Matemàtica Informal - Baroody Arthur

Baroo“Técnlos niñespecpp. 33

ody, Arthurnicas para cños. Un macial, Genís 3-47, 87-10

r J. (1997)contar” y “Darco evolutiSánchez B

06 y 107-14

), “MatemáDesarrollo divo para maBarberán (t48.

ática informel número”aestros de trad.), 3ª.ed

mal: el pas”, en El penpreescolard., Madrid,

so intermesamiento m, ciclo iniciaVisor (Apr

dio esencimatemáticoal y educacrendizaje, 4

al”, de

ción 42),

EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO

1 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza

¿Lsignifiel connaturaimporabordmatem

A) EP

Toverificlo largel exacaso

El Alis

segun

PAPAPA

legan los icativos? ¿Qntar, en elaleza y el rtante que lodar la instrumática de lo

L CONOCIREESCOL

da comprecarse en la go de este lamen de loreal.

caso de Ason, que condo anivers

PADRE: ALISON: PADRE: ALISON: PADRE: ALISON:

El pa

niños a Qué papel desarrolloalcance d

os niños doucción iniciaos niños?

IMIENTO MLARES

ensión teópráctica. Pibro se press conocimi

lison ontaba con sario de su

Alison[Levan¿Cuán[Levan¿Cuán[Tras u

Matemáaso inte

la escueha desemp

o histórico de la mateominen la mal? ¿Cuále

MATEMATI

rica de unPara que teosentarán dientos de lo

tres años yhermana.

, ¿cuántos nta dos dedntos años tinta tres dedntos años tiunos instan

ática infoermedio

ela con upeñado la edel conoci

emática namatemática es son las c

CO DE LO

na materiaoría y práctversos estu

os preescol

y medio de

años hacedos.] iene Alisondos.] iene papá?ntes, levant

ormal: esencia

unos conoexperiencia miento ma

atural de loformal y cuconsecuenc

OS

a debe batica estén sudios de calares se ini

edad, se h

e hoy Ariann

?

? ta cuatro de

al

ocimientos concreta, e

atemático? os niños? uál es la mecias de pas

sarse en sólidamentesos concrecia con una

hallaba cele

ne?

edos.]

matemáticespecialme¿ Cuál es¿Por qué

ejor manerasar por alto

la realidade enlazadasetos. Por tana mirada a

ebrando el

cos nte

s la es

a de o la

d y s, a nto, un



Varias

PAPAPAP

AAu

tienencon frLo cieobjetoconjucon sexpreAdemde suhermanúmeAlisontécnicconju

La empledesarlimitacpequematemejemptantesempleneces

s semanas

PADRE: ALISON: PADRE: ALISON: PADRE: ALISON: PADRE:

ALISON: unque sin pn cierta imprecuencia, herto es que os como «nto de objesus dedos.esar ideas más, parecíau padre, enana y la s

ero mayor pn una niña cas matemntos?

matemáticear los dedrrollo mateciones. Poeños, peromática concplo, conectas en su vidaea para cosidad prácti

más tarde

[Levan[Va se[LevanEs com¿ Cuá2. [Saca moned[Levan

perfeccionaportancia. Ahasta tres ohasta pued

«uno» y «detos como, En realidmatemáticaa escoger n una repreuya propiapara indicapreescolar

máticas bás

ca de Alisodos. ¿Qué emático deor ejemploo no conjucreta de loa las reprea (usaba doomunicar sica para el

se produjo

ntando treseñalando contando dos mo Eanne [

ántos dedos

tres moneddas tengo anta tres dedr, las aptitu

Alisan es muobjetos. de reconocdos», respepor ejempload, para Aas (los usadeliberadamesentación

a. Aunque ar una com

típica? ¿Llsicas como

on se basaimportancia

e los niño, contaba untos mays niños? L

esentacioneos dedos psus ideas desarrollo m

o la siguient

dedos.] ¿Con un dedo dedos.] ¿C

[la edad des son?

das.] ¿Me paquí? dos y se poudes matemuy experta e

cer automátectivamento, tres monAlison los daba, por ejmente cuatdistinta de

de maneramparación elegan a la eo contar, r

a en expera tienen ess? La macon exac

yores. ¿Cua matemát

es con los para repres

y necesidmatemático

te conversa

Cuántos demientras c

Cuántos dee Arianne ]

puedes dec

one a contamáticas de en contar co

ticamente ce. Si se le

nedas, es cadedos son jemplo, patro dedos pe la empleaa inexacta, entre edadeescuela la mreconocer,

riencias costas experieatemática titud y rec

uáles son tica de Alisdedos conentar la ed

dades. ¿Quo?

ación

edos hay? cuenta.] 1, 2dos hay?

ir con los de

r.] 1, 2, 3, 4esta niña

olecciones

coleccionese presentaapaz de cre

un medioara represepara represada para lapudo hab

es: papá emayoría de

emparejar

oncretas, coencias concde Alison conocía colas limitac

on es muy acontecimad de su hué importa

2, 3.

edos cuánt

4. preescolar de uno, dos

s de uno o da un pequeear un modo natural pentar edadesentar la eda edad de er elegido s mayor. ¿ los niños cr y compa

omo contacretas para

tiene claonjuntos mciones de

y práctica. Pmientos imp

ermana) y ancia tiene

tas

ya s y,

dos eño delo ara es). dad

su un

¿Es con arar

r y a el ras

muy la

Por por-los la



Do La

comomatemmemohechoniños poco tiempaprenque laesencmatemmatem

La blancoescolaconsidadquiminio las aenseñPara aevoluc

B) Ini

Seestar difereinclusquita determbanda

Méperten

os puntos d

teoría de l pizarras máticas escoria, se cono, el famos

pequeñosprobable quo que se de

nder durantea técnica pacialmente irmática formmático real teoría cogno. La reciearización fderables sorido de made las matptitudes m

ñanza escoapreciar mecionado el

BREVE HIcios concr

entido numédotado de

encia entre uso entre un

algo de uminadas ciada de och

étodos connencias, nu

de vista so

a absorciónen blanco

colares. Apnsidera queso teórico a tan ineptoue los niñosedique a ele el primer ara contar qrrelevante mal. Con lvuelve a p

nitiva sostieente investiformal, la obre contarnera informtemáticas im

matemáticasolar se fundejor la impoconocimien

ISTORIA Dretos

érico básicoe un sentidun conjuntoa colecciónuna coleccrcunstanciao aves de o

ncretos de uestros ant

obre el niño

n parte del o sobre laparte, quizáe los preesasociacionisos, matemás aprendanllo, aunque curso» (p.

que tienen lo constituyla instruccartir básicaene que losigación cogmayoría d

r, el númermal actúa compartidas es llegan hda en este ortancia de nto matemá

DE LA MAT

o. El ser hudo numérico de un elemn pequeña ción. Esta as pero no otra de nue

contar. Ptepasados

o preescol

supuesto das que pu, de algunacolares carsta E. L. Táticamente n aritmética

hay mucho198). Ademos niños cu

ye un obstáión formal

amente dess niños no llgnitiva demde los niñro y la aritmomo fundamen la escuelasta la épconocimieeste elemeático en el t

TEMÁTICA

umano, comco primitivomento y unay otra granpercepciónen otras,

eve.

Para llevar prehistórico

lar

de que los neden escr

as técnicas recen de té

Thorndike (1hablando, antes de se

os datos armás, la teoruando se ináculo para, la adquisde cero. egan a la e

muestra quños adquiemética. Ademento parala. En pocapoca preesnto aprend

ento básico,transcurso

mo algunaso. Podemoa colección nde. Podemn directa como en e

la cuentaos idearon

niños lleganribirse direde contar a

écnicas mat1922) cons

que afirmegundo curritméticos qría de la abncorporan a llegar al dsición del

escuela come, antes d

ere unos cemás, este a la compreas palabrasscolar y edido de man examinarede la histor

s otras espos percibir

de muchosmos ver si spuede ser

el caso de

a del tiemmétodos b

n a la escuectamente aprendidas temáticas.

sideraba aaba: «Parerso por mucue se puedsorción ind

a la escueladominio deconocimie

mo pizarrase empezarconocimienconocimie

ensión y el d, las raícesl éxito de nera informemos cómoria humana

pecies, parefácilmente

s elementosse añade or muy útil distinguir u

po y de sbasados en

ela las de De los

ece cho den dica a es e la nto

en r la tos nto dode

la mal. ha .

ece e la s, o se en

una

sus n la



equivaregistguijarpara luna mequivadel copara corresdel pa

ReprenuparejahaberespecDe la multitmás daves)un ob

MáA m

sedenejempEn code nuedificacivilizanuest

A senseñeste insentiddesarrnuestr

alencia y ro de los d

rro cada nocllevar la cu

muesca en ualencia creonjunto de comprobar

spondenciaalo para con

estos del puméricas. Pa, dúo, dobrse usado cíficos: un pmisma ma

ud, masa, de dos o tre. Inicialmen

bjeto determ

ás allá de lomedida quentarias basaplo, las estaonsecuenciameración yado los sisación avanros diez de

sus diez dedñado a contanstrumento, o rudimentarollo del númro progreso

la correspoías transcuche hasta q

uenta de unun palo o una una corremuescas pr si todavía biunívocantar.

pasado. NuPor ejemploble, día da,para desig

par de ojos,anera, los dbanda, ma

es elementonte, el núm

minado (Chu

o puramene las sociedadas en la aciones) y la, también

y medición bstemas numnzada. A suedos. Dantz

dos articuladar y, en cons

la aptitud nario del númmero y, en cmaterial e in

ondencia burridos, por que la luna lna colección hueso porespondencipor cada eleía estaban), éstas pod

uestras len, en castella etc. En ép

gnar una p una pareja

diversos téranada) desos (por ejemero no era urchill, 196

nte concretades cazadagricultura as posesiofue en aum

basados enmérico y au vez, el dezig (1954, p

dos debe e! hsecuencia, a numérica delmero. y es consecuencntelectual, se

biunívoca. ejemplo, d

llena volvien de pielesr cada piel aa biunívocaemento de todas lasdían empar

nguas todaano hay vapocas másluralidad d

a de personrminos parascribían en mplo, un camás que u1).

to doras-recoly el comer

ones fue hacmento la nen contar. Coaritmético, esarrollo de

p. 7) afirma:

hombre su éextender in

l hombre norazonable aia, el de lase hubiera vis

La equivaldesde el últra a aparecs animales,añadida al a: ni más nil conjunto ds pieles (srejarse una

avía tienenrias formas

s primitivase objetos as, un dúo a expresar su día col

ardumen deuna cualidad

ectoras dabrcio, llevar lciéndose cecesidad deontar es la bde papel te contar es

éxito en e! cfinitamente

o podría habaventurar qus ciencias exsto irremedia

lencia podimo plenilu

cer. De la m, un cazadomontón. Es menos quede pieles. M

si seguía ha a una con

n restos des de expres, estos térmo categoríamusical, un«muchos» ecciones e

e peces, und o una car

ban paso a la cuenta dada vez máe métodos base sobre tan esenciastá íntimam

cálculo. Estoe! alcance d

ber ido muchue, sin nuesxactas a lasablemente m

ía ofrecer nio: añadir

misma maneor podía taste procesoe un elemeMás adelanhabiendo u ·las muesc

e las épocar «dos»: pminos puedas de objena bifurcaci

(por ejempespecíficas a bandadaracterística

comunidadel tiempo (ás importanmás precisla que hem

al en nuesmente ligado

os dedos le hde! número. ho más allá stros dedoss que debemmenguado.

un un

era, allar o de nto

nte, una cas

cas par, den etos ón. plo, de

de de

des por nte. sos

mos stra o a

han Sin del , el

mos



Co

nuestseñallimitadde Auenconel 7. Ecantid

Núcivilizposibpudiedualideran cdistintmodelevantcabalaplica

Du«mucnecesContaalternhacerconta

Conordenconjuacabaelemepondededosrequiepara r

El refiere

ontar con lotro sentido es del empda (Dantzigustralia quentraron unoEn este estdad y la me

úmero abstración desale la matemron haber

dades (por casos del ntas dualida

elos fácilmetarse dos dlos. Con e

arse a cualqurante un lchos» sirviesidad de unar coloca lonativa converse una petndo siete o

nectar los dnar. El aspento dado. amos de veentos se cencia biunívs de una era colecciorepresentaraspecto de

e a colocar

os dedos enumérico

pleo de losg, 1954). Pe no había

os pocos qutado naturaedida (Dase

racto. Es parrolló un cmática (Dan

transcurridejemplo, u

número 2. Nades concreente asequdedos, porel tiempo, quier colecclargo perío

eron adecuana precisiónos nombreseniente a ltición directobjetos.

dos aspectoecto nominNombrar u

er, un conjucorrespondevoca) con lmano) denones moder tres, las pe orden, u coleccione

es el trampnatural. D

s dedos paor ejemplo

an alcanzade pudieran

al, los aboríen, 1972; D

probable quconcepto antzig, 1954)do eras ann par de oj

Nuestros deetas como uibles de cr ejemplo, el nombre

ción concreodo de la adamente (n mayor, cos de las coa equivaletamente co

os del númenal, o cardiun conjuntounto puede en exactamos elementnominada lo como los

patas de un ordinal, de

es en suces

polín que pDonde los ara contar, , en unos edo la etapaidentificar e

ígenes no de Lemos, 1

ue contar fabstracto de. El matemátes de quejos, una pa

edos consticasos del ncoleccionespara indica

e de esta eta que se chistoria, lo

(Smith, 192ontar se coolecciones ncia para a

on la palabr

ero. El núminal, trata do no requieclasificarse

mente (es tos de una «cinco». Ps ojos para caballo pa

el número,ión por orde

permite supantropólogla percepc

estudios rea de contarel 4 y ningudesarrollan 1969).

fuera el mel número:ático Bertrae se reconareja de petuyen la banúmero 2. s de uno aar un par dcolección

correspondos términos23). A medionvirtió en modelo en

asignar nomra siete y c

mero tiene dde los elemere contar e como «cindecir, puecolección m

Por tanto, representa

ara el cuatro está relacen de magn

perar las limgos no hación del núalizados cor con los d

uno que pudconceptos

edio por e un conce

and Russellnociera queersonas, unase común Los dedos a diez objde ojos o modelo (<iera con dos para «doida' que fueun instrume

n un orden mbres numcumplirse p

dos funcionmentos que

necesarianco», por eden formamodelo (ponombrar c

ar dos, una o, etc. cionado conitud. Conta

mitaciones n encontra

úmero es mon aborígendedos sólo diera disting

básicos de

l que nuespto que hal afirmaba qe las distinna bifurcaciópara desigproporcion

etos. Pueduna yunta

<<dos») puos dedos. os», «tres»e creciendoento esency ofrece u

méricos. Poposteriorme

es: nombrae contiene mente. Co

ejemplo, si sr una corr

or ejemplo, onjuntos shoja de tré

n contar y ar proporcio

de ado muy nes se

guir e la

stra ace que tas ón) nar nan den

de udo

» y o la cial. una día nte

ar y un mo sus res-los

sólo ébol

se ona



una scoleccsucesque hcoleccuna cdesig

CoPara persomismcontarepresesfue

El dediez

A .compde cárepresestabgranduna bjunto represprosesimplitanto,agruppastoque hsistemfisioló

El incorpcuneifcolecc

secuencia ociones cadsivamente tha asignadoción especcolección ynadas con

ontar con lorepresenta

ona sólo tiea colección

ar son idésentación c

erzo de un a

esarrollo de

medida quplejas, aumálculo quesentar un leciendo c

des inspirarobase natura

al pastor, sentar esta

eguir el recuificado aún la piedra

pamientos sr se denom

hubiéramosma de base ógico» (Dan

primer sistporaba un forme de loción de traz

ordenada dda vez maytérminos deo un nombrifica la magy se le hauno, dos, t

os dedos puar una coleene que len, la personénticos a cardinal). Paspecto del

e un sistem

ue las socentó la pres

e pudieran rebaño d

correspondeon la idea d

al para ello (éste la co

a cantidad uento. A men más el pa pasaría se basan emina sistem hechos esdoce. Nues

ntzig, 1930-tema numéconcepto dos sumerioszos para re

de palabrasyores. Parae la serie nure a cada ugnitud relatia asignadores o cuatrouede enlazección comevantar cuana levanta los de le

Por tanto, nl número al

ma de num

ciedades ysión encam

aplicarse e 124 oveencias es de hacer ag(Churchill, ontaba concon un gu

edida que sroceso susa represenn el 10 y e

ma de base stas agrupastro sistem-1954). érico conocde base dies y el siste

epresentar l

s (la serie a contar uumérica a cno de los eva del conj la palabrao y menos qar los aspe

mo, por ejeatro dedoscuatro ded

evantar simnuestros de otro (Dant

meración co

y las econminada a con

con eficaejas, el emuy incóm

grupamiento1961). Por n los dedouijarro. Conse iban acustituyendo ntar 10 den múltiplosdiez. Si tu

aciones de a de base d

cido apareez (Bunt, J

ema jeroglífos número

numérica) na colecció

cada elemeelementos. unto. Por ea «cinco»,que las des

ectos cardinemplo, el n simultáne

dos en sucemultáneameedos son uzig, 1930-1

on órdenes

nomías sencebir sisteacia a grampleo de modo. Las os, y nuestrejemplo, c

os. Cuandon las manoumulando lodiez guijarecenas, o s de 10, el suviéramos ddoce en do

diez es, sim

ció hacia eJones y Befico de los es del 1 al 9

que puedeón, una pento de la coEl número

ejemplo, si s será may

signadas conal y ordinanúmero ca

eamente. Pesión. Los ente cuatr

un medio p954).

s de unida

e fueron hemas de repandes cant

un sistemtareas co

ros diez deduando una o llegaba aos libres otos guijarrosros por unsea 100.

sistema emdoce dedosoce y hoy t

mplemente,

el año 350dient, 1976egipcios em

9 (véase la

e asignarseersona asigolección haasignado ase ha contayor que oton seis o mal del númeardinal 4, uPara contar

resultados ro dedos para pasar

ades de bas

haciendo mpresentaciótidades. Pa

ma de conon cantidaddos ofrecieoveja pasa

a diez, potra vez, pos, podía hana piedra. P

Como esmpleado pos, es probaendríamos un «accide

00 a. de C6). El sistempleaban ufig. 2.1.A).

e a gna asta a la ado tras ás.

ero. una r la de (la sin

se

más ón y ara

ntar des ron aba día día ber Por

stos r el

able un

nte

C. e ma una Un



agruplos grde estcomo

Autiempque eposiciejemptres dpara run sisrepres¡Piénsjerogl

* El sisteempezóNótese

pamiento deriegos y lostos sistema demostrarnque los sos prehistósperar hastional o de plo, en el núdecenas, y nrepresentarstema con sentar cualsese, por íficos!

Fig

ema babilonio ó como un sistque los símbo

e decenas ss romanos das numéricorá rápidamesímbolos esóricos, el deta la invencórdenes d

úmero 37 eno tres unidr 10 y múltiórdenes dequier númeejemplo, e

gura 2.1 Co

se adoptó a paema de base dolos para 1 y 60

se represedesarrollaroos antiguosente el intenscritos se

esarrollo deción de un sde unidadel 3 ocupa edades. Estoplos de 10e unidadesero, aun losen lo que

omparación

artir del anteridiez pero juego0 son idénticos

ntaba con uon sistema

s se prestabnto de realihan usado

e unos procsistema de ns, el lugar

el lugar de lao elimina la, como ocus, pueden us números gharía falta

de distinto

or sistema sumo cambió a agrus (Bunt et al., 1

un símbolos diferentes

ba con facilizar la suma

o para repredimientosnumeración

de una cias decenas

a necesidadurre con losusarse diezgrandes, dea para rep

os sistemas

merio. Obsérveupamientos ba1976). La posici

o especial. Ms. Sin embdad al cálca de la figuresentar nús de cálculon posicional. ifra define s y de ahí qd de símbols jeroglíficosz cifras (dee una mane

presentar 9

s numéricos

ese que la numasados en 60 y ión se usaba pa

Más adelanargo, ninguulo aritmétira 2.1.B.

úmeros deso eficaces tuEn un sistesu valor. Pue represelos especias egipcios.

el 0 al 9) paera compac

9.999.999 c

s

meración babilomúltiplos de 6ara indicar el

nte, uno co,

sde uvo ma Por nte

ales En ara cta. con

onia 60.



valor (pun siste

Con timproproduábacode la siguiecuatro

Loshastala figuinventEnglecío o conceposibtodo huma(Dant

Endurancentelibros «El asencil(Dant

por ejemplo, 63ema puro de ba

todo, la nuovisó con raucido por lao. El ábaco derecha re

ente gruposocientos tres usuarios que tuvieroura 2.2.C, ptó para sim

ehardt, Ashlen blanco

epción de ule la elaborel mundo.

ana, y fue uzig, 1954). realidad,

nte los últimnares de añy las unive

rte de empllas era, ezig, 1954, p

3 se escribía Ῡase diez.

meración papidez. Es p necesidadilustrado e

epresenta las de cien. Deinta y dos de ábacoson que hacpor ejemplombolizar unlock y Webe, no la nadn sistema nración de aLa invenc

un hito cruc

los procedmos trescienños, lo normersidades splear los den aquellos p. 11). .

Ῡ Ῡ Ῡ). Al igu

posicional probable qud de anotar en la figura as unidade

De acuerdo (432) Y la f

s no debierocer un regiso, ¿represena columnae, 1984). P

da (ningún numérico polgoritmos a

ción del O ecial que hiz

imientos dntos años dmal en Eurose enseñabedos para

tiempos,

al que el sistem

es una ideue el impulspor escrito2.2 utiliza u

es, la siguiecon esto, la

figura 2.2.Bon tener difstro permanenta 42,402a vacía y earece que, objeto). Coosicional (c

aritméticos qes uno de zo posible

e cálculo ede la historiaopa Occidenba a hacer

contar y reuno de los

ma babilonio, l

ea relativamso para un

o las operacun modelo dente represa figura 2.2

B el cuatrocficultades c

nente de su2 ó 4.002? evitar esta al principio

on la invencon órdenesque podíanlos mayorla ciencia y

escrito sóloa de la humntal era concálculos arealizar las s logros de

la numeración

mente abstsistema po

ciones realde base dieenta grupo

2.A represecientos dos con las coluus cuentas.

Parece seconfusión

o, el O signifnción del O s de unidadn ser aprendres logros y el comer

o se han vemanidad. Hantar con los ritméticos coperacione

e la perso

romana no er

racta y no osicional fuizadas con ez: la columos de diez yenta el núm

(402). umnas vacEl registro

er que el 0 (por ejempicaba algo vfue posible

des). Esto hdidos por cde la histo

rcio modern

enido usanace sólo undedos. En

con los dedes aritméticna cultivad

a

se era un

mna y la ero

cías de se

plo, va-

e la hizo casi oria nos

ndo nos los os. cas da»



Fig El Co

tabla prece(Klineprinciideas Básicinformno. Tamplia

La evoluc

gura 2.2 Re

desarrolloomo la histo

2.1) indicaeden a la me, 1974). Lopios generinductivas

amente, losmales. Las pambién pua gama de perspectiv

ción. Nues

epresentaci

o de la matoria del nú

a que los mmatemática e

o normal eales para d

s (descubris matemáticpruebas pueden democasos.

va históricastros siste

ones concr

emática fomero, la hi

métodos y lexacta y fo

es que las demostrar pmiento de cos utilizan

ueden deterostrar si un

indica queemas num

retas y escr

ormalizadastoria de laas formula

ormalizada ypruebas d

proposicionrelaciones

pruebas parminar si unna idea se

e la matemérico y a

ritas de núm

a matemáti

aciones de y actúan co

deductivas nes de unas medianteara comprona idea es

aplica a u

mática se enritmético s

meros en u

ica en genecariz inform

omo base prigurosas (

a manera lóe el exameobar sus idelógicament

un caso ais

ncuentra enson la cu

n ábaco.

eral (véasemal o intuitpara la mis(el empleo ógica) siganen de casoeas intuitivate coherentslado o a u

n permanelminación

e la tivo ma de

n a os). as o e o una

nte de



literalmatemadultode añmétodejempelemecampcomoadoptpauta

3.000

600-3

600 d

mente milemático se o medio de ños y ni siqdos a partir plo, los egentales paros que el N se muesttaran de inas de pensa

Ta

0-300 a. de

300 a. de C

. de C.

es de añoha construnuestra culuiera cientode necesidipcios se v

ra poder voNilo inundabra en la ta

nmediato yaamiento pro

abla 2.1 Bre

C. Egila mENTGEunacon

. La Gla mcon(prutresLosconejemsu ulado

Losno sopDesneg

os de inveido lentamltura da poros de años

dades práctvieron forzaolver a coloba cada priabla 2.1, noa que no «

opias de la é

eve historia

pcios y babmatemáticaTEROS POOMETRIA.

a BASE EMnocen.

Grecia clásmatemáticancebir la Muebas geoscientos añs griegos nciben y emplo, √2 ) qutilidad (poros = 1).

s hindúes inson acepta

porte intuitiscartes y gativos.

entiva y peente, idea

r sentado nos atrás. Coicas y se adados a inv

ocar las hitaimavera (Bo era frecu«caían bienépoca.

a del desarr

bilonios cona: rudimentOSITIVOS Los result

MPIRICA. Lo

sica es la pra. Los griegMATEMATICmétricas) dos de ensade Alejan

emplean Nque son acr ejemplo, √

ntroducen ados durantvo. Por ejFermat re

erfeccionamtras idea.

o estaba disn frecuencidoptaban a ventar la aras que marunt et al., 1uente que n», es dec

rollo de la m

nciben los ptos de ARY FRACC

ados se acos números

rimera civiligos clásicoCA DEDUCde Euclide

ayo intuitivodría, los

NUMEROS ceptados gr√2 = la diag

los NUMERte mil añosemplo, los

echazaron

miento. El El conocim

sponible haia se invencausa de s

ritmética y rcaban los 1976). La vlos nuevos

cir, no enca

matemática

principios eITMETICA

CIONES), Aceptan puras negativos

zación en los son los CTIVA. Loes son el o y error. hindúes y

IRRACIOradualmentgonal de un

ROS NEGAs a causa ds grandes

trabajar c

conocimiemiento queace unos mintaban nuevsu utilidad. P

la geometlímites de erdad es qs métodos ajaban en

esenciales d(NUMERO

ALGEBRA amente sobs y el 0 no

a que floreprimeros e

s Elementproducto d

los árabNALES (pe a causa d cuadrado d

ATIVOS, qude su falta dmatemátic

con númer

nto e el iles vos Por tría los ue, se las

de OS

Y bre se

ce en tos de

es por de de

ue de os

ros



700 d

1540

1650-

Finale

Véase C) DE

Endesarconcrque, anúmepartir o matexperun paconocse imla numconst

. de C. apr

d. de C. ap

-1725 d. de

es del s. XIX

en Burn et al

ESARROLL

muchos arrollo histórreto de los nal igual que

ero. Con el de su mate

temática infriencias conapel esenccimiento infparte en la meración pituye un pa

ox. Losparadoaño

prox. Apaperotard

e C. NewedicPhilconLeib«exincotrav

X Se méramp

l (1976, pp 22

LO MATEM

aspectos, erico de la niños se vae los seres tiempo, los

emática intuformal de loncretas. Cocial en el dformal de loescuela. A

posicional yaso gigante

s hindúes ina indicar u

optan la numos, las cifras

arecen los o no son acde.

wton y Leibciones de ilosophy dencepto básbniz recibxplicación».orrectos, evés de enfo

establecenrico, el ápliaciones)

26-230) una e

MÁTICO DE

el desarrollmatemátic

a haciendo humanos

s preescolauitiva. Recaos niños seomo ocurriódesarrollo dos niños preAdemás, y rey de los algesco para lo

nventan, o una columnmeración hs arábigas

NUMEROSceptados ha

bniz crean eThe Mat

e Newton osico (las dió el nom. A pesar deel cálculo oques intuiti

n los fundaálgebra y .

explicación m

E LOS NIÑO

o matemátca: el conocada vez mprimitivos,

ares elaborapitulando le desarrolla ó en el desade este coepara el tereproducienoritmos deos niños. E

adoptan, una vacía o hindú y, desllegan a se

S COMPLEasta cerca d

el CALCULOthematical ofrece una derivadas). mbre de «e sus fundaencontró mivos.

amentos lóel anális

ás detallada.

