43
1 RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN BAB VII SETENGAH PUTARAN disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd Oleh Niamatus Saadah 1201125122 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA 2015

Makalah setengah putaran

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Makalah setengah putaran

1

RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN

BAB VII

SETENGAH PUTARAN

disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi

Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd

Oleh

Niamatus Saadah 1201125122

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

2015

Page 2: Makalah setengah putaran

2

BAB VII

SETENGAH PUTARAN

Setengah Putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi. Suatu

setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu

sehingga disebut juga pencerminan pada suatu titik.

Definisi

Sebuah setengah putaran pada suatu titik ๐ด adalah suatu padanan ๐‘†๐ด yang

didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut :

1. Apabila ๐‘ƒ โ‰  ๐ด maka ๐‘†1(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒ sehingga ๐ด titik tengah ruas garis ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ….

2. ๐‘†๐ด = ๐ด

Setengah putaran adalah suatu transformasi

Bukti:

Akan dibuktikan ๐‘†๐ด Bijektif.

Untuk membuktikan ๐‘†๐ด Bijektif maka harus dibuktikan terlebih dahulu ๐‘†๐ด

Surjektif dan Injektif.

(1) Akan dibuktikan ๐‘†๐ด Surjektif

Untuk menunjukkan ๐‘†๐ด Surjektif, akan ditunjukkan โˆƒ๐‘ƒโ€ฒ โˆˆ ๐‘‰ โˆ‹ ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒ

Ambil sebarang ๐‘ƒโ€ฒ โˆˆ ๐‘‰

๐‘ƒโ€ฒ โˆˆ ๐‘‰ โˆ‹ ๐‘ƒโ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘ƒ)

๐‘—๐‘–๐‘˜๐‘Ž ๐‘ƒ = ๐ด, ๐‘š๐‘Ž๐‘˜๐‘Ž ๐‘†๐ด(๐ด) = ๐ดโ€ฒ = ๐ด

Jadi, โˆ€ ๐‘ƒโ€ฒ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ ๐‘ƒโ€ฒ = ๐‘ƒ = ๐‘†๐ด(๐‘ƒ)

Jika ๐‘ƒ โ‰  ๐ด maka A menjadi sumbu ruas garis โ€ฒ , berarti ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒ

Jadi, ๐‘†๐ด Surjektif

(2) Akan dibuktikan ๐‘†๐ด Injektif

Missal ๐ต1 โ‰  ๐ต2

Kasus I

๐ต1 = ๐ต2 = ๐ด

Untuk ๐ต1 = ๐ด maka ๐‘†๐ด(๐ต1) = ๐ต1 = ๐ต1โ€ฒโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..1*)

Page 3: Makalah setengah putaran

3

Untuk ๐ต2 = ๐ด maka ๐‘†๐ด(๐ต2) = ๐ต2 = ๐ต2โ€ฒโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ2*)

Dari 1*) dan 2*) maka diperoleh ๐‘†๐ด(๐ต1) โ‰  ๐‘†๐ด(๐ต2)

Kasus II

๐ต1 โ‰  ๐ต2 โ‰  ๐ด

Ambil sebarang ๐ต1, ๐ต2 โˆˆ ๐‘‰ ๐‘‘๐‘’๐‘›๐‘”๐‘Ž๐‘› ๐ต1 โ‰  ๐ต2

๐ต1 โ‰  ๐ด, ๐ต2 โ‰  ๐ด, ๐ต2, ๐ต2, ๐ด ๐‘ก๐‘–๐‘‘๐‘Ž๐‘˜ ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘–๐‘ 

Sehingga ๐‘†๐ด(๐ต1) = ๐ต1โ€ฒ dan ๐‘†๐ด(๐ต2) = ๐ต2โ€ฒ

Andaikan ๐‘†๐ด(๐ต1) = ๐‘†๐ด(๐ต2)

Karena ๐‘†๐ด(๐ต1) = ๐‘†๐ด(๐ต2)

Maka ๐ต1โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐ต1) = ๐‘†๐ด(๐ต2) = ๐ต2โ€ฒ

Sehingga diperoleh ๐ต1โ€ฒ = ๐ต2โ€ฒ dan แ’1 = ๐ต2

Menurut teorama, โ€œMelalui dua titik hanya dapat dibuat satu garisโ€

Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa ๐ต1 โ‰  ๐ต2

Pengandaian ๐ต1 โ‰  ๐ต2 ๐‘š๐‘Ž๐‘˜๐‘Ž ๐‘†๐ด(๐ต1) = ๐‘†๐ด(๐ต2) harus dibatalkan.

Jadi, ๐‘†๐ด(๐ต1) โ‰  ๐‘†๐ด(๐ต2)

Jadi ๐‘†๐ด Injektif

Dari (1) dan (2) maka diperoleh ๐‘†๐ด Surjektif dan ๐‘†๐ด Injektif

Karena ๐‘†๐ด Surjektif dan ๐‘†๐ด Injektif, maka ๐‘†๐ด Bijektif

Karena ๐‘†๐ด Bijektif, maka ๐‘†๐ดadalah suatu transformasi.

Jadi, terbukti bahwa suatu setengah putaran adalah transformasi.

Teorema 7.1

Andaikan ๐‘จ sebuah titik, ๐’ˆ dan ๐’‰ dua garis tegak lurus yang berpotongan di

๐‘จ. Maka ๐‘บ๐‘จ = ๐‘ด๐’ˆ๐‘ด๐’‰.

Bukti :

Diketahui ๐ด sebuah titik, ๐‘” dan โ„Ž dua garis tegak lurus yang berpotongan di ๐ด.

a) Kasus I : ๐‘ƒ โ‰  ๐ด

Karena ๐‘” โŠฅ โ„Ž maka dapat dibentuk sebuah sistem sumbu orthogonal dengan ๐‘”

sebagai sumbu X dan โ„Ž sebagai sumbu Y. ๐ด sebagai titik asal.

Ambil titik ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘‰

Perhatikan Gambar 7.2

Page 4: Makalah setengah putaran

4

Ditunjukkan bahwa untuk setiap ๐‘ƒ berlaku ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ)

Andaikan ๐‘ƒ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) โ‰  ๐ด dan ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1)

Karena ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ maka ๐ด titik tengah ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒ sehingga

(0,0) = (๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ

2,๐‘ฆ1 + ๐‘ฆ

2)

Diperoleh ๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ = 0 โŸบ ๐‘ฅ1 = โˆ’๐‘ฅ dan ใ€ฑ1 + ๐‘ฆ = 0 โŸบ ๐‘ฆ1 = โˆ’๐‘ฆ

Artinya ใ€ฑ๐ด(๐‘ƒ) = (โˆ’๐‘ฅ, โˆ’๐‘ฆ) โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ(1)

Komposisi pencerminan

๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ) = ๐‘€๐‘”[๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ)]

= ๐‘€๐‘”(โˆ’๐‘ฅ, ๐‘ฆ)

= (โˆ’๐‘ฅ, โˆ’๐‘ฆ)

Artinya ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ) = (โˆ’๐‘ฅ, โˆ’๐‘ฆ) โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh _๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ).

Jadi, ๐‘†๐ด = ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž

b) Kasus II : ๐‘ƒ = ๐ด

Menurut Definisi, ๐‘†๐ด(๐ด) = ๐ด โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ(1*)

๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž(๐ด) = ๐‘€๐‘”(๐ด) = ๐ด โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.(2*)

Dari persamaan (1*) dan (2*) diperoleh ๐‘†๐ด(๐ด) = ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž(๐ด).

Jadi, ๐‘†๐ด = ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž.

Teorema 7.2

Jika ๐’ˆ dan ๐’‰ dua garis yang tegak lurus maka ๐‘ด๐’ˆ๐‘ด๐’‰ = ๐‘ด๐’‰๐‘ด๐’ˆ

Bukti

๐ด

๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ(โˆ’๐‘ฅ, โˆ’๐‘ฆ)

๐‘ƒโ€ฒ(โˆ’๐‘ฅ, ๐‘ฆ) P(x,y)

โ„Ž

๐‘” ๐‘‹

Page 5: Makalah setengah putaran

5

a) Kasus I : ๐‘ƒ โ‰  ๐ด

Karena ๐‘ƒ โ‰  ๐ด, maka ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ) = ๐‘†๐ด(๐‘ƒ).

๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘”(๐‘ƒ) = ๐‘€โ„Ž (๐‘€๐‘”(๐‘ƒ)) = แ’โ„Ž((๐‘ฅ, โˆ’๐‘ฆ)) = (โˆ’๐ท, โˆ’๐‘ฆ) =ใ€ฐ๐ด(๐‘ƒ).

diperoleh ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ) = ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘”(๐‘ƒ)

Jadi, ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž = ๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘”

b) Kasus II : ๐‘ƒ = ๐ด

Karena ๐‘ƒ = ๐ด, maka ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž(๐ด) = ๐‘€๐‘”(๐ด) = ๐ด

๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘”(๐ด) = ๐‘€โ„Ž(๐ด) = ๐ด

Sehingga diperoleh ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž(๐ด) = ๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘”(๐ด).

Jadi, ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž = ๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘”.

Teorema 7.3

Jika ๐‘บ๐‘จ setengah putaran, maka ๐‘บโˆ’๐Ÿ๐‘จ = ๐‘บ๐‘จ.

Bukti

Andaikan ๐‘” dan โ„Ž dua garis yang tegak lurus maka ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž = ๐‘†๐ด dengan ๐ด

titik potong antara ๐‘” dan โ„Ž.

(๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž)โˆ’1 = ๐‘€โˆ’1โ„Ž๐‘€โˆ’1

๐‘” = ๐‘†โˆ’1๐ด.

Karena ๐‘€โˆ’1โ„Ž = ๐‘€โ„Ž dan ๐‘€โˆ’1

๐‘” = ๐‘€๐‘” maka ๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘” = ๐‘†โˆ’1๐ด.

Karena ๐‘” โŠฅ โ„Ž, maka menurut teorema 7.2, ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž = ๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘”.

Sedangkan menurut teorema 7.1, ๐‘†๐ด =ใฆ๐‘”๐‘€โ„Ž.

Sehingga diperoleh ๐‘†โˆ’1๐ด = ๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘” = ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž = ๐‘†๐ด.

Jadi, ๐‘†โˆ’1๐ด = ๐‘†๐ด.

Teorema 7.4

Jika ๐‘จ = (๐’‚, ๐’ƒ) dan ๐‘ท = (๐’™, ๐’š) maka ๐‘บ๐‘จ(๐‘ท) = (๐Ÿ๐’‚ โˆ’ ๐’™, ๐Ÿ๐’ƒ โˆ’ ๐’š).

