangan titik yang dicari Ilustrasi : Dari contoh di atas, buktikan bahwa X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan, dan jika tidak menggunakan gSg A' tapi hSh A'' apakah akan memperoleh pasangan lain lalu jelaskan hal tersebut A g g P P Y X h
  9. 9. 9 Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar hAgA , , Ditanya : Adb X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan. Bukti : Ambil , , Karena , () = akan memotong di titik , sehingga karena () = , maka () = Karena titik potong dari dua garis atau lebih akan hanya ada satu titik potong, Maka dan satu-satunya pasangan . sehingga , , , , , jadi, dan satu-satunya pasangan. Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar hAgA , , hSh A'' Ditanya : Apakah ada pasangan lain yang memenuhi persyaratan selain X dan Y. Bukti : Teorema 7.6 Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda, tidak memiliki titik tetap Bukti : Misal BAVBA ,,
  10. 10. 10 Akan dibuktikan BASS tidak memiliki titik tetap Misal g = AB h AB di A, k AB di B Akan ditunjukkan BASS = khMM Karena hgA MMS , kgB MMS Maka BASS = kghg MMMM kh kh kggh kggh kghg kghg MM MIM MMMM MMMM MMMM MMMM Akan ditunjukkan BASS tidak memiliki titik tetap Misal X titik varian BASS Jadi BASS (X) = X sehingga XXMM kh Jadi 2...)( 1...)( XMXMMM XMXMMM hkhh hkhh Dari (1) dan (2) diperoleh XMXMXIMXM khkh Misal 1XXMk (i) Kasus 1 ( 1XX ) Misal khXX 1 Karena h dan k adalah sumbu ruas garis XX1 dan ruas garis hanya memiliki satu sumbu maka h=k Hal ini tidak mungkin sebab BA (ii) Kasus 2 ( 1XX ) Misal 1XX Maka Mh(X)=X dan Mk(X)=X Jadi XhXkX dinberpotongakh,,
  11. 11. 11 Hal ini tidak mungkin sebab h//k Jadi, tidak mungkin ada sebuah titik X sehingga XXSSXMXM BAkh atau . Jadi, BASS tidak memiliki titik tetap. Ilustrasi teorema 7.6 Teorema 7.7 Jika BA adalah dua titik maka hanya ada satu setengah putaran yang memetakan A pada B Bukti : Dipunyai BA Akan dibuktikan BAST dengan T titik tengah ruas garis AB Misal ada dua setengah putaran SD dan SE sehingga BABASD ESdan Jadi AASD ES Maka ASASS DDD E 11 S Karena S-1 D=SD maka ASA D ES Jadi jika ED , maka berarti bahwa A adalah titik tetap dari EDSS Hal ini tidak mungkin ada lebih dari satu setengah putaran yang memetakan A pada B. Satu-satunya setengah putaran adalah ST(A) = B dengan T titik tengah ruas garis AB Teorema 7.8 Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik Dipunyai titik VP g h k A B
  12. 12. 12 Akan dibuktikan (1) g sebuah garis ggSP // (2) ISS PP dengan I transformasi identitas Bukti : (1) Jelas SP(g) = g suatu garis. Misal gBgA , Maka ',' gBgA dan PA = PA, PB = PB Karena PA = PA, PB = PB, dan ''PBAmAPBm sehingga BPAPAB ' (s sd s) Jelas BAPmPABm '' Jadi g//SP(g) dan SP sebuah dilatasi (2) Karena AASASS ppp ' , maka gIgSSgA PP Jadi, ISS PP . Hal ini berarti SP bersifat involuntorik Dari pernyataan (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa SP sebuah dilatasi bersifat involuntorik. Atau dengan kata lain suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik. Ilustrasi : Teorema 7.9 Apabila T suatu transformasi. H himpunan titik-titik dan A sebuah titik, maka HATHTA 1 Bukti : B A B A P SP(g)=g g
  13. 13. 13 Dipunyai T transformasi, H himpunan titik-titik, A sebuah titik Akan dibuktikan HATHTA 1 Ambil HTA Jadi XTAHX maka XXIXTTXTTAT 111 Jadi, HAT 1 Ambil HAT 1 Hal ini berarti HTAatau1 HTATT Contoh : Dipunyai : 164, 22 yxyxE Misal A = (4,-3) dan C = (3,1) g adalah sumbu X Ditanya : Selidiki apakah ESMA cg Jawab : Jelas gcgccg MSMSSM 111 A