OS

tico de losocimiento mmás precisolos niños p

ran una ama historia, la partir de

arrollo históonocimientorreno para lndo la histor cálculo ba

En realidad

un símboloen blanco

spués de ceer de uso co

EJOS (por ede doscient

O. Cada unPrincipies

explicaciónEl primer

«enigma» amentos vamuchas ap

ógicos del is (el cál

s niños cormatemáticoo y abstractposeen algú

mplia gama la matemátnecesidad

órico, contao informal. a matemátiria cultural, asados en e, los niños

o para el «0. Los árabentenares domún.

ejemplo, √-tos años m

na de las trs of Naturn distinta dr artículo d

en vez dgos e inclu

plicaciones

sistema nlculo y s

rre paraleloo imprecisoto. Parece ún sentido de técnica

tica no escoes práctica

ar desempeA su vez,

ica formal qel dominio

este conceno acepta

0» es de

-1) ás

res ral del de de so a

nu-us

o al o y ser del s a olar as y eña , el que de pto n y



aprengener Cono

Se

pequeWilliarumo1980meseentre

¿Csentidconjucon trestímsentaeste niño nniñosdifere

¿Ranterintroddistribejempsoniddejande econju

El Los ncincoconjunecespequeden d

nden de inmral, choca c

ocimiento i

entido natureños carec

am J ames crosa. Sin e; Starkey, S

es de edad conjuntos

Cómo pueddo numéricuntos de canres objetos

mulo, e bebaciones segmomento, no se perc

s tienden aencia. Realmente ior, los niño

duzcan objebución de lplos de tres

dos que unan de encontnumeración

untos de objalcance y l

niños peque. Además,

untos de tsariamenteeños distingde magnitud

mediato la mcon sus pau

ntuitivo

ral del númcen esenciacaracterizó

embargo, inSpelke y Gpueden dide tres y cuen determi

co básico? ntidades dis

s (por ejempbé fija su guidas de trel psicólogata de la d

a prestar a

presta atenos se van aetos distintos objetos

s objetos, loa secuenciatrar interesan o corresjetos. la precisióneños no pu el hecho tres y cuae que sepaguen entred.

matemática utas actuale

mero. Duranalmente deel mundo

nvestigacionGelman, en

stinguir entuatro elemeinar los psiPara ver

stintas, el pplo, Starkemirada en

res, la noveo introduce

diferencia, satención ot

nción el niñaburriendo tos o se mno influye

os niños sea de dos o cante. Al paspondencia

n del sentidueden distin

de que paatro elemean que 4 e números p

formal que es de pensa

nte mucho e pensamieinfantil comnes recientprensa) indtre conjuntoentos. cólogos qusi un niño

psicólogo ley y Cooper

n la imageedad desape un conjunseguirá sin ra vez, ind

ño a los capaulatinam

modifique laen la aten

interesan mcuatro. Parerecer, los n

que les

o numériconguir entre arezcan cantos de ues más qupequeños, q

se imparteamiento.

tiempo se ento matem

mo una cones (por ejedican que ios de uno,

ue los niñospequeño

e presenta, r, 1980). Inen. Sin emparece y lanto de cuatprestar ate

dicando qu

ambios de cmente con ea posición

nción. En remenos en oece que es niños pequepermite dis

o de un niñoconjuntos

apaces de una manerue 3. Es dquizá no pu

e en la escu

ha creído mático. En fusión resp

emplo, Starkincluso los dos y tres

s pequeñospuede discpor ejemploteresado p

mbargo, traa atención dtro (o dos) ención. Sin ue se dan

cantidad? Eel «tres» ade los tre

ealidad, y toír una secula cualidad eños poseestinguir en

o pequeño mayores ctratar, por

ra distinta,decir, aunquedan orde

ela ya que,

que los niñuna ocasi

plandecientkey y Coopniños de s

s elementos

s poseen ecriminar eno, una imagor este nue

as varias pdisminuye. objetos. Sembargo, cuenta de

En el ejemun cuando

es objetos. ras ver varuencia de t

d de tres lo qen un procetre pequeñ

son limitadcomo cuatror ejemplo, no signif

que los niñenarlos por

en

ños ón, te y per, seis s, y

este ntre gen evo pre-

En i el los

e la

plo se La

rios tres que eso ños

os. o y los

fica ños or-



NonumépreesintuitivdirectConcr(Von manomismamanoimporconcr

CutamañA losexpresus exejemppregude coMadeconju

Poconjuzona escogperceevalumás o

Invque dlos ppuedelos ninombcorrecescueconsid

ociones intuérico básicoscolares pavos más soa que los nretamente, Glasersfeld

o. Tomar doa mano. T

os. Aunque rtancia fundreta para diuando empño diferentes dos añosesar relacionxperienciasplo, Alfred untó a su hijonjuntos paeleine sólo ntos que te

osteriores prntos que teabarcada p

gía como «eptivos, coaciones intobjetos. vestigacionedeterminen reescolaresen hacerlo iños que s

brar como «ctamente «ela). El niñoderables pr

uitivas de o de los niarten de eofisticados.niños empiese da una

d, 1982). Uos bloques Tres bloque

estas diferdamental pstinguir y o

piezan a ane sino que ps de edad nes matems concretasBinet (196ja de cuatrarecidos apodía con

enían más eruebas demenían más por cada co«más» el mo la lontuitivas. En

es recientecuál de doss atrasadorápidamen

se incorpor«más» el mmenos» es

o que no pueroblemas e

magnitud yños constit

este sentid Es a partiezan a com diferencia

Un niño, porequiere la

es no se prencias puepara el niñ

ordenar el 1ndar, los npueden hacaproximad

áticas (Was. Pueden c69), el padro años de e

a los dos qntar hasta elementos. mostraron q

elementosonjunto (Ginconjunto qngitud, tam

muchos ca

es confirmas conjuntos

os y los nite y sin co

ran a la esmayor de dos mucho máeda usar «mducativos.

y equivalentuye la baso del númr de la exp

mprender nevidente e

or ejemplo,as dos manpueden tomeden parecño pequeñ, el 2 y muc

niños no sócer compardamente, logner y Walt

comprenderre de las medad, Madeque se mutres, pudo

ue los juicios se basabansburg, 198que abarcambién puedasos, la má

n los results tiene «máños pequentar (Barooscuela debos conjuntoás difícil y pumás» de es

ncia. A pese del des

mero y deperiencia coociones co

entre el uno, puede tom

nos o dos inmar simultácer trivialeso que juechos. ólo distinguraciones gruos niños aters, 1982) r «igual», «modernas peleine, queuestran enseñalar co

os intuitivo an en indic82). De maaba más exden ofreceás larga de

tados de Bás», los niñoeños de cuody y Ginsbberían ser os manifiesuede que n

sta manera

sar de todsarrollo matsarrollan c

oncreta de omo la mago y colecciomar un blontentos sucáneamentes para un aga, y ofre

uen entre uesas entreaprenden pque puede

«diferente» pruebas de

e compararan la figura on mucha

s de Madelcios percepnera intuitivxtensión. Oer una bae dos hilera

inet. Cuandos de tres aulturas no burg, 1982bcapaces d

stamente dino se aprendintuitiva pu

do, el senttemático. Lconocimientla percepc

gnitud relativones mayoroque con ucesivos con con las d

adulto, son ce otra ba

conjuntos e magnitudpalabras paen asociarsey «más». P

e inteligenca los tamañ

2.3. Aunqexactitud

eine sobre ptivos comova, MadeleOtros indicase para as suele ten

do se les paños de edalfabetizad

b). Casi tode distinguiistintos. (Uda antes deede presen

ido Los tos ión va. res

una n la dos de

ase

de es. ara e a Por cia, ños que los

los o la ine

cios las ner

ide ad, das dos r y sar e la ntar



Sin

compfrecueel áredos bcontesamemismcaram

La formalugar,formamismbloqubiunív

Fig

n embargoaraciones ente que ela y la longitbandejas dner cantidante en unao número

melos estántarea de co

a concluyen se estable

a una hileraa cantidad e azul a c

voca (véase

gura 2.3 Ele

o, como loque hacen aspecto retud no siemde carameades diferea que en otde carame

n más juntoonservaciónnte las limitaece la iguaa de, digam

de bloquecada bloque la fig. 2.4.

ementos de

os niños n entre magefleje fielme

mpre son indlos pueden

entes porqutra. Por otr

elos pero qs en una qun de la cantaciones delaldad de domos, siete bes azules. Sue blanco. A) se pide

e una prueb

basan susgnitudes pente la cantdicadores pn ocupar lue los carara parte, poue ocupanue en otra. tidad (por ejl conocimieos conjuntobloques blaSe insta al

Una vez al niño que

ba para la n

s juicios eueden ser tidad, los in

precisos de la misma

amelos estáodemos ten una supe

jemplo, Piaento intuitivoos por equiancos y pide

niño a queestablecida

e confirme s

noción «má

en las apaincorrectas

ndicios percla cantidadsuperficie án agrupadner dos barficie distin

aget, 1965) o de los niñvalencia. Ee al niño qe haga cora esta cor

si las dos hi

ás»

ariencias, s. Aunque ceptivos co. Por ejemppero pued

dos más dendejas conta porque

demuestraños. En primEl examinadue coloquerresponder rrespondenleras tienen

las es

mo plo, den en-n el los

de mer dor e la

un ncia n el



mismaprecacuer

A ccontincantidejempmodifcantiden el en quconjuconseequivcantidmagn

Nopermimuy pobjetorecipipara correstiempotro rcontequitabreconrecipirecipial queintuitiv

Sinrecipifracasrecipicomonueve

o número dciar las canrdo en que continuaciónúa creyendad). Mientplo, en la fificada la londad. Como aspecto pa

ue la hilera ntos de lon

ervación» aalencia inidad). Es evnitud y de la

ociones intuite a los niñpronto que ao hace queentes a unque el n

spondenciao que se c

recipiente. Cnían la mis

ba un objetnocer que laente y, comentes. Por ee se había ava para comn embargo,entes contsa. Por ejeentes y nu «más». Pe

e y cuatro a

de objetos. ntidades reambas hile

ón se modifdo o no qutras el niñoigura 2.4.Bngitud se vula longitud y

ara juzgadamás larga

ngitudes dis este fenómicial tras vidente qu

a equivalenc

uitivas de laos reconocañadir un oe sea «meos preescoiño exami

a, se colocacolocaba unCuando el sma cantidato de uno da adición omo resultadejemplo, loañadido un mprender la, la aritméttienen inicemplo, si eve en el oero si a conal que tiene

Puesto queelativas, aueras tienen ica el aspeue los dos o observa, s se observ

uelve a pregya no reflej

a se equivoca tiene másstintas no smeno porquuna transfe la compcia es Impr

a adición y cer si una cobjeto a una

enos». En olares. Se cnado no aba el mismn objeto en niño había

ad de objetde los recipo la sustracdo, modifics niños idenobjeto. Par

a adición y tica intuitivaialmente cal principiootro, los nintinuación e cinco, los

e la longitudn los niñosla misma ccto de uno conjuntos se alarga o

va que se hguntar al niña fielmentecan. ¡En res! Parecen son equivalee el niño noformación prensión intrecisa.

la sustraccolección ha

a colección hun estudio

colocaban plos pudiermo númerouno de los

a manifestaos, se le hapientes. Locción de obcaba la relantificaban fárece que lola sustracc

a se limita cantidades o se colocños identifise añaden niños pien

d proporcions de tres a

cantidad. de los conjson coordi

o se acortaha alargadoño si las do

e la cantidadealidad, los

estar conventes. Piago mantiene del aspectuitiva que

ción. El sena sido alterahace que se

o (Brush, 1pantallas da ver. Meo de objetos recipienteado que losacía observ

os niños nobjetos modiación de eqácilmente c

os preescolación. a modificadesiguales

can cinco icarán corrdos objeto

nsan que ah

na una baseaños de ed

juntos paranables (tie

a una de lao la hilera aos hileras tied, los niños niños pequ

vencidos deget (1965) d(conserva)

cto (irrelevatienen los

ntido del núada. Los niñea «más» y978) se melante de loediante unos en cada es se colocas dos recipvar cómo s tenían difificaba la caquivalenciacomo «másares ya pos

aciones evids, la aritmobjetos en

rectamente os al recipiehora es ést

e precisa padad están

a ver si el nnen la mis

as hileras. Pazul. Una venen la misque se bas

ueños insiste que los ddenominó «) la relaciónante para s niños de

mero tambños reconocy que quitar

mostraban dos recipien proceso recipiente

aba otro enientes ocule añadía oicultades pantidad de

a entre ambs» el recipieseen una ba

dentes. Si ética intuit

n uno de a este últi

ente que tiete el que tie

ara de

iño ma Por vez ma san ten dos «no de

la e la

bién cen r un dos

ntes de

: al n el ltos

o se ara un

bos nte ase

los tiva los mo

ene ene



más. añadíimpre

Cono

Un

simpleapoyarealidnombpara dHaciadesigaños tres (

Para los niían más obecisa.

ocimiento i

na prolongae y llanamean cada vezad, poco d

bres de los designar to

a los dos anar «muchousan «unopor ejempl

iños pequebjetos al pri

nformal

ación práctiente, no es z más en indespués de

números. odas las pluños y medos» (más d

o», «dos» yo, «cuatro»

eños, 5 + 4 imer recipie

ica. Los niñsuficiente p

nstrumentose empezar Hacia los d

uralidades: dio, los niñoe dos objet

y «tres» cor») para ind

es «más qente. Evide

ños encuenpara abordas más preca hablar, l

dos años ddos o másos empiezatos). Al iguarrectamentedicar «much

que» 9 + 2 entemente,

ntran que ear tareas cucisos y fiableos niños ee edad, em objetos (Wan a utilizaal que Allisoe y empleahos». Al et

porque hanla aritmétic

el conocimiuantitativases: numerampiezan a

mplean la pWagner y W

r la palabraon, muchos

an un términtiquetar col

n visto queca intuitiva

iento intuitiv. Por tanto,

ar y contar. aprender

palabra «doWalters, 198

a «tres» pas niños de trno mayor qlecciones c

se es

vo, se En los

os» 82). ara res

que con



núme«másdetermpeque

Poparte.objetouna edirectcomoespecbase identifofrecelas idabstra

Limfundalimitacútiles requea ser van ha ser grandinmed

Co

La limitacniños escritprocearitmé

eros, los niñs». Los preeminar exacteñas, de un

or tanto, con. Por ejempos distintosedad tan cta juntameno «tres» no ecificar conjupara el emficar como e a los niñodeas mateacto y la ar

mitaciones. amentalmenciones práca medida q

eridos par~ prohibitivosaciendo cacompletam

des. Más adiata, no pu

onocimient

matemáticciones de

de los coos ofrecen

edimientos éticos con n

ños poseenescolares itamente losna coleccióntar se basplo, contar

s y distribucorta como nte con coestán ligadauntos equivmpleo de e

equivalentos el vínculoemáticas aitmética ele

Aunque nte importacticas. El cque los númcontar o cas. A medida

ada vez másmente incaaún: aunquueden propo

to formal

ca escrita yla matemáonfines de

un medio escritos p

números gr

un medio pincluso llegs efectos den.

sa en el conproporcion

ciones diferlos seis mntar, los nas a la apar

valentes. Coetiquetas ntes conjunto entre la pbstractas,

emental al a

la matemante de lontar y la ameros se halcular de una que los ns propensopaces de uue los métorcionar reg

y simbólicatica informsu matempara anota

proporcionarandes. Má

preciso pargan a desce añadir o s

nocimiento na una etiqrentes que meses. Mediños descuriencia de con el tiempuméricas ctos que no percepción pero gene

alcance del

ática inforla matemáaritmética iacen mayona manera úmeros au

os al error. Eusar procedtodos inforgistros a la

a que se imal. La mate

mática relatar númerosan medioss aún, los s

ra determinubrir que c

sustraer can

intuitivo y ueta comúlos niños v

diante el eubren que conjuntos u o, esta com

como «sietepueden vedirecta con

erales. Col niño pequ

rmal repreática intuitnformal se

ores. El tieminformal sementan, losEn realidaddimientos irmales prorgo plazo.

mparte en emática fortivamente s grandes ys eficaces símbolos y

ar «igual», contar puedntidades, al

lo complemn «<tres»)

ven como empleo de las etiquetobjetos y s

mprensión pe» o «diecerse como ncreta, si bintar coloceño.

senta unativa, tambhacen cad

mpo y el ese hacen enos métodos , los niños informales porcionan

las escuelarmal puedeconcreta. Ly trabajar c

para reallas expresi

«diferente»de servir pa menos si s

menta en gra tripletas

equivalentesla percepcas numéric

son útiles paproporcionacinueve» pa

tales. Conien limitadaa el núme

a elaboracién presen

da vez menfuerzo men

ormes y lleginformales pueden llegcon númeruna soluc

as supera e liberar a Los símbocon ellos. Llizar cálcuiones escri-

» o ara son

ran de s a ión cas ara a la ara ntar a, y ero

ión nta nos ntal gan

se gar ros ión

las los

olos Los los -



tas puenorm

Esbase unidamúltipgamarealizproponúme1982-una mque in

Aucompparecnúmeconteno cacompevolues u(repreDe heconcrlos alg

D) IMIN

La no sode losla escy Ginmeno1984;inform

ueden ofrecmemente la esencial qdiez. Para des,' decen

plos de dieza de tareasar aritmétic

orcionan el eros de va-1983). En manera másntervienen nunque la maorta apren

cer extrañoeros y en lmpla como

aptan de inrensión deción. Así, lona decenaesentante decho, muchretos bastagoritmos pa

MPLICACIONFORMALE

teoría cogn simples r

s niños, inclcuela con unsburg, 198os, algunos

Baroody mal de la fam

cer registroa capacidadue los niñotratar con cnas, centenz ofrece a matemáticca mental crazonamienrias cifras pocas palas abstracta números gratemática fonder nuevas y difícilela aritmético 14 unidadnmediato l

e la notacióos niños pua y cuatrode una coluhos niños pnte despuéara realizar

ONES EDUES COMO

nitiva indicarecipientes luyendo losna gran can84). En rea conocimiey Snyder, milia, los co

os claros y pd de la mems aprendan

cantidades nas, etc. (Plos niños flcas, incluyecon númeronto subyacy sumar obras, la ma y poderosarandes. ormal pued

as técnicases. Los niñca en térmdes o comoa notación

ón posicionueden tardao unidadesmna vacía)ueden cont

és de habér operacione

UCATIVAS:BASE

a que los nvacíos que

s procedentntidad de coalidad, mucentos inform

1983). Losompañeros,

permanentemoria. n los concemayores eayne y Ratexibilidad yendo ordenos de variaente a muco restar coatemática foa, y aborda

de potencias y concepos llegan

minos de coo 13 unidadn posicionanal en los nar bastante s. La idea) puede tardtinuar aferrrseles preses con aca

: LOS CON

niños que ae deben llentes de familonocimientochos niñosmales (Baros preescola la TV y los

es que pue

ptos de los s importantthmell, 197y facilidad pnar (compaas cifras. Lochas técnicaon acarreoormal permar con efica

ar mucho laptos que, aa acostumontar. Un es y una m

al. Como oniños es eltiempo en a del 0 cdar mucho rándose a losentado losrreo.

NOCIMIENT

caban de innarse de colias de bajoos matemá

s de educaoody, 1983ares apren

s juegos ant

den amplia

órdenes dete pensar e5). Pensar para abordarar) números órdenesas básicas

o («llevandmite a los niñacia los prob

a capacidadal principio

mbrarse a pnúmero co

más. Los niñocurrió en l resultado ver, por ejecomo cifratiempo en os métodoss órdenes d

TOS

ncorporarsenocimiento

o nivel econáticos información espec3a; Baroodynden muchates de llega

ar

e unidadesen términos

en decenaar una ampros grandes de unidadcomo escro») (Resniños pensar blemas en

d de los niño, les puedpensar en omo el 14 ños pequeñla historia,de una le

emplo, que a significatdesarrollars informalede unidade

e a la escuos. La mayoómico, lleg

males (Russcial tienen,y y Ginsbua matemát

ar a la escue

de de

as y plia s y des ribir ick, r de los

os, den los se

ños la nta 14

tiva rse. s o s y

ela oría a a sell , al urg, tica ela.



. La

conocmatemescuede coPuestanterisignifiasimilbase la escintrodtiendeinformdominavanzde vis

1. informcuentexplosignifaprenpuedinstrutemasbásiclos óreste plos qu

2. instruenseñconocmemodestrumuchse im

a matemáticcimiento intmática podeela. Como ontar ofrece to que el iores, el coicativo de lalar nueva infundamentcuela. La induzcan las ten a interprmal (Hiebernio de las tzada. A consta que tien

La enseñmal de losta el conoc

otar las poficativa e ndizaje esce tener im

ucción forms de nivel

cas hasta erdenes de principio seue tienen pEn gener

ucción formñanza formcimiento inforístico y uctivas. Incos niños se

mparten en

ca informatuitivo, limiterosa y preocurrió en laa los niñosaprendizaje

onocimientoa matemátnformaciónal para comnvestigaciótécnicas, síretar y a abrt, 1984). Ptécnicas bántinuación snen una imp

ñanza forms niños. Ecimiento motencialidainteresantcolar tengaportantes

mal con el primario,

el aprendizunidades

e aplica a problemasral, las lag

mal puedenmal se intrformal quela aparici

capaces dee limitan a mla escuela

al de los ntado e imprecisa basada historia, las una base e implica

o informal dica formal. a lo que y

mprender y n cognitivambolos y co

bordar la maor tanto, la

ásicas y parse describeportancia cl

mal debe Es esenciamatemáticoades informe. Ademáa éxito, la econsecuenconocimiedesde el

zaje de concomo el cniños con

s de aprendgunas exisn explicar roduce cone ya poseeón de proe conectar memorizar . Muchos n

iños es el reciso y basda en símboa experiencpara adquiruna constr

desempeñaComo el a

ya se conocaprender la indica queonceptos matemática fa matemáticra enfrenta

en dos implave.

basarse eal que la po informal dmales paras de aum

explotaciónncias afect

ento informdominio d

nceptos y cálculo conuna gran vdizaje y los

stentes entlas dificult

n demasiaen los niñooblemas dla matemá

y utilizar mniños inclus

paso intesado en suolos abstraccia práctica rir técnicas rucción a

a un papel cprendizaje ce, el conocas matemáe, independmatemáticosformal en fuca informal

arse con éxicaciones e

en el conplanificacióde los niñoa que la e

mentar la pn de los putivas. El pr

ma es aplicade las comprocedimien acarreo. variedad ds que prestre el conotades de ada rapidez

os, el resulde aprendiática formaecánicameso llegan a

rmedio cruu percepcióctos que sey relativamnuméricaspartir de ccrucial en ees un proccimiento infticas que s

dientementes en la escuunción de sl es fundam

xito a la maeducativas

nocimiento ón educatios. Los maeenseñanzaprobabilidauntos fuerterincipio deable a toda

mbinacioneentos relacTambién ve aptitudes

sentan retrocimiento aprendizajez y no seltado es uizaje y/o al con algoente las mata no poder

ucial entre n directa, y

e imparte enmente concre

y aritméticconocimienel aprendizceso activo formal es ue imparten e de cómo uela, los niñsu matemátmental paraatemática mde este pu

matemátiva tenga estros deba formal sad de quees informa relacionara la gama es numériccionados cveremos qs, incluyenraso mentainformal y

e. Cuando e basa en n aprendizde creenc

o significatitemáticas qmemorizar

su y la n la eta as. tos aje de

una en se

ños tica a el más nto

tico en

ben sea e el les r la de

cas con que ndo al. y la

la el

zaje cias ivo, que r ni



datosrecha

Soy el cotécnicunidacaptaOtrostécniceducatransien la

ni técnicasazo hacia la

obre todo esonocimientcas y los codes de basr la notació tienen pro

cas eficaceación especión entre lnotación po

s. Otros piea misma e in

s muy probao informal d

onceptos, rese diez. Co

ón posicionablemas con

es para macial los qula aritméticaosicional.

erden interéncluso llega

able que lasde los niñoselativamentomo consecal y experimn la represeanejar númue pueden a informal b

és en la maan a temerl

s lagunas es provoquete abstractocuencia, mu

mentan dificentación eneros grandtener gran

basada en c

teria, desala.

existentes een dificultados, relacionuchos niñoultades con

n base diezdes. Sobre ndes dificulcontar y la

rrollan un s

entre la instrdes de apreados con los tienen prn las técnicaz y no pued

todo, son tades paraaritmética f

sentimiento

rucción formendizaje de os órdenes roblemas paas de acarren desarrolos niños

a franquearformal basa

de

mal las de ara reo. ollar

de r la ada



Co

suelede edinformescola

A) ELEl cas

Hahabíaque csoltó puntoAun dse deenseñocho)«más

La contanumécontason «resolvnuevecompsoluciconjuuna v1983)por semenc

1 LMatheaños y

ontar oralmn desarrolladucación emal? ¿Qué ares?

L DESARRso de Alex

acia los veina empezadocontara los a toda pris

os en fila, sdespués deesconcertañaban dos ) también l». técnica de

r con exacéricas. Sin er de palabr

«tres». Adever el probe y otro dearar las canión del probnto con 9 eariedad de ). Lo complentado los

cionadas en

as conductasematical Abilityy 11 meses de

T

ente, ¿impar durante l

especial adtécnicas s

OLLO DE Txi

ntiséis meso a experimtres puntosa: «1,2, 3, eñaló al az

e poder conba cuandoconjuntos e sorprend

e Alexi paractitud conjuembargo, hra casi hasmás, para

blema de d ocho) tienntidades reblema tambes más.» Ptécnicas paicado que padultos, qu

n el párrafo

s que se desy (Ginsburg ye edad.