Bukti

a) Kasus I : ๐‘ƒ โ‰  ๐ด

Misalkan ๐‘ƒ" = (๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1) dan ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒ" maka ๐ด titik tengah ๐‘ƒ๐‘ƒ" sehingga

diperoleh

(๐‘Ž, ๐‘) = ((๐‘ฅ1+๐‘ฅ

2) , (

๐‘ฆ1+๐‘ฆ

2))

Page 6: Makalah setengah putaran

6

Maka ๐‘ฅ1+๐‘ฅ

2= ๐‘Ž dan

๐‘ฆ1+๐‘ฆ

2= ๐‘ sehingga diperoleh

๐‘ฅ1+๐‘ฅ

2= ๐‘Ž โŸบ ๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ = 2๐‘Ž โŸบ ๐‘ฅ1 = 2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..(1*)

๐‘ฆ1+๐‘ฆ

2= ๐‘ โŸบ ๐‘ฆ1 + ๐‘ฆ = 2๐‘ โŸบ ๐‘ฆ1 = 2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ(2*)

Dari persamaan (1*) dan (2*) maka (๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1) = ( 2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ), (2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)

Karena ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒ", maka ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1) = ( 2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ), (2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)

Jadi, ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ, 2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ).

b) Kasus II : ๐‘ƒ = ๐ด

Karena ๐‘ƒ = ๐ด, maka (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (๐‘Ž, ๐‘) artinya ๐‘Ž = ๐‘ฅ dan ๐‘ = ๐‘ฆ.

โž๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘†๐ด(๐ด) = ๐ด = (๐‘Ž, ๐‘)

(๐‘Ž, ๐‘) = ((2๐‘Ž โˆ’ ๐‘Ž), (2๐‘ โˆ’ ๐‘))

= ((2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ), (2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))

Jadi, ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ, 2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ).

7.2 Lanjutan Setengah Putaran

Kita ingat kembali tentang refleksi atau pencerminan.

Definisi refleksi atau pencerminan ialah

1. gAAAM g ,

2. 'PPM g , yang bersifat g adalah sumbu ruas garis 'PP

Jelas bahwa gA yang dicerminkan terhadap garis g maka A berimpit dengan

petanya. Titik yang demikian dinamakan titik tetap (invariant) refleksi.

Definisi

A dinamakan titik tetap (invariant) transformasi T apabila berlaku T(A) = A

Dari definisi tersebut, kita dapat memperoleh fakta bahwa sebuah refleksi garis g

memiliki tak hingga banyaknya titik tetap yaitu semua titik pada sumbu refleksi g

itu sendiri. Sedangkan pada sebuah setengah putaran di P (Sp), maka satu-satunya

titik varian adalah P, sebab Sp(P) = P dan Sp(X) = Xโ€™ dengan PX dan P titik

tengah ruas garis 'XX .

Page 7: Makalah setengah putaran

7

Definisi

Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis

dinamakan kolineasi

Karena setiap isometric adalah suatu kolineasi maka refleksi dan setengah putaran

adalah suatu kolineasi. Diantara kolineasi tersebut ada yang disebut dilatasi

Definisi

Suatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi jika untuk setiap garis g berlaku

sifat โˆ†(๐‘”)//๐‘”.

Teorema 7.5

Andaikan SA suatu setengah putaran, dan g sebuah garis. Apabila ๐‘จ โˆ‰

๐’ˆ, ๐’Ž๐’‚๐’Œ๐’‚ ๐‘†๐ด(๐‘”)//๐‘”

Diketahui : SA sebuah garis g, gA

Buktikan bahwa ๐‘†๐ด(๐‘”)//๐‘”

Bukti :

Misal ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘”, ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘„ โˆˆ ๐‘”

karena P โˆˆ g maka A titik tengah PPโ€ฒ dengan Pโ€ฒ = SA(P)

karena Q โˆˆ g maka A titik tengah QQโ€ฒ dengan Qโ€ฒ = SA(Q)

Perhatikan โˆ†APQโ€ฒ dan โˆ†AQPโ€ฒ

Untuk membuktikan bahwa gโ€ฒ โˆ•โˆ• g maka harus ditunjukkan

โˆ†APQโ€ฒ dan โˆ†AQPโ€ฒ adalah kongruen.

m(< ๐‘ƒ๐ดQโ€ฒ) = m(< ๐‘„๐ดPโ€ฒ) (sudut bertolak belakang)

PA = APโ€ฒ ( karena A titik tengah PPโ€ฒ )

P Q

๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒ

๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”)

A

๐‘†๐ด(๐‘„) = ๐‘„โ€ฒ

๐‘”

Page 8: Makalah setengah putaran

8

QA = AQ ( karena A titik tengah QQโ€ฒ )

Menurut definisi kekongruenan (S Sd S)

sehingga โˆ†APQโ€ฒ โ‰… โˆ†AQPโ€ฒ

Karena โˆ†APQโ€ฒ โ‰… โˆ†AQPโ€ฒ maka PQโ€ฒ = QPโ€ฒ

Karena PQโ€ฒ = QPโ€ฒ maka gโ€ฒ โˆ•โˆ• g

Jadi, ๐‘†๐ด(๐‘”)//๐‘”

Contoh

Diketahui dua garis g dan h tidak sejajar. A sebuah titik yang tidak terletak pada g

atau h. Tentukan semua titik X pada g dan semua titik Y pada h sehingga A titik

tengah ruas garis XY .

Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar

hAgA ,

Ditanya : tentukan semua XYgah titik ten, AhYgX

Jawab :

Ambil gP

Jika PSP A' maka gSg A' melalui Pโ€™ dan PA=APโ€™, gโ€™//g

Jika gโ€™ memotong h di Y

Tarik YA memotong g di X

Maka X dan Y pasangan titik yang dicari

Ilustrasi :

Dari contoh di atas, buktikan bahwa X dan Y satu-satunya pasangan yang

memenuhi persyaratan, dan jika tidak menggunakan gSg A' tapi hSh A''

apakah akan memperoleh pasangan lain lalu jelaskan hal tersebut

A

gโ€™

g P

Pโ€™ Y

X

h

Page 9: Makalah setengah putaran

9

Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar

hAgA , ,

Ditanya : Adb X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan.

Bukti :

Ambil ๐‘” ๐‘ก๐‘–๐‘‘๐‘Ž๐‘˜ ๐‘ ๐‘’๐‘—๐‘Ž๐‘—๐‘Ž๐‘Ÿ โ„Ž, ๐‘” ๐‘ก๐‘–๐‘‘๐‘Ž๐‘˜ ๐‘ก๐‘’๐‘”๐‘Ž๐‘˜ ๐‘™๐‘ข๐‘Ÿ๐‘ข๐‘  โ„Ž, ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐ด โˆ‰ โ„Ž

Karena ๐ด โˆ‰ โ„Ž, ๐‘š๐‘Ž๐‘˜๐‘Ž ๐‘†๐ด(โ„Ž) = โ„Žโ€ฒ โˆ•โˆ• โ„Ž

โ„Žโ€ฒ akan memotong ๐‘” di titik ๐‘‹, sehingga ๐‘‹ โˆˆ โ„Žโ€ฒ

karena ๐‘†๐ด(โ„Ž) = โ„Žโ€ฒ โˆ•โˆ• โ„Ž, maka ๐‘†๐ด(๐‘‹) = ๐‘Œ โˆˆ โ„Ž

Karena titik potong dari dua garis atau lebih akan hanya ada satu titik potong,

Maka ๐‘‹ dan ๐‘Œ satu-satunya pasangan .

sehingga ๐‘‹ โˆˆ โ„Žโ€ฒ, ๐‘‹ โˆˆ ๐‘”, ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹๐‘Œ, ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘Œ โˆˆ โ„Ž, ๐‘Œ โˆˆ ๐‘”โ€ฒ, ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‹๐‘Œ

jadi, ๐‘‹ dan ๐‘Œ satu-satunya pasangan.

Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar

hAgA , , hSh A''

Ditanya : Apakah ada pasangan lain yang memenuhi persyaratan selain X

dan Y.

Bukti :

Teorema 7.6

Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda, tidak memiliki

titik tetap

Bukti :

Misal BAVBA ,,

โ„Ž โ„Žโ€ฒ

๐‘”โ€ฒ

๐‘” ๐ด

๐‘Œ

๐‘‹

Page 10: Makalah setengah putaran

10

Akan dibuktikan BASS tidak memiliki titik tetap

Misal g = AB

h AB di A, k AB di B

Akan ditunjukkan BASS = khMM

Karena hgA MMS , kgB MMS

Maka BASS = kghg MMMM

kh

kh

kggh

kggh

kghg

kghg

MM

MIM

MMMM

MMMM

MMMM

MMMM

Akan ditunjukkan BASS tidak memiliki titik tetap

Misal X titik varian BASS

Jadi BASS (X) = X sehingga XXMM kh

Jadi

2... )(

1 ... )(

XMXMMM

XMXMMM

hkhh

hkhh

Dari (1) dan (2) diperoleh

XMXMXIMXM khkh

Misal 1XXMk

(i) Kasus 1 ( 1XX )

Misal khXX 1

Karena h dan k adalah sumbu ruas garis XX1 dan ruas garis hanya

memiliki satu sumbu maka h=k

Hal ini tidak mungkin sebab BA

(ii) Kasus 2 ( 1XX )

Misal 1XX

Maka Mh(X)=X dan Mk(X)=X

Jadi XhXkX din berpotongak h, ,

Page 11: Makalah setengah putaran

11

Hal ini tidak mungkin sebab h//k

Jadi, tidak mungkin ada sebuah titik X sehingga

XXSSXMXM BAkh atau .

Jadi, BASS tidak memiliki titik tetap.

Ilustrasi teorema 7.6

Teorema 7.7

Jika BA adalah dua titik maka hanya ada satu setengah putaran yang

memetakan A pada B

Bukti :

Dipunyai BA

Akan dibuktikan BAST dengan T titik tengah ruas garis AB

Misal ada dua setengah putaran SD dan SE sehingga BABASD ESdan

Jadi AASD ES

Maka ASASS DDD E

11 S

Karena S-1D=SD maka ASA D ES

Jadi jika ED , maka berarti bahwa A adalah titik tetap dari EDSS

Hal ini tidak mungkin ada lebih dari satu setengah putaran yang memetakan A

pada B. Satu-satunya setengah putaran adalah ST(A) = B dengan T titik tengah

ruas garis AB

Teorema 7.8

Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik

Dipunyai titik VP

g

h k

A B

Page 12: Makalah setengah putaran

12

Akan dibuktikan

(1) g sebuah garis ggSP //

(2) ISS PP dengan I transformasi identitas

Bukti :

(1) Jelas SP(g) = gโ€™ suatu garis.

Misal gBgA ,

Maka ',' gBgA dan PA = PAโ€™, PB = PBโ€™

Karena PA = PAโ€™, PB = PBโ€™, dan ''PBAmAPBm sehingga

BPAPAB ' (s sd s)

Jelas BAPmPABm ''

Jadi g//SP(g) dan SP sebuah dilatasi

(2) Karena AASASS ppp ' , maka gIgSSgA PP

Jadi, ISS PP .

Hal ini berarti SP bersifat involuntorik

Dari pernyataan (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa SP sebuah dilatasi bersifat

involuntorik. Atau dengan kata lain suatu setengah putaran adalah suatu

dilatasi yang bersifat involutorik.

Ilustrasi :

Teorema 7.9

Apabila T suatu transformasi. H himpunan titik-titik dan A sebuah titik,

maka HATHTA 1

Bukti :

B

A

Bโ€™

Aโ€™

P

SP(g)=gโ€™

g

Page 13: Makalah setengah putaran

13

Dipunyai T transformasi, H himpunan titik-titik, A sebuah titik

Akan dibuktikan HATHTA 1

Ambil HTA

Jadi XTAHX

maka XXIXTTXTTAT 111

Jadi, HAT 1

Ambil HAT 1

Hal ini berarti HTAatau 1 HTATT

Contoh :

Dipunyai : 164, 22 yxyxE

Misal A = (4,-3) dan C = (3,1)

g adalah sumbu X

Ditanya : Selidiki apakah ESMA cg

Jawab :

Jelas gcgccg MSMSSM 111

Ambil P = (x,y)

Jelas yxPMyxP g ,,

Jelas yxyxPSc 2,61.2,3.2

Jadi yxyxSPMSPSM cgccg

2,6,1

Sehingga 1,232,463,411

cgcg SMASM

Karena EASM cg

1,21

maka berarti bahwa ESMA cg

Jadi, ESMA cg

Dengan cara serupa, kita dpat menentukan persamaan peta suatu himpunan

apabila persamaan himpunan tela diketahui.

Page 14: Makalah setengah putaran

14

Menurut teorema 7.9, HATHTA 1. Jika transformasi T adalah

ESM cg dengan 164, 22 yxyxE , maka

EPSMESMP cgcg 1

. Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan

sebelumnya, jika yxP , maka yxPSM cg

2,61

Jadi, 164,2,6 221

yxyxyxEPSM cg

Jadi haruslah 1624622 yx

Hal ini berarti bahwa 03616124, 22 yxyxyxPESMP cg

Sehingga diperoleh fakta bahwa 03616124 22 yxyx adalah persamaan

peta E oleh transformasi cgSM .

Latihan Soal halaman 68

1. Diket : titik A, B, P tak segaris dan berbeda.

Lukis :

a. ๐‘†๐ด(๐‘ƒ)

b. ๐‘… โˆ‹ ๐‘†๐ต(๐‘…) = ๐‘ƒ

c. ๐‘†๐ด๐‘†๐ต(๐‘ƒ)

d. ๐‘†๐ต๐‘†๐ด(๐ท)

e. ๐‘†๐ด2(๐‘ƒ)

Lukisan :

a. ๐‘†แ’(๐‘ƒ)

b. ๐‘… โˆ‹ ๐‘†๐ต(๐‘…) = ๐‘ƒ

๐‘†๐ด(๐‘ƒ)

B

P

A

Page 15: Makalah setengah putaran

15

c. ๐‘†๐ด๐‘†๐ต(๐‘ƒ)

d. ๐‘†๐ต๐‘†๐ด(๐‘ƒ)

e. ๐‘†๐ด2(๐‘ƒ)

2. Diket : garis ๐‘” dan titik ๐ด, ๐ด โˆ‰ ๐‘”

Ditanya :

a) Lukisan garis ๐‘”1 = ๐‘†๐ด(๐‘”) dan mengapa ๐‘” sebuah garis?

b) Buktikan bahwa ๐‘”โ€ฒ//๐‘”.

Jawab :

== ๐‘†๐ด2(๐‘ƒ)

๐‘†๐ต๐‘†๐ด(๐‘ƒ)

B

P

A

R

B

P

A

R

๐‘†๐ด๐‘†๐ต(๐‘ƒ)

B

P

A

๐‘†๐ด(๐‘ƒ)

B

P

A

๐‘†๐ด(๐‘ƒ)

Page 16: Makalah setengah putaran

16

a. ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”)

Karena ๐‘” sebuah garis, maka ๐‘†๐ด(๐‘”) juga merupakan sebuah garis

(isometri).

b. ๐‘”โ€ฒ โˆ•โˆ• ๐‘”

Bukti :

๐‘ƒ โˆˆ ๐‘”, ๐‘„ โˆˆ ๐‘”

karena ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘” maka A titik tengah ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒ dengan ๐‘ƒโ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘ƒ)

karena ๐‘„ โˆˆ ๐‘” maka A titik tengah ๐‘„๐‘„โ€ฒ dengan ๐‘„โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘„)

Perhatikan โˆ†๐ด๐‘ƒ๐‘„โ€ฒ ๐‘‘๐‘Ž๐‘› โˆ†๐ด๐‘„๐‘ƒโ€ฒ

Untuk membuktikan bahwa ๐‘”โ€ฒ โˆ•โˆ• ๐‘” maka harus ditunjukkan

โˆ†๐ด๐‘ƒ๐‘„โ€ฒ ๐‘‘๐‘Ž๐‘› โˆ†๐ด๐‘„๐‘ƒโ€ฒ adalah kongruen.

๐‘š(< ๐‘ƒ๐ด๐‘„โ€ฒ) = ๐‘š(< ๐‘„๐ด๐‘ƒโ€ฒ) (sudut bertolak belakang)

๐‘ƒ๐ด = ๐ด๐‘ƒโ€ฒ ( karena A titik tengah ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒ )

๐‘„โ€ฒ๐ด = ๐ด๐‘„ ( karena A titik tengah ๐‘„๐‘„โ€ฒ )

Menurut definisi kekongruenan (S Sd S)

sehingga โˆ†๐ด๐‘ƒ๐‘„โ€ฒ โ‰… โˆ†๐ด๐‘„๐‘ƒโ€ฒ

Karena โˆ†๐ด๐‘ƒ๐‘„โ€ฒ โ‰… โˆ†๐ด๐‘„๐‘ƒโ€ฒ maka ๐‘ƒ๐‘„โ€ฒ = ๐‘„๐‘ƒโ€ฒ

Karena ๐‘ƒ๐‘„โ€ฒ = ๐‘„๐‘ƒโ€ฒ maka ๐‘”โ€ฒ โˆ•โˆ• ๐‘”

3. Diket : โˆ†๐ด๐ต๐ถ dan jajargenjang ๐‘Š๐‘‹๐‘Œ๐‘, K terletak diluar daerah โˆ†๐ด๐ต๐ถ

dan diluar jajargenjang ๐‘Š๐‘‹๐‘Œ๐‘.

Ditanya :

a) Lukisan ๐‘†๐พ(โˆ†๐ด๐ต๐ถ)

b) Titik J โˆ‹ ๐‘†๐ฝ(๐‘Š๐‘‹๐‘Œ๐‘) = ๐‘Š๐‘‹๐‘Œ๐‘

Jawab :

a) Lukisan ๐‘†๐พ(โˆ†๐ด๐ต๐ถ)

P Q

๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒ

๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”)

A

๐‘†๐ด(๐‘„) = ๐‘„โ€ฒ

๐‘”

Page 17: Makalah setengah putaran

17

b) ๐‘† (๐‘Š๐‘‹๐‘Œ๐‘) = ๐‘Š๐‘‹๐‘Œ๐‘

4. Diket : titik-titik A, B, C tak segaris

Lukis :

a) Garis ๐‘” dan โ„Ž sehingga ๐‘€๐‘”(๐ต) = ๐ต dan ๐‘†๐ด = ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž

b) Garis ๐‘˜ dan ๐‘š sehingga ๐‘€โˆ’1๐‘˜(๐ถ) = ๐ถ dan ๐‘†๐ด = ๐‘€๐‘˜๐‘€๐‘š

Lukisan :

a) ๐‘€๐‘”(๐ต) = ๐ต dan ๐‘†๐ด =ใฆ๐‘”๐‘€โ„Ž

b) ๐‘€โˆ’1๐‘˜(๐ถ) = ๐ถ dan ๐‘†@ = ๐‘€๐‘˜๐‘€๐‘š

5. Diket : A = (2,3)

Ditanya:

a. SA( C ) apabila C = (2,3)

b. SA( D ) apabila D = (-2,7)

c. SA( E ) apabila E= (4,-1)

d. SA( P ) apabila P = (x,y)

Jawab:

W X

Y Z

Cโ€™ Aโ€™

Bโ€™

K

B

C A

๐‘”

๐ด โ„Ž

๐ต

Page 18: Makalah setengah putaran

18

a. C = (2,3)

SA( C ) = (2.2 - 2, 2.3 - 3)

= (2,3)

b. D = (-2,7)

SA( D ) = (2.2-(-2), 2.3-7)

= (6,-1)

c. E= (4,-1)

SA( E ) = (2.2-4, 2.3-(-1))

= (0,7)

d. P = (x,y)

SA( P ) = (2.2-x, 2.3-y)

= (4-x, 6-y)

6. Diket : B = (1, -3)

Tentukan :

a. SB(D) apabila D (-3, 4)

b. E apabila SB(E) = (-2, 5)

c. SB(P) apabila P = (x, y)

Jawab :

a. D (-3, 4)

SB(D) = (2.1-(-3), 2.(-3)-4)

= (5, -10)

b. SB(E) = (-2, 5)

Misal E = (x, y)

Maka, 2.1 - x = -2 2.(-3) - y = 5

โ‡”2 โ€“ x = -2 โ‡” -6 - y = 5

โ‡” x = 4 โ‡” y = -11

jadi, E = (4, -11)

c. P= (x, y)

SB(P) = (2.1- x, 2.(-3) - y)

= (2 - x, - 6 - y)

7. Diket : D = (0, -3) dan B = (2, 6)

a. SB(B) = (2.2 - 2, 2.6 - 6)

Page 19: Makalah setengah putaran

19

= (2, 6)

SDSB(B) = SD(2,6)

= (2.0 - 2, 2.(-3) โ€“ 6)

= (-2, -12)

b. K = (1, -4)

SB(K) = (2.2-1, 2.6 - (-4)

= (3, 16)

SDSB(K) = SD(3,16)

= (2.0 - 3, 2.(-3) - 16)

= (-3, -22)

c. SD(K) = (2.0 - 1, 2.(-3) - (-4))

= (-1, -2)

SBSD(K) =SB(-1, -2)

= (2.2 - (-1), 2.6 - (-2))

= (5, 14)

d. Menurut teorema 7.3

jika SA setengah putaran, maka S-1A = SA

maka, SD-1 (K) = SD(K) = (-1,-2)

Dan, SB-1(K) = SB(K)

Sehingga, (SDSB)-1 (K) = SB-1SD

-1 (K)

= SB-1(-1, -2)

= SB(-1, -2)

= (2.2 - (-1), 2.6 - (-2))

= (5, 14)

e. P = (x, y)

SB(P) = (2.2 โ€“ x, 2.6 โ€“ y)

= (4 โ€“ x, 12 โ€“ y)

SDSB(P) = SD(4 โ€“ x, 12 โ€“ y)

= (2.0 โ€“ (4 โ€“ x), 2.(-3) โ€“ (12 โ€“ y))

= ( - 4 + x, - 6 โ€“ 12 + y)

=(x - 4, y - 18)

8. Diket : C = (โˆ’4,3)

Page 20: Makalah setengah putaran

20

๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฆ = โˆ’๐‘ฅ}

Tentukan :

a. ๐‘€๐‘”๐‘†๐‘(2, โˆ’1)

b. ๐‘€๐‘”๐‘†๐ถ(๐‘ƒ) jika ๐‘ƒ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)

c. (๐‘€๐‘”๐‘†๐ถ)โˆ’1(๐‘ƒ), apakah ๐‘€๐‘”๐‘†๐‘ = ๐‘†๐‘ = แ’๐‘๐‘€๐‘”?