Técnicas

plica aptitudlos años pr

dquirirán tésuelen requ

TECNICAS

ses de edadmentar con s de una fo4, 5, 6, 7, 8

zar y variasntar con exao se le pr

(por ejempdía que se

a contar oruntos de o

hacia los cinta 29, sinoun niño típ

determinar ne más elemsultantes. D

bién es fácilPor tanto, eara contar ypueda ser eueda revelaanterior.

scriben más y Baroody, 19

s para

des numérieescolares

écnicas básuerir instru

S PARA CO

d, Alexi polos númer

ormación tr8, 9, 10.» Cs veces e cactitud conjreguntaba plo, una ta

le pidiera

ralmente nobjetos o pnco años d que inmed

pico de cinccuál de domentos: sóDespués demente visibn cuestión y muchas meste desarroado por un

adelante se 83) y represe

contar

icas? ¿Qués? ¿Podemosicas para cción dura

ONTAR

día contar ros hasta eriangular, ACuando se conjunto miejuntos de hcuántos harjeta con nque señal

o garantizapara el eme edad 1, lo

diatamente co años es os conjuntoólo hay quee contar cadble para losde pocos a

maneras deollo, o en q

n examen d

basan en lasentan la capac

é técnicas os suponercontar de

nte los pri

de palabral 20. Cuan

Alexi señalóle pidió queentras decí

hasta cinco abía conta

nueve puntlara la tarje

aba una campleo de oos niños nodeterminaevidente c

os (por ejee contar cada conjunto niños de caños los ni

e aplicarlas ué medida

detallado de

s normas de cidad -media»

de contar r que los niñ una manemeros curs

a del 1 al 1do se le pió los puntoe contara tía: «8, 9, 1objetos, Al

ado. Si se os y otra ceta que te

apacidad paotras técnico sólo puedn que ••• y cómo se demplo, uno da conjunto

o de puntosinco años: ños aprend(Fuson y Hllegan a dae las técnic

la prueba E» de un niño d

se ños era sos

0 y dió s y res 0.» lexi

le con nía

ara cas den

••• ebe

de o y

s, la «El den

Hall, arlo cas

Early de 4



Una j

EnWallaautomejecutécniccompnecesde nuentre

Ende losempeen unnúmepezaba consecueRicha

Enaplicadenomcorrectres, pa cadel niñcada etiquela serpuedeenum

Enconveconsigduranconju, 9", cenum

jerarquía d

su mayor ace, 1973).máticas y sutarse con e

cas en la mpleja (por ejsita para reueve puntos

magnitude primer lugs números

ezado a domo. Sin emb

eros en el oba a contar ntar un conencia correards y Briars segundo

arse una pomina enumctamente, nporque todaa elementoo debe cooelemento detas y los obrie numéricen coordinaeración (al tercer lug

eniente de gue median

nte el procento. En otracon «nueveerar conjun

de técnicas

parte, la ca Con la pru ejecucióneficiencia, pmemoria de jemplo, Sch

ealizar la tas es «más" es numéricaar, la técnicen el orde

minar la serargo, cuandorden corredesde «uno

njunto a pacta para cos, 1982). lugar, las

or una a cadmeración. Ano podía enavía no habo de un conjordinar la vede una colecbjetos. Com

ca y señalaar con eficamenos con

gar, para hrepresenta

nte la regla eso de enumas palabrase» y la serintos, no ha

s

apacidad deráctica, las

n requiere mpuede proce

trabajo (a haeffer, Egrea apareno «menos"

as requiere ca más básen adecuadrie numéricado se le pedecto de foro". Hacia lortir de «unontar conju

palabras (da objeto d

Aunque Alexnumerar un bía aprendidjunto. La enerbalizacióncción para

mo los niñosr una vez c

acia las dosn conjuntoshacer una ar los elemdel valor c

meración res, un niño die «1, 2, 3,abía descu

e contar se técnicas p

menos atenesarse simucorto plazogleston y S

ntemente se" que otro dla integrac

sica es gendo. A los da oral y, a vdía que conrma cohereos tres añoso» y al em

untos de 10

(etiquetas) de un conjuxi podía geconjunto d

do que debenumeraciónn de la sericrear una cs de cinco acada uno ds técnicas ps de hasta 1comparació

mentos quecardinal: la úepresenta ee cinco año, ... , 8" cobierto que

desarrolla jpara contación. Cuanultáneameno) para formScott, 1974encilla de dde ocho. Reción de cuatnerar sistemdos años dveces, podíntara objetoente. Por ejs de edad, lo

mpezar párv0 elemento

de la secnto. La accenerar la se nueve elee aplicarse n es una téce numérica

correspondeaños puedede los elempara ejecuta10 elementón, un niñ

e contiene última etiquel número os puede ren «ocho». la última e

jerárquicamr se van hdo una técn

nte o integramar una téc4). Considerdeterminar sealizar estatro técnicas

máticamentede edad, Aa contar ha

os, aún no pjemplo, a vos niños suvulos ya pu

os como mí

cuencia numción de conserie numéementos, y una, y sólo

cnica compa con el señencia biunív

en generar cmentos de u

ar el acto cos). o necesitacada conju

ueta numéritotal de ele

esumir la seComo Alex

etiqueta de

mente (Klahhaciendo mnica ya puearse con otcnica aun mremos qué si un conju

a comparacs. e los nomb

Alexi ya haasta 10 de upodía decir veces no e

uelen empezueden usarínimo (Fus

mérica debntar objetosérica hasta

ni siquiera o una, etiquplicada porqñalamiento voca entre correctameuna colecciócomplejo de

una maneunto. Esto ica expresaementos enerie «1,2, 3xi no podíaeste proce

hr y más ede ras

más se

nto ión

res bía

uno los

em-zar r la on,

ben se 10 de

eta que

de las nte ón, e la

era se

ada n el , ...

a ni eso



tiene serie

Encompedad,pequeuna mgruesel 10 vlos nmagncon ladespu

Poconjuadultoun retlos ciestará

Algtienendominde cay otrala esc

CoSe

empiede doal., 1910 paempe3, 4» 7 parade doy el 9

un significanumérica c cuarto lugrender que los númer

eños lleganmagnitud resas entre maviene much

niños pueditudes de n

as relacioneués del 8, a

or tanto, connto de ochos pueden to intelectuanco años, lán listos pagunos de eln lesiones cnar estas téapítulo se deas técnicas colarización

ontar oralmerie numériezan a contos años pue982). Al prinara unirlas mezó a usar, para hacera completa

os cifras 19 .

ado especiacon la definar, las tres

e la posiciónros no definn a aprendelativa. Aun agnitudes cho más tardden llegar números sees de suce

así que el 9

ntar para deho no es, cdar por seal imponenla mayoría

ara enfrentalos -sobre t

cerebrales oécnicas básescribirán cmás elabo

n.

mente ica. A una tar oralmeneden contarncipio, los nmás adelande una manr «2, 3, 4, 8r la serie hay 20 r' muy

al. A sus doición de la técnicas a

n en la secnían tamañoer, tarde o los niños m

como «10 ede en la sec

a hacer eguidos comesión numé

es más gra

eterminar qucognoscitivantadas las te para los de los niño

arse a nuevtodo los queo los menta

sicas y nececon mayor dradas que

edad tan nte de uno er «1, 2» peniños puedente. Por ejenera regula, 9, la». Deasta 10. A lpoco despu

os años de cantidad decabadas de

cuencia defos relativostemprano,

muy pequeñes más grancuencia de con rapide

mo el 8 y el érica («cuanande»).

ue un conjuamente hacuatro técnniños de d

os habrán vos desafíose procedenalmente atresitarán unadetalle las cse desarro

corta comen uno («1ro luego emen aprendeemplo, Alexar, la serie «espués añadlos veintiséués, inserta

edad, Alexe un conjune describir fine la mags para Alexi

que la serños puedennde que 1»,enumeracióez compar9, porque e

ndo me po

unto de nueblando, unnicas implicos años dedominado es.

n de entornarasados- pua atención cuatro técnllan durante

mo los diec, 2, 3 ... »). mpiezan a oer partes dexi (hacia los«8, 9, 10». dió el 5 y eis meses, Aaba la ristra

xi todavía nnto. son indispenitud. A losi. Sin embarie numéricn realizar co quizá porqón. Hacia loraciones pestán muy ngo a cont

ve puntos e acto triviacadas, ésta

e edad. Cuaestas técni

as con careueden no haespecial. E

nicas básicae las prime

ciocho mesLa mayoría

omitir térmie la serie nus veinte meMás adelanl 6 y, finalmAlexi añadióa «11, 12, 1

no asociaba

ensables pas dos años argo, los niña se asociaomparacionque saben qos cinco añrecisas enfamiliarizadtar, el 9 vie

es más queal. Aunque as constituyando lleguecas básica

encias, los qaber llegad

En lo que reas para coneras etapas

ses, los niña de los niñnos (Fusonumérica haeses de edante añadió

mente, el 1 yó los núme3» entre el

a la

ara de

ños a a nes que os,

ntre dos ene

e un los

yen n a

as y

que o a

esta ntar

de

ños ños n et asta ad) «2, y el ros 10



Co

Comoprimeera, sparecenlazación frecuenumédetermtiene los ténumérestanoriginLos nla regrealidregla Los ereglas-inclu«diec(Barores intratantrata dlas pmentamalla

2 Enombrcaractedel T.)

ontar oralmeo ilustra el ceras técnicasimplementecía no ser adas gradumenos adencia, este

érica por mminado, sobuna importa

érminos hasérica postentes númeral (6, 7, 8, úmeros de la de antepad, para coy el orden

errores ques que subyyendo los

cicinco» pooody y Ginsndican claran de constrde errores r

pautas de almente atr

as pautas de

n el original res de los nerísticas de lo.

ente suele ecaso de Aleas orales que, una cantmás que u

ualmente enecuada detérmino se memorizacbre todo duancia fundasta el 15 2

erior puederos hasta e9) Y antepla segunda

poner «20,>ontar de unde las dece

e cometen lyacen a su s que prer 15, «diec

sburg, 1984amente queuir sus prorazonablesla serie nurasados pae la serie n

se hace refenúmeros 11 os nombres de

equipararseexi, contar ue empleantinela verbauna cadenantre sí. Sin e los posteemplea pa

ión. Aunquurante las etamental pa2 se aprende generarsel 20 puedoniendo «la

a decena (2> a cada unno en uno henas (10, 2los niños acuenta orasentan ret

cidiez» por 4; Baroody ye los niños pios sistem porque sonumérica quarecen ser umérica.

ncia al númea 19 en inge estos núme

e con «conde memor

n los niñosal sin sentida de asociaembargo,

eriores inteara indicar que la memtapas iniciara ampliar edan de mese medianden generaa y>; (por e21,22, 23, ..na de las unhasta 99 el0, 30..., 90

al contar sol, sobre todtraso men20, o «ve

y Snyder, 1no se limit

mas de regln ampliacioue el niño

capaces d

ero 13. Debidglés, se ha eros en castel

tar de memia es una b para conta

do. La serie aciones apcontar de mentos de cque los niñomorización

ales, el apreesta serie. emoria, la te reglas

arse continuejemplo, «d.. , 29) se pnidades (del niño sólo ).

on una buedo de 20 pantal- se inintidiez, ve

1983; Ginsbtan a imitaas (Barood

ones lógicasha abstra

de ver, emp

do a las caraoptado por lano. Véase t

moria». buena descar. Su mannumérica i

prendidas dmemoria escontar. Coos aprenden

desempeendizaje regAunque esmayor part(Ginsburg

uando con dieciséis, dipueden genel 1 al 9) untiene que a

na señal dara arriba. nventan téeintionce», burg, 1982br a los adu

dy y Ginsbus, aunque inído. Así, aplear y, a v

cterísticas quadaptar la ttambién la not

cripción de nera de connicial de Al

de memorias una descron demasian toda la seña un pa

gido por regs probable qte de la se, 1982). Lla secuen

iecisiete ... erar media

na por una. aprender e

e que exisMuchos niñrminos copara 30 y

b). Estos erultos, sino qurg, 1982). ncorrectas,aun los niñveces, apli

ue presentan raducción a ta número 12

las ntar lexi a y rip-ada erie apel glas que erie Los ncia

»). nte En

esta

ten ños mo 31

rro-que Se de ños car

los las

(N.



Auhacendan csecuelleganpara cdecenniño respacontapero hipótey empOtra huna vcuencejempcuandpara sesenhasta

Endecentiene aprenmemode depuedeadquisecue

Elausar flexibila sesiguie«daba

unque la mn progresosuenta de qu

encia de lasn los niños acontar hastnas de memforma la a

aldan esta cr hasta 30 no han apesis es que plean este hipótesis, coersión modcia de las uplo de esta do llegaba así para ave

nta») (Baro llegar a 10

n realidad, nas (hipótessentido po

nderlas todoria la primeescubrirse le ser algo peren una p

encia.

aboracionessu represeilidad (Fusorie numéric

ente a un núa el pie».

ayoría de ls con la parue las deces unidades a resolver eta 100 de umoria en foasociación

conjetura. Aó 39 porqu

rendido qulos niños aconocimienompletame

dificada de lunidades y última hipóal final de ueriguar la s

oody y Gin00. la mayoríasis 1 y 2) Y

orque la maas de memera parte, ina pauta. Pparecido a parte por m

s de la serentación mon et al., 19ca correctaúmero dado

los niños qrte de la se

enas (<<10,(Fuson et

el «problemuno en unoorma de ex

entre «29Algunos niñoue parecené va despu

aprenden lasnto para reente distintaa secuenciañadir -enttesis es el cuna decenasiguiente dsburg, 198

a de los nY emplear rayoría de lmoria. Sin ncluyendo qor tanto, aaprender aemorizació

rie numéricmental de 982). A meda, los niñoo. A los vei

que se acaerie numéric, 20, 30,... , al., 1982).

ma de las de. Una hipót

xtremos fina9-30» o «3os no pueden haber aprués de 39 s decenas (

ellenar la sea, es que losa del 1 al 9 ta) para relcaso de Tera (por ejemecena (por

84). Luego

niños puedereglas para as decenasembargo,

quizá algunprender lasa contar deón y luego e

ca. Con la la serie n

dida que seos pueden intiséis mes

ban de incca regida p90») sigueAún no se

ecenas», estesis es queales de cad39-40»). Hen contar prendido qu(Baroody y

(contar de decuencia des niños aprey emplean llenar la curi, una niña plo, «..., 58r ejemplo, «iba repitie

en aprendegenerar el s sigue unse puede

nos casos rs decenas e uno en unemplean un

experiencianumérica ce van famili

citar automses, Alison

corporar a por reglas, men una pauta sabe con

s decir, su oe los niños da serie (poHay algunopor decenase 30 va dey Ginsburgdiez en dieze contar deenden las desta pauta

uenta de unlevemente

8, 59») se p«1,2, 3, 4,

endo este p

er de memresto (hipóa pauta y tener que

egulares co(contar de

no: al princina pauta pa

a, los niñoscon más earizando mmáticamentya podía h

la escuela muchos no a paralela acerteza cóm

orden correaprenden

or ejemplo,os datos qs pero puedespués de 2g, 1984). Oz) de memoe uno en undecenas coa (repetir la sno en uno. e atrasada qponía a con

5, 6 -ah, .procedimien

moria algunótesis 3). Esería ineficaprender

omo 40, andiez en die

ipio, los niñara ampliar

s aprendenelaboración

más y más cte el núme

hacerlo si se

ya se

a la mo cto las , el que den 29,

Otra oria no. mo se-Un

que ntar ... , nto

nas sto caz de tes ez) ños r la

n a n y con ero e le



MADRALISOMADRALISO

De no

MADRALISOMADRALISOMADRALISOMADRALISOMADRALISO

Hael 1 númeBaroola capentre regrescontaconta

NuEn

agitarpronurapideFuson(Beckno esde cu(Beck

RE: ON: RE: ON:

o ser así, A

RE: ON: RE: ON: RE: ON: RE: ON: RE: ON:

acia los cuapara respo

eros seguidody, 1983). pacidad de

un númersivamente.

ar por grupoar por pareja

umeración umeración.r un dedo uncian con rez al menon y Hall, 19kwith y Res una tarea f

uatro elemekwith y Res

Alison, [No res1, 2, 3,10.

lison no lo

¿Qué nEl ocho¿Y despEl nuev¿Y desp[No res(Un pocNueve, ¿Y despEl cuatr

atro o cinco onder de mdos, al men

Uno de lose citar el núro dado y Además, os. Entre laas, de cinco

. Los niños señalando rapidez la sos la parte 983) Y no title, 1966), fácil. En reaentos- sólo

stle, 1966; G

¿qué númeponde.] 4, 5, 6, 7,

podía hace

número va do. pués del do

ve pués del seponde.] co más tarddiez

pués del doro.

años de edmanera conos hasta cs desarrollosúmero anteel anteriorlos niños

as más preco en cinco y

deben apreun conjun

serie numérmemorísticenen problcoordinar ealidad, la eo llega a hGelman y G

ero va desp

8, 9 y ...

er sólo lo ha

después de

os?

eis?

de): ¿Qué v

os?

dad, los niñoherente y cerca del 2s que puederior. Cuanr, ya está de edad e

coces de ey de diez e

ender que cnto o deslizrica. Aunquca de la seemas para

estas dos ténumeraciónhacerse auGallistel, 19

pués del 9?

acía a vece

el ocho? El

va después

ños ya no nautomática

28 (Fuson en producirdo los niñopreparado

escolar apestas nuevan diez.

contar objezado por ee los niños erie numéria señalar loécnicas parn -sobre todutomática d978, y Sch

?

es.

ocho.

del ocho?

ecesitan ema preguntaet al., 1982rse un pocoos captan l el terrenorenden gra

as pautas s

tos implica encima de

pequeños ica (véase,s objetos dra enumerado de conjude una maaeffer et al

mpezar desas relativas2; Ginsburgo más tardelas relaciono para conadualmentese encuentr

algo más qotro mientaprenden c por ejemp

de uno en uar un conjuuntos con manera gradl., 1974). C

sde s a g y

e es nes ntar e a ran

que ras con plo, uno nto

más ual

Con



coleccestratCuandcuentcírculCon dquetamétodseparenconcrear Reglaenumniños (cosavuelvetres aserio habíaenuma un preguque h

Cuprimitcoleccrealizcuentde pre8, 9»)dos a«9, 9,correcvez todespumirar 1, 2, 3de eddel pr

ciones grantegias parado los elemta si se emo, el niño sdistribucion

ado y cuáledo sistemátrando los entró que mun montón

a del valor eración sirvse limitan

que ocurren a enume

años de edade emplear

a acabado deración se fin, los niñ

untas como an contado

uando tienetiva de queciones (paan el intenta de que eeguntas rep) o de repet

años puede, 9») (Wagnctamente, loda la secués de enumla tarjeta) r

3 y 4 estrellad, algunosroceso de e

ndes y, soa llevar la cmentos se ppieza desdólo necesit

nes desordes quedan ptico (por ejeelementos uchos de s

n aparte concardinal. Ave para nua enumerae a veces)erar todos lad, enumerr o recordade contar, acontempla

ños muy pe« ¿Cuánto

o. en cerca de contar esra respondto de recor

el proceso dpitiendo la stir el mismo designar ener y Walteos niños pucuencia cumerar cuatrrespondió aas.» Sin ems niños desenumeració

bre todo, dcuenta de loponen en fie uno de lo

ta recordar denadas, epor etiquetemplo, contetiquetadosus sujetosn los eleme

Al principio, merar. Cua

arlo y espe). Si se les os elementró cuatro esr la informa

alzó los hom como un fiequeños puos hay?» ni

e dos años un proceder a pregurdar lo quede enumeraserie numéo («9, 9, 9»este conjuners, 1982). Aueden no dando se lero estrellas a la pregunmbargo, a uscubren el «ón para ind

desordenados elementla, hace falos extremoel elementol niño debar. Esto setar de izquis de los ns de párvulentos ya con

los niños pando se lesran que espregunta c

tos del conjstrellas (« 1ación. Cuanmbros y volvin en sí misueden no i preocupar

s, muchosedimiento euntas del t

e han contaación se puérica. Despu») ante un cnto volviendAun despuéarse cuentes preguntque había

nta ¿«Cuánuna edad ta«atajo» conicar la cant

das, los niñtos que halta poco es

os. Si la colo por el quee recordar

e ve facilitaerda a dere

no etiquetadlos no empntados. pueden no s pide que csto, en sí mcuántos objunto. Por e1, 2, 3, 4») ndo se le prvió a enumesma y no collegar a corse de reco

niños desempleado ptipo « ¿Cuado. Sin emuede resumués de «solconjunto dedo a contar és de habea de que esa por una en una tarjtas estrella

an corta comnsistente entidad. En el

ños tienen n contado

sfuerzo paraección estáe ha empezr qué elemado por el eecha y de ados. Fusonpleaban la

darse cuecuenten un

mismo, satisbjetos acabejemplo, Idasin hacer n

reguntó cuáerarlas otraomo un medomprender ordar los res

sarrollan unpara asignaántos hay?

mbargo, commir, respond

ltar» variose tres objeto

(por ejemper aprendidos innecesacantidad.

jeta, Georgas hay»? como los dos

n recitar la úl fondo, la r

que aprendy los que

a no perderá colocada zado a cont

mentos ha eempleo de arriba abajon (en prensestrategia

enta de quen conjunto, sfará al aduban de conta, una niña ningún inteántas estrela vez. Comodio para llegel sentido sultados de

na concienar números?»). Ahora mo no se d

den a este ts términos (os, un niño plo, «7, 8,9o .a enumerio recitar oPor ejemp

e (sin volveon: «Pues haños y me

última etiquregla del va

der no. r la en

tar. eti-un

o) o sa) de

e la los

ulto tar, de

nto llas o la gar de

e lo

ncia s a ya

dan tipo «7, de

» o erar otra plo, er a hay edio eta alor



cardinúltimo

Recuentetiqueobjetotérminy un nde cinen la contaver qudebe sentasin co

SeemplecamissencilobjeticontroalmacmismnúmeFord, del obenumtres lrecord«tres» Comp

Cucontase dacantidmayo

nal traduce o) al término

egla de la cuta cardinal.eta asignados (Fuson no como cinnúmero parnco canicastaza.» El ni

ar las canicaue la etiqueaplicar al

ada la regla ontar.

eparación. Ceamos a dsas», «Tomlla porque ivo); b) etiqolar y detecenar el obo tiempo,

ero almacen1981). La

bjetivo en lameración (Ba

ápices tiendar «tres» ».

paración d

uando tiener más altosn cuenta de

dad mayor. r que «dos»

el términoo cardinal q

uenta cardin. Esta reglda al últimy Hall, 198nco es al mra contar. Cs junto con iño que no as a medidaeta cinco eresultado de la cuen

Contar (sepiario (por e

ma cinco clamplica: a) oquetar cadaener el probjetivo en lair comparanado y deteregla de la a memoria daroody y Mne que dar

y que deb

de magnitu

n unos tress se asociane que «dosHacia los

» (Shaeffer

aplicado aque represe

nal. La reglaa específico elemento83). Parece

mismo tiempConsiderem

la consignaaprecia la ra que las vempleada pde contar

nta cardinal

parar) un núejemplo, «Dvos»). Sin eobservar y a elemento

oceso de sa memoria ando los nener este pcuenta car

de trabajo yason, 1984

rse cuenta be parar de

udes

s años de edn a magnitu» no sólo s3 años y m

r et al., 1974

a un elemeenta el conj

a inversa a ca que un o cuando se que los npo el nombros el caso a: «Aquí haregla de la ca soltando

para designel conjunto se limita a

úmero concDame tres embargo, nrecordar el o separadoseparación.

de trabajoúmeros de

proceso cuardinal ofrecey constituye4). Por ejem

de que pae contar lá

dad, los niñudes superiigue a «uno

medio, los n4). Partiend

nto determjunto entero

la del valortérmino ca

se enumerniños tienere de un code un niño

ay cinco cancuenta carden la taza.

nar el conjuo. En cam

a colocar to

creto de oblápices», «

no se trata dnúmero de

o con una En otras , un proces

el proceso ando se llee al niño une la base pa

mplo, si se para realizarápices cuan

os descubriores (Wago» sino queniños sueledo de estos

inado de uo.

r cardinal esardinal comra un conjuen que apreonjunto (núm

al que se dnicas; pon cdinal tiene qEste niño n

unto es la mbio, el niñodo el conju

bjetos es un«Me quedade una tareae elementosetiqueta npa- labras

so de enumde enumegan a iguana razón paara detener pide a un niñr la tarea endo llegue

ren que los ner y Walte

e también ren apreciar datos, los n

n conjunto

s la regla demo «5» esunto de cinender que mero cardinda un conjucinco ca!1icque ponersno puede pmisma que o que da

unto en la ta

na técnica qaré con cuaa cognoscits solicitadoumérica, y

s, se requiemeración yeración conlar (Resnic

ara tomar nr el procesoño que sepaes importaa la etiqu

términos pers, 1982). Aepresenta uque «tres»niños de ce

(el

e la s la nco un

nal) nto cas e a

pre-se

por aza

que atro tiva (el

y c) ere , al

n el ck y ota

o de are nte eta

ara Así una es rca



de cuque vanterimentamagnsepar(Resnautommagnde loprecis

B) IMSO

Conta

Seminorprimepersoacabasecuegrave(Barodominen niñños dembade elloMuchinclus

A pinsistidiscutpuedeejempcomoel recniño,

uatro años dviene despuior. Aun antal de la ser

nitudes, es drados entrenick, 1983)mática, los nitudes máss niños emsión compa

MPLICACIOOLUCIONEar oralmen

erie numérirías y a claera parte -laonal de guaa de incorpencia memoe y de la ody y Gins

nio de la paños atrasade cuatro y m

argo, y dadoos son incaos niños pe

so la primerpartir del 15ir en la metir las pautae tener que plo 6.1). Ad sustituir 30onocimientde tratar co

de edad paués en la stes de entrarie numéricadecir, para

e sí dentro ). A medidniños pued

s próximas (mpiezan a

araciones en

ONES EDUES nte

ica. La maases sociala memorístirdería, la te

porarse al jaorística hasnecesidad sburg, 1982arte memordos del ciclomedio a seio que todavapaces de aequeños cora parte de l5, aproxima

emorizaciónas subyacedar «pistas

demás, es 0 por «veinto de una paon lo desco

arecen dessecuencia sar en la esca para hacecomparar cde la secu

da que la den llegar a(entre núme

asistir al ntre númer

CATIVAS:

ayoría de les desfavoica- de la selevisión, etardín de infsta un mínde una in

2b). Aunqurística de lao medio (Bais años de evía no han ampliar la pon retraso mla secuenciadamente, n. En cambentes a la ss» o ayudarpositivo qutidiez». Se auta numér

onocido en f

scubrir una significa «muela, los niñer comparacon rapidez

uencia (por relación «

a ser capaceros seguidparvulario os adyacen

DIFICULT

los niños, orecidas, reerie numértc., antes dfancia man

nimo de 10ntervencióne se dan g

a serie numaroody y Ginedad puederesuelto el

parte regidamental nece

a regida pola enseñan

bio, se debeserie numér a que las pue los niños

trata de unrica y constfunción de

regla genemás» que eños pareceaciones tosz y exactituejemplo, e

«el siguientces de hac

dos). En reaya puede

ntes hasta e

TADES PAR

incluyendoeciben una rica por pare llegar a la

nifiesta inca, puede da

n de apoyograndes diférica no densburg, 198en llegar a c problema

a por reglasesitarán ayuor reglas (denza de la seería animarica. En algpautas se hs cometan na señal protituye un intlas reglas o

eral: el térmel término den usar su recas, pero e

ud dos númel 3 y el 9, te de» se cer comparalidad, cuann realizar el 5 e inclus

RA CONTA

o los que exposición

rte de familia escuela. Sapacidad paar señal deo inmediataferencias inebería dars84). La maycontar hastde las dece más allá d

uda para lleel 16 al 19 yerie numéricr a los niñogunos casoagan explícerrores al

ometedora tento activoo de la com

mino numérde un númeepresentaceficaces, en

meros bastao el 2 y elva hacien

raciones enndo la mayocon basta

so hasta el

AR Y

pertenecenn intensa aiares, amigSi un niño qara generar

e un problea e intensndividualese por sentayoría de losta 29 ó 39. Senas, muche estas cifr

egar a domiy del 20 al 2ca no debeos a buscaos, el maescitas (véaseaplicar regporque ind

o, por parte mprensión q

rico ero

ción ntre nte l 8) ndo ntre oría nte 10.

n a a la os,

que r la ma

siva , el ado ni-Sin hos ras. nar

29). ería ar y stro e el las ica del

que



ya tieaprovveintidmaesneces

Ejemp

Aulas pade veajustásuperexpreestabeducacifra enúmecomocomoy al vque ppasosmentade cindecía

La edu

Losson loBaroopautahasta

3 SrefiereT.)

ene. Cuandvechar el codiez es 30»tro aprecia

sario para s

plo 6.1 Emp

n los niñosautas subyainte años d

ándola a losriores a 30esiones usalecer una

adora de Mescribió la

eros que em el 10, e! 2 el 60». Mik

ver que conpidió más cs se encamalmente la snco en cinc en seguida

ucación de Mi

s obstáculoos nombresody y Snydea de elabora 19. Alguno

e ha hechoen al nombre

o un niño onocimiento». Se trata da su capacsu desarroll

pleo de pau

s algo retraacentes a lae edad cons cinco min0, no podíadas previa

conexión eMike escribió

decena compleaba pacomo el 20

ke usó la lisn ella podíacopias de laminaron a hsecuencia pco hasta qua la hora si

ke y la recop

os más frecs irregulareser, 1983, y ación, es fros niños sim

o una adaptae de ciertos

comete uno que ya tiede una mancidad paralo posterior

utas para e

sados pueda serie num

n un el de 40nutos más a pasar demente (porentre la seó los núme

orrespondieara contar 0, e! 3 comsta numérica expresar ta tarjeta pahacer que Mpara contarue estas tén necesitar

ilación del ca

uentes paras de los númFuson et alrecuente qumplemente

ación al casnúmeros en

error al apne diciéndonera constr

a pensar sr.

nseñar las

den beneficmérica. Tom0. Mike tratpróximos, pe 35. Desr ejemplo, 5ecuencia deros del 1 aente y le ex

para averio el 30, el 4

ca de esta tatodas las hra usarlas Mike determr y a que pr

écnicas se hr la tarjeta.

aso se deben

a los niños,meros 14 y l., 1982). Coue sean losse los salta

stellano de ln inglés. Véa

plicar una ole, por ejemructiva de cin dejar de

decenas

ciarse de lamemos el ctaba de aprpero como pués de 3

5, 10, 15, 2e las unid

al 6 en unaxplicó que guar las de4 como el 4arjeta para oras del reen clase y

minara la sracticara cohicieran au

a Cathy A. M

, sea cual s15 Y de lasomo 14 y 1

s últimos núan («…,13,

las dificultadase también

regla, el mmplo: «Otrocorregir al ne ofrecerle

a instrucciócaso de Mikender cómono conocía

35 se limita0, 25, 30, 3ades y las tarjeta. Depodía usarecenas. «¿40, el 5 comcontar de c

eloj se pusoen casa. L

siguiente deontando de utomáticas.

Mason.

sea su capas decenas 3

5 son una eúmeros que16,...) o los

des que, enla nota núm

maestro pueo nombre paniño porquee el feedba

n que exploke, un hombo decir la hoa las decenaba a rep35, 30»). Pas decenas,ebajo de car los primeVes? El 1

mo el 50 y ecinco en cino tan conteLos siguienecena usandiez en dieAl final, M

acidad men3 (por ejempexcepción ae se aprends cambian p

el original, mero 12. (N.

ede ara e el ack

ota bre ora nas etir ara la

ada ros es

el 6 nco nto tes

ndo ez y

Mike

tal, plo, a la den por

se del



otro (práctiinstauElabodebeanterniñosel númprobadebeaprencompenseñla parpuedrepreha corespuactivi

CoexisteCon tal., 1técnicLos mtécnicnumédominnúmepuedeconfirincorr

Paemplenúmeaprenbaja],puedetérmin

«…,13, 16,ca pueden

ure una secoraciones drían tener rior, al mens de bajo remero siguieable que cn operar sondizaje. Adprender queñanza de arte más fame leer las c

esentación comprendidouestas con dades sin l

ontar regresentes entre odo, suele 982; Ginsbca especialmmaestros decas. La ensérica hacia nado el número de partien ir destarma las resprectas. ra contar a een la seceros intermnder a conta dos [en ve empezarsno correcto

, 16, 16,…)establecer

cuencia incode la serieproblemas

nos hasta eendimiento yente y quizácitar el númobre la seridemás, pue el de siguapoyo en el miliar de la scifras se puconcreta deo la cuestifacilidad mista numérsivamente un númeroser domina

burg y Baromente difíc

e educacióneñanza de atrás (de d

mero siguieida. Entonc

apando sucpuestas cor

intervalos dcuencia famedios y dear de dos enoz alta], trese con una

o y permitir q

) Un diagnr la secuencompleta o ie numérica para citarella (Fusony con retrasá deban emmero anterie numérica

uede que uiente. Por número sigsecuencia

uede empeze la serie nón relativa

mediante el ica que le edesde 10

o y su anterada por los oody, 1983

cil y no suelen especial dapoyo pue

derecha a inte, se pueces, a medcesivamenterrectas y of

de cinco comiliar de cestacando n dos, puedes [en voz a lista numéque el niño

nóstico expcia adecuadncorrecta.

a. Cuando r el númeron et al., 1982so mental p

mpezar a coor sea rela

a en direcciel concepttanto, al prguiente. Esnumérica (dzar con actnumérica (ua al número

empleo deexijan deterdepende drior, y es unniños cuan

3). Contar e dominarsdeben espeede empezaizquierda). ede tapar ladida que ele los númefrece un fee

omo mínimocontar de ulos que fode decirse a

baja], cuatérica para se concent

peditivo, el da como un están en

o siguiente2; Ginsburgpuede que nntar desde ativamente ón opuestato de anterincipio lo mta enseñandel 1 al 4 otividades enuna lista nuo siguiente

e una lista nrminar mendel conocimna técnica ndo llegan aregresivam

se hasta pocerar muchasar haciendoCon los ni

a lista numé niño va ceros meno

edback corre

o, puede anuno en unrman la paal niño que tro [en vozaligerar el tre en la pa

empleo de n hábito an

párvulos, e a otro, y g y Baroodno sean caello hacer cdifícil porq

a a la seguierior sea mmejor sería nza debería al 5). Ademn las que inmérica). Un

e (anterior) numérica, pntalmente lamiento de loral relativaa primer cu

mente desdco antes des dificultadeo que el niñoños que do

érica dejandontando hares. Este p

ector para la

nimarse a loo, pero suauta. Por ecuenta así:

z alta]... ». esfuerzo duta. En el e

modelos yntes de que

los niños ni siquiera

dy, 1983). Lpaces de cconjeturas.que los niñda durante

más difícil concentra

a empezar cmás, si el nntervenga una vez el n

y puede puede pasaa respuestaas relacionamente difíurso (Fusonde 20 es ue tercer curses con las do lea una lisominan o hdo a la vistaacia atrás, procedimienas respuest

os niños a qusurrando ejemplo, pa: «uno [en vSi hace fale expresar

ejemplo 6.2

y la se

no a el Los

citar Es ños

e su de

r la con

niño una niño dar

ar a a. nes ícil. n et una so.

dos sta

han a el se

nto tas

que los ara voz lta, r el se



muesconta

Eje

Se relaciJosh,en cinque leen cinse qula valsesióDuranlas emcompde unnúmeAl cocoinciJosh grupode adejempcuartaobjetointervLa edu

NumeEn

compde cinsi un uno aque n

stra otro méar de uno en

emplo 6.2 E

puede haonándolo c un adolesc

nco. Su edue gustaban nco. Luego,uedó muy solidez genern siguientente la tercemparejó conrobación: leo en uno. C

ero de la printinuar conidía con el iba contand

o (5, 10, 15,divinar en eplo, la del 1a sesión yaos reales yalos fuera,

ucación de Jo

eración numeraciónpetentes panco años enniño que e

a cinco elemno haga nin

étodo para n uno.

Enseñanza

acer que con el procecente con rucadora le h

mucho en , hizo que Jorprendido ral de este, Josh insisra sesión, Jn sus pilas.eer los númComprobó emera tarjet

ntando de número de

do de uno , etc.) diciénel que se 15) y Josh a podía cony la secuenpara Josh,sh y la recop

. Cuando lora contar conumera conempieza el cmentos, es qngún intent

contar a in

de contar a

contar a iedimiento faretraso modhabía dichopilas de a c

Josh los deal ver que

e descubrimstía en repeJosh pidió t A continua

meros de lasel resultadota y encontuno en unoe la segunden uno, la ndolo en votapaba lostenía que

ntar hasta ncia para c algo compilación del ca

os niños lleonjuntos den exactitud hcurso de páque necesito de etique

tervalos a

a intervalos

intervalos amiliar de cderado, esto que colocacinco y dessparramaraobtenía el

miento con etir el expertarjetas conación añadis tarjetas a o de contar ró que, en o la segunda tarjeta (educadora

oz alta con ojos, la eadivinar de30 de cinccontar de uprensible e aso se deben

egan al jarde uno a cinchasta 20 obárvulos preta de inmedetar cada o

partir de la

s

tenga signontar objetotaba aprendara unos disspués le ayua y los contmismo resdistintos n

rimento porn números ó una nuevmedida quela primera pambos cas

nda pila, en10), y así s recalcaba él. Luego, J

educadora te qué núm

co en cincouno en unointeresantea Cathy A. M

dín de infanco objetos, bjetos (Fusoesenta dificudiato una atobjeto de u

a secuencia

nificado paos reales ddiendo a coscos de pláudó a contatara de unoultado. Lue

números der su cuenta(5, 10, 15,2

va etapa a se iba contanpila de uno

sos, el resuncontró quesucesivameel número

Josh se invtomaba un

mero se trato y sin ayudo hicieron e.

Mason

ncia sueleny la mayoríon, en prenultades contención indin conjunto,

a familiar pa

ara los niñe uno en un

ontar de cinástico de coarlos de cin en uno. Jo

ego comproe pilas. En. 20, 25, etcsu proceso ndo los discen uno conltado era «5e el resultaente. Mient final de ca

ventó un juena tarjeta (ptaba. Haciada. El uso que conta

n ser bastaía de los niñsa). Por tan

n conjuntosvidual. El n, por peque

ara

ños no. nco olor nco osh obó la

.) y de

cos n el 5».

ado ras

ada ego por

a la de r a

nte ños nto, de

niño eño



que émientobjetototalm

Coerrore(errorno conumé(errormuesden tsecuede 13apoyoque calto oeficac

Enpued(señamismde unno deuna rvariasaciertde losSi unsubténiño qconjuelemequintoperdeMierkde co

éste sea, cotras deslizaos contado

mente asisteomo la enes pueden res de secuontados (eérica y el res de costran alguntener un dencia son 3 y 14 elemo orientadacomete cono contarlo ces. n la figura 6en produc

alar un objmo objeto mn conjunto.e particiónrespuesta cs manerasto, es impos alumnos n niño tieécnicas, esque tiene qnto de cincento], 2 [seo elemento]erse, puedkiewicz (198ordinación

on una pala el dedo ps y sin conemática) pr

numeracióndeberse a

uencia); b)rrores de pproceso d

oordinaciónnos ejemplodesliz al gsistemático

mentos cona a reforzan regularida

más de u

6.1 se puedcir las misjeto una v

más de una. Sin emba. En realidcorrecta. Cs y como,ortante queque tenga

ene probles probable ue detenerco elementeñala el se]». Igualmee equivoc

80) encontra medio co

abra para por encimantar (etiquetresenta gran requiere a tres causa) llevar un cpartición), e control

n) (Gelmanos de cadagenerar unos (por ejen «13») esar la técnicad errores una vez, d

de observasmas respez y asign

a vez, aumeargo, el dobdad, se pueComo las re, matemáte los maes

an alguna demas para

que se derse y pensatos, puede gundo], 3 [

ente, si un ncarse (por raron que loontar.

contar (sol de los objtando los o

aves problela coordi

as: a) genecontrol inexy c) no code los elen y Gallisa tipo de ena serie nemplo, etiqs señal de ca necesarde particiódebe apre

ar que hay puestas. Pnarle dos eenta en unble etiquetaeden combespuestas ticamente, stros obsedificultad. a ejecutar en errores ar qué vien

olvidar po[señala el

niño tiene qejemplo,

os niños pe

tando al azjetos) ni de

objetos del mas (Barooinación deerar una sexacto de looordinar la ementos costel, 1978)rror. En oc

numérica, uetar sisteque hace fria para coón como paender estra

tipos de eror ejemplo

etiquetas), na unidad eado es un binar varioincorrectasdos error

rven la act

con eficade coordine después

or dónde ibtercero], a ue dedicar saltarse

equeños te

zar palabrae llevar la conjunto deody y Ginsbe dos suberie numérs elementoelaboració

ontados y ). En la fcasiones, lopero si lo

emáticamenfalta una e

ontar oralmasar algún ategias de

rrores muyo, el doblal igual q

el número derror de co

os errores ps pueden pres no eqtividad de

acia algunnación. Podel 3 cuan

ba: «1 [señver, a vermucha ateun númerndían a co

as para concuenta de e una manburg, 1982bbtécnicas, ica incorreos contadoón de la se

no contadfigura 6.1 os niños pus errores nte conjun

enseñanza mente. El n

elemento pcontrol m

y distintos qe etiquetaue contar de elemenoordinaciópara produproducirse uivalen a enumerac

na de estor ejemplo, ndo cuenta ñala el prim, 4 [señalanción para o). Fuson meter error

ntar los era b). los cta

os y erie dos

se ue-de tos de iño por

más

que ado

un tos n y ucir de un

ción

tas un un

mer a el

no y

res



Lo

procedificuseñalprontorecibetécnicetiqueretrasGinsb

El primehastaacabacomopartico ambde co

Coenumetiqueorgande loestratsistemestrateleme

Reglala reg1985)probleesponplícitacontacardindices numéatajo:

s errores deso de enltades paraan el primeo (por ejeme la etiquetacas coordinetando dessados pareburg, 1984)«frenesí» y

ero, el niño a el final, y ear el proceo resultado dción), no cobos a la vez

ontrolar o coon los niñomeración deeta a cada nizadamentos objetos tegias de amáticamenttegia adecentos conta

a del valor cla del valor). Si un niñemas. Aunntáneamena. Si un niñoar o vuelvenal de la mporque así

érica emple «Deja que

de coordinnumeracióna empezar er elementomplo, dicen a «2»). A venadas y señpués de hacen ser pro

). y «pasar dempieza c

en el seguneso de enude no contrordinar la cz (véase la oordinar la os que «pebe destacelemento;

te para ahocontados

aprendizajete en una uada para

ados de los

cardinal. Cur cardinal a ño de esta nque muchte la regla o simpleme a enumer

manera siguí sabrás cuada en el p

e te enseñe

ación tambn (Gelman las dos sub

o, pero no lo«1» sin se

eces, los niññalan, peroaber señalaopensos a

e largo» socon una cordo no intenmeración (rolar los elecuenta oral fig. 6.1). Paserie numéasan por

car: a) conc) señalar rrar esfuerzy los que

e como emdirección contar ele

que queda

uando llegaconjuntos aedad no lo

hos niños del valor

ente adivinarar el conjuiente: «Cuaántas cosa

proceso de una mane

bién puedey Gallist

b técnicas ao etiquetaneñalar el prños tienen d

o no etiquetado el último

cometer e

on dos gravrrespondennta establec(Fuson y Hementos etiqy la acciónasar por altérica con laalto» algúntar despaccada elemzo en el con

e quedan pmpezar por

(por ejempementos man por conta

an a párvuloaún mayoreo puede ha

mentalmecardinal, o

a el valor caunto, se leando cuent

as has contaenumeracira más fáci

en darse ael, 1978). al mismo tie o empieza

rimer elemedificultadestan, el último elemento

errores de c

ves erroresncia biunívocer la corresHall, 1983). quetados y de señalar

to comporta acción de n elementocio y con aento una ventrol. Con epor contar un lugar b

plo, de izqumóviles es ar.

os, los niñoes (Fuson, Pacer es se

ente retrastros neces

ardinal de ue puede extes, recuerdado.» Si unón, se le pil. Después

l principio Algunos

empo. En can a etiquetento, que as para acabmo element. Los niñoscoordinació

s de enumeoca, pero nspondencia

El frenesí y no etiquetar (error de ca no hacer nseñalar cado, la enseatención; bez r sólo un

elementos fse puede

bien definiduierda a dseparar cl

os aplican rPergamentñal de queados pueditan una en conjunto

xplicar la reda el últimon niño repiteuede decir de contar,

o al final niños tien

consecuenctar demasiaa continuacar con las do o continú

s mentalmeón (Baroody

eración. Eno la mantie

a al empezapuede da

ados (error coordinacióningún inteda elementñanza de

b) aplicar una, y d) confijos, el conte facilitar co y continu

derecha). Ularamente

rutinariame, Lyons y H

e tiene gravden aprendnseñanza que acaba

egla del vao número qe toda la seque existe me vuelve

del nen cia, ado ión

dos úan nte y y

n el ene ar o rse de

ón), nto to. la·

una ntar trol con uar

Una los

nte Hall, ves der ex- de

alor que erie

un es a



decir veces¿CuánVaya,levan

” Ind• Ind•• In

el último nús es útil quentos dedos, el último tados.»

dica la accióndica una comndica una com

úmero que e el maestrs tengo leva

número q

de señalar. binación de e

mbinación de

hayas dichro demuestrantados? Vque he dic

errores de secerrores de pa

ho y así sabre el proces

Voy a contacho es cua

cuencia y parartición y coor

bré cuántasso mientrasarlos, a veratro, así q

rtición. rdinación.

s cosas has «piensa er. Uno, dos

que tengo

s contado.»en voz alta»s, tres, cuatcuatro ded

» A »: « tro. dos



Re

sentaespecmedia(1983e indiconjude copreseque cel ma

SemenoobjetoMuchy Gin1974)

egla de la cda esta no

cial no lo hante un pro3) (Véase laicar (verbanto. El maentarlo coinc

enta otro couente los eestro le pid

eparación. Los conjuntosos cuando os niños cosburg, 198) Y necesita

cuenta cardoción más ahacen así (ocedimiento

a fig. 6.2). Llmente y mestro pide acide con la njunto. Se

elementos dde al niño qLos niños ss de pequese le pide

on deficienc84; Baroodyan una ense

dinal. Los navanzada d(Baroody yo de dos ea primera e

mediante unal niño que designacióle vuelve a

del conjuntoue prediga uelen llega

eño tamañoe, es que ncias mentaly y Snyder,eñanza esp

niños que edel valor cay Mason, 1etapas conetapa consin número ecuente el c

ón cardinal.dar al niño

o. Sin embael resultadr a párvulos. Si un niñonecesita unles tienen d, 1983; Sprpecial.

empiezan laardinal; muc984). Esta

ncebido poste en presescrito) la dconjunto y o Para la se

o la designaargo, antes do. s pudiendoo es incapana enseñandificultades radlin, Cott

a escuela schos niños

regla puedr Secada,

sentar un codesignacióobserve qu

egunda etapación cardin

de que aca

o separar coaz de separanza de apocon esta ta

ter, Stevens

suelen dar de educacde enseñaFuson y H

onjunto al nn cardinal

ue el resultapa, el maesnal y se le pabe de cont

on precisiónar hasta cinoyo intensiarea (Baroos y Friedm

por ción rse

Hall niño del

ado stro pide tar,

n al nco iva. ody an,



UnpararsA Matcinco contaejemperror trabajestar cuandComoa con

Al ique hveceseste objetivdebe firmempuedeLos nalguncon epidió contaparecetiquecinco acabódetuvrecord

Esreferidrecordpuedela meno fueUna venme

no de los errse», es dectt, un niño dpara dárser los ocho lplo, véase Ra un fallo djo, es decirtan ocupad

do se le pro no recordatar todos loigual que m

hace falta us necesitamniño, la envo de la tarestimular

mente en sue instar a qniños que tos niños d

esta tarea aa un niño, rlos todos:

ciendo que etar el últimelementos

ó la cuentavo cuando sdarla e hizote error de da a la mdar más taren comparamoria de trae capaz devez liberadaendar su co

rores más ccir, no detendeficiente melos al maeslápices. CaResnick y Fde memori, no toman dos con e! reguntó a Maba e! obje

os lápices qmuchos otroun esfuerzo

mos ensayanseñanza drea y, de seal niño a u memoria ue anote eltienen la eeficientes maun cuandoFred, que «1,3,4,6, 11había reco

mo element de un total

a con la etiqse encontróo que el últi«finalizar cemoria. Aurde, el procar la serie nabajo de Fr atender si

a su atenciónducta.

comunes cuner el proce

mental, se lestro; recuerbe atribuir Ford, 1981)a, los niñonota de la proceso deMatt cuánto

etivo o no loque tenía deos niños (véo especial r o repetir ude apoyo r necesarioensayar (rde trabajo l número an

edad de emmentales (o parecen quitara tre

1 [y despuéordado e! o con la pal de nueve vqueta correó por primemo elemen

con el objetunque alguceso de conumérica dered estaba tmultáneamón del proce

uando se reeso de conte enseñarorda, saca seste tipo de). Según uns no manticantidad s

e contar, seos lápices

o tenía en selante.

éase Flavellpara memo

una informadebe recal

o, debe tamrepetir) e! antes de contes de emmpezar a aBaroody y recordar e

es objetos dés, volviendobjetivo. Ealabra «tresvolvió a comecta: «1, 2,era vez connto tuviera ltivo» puedeunos niños ntar objetosel proceso dtan copada

mente a los eso de cont

etiran objetotar cuando n ocho lápiólo cinco.» e errores a na de las henen e! ob

solicitada. Oe olvidan ddebía tom

u memoria

, 1970), es orizar infor

ación para flcar la impbién enseñobjetivo paontar los ob

mpezar a coandar (WagGinsburg, l objetivo. de un montdo a señalaEste niño ds». Cuandometer el err 3, 4, 5, 6,

n la etiquetala etiqueta e explicarse

guardan es absorbe tde separacia por el proc

procesos dtar, Fred pu

os de un cose ha llegaces y se le Sin embarun fallo de ipótesis qu

bjetivo en laOtra propuee! objetivo.ar, respondde trabajo,

posible quermación, esfacilitar e! reportancia dñarle cómo rara que qubjetos. Si hantar. gner y Wa1984) tienPor ejempltón de cinc

ar e! último deficiente ho se le pidiror de no de 8, 9, 5.» Aa buscada,apropiada.

e mediante el objetivo tanto su ateón con el o

ceso de sepde contar y udo recorda

onjunto es «ado al objeti

pidió: « Torgo, se limitmemoria (

ue atribuyena memoria esta es que. Por ejempdió: «No s Matt se lim

e Matt supies decir, queecuerdo. Pae recordarrecordarlo. uede grabaace falta, se

lters, 1982en problemlo, cuando co, se limitó

elemento] abía vueltoó que retira

etenerse, peAunque no Fred pare

otra hipótey lo pued

ención que objetivo. Coparación qude compar

ar el objetiv

«no ivo. ma tó a por n el de

e, al plo, é.»

mitó

era e a ara r el Se

ado e le

2) y mas

se ó a 3»,

o a ara ero se

ecía

esis den

no mo

uizá rar.

vo y



Cu

apoyoniño adejamsi es nasí hadetenporquprinciel proelemeclaram

Haalguncompcardinpues,separcuent

CoCu

compal 5), 1 al 1niños compeducaque snúme

Pu(véascompesta my quedos. MGradumagnUna v

uando un no debe centanote el o

mos que lo hnecesario):asta llegar aido el proce

ue N [señapio, se deb

oceso de coentos que smente sepaay otra explios escolarerender la t

nal no se da cuando un

ración, prima cardinal (

omparaciónuando llegaaraciones ey la gran m

10. Los niñodeficiente

araciones eación de apsean manifieeros mayoreeden conse el ejemplaran la long

manera, la cda reforzadMira qué laualmente, e

nitud y que lvez hayan

iño no tientrarse en elbjetivo. A haga el niñ « ¿Es la caa la cantidaeso de con

alar el objebe ayudar aontar. Por ese han contarado. icación pares con defarea. Quiz

an cuenta dn maestro dmero deber(Baroody y

n entre maan al cursentre númeayoría ya hos de educs de nivelentre númepoyo deberestamente es como 9 óseguirse valo 6.3). En gitud o la acomparacióda por ellosarga es la fel niño irá alos número

arraigado

e problemal proceso dcontinuacióo). Luego leantidad cor

ad solicitadatar: «Nos h

etivo] es lal niño a encejemplo, setado y los q

a este tipo ficiencias má los niños

de que debedesea subsrá comprobMason, 19

agnitudeso de párv

eros separahabrá llegadcación espe intermedioeros separará empezardiferentes

ó 10; comparios juegosel juego Inltura de dosón de númes: «Tú tieneila de nave

aprendiendoos que viene

estas idea

as para rece comparac

ón, sacamoe preguntarrecta? ¿Haa. Debemoshemos paraa cantidad contrar la me puede simque no, ap

de errores mentales nos que no cen comparasanar las dbar que po

984).

vulos, casi dos y entre

do a dominaecial durano pueden ados y entrr con objeten cuanto

parar númers en los qvasores des conjuntoseros se cones ocho naves que tieno la idea deen despuésas básicas

cordar el obción. Primeos nosotrosmos (señal

ay que paras explicar c

ado en N [deque neces

manera másmplificar el artando los

y es que loo poseen lomprenden

ar lo que cueificultades osea la téc

todos lose números sar estas últite la primellegar a te

re númerostos concreta magnitudros seguido

que interviee la luna, pos de cubos ecta con in

ves espaciaes. Ocho n

e que los nús en la series, el niño d

bjetivo, la eero, se debes el primerando el nú

arse aquí?»claramente ecir el númsitamos.» Ss fácil posibproceso de

s primeros

os niños mua base con

n la nociónentan con eque tiene ucnica nece

s niños puseguidos pemas con lo

era enseñanener probles seguidos tos y númed (comparaos como 1 yenen modeor ejemplo, que encaja

ndicios percales en la lunaves es múmeros se ae numérica deberá ser

enseñanza e hacer quer elementomero anota Continuampor qué seero deseadSobre todo

ble de ejecue controlar es un mon

uy pequeñonceptual pa de la cue

el objetivo. Aun niño conesaria para

eden realiequeños (des números nza y muchemas con pequeños.

eros familiaar 1, 2 ó 3 cy 2, o 2 y 3

elos concrelos jugado

an entre sí. ceptivos clauna y yo tenmás que doasocian conson mayor

r apartado

de e el (o

ado mos ha

do)] o a utar los tón

os y ara nta Así n la a la

zar el 1 del

hos las La

res con ).

etos res De ros ngo os.» n la res. de



actividmenta Ejemp

ObCoMa1. 2. 3.U

separpara c

InEsp

dos juespacella y determa unocinco señalencaj

CoFicEst

se jueconjuañadeconju«Domtiene

dades conalmente.

plo 6.3. Jue

bjetivo: mparacione

aterial: Varias lunaDos conjun

Una peonzarados) o uncada objetivstruccionesparcir los cugadores. ciales. El juel que conqminar la cano de los niñ

naves y Bar las distables.

Domparar númchas de domte juego, baega como entos numéren deben tnto de la fic

minó menos«9».

objetos c

egos de com

es entre nú

as (círculosntos de cuba con los nú conjunto dvo. s: círculos por Explicar qu

ugador que quiste más ntidad de nños qué jugilly tiene tretintas long

DOMINO MAmeros seguminó. Instruasado en ue! dominó nricamente etener un cocha de! extrs uno». Un

concretos y

mparación

INVASOR

úmeros del

s de papel) bos encajabúmeros del de tarjetas e

la mesa. Due los círcuhaga «alunlunas ganaaves que pgador ha hees. ¿Cuánt

gitudes (o

AS (MENOuidos (más ucciones: uno propuesnormal perequivalenteonjunto de remo de la jugador va

y se le pe

entre núme

RES DE LA

1 al 10 sep

de distinto bles de disti

1 al 10 (paen las que s

Dar un conjulos son lunizar» más a la partida. uede hacerecho alunizto es más, alturas) d

OS) UNO Obo menos u

sto en e! curo con una es para ir añ

puntos mahilera. La fi

a a añadir u

edirá que

eros concre

A LUNA

parados o s

color. into color.

ara comparase listen co

junto de cuunas y que

naves en uUsar la peo

r alunizar cazar más, pocinco o tree los dos

bjetivo: no) de! 1 a

urrículo de excepción.

ñadiendo ficayor (o meigura que suna ficha co

resuelva lo

etos

seguidos.

aciones entmparacione

bos a cadae los cubosuna luna seonza o las tada jugadoor ejemplo:

es?» De se conjuntos

al 10. Mater

Wynroth (1. En vez dechas, las ficnor) en un

sigue ilustraon «8» al e

os problem

tre númeroes específic

a uno de los son navee queda cotarjetas para

or. Pregunta: «Tú tiener necesario

s de cubo

rial:

1969-1980)e emparejachas que sea unidad a

a un caso deextremo que

mas

s cas

s s n a

ar s

o, s

), ar e al e e



Co

contaesta eExplicnúmedel 3 para el mo«¿Qumane«que desp«¿Quvez hpara mencaprox

C) IMC

A 1. Lo

on los niñosar que puedestrategia ccar, por ejero viene deviene el 4, el niño y em

omento, el pué es másera de hace viene desués» con pué viene jushaya respoforzar al n

ciona en prximadamen

MPLICACICONTAR

continuacióos niños de

s de educacde usarse con las técnemplo: «Paespués. Pae14 es ma

mplear una procedimien, 4 ó 3? ¿

er explícita spués» es reguntas desto despuésndido el niñniño a pensrimer lugarnte).

ONES EDU

ón se resumeben domi

ción especipara comp

nicas básicaara saber ara los númayor.» Tamblista numérnto de conta

¿Qué númela conexióncontinuar

el tipo «cuás del 3 cuanño, preguntsar realmer o «sin se

UCATIVAS

men algunainar cada t

ial puede separar númeas para sabqué númer

meros 3 y 4 bién puederica o bloquar se puedeero viene dn entre la colas pregun

ál es mayor»ndo contamtarle: « ¿Y nte en la cguir el ord

S: LA ENSE

as directricetécnica pa

er muy útil eros seguidber el número es mayocontamos ser útil dem

ues encajabe interrumpdespués cuomparaciónntas sobre ». Por ejem

mos? Decimcuál es m

comparacióen usual»

EÑANZA D

es generalera contar h

indicar la edos y cómoro «que vieor, contem"1, 2, J" Y cmostrar el pbles para copir para preguando contn y la técnic

el númeromplo, se puemos 3, ¿y luás, 3 ó 4?»