Jawab :

a. ๐‘€๐‘”๐‘†๐‘(2, โˆ’1) = ๐‘€๐‘”(2. (โˆ’4) โˆ’ 2,2.3โ€” 1)

= ๐‘€๐‘”(โˆ’10,7)

= (โˆ’7,10)

b. ๐‘ƒ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)

๐‘€๐‘”๐‘†๐ถ(๐‘ƒ) = ๐‘€๐‘”(2. (โˆ’4) โˆ’ ๐‘ฅ, 2.3 โˆ’ ๐‘ฆ)

= ๐‘€๐‘”(โˆ’8 โˆ’ ๐‘ฅ, 6 โˆ’ ๐‘ฆ)

= (๐‘ฆ โˆ’ 6, ๐‘ฅ + 8)

c. (๐‘€๐‘”๐‘†๐ถ)โˆ’1(๐‘ƒ) = (๐‘†๐ถโˆ’1๐‘€๐‘”

โˆ’1)(๐‘ƒ)

Berdasarkan teorema 7.3 dan 6.3 diperoleh ๐‘†๐ดโˆ’1 = ๐‘†๐ด dan

๐‘€๐‘”โˆ’1 = ๐‘€๐‘”, sehingga diperoleh

(๐‘€๐‘”๐‘†๐ถ)โˆ’1(๐‘ƒ) = (๐‘†๐ถโˆ’1๐‘€๐‘”

โˆ’1)(๐‘ƒ)

= (๐‘†๐ถ๐‘€๐‘”)(๐‘ƒ)

= ๐‘†๐ถ๐‘€๐บ(้จด, ๐‘Œ)

= ๐‘†๐ถ(โˆ’๐‘ฆ, โˆ’๐‘ฅ)

= (2. (โˆ’4)โ€” ๐‘ฆ), 2.3โ€” ๐‘ฅ

= (๐‘ฆ โˆ’ 8, 6 + ๐‘ฅ)

9. a. SA(K) = SA(J)

Misal K = (x, y), A = (a, b), J = (u, v)

SA(K) = (2a โˆ’ x, 2b โˆ’ y)

SA(K) = (2a โˆ’ u, 2b โˆ’ v)

Karena SA(K) = SA(J) sehingga

2a โˆ’ x = 2a โˆ’ u

โ‡” โˆ’x = โˆ’u

Page 21: Makalah setengah putaran

21

โ‡” x = u

dan

2b โˆ’ y = 2b โˆ’ v

โ‡” โˆ’y = โˆ’v

โ‡” y = v

Sehingga K(x, y) = J(u, v)

Jadi K = J

b. SA(D) = SB(D)

Misal ๐ด = (๐‘Ž, ๐‘)

๐ต = (๐‘, ๐‘‘)

๐ท = (๐‘ฅ, ๐‘ฆ)

Karena SA(D) = SB(D)

maka (2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ, 2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) = (2๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ, 2๐‘‘ โˆ’ ๐‘ฆ)

diperoleh 2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ = 2๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ

โ‡” 2๐‘Ž = 2๐‘

โ‡” ๐‘Ž = ๐‘

dan 2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ = 2๐‘‘ โˆ’ ๐‘ฆ

โŸบ 2๐‘ = 2๐‘‘

โŸบ ๐‘ = ๐‘‘

Karena ๐‘Ž = ๐‘ dan ๐‘ = ๐‘‘

Maka (๐‘Ž, ๐‘) = (๐‘,ๆ•ก) sehingga ๐ด = ๐ต

Jadi dapat ditarik suatu akibat yaitu ๐ด = ๐ต

c. SA(E) = E โŸน Misal A(a, b), E(x, y)

SA(E) = (2a โˆ’ x, 2b โˆ’ y)

Karena SA(E) = E maka

(2a โˆ’ x, 2b โˆ’ y) = (x, y)

diperoleh

2a โˆ’ x = x

โŸบ 2a = 2x

โŸบ a = x

dan

2b โˆ’ y = y

Page 22: Makalah setengah putaran

22

โŸบ 2b = 2y

โŸบ b = y

Sehingga A(a, b) = E(x, y)

Jadi A = E

10. a) Dipunyai : ABBA SSSSBA ,

Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar

Jawab :

Ambil ),(,,,, yxPVdcBVbaA

1... 22,22

22,22

2,2

ydbxca

ydbxca

ydxcSA

2... 22,22

22,22

22,22

2,2

ydbxca

ybdxac

ybdxac

ybxaSB

Dari (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa

ABBA SSSS

ydbxcaydbxca

22,2222,22

Jadi, ABBA SSSSBA , merupakan pernyataan yang salah

b) Dipunyai : setiap setengah putaran adalah suatu isometric langsung

Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar

Jawab :

Menurut definisi suatu transformasi isometric langsung apabila

transformasi itu mengawetkan orientasi.

Ambil tiga titik tak segaris feCdcBbaA ,,,,, dan tiga titik tersebut

membentuk segitiga ABC

Akan ditunjukan ABC orientasinya sama dengan Aโ€™Bโ€™Cโ€™ dengan

Aโ€™=T(A),Bโ€™=T(B), Cโ€™=T(C)

Misal P(x,y) titik pusat setengah putaran

PSS BA

PSS AB

Page 23: Makalah setengah putaran

23

c) Dipunyai : hSSgSShg BABA

Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar

Jawab :

d) Dipunyai : ABBABSBASA AB 2, 1111

Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar

Jawab :

Ambil 2211 ,,, yxByxA

221

2

21 yyxxAB

2121221

1212111

2,2,

2,2,

yyxxyxSBSB

yyxxyxSASA

AA

BB

AB 3

3

99

3333

2222

2222

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

2112

2

2112

2

2112

2

211211

yyxx

yyxx

yyxx

yyyyxxxx

yyyyxxxxBA

Jadi, ABBABSBASA AB 3, 1111

Jadi, ABBABSBASA AB 2, 1111 merupakan pernyataan salah

e) Dipunyai : PPSggSPAgPgA AA ,,,

Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar

Jawab :

Jelas gAP

Ambil A(a,b), P(x,y)

Akan ditunjukan bahwa PPSggS AA ,

yxPPS

gPybxaPS

A

A

, Jadi,

'2,2

Karena gA , maka ggSgPPSgAAS AAA ',

Page 24: Makalah setengah putaran

24

Jadi, PPSggSPAgPgA AA ,,, merupakan pernyataan

salah.

11. Diket: A = (โˆ’1,0)

Ditanya: Tentukan persamaan garis-garis ๐‘” dan โ„Ž sehingga

๐ต(3,4) โˆˆ ๐‘” dan ๐‘†๐ด = ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž

Jawab:

๐‘†๐ด = ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž โ‡’ ๐‘” โŠฅ โ„Ž โ‡’ ๐‘š๐‘”. ๐‘šโ„Ž = โˆ’1 โŸบ ๐‘š๐‘” =1

๐‘šโ„Ž

misal ๐‘” โŸน ๐‘ฆ = ๐‘š๐‘”๐‘ฅ + ๐ถ

โ„Ž โŸน ๐‘ฆ = ๐‘šโ„Ž๐‘ฅ + ๐ถ

titik potong g dan h ada di A(โˆ’1,0)

A titik potong g dan h

B(3,4) โˆˆ g

Sehingga A dan B โˆˆ g

Persamaaan garis g melalui A(โˆ’1,0) dan B(3,4)

g:y โˆ’ y1

y2 โˆ’ y1=

x โˆ’ x1

x2 โˆ’ x1

โ‡”y โˆ’ 4

0 โˆ’ 4=

x โˆ’ 3

โˆ’1 โˆ’ 3

โ‡”y โˆ’ 4

โˆ’4=

x โˆ’ 3

โˆ’4

โŸบ y โˆ’ 4 = x โˆ’ 3

โŸบ y = x + 1 โŸน mg = 1

Karena mg. mh = โˆ’1 dan mg = 1 maka mh = โˆ’1

h melalui (โˆ’1,0) dan bergradien -1

y โˆ’ y1 = m(x โˆ’ x1)

y โˆ’ 0 = โˆ’1(x + 1)

y = โˆ’x โˆ’ 1

Jadi g: y = x + 1

h: y = โˆ’x โˆ’ 1

13. Diketahui : titik VBA , , garis g

Page 25: Makalah setengah putaran

25

Titik R,S,T berbeda dan tak segaris sehingga ganda (R,S,T)

memiliki orientasi positif

Ditanya : Apakah dapat dikatakan tentang peta ganda tersebut oleh

transformasi :

a. SA

b. SA SB

c. MgSA

d. SAMgSB

e. S-1A

f. (MgSB)-1

Selesaian :

14. Diketahui:tiga titik A, B, C

Buktikan:(๐‘†๐ด๐‘†๐ต)โˆ’1 = ๐‘†๐ต๐‘†๐ด

Bukti:

Adb (๐‘†๐ด๐‘†๐ต)โˆ’1 = ๐‘†๐ต๐‘†๐ด

(๐‘†๐ด๐‘†๐ต)โˆ’1 = ๐‘†๐ตโˆ’1๐‘†๐ด

โˆ’1

Menurut teorema 7.3 โ€œ๐‘—๐‘–๐‘˜๐‘Ž ๐‘†๐ด ๐‘ ๐‘’๐‘ก๐‘’๐‘›๐‘”๐‘Žโ„Ž ๐‘๐‘ข๐‘ก๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘›, ๐‘š๐‘Ž๐‘˜๐‘Ž ๐‘†๐ดโˆ’1 = ๐‘†๐ดโ€

Jadi SBโˆ’1 = SB dan SA

โˆ’1 = SA

Karena ๐‘†๐ตโˆ’1 = ๐‘†ใ€ฑ ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘†๐ด

โˆ’1 = ๐‘†๐ด

Maka (๐‘†๐ด๐‘†๐ต)โˆ’1 = ๐‘†๐ตโˆ’1๐‘†๐ด

โˆ’1 = ๐‘†๐ต๐‘†๐ด

Jadi, terbukti bahwa (SASB)โˆ’1 = SBSA

15. Diketahui : MgSA, MgSAMh, SAMh,SB, T-1SA dengan T suatu transformasi

sebarang

Ditanya : tentukan dan sederhanakan balikannya

Selesaian :

a) hhgghgAgAAg MIMMMMMSMSSM

11111

b) ISSSSSSSMMMSM AAAAAAAhghAg 111111

c) AhBAhBhABBhABhA SMSSMSMSSSMSSMS11111111

Page 26: Makalah setengah putaran

26

gBghhBAhB MSMMMSSMS 11

Jadi, gBBhA MSSMS 1

TSTSST AAA 11111

16. a. Apabila A=(0,0), B=(-4,1), tentukanlah K sehinga ๐‘†๐ด๐‘†๐ต(๐พ) = (6,2)

b. Apabila ๐‘€๐‘”๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘…, nyatakan kootdinat P dengan koordinat-

koordinat R

Penyelesaian:

a. Diket : A=(0,0), B=(-4,1)