ón, el númela mitad d

E TECNICA

es para la ehasta que

strategia pao se relacioene despuésos a ver q

como despuprocedimienontar. Llegaguntar al niñtamos?» Oca del númeo «que vieede preguntuego... ?» U» (nótese qero mayor e las vec

AS PARA

enseñanza. llegue a se

ara ona s».

qué ués nto

ado ño:

Otra ero ene tar:

Una que

se es,

er



autoen ladevointegcomp

2. enseactiviespetécnic

3. ejercincomexpesentirdomide regeneactivique dentuscon usea nece

A palab Juego

Ob1. 2.RMaTa

InsEx

mática. Esa otra y sirvolver cambgrarse bienplejas. La enseñañanza de uidades concial, puedeca que se eLa enseñaicio regular

mpleto de riencia o inrán compronio de la té

epetición orerar la serie idad que tiedeberá tenesiasmo a disun títere de niño o adusita -es mácontinuació

bra, a nume

os y activi

bjetivos: Enumerar

Regla del vaateriales: rjetas con e

struccionesplicar: <<V

sto es esenven de basbios. Si las n con otras

anza de apouna técnicancretas. Ade ser importenseña. anza de apor con activilas técnicanterés. Si lometidos cocnica. Por eral para aprnumérica e

ene más seer el ejercicstintos tipos«Barrio sésulto, interesás, no debeón se preseerar y a com

dades

. alor cardina

estrellas u o

s: amos a jug

ncial porquse para téctécnicas b

s técnicas

oyo debe baa básica pademás, y tante enlaza

oyo debe ofidades de ias básicas os ejercicioon ellos y nejemplo, lorender a coen el contexentido paracio depends de juegossamo» y otrsado y ent- carecer d

entan otros mparar mag

ESTRELLA

al.

otros objeto

ar al juego

ue las técncnicas másbásicas nopara la eje

asarse en era contar ssobre todoar explícita

frecer, durainterés para

para contaos no son no alcanzars niños se contar. Los xto de enuma ellos (Fusderá del niñs que se basros podrán tusiasta. Loe interés pajuegos y ac

gnitudes.

AS ESCON

os dibujado

de las estre

nicas para s complejao son eficaecución de

experienciaea significao con pobmente activ

ante un larga el niño. Nar suele ainteresante

rán la expercansan en niños se si

merar objetoon et al., 1

ño. Muchossan en contdisfrutar coo esencial ara el niño.ctividades p

NDIDAS

os (de 1 a 5

ellas escon

contar se as como haces, no pu

e funciones

as concretasativa, deberblaciones dvidades con

go período Normalmentribuirse a es, algunosriencia necseguida deenten más

os porque s982). La fo

s niños resptar; otros pr

on el contaces que e

. para enseña

5 para princ

ndidas. Te v

basan la uacer sumasueden s más

s. Para querá basarse de educacncretas con

de tiempo, te, el domiuna falta

s niños no esaria para

e los ejercic dispuestos

se trata de uorma concreponderán creferirán jug

cto de un tutl ejercicio

ar a contar

cipiantes ).

voy a enseñ

una s o

e la en ión

n la

un nio de se

a el cios s a una eta con gar tor, no

de

ñar



una cesconun puTaparestoy del comaneenseñ«pensbasa)

ObCo MObInsDa

bloquconjuDespusegui

Ob1. 2.SMa1. 2. U3. InsHa

al princorres(enumtécnicmátic

carta con esnderé las eunto.» Levarlas con la escondien

onjunto. Si era más fácñar al niño sando en vo).

bjetivos: oncepto de Materiales: bjetos pequstruccionesar al niño unes. ¿Cuántnto para quués de unar, en cambi

bjetivos: Enumerar

Separar. ateriales: Un tablero

Un dado (coCoches en

struccionesacer que losncipio de la spondiente

meración) ycas tambiéna diversa, d

strellas y cstrellas y, santar la primano o undo?» El niñel niño em

cil para inddirectame

oz alta» (de

cuenta card

eños que s: n conjunto tos habría ue compruea tirada, no io, el proce

.

con pista don O a 5 puminiatura.

: s niños escpista. Tirarde casillas

y las casiln pueden pde acuerdo

uentas cuási me dicesimera tarjen trozo de ño deberá rempieza a co

icar las estente la reglescribiendo

PREDEC

dinal.

se puedan c

de bloquessi los conta

ebe su resppermitir qu

edimiento de

CARRE

de carreras ntos al prin

ojan los cor el dado pos. Hacer qullas cuandopracticarse

o con los int

ántas hay. Cs cuántas eta y hacercartulina y esponder c

ontar desdetrellas que a del valor el procedim

CIR LA CAN

contar com

s (por ejemaras?» Despuesta. Tame el niño cuescrito ante

ERA DE CO

(una hilerancipio; 5 a 1

ches que mr turnos y h

ue los jugado avanzan con otros tereses de

Cuando haestoy esconr que el niñ

preguntarlcitando únice 1, pregun

se han cor cardinal dmiento y el

NTIDAD

o bloques o

mplo, cinco)spués, hacembién pueduente inmeeriormente.

OCHES

a de casillas10 para niño

más les gushacer avanzdores cuenn los coche

juegos delos niños.

yas acabadndiendo, haño cuente e: « ¿Cuán

camente el vntarle si hayontado. Si edemostrandrazonamien

o fichas.

) y decirle: er que el ne hacerse diatamente

s en espiraos más ava

sten. Colocazar los cochten los punes (separa

e tablero bá

do de contaabrás ganadlas estrellantas estrellvalor cardiny alguna otes necesardo la tareanto en que

«Toma ciniño cuente con un dad

e los puntos

l). anzados).

ar los cochhes el númentos del dadación). Estásicos de t

ar, do as. as

nal tra rio, a y se

co el

do. s y

es ero do as te-



Ob1. 2. Ma1. 2. 3.

avanz4. InsDa

rellenlevantdebe fichascorrecvaciarextraecoloq

ObDeMaTaInsLa

(1981ojeadversiópor orabajopuestejemphastaútil padesdemás a

bjetivos: Enumerar

Separar. ateriales:

Tableros dFichas. Baraja de

zados). Bandejas p

struccionesar a cada na primero te una carttomar. Dec

s que le hancción de losr la bandejaer el númerue las ficha

bjetivos: eterminar elateriales: rjetas nume

struccionesversión bá) junto cona,,] que so

ón básica drden, encim y decir al

to boca abaplo: « ¿Qué que se hayara los niñoe el 1 y paraavanzada c

.

de juego o

e cartas con

pequeñas (p:

niño un tablsu tablero ta de la bacirle al niñon tocado ens errores dea. Hacer quro correcto.as en su tab

l número an

eradas del :

ásica de estn otros juegon útiles pae El númer

ma de la meniño que y

ajo. Señalaré carta es éya tapado cos que no pa los que co

comporta el

R

pistas de c

n puntos (1

por ejemplo

lero o una (pista de c

raja y cueno que tomen una bande separacióe el niño lo . Una vez eblero. Gana

EL NUM

nterior o po

1 al 9.

te juego se os como Wara enseñaro tapado, e

esa. Decir aya puede mr la carta an

ésta? ¿Qué cada númerpueden resonfunden eiminar los i

RELLENAR

carreras ind

a 5 para pr

o, tapas de

pista de cacarreras).» nte los pune esta cantdeja pequeñón sea menvuelva a in

extraído el a el niño qu

MERO TAP

osterior a un

describe coWalk On [«Sar númerosextender lal niño que c

mirar para anterior (posviene justo

ro una vez. sponder a eel número andicios visi

R

dividuales.

rincipiantes

plástico).

arreras. DeHacer que

tos para deidad. Haceña (este prnos confusantentar o, si número co

ue llena ant

PADO

n número d

on más detSigue andas posteriores tarjetas ncierre los ojaveriguar qusterior) a la o después [La versión esta pregunnterior con bles de la s

s; 6 a 10 pa

ecir: «Vamoe cada niñeterminar c

er que el niocedimient

a). Si se comes necesarrrecto, haces su table

dado (del 1

talle en Bleyndo»] y Peees a otro d

numeradas,os, poner uué carta escarta tapad

[antes] del 6básica es enta empezael posterio

serie numér

ara niños m

os a ver quo, por turn

cuántas fichño separe to hace quemete un errrio, ayudarler que el n

ero.

al 9).

y y Thompsek [«Echa udado. Para, boca arribuna carta bos la que se da y decir, 6?» Continespecialmeando a conr. Una versrica y requi

ás

uién nos, has las

e la ror, e a

niño

son una a la ba y oca ha

por uar nte

ntar sión ere



que etodasqué n

ObCoMa1.

al 10 2.

InsHa

de saniños rápidocochedescase codos juido a1ordenal prinde nú

ObjCoMa1. 2.

el niño resu las tarjeta

número va a

bjetivos: omparacionateriales: Una hilera d(véase la fiCoches en

strucciones:acer que cadalida (unos

que sus coo. Hacer ques que se alificados. Slocará en la

ugadores ha15 y e! de Jn en que se ncipio y otraúmeros que

bjetivos: omparacioneateriales:

Tablero coDos fichas

uelva el pros boca abaantes o des

es entre nú

de casillas ig. 6.3). miniatura

: da jugador 15 cm a laoches van aue los niños

salgan poSi un cochea casilla enan empujadJane se hamencionan

as al final. S un número

es entre nú

on casillas es.

oblema menajo y levantspués del le

CARRE

úmeros sep

(de 15 x 75

escoja el c izquierda da echar unas den un emor el otro ee se detienen la que dedo sus cocha ido al 3. ¿n los númerSi es necesao mayor im

JUEGO D

úmeros seg

en espiral.

ntalmente. tar una de eevantado.

ERA DE NU

parados del

5 cm, aprox

oche que gde la casillaa carrera y mpujón a suextremo o e sobre unaescanse la mhes, pregun¿Qué es máros para queario, corregplica recorr

DE PERSE

guidos.

Para ello, ellas, pidién

MEROS

1 al 10.

imadament

guste. Coloca con e! núque ganará

us coches apor los lad

a línea de smayor partentar a uno dás, 5 ó 3? ¿e e! mayor sgir al niño erer más cas

ECUCIÓN

no hay mándosele al

te) con los n

car los cochúmero « 1»á e! coche qa lo largo ddos de la separación e de! coche

de ellos: «T¿Quién ganse encuentnsenándolesillas.

ás que coloniño que d

números de

hes en la lín») . Decir a que vaya me la pista. Lpista quedentre casille. Cuando u coche sena?» Variartre unas vece sobre la li

car diga

el 1

nea los

más Los dan as, los ha r e! ces sta



3.T

mayoInsDe

Sacarnúmeotro ncada éste eMira, bloqu

D) Ge

un coautomparte de regregla de ormayopuedebásicalas deque s(por eapoyojerarqintere

Tarjetas conres para ni

strucciones:ecirle al niñor una tarjeta

ero mayor. Lnúmero inditurno, com

es el que timi ficha yaes o una lis

RESUMENenerar de pamplejo de t

mática. Cuamemorísticglas, ademde valor caden numérr de dos cen necesitaas. Duranteecenas y amse van famiejemplo, poo debe asequía de técesante.

n diferentesños más ad: o que nuesa y leer los dLa elecciónca la cantid

mentar las pene más. T está pillansta de núm

N alabra la setécnicas im

ando llegan ca de la ser

más de podeardinal pararico (númercantidades

ar una educe los primemplían su cailiarizando

or parejas) gurar que s

cnicas para

s comparacdelantados

stra ficha vados número del niño indad de casiposiciones dTu ficha toddo a la tuyaeros para i

erie numérimportantes q

a la escuerie numéricaer enumeraa resumir uros anterio. Algunos cación de aros años deapacidad decon la seriy a contar se llegue aa contar. La

ciones (del ).

a a perseguos escritos dica cuántaillas que dede las fichadavía va poa». Si e! niñlustrar la co

ca sólo es que los adu

ela, los niñoa y un pocoar y separauna enumerr y posterioniños, sob

apoyo parae escuela, e contar dee numéricaregresivaml dominio da enseñanz

1 al 5 para

uir a la suyaen ella. Decas casillas debe avanzaas diciendoor delante»ño tiene difiomparación

un primer pultos empleos suelen seo de la partear conjuntoración e incor a otro dbre todo lo dominar elos niños re

e palabra haa, aprendenmente. La ede cada comza deberá

principiante

a por el tabcirle al niñodebe avanzr la nuestra

o, por ejem, o «No, éscultades, p

n.

paso hacia ean de maner capaces e basada ens de objetocluso empledado) para os deficientestas técnicesuelven e

asta 100 y mn a contar enseñanza mponente sser concre

es; número

blero de jueo que escojazar su fichaa. Despuésplo: «Pues se no es mpueden usa

e! dominioera rutinaride genera

n la aplicacos, empleaear relaciondeterminartes mental

cas informael problema más. A medpor intervaespecial o

sucesivo deeta, intensa

os

go. a el

a; el de sí,

ás. rse

de ia y r la

ción r la nes r la les,

ales de

dida alos

de e la a e



La directdesarconcenúmereconde copiagelas expeque

A) D

Probl

Pecoloqanterifichassi habmás. La tuytiene

A incorrcapaccomptipo d

El

Lossignifipuntoaños ejempde pe

capacidatamente a rrollo de uneptos y acero a partnocimiento donjuntos) detianos, ¿soxperienciaseños?

DOS PUNTO

lemas de c

eter, un niñoué otra filaior y, mients blancas pabía el mismPeter respoya tiene [coocho: la mípesar de

rectamente cidad para rensión de e enseñanz

punto de v

s psicólogicado de los

os de vista, de edad),

plo, Piaget, ensar lógica

De

d para copartir de laa manera s

ctitudes necir de su de pautas ee la Matemon útiles cos de conta

OS DE VIS

conservaci

o de edad pa de siete tras Peter mara que la h

mo número ondió: «Mi ontando lasía tiene máhaber cona la pregucontar de

número bieza podría m

vista de los

os ofrecens nombres los niños, son incap1965). La c

amente. Es

esarroll

omprender a experiencsignificativacesarias? experienciaen el desar

mática Modeon los niñosar en la en

TA SOBRE

ión: el caso

reescolar, cfichas bla

miraba, añahilera fuera

de fichas hilera tiene

s fichas blanás!» ntado los nta de cons

e palabra yen desarrolmejorar su c

s requisito

n dos expde los númantes de ll

paces de ccuriosa respdecir, se s

lo del n

y emplecia de con

a de contar ¿Qué puea de contrrollo matemerna o la fos pequeñosnseñanza d

E EL DESA

o de Peter

colocó sieteancas en cadí otra fichmás corta yen cada hi

e [contandoncas] 1, 2,

dos conjuservación dy enumerallada. ¿Por comprensió

os lógicos

licaciones eros y del alegar a tenecomprendepuesta de Psupone que

número

ar el númntar que tienecesita unde aprendtar? ¿Qué mático? El ormación lós? ¿Qué pade concep

ARROLLO

r

e fichas azucorrespondeha blanca. Ey pedí a Pelera o si ha las fichas 3,4, 5, 6, 7

untos, Petede la no eqar no impli

qué contarón del núme

distintas dacto de coner «uso de

er el númePeter se atre Peter care

o

mero, ¿ senen los nina adquisicer un niño

papel deenfoque caógica de loapel deben ptos numér

DEL NUME

ules en fila fencia biunEntonces ju

eter que conabía algunaazules] 1, 2

7, 8. ¿Ves?

er seguía uivalencia. ca necesar no ayudó ero?

de la comntar. Desde razón» (ha

ero y la aribuye a unaece de razo

se desarroiños? ¿ O ción previa do acerca desempeña ardinal (teoros program

desempeñricos a niñ

ERO

frente a sí. Yívoca con unté las ocntara para va que tuvie2, 3, 4, 5,6, ¡La tuya s

respondienAl parecer

ariamente ua Peter, y q

prensión duno de estacia los sieritmética (pa incapacidaonamientos

olla el

de del

el ría as

ñar os

Yo la

ho ver era

7. ólo

ndo r, la una qué

del os

ete por ad s y



los cosignifide la Loweo nad(1965aritmésignifiDesdemane

El requiscompconjuconjuU, s,

Cojerárqpor tatres rodeberembade clevideconse

Adequivcorresestabequivmatemmatem

El la lógrelaciPiageel fun

onceptos lóicativamentdesigualda

, 1962) handa que ver 5) afirmabaéticos a muicado. Ni se este pun

era significa

modelo casito previo

prender el snto, es decnto correctS y O, pero

omprender quica o «incanto, es mayosas y cincría respondargo, los niñlases (por ncias de qecuencia, sdemás, la valentes. Lspondencia

blecer una valencia y mática formmáticas.

modelo de gica de laones de e

et estaba dendamento p

ógicos necte. Como cad o la desn llegado a

con el desa que los uy corta edasiquiera la nto de vistaativa de con

ardinal. Sego, los niñosignificado cir, a clasifto. Por ejemo no L, v, Vla lógica d

clusión de cyor que cua

co violetas yder que la ños pequeñ

ejemplo, que los niñson incapac

lógica de La equivala biunívocacorrespondla corresp

mal, se cons

Piaget. Segs relacionequivalenciae acuerdo epsicológico

cesarios pacontar no imsigualdad, la conclusiósarrollo de niños apre

ad y que senumeració

a, el desarntar depend

gún uno deos deben esencial de

ficar objetomplo, un co, F Y #.

de clases tclases»: unaalquier subcy se le preg

clase (floños tienen Piaget, 19

ños pequeñces de com

clases coencia de

a: Dos conjudencia biupondencia sideran el f

gún Piaget es (seriacia y, a consen que la ede la com

ara un conmplica tenealgunos psón de que lun concep

enden a ree trata de aón garantizrrollo de unde de la evo

e los modeentender

el número. s para pod

onjunto de f

también rea clase es laclase. Por egunta «¿Hares) es mádificultades

965). Estosños no capprender veomporta c

dos conjuntos pertenívoca entbiunívoca

fundamento

(por ejempón) y la csecuencia equivalenciaprensión de

ncepto del r éxito en tsicólogos (la experienpto numéricecitar la sctos complza una comn conceptoolución del

los que esla clasificEsto impli

der asignar formas curv

quiere coma suma de ejemplo, si aay más violeás que la s con estoss resultadoptan la lógirdaderameomprenderjuntos se necen a la tre sus ele, que sono psicológic

plo, 1965), lclasificaciónde ello, el a (la corresel número.

número ytareas· de cpor ejemplcia de contco. Por ejeserie numéetamente vmprensión o del númepensamien

stablecen lacación anteca aprendecada uno

vas puede

mprender lasus partes a un niño seetas o hay subclase (

s problemaos se hanca de clas

ente el númer la idea

define mmisma clas

ementos ren el fundaco del apre

os niños den para cosignificado

spondencia Sin embar

para contconservacióo, Wohlwilltar tiene poemplo, Piagérica y datverbales y s

del númerero y de unto lógico.

a lógica coes de poder a definir de ellos a incluir c, C

a clasificac(subclasese le presenmás flores

(violetas). Ss de inclus considera

ses y que, ero. de conjun

mediante use si se pueespectivos. amento de ndizaje de

eben entenmprender

o del númebiunívoca)

rgo, creía q

tar ón l y co

get tos sin ro. na

mo der un un

, u,

ción ) y, tan ?», Sin

sión ado

en

tos una ede

La la

las

der las

ero. ) es que



compclasifelemepalabeleme

Dede setodosdiferenúmeuna clos nentenúnica

Pasignifipensaclasifidel decompllegadnada»

Piaextraoadquilas cosignificantidequivmodifequivtransfconsecuand

El

Unconse

prender la icación comento de cad

bras, para eentos que he la misma meriación y ds sus elemenciar denteros formanclase que cúmeros ma

nderse ~n téa de concepra Piaget (icativa de camiento. Licación y cesarrollo meprender el ndo a él sí p». aget (1965)ordinaria psición del p

orrespondeicativa de dad indicabalencia) defica la relacalencia (nformacioneerva se da do varía su

punto de v

n punto de vervación es

correspomo la seriada conjuntoestablecer uhan emparemanera, Piade clasifica

mentos comro del conj

n un orden yontiene comayores). Eérminos de ptos lógicos1965), el decontar estáLos requiscorrespondeental. Los nnúmero ni cpueden hac

) afirmaba qporque señpensamienncias biunívcontar. Má

ba la compe dos conjunción de equno equivas no relevacuenta deaspecto fís

vista basad

vista altern el resultad

ondencia bación. Por o, y luego euna igualdaejado mediaaget consid

ación. Por emo miembrjunto el priy constituyemo subclasn resumenun único co

s (Sinclair yesarrollo deá ligada a lsitos lógicoencia biunívniños que nocontar signifcerlo. Por

que la consñalaba la lto lógico; lavocas; un vás concretarensión de ntos, los cauivalencia alencia) seantes en la e que el núsico.

do en cont

ativo consio de un con

biunívoca ejemplo,

el segundoad, los niñoante la impderaba que ejemplo, enros de la mer eleme

en una jerarses uno y dn, Piaget aoncepto lóg

y Sinclair, ee la comprela apariciónos del núvoca) aparo han llegadficativamentanto, el n

servación dlegada al a comprensverdadero camente, se

que una vambios en l(no equivae conservapariencia

úmero de e

tar

dera que lanocimiento

implicaba igualar imp, el tercero

os tienen quosición de el número numerar unmisma cla

ento, el segrquía de clados (y, a suafirmaba qugico sino qun prensa). ensión del nn de un esúmero (corecen con edo al estadinte, mientraúmero es u

e la cantidaestadio op

sión de lasconcepto deegún Piagevez establea configuralencia). Es van a traa física de uelementos d

a dificultad incompleto

comprendplica obser

o, el cuarto,ue llevar la un orden. es la uniónn conjunto ase y al mgundo, etc.ases. Por ej vez es una

ue el númeue constituy

número y dtadio más

onceptos del «estadioio operacioas que los nun concept

ad tenía unperacional,

s clases, lasel número;

et la conseecida la equación de los

decir, las avés de un conjuntode un conj

de Peter coo de cómo s

der tanto rvar el prim, etc. En otcuenta de

de concepimplica tra

mismo tiem Además, emplo, tresa subclase ero no pueye una sínte

e una manavanzado de seriaci

o operacionnal no puedniños que hto de «todo

na importan es decir:s relacioney una man

ervación deuivalencia s conjuntosrelaciones cualesqui

o. El niño qunto no va

on la tarea se debe con

la mer tras los

ptos atar mpo

los s es

de ede esis

era del ón,

nal» den han o o

ncia la

es y era

e la (no no de

era que aría

de ntar



y no d(por econtaniño. graciade dede coresult

Dese detécniclos prpara núme1983;compprocecreciedesaraños Sinclanúmede las

ConcAl

mome(Ginscinco»de 3 juegaverse(y sólnombpuedehabla1982,

de una comejemplo, G

ar es esencEl número

as a un camesarrollo meontar aductado directoesde este pesarrollan dcas para coreescolaresdescubrir o

ero y de co; von Glase

prensión deedimientos pente sofisticrrollo de téc

algunos pair, en prenero sería pss actividade

ceptos relaprincipio,

entos, contburg, 1982» mientras años de en a algo. A acompañalo una part

bres de los en aprender ya de con p. 196).

mpleta incaGelman, 197cial para el o no se conmbio generaental). En ce que la c

o de las exppunto de visde maneraontar y concs suelen apo construir ontar (por eersfeld, 198el númeropara contarcación desecnicas y conpiagetianosnsa) han llegicológicam

es de conta

acionados clos niños

tar no pare). Por ejembaja saltan

edad recitaAl parecer,

adas por la rte de la senúmeros so

er a decirlanceptos abs

apacidad pa72; Zimilesdesarrollo

nsidera un al en la macambio, el mcomprensióperiencias dsta, los cona gradual, ceptos de u

prender a emgradualme

ejemplo, Ba82; Wagnero y de cor de una maemboca ennceptos est

s (por ejemgado a la cente incom

ar.

con contarse limitan

ece ser nadmplo, Ariannndo cuatro r nombres , Arianne hrecitación drie numéricon palabras

as mucho astractos qu

ara pensar s, 1963), ha

de la comconcepto tnera de pemodelo queón del númde contar. nceptos numpaso a pauna sofisticmplear los

ente significaroody y Gr y Waltersontar, los anera cada n una comptá entrelaza

mplo, Elkinconclusión dmpleto si no

r n a recitar da más quene, a los 22

escalones.de númer

ha aprendidde nombresca correctas y, como oantes de foue asociar a

lógicamenan llegado

mprensión dtipo «todo nsar de lose basa su emero evolu

méricos y caso, y son cación cadanúmeros d

cados cadaGinsburg, e, 1982). A niños aplvez más so

prensión maado y, de hed, 1964; Pde que un ase tuviera e

nombres e un sonsomeses, ca

. Ha oído aos mientrado que cies de número) seguido pocurre con ormar [imága las misma

te. Algunosa la concl

del número o nada» q

s niños (unaexplicación ciona lenta

contar signel resultad

a vez mayode una mana vez más n prensa; medida queican el nofisticada. Aayor, etc. Eecho, duranPiaget, 197análisis del en cuenta la

de númeronete carennturrea «do

a sus hermaas bajan lasrtas activid

os. Imita el ppor sus heotras palabgenes menas ….» (vo

s psicológiclusión de qpor parte

ue es posia nueva etaen la mane

amente co

ificativamedo de aplir. Al princip

nera mecánprofundos Fuson y He aumenta úmero y A su vez, e

En el fondonte los últim77; Sinclaidesarrollo a contribuc

ros. En esnte de sentos, cinco, danos gemes escalerasdades puedprocedimiermanos. «L

bras, los niñntales], por n Glasersfe

cos que del ble

apa era mo

nte car pio, nica del

Hall, su los sta , el

mos r y del

ción

stos tido dos, elos s o den nto Los ños no

eld,



Al

conjuetiqueemplehacenimplicse emconjusiguie PADR

ARIANPADR

ARIANPADRARIAN

Parespoacto enúmepregumuy pLos p(por eciclo maplica

Pritécnicimporaprenque n

principio, ntos. Por etando objeear una etin preguntasca respondemplean parnto de otr

ente conver

RE: [d

NNE: DRE: [

dNNE: DRE: [NNE: D

arece que onder a pregenteramenteros como uunta cuántopronto entrereescolares

ejemplo, Gemedio reco

ables a activ

incipio del cas para cortantes en nder los primno empleen

los niños ejemplo, A

etos mientrqueta paras del tipo er con un nra designarros conjunrsación entr

[Señalandodibujo? Dos. [Señalandodibujo: Dos. [SeñalandoDos.

«dos» es guntas del tte verbal y una clase eos hay o cuae las palabrs sólo empelman y Gaonocen siemvidades de

orden estaontar y refle

sus accionmeros términ los mismo

pueden hArianne paas busca e

a cada elem«¿Cuántosúmero, perr el valor cntos con dre Arianne

un dibujo c

un dibujo c

un dibujo c

la respuestipo «¿Cuásin significa

especial de ando se le ras que sonlean letras

allistel, 1978mpre los núcontar (Ba

able. Con eexionan sobnes de coinos de la s

os términos

hacer enuarece disfrentre sus jumento o des hay?», saro todavía ncardinal de distintos vay su padre

con dos ga

con tres per

con un gato

sta «comoántos hay?»ado. Obsérpalabras. Spide que c

n para contamuy rara v

8). Incluso úmeros comaroody y Gin

el tiempo, abre ellas, antar y en

serie numérs o el mism

meracionesrutar, a suuguetes; noe resumir laabe que elno parece a

un conjuntalores card:

tos.] ¿Cuán

rros.] ¿ Cuá

o.] ¿Cuánto

odín» para ». En estos rvese, no oSólo empleuente. Los ar y las que

vez cuando los niños lemo una clansburg, 198

a medida qprenden a los númer

rica de memo orden cu

s sin intenus dos año hace ninga cuenta. C procedimi

apreciar queto y para d

dinales. Co

ntos gatos

ántos perro

os hay?