Ditanya : tentukanlah K sehinga ๐‘†๐ด๐‘†๐ต(๐พ) = (6,2)

Jawab :

Misal ๐พ = (๐‘ฅ, ๐‘ฆ)

๐‘†๐ด๐‘†๐ต(๐พ) = (6,2)

โ‡” ๐‘†๐ด๐‘†๐ต(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (6,2)

โ‡” ๐‘†๐ด(2. (โˆ’4) โˆ’ ๐‘ฅ, 2.1 โˆ’ ๐‘ฆ) = (6,2)

โ‡” ๐‘†๐ด(โˆ’8 โˆ’ ๐‘ฅ, 2 โˆ’ ๐‘ฆ) = (6,2)

โ‡” (2.0 โˆ’ (โˆ’8 โˆ’ ๐‘ฅ), 2.0 โˆ’ (2 โˆ’ ๐‘ฆ) = (6,2)

โ‡” (8 + ๐‘ฅ, ๐‘ฆ โˆ’ 2) = (6,2) โ‡’ 8 + ๐‘ฅ = 6 โ‡” ๐‘ฅ = โˆ’2

๐‘ฆ โˆ’ 2 = 2 โ‡” ๐‘ฆ = 4

Jadi, ๐พ(โˆ’2,4)

b. Diket : ๐‘€๐‘”๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘…

Ditanya : nyatakan kootdinat P dengan koordinat-koordinat R

Jawab :

17. Diket: Titik ๐ด(โˆ’1,4)

Garis ๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฆ = 2๐‘ฅ โˆ’ 1}

Garis โ„Ž = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฆ = โˆ’4๐‘ฅ}

Ditanya:

a. Persamaan ๐‘†๐ด(๐‘”) = ๐‘”โ€ฒ?

Page 27: Makalah setengah putaran

27

b. Persamaan ๐‘†๐ด(โ„Ž) = โ„Žโ€ฒ?

c. Persamaan ๐‘†๐ด(๐‘ ๐‘ข๐‘š๐‘๐‘ข ๐‘ฅ)?

d. Apakah titik (โˆ’5,6) terletak pada ๐‘†๐ด(๐‘”) ? jelaskan !

Jawab:

a. Ambil titik ๐บ(1,1) โˆˆ ๐‘”

ๆ›ฏ๐ด(๐‘”) =ๆ˜นโ€ฒ, ๐บ โˆˆ ๐‘”, ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘†๐ด(๐บ) = ๐บโ€ฒ

Maka ๐บโ€ฒ โˆˆ ๐‘”โ€ฒ

๐‘†๐ด(๐บ) = (2. (โˆ’1) โˆ’ 1, 2.4 โˆ’ 1)

= (โˆ’3, 7) = ๐บโ€ฒ โˆˆ ๐‘”โ€ฒ

Menurut teorema 7.5 maka ๐‘”โ€ฒ โˆ•/๐‘”

sehingga ๐‘š๐‘”โ€ฒ = ๐‘š๐‘” = 2

jadi, persamaan ๐‘”โ€ฒ melalui ๐บโ€ฒ(โˆ’3, 7) dengan ๐‘š=2

๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1 = ๐‘š(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1)

๐‘ฆ โˆ’ 7 = 2(๐‘ฅโ€” 3)

้จดโˆ’ 7 = 2๐‘ฅ + 6

๐‘ฆ = 2ใ€ฐ + 13

Jadi, ๐‘”โ€ฒ = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)| ๐‘ฆ = 2๐‘ฅ + 13}

b. Kasus I

Ambil titik ๐ป = ๐ด

๐ป(โˆ’1,4) โˆˆ โ„Ž

SA(h) = hโ€ฒ, H โˆˆ h, dan SA(H) = Hโ€ฒ

Maka Hโ€ฒ โˆˆ hโ€ฒ

SA(H) = (2. (โˆ’1) โˆ’ (โˆ’1), 2.4 โˆ’ 4)

= (โˆ’1, 4) = Hโ€ฒ โˆˆ hโ€ฒ

Menurut teorema 7.5 maka hโ€ฒ โˆ•/h

sehingga mhโ€ฒ = mh = โˆ’4

jadi, persamaan hโ€ฒ melalui Gโ€ฒ(โˆ’1, 4) dengan m = โˆ’4

y โˆ’ y1 = m(x โˆ’ x1)

y โˆ’ 4 = โˆ’4(x โˆ’ (โˆ’1))

y โˆ’ 4 = โˆ’4x โˆ’ 4

y = โˆ’4x

Jadi, hโ€ฒ = {(x, y)|y = โˆ’4}

Page 28: Makalah setengah putaran

28

Kasus II

Ambil titik ๐ป โ‰  ๐ด

๐ป(1, โˆ’4) โˆˆ โ„Ž

SA(h) = hโ€ฒ, H โˆˆ h, dan SA(H) = Hโ€ฒ

Maka Hโ€ฒ โˆˆ hโ€ฒ

SA(H) = (2. (โˆ’1) โˆ’ 1, 2.4 โˆ’ (โˆ’4))

= (โˆ’3, 12) = Hโ€ฒ โˆˆ hโ€ฒ

Menurut teorema 7.5 maka hโ€ฒ โˆ•/h

sehingga mhโ€ฒ = mh = โˆ’4

jadi, persamaan hโ€ฒ melalui Gโ€ฒ(โˆ’3, 12) dengan m = โˆ’4

y โˆ’ y1 = m(x โˆ’ x1)

y โˆ’ 12 = โˆ’4(x โˆ’ (โˆ’3))

y โˆ’ 12 = โˆ’4x โˆ’ 12

y = โˆ’4x

Jadi, hโ€ฒ = {(x, y)|y = โˆ’4}

c. Sumbu ๐‘ฅ โ‡’ ๐‘ฆ = 0 โ‡’ ๐‘”๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘–๐‘  ๐‘”

Ambil titik ๐บ(1,0) โˆˆ ๐‘” dan SA(๐‘”) = ๐‘”โ€ฒ

Maka SA(๐บ) = ๐บโ€ฒ = (2. (โˆ’1) โˆ’ 1, 2.4 โˆ’ 0) = (โˆ’3,8)

Sehingga ๐บโ€ฒ โˆˆ gโ€ฒ

Karena ๐‘”//๐‘”โ€ฒ โ‡’ ๐‘š๐‘” = ๐‘š๐‘”โ€ฒ = 0

Persamaan himpunan melalui (โˆ’3,8) dengan ๐‘š = 0

๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1 = ๐‘š(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1)

โ‡”๐‘ฆ โˆ’ 8 = 0(๐‘ฅ + 3)

โ‡” ๐‘ฆ = 8

Jadi, persamaan himpunan ๐‘†๐ด(๐‘ ๐‘ข๐‘š๐‘๐‘ข ๐‘ฅ) adalah ๐‘ฆ = 8

d. ๐‘†๐ด(๐‘”) = ๐‘”โ€ฒ = {(๐‘ฅ, แ’)|@ = 2๐‘ฅ + 13}

๐‘—๐‘–๐‘˜๐‘Ž ๐‘ฅ = โˆ’5 ๐‘š๐‘Ž๐‘˜๐‘Ž ๐‘ฆ = 2. (โˆ’5) + 13 = 3 โ‰  6

Jadi (โˆ’5,6) tidak terletak pada ๐‘†๐ด(๐‘”)

18. Diket: C = {(x, y)|x2 + (y โˆ’ 3)2 = 4

๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฆ = ๐‘ฅ}

๐ด(3,2)

Page 29: Makalah setengah putaran

29

Ditanya: Apakah ๐ท(2,5) โˆˆ ๐‘€๐‘”๐‘†๐ด(๐ถ)?

Jawab:

๐ถ = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฅ2 + (๐‘ฆ โˆ’ 3)2 = 4 dengan pusat ๐‘€(0,3) dan berjari-jari 2

๐ด(3,2)

๐‘†๐ด(๐‘€) = ๐‘€โ€ฒ = (2.3 โˆ’ 0,2.2 โˆ’ 3) = (6,1)

๐‘†๐ด(๐ถ) = ๐ถโ€ฒ

๐ถโ€ฒ adalah lingkaran dengan pusat Mโ€ฒ(6,1), jari-jari 2

Sehingga ๐ถโ€ฒ = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|(๐‘ฅ โˆ’ 6)2 + (๐‘ฆ โˆ’ 1)2 = 4}

๐‘€๐‘”(๐ถโ€ฒ) = ๐ถโ€ฒโ€ฒ

โŸบ ๐‘€๐‘”(6,1) = (1,6)

Jadi Mโ€ฒโ€ฒ(1,6) adalah pusat lingkaran Cโ€ฒโ€ฒ

๐ถโ€ฒโ€ฒ = (๐‘ฅ โˆ’ 1)2 + (๐‘ฆ โˆ’ 6)2 = 4

Jadi, MgSA(C) = Cโ€ฒโ€ฒ = (x โˆ’ 1)2 + (y โˆ’ 6)2 = 4

Jika x = 2, dan y = 5

Maka (2 โˆ’ 1)2 + (5 โˆ’ 6)2 = (1)2 + (โˆ’1)2 = 1 + 1 = 2 โ‰  4

Jadi, D(2,5) โˆ‰ MgSA(C)

20. Diket : ๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฆ = 5๐‘ฅ + 7}

๐‘ƒ = (โˆ’3,2)

Ditanya : ๐‘†๐‘ƒ(๐‘”) = ๐‘”โ€ฒ?

Jawab:

Ambil sebarang titik ๐ด(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘”

๐‘ฅ = โˆ’1 โ‡’ ๐‘ฆ = โˆ’5 + 7 = 2

Misal ๐ด(โˆ’1,2), ๐ด โˆˆ ๐‘”

๐‘†๐‘ƒ(๐ด) = (2. (โˆ’3)โ€” 1,2.2 โˆ’ 2)

= (โˆ’6 + 1,4 โˆ’ 2)

= (โˆ’5,2) = ๐ดโ€ฒ โŸน ๐ดโ€ฒ โˆˆ ๐‘”โ€ฒ

๐‘”//๐‘”โ€ฒ โŸน ๐‘š๐‘” = ๐‘š๐‘”โ€ฒ = 5

ไฟŽโˆ’ ๐‘ฆ1 = ๐‘š(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1)

โ‡” ๐‘ฆ โˆ’ 2 = 5(๐‘ฅ + 5)

โ‡” ๐‘ฆ โˆ’ 2 = 5๐‘ฅ โˆ’ 25

โ‡” ๐‘ฆ = 5๐‘ฅ + 27

Page 30: Makalah setengah putaran

30

Jadi, ๐‘†๐‘ƒ(๐‘”) = ๐‘”โ€ฒ = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฆ = 5๐‘ฅ + 27)

Tugas halaman 74

1. Diketahui : titik A dan B, garis ๐‘” โˆ‹ ๐ด โˆ‰ ๐‘”, ๐ต โˆ‰ ๐‘”

Lukis :

a. ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด๐‘†๐ต(๐‘”)

b. Garis ๐‘˜ โˆ‹์ญ”๐ด๐‘†๐ต(๐‘˜) = ๐‘”

c. Garis โ„Ž โˆ‹ ๐‘†๐ด๐‘†๐ต(โ„Ž) = โ„Ž

Lukisan :

a. ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด๐‘†๐ต(้€œ)

b. Garis ๐‘˜ โˆ‹ ๐‘†๐ด๐‘†๐ต(๐‘˜) = ๐‘”

๐‘” = ๐‘†๐ด๐‘†๐ต(๐‘˜)

๐‘†๐ต(๐‘˜)

๐ด ๐‘˜

๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ดใ‰น๐ต(๐‘”)

๐‘” ๐‘†๐ต(๐‘”)

๐ต ๐ด

ๆฃจ

Page 31: Makalah setengah putaran

31

c. Garis โ„Ž โˆ‹ ๐‘†๐ด๐‘†๐ต(โ„Ž) = โ„Ž

2. Diketahui : garis g dan h berpotongan. Titik A dan B tidak terletak pada garis

g dan h.