Arianne amomentosbstante, qua númerosniños pare

e no (Fusonse les pide

evemente dase especia84).

que los niñdescubrir r

ros. Los nimoria. Al priando recita

ntar numeos de eda

gún intento Cuando seento correce los númerdiferenciar onsidérese

hay en este

s hay en es

a la hora , contar es

ue ya trata cuando se

ecen distingn et al., 198e que cuentdeficientes dal de palabr

ños usan sregularidadiños parecncipio, pue

an números

erar ad, de

e le cto ros un la

e

ste

de un los

e le guir 82). ten del ras

sus es en de s o



cuentempecuentnombestipuherenla secpero ssiemppropia

PrinpuedellegarMás aun cointentde cootros.princiun mi

Princonjugenerde unúnicasistemcomoconjuPrice,conveferencejempetiquedifereprinciel prin

tan objetosezaba desdeta implícitambres de los nula que parnte. Los niñcuencia nusiempre depre usa la sa versión («

ncipio de coen recitar nr a desarroadelante, punjunto una to genuino dontrol de los. A una edpio como ésmo objeto

ncipio de unntos para dren una secn conjunto, s. Por ejem

mática y emo no todos sntos de tre, 1983). Incencionales,ciadora de plo, el empletaría erróenciaría depios de ordncipio de un

. Por ejeme el uno pamente, o hnúmeros enra contar esos cuyas a

umérica cone manera cecuencia co«1, 2, 3, 4,

orrespondencnúmeros -collar una cieueden darsvez y sólo ude enumeras elemento

dad tan coréste para do o saltarse

nicidad. Comdiferenciarlcuencia estsino tambi

mplo, un nmplear estsus elemens y cuatro cluso cuand la apreciaccontar) le ieo sistemáneamente

e conjuntosden estable nicidad.

mplo, cuandara contar chasta explícn el mismo s indispensacciones esnvencional

coherente (orrecta del 5, 6, 8, 9, 1

cia. Como romo Ariann

erta eficaciase cuenta duna. El prinar conjunto

os contadosrta como loetectar erro alguno (Ge

mo una funcos o compable y asignén que em

niño puede tas etiquetantos están delementosdo un niñoción del primpediría e

ático de la seconjuntos

s con meny de corres

do Alexi tenconjuntos. Tcitamente, orden cadaable el esta

stán guiadao una sec

Gelman y Guno al diez

10, 18») pa

resultado dene- mientraa en la enue la necesi

ncipio de cos y guía loss y por conos tres añoores de enelman y Me

ción de conpararlos, esnen una eti

mpleen una usar la se

as en una diferenciado(con la des tiene que ncipio de uscoger térmecuencia n

de cuatronos elemespondencia

nía tres añoTarde o temde que con

a vez. El priablecimient

as por este cuencia' prGallistel, 19

z en tanto qra contar d

e la imitacióas señalan umeración ddad de etiq

orrespondens esfuerzosntar, como os, los niñoumeración eck, en pre

ntar es asigs importantequeta, y sósecuencia ecuencia «

corresponos, etiquetasignación crecurrir al

unicidad (cominos emplo convencio elementontos. Por

a, es import

os de edadmprano, los ntar requieincipio del oto de una sprincipio puopia (no co978). Por eue Carol usiez objetos

ón, al princobjetos y hde conjuntoquetar cadancia subyacs de construseparar losos parecencomo contnsa).

nar valorese que los n

ólo una, a cade etiqueta

«1, 2, 3, 3»ndencia biuará de la mcardinal «3»empleo de

omprender eados prevonal «1, 2, os pero atanto, adeante que lo

d no siempniños se d

ere repetir lorden estabsecuencia cueden utilizonvencionaejemplo, Besa siempre .

cipio los niñhasta puedos pequeñoa elemento ce a cualquuir estrategis unos de ln emplear tar dos vec

s cardinalesniños no sóada elemenas distintas» de mane

unívoca, pemisma mane

») (Baroodye términos la función

viamente. P3, diecioncl menos l

emás de los niños sig

pre an os ble co-zar al), eth su

os en os. de ier as os un

ces

s a ólo nto s o era ero era y y no di-

Por e» os os an



Prin

conjulo quehora dbolaselemede losun blocreama todo

Prinfácilmen el embaadecudecir,desigvuelveejemppara e...5, 1pregunoció

Losactividjugueconse

Pricontaque s(Barocuatroque evolviófichascontósultad

ncipio de anto para poe puede agde contar, u: ● ● ●) o entos distints elementosoque se pumos un conjos los elem

ncipio del vmente la téc

último númargo, el emuada del va no significna la cantide a contar dplo, un niñoenumerar q19, 14, 12, untó la cann de «tres»s niños puedades de ctes, los des

erva la mism

incipio de la r también se enumeranody, 1984do o cinco añel resultadoó a encontrs en círculo el círculo d

do. Al cont

abstracción. oder contargruparse paun conjuntodistintos (ptos en un cos y clasificaeden consjunto de ele

mentos.

valor cardinnica de con

mero contadmpleo de laalor cardinaa necesariadad del condespués deo deficientequince obje

10, 9, 20 tidad de e

» no excluíaeden constrcontar. Cuasparrama yma designa

irrelevanciase descubrn los elemed). Considéños- contab

o sería el mrar que erao, las volvióde fichas entar los ele

Los niñosrlo. El princara formar

o puede estapor ejemploonjunto, el

arlos como «iderar com

ementos dis

nal. Medianntar denomido en respua regla del al en sí (Fuamente quenjunto y que modificar e empleabaetos, pero e

,49, 1,2,3»lementos ra conjuntosruir el princ

ando, por ey los vuelveación (cardi

a del orden. Pre el principentos de un érese el caba una hile

mismo, volvn diez. Inteó a contar n dirección

ementos de

s también ipio de absun conjuntar formado o, bolas, esniño debe p«cosas» (po una, dos stintos enco

nte la imitainada regla uesta a unavalor card

uson y Halle el niño seue un conju

la distribuca correctamempleaba la» (Baroodyrespondió ss cinco vececipio del valejemplo, un e a contar, nal) a pesa

Parece quepio de la irrconjunto n

aso descritra de diez f

vió a contareresado poy volvió a opuesta pa

e varias m

deben aprstracción seto (Gelmanpor objetos

strellas y ppasar por aor ejemplo,y tres cosa

ontramos (a

ación, los del valor ca

a pregunta dinal no ga, 1983; Vo

e dé cuenta unto tendrá ción espacia

mente la coa siguiente y y Ginsbursatisfecho: es más gralor cardinalniño cuen

puede desar de su asp

e al reflexiorelevancia do afecta a so por Piagfichas. Comr las fichas

or este resuencontrars

ara acabar maneras, es

render cóme refiere a lan y Gallistes similares alos: ● ⃰ --)lto las difere, una bola, as). En el foabstraemos

niños puedardinal, es dsobre una

arantiza unn Glasersfede que el úla misma c

al de sus errespondensecuencia rg, 1984). «¡Tres!» A

ndes! reflexionanta una colecubrir que pecto («tres

onar sobre ldel orden «su designacget (1964). mo no se da

en direccióultado, el nise con diezobteniendoste niño d

mo definir a cuestión l, 1978). A (por ejemp

). Para inclencias físicuna estrellaondo, cuans) algo com

den aprenddecir, basacantidad. S

a apreciaceld, 1982). último térmcantidad silementos. P

ncia biunívonumérica: Cuando se

Al parecer,

ndo sobre sección de tuna coleccs»).

a actividad«<El orden ción cardina

Un niño --aba cuentaón contrariiño colocó z. Finalmeno el mismo descubrió u

un de la

plo, uir

cas a y do ún

der rse Sin

ción Es

mino se Por oca «1,

e le ¡la

sus tres ción

de en

al») -de de a y las

nte, re-

una



intereordendesig

Co

Unrefierecompaccióndos cresultmismprobaconjuetiqueincluyniño pcorresetiqueaspecaplicao men

Anespecespeces proun niño tresmás diferedos bde qubloqurepeticonclumayotérmin

esante propn de su enación card

onceptos de

na vez el niñen a un solicados comn de contar

conjuntos stantes son io número

able que losntos pequeetar con la pyendo parespuede ver esponden eetados con cto físico (arse posterintalmente ctes de llegcificar difecificar «másobable que ño puede es caramelosque 1. Al

encias perceloques («un

ue hay «máes!») y encidos de estusión de qr de dos núno para con

iedad de lanumeracióndinal del co

e equivalenc

ño ha llegadolo conjuntomo la compr para descuson igualesdénticos, pde objetoss niños deseños de unpalabra «dos naturalesen seguidaentre sí, p

la palabra (por ejempiormente a con facilidadar a la escrencias ens» o «menoprovenga dncontrarse s. El niño p

contar caeptibles en no, dos-dosás». Luegocontrar quetos dos tipoue: a) se a

úmeros siemntar es más

as acciones n no tenía

onjunto.

cia, no equi

do a domino, la acciónparación deubrir que la o no. Si u

puede llegars a pesar dscubran esno a cuatroos» varios p de cosas (

a que estospueden lleg

«dos» sonplo, Schaefconjuntos md.

cuela, los nntre conjuos» (ordenade jugar coante la opc

puede ver fáda conjuntcuanto a m

s bloques») puede vol ahora, la eos de expeasocian dismpre vienes que el térm

de contar: an importa

ivalencia y

ar estos con de contare dos conjua aparienciaun niño cur a la conclude sus dife

sta noción no elementopares de co(por ejempl

s conjuntos gar a la c equivalentffer et al., mayores qu

iños tambiéntos (no

ar conjuntosn conjuntosción de escácilmente qto, se asoc

magnitud. O), luego añalver a contaetiqueta nueriencias costintos núm después emino que le

la distribucancia a la

magnitud

onceptos bár puede ap

untos. Tamba no es pertenta dos cusión de querencias ennumérica fuos. Por ejeosas (por ejlo, ojos, bracompuesto

conclusión tes a pesar

1974). Esue el niño n

én aprendeequivalenc

s según su ms de pocos

coger entre que 3 es mácian etique

Otro niño, poadir uno máar los bloqmérica es

oncretas, umeros a maen la secuee precede e

ción de los ehora de

ásicos para plicarse a cbién puedeinente para

conjuntos yue los conjun cuanto aundamenta

emplo, los emplo, bloqazos, gemeos de cosa

de que lr de las difesta compreo puede co

en que el ncia) y emmagnitud). elementostres cestosás que 1 ó etas numéor ejemplo, ás y llegar aues «uno, «tres». A pn niño pue

agnitudes dncia de conen la serie n

elementos ydeterminar

contar quecontextos me emplearsea determinay los númeuntos tienena aspecto. al jugando cniños puedques o dedelos). Comoas distintas los conjun

erencias deensión pueomparar vis

número pueplearse paTambién e. Por ejemp

s con uno, d2, y que 2

ricas a espodría con

a la conclusdos tres-¡t

partir de casede llegar adistintas; b)ntar, y c) canumérica.

y el r la

e se más e la ar si ros n el Es

con den os) o el

se tos

e su ede sual

ede ara sto plo, dos es tas

ntar ión res sos a la ) el ada



Co

núme«uno,que vasociapuedededo)conjupara d

CoequivEstosindicioComoalargaque llque osuficiepuedecalibr

Auo no ede emrazonbase sicamrelaciAnte hileray llegaser, pañadesi se númede cológica(Gelm

ontar con loero. Cuando

dos, tres..van contandada a la poen llegar a ) más que ntos pequedeterminar

onservaciónalencia, la

s criterios nos perceptio resultadoa o se acoregó a la cootra, más entes para e que este par la magnn después

equivalencimplear estanes. En prim

para emplmente (por

ón inicial desta incerts de longituar a la conc

pues, que loe algo a la mcree que l

eros especíonservacióamente sobman y Gallis

os dedos puo los niños.) pueden v

do. De esta osición dent

darse cuen2, etc. En

eños con los«cantidade

n de la cantno equivalenuméricos ivos como

o, los niñosrta duranteonclusión dcorta, con comparar

preescolar itud relativade haber aas y hacer as reglas emer lugar, plear reglas ejemplo, ae los conjuidumbre, pud desigualclusión de qos niños qumisma. Adelas dos hileficos es unn no implbre las relastel, 1978).

uede desem cuentan c

ver que el nmanera, lo

tro de la senta de queresumen, cs dedos, loses iguales»

tidad. Con eencia y la mprecisos libla longitud

s dejan de e una tareade que su h

ocho fichacon exactitno hubiera a de dos coprendido recomparacio

en una tarepueden no numéricas

alargándolauntos (quizáueden vers, pueden ec

que la hileraue no conseemás, la noeras son igna proposicica necesaaciones de

mpeñar un con los dednúmero de dos niños puerie numéric 2 es 1 (un

como results niños pue, «cantidad

el tiempo, lamagnitud peberan a losd cuando h

despistars de conser

hilera larga as, no habtud dos númaprendido

onjuntos releglas numéones entre ea de cons

pensar ens. Cuando a) los niñosá las dos hse abrumadchar mano a más largaervan crean conservac

guales al pción dudosaariamente e equivalen

papel clavdos (extenddedos es caeden reconca. Al contan dedo) mátado de susden aprend

des distintas

as reglas nermiten a los niños de acen comp

se cuando rvación de (con siete

bía tenido meros segumétodos o ativamentericas para dmagnitudeservación d

n contar y, una hilera

s pueden hileras no edos por losdel criterio

a tiene más n en realidación sólo es principio, coa para los n

que un nncia si cue

ve en este diéndolos mada vez manocer que laar con los dás que 1, qs experiencder reglas ds» y «más»

uméricas ps niños podtener que

paraciones una hilera la cantidadfichas) tenexperienci

uidos. En otécnicas nu

e grandes. determinar s, los niñose la cantidpor tanto, c

a se ha trano estar s

eran igualess indicios vi

perceptivo (Acredolo,

ad que alarguna contra

osa que sinniños pequniño no puenta y emp

desarrollo mientras dicayor a meda magnituddedos, incluue 3 es 1 (cias contan

de numerac».

para evaluader conserv

depender cuantitativde fichas

d. Quizá Panía más fichas de contras palabruméricos pa

equivalencs pueden dead por varcarecen densformado

seguros des de entradisuales de de la longit1982). Puegar una hile

adicción lógn contar y eños. La faueda razonplea núme

del cen ida va

uso (un ndo ción

r la var. de as. se

aul, has ntar ras, ara

cias ejar rias e la

fí-e la da). las tud ede era ica sin

alta nar ros



En

tenganuméconsecompdesarmismapuedepara criteri

Tasofistinuevacantidcuyo parecpara dempledistingque lade ellintegrun juic

Otrconseadultorepetiequivadistribniños corresconcr

Enequivaconcrrealiza1972)facilitaO'Don

segundo luan suficientérico en vervación dearar cantida

rrollo de una etiqueta e resolver él. Un niñoos y responrde o tempicada que ina regla espdad mayor caso se tr

cen resolvedarle una foeando indicguir entre uas diferencias es largarantes muchcio numéricros niños nervación deo plantee udas de conalentes, esbución espa

infieren uspondenciaretas, basad realidad, alencia/no reta de conar sus juic). Además, a la adquisnnell, 1974

ugar, y aune confianzaez de pe la cantidadades («Si una regla ba

numérica, el conflicto

o con algo nder de marano, los nintegra la repecifica: «Sa menos qrata de hil

er el conflicorma más scios percepun conjunto ias no son a pero con ho más agrco. ni siquiera e la cantidana preguntntar, sabensta equivaacial (Lawsna regla d

a biunívocadas en núm

hay mucequivalenctar. Los niñ

cios sobre la enseña

ición de la 4; Starkey

n si piensana en sus rrceptivo (pd provoca uuna hilera esasada en c

es que tieo simplememás de ex

anera incohños resuelv

egla numéricSi una hileque al contaeras con l

cto cognoscsistemáticativos cuandde seis veclaras (por los integranrupados), la

tienen quead. En realta cuya resn que si nolencia permon, Baron ye equivale

a que commeros especchos datoscia se desaños pequeñla conservnza o el deconservaciy Cooper,

n en contarreglas numpor ejempln conflicto s más largaontar («Si

enen cantidente recurrixperiencia perente. ven el conflca y la basa

era es másar se obtena misma ccitivo reorg

a. De esta mdo las diferlas y otro dejemplo, d

ntes separaa regla indic

e contar palidad lleganspuesta es o se añademanece coy Siegel, 19ncia relativ

mplementa cíficos (Ges que indarrolla en loños suelen vación de lesarrollo deón de la ca, 1977). C

, puede quéricas paralo, Gelmanentre la rega que la otrase cuentan

dades iguaendo al crpuede vers

icto ideandada en la pes larga quenga la mismcantidad.» ganizando manera, losrencias sone dos) (Zim

dos colas paados y la oca la neces

ara conservn a pensar tan obvia.

e ni se quitonstante po974). Es devamente absus reglaslman y Galican que

os niños a ponerse a

a cantidade técnicas antidad (Beiertamente

e los niñosa basarse n, 1982). gla que tienea es que tien dos hilerales»). Un n

riterio percese dividido

do una reglaercepción. Ee otra, puema etiqueta

Básicamenla informac

s niños puen evidentes miles, 1963)ara el cine tra es cortasidad de co

var. Dan pque es exA partir de

ta nada a dor mucho

ecir, tarde obstracta bas de equivlistel, 1978la regla partir de s

a contar comd (por ejemde numera

earison, 196, parece q

s pequeños en un criteLa tarea

e un niño paene "más") yas y tienenniño pequeeptivo famientre los d

a nueva y mEn el fondo

ede tener unumérica,

nte, los niñción existe

eden continu(por ejemp

). En casos en donde ua pero con ontar y reali

or sentadaxtraño que e experiencdos conjunque varíe

o temprano asada en uvalencia, m). abstracta

su experienmo base pa

mplo, Gelmación precis69; LaPointque los niñ

no erio

de ara y el n la eño liar

dos

más o, la una

en ños nte uar plo, en

una los zar

a la un

cias tos la los

una más

de ncia ara an, sas te y ños



peque(cons(consGrize

Asde coequivvimosvisuacuatropuedeproporeglasrelaciniñosrepresde regque igequiv

Conc

Mecambcardinañadienumpara do ver «tres»1982)una gconta

Denumé

1 S«subiti«repenun es[directa

eños suelenervación cervación c, Papert y Pí pues, seg

ontar es laalencia, nos en el calmente y do elementoen adjuntarorciona la bs más abstones numé suelen depsentada poglas relativgualar, la valencia, no

ceptos aritm

ediante las iar un núm

nal de un cor o quitar eración o pdarse cuencon rapidez», etc. (Bar). De maneralleta de unr y aument

escubrir los éricas eficacSubitize en eizar»/ «subitntizar»/ «repestímulo visuamente]»/«ca

n pasar porcon «verificon «certezPiaget, 196gún el punto clave par

o equivalencapítulo n, indeterminar s) son equirse a estos base para tractas (ba

éricas existepender de c

or la tarea dvamente abvía natural do equivalenc

méticos bá

experiencmero. Si loonjunto, cie

objetos). pueden capta de relacz que añadroody y Whra similar, un conjunto dar o disminefectos de

ces. l origina!. Seización» (de

entización». Dal no estru

aptación [dire

r una etapacación empza lógica» 0; Green y

o de vista cera hacer excia y ordenncluso los de maneravalentes o conjuntos formular re

asadas en entes entre contar para

de conservastractas. Ede los niñocia y orden

ásicos

ias de cons cambios rtos tipos dCuando l

ptar directaiones aritmir un bloqueite, 1983; G

un niño puede tres, que

nuir en una e añadir o q

e trata de uerivado de sDado que signucturado sincta]». (N. del

a en la que pírica») ant(Apostel, MLaxon, 197

entrado en xplícitas y n de magnit

niños de a intuitiva sno. Contar pequeños.

eglas numéla equivalecantidades

a averiguar ación de la n pocas pa

os para lleg con númer

ntar, los nide orden

e transformos niños

amente1 paméticas impo

e a otro es Ginsburg y ede determiedan dos. Nunidad.

quitar una u

n neologismsúbito) y qunifica captar dn tenerlos q

T.)

se basan ees de con

Mays, Morf 70). la manera ampliar las

tud (Baroodseis mese

si unos conproporcion Es la expeéricas explencia) paras mayores. relaciones cantidad, yalabras, pagar a compros no intui

ños tambiéo distribuc

mación sí qullegan a s

autas numéortantes. U«dos» y quBaroody, 1nar o ver e

No hay más

nidad depe

o que podríae, en ocasiirectamente eque contar,

en contar pservar por y Piaget,

de contar, s nocionesdy y White,es pueden njuntos peqna etiquetaseriencia de ícitas y, po

a razonar ePor tanto, ade equivale

y sólo despurece que crender las tivos.

én descubrción no altue lo hacenser compeéricas, están niño pued

ue añadir ot1983, y Vann seguida qs que una fi

ende de una

a traducirse ones, se ha

el número de se traducir

ara consercomprens1957; Gre

la experiens intuitivas 1983). Coinspeccion

queños (has verbales q

contar lo qosteriormenen torno a al principio encia comoués dependontar es, mrelaciones

ren qué hateran el va (por ejemp

etentes en án preparadde determintro más hacn Glasersfeque si se quna línea en

as técnicas

literalmente a traducido puntos que tirá por «ca

rvar sión eco,

ncia de

mo nar sta

que que nte, las los

o la den más

de

ace alor plo,

la dos nar cen eld, uita ntre

s

por por ene ptar



A p

aritméexperaumedismiba a cinco éstosproceestabA cauque,

Code maprimeenseñejempminaddesigsuelebandemostrganady, natesper

Latransfque nen foro susformaganadningu

Luy no pertinganaddos bhabía

partir de suséticos básiriencias inentativo (añnución (quiasistir al ja(4 + 5). Re son los n

eso aumentba bien. usa de su coal menos, f

onsideremoagia» desa

era etapa dñan a un niplo, una bador señala na como «

en contar oejas se corarse al niñdora (por ejturalmente,ra encontra

a segunda formacioneno afectan armación triastituye un aciones perdora (por e

una bandejauego se reg

pertinentenente para dora. Sin ebandejas y a ocurrido, l

s experienccos, pero gformales ladir algo a tar algo de

ardín de infeplicó: «Si úmeros. Stativo, Aaro

oncepto inffuera algo mos también arrollada poe la tarea eño dos ban

andeja con una de las

«la ganadoo darse culocan detráo. Entoncejemplo, la b, encuentra

ar a la ganadetapa de

es. A vecesa la cantidaangular tresratón por urtinentes paejemplo, aña sea la ganistraba la re

es para la la cantida

embargo, lono podíanos niños de

cias informagenerales. los niños una cantiduna cantida

fancia se lelo tuviera qeis o sieten sabía que

formal de lamayor que la reacción

or Gelman establece l

ndejas con dtres ratone

s bandejasora». Aunquenta de laás de una es, el niño tbandeja cona la ganadodora, si no ela tarea m

s el examinad: cambia s ratones quun objeto dara la cantadir otro ranadora). eacción de

cantidad. d: la gana

os niños se encontrar ecían que s

ales de conMás concrconsidera

ad dada) y ad dada). P

e preguntó que adivinae.» como ce dar uno d

a adición, Aacinco. de unos pr(Gelman, 1a importandistintas caes y otra c

s (por ejemue no se la cantidad

pantalla, srata de escn cuatro ratoora. Este pen el prime

mide la reaador realizla posiciónue estaban diferente. Atidad: añadatón de jug

los niños a Los niños

adora (por e sorprendíla ganado

se había añ

ntar, los niñoretamente, n la adicla sustracc

Por ejemplocuánto pen

ar, diría queconsiderabade los suma

aron reajus

reescolares1972; Gelmcia de un n

antidades don cuatro).plo, la quees indica qde ratones

se tapan, scoger la gaones) se da

proceso se r intento, seacción del za transform de las figuen fila), alt

A veces, reir o sustraeuete a la b

estas transs ignorabaejemplo, «ían mucho ra. Cuando

ñadido (o qu

os construycomo resu

ción como ción como uo, cuando Ansaba que e cuatro o ca que la aandos como

tó su cálcul

s a la tarea man y Gallisnúmero dete figuras de. A continue tiene tres que lo hags en las bse mezclannadora. Si a al niño otrrepite hast

eguro que eniño a va

maciones truras (por ejetera el colorealiza en ser figuras d

bandeja de

sformacionen la trans

«tres») segcuando de

o se les preuitado) algo

yen concepultado de s

un proceun proceso

Aaron empeeran cuatro

cinco. Espedición era o resultado

lo mental pa

de la «sesstel, 1978). terminado. e plástico (pación, el exratones) y

gan, los niñbandejas. Ln y vuelvendestapa la

ra oportunidta que el nen el segunarios tipos ras la pantaemplo, color de un objesecreto trade la bandtres para q

es pertinenformación uía siendoestapaban eguntaba qo a la band

ptos sus eso de za-o y

era, un no

ara

sión La Se por xa-

y la ños Las n a no

dad iño do. de

alla oca eto, ns-eja

que

tes no

o la las

qué eja



ganadindica

Pude unde pretarea imporcantidAdeminversconselímite

El

La «c(por reconcuest1973;pequeniñosse coconfigde espuedeindividcompnumé(unidaCon eméricGlase

Se1924)antesalgunindicadesar

dora. Cuanaban que deuede que esn adulto, peeescolar. A«mágica»

rtantes paradad y una

más, parecesas: la unaervan tienees, razonar

papel del

captación dejemplo, i

nocimiento atión que tod; Von Glaseñas cantid

s muy pequonsidera unaguración glostas «totalien contar, duales). D

prensión deérica como ades indivieste logro

cas como ersfeld, Ricegún otro p). En otras p de poderas evidenc

an que elrrollarse de

ndo se les pebía quitarsstas pautasero indican A pesar 'de q

implica una variar la cnueva disten comprea deshacen alguna clógicament

reconocim

directa» impidentificar automático

davía quedasersfeld, 19dades anteseños recona configuraobal distintidades» se

es decir,Desde este el número.

una totalidduales) haintelectual,una unidahards y Co

punto de vipalabras, lor reconocercias (por ejl reconocimspués de u

preguntaba se la figuras de respuela existencque un niñona comprencantidad (potribución noender que e la otra. Pomprensiónte sobre las

miento de p

plica el recosin contar

o de pautas a abierta. A982) indicans de poder nocen simpación globala que simp

e reconoce, una cole

punto de Los niños

dad (una usta que lle un niño pd compuebb, 1983). sta, contar

os niños aprr conjuntosjemplo, Bamiento auna intensa

cómo podr sobrante (

esta no parecia de unaso puede no nsión de laor ejemplo,o lo hace) la adición Por tanto, n de la arits relaciones

pautas

onocimientr que •

••

numéricasAlgunos teón que los contar. De

plemente unl que se aso

plemente ta como una

ección comvista, la

s no reconnidad en s

egan al estauede contesta de un

r precede arenden a ens con precroody y Gi

utomático dexperiencia

ría arreglar(reponerse ezcan un lo aptitudes conservar

as transform la adición yal menos y la sustraaun los n

mética y pus numéricas

o automátió •

•• son

s en el desaricos (por eniños puedsde el punt

na pauta coocia a «tres

ambién se aa colección

mpuesta decaptación ocen simu

sí misma) yadio del peemplar el nidades (po

a la captacnumerar cocisión y rainsburg, 19de las paa de contar

rse la situacla figura qu

ogro extraorimportantesla cantidadmaciones qy la sustraccon númeracción son

niños pequueden, dens.

co de pautn «tres»). arrollo del nejemplo, Kladen captar to de vista ompleta. Pos»; • • • se casocia a «trn de elemee unidadesdirecta no

ultáneameny un conjunensamientonúmero y laor ejemplo,

ción directaolecciones cpidez. En

984; Gelmaautas numr objetos. E

ción, los niñue faltaba). rdinario a os en los niñ

d, el éxito enque son o cción varíanros familiarn operacioneños que

ntro de cier

tas numéricEl lugar dúmero es uahr y Wallacdirectamen

de Piaget, or ejemplo, considera ures». Ninguentos que s (element

o implica ute una paunto de part

o operacionas pautas n, Steffe, V

a (Beckmacorrectamerealidad, h

an, 1977) qméricas suEsto puede

ños

ojos ños n la no

n la res. nes no

rtos

cas del

una ce, nte los •••

una una

se tos

una uta tes

nal. nu-

Von

nn, nte hay que ele ser



especpuntopautaindivid

Entécnicniño. descuobjetocomosiguieque teaprenmuespuededos co(Von

B) IMy

Cuacontaparecrigen:abstrade la ficientcohercorrecpodríavez ytérmin«seis»contaprincilos prnecesconoc

cialmente co de vista, as numéricaduales, es d cualquier

ca fundameCuando lo

ubrir aspecos con una • • • son c

ente principengo.» La cndizaje de tran grupose reconoceronjuntos puGlasersfeld

MPLICACIOSOLUCION

ando tienenr (Gelman

cen dar por los princacción. La mirrelevanci

tes. Estos nrente. Un ecto y luego a empezar

y con «12, nos repetid» se empler no sólo pio de unicrincipios desariamente cer estos

cierto para nincluso los

as son, a ladecir, una ucaso, los

ental en el os niños pctos importadistribucióncasos de «pio: «La discaptación direglas nums de tres er inmediataueden tenerd, 1982).