Lukis :

a. ๐‘€๐‘”๐‘†๐ด๐‘†๐ต(โ„Ž)

b. ๆ˜ฐ โˆ‹ ๐‘†๐ด๐‘†๐ต๐‘€โ„Ž(โ„Ž) = ๐‘”

Lukisan :

a. ๐‘€๐‘”๐‘†๐ด๐‘†๐ต(โ„Ž)

b. ๐‘˜ โˆ‹ ๐‘†๐ด๐‘†๐ต๐‘€โ„Ž(โ„Ž) = ๐‘”

3. Diketahui : ๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)โ”‚2๐‘ฅ โˆ’ 5๐‘ฆ = 4} dan ๐ด = (1,4)

Ditanya :

a. apakah ๐ถ(โˆ’1,6) โˆˆ ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”)

b. persamaan ๐‘”โ€ฒ

Jawab :

a. ๐‘” โˆถ 2๐‘ฅ โˆ’ 5๐‘ฆ = 4

Karena ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) dan ๐ด = (1,4) โˆ‰ ๐‘” maka menurut teorema 7.5, ๐‘”//๐‘”โ€ฒ.

๐‘”

โ„Ž

๐ต ๐ด

Page 32: Makalah setengah putaran

32

Untuk mengetahui apakah ๐ถ(โˆ’1,6) โˆˆ ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) maka harus dicari

๐‘†๐ด(๐ถ) = (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) lalu diselidiki apakah (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘”

Menurut teorema 7.4 maka

๐‘†๐ด(๐ถ) = (2.1โ€” 1,2.4 โˆ’ 6)

โ‡” (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (2 โˆ’ 1,8 โˆ’ 6)

โ‡” (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (1,2)

Maka diperoleh ๐‘ฅ = 1, ๐‘ฆ = 2

Substitusikan nilai ๐‘ฅ dan ๐‘ฆ ke persamaan ๐‘”

Diperoleh 2.1 โˆ’ 5.2 = 2 โˆ’ 10 = โˆ’8

Karena (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) tidak memenuhi persamaan ๐‘” maka (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘†๐ด(๐ถ) โˆ‰ ๐‘”

maka ๐ถ โˆ‰ ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”)

b. Untuk menentukan persamaan ๐‘”โ€ฒ maka dihitung gradien ๐‘”โ€ฒ dan diambil

salah satu titik ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘”, misalnya ๐‘ƒ = (7,2)

Maka ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2.1 โˆ’ 7,2.4 โˆ’ 2)

โ‡” ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2 โˆ’ 7,8 โˆ’ 2)

โ‡” ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (โˆ’5,6)

Karena ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘” dan ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) maka ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘”โ€ฒ.

๐‘” โˆถ 2๐‘ฅ โˆ’ 5๐‘ฆ = 4 maka gradient ๐‘” adalah 2

5

๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) sehingga ๐‘”//๐‘”โ€ฒ maka gradien ๐‘” = gradien ๐‘”โ€ฒ =2

5

๐‘ฆ โˆ’ 7 =2

5(๐‘ฅ โˆ’ 2)

โ‡” ๐‘ฆ = 7 +2

5๐‘ฅ โˆ’

2

5. 2

โ‡” ๐‘ฆ = 7 +2

5๐‘ฅ โˆ’

4

5

โ‡” ๐‘ฆ =2

5๐‘ฅ +

31

5

โ‡” 5๐‘ฆ = 2๐‘ฅ + 31

โ‡” โˆ’2๐‘ฅ + 5๐‘ฆ = 31

Jadi, persamaan garis ๐‘”โ€ฒ adalah โˆ’2๐‘ฅ + 5๐‘ฆ = 31.

4. Diketahui :๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)โ”‚3๐‘ฅ + 2๐‘ฆ = 4} dan ๐ด = (โˆ’2,1)

Page 33: Makalah setengah putaran

33

Ditanya :

a. ๐‘˜ โˆ‹ ๐ท = (3, ๐‘˜) โˆˆ ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”)

b. Persamaan ๐‘”โ€ฒ

c. Persamaan โ„Ž โˆ‹ ๐‘†๐ด(โ„Ž) = ๐‘”

Jawab :

a. Untuk menentukan ๐‘˜ maka diambil titik ๐‘ƒ = (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘” sehingga

2. โˆ’2 โˆ’ ๐‘ฅ = 3

โ‡” โˆ’4 โˆ’ ๐‘ฅ = 3

โ‡” ๐‘ฅ = โˆ’7

Substitusikan ๐‘ฅ = โˆ’70 pada persamaan ๐‘” maka 3๐‘ฅ + 2๐‘ฆ = 4

โ‡” 3. โˆ’7 + 2๐‘ฆ = 4

โ‡” โˆ’21 + 2๐‘ฆ = 4

โ‡” 2๐‘ฆ = 25

โ‡” ๐‘ฆ =25

2

Maka ๐‘ƒ = (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (โˆ’7,25

2)

Karena ๐‘ƒ = (โˆ’7,25

2) dan ๐ด = (โˆ’2,1) maka menurut teorema 7.4 maka

๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2. โˆ’2โ€” 7), 2.1 โˆ’25

2

โ‡” (3, ๐‘˜) = (โˆ’4 + 7,2 โˆ’25

2)

โ‡” (3, ๐‘˜) = (3, โˆ’21

5)

Sehingga diperoleh ๐‘˜ = โˆ’21

5

b. Untuk menentukan persamaan ๐‘”โ€ฒ maka harus ditentukan gradien ๐‘”โ€ฒ

Karena ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) maka menurut teorema 7.5 ๐‘”//๐‘”โ€ฒ sehingga gradien

๐‘” = gradien ๐‘”โ€ฒ

๐‘” โˆถ 3๐‘ฅ + 2๐‘ฆ = 4 maka gradien ๐‘” adalah โˆ’3

2 sehingga gradien ใ€ฑ

โ€ฒ= โˆ’

3

2

Berdasarkan jawaban soal a, maka ๐ท = (3, โˆ’21

5) โˆˆ ๐‘”โ€ฒ

Sehingga persamaan แ’โ€ฒ adalah

๐‘ฆ โˆ’ 3 = โˆ’3

2(๐‘ฅโ€”

21

5)

Page 34: Makalah setengah putaran

34

โ‡” ๐‘ฆ = โˆ’3

2(๐‘ฅ +

21

5) + 3

โ‡” ๐‘ฆ = โˆ’3

2๐‘ฅ โˆ’

3

2.21

5

โ‡” ๐‘ฆ = โˆ’3

2๐‘ฅ โˆ’

63

10

โ‡” 10๐‘ฆ = โˆ’15ใ„Ž โˆ’ 63

โ‡” 15๐‘ฅ + 10๐‘ฆ = 63

Jadi, persamaan ๐‘”โ€ฒ adalah 15๐‘ฅ + 10๐‘ฆ = 63.

c. ๐‘†_(โ„Ž) = ๐‘” maka ๐‘†โˆ’1๐ด(๐‘”) = โ„Ž

Menurut teorema 7.3 แ’โˆ’1๐ด = ๐‘†๐ด sehingga ๐‘†โˆ’1

๐ด(๐‘”) = ๐‘†๐ด(๐‘”) = โ„Ž

Dari jawaban soal b, ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) artinya ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) = โ„Ž sehingga

diperoleh ๐‘”โ€ฒ = โ„Ž

maka persamaan โ„Ž = persamaan ๐‘”โ€ฒ yaitu 15๐‘ฅ + 10๐‘ฆ = 63

Jadi, persamaan โ„Ž adalah 15๐‘ฅ + 10๐‘ฆ = 63.

5. Diketahui : kurva ๐‘˜ = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)โ”‚@ = ๐‘ฅ2} dan titik ๐ด = (3,1)

Ditanya :

a. Apakah ๐ต = (3, โˆ’7) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜)

b. Persamaan kurva ๐‘˜โ€ฒ

Jawab :

a. Untuk menyelidiki apakah ๐ต = (3, โˆ’7) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜) maka harus dihitung

๐‘†๐ด(๐ต)

Misalkan ๐‘†๐ด(๐ต) = (๐‘ฅโ€ฒ, ๐‘ฆโ€ฒ) sehingga menurut teorema 7.4 diperoleh

๐‘†๐ด(๐ต) = (2.3 โˆ’ 3,2.1โ€” 7)

โ‡” (๐‘ฅโ€ฒ, ๐‘ฆโ€ฒ) = (6 โˆ’ 3,2 + 7)

โ‡” (๐‘ฅโ€ฒ, ๐‘ฆโ€ฒ) = (3,9)

Maka ๐‘ฅโ€ฒ = 3, ๐‘ฆโ€ฒ = 9

Substitusikan (๐‘ฅโ€ฒ, ๐‘ฆโ€ฒ) = (3,9) ke persamaan ๐‘˜

diperoleh 9 = 32 memenuhi persamaan ๐‘˜ maka (๐‘ฅโ€ฒ, ๐‘ฆโ€ฒ) โˆˆ ๐‘˜

Karena ๐‘†๐ด(๐ต) = (๐‘ฅโ€ฒ, ๐‘ฆโ€ฒ) โˆˆ ๐‘˜ dan ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜) maka ๐ต โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ

Jadi, ๐ต = (3, โˆ’7) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜)

Page 35: Makalah setengah putaran

35

b. Untuk menentukan persamaan ๐‘˜โ€ฒ maka harus ditentukan koordinat titik

puncak kurva ๐‘˜โ€ฒ

Karena ๐‘˜ = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)โ”‚๐‘ฆ = ๐‘ฅ2} maka titik puncak ๐‘˜ adalah (0,0) dan titik

fokus kurva ๐‘˜ adalah (0,1

4)

Misalkan titik puncak ๐‘˜ adalah titik ๐‘€ maka ๐‘€ = (0,0) sehingga menurut

teorema 7.4,

๐‘†๐ด(๐‘€) = (2.3 โˆ’ 0,2.1 โˆ’ 0) = (6,2)

Karena ๐‘€ โˆˆ ๐‘˜ dan ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜) maka ๐‘†๐ด(๐‘€) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ dan karena ๐‘€ adalah

titik puncak ๅฐ  maka ๐‘†๐ด(๐‘€) = (6,2) titik puncak ๐‘˜โ€ฒ.