ONES EDUNES

n la edad dy Galliste

r sentados ipios de omayoría haia del 'ordeniños, por error mucho«soltar» otsistemática3, 6, 6», la

dos. «Tres»ea dos vecviola clara

cidad. (Aune orden esque estos pprincipios,

niños deficies preescolaa vez, una cunidad comdos modedesarrollo ueden recoantes del nn triangular tres», pued

stribución directa tamb

méricas parelementos camente que r la misma c

CATIVAS:

de entrar el, 1978; Glos diverso

orden estabasta pareceen. Esto noejemplo, pueo más comútros términoamente cona siguiente

» ya se habces seguidaamente el que decir t

stable y deprincipios n

pero olvi

entes (Baroares puedecolección c

mpuesta de elos indican

de la comonocer autnúmero. Por y los coloqde formulare las canicién puede dra apreciar con una diambos con

cantidad au

DIFICULT

en la escueGelman y Mos principioble, de co apreciar eo ocurre coeden no deún es deciros sin ordenn «1, 2, 3» ye. Nótese qbía empleaas para terprincipio dérminos sin

e unicidad,no se conozdarse de

oody y Ginsen reconoccompleta y unidades.

n que la caprensión dtomáticameor ejemplo,que en fila, yr de maner

cas no varíadesempeñaequivalenc

stribución tnjuntos son un cuando t

TADES CON

la, los niñoMeck, 1983os que subyrrespondenl principio ron los niñoecir los númr los primern ni conciery luego segque en el sado en la prminar la ce orden en sentido y estos erro

zcan. Por ejque ya h

sburg, 1984cer que el un compue aptación del número

ente una p, un niño qy reconozcara explícitaa la cantidaar un papel cias. Si a triangular y«tres», pueengan aspe

N LOS NUM

os son muy3). Prácticayacen a concia, de urelativamenos muy peq

meros siguieros númerorto. Por ejeuir con «6,

segundo carimera part

cuenta. Eststable, sinrepetir otro

ores no sieemplo, los

han usado

4). Desde enúmero y

esto de par

irecta es upor parte

pauta, puedque tome ta que tanto o implícitaad de canicesencial enun niño sey en hilera,ede inferir qectos distin

MEROS

y expertos amente todontar o quenicidad y

nte sofisticaqueños o dendo un ords en el ordmplo, un ni8, 12, 9» u

aso aparecte correctaa manera o también os no cumpmpre indicniños pued

o un térmi

ste las

rtes

una del

den res

o •••

a el cas n el e le , y. que tos

en dos lo de

ado de-en en ño na

cen , y de el

ple can en no



previa

Si debenjuegoexplícdecimdebemseñalaque asésam

Ejemp

Una v

Cuera sucuántCuenella. Asiguiósalierfiestacon laacabaque vno pudifereSacó que ccada corrie

El ord

Cucamahabíadormihoy sun día

amente). los niños n

n brindar as o activida

citamente (mos los númmos compamos»). Ta

aparecen remo».

plo 7.1. His

vez y sólo u

uentamal esu cumpleañtas personatamal sacó

Aunque habó contandoron 22. Est hasta quea cabeza eaba de llegvas a dar?»uedo saber ente.» Cuen

un rotuladocontaban un

nombre dendo a decí

den no impo

uentamal haa y bajar lasa bajado a ir, había coe iba a dar a muy herm

no han tenabundantesades de intepor ejempl

meros de laprobar queambién podegularmente

storias para

una

staba muy cños y queríaas iba a in

ó su lista debía perdidoo. Le saliertaba muy ce no supieraentre las magar de visita, le preguncuánta gen

ntabién tomor mágico yn nombre, Ce la lista

írselo al coc

orta

abía planific escaleras.desayunar ntado 11. Sun tortazo!

moso. El co

ido la opors experiencerés. En reao: «Cuand

a misma mae usamos ría ser útil de en los pro

contar

contento. Ca organizarnvitar para e invitados la cuenta d

ron 27. Entconfundido.a cuánta geanos. Justoa. «¡Eh! ¿Qtó. Cuentamnte va a ve

mó la lista yy empezaroCuentabién sólo una vcinero.

cado un día La mañanay le había

Si había me Así que seocinero se

rtunidad decias de conalidad, puedo contamoanera cada

un númediscutir histogramas in

Corría y dabr una gran f

poder hacy empezó

de los nombtonces volv El cocinerente iba a o en aquel Qué te pasamal le respenir. Cada vy dijo a su hon a contar le ponía un

vez. ¡Había

a muy divera anterior h

an salido 10enos escaloe quedó sen

acercó al p

e descubrirntar, sobre de ser útil ps cosas, d

a vez» o «cero nuevo torias comonfantiles de

ba saltos poiesta! El cocer comidaa contar lobres que havió a contaro le dijo qvenir. ¡Pobmomento,

a? ¿No estondió: «Puvez que cuhermano qula lista des

na marca. Da 25 nomb

rtido, pero nhabía conta0. Pero cua

ones al bajantado miranpie de la es

r estos printodo en e

presentar esebemos co

cuando conpara cad

o las del eje televisión

or todo el cacinero vino

a y pasteles nombres abía contadar para asue no pod

bre Cuentamsu herman

tás contentoes sí que loento me saue podrían de el princi

De esta manbres! Cuen

no se atrevdo los escaando volvió

ar que al subndo cómo sascalera y le

ncipios, se el contexto stos principomprobar qntamos cosda cosa qmplo 7.1 o como «Bar

astillo. ¡Proo a preguntas para todque había

do, Cuentamegurarse yía prepararmal! Se se

no Cuentabo por la fieo estaba, peale un númcontar juntipio. Cada vnera, contantamal se

ía a salir dealones cuanó a subir pabir, ¡a lo mealía el sol. Ee gritó que

les de

pios que as,

que las rrio

nto arle os. en

mal y le r la ntó

bién esta ero ero tos. vez ron fue

e la ndo ara ejor Era su



desayse iballegó Cuenlas esnúmela cagraciacontay tamescalgraciasus aEstas h

Equiv

Lodetermequivaemplesueleniño ppuedepuedeemple1943; Ejemp

ObjetEquiv1. Ta2. Cu

yuno se esan de excuCuentabiéntamal si le scaleras, Cero de escama y lo lleas a su heando cada embién le sali

ones», dijo as a su hermigos parahistorias fuero

valencia, n

s niños aminar «ca

valencia) baean espontán tener basposee técnie usarse el e hacerse eeado con éx Descoeud

plo 7.2 Jueord

tivo: valencia y nableros parauadrados co

taba enfriarsión. Peron y subió cpasaba alg

Cuentabién alones tantoevó hasta ermano porescalón: «¡1ieron 10. «ECuentabié

rmano, y baa ir con elloon escritas en

no equivale

prenden antidades i

astante proáneamentestantes dificicas numércontar para

en el contexxito juegos

dres, 1928).

gos para enden

no equivalena cada jugaon distintas

ndo. Sus ao Cuentamacorriendo eo. Cuando exclamó: ¡N

o si subes clas escaler

r arriesgars10!» Luego Es la mismn. Cuentamajó corriends de excursn colaboració

encia y «m

a basarse guales» (e

onto, al mee el númerocultades coricas precisa determinaxto de juegocomo la Lo

.

nseñar los

L

ncia. Materador. s cantidades

amigos tamal no queríaescaleras a

oyó que CuNo puede scomo si bajras. Cuent

se a caer. volvió a sua escalera,

mal se pusodo las escasión. ón con Cathy A

ás que»

en contarequivalencinos con nú

o para definn estas tareas, puede

ar «igual quos como losotería con n

conceptos

LOTERIA

rial:

s de puntos

bién se acea bajar y torriba para uentamal teser! ¡Las esas!» Arrastamal estabCuentabiénbir contand, así que tie

o a dar saltoleras para

A. Mason.

r o en caia) y «canúmeros peir equivaleneas. Despuser útil indie», «distints descritos

niños deficie

de equivale

s.

ercaron pados se fuepreguntar aenía miedo scaleras tietró a Cuentba asustadn bajó por do otra vez lene el mism

os de alegríasalir del ca

aptar directntidades dqueños. Sincias y no eués de comcar explícitto de» y «men el ejem

entes (Caris

encia, no e

ra decirle qron. Entonca su hermade caerse

enen el mistamal fuerado, pero da

las escalelos escalonmo número a, dio miles

astillo y pilla

tamente padistintas» i los niños equivalenciprobar quetamente có

más que». Eplo 7.2. Seson y Wern

equivalencia

que ces ano por mo ,de aba ras es, de

s de ar a

ara (no no as, un mo

Esto ha

ner,

a y



InsCa

figuracantidun cujugadpartidCon ehaber

ObjEquMaFicInsEst

(1943

strucciones:da jugador

a). Por turnodad de puntuadrado, seor que com

da. Cada veesto se elimr más de un

bjetivo: uivalencia y

aterial: has de dom

strucciones:te juego es

3) y Wynro

: r toma un taos, los niñotos que unae coloca enmplete su

ez que empmina la venn ganador.

D

y no equiva

minó. : una adapta

oth (1969-

ablero con,os tratan da de las pancima de latablero (taieza un turn

ntaja de ser

OMINO DE

alencia.

ación del ju1980). Se

por ejempe encontra

autas numéa pauta nu

apando todno, todos lor el primero

EL MISMO

uego de domcolocan l

lo, tres paur un cuadraricas de su

umérica coas las pau

os jugadoreo en jugar,

NÚMERO

minó descrias fichas

utas numérado que te tablero. Sirrespondien

utas numéres pueden J

y se perm

ito por Carrboca abaj

ricas (véaseenga la misi se encuennte. El primricas) ganaJugar a la vite que pue

rison y Wero. Todos

e la ma

ntra mer a la vez. eda

ner los



jugadGananormaWynropara q

Obj1. L

(intro2. EgraMaBloInsAyu

coloreva coes muque evez c«subaque lose de(escagrand

ores toman el jugador ales se ilusoth (1969-1que el reco

bjetivo: La serie nu

oducción aEl siguienteande (conceaterial: oques encajstrucciones:udar al niñoes diferentenstruyendouy grande, l siguiente tonstruida laa» por la eso toca. La ebe indicar qlones) son

de).

n la misma cque coloqu

stra más ab1980) usa fnocimiento

umérica col concepto

e término deepto más av

jables. : o a construes para deso la escaleraque el sigutiene tres ba escalera scalera conescalera tamque, a med

n mayores

cantidad deue antes tobajo. Para fichas cuyo

o de las pau

LA

omo repreo de ordene la secuenvanzado).

ir una escastacar los ina, indicar q

uiente tieneloques y es(hasta cinc

n sus dedosmbién puedida que el n(cada núm

e fichas. Saodas sus fic

estimular uos puntos putas sea me

ESCALERA

sentante dn). ncia numéri

alera con cuncrementosue el prime dos bloques aún mayoco e incluss y que vayde construirniño avanza

mero o esc

le el jugadochas. El jueuna mayor presentan uenos fácil.

A

de cantida

ca es una u

ubos encajas en unidadeer escalón ses y es un

or (un bloquso 10 escalya contandorse con unaa por la listcalón suce

or que tengago con fichdependenc

una distribu

des cada v

unidad (o u

ables. Empes. A medidsólo tiene upoco (un be más que lones) haceo cada escaa lista numéta numéricasivo es un

a el dos dobhas de domcia de contución irregu

vez mayor

uno), más

plear cubosda que el n

un bloque ybloque) maydos), etc. Uer que el nalón a medérica. Tamba, los númen bloque m

ble. inó tar, ular

res

de niño y no yor, Una niño dida bién ros

más



Co

Nosin unha teefectosistemsiguiearitmébásicasepardestaejemppregupreguejempy dism Ejemp

ObSu M1. 2. InsEl

Cadanúmesola ffichases incmás, fichasentre ganar

onceptos a

o es probabnas técnicanido experos de añadmáticamentente númerética no deas para coración. Paracar los efeplo, a la hountarle cuáuntarle cuánplo 7.3 se pminuciones

plo 7.3 Jue

bjetivo: mar de 1 a

Material: Fichas, moBandejas (

strucciones:objetivo de

a jugador elero de fichasficha. Si uns en la bandcapaz de ecuenta las

s en su banel jugador

r.

aritméticos

ble que se das eficaces riencias deir un elemete la desigro de la serebe realizarontar como ra los niñoectos de añora de desantas tendríntas le quedpresentan va

en una uni

gos que im

5.

onedas u otde colores :

el juego es lige una bas a colocar

n niño tienedeja y ahoraencontrar us fichas de ndeja. La difr y la bande

s básicos

desarrolle uy unas exp numeració

ento a un conación carrie numéricrse hasta qla enumer

s de educañadir o quitayunar, el ía si se añdan cuandoarios juegoidad.

mplican añad

LANZAMIE

tros objetosdistintos).

lanzar un nandeja de cen la bande

e éxito, cuaa tienes unana respuestu bandejaficultad de! eja o aume

una compreperiencias són abundaonjunto: losrdinal de uca. Por tantque el niñoración, la reación espetar una unidmaestro pu

ñadiera uno se ha comos que impli

dir o sustra

ENTO DE F

s pequeños

número detcolor distinteja sea 5. Pando le toca más. ¿ Custa, añadir:a.» Gana e!

juego puedentando la c

ensión fundsuficientes ntes y prec

s incrementun conjuntoto, la ense

o no tenga egla del vaecial puededad en situuede dar da más a la

mido una decan llevar la

aer una unid

FICHAS

s que se pu

terminado dto. Para priPor turnos, la el turno,

uánto es tre «Para ver! primer jugde modificacantidad de

damental dede contar. cisas, no atos en una o para conñanza de asoltura con

alor cardinae ser espeuaciones codos galletasas dos que

e las tres qua cuenta de

dad

edan conta

de fichas a ncipiantes,los jugadorse le dice:s y una másr cuántas sgador que carse variande fichas ne

e la aritmétSi un niño

aprenderá unidad varí

nvertirla enapoyo paran las técnical e inclusocialmente otidianas. Ps a un niñoe ya tieneue tenía. Ene increment

ar.

una bande hacer que

res lanzan u: «Tenías ts?» Si un n

son tres y ucoloque cindo la distancesarias pa

tica no los ían el

a la cas o la útil Por o y , o n el tos

eja. e e! una res iño

una nco cia ara



ObReMa1. 2. OInsEl

Por tuindicapuedeuna ccon trse codice: puntodemose ha«Hab Paut

Cdirec1977domconjudepeabunpretepaut

PapautRobien padec

bjetivo: estar una unaterial: Montón de Objetos red

struccionesobjetivo deurnos, los ja la tarjeta en pillar ca

cuando las tres puntos, ome una. ¿C«Pues tom

os con un deostración ma comido unbía tres galle

tas numér

Cuando llegctamente c7). Algunosinan esta untos de ciender de unndantes. Poender que as regulareara los númas digitaleinson, 1982poblacionescuadas para

EL JUEGO

nidad.

tarjetas codondos que:

e! juego es ugadores lmenos un

ada vez. Sintiene que sese le dice:

Cuántas quma dos galle

edo y que cmás concretna, hacer qetas, se ha

icas y digi

gan a la edconjuntos ds niños detécnica bánco o seis nas técnicaor tanto, lasel niño dom

es puede cumeros del 1 es automát2; Siegler y s especialea fomentar

O DEL MON

on 1 a 5 gale se puedan

reunir 10 gaevantan una. Explicarn embargo,ervir." Cuan«Ahora ten

uedan para etas.» Si nocuente e! rea: cuando ue cuente l

an llevado u

tales

dad de ende hasta cesfavorecidsica (Barooelementos

as de numes deficienciamine el recultivarse meal 5 al menticas antesShrager, 19es. En el el aprendiz

NSTRUO D

letas (punton contar.

alletas (objna tarjeta y r: «Las tarje, el monstrundo un niñondrías que to

ti?» Si e! no puede resesto. Para aun niño ha las que le q

una, y han q

ntrar en la cuatro elemdos y mucody y Gins, o incluso

eración precas en estas

conocimientediante jueos, muchos

s de incor984). Esta tejemplo 7

zaje de pau

DE LAS GAL

os, círculos

etos que sepueden pi

etas nos duo de las g

o, por ejempomar tres gniño da la rsponder, haalgunos niño

sacado trequedan. Requedado do

escuela, lmentos (Bjchos niños sburg, 198de tres o c

cisas y unas áreas debto de pautagos con das niños aprerporarse atécnica no p

7.4 se detautas digitale

LLETAS

s o dibujos d

e puedan cllar tantas gicen cuántaalletas siem

plo, ha eleggalletas, perrespuesta cacer que taos, puede hes galletas esumir e! heos.»

los niños sjonerud, 19

deficiente4). Captar

cuatro, en res experienc

ben subsanas. El reconados. enden espo la escuepuede darsallan variaes.

de galletas

contar). galletas coas galletas mpre se coido una tarjro e! monstcorrecta, seape uno de hacer falta uy e! monst

echo dicien

suelen cap960; Gelms todavía directame

ealidad puecias de con

narse antesnocimiento

ontáneameela (Sieglerse por sentas actividad

).

mo se

me eta ruo e le los

una ruo do:

ptar an, no nte

ede ntar de de

nte r y ada des



Ej

ObRe1.

o pegInM

o las

ObReM1. 2. InsAy

contodedotraza

C) IMBA

Distin

LotécniSegúenseobseacepla maIdeasfunda

jemplo 7.4

bjetivo: epresentacTíteres hec

gatinas construccionesostrar al niñ

s pegatinas

bjetivo: epresentac

Material: Pizarra. Tiza.

struccionesyudar al niñorno en la pos. El niño adas o conf

PLICACIOASICA ntos punto

os puntos icas para coún la primeeñanza al ervan: «La ptada y favoatemática es como laamentales

Actividades

HAC

ción automáchos con can el dibujo ds: ño los dedo.

HACE

ción automá

s: ño a levantapizarra. Pedpuede com

frontándola

NES EDUC

os de vista

de vista qontar preseera, es inúnúmero y noción de

orecida duraescolar elema correspoy, de hech

s para apre

CER TITER

ática con losanutillos dede una cara

os correctos

ER CONTO

ática con los

ar los dedodirle a contmprobar sus con las n

CATIVAS:

: distintas

ue estableentan implicútil dedicara técnicasque conta

ante muchomental. ¡Coondencia

ho, son requ

ender pauta

RES CON L

s dedos dee papel paraa para pega

s a levantar

ORNOS DE

s dedos de

os correctosinuación qu

us respuestuestras, qu

LA NATUR

implicacio

ecen como caciones edr directames para conar es la ideo tiempo poontar no es biunívoca uisitos prev

as digitales

LOS DEDO

e los númera deslizar loarlas en la y

r colocándo

LAS MANO

e los númer

s para varioue nos muetas comparue deberán

RALEZA DE

ones

requisitos ducativas sente los entar. Van ea básica dor muchas la idea másy "más q

vios para u

S

ros 1 ala. Mos dedos deyema de lo

ole los títere

OS

ros 1 a 10.

os númerosestre variosrándolas cotener la fo

E LA INSTR

previos laustancialmsfuerzos inEngen y Gde la aritmpersonas ins básica deque" son n desarroll

Material: entro de ell

os dedos.

es de canut

s y a trazar s números con las formrma correct

RUCCION

a lógica y ente distintniciales deGrows (197

mética ha snteresadas e la aritméti

mucho mo significat

os,

tillo

su con mas ta.

las tas. la 75) ido en ca!

más tivo



de code censeconciniciaespesi la ela ba

La enseñ(Braindebereste elas cla«enfotoman

El econjuconceobjetivmues(clasif

Sinson ajvivaz rápidodomincedimlas maqué c AARO

INTERAARO

ontar» (pp.contar y deeñanza de ceptos lógical debe ceecíficos paraenseñanza

ase de unos

matemáticñanza de nerd, 1973)ría abarcar enfoque infoases y que

oque cardinndo cuerpoenfoque cantos. En la

eptos se pvo de los etra la figuraficación e inn embargo,jenos a los que acaba

o desarrollonar la adic

mientos de catemáticas osas estab

ON:

RLOCUTOON:

252-253). el número la matemá

cos y del raentrarse dira contar y e de las mat

s conceptos

ca modernlas matem). Según Dla formaci

ormal. Afirmel número

nal a la ens con «La M

ardinal, o Maa figura 7.1retenden c

ejercicios dea 7.1, la instnclusión de y como seniños pequba de empeo de la adicción de blocálculo mende este cur

ba aprendie

[Sin inlíneas

R: Oh, coSupontransfoson 1.

Sin los reqestá cond

ática debe azonamientrectamenteestimular suemáticas e

s lógicos má

na. Durantemáticas a Dewey (189ón matemá

maba que pdebía ense

señanza deMatemática

atemática M se muest

cultivar cone la página trucción inice clases) y ee afirma en ueños. Consezar el primción inform

oques con ntal. Intrigadrso. Alzó londo con las

nterés.] Pue y cosas asomparáis congo que sormó en un000 más 1

quisitos psidenada a

fomentar, o. Según e

e en el deu aplicaciónlementalesás básicos o

e el siglo los niños 98) y Thorática inicialprimero debeñarse despe la matemModerna»

Moderna, dra la prime

n los ejerci6? ¿Y cuá

cial se centrequivalenciel capítulo sidérese el

mer curso. Emal. En cue

sus dedosdo por sus s hombros s matemáti

es no estoy sí. onjuntos pasí. [Entoncna explosió.000? ¡Pue

icológicos gcarecer deen primer

el otro puntesarrollo den. En pocass debe impao informalm

XIX y la mpequeños

rndike (192 del niño.

bía enseñarpués como ática eleme(Brainerd, estaca la e

era lección cios de la l es el de lora en cultivaia (correspo11, este tipcaso de Aa

El año antestión de m

s. Luego cavances, lesin mucho cas.

muy segur

ara ver si soces, todo són de entuses 2.000!

generales, e sentido. r lugar, el o de vista, e técnicas s palabras, artirse formamente media

mayor part empezab

22), por ejeRussell (19rse el concecolofón a eental» de R1973).

enseñanza dde este enpágina 5?

os de la págar los conceondencia bpo de enfoqaron, un niñrior, yo habeses ya haontinuó inve pregunté entusiasmo

ro. Tenemo

on iguales. su composiasmo.] ¿S

la enseñanPor tanto,desarrollo la instruccy concep

la cuestiónalmente sobante el cont

te del XX,ba por conemplo, con917) denunepto lógicoestas ideasRussell aca

de la teoríanfoque. ¿Q? ¿Cuál esgina 7? Coeptos de claiunívoca). ques forma

ño inteligentbía seguidoabía llegadoventando psi le gustabo. Le pregu

os que traza

rtamiento Sabes cuán

nza la de

ción tos es bre tar.

la ntar ntar nció de . El abó

a de Qué s el mo ase

ales te y

o su o a

pro-ban nté

ar

se nto



INTERAARO Comoprestala arituna signif

La primecompconceCope1974;capac

Dearitmécompvista Coundenarexperpara desardespucorresFigura

RLOCUTOON:

o Aaron no aba poco intmética bássola cifra

fivativa y es

enseñanzaeras etapasrender el

ebida para land, 1979) Maffel y B

cidad para eesde el punética) direc

prender las cqueda reflcil of Teachr son tres riencia de cel nivel má

rrollo de coués de mucspondenciaa 7.1. Prim

R: ¡ AndaNo, ¡p

parecía ennterés a estsica y ampa sumand

stimulante p

a piagetianas del desanúmero, lfomentar e). Se han d

Buckley, 19el pensaminto de vist

ctamente. Pclases, las lejado por hers of Matprocesos q

clasificar, coás elevadontar y del schas experias (Gibb y Ceras página

a! ¿Y eso lopero es que

ntender el oe enfoque fliar una reldos de cupara Aaron

a. Algunos arrollo intea enseñan

el desarrolldiseñado va980; Sharp,ento generta piagetianPrimero se relaciones Gibb y Ca

thematics: que subyacomparar y

o de abstrasignificado yiencias de Castañeda,as de un cu

o has apren soy muy li

objetivo de formal. Sin ación que

uatro cifras.

educadoreselectual limnza inicial o del pensarios curríc 1969) con

ral (lógico). no, es inútdeben desy la corresp

astañeda («Clasificar

cen al concordenar pro

acción necey los nombrclasificació 1975).

uaderno de

ndido en la sto!

los ejerciciembargo, ehabía apres. Esta ob

s piagetianomitan la ca

de las msamiento opculo s (por en el objetivo

til enseñar sarrollar lospondencia 1975) en [establece

cepto de noporcione eesario parares de los n

ón, ordenac

matemátic

clase de m

os de correera capaz dendido con bservación

os afirman apacidad dmatemáticasperacional ejemplo, Fuo general d

el números requisitosbiunívoca. un anuario

er corresponnúmero.... Del fundamea el númeronúmeros sóción y estab

ca elementa

matemáticas

espondencie comprendsumandos informal

que, como del niño pas debe es(por ejempurth y Wac

de fomentar

o (contar ys psicológicEste punto

o del Nationdencias] yDe ahí queento necesao» (p. 98).