Misalkan titik fokus ๐‘˜ adalah ๐‘ƒ maka ๐‘ƒ = (0,1

4) sehingga menurut

teorema 7.4,

๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2.3 โˆ’ 0,2.1 โˆ’1

4) = (6,

7

4)

Karena ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘˜ dan ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜) maka ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ dan karena ๐‘ƒ adalah titik

fokus ๐‘˜ maka _๐ด(๐‘ƒ) = (6,7

4) titik fokus ๐‘˜โ€ฒ

Sehingga diperoleh titik puncak ๐‘˜โ€ฒ adalah (6,2) dan titik puncak ๐‘˜โ€ฒ adalah

(6,7

4) maka kurva ๐‘˜โ€ฒ menghadap ke bawah sehingga persamaan kurva ๐‘˜โ€ฒ

adalah

(๐‘ฅ โˆ’ 6)2 = โˆ’4. โˆ’1

4(๐‘ฆ โˆ’ 2)

โ‡” ๐‘ฅ2 โˆ’ 12๐‘ฅ + 36 = ๐‘ฆ โˆ’ 2

โ‡” ๐‘ฆ = ๐‘ฅ2 โˆ’ 12ใ€Š + 38

Jadi, persamaan kurva ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜) adalah ๐‘ฆ = ๐‘ฅ2 โˆ’ 12๐‘ฅ + 38.

6. Diketahui : kSMkxCyyxgAyyxk Agx ',6,,0,,0,2,, 1

Ditanya : a) nilai x sehingga 'kC ; b) persamaan 'k

Selesaian :

a) Ambil P(m,n)

nmnmMnmMnmSMPSM ggAgAg ,4,4,22,

Hal ini berarti bahwa

Page 36: Makalah setengah putaran

36

xx

xxM

xxM

xxSMkSM ggAgAg

1,4

1,4

1,22

1,

Maka 6

16

1 x

xyc ,

6

23

6

14 cx

Jadi, nilai x sehingga 'kC adalah 6

23

b) Misal 'kD

Untuk nilai x = 1, maka '1,31

1,14 kD

Maka untuk mencari persaman 'k dapat diperoleh dari dua titik yaitu

1,3dan 6,623 DC

176

2366

5

236

5

6

6

23186

236

5

6

6

233

6

23

61

6

12

1

12

1

xy

xy

xy

x

y

xy

xx

xx

yy

yy

7. Diketahui : Q titik tengah PR

Ditanya : Buktikan bahwa QRPQ SSSS

Bukti :

Ambil A(x,y), P(a,b), R(c,d), Q(e,f)

Karena Q titik tengah PR , maka dbfcae 21

21 ,

ybdbxacaybxaSyxSSASS QPQPQ 22,222,2,21

21

ydbxca ,

Page 37: Makalah setengah putaran

37

a. ydbdxcacydbxcaSyxSSASS RQRQR 2,22,2,21

21

ydbxca 3,3 Nilai ๐‘ฅ โˆ‹ ๐ถ = (๐‘ฅ, 6) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘€๐‘”๐‘†๐ด(๐‘˜)

b. Persamaan ๐‘˜โ€ฒ

Jawab :

a. Untuk menyelidiki apakah ๐‘ฅ โˆ‹ ๐ถ = (๐‘ฅ, 6) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘€๐‘”๐‘†๐ด(๐‘˜) maka harus

diambil

b. Untuk mencari persamaan ๐‘˜โ€ฒ maka

8. Diketahui : ๐ถ = (2, โˆ’1), ๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)โ”‚๐‘ฆ = ๐‘ฅ}, โ„Ž = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)โ”‚๐‘ฆ = 3๐‘ฅ โˆ’ 2}

Ditanya : persamaan garis ๐‘˜ = ๐‘†๐ถ๐‘€๐‘”(โ„Ž)

Jawab :

Ambil titik ๐ด (2,4) โˆˆ โ„Ž

Maka ๐‘€๐‘”(๐ด) = ๐‘€๐‘”(2,4) = (4,2) = ๐ดโ€ฒ

Karena ๐‘€๐‘”(โ„Ž) = โ„Žโ€ฒ,้จด โˆˆ โ„Ž, ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘€๐‘”(๐ด) = ๐ดโ€ฒ

Maka ๐ดโ€ฒ โˆˆ โ„Žโ€ฒ

Mencari titik potong garis ๐‘” dan garis โ„Ž

โ„Ž: ๐‘ฆ1 = 3๐‘ฅ โˆ’ 2

๐‘”: ๐‘ฆ2 = ๐‘ฅ

Titik potong garis _ dan garis โ„Ž adalah

๐‘ฆ1 = ๐‘ฆ2

3๐‘ฅ โˆ’ 2 = ๐‘ฅ

2๐‘ฅ = 2

๐‘ฅ = 1

Maka, ๐‘ฆ = 1

Jadi, titik potong garis ๐‘” dan garis โ„Ž adalah di (1,1)

Karena ๐‘€๐‘”(โ„Ž) = โ„Žโ€ฒ

Maka (1,1) โˆˆ โ„Žโ€ฒ

Sehingga garis โ„Žโ€ฒ melalui titik (4,2) dan titik (1,1)

๐‘ฆ2 โˆ’ ๐‘ฆ1

๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1=

๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ1

๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1

1 โˆ’ 2

๐‘ฆ โˆ’ 2=

1 โˆ’ 4

๐‘ฅ โˆ’ 4

Page 38: Makalah setengah putaran

38

โˆ’1

๐‘ฆ โˆ’ 2=

โˆ’3

๐‘ฅ โˆ’ 4

โˆ’3๐‘ฆ + 6 = โˆ’๐‘ฅ + 4

โˆ’3๐‘ฆ + ๐‘ฅ = โˆ’2

๐‘ฅ โˆ’ 3๐‘ฆ + 2 = 0

Jadi persamaan โ„Žโ€ฒ: ๐‘ฅ โˆ’ 3๐‘ฆ + 2 = 0

Ambil titik ๐ต = (7,3) โˆˆ โ„Žโ€ฒ

Maka ๐‘†๐ถ(๐ต) = ๐‘†๐ถ(7,3)

= (2.2 โˆ’ 7,2. (โˆ’1) โˆ’ 3)

= (โˆ’3, โˆ’5) = ๐ตโ€ฒ

Karena ๐‘˜ = ๐‘†๐ถ๐‘€๐‘”โ„Ž

Atau ๐‘˜ = ๐‘†๐ถ(โ„Žโ€ฒ), ๐ต โˆˆ โ„Žโ€ฒ dan ๐‘†๐ถ(๐ต) = ๐ตโ€ฒ

Maka ๐ตโ€ฒ โˆˆ ๐‘˜

Sehingga ๐‘˜ melalui ๐ตโ€ฒ = (โˆ’3, โˆ’5) dan ๐‘˜//โ„Žโ€ฒ dengan ๐‘š =1

3

โˆ’ ๐‘ฆ1 = ๐‘š(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1)

๐‘ฆ + 5 =1

3(๐‘ฅ + 3)

๐‘ฆ + 5 =1

3๐‘ฅ + 1

แ’ =1

3๐‘ฅ โˆ’ 4

3๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ’ 12

Jadi persamaan garis ๐‘˜ = ๐‘†๐ถ๐‘€๐‘”(โ„Ž) adalah 3๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ’ 12.

9.a)Diketahui : garis g dan h

Ditanya : buktikan jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki titik

tetap

Bukti :

Misal AA ''

Jelas ''' AAMAMM ghg

Karena g//h maka AA '' sehingga 'AAMM hg

Hal ini sebuah kontradiksi

Page 39: Makalah setengah putaran

39

Maka pengandaian harus dibatalkan.

Karena menurut definisi A dinamakan titik tetap transformasi T apabila

berlaku T(A)=A dan sebuah setengah putar SA hanya memiliki satu titik tetap

yaitu A, sedangkan jika g//h diperoleh fakta bahwa 'AAMM hg dan

Ahg SAMM maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap.

Jadi, jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap.

9.b)Diketahui : garis g, titik gA

Ditanya : buktikan SAMg tidak memiliki titik tetap

Bukti :

10. Diketahui : โˆ†๐ด๐ต๐ถ, garis ๐‘” dan sebuah titik ๐พ โˆ‰ ๐‘”, ๐พ diluar daerah โˆ†๐ด๐ต๐ถ.

Tentukan semua pasangan titik ๐‘‹ dan ๐‘Œ dengan ๐‘‹ โˆˆ ๐‘”, ๐‘Œ โˆˆ โˆ†๐ด๐ต๐ถ sehingga

๐พ titik tengah ๐‘‹๐‘Œฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ?

Jawab:

11. Diketahui : lingkaran ๐ฟ1 dan ๐ฟ2. Salah satu titik potongnya adalah ๐ด.

๐ถ โˆˆ ๐ฟ1 dan ๐ท โˆˆ ๐ฟ2

Ditanya : Lukisan ruas garis ๐ถ๐ทฬ…ฬ… ฬ…ฬ… sehingga A titik tengah ruas garis ๐ถ๐ทฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ?

Jelaskan lukisan tersebut?

Jawab :

A titik tengah ๐ถ๐ทฬ…ฬ… ฬ…ฬ… , berarti ๐ด๐ถ = ๐ด๐ท

Jadi, ๐ฟ1 = ๐ฟ2 atau lingkaran pertama sama dengan lingkaran kedua.

๐‘” ๐ต

๐พ

๐ถ

๐ด

๐‘Œ

๐‘‹

๐ถ ๐ท ๐ท

๐ฟ2 ๐ฟ1

Page 40: Makalah setengah putaran

40

12. Diketahui: titik ๐ด dan garis ๐‘”, ๐ด โˆˆ ๐‘”

Ditanya :

a. Buktikan bahwa transformasi ๐‘†๐ด๐ท๐‘” adalah sebuah refleksi pada suatu garis

dan garis mana yang menjadi sumbu refleksi ini?

b. Jika ๐‘” tegak lurus โ„Ž di titik ๐ด dan ๐‘” tegak lurus ๐‘˜ di titik B, buktikan

bahwa ๐‘†๐ด๐‘€๐‘˜ = ๐‘€โ„Ž๐‘†๐ต?

Jawab :

a. Ambil sebarang titik ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘‰

Diperoleh ร“๐ด๐‘€๐‘”(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒ

Tarik garis โ„Ž โŠฅ ๐‘” yang melalui A

Tarik garis ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ yang memotong garis โ„Ž dititik B,

sehingga ๐ถ๐ด = ๐‘ƒ๐ต ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘ƒ๐ถ = ๐ต๐ด

Lihat โˆ†๐ถ๐ด๐‘ƒโ€ฒ ๐‘‘๐‘Ž๐‘› โˆ†๐ถ๐ด๐‘ƒ

๐ถ๐ด = ๐ถ๐ด (berhimpit)

๐ถ๐‘ƒ = ๐ถ๐‘ƒโ€ฒ (Refleksi)

< ๐‘ƒ๐ถ๐ด =<ใŒฑโ€ฒ๐ถ๐ด (Siku-Siku)

Berdasarkan teorema kekongruenan (S, Sd, S)

Sehingga dapat disimpulkan โˆ†๐ถ๐ด๐‘ƒโ€ฒ โ‰… โˆ†๐ถ๐ด๐‘ƒ

Salah satu akibatnya ๐ด๐‘ƒโ€ฒ = ๐ด๐‘ƒ

Lihat โˆ†๐ด๐‘ƒ๐ต ๐‘‘๐‘Ž๐‘› โˆ†๐ด๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ๐ต

๐ดใ€ฐ = ๐ด๐ต (berhimpit)

๐ด๐‘โ€ฒ = ๐ด๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ (setengah putaran)

๐‘ ๐‘’โ„Ž๐‘–๐‘›๐‘”๐‘”๐‘Ž ๐ด๐‘ƒ =ใ€ฐ๐‘ƒโ€ฒ = ๐ด๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ

๐‘ƒ๐ต2 = ๐ด๐‘ƒ2 โˆ’ ๐ด๐ต2 = ๐ด๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ2 โˆ’ ๐ด๐ต2 = ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ๐ต2

Karena ๐ด๐‘ƒ = ๐ด๐‘ƒโ€ฒ = ๐ด๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ, maka ๐‘ƒ๐ต = ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ๐ต

Berdasarkan teorema kekongruenan (S, S, S)

Maka dapat disimpulkan โˆ†๐ด๐‘ƒ๐ต โ‰… โˆ†๐ด๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ๐ต

๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ

๐ต

๐‘ƒ ๐ด

๐‘ƒโ€ฒ

๐‘ƒ

๐ถ

โ„Ž

๐‘”

Page 41: Makalah setengah putaran

41

Akibatnya ๐‘ƒ๐ต = ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ๐ต

Karena O merupakan titik tengah ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ, maka ๐‘†๐ด๐‘€๐‘”(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ merupakan

refleksi dari P dengan sumbu refleksi adalah garis yang melalui titik ๐ต โŠฅ ๐‘”.

Jadi, ๐‘†๐ด๐‘€๐‘” merupakan sebuah refleksi pada suatu garis, dan garis itu adalah

garis yang melalui A tegak lurus dengan ๐‘”.

b. Ambil garis ๐‘” tegak lurus โ„Ž di titik ๐ด dan ๐‘” tegak lurus ๐‘˜ di titik ๐ต.

Adb ๐‘†๐ด๐‘€๐‘˜ = ๐‘€โ„Ž๐‘†๐ต

Menurut teorema 7.1 : โ€œandaikan A sebuah titik, dan ๐‘” ๐‘‘๐‘Ž๐‘› โ„Ž dua garis tegak

lurus yang berpotongan di A, maka ๐‘†๐ด =็ญฝ๐‘”๐‘€โ„Žโ€

Maka ๐‘†๐ด = ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž dan ๐‘†๐ต = ๐‘€๐‘”๐‘€๐‘˜

Sehingga ๐‘†๐ด๐‘€๐‘˜ = (๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž)๐‘€๐‘˜

Karena ๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž = ๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘”, maka diperoleh:

(๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž)๐‘€๐‘˜ = (๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘”)๐‘€๐‘˜ = ๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘”๐‘€๐‘˜

Sehingga

๐‘†๐ด๐‘€แ’ = (๐‘€๐‘”๐‘€โ„Ž)๐‘€๐‘˜ = (๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘”)๐‘€๐‘˜ = ๐‘€โ„Ž๐‘€๐‘”๐‘€๐‘˜ = ๐‘€โ„Ž(๐‘€๐‘”๐‘€๐‘˜) = ๐‘€โ„Ž๐‘†๐ต

Jadi terbukti bahwa ๐‘†๐ด๐‘€๐‘˜ = ๐‘€โ„Ž๐‘†๐ต

13. Diketahui : ๐ด, ๐ต, ๐ถ tak segaris

Ditanya:

a. Pilih sebuah titik ๐‘ƒ dan lukislah titik ๐‘ƒโ€ฒ = ๐‘†๐ด ๐ต๐‘†๐ถ(๐‘ƒ) !

b. Jika ๐‘€ titik tengah ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ… , lukislah ๐‘€โ€ฒ = ๐‘†๐ด๐‘†๐ต๐‘†๐ถ(๐‘€) !

c. Perhatikan hubungan antara ๐‘€ dan ๐‘€โ€ฒ. Apakah dugaan kita mengenai

jenis transformasi ๐‘†๐ด๐‘†๐ต๐‘†๐ถ ?

Jawab:

๐‘”

๐ด

h

๐ต

๐‘˜

Page 42: Makalah setengah putaran

42

a.

b.

c. Karena ๐‘€ = ๐‘†๐ด๐‘†๐ต๐‘†๐ถ = ๐‘€โˆ’1 maka transformasi ๐‘†๐ด๐‘†๐ต๐‘†๐ถ merupakan

transformasi identitas.

14. Diketahui : โˆ†๐ด๐ต๐ถ, โˆ ๐ต = 90ยฐ

15. Diketahui : ๐ด = (0,0), ๐ต = (3, โˆ’1)

Ditanya :

a) ๐ถโ€ฒ = ๐‘†๐ด๐‘†๐ต(๐ถ) jika ๐ถ = (โˆ’2,4)

b) ๐‘ƒโ€ฒ = ๐‘†๐ต๐‘ ๐ด(๐ถ) jika ๐‘ƒ = (๐‘ฅ, แ’)

c) Apa yang dapat kami katakan tentang ๐ถ๐ถโ€ฒ, ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒ, ๐ด๐ต

Jawab :

a) Menurut teorema 7.4 maka

๐‘†๐ด๐‘†๐ต(๐ถ) = ๐‘†๐ด(๐‘†๐‘ฉ(๐ถ))

โ‡” ๐‘†๐ด๐‘ ๐ต(๐ถ) = ๐‘†๐ด(2.3โ€” 2), 2. (โˆ’1) โˆ’ 4

โ‡” ๐‘†๐ด๐‘ ๐ต(๐ถ) = ๐‘†๐ด(6 + 2, โˆ’2 โˆ’ 4)

โ‡” ๐‘†๐ด๐‘ ๐ต(๐ถ) = ๐‘†๐ด(8, โˆ’6)

โ‡” ๐‘†๐ด๐‘ ๐ต(๐ถ) = (2.0 โˆ’ 8,2.0โ€” 6)

โ‡” ๐‘†๐ด๐‘ ๐ต(๐ถ) = (0 โˆ’ 8,0 + 6)

โ‡” ๐‘†๐ด๐‘ ๐ต(๐ถ) = (โˆ’8,6)

Jadi, ๐ถโ€ฒ = ๐‘†ใ€ฑ๐‘†๐ต(๐ถ) = (โˆ’8,6)

b) Menurut teorema 7.4 maka

๐‘†๐ต๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘†๐ต (ใ€ฑ๐‘จ(๐‘ƒ))

โ‡” ๐‘†๐ต๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘†๐ต(2.0 โˆ’ ๐‘ฅ, 2.0 โˆ’ ๐‘ฆ)

โ‡” ๐‘†๐ต๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘†๐ต(0 โˆ’ ๐‘ฅ, 0 โˆ’ ๐‘ฆ)

โ‡” ๐‘†๐ต๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘†๐ต(โˆ’๐‘ฅ, โˆ’๐‘ฆ)

โ‡” ๐‘†๐ต๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2.3 โˆ’ (โˆ’๐‘ฅ), 2. (โˆ’1)โ€” (โˆ’๐‘ฆ))

A

B

C P 'P

''P''P

M

'M

''M

Page 43: Makalah setengah putaran

43

โ‡” ๐‘†๐ต๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (6 + ๐‘ฅ, โˆ’2 + ๐‘ฆ)

โ‡” ๐‘†๐ต๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (๐‘ฅ + 6, ๐‘ฆ โˆ’ 2)

Jadi, ๐‘ƒโ€ฒ = ๐‘†๐ต๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (๐‘ฅ + 6, ๐‘ฆ โˆ’ 2)

c) Karena ๐ถ = (โˆ’2,4) dan ๐ถโ€ฒ = (โˆ’8,6)

Maka persamaan ๐ถ๐ถโ€ฒ :

๐‘ฅ โˆ’ใ€ฑ1

๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ1=

๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1

๐‘ฆ2 โˆ’ ๐‘ฆ1โ‡”

๐‘ฅ + 2

โˆ’8 + 2=

๐‘ฆ โˆ’ 4

6 โˆ’ 4โ‡”

๐‘ฅ + 2

โˆ’6=

๐‘ฆ โˆ’ 4

2

โ‡” โˆ’6๐‘ฆ = 2๐‘ฅ + 4 โˆ’ 24 โ‡” ๐‘ฆ = โˆ’1

3๐‘ฅ +

10

3

Karena ๐‘ƒ = (๐‘ฅ,ใ€ฑ) dan ๐‘ƒโ€ฒ = (๐‘ฅ + 6, ๐‘ฆ โˆ’ 2)

Untuk tidak membuat rancu,

dimisalkan titik ๐‘ƒ = (๐‘Ž, ๐‘) dan ๐‘ƒโ€ฒ = (๐‘Ž + 6, ๐‘ โˆ’ 2)

Maka persamaan ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒ:

๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1

๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ1=

๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1

๐‘ฆ2 โˆ’ ๐‘ฆ1โ‡”

๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž

๐‘Ž + 6 โˆ’ ๐‘Ž=

๐‘ฆ โˆ’ ๐‘

๐‘ โˆ’ 2 โˆ’ ๐‘โ‡”

๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž

6=

๐‘ฆ โˆ’ ๐‘

โˆ’2

โ‡” 6๐‘ฆ = โˆ’2๐‘ฅ + 2๐‘Ž + 6๐‘ โ‡” ๐‘ฆ = โˆ’1

3๐‘ฅ +

1

3๐‘Ž + ๐‘

Karena ๐ด = (0,0) ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐ต = (3, โˆ’1)

Maka persamaan ๐ด๐ต:

๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1

๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ1=

๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1

๐‘ฆ2 ู…ูโˆ’1

โ‡”๐‘ฅ โˆ’ 0

3 โˆ’ 0=

๐‘ฆ โˆ’ 0

โˆ’1 โˆ’ 0โ‡”

๐‘ฅ

3=

๐‘ฆ

โˆ’1

โ‡” 3๐‘ฆ = โˆ’๐‘ฅ โ‡” ๐‘ฆ = โˆ’1

3๐‘ฅ

Dari persamaanโ€“persamaan di atas, dapat dikatakan bahwa persamaan

๐ถ๐ถโ€ฒ, ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒ, dan ๐ด๐ต mempunyai gradien yang sama, yaitu โˆ’1

3

16. Buktikan :

17. Diketahui : โˆ†๐ด๐ต๐ถ dan sebuah titik ๐‘ƒ ๐ถฬ…ฬ…ู…ุฎุชโˆ‹ ฬ…ฬ… ฬ…ฬ…

Lukis : di dalam โˆ†๐ด๐ต๐ถ, sebuah โˆ†๐‘ƒ๐‘„0 yang kelilingnya paling pendek