ólo debe dablecimiento

al.

s?

ias, der de

era

las ara star plo, chs, r la

y la cos: o de onal yor-e la ario El rse de



Sin

inicios1960,1975)técnicjuntosejempde coGentilógico1982)

n embargos de la ens 192; Gonc

) de que elcas de serias contandoplo, Wang, ontar, del nle, 1970).

o ha sido pu). En resum

, hay pocoseñanza elchar, 1975 número n

ación como o no depenResnick y Bnúmero y dEn realidaduesta en dumen, no se

os datos qlemental. E; Hood, 196o dependedescribe P

nde del doBoozer, 197de la aritmd, la neces

uda muy seha demost

ue justifiquEn realidad62) que pa del desarr

Piaget. Ademominio de l71). Los niñ

mética antesidad de priamente (vtrado empí

uen este e, hay dato

arecen apoyrollo de la más, la capla correspoños puedens de podeostular estvéase, por eíricamente

nfoque pias (Almy, 1yar la idea clasificacióacidad de condencia bn aprender mer conservatadios paraejemplo, Gque sea ne

agetiano a 971; Dodw(Macnama

ón formal o comparar cbiunívoca (mucho ace

ar (Mpiangua el desarroroen y Kierecesario te

los well, ara,

de on-por rca u y ollo ran, ner



éxito estabpara a

Coeducaque» significlasifiembabásicacompcompcorresde co

Impli

Escurríctorno elemecuentrecom

1. formaequivpequeesencespecsignificonju

2. parecexcepenseñestabpero hmero núme

en tareaslecimiento alcanzar un

on todo, es dativas de im

para el dicativa. Adeicación, y

argo, es posa antes de rensión infrensión mspondenciantar.

caciones c

indudableculos piageta clases y

entales. Sinta qué tienemendacione

Introducir almente mealencia nueños. Contaciales comcialmente cicado que ntos, sobreNo aplazar

cen estar pspción de lañanza de clecer correhay pocas y de conta

ero y de la a

«operaciode corresp

na comprende destacamportancia.esarrollo d

emás, el núcontar im

sible que lolo que penformal de

más elaboraa biunívoca

curriculare

e la importatianos pararelaciones

n embargo, e significadoes:

las matemediante la umérica, etar ofrece uo equivalecon conjunestablecer

e todo si tier las experisicológicamas nocionescontar respspondenciarazones pa

ar. Tampocoaritmética a

onales» copondenciasnsión básicar que la pos. Por ejempdel concepmero prese

mplica realmos niños llesaba Piageestos con

rada y forpuede dep

es

ancia del oa ayudar a debe ser unla enseñan

o para los n

máticas deteoría de

tc., puedenuna base coencia, no entos no intr corresponnen más deencias y la

mente equips básicas pecto a técas. Es impoara creer quo hay nece

a los niños q

omo la inc biunívocasa del númestura de Piaplo, hace fa

pto de númenta a la vezmente unaguen a alcaet y que el nnceptos. Crmal de lapender, en e

objetivo delos niños a

n aspecto dnza inicial diños peque

e una manconjuntos.

n ser demoncreta y sequivalenciauitivos. De

ndencias pe cinco objeenseñanza

pados parade «más»,cnicas genortante ensue sean neesidad de aque no con

lusión de s y la cons

ero, de contaget presenalta una no

mero y de z significad

a correspoanzar estosnúmero y c

Ciertamentea clasificacel fondo, de

la Matema pensar ló

de los currícde las matemeños. Sigue

nera inform. Las definasiado abs

significativaa y conse

e hecho, cara determetos. a de contara empezar a, no hay nnerales comseñar estascesarias pa

aplazar la eservan.

clases, la servación dtar y de la anta muchas oción eleme

una manedos de ordendencia bs concepto

contar sólo e, el desarción, la seel desarrollo

ática Modeógicamenteculos de lasmáticas den a continu

mal en vezniciones fostractas pa

a para comrvación de

contar puedminar la eq

r. Hasta losa aprender

necesidad dmo clasifica técnicas para la ense

enseñanza

seriación,de la cantidaritmética. implicacion

ental de «mera de connamiento yiunívoca. s en su forrequieran urrollo de ueriación y o del númer

erna y de e. Razonar s matemáticbería teneración algun

z de haceormales deara los niñprender ide

e la cantidde tener mquivalencia

s preescolar el númerode retrasarar, ordena

por sí mismeñanza del de contar,

el dad

nes más ntar y de Sin

rma una una

la ro y

los en

cas r en nas

erlo la ños eas ad,

más de

res o. A r la r o

mas, nú-del



3. pautauna tenumrecondesarpautacon dautompuedeaspecsarrolaritméemple

D)

La paulanumé«máspartir aprendinal, imporordenpropiosignifi

Fomentar as digitales.técnica ap

meración o nocimiento rrollo de núas numéricaistribucione

mático de ven aprendecto. Las pallo del númética. Por taear pautas

RESUMEN

experienctinamente

éricas. Salv», no hay nde experie

nden que loy que aña

rtante para n. La enseño, pero la icativa para

el desarro. A veces srendida deun conceptde rautas

úmero y de as regulareses irregularevarias pautaer que el núautas digitamero y, comanto, se dedigitales.

N

cia de cola compreo en el cas

ninguna razencias concos cambios adir o quitar

ampliar lañanza form

enseñanzaa los niños.

ollo del recse ha desee memoriato numéricos numérica

la aritmétics como las des de uno aas numéricúmero y losles tambiénmo veremoebe instar a

ontar es ensión del so de correzón para apcretas de co

de aspector elementoss nocionesal y lógica a del núm

conocimienestimado la que se oo (por ejemas desempca. Se debde los dadoa cinco elemcas como cs conjuntosn desempeos en el caa los niños

esencial pnúmero y

egir el apreplazar la enontar y de ro y del ordes sí que lo

s intuitivas de la teorí

mero basad

to automát captación obtiene complo, Straupeña un pe instar a l

os. Ademásmentos. Mecasos del ms equivalenteñan un paapítulo VIIIpequeños a

para que y lleguen endizaje de nseñanza dereconocimieen de conta

hace. La ede equivaleía de conjuda en cont

tico de padirecta po

n más facss y Lehtin

papel impolos niños a s, necesitanediante el remismo númtes no se d

apel importa, en el dea contar co

los niñosa dominarnociones

e contar y dento de pauar no afectaexperienciaencia, no e

untos es útitar es inici

utas y de r considera

cilidad quenen, 1950).ortante en

que dominn experimeneconocimieero, los niñ

definen porante en el sarrollo de

on los dedo

s desarrolr aplicacionbásicas codel númeroutas, los niñan al valor ca de contar equivalenciail por derecialmente m

las ada la . El

el nen ntar nto ños r su de-

e la os y

len nes mo

o. A ños car-r es a y cho más



Anemplenúmearitméotros?cálculinform

A) B

Curápidaprobleemplerespu EXAMAARO

EXAMAARO

EXAMAARO

EXAMAARO

ntes de domean los niñeros de unéticos infor? ¿Cómo trlo? ¿Qué

mal? ¿Cómo

BASES PAR

uando empamente las emas, incluear objetosuestas dura

MINADOR: ON:

MINADOR: ON:

MINADOR: ON:

MINADOR: ON:

Aminar las cos para caa sola cifrmales? ¿Pratan los niproblemaso se puede

RA LA ADI

pezaba a sumas de yendo los d

s concretosnte nuestra

1 + 7. [Pausa.hacerlamás, cu2 + 3. [Cuentapuedo pmás, y 2 + 4. 1,2,3,4,para ca1 + 3. 1, 2, 3,

Aritmétcombinacionlcular sumaa? ¿Cómoor qué a loños de min suelen en

en subsana

CION y LA

asistir al problemas

de tipo 1 + Ns para calca cuarta ent

. Luego cue con los blo

uenta todos

a rápidamenpensar máscuenta todo

5,6,7,8,9, 1alcular la su

4, 5 [en vo

tica infones numéras, diferenc

o se explicos niños lesnimizar, de ncontrar lor estas dific

A SUSTRAC

jardín de tipo N + 1 N como 1 +cular la sutrevista, rea

enta para soques. [Prims los bloque

nte] 1, 2, 3 s. [Primero os los bloqu

10. Pues nouma].

z baja]. [Ex

ormalicas básicacias y proda el desar

s cuestan mmanera na

os niños cocultades?

CCION INF

e infancia, como 3 + 1

+ 3 =___ y 1 uma. Tomealizada en n

í: «1, 2, 3, 4mero colocaes y expre

[pausa]. Ccoloca dosues para de

o sé... [vuel

xaminador:

as, ¿qué prductos en prrollo de pmás unos patural, las don el cálcu

FORMALES

Aaron p1 = - y 5 + 1 + 5 = ___, Aa

emos, por noviembre:

4, 5, 6, 7»]a un bloque

esa la suma

asi lo tengos bloques, lueterminar la

lve a usar l

Venga, aca

rocedimienproblemas crocedimien

problemas qificultades ulo aritmét

S

odía calcu= - . Para ot

aron tenía qejemplo, s

. Tengo quee, luego siea correcta].

o, pero ya nuego tres a suma].

os bloques

aba.] Cuatr

tos con tos

que del tico

ular tros que sus

e ete

no

s

ro.



La gradu(por eprobleejempcalculcardin+ 6 =

Aasu caque inmedcálculcálculprocedistintproce

El

Cofundaprimeque alos nisumalimitantratar primey de padiciópor bumayo(aunq

La problerelaciorelaciocho,

capacidadual. Con proejemplo, 1 +ema de tipoplo, 1 + 3 = lar los resunal del sumt6; 7, 8»).

aron casi nopacidad arcalcular e

diatamente lo de sumalo mental

edimientos tos de uno

edimientos d

fundamen

omo vimosamental de eras experieañadir más)ños para cr uno másn a contar de aborda

eros intentosproblemas ón es un prouen caminor que dos. P

que no sabísoltura con

emas con «ones entre ones entre muchos p

d de Aaronoblemas de+ 3: «1, 2, o 1 + N dic«4»). A fina

ultados de sando mayo

o recibió ninitmética inf

el resultadoel resultad

as con el no tuviero

de cálculo o? A lo larde cálculo.

nto: contar

s en el cla aritméti

encias de c) y de la suconstruir prs a tres, m

una unidadar problemas de Aaron con sumanoceso aumo. Para 2 + Por tanto, eía bien cómn las técnic«1» muy pr

un númeroun númeroreescolares

para sume tipo 1 + N3, 4»). Hac

ciendo el núales de curssumas con or y contaba

nguna enseformal y suo de probo de probleauxilio de on éxito. ¿menta par

rgo del cur¿Qué moti

capítulo VIca mucho

contar. Losstracción (erocedimientuchos niñod más («1, as más difípara calcul

ndos distintentativo, su3, por ejem

en seguida mo continuacas para coronto. Los no y su sigu

o y su anters pueden

mar mentalmN, al principcia la primaúmero siguso, Aaron hsumandos

a progresiva

eñanza arits progresoblemas 1 emas N + 1objetos co¿Qué expra problemrso, Aaron vó este des

I, los niñantes de l conceptosen tanto qutos aritmétos empieza

2, 3; 4»). ciles de la lar mentalmtos de uno us intentos mplo, pareccontó hastar): «1,2,3, .

ontar permitniños descuuiente se apior pueden usar su re

mente fue aio empezab

avera, ya reiente a N eabía refinadistintos d

amente a p

tmética forms durante e

+ N cua1? En controncretos, sulica la difias 1 + N yinventó es

sarrollo?

os desarrollegar a la s informalesue quitar algicos inform

an contandEn realidadmisma ma

mente las su(M + N). Ciniciales, a

cía saber qua dos y lueg... Casi lo tete a los niñoubren con bplican a proaplicarse aepresentac

aumentandba a contaresolvía autoen la serie ndo el proce

de uno: empartir de él (p

mal. ¿Qué el curso? ¿ando podíraste con suus primeroicultad pary sumas cspontáneam

ollan una escuela a

s de la adicgo) guían lo

males. Por o hasta tred, hasta puanera. Consumas de pro

Como considaunque infruue la sumago contó unengo, pero.os resolverbastante raoblemas N a problemasción menta

do de maner a partir deomáticamenumérica (p

edimiento papezaba conpor ejemplo

explica, puPor qué tea determinu soltura en

os intentos ra desarroon sumand

mente nuev

comprenspartir de s

ción (en taos intentos ejemplo, pes y luego ueden llegasideremos oblemas 1 +deraba queuctuosos, ib tenía que

na unidad m.. ».

r mentalmeapidez que

+ 1 y que s N - 1. De

al de la se

era el 1 nte por ara n el o, 2

es, nía nar n el de

ollar dos vos

sión sus nto de

ara se

ar a los + N e la ban ser

más

nte las las he-erie



numépasteBaroo1982;1981;entrarsuma«Cuatnumécomode esrelaciomuchproble La dif

¿PconceN + consid1 = __3; 4.,)cambresolvconsida conconsigmétodes taaplica

Enconseuna nGinsbal ladperpleuna p¡Siem

érica para rlillos y uno

ody, 1984a Groen y R Starkey y r en la sendo (tres) tro». En el

érica por el respuesta

sta represeonadas coos preescoemas senci

ficultad re

Por qué Aarepto informa1 sean mderaba que_ como tres) o empleanio, interpre

ver fácilmenderan que l

nsiderar quguiente nodo centradon eficaz pa

able a probl un mome

ecutivos se niña de jardburg, 1982ado de Jenneja y desorpausa, Jen

mpre que ve

resolver pro más» o «c; Court, 19Resnick, 19Gelman, 1rie numériy dar comanterior prpunto espeel número

entación men el númeolares puedillos con «1

lativa de p

ron podía ral que tieneás fáciles

e la adición y uno más

ndo las relacetaba que 1nte con estoa adición ee N + 1 =

o es equivao en la relacara responlemas de tip

ento dado, aplican poín de infanc

a). Mientrasny sacó unarientada anny se le aeas un 1,

oblemas cocinco muñe20; Fuson977; Ilg y A982). En eca por el

mo respuestroblema deecificado poanterior enental de la

ero anteriorden dar m».

problemas

resolver proen los niñosde resolveera un proc

s, cosa que ciones entre1 + 3 = __os métodoss un proces__ y 1 +

alente. Porción existennder en segpo 1 + N. los niños d

or igual a prcia, describs jugaban aa tarjeta cote este pro

acercó y lees el núm

on «1» senecas menos

y Hall, 198Ames, 195l anterior ppunto espta el núme sustraccióor el minuen la serie nua serie numr o posterioentalmente

1 + N

oblemas N s de la adicer que losceso aumense puede re un númer

_ era uno ys. En otras so aumentaN = __ so

r tanto, puente entre unguida prob

descubren roblemas dbió este impa un juego mon el probloblema, la ne dijo en voero que vi

ncillos (N +s una que t83; Gelman51; Resnickproblema depecificado pero siguientón, un niño endo o cantumérica: «Cmérica paraor a otro de, y con ra

+ 1, pero ción puede s problemantativo, interesolver fácro dado y ely tres más,palabras, c

ativo, puedeon problemeden no d

n número dablemas de

que las ree tipo N + portante dematemáticolema 1 + 6niña se queoz baja: «ene despu

+ 1 y N - 1te quedas» n, 1972, 19k, 1983; Ree adición, upor el primte en la sepuede entr

tidad mayoCuatro.» Coa determinadado es taapidez, las

no problemhacer que

as 1 + N. erpretaba elcilmente col que le sigu cosa que

como los niñen presentaas diferent

darse cuentado y el quetipo N + 1

elaciones e1 y de tipo

escubrimieno, la niña qu6 = __. Maedó sin dec¡Eh! ¡Que és!» A dife

1) como «t(por ejemp

977; Ginsbuesnick y Foun niño puemer términoerie numérirar en la ser (cinco) y

omo el empar respuesn automátirespuestas

mas 1 + N?los problemComo Aa

l problema ntando («1

ue («3, 4»). no se pue

ños pequeñar la tendentes y la suta de que e le sigue, q1, también

entre núme1 + N. Jen

nto (Baroodue se sentaanifiestamecir nada. Tes muy fá

erencia de

tres plo, urg, ord, ede o o ica: erie dar

pleo stas ico, s a

? El mas ron 3 + , 2, En

ede ños ncia ma su

que es

ros nny, dy y aba nte

Tras ácil!

su



compproblenuméserie proble

El con «genersin prtarde calculejempla univista, palabresultla adipequeproblecomp B) A Proce

Inicde suDesdeglobaobjetoreprescuent

InvproceilustraestratlaboriMedia

añera, Jenemas con «érica." Con e

numérica emas de tipdesarrollo

«1" puede sra más flexroblemas el

empezó alaba las suplo, 2 + 6: «ión o reunió

el orden dras, la uniótado que la ción es máeños. La coemas con rensión má

ADICCION I

edimientos

cialmente, u inJj1ediate el punto dl (CC) queos 'que se psentar un an todos lo

vención de aedimiento cca en la colutegia, cadaoso procesante la estra

ny había ab«1»: «La sumesta regla gpara respo

po 1 + N. de una reg

ser un primible. Por ej orden de lo

a hacer lo umas de ti6; 7, 8»). Aón de dos de los númón de un cunión de d

ás abstractaomprensión

«1» puedás profunda

INFORMAL

s concreto

los niños eta disponibde vista de! e se ilustra puedan consumando;

os objetos p

tajos. Los nc. Uno de loumna 2 de a sumandoso de contaategia de la

bstraído unma de N + 1general, Jeonder con i

gla general er paso muemplo, Aaros sumandmismo en

ipo M + NAdemás, los

conjuntos dmeros careonjunto de os objetos a que la code que el o

de ser una de la adic

L

os

emplean obilidad, sueldesarrollo,en la colutar, como loe! proceso

para determ

niños inventos favoritosla figura 8 se represr los dedos

a pauta digi

a regla gen1 ó 1 + N esnny podía ugual eficac

de númerouy importanron aprendios en probl

n problemaN contando s niños sólode una mace de imptres objeto

y tres objetoncepción aorden de losn primer pión (Resnic

bjetos concrlen usar lo la estrategmna 1 de os propios do se repite

minar la sum

tan espontás es la estra.1 (Baroodysenta con s uno por untal, e! niño

neral de núms el númerousar su repcia a proble

os consecutnte hacia uió primero qlemas con s con suma partir d

llegan a conera graduortancia: 3os con otrotos. Esta coaumentativs sumandospaso muy ck, 1983).

retos para cs dedos pa

gia más básla figura 8dedos) se ce con e! oma.

áneamenteategia de «y, en prensuna pauta no para repsólo tiene q

meros cons que sigue a

presentaciónemas de ti

tivos para lna capacidque podía «1». Unas s

mandos disel sumand

onsiderar laual. Desde e3 + 2 = 2 +o de dos, tioncepción «va familiar ps no altera l

important

calcular suara sumas

sica es la cu.1. Los blo

cuentan unotro sumand

e atajos par«pautas digsa). Nótese

digital. Aspresentar caque contar

secutivos pa N en la sen mental depo N + 1 y

los problemdad de cálcpasar por asemanas m

stintos de 1o mayor (

a adición coeste punto + 3. En otene el mis

«unionista»para los niñla suma en te hacia u

mas. A caude hasta

uenta concroques (u oto por uno pdo. Luego

ra el laborioitales» que

e que, en esí se evitaada sumanuna vez (p

ara erie e la y a

mas culo alto más 1 y por mo de

tras mo de ños los

una

usa 10.

reta tros ara se

oso e se esta a e! do. ara



determRobin8.1 es

minar la snson, 1982;s aún más e

suma). La Siegler y Seconómica

estrategia Shrager, 19. Esta estra

de «recon984), que seategia comp

nocimiento e ilustra en porta la cre

de pautala columnaación de pa

s» (Sieglea 3 de la figautas digita

r y ura

ales



parade m=__ ,sumasin te

Htrabalevesdesclos pdigitaprobinvenment

Auniñospuedmuchsituacuanmeno5 fortodosfacilidpued

Padigitaprimepara siguisigna8. A elem[señamanisuma

Elingen

a cada sumamanera visu, por ejempando, sentiener que coasta los niñajo. Durants y moderacubierto o pparticipanteales y unoslemas con ntar atajos tales.

utocontrol, s pueden aden inventahacho de v

ación normando los númos, Mike emrmaba las ps los dedodad para p

de represenareciendo ales, Mike loero formaba2 + 8). Co

ente paso ación cardincontinuació

mento del moalando unoiobra planiando más pl procediminiosas. Alg

ando para, ual (medianplo un niñor que se haontar. ños deficiente veintiunaadas que sorque se le

es en el ess pocos emp

sumandospara el cálc

inventiva yadaptar procar nuevos veinte añosal en los niñmeros fuerampleaba unpautas digios). Sin emroblemas c

ntar fácilmedarse cueno modificó. a la pauta don un modque daba enal de sumón, Mike simodelo cardi

o de los doificada de pequeño le ento concrunos niños

a continuacnte una capo puede eman extendid

ntes inventaa semanasse basabanes había ensstudio empplearon unas muy pequculo es com

y flexibilidacedimiento

procedims de edad ños: Su proan pequeñon procedimietales para mbargo, escomo 2 + 8 ynte con unanta de las Cuando se

digital de sudelo cardinaera empezaando mayomplemente nal creado

os dedos leantemanopermitía eneto relativas usan mod

ción, reconoptación diremplear pautdo todos los

an atajos CCs se observn en un prseñado. Sin

pezaron a ea estrategiaueños. Por

mún a niños

ad. Mediants existenteientos. Cocon un CI

cedimientoos. Para proento de pautres y cinc

ste procedy 6 + 3, en a mano. limitacione

e le presentumando máal del sumaar desde 1 or. Por ejem

continuabaen el paso

evantados],o por Mikenfrentarse aamente sofidelos cardin

ocer la sumecta), quizátas digitaless dedos sal

C espontánvaron unosrocedimientn que se lesemplear una de reconor tanto, pars con una a

te el controes a nuevasonsidérese I de 46. M concreto leoblemas coutas digitale

co con cadaimiento nolos que uno

es de su ptaban probleás pequeñoando más e ir contan

mplo, «1, 2, a contando anterior (po, 10 [señal

e para repa problemaisticado de nales ya pr

ma inmediataá cinestésics para reprlvo uno, y r

neamente ps niños conto CC porqs dijera nadna estrategocimiento drece que la

amplia gama

ol de sus ts demandas

el caso ike se ence iba muy bon sumandes (por ejema mano y lo puede emo de los sum

procedimienemas como (por ejemppequeño yndo hasta l3, 4, 5, 6, 7mientras s

or ejemplo, ando el otresentar ús con númeMike toma

resentes en

amente, quca. Para 4 +resentar caresponder «

para ahorran deficiencque lo habda, muchosgia de paue pautas paa tendenciaa de aptitud

tentativas, s y, por tande Mike,

contró en ubien siempros de cincomplo, para uego contamplearse cmandos no

nto de pauo 2 + 8 y 6 +plo, dos dedya formado,llegar a la d7, 8» para 2

señalaba capara 2 + 8:ro dedo]».

únicamente eros mayora otras formn el aula pa

uizá + 5 ada «9»

rse cias ían de tas ara a a des

los nto,

un una re y o o 3 + aba con o se

tas + 3, dos , el de-2 + ada «9 La el

res. mas ara



conta[señadereMienreloj un m[mira- 6»)cuenesquimagmanoment

Adprocequincpara comosin qemplecomosabíamecápues,su ejecálcu

PrCo

concrResnempe4 [soprenssofisttodo ya parprens

ar. Otros ualando la pcha], 5 [se

ntras hacen(por razone

modelo paraando el 2 de). Otros niñ

nta. Por ejeuinas de unaginarios. Loo» pueden tal (Fuson,

demás, estedimientos ce años de problemas

o 2 + 8 ó 6 ue se le deo de un po 1 + 2 y 3 +amos que cánicamente , parece seecución aritlo.

rocedimienon el tiemretos e invick, 1977).

ezando por n dos más

sa; Baroodticada porqy comportartir del primsa; Carpent

usan las papunta superñalando la sus ejercices distintasa contar (poe la esfera],ños hasta emplo, paraa caja y conos procedimser la base1982). e control pinformales edad con ucomo 2 +

+ 3, reconoijera nada,

procedimien+ 1 (combinonocía), Ka(persevera

r que inclustmética y m

ntos mentapo, los niventan pro El procedel primer s

s], 5 [son try y Gannoue no reflej

a la enumermero (un prter y Moser

autas de larior izquierdpunta del

cios de aritms a saber cuor ejemplo,, 5 [mirandopueden llea 2 + 4 unntarlas «3, mientos bae para la inv permite a lde adición

un CI de 403, 4 + 2 y

ocía inmedi pasaba a

nto CC). Adnaciones quathy no conación), sinoso niños co

muestran fle

ales ños aband

ocedimientoimiento máumando (Cres más], 6on, 1984). ja directam

ración del sroceso de r, 1983).

as cifras 2da del cuatmedio], 6 [

mética en cuánto falta , 2 + 4: «1,o el 3 de la gar a crean niño pue4, 5, 6» mie

asados en vención de

los niños e(Siegler y R

0, empleaba5 + 4. Cuaatamente lcalcular la

demás, cuaue, según pntinuaba emo que respon deficiencexibilidad a

donan espoos mentaleás básico d

CTP) (por ej6 [son cuat

La técnicamente el pro

egundo sumcontrol sim

,3,4 (por ejtro], 4 [seña[señalando clase, algunpara el rec, 2; 3 [miraesfera], 6 [m

ar un modeede imaginaentras «señestos modprocedimie

elegir de mRobinson, 1a una estraando se enos límites da respuestaando se le pruebas reampleando ppondía de cias mentalela hora de

ontáneamees para cade adición jemplo, 2 +tro más] - 6a CTP es oceso concmando a m

multáneo) (

jemplo, 2 alando la pla punta d

nos niños mreo). El relondo el 1 demirando el 4elo mental ar cuatro pñala» o «midelos «queentos eficac

manera inte982). Kathy

ategia de pacontraba cde su estraa con bloqupresentab

alizadas de procedimienmanera aues importanelegir proce

ente los pralcular summental es 4: «1, 2; 3 6») (Barooduna invenc

creto y globmedida que e

Baroody y

+ 4: «1, 2punta superde abajo], 6miran muchooj proporcioe la esfera]4 de la esfepara llevar

puntos en ira" los pune se tienences de cálc

eligente eny, una niñaautas digitaon problemtegia digitaues (volvíaan problemantemano,

ntos concreutomática. Antes controedimientos

rocedimienmas (Groen

contarlo to[es uno má

dy, 1984a, ción bastaal de contael niño cueGinsburg,

; 3 rior

6»). o el ona ], 4 era] r la las tos

n a culo

ntre de

ales mas al y, a al mas

ya etos Así

olan de

tos n y odo ás], en nte

arlo nta en



Lleprobleque uconta4: «1contade prEsto curso

Soemple[un ddedosSi un llevarejempir conpara

Copara lgamagolpepauta[tac-tasubvo5 sonla serautom

Invprocesumael númGanocuatroesfueBaroo

Lleempie

evar la cuenemas con tuno de los tar hasta N y, 2, 3, 4; [y

ando más aroblemas sies lo que im

o. Con el tieobre todo aleo de los dedo extends extendidoniño puede

r la cuenta plo, para 2

ntando hastel cuatro di

on el tiempollevar la cue

a de mediocitos con lo

as como «taac] - 6»). Local: una do tres más, 6

rie numéricamático y rea

vención deedimiento Cndo (por ej

mero de pan, 1984). To pasos parzo, es rar

ody y Ginsbevar la cueneza por el t

nta. Este ptérminos distérminos esy decir el núy uno más llá de N un n «l» exigempedía a Aempo, Aarol rrincipio, loedos es undido es unoos son tres e reconocerrequiere p+ 4, en cuaa que «sienice el niño c

o, los niños enta (Steffeos (por ejeos dedos o ac-tac-tac-taos niños taoble cuenta6 son cuatra, este procalizarse me

atajos. CCTP al emp

emplo, 2 + sos necesa

Tanto el proara llevar laro que los burg, en prenta es muy eérmino ma

roceso de stintos de «s «l». Para úmero que son] 5»). Cnúmero de

e métodos pAaron calcul

n ideó espoos niños usno de los mo más], 4 más], 6 [cu

r automáticpoca atencióanto ha empnte» la extecuándo tienpasan de c

e et al., 198emplo, véas

el lápiz cuac» es cuaambién puea (por ejemro más»). Cceso de dobntalmente.

Contar a paezar desde4: «2; 3 [+

arios para eocedimient

a cuenta. Cniños lo i

ensa). exigente enyor. Una es

llevar la cu«1» sea mácalcular N le sigue en

Con problemeterminado previamentelar con éxitontáneame

san objetos métodos favo

[dos dedosuatro dedosamente pauón y puedepezado el p

ensión del cne que detecontar objet3). En realise Fuson, ando cuenttro (por eje

eden llevar plo, 2 + 4: «

Cuando los ble cuenta p

artir del pe el término

1], 4 [+ 2], el procedimo CTP com

Como el pronventen y

n el plano costrategia qu

enta hace ás difícil que+ 1 ó 1 + N la serie numas sin «l»de veces. Ue planificado problema

ente métodoconcretos oritos (por s extendidos extendidoutas digitalee ejecutarsproceso de uarto dedo

enerse. tos a contardad, los niñ1982). Alg

tan. Hasta emplo, 2 + 4

la cuenta c«1,2; 3 es uniños estánpuede llega

rimer sumo cardinal c

5 [+ 3, 6 [+iento de lle

mo el CPP ocedimiento

lo emplee

ognoscitivoue permite

que el cálce el de proN, un niño sumérica (po», el niño dUn cálculo dos para lleas sin «1» aos para llevpara llevar ejemplo, 2

os son dos os son cuates, el procee con grancontar el n. Conocer l

r cosas menños empleagunos niñopueden lleg

4: «1,2; 3, 4con otra cuuno más, 4 n muy famiar a ser extr

ando (CCPorrespondie

+ 4] - 6»), peevar la cuen

implican uo CPP no aen (Baroody

o y se puedehacerlo es

culo mental blemas en sólo tiene q

or ejemplo, ebe continumental exa

evar la cuena principios var la cuentla cuenta, y+ 4: <<1, 2más], 5 [t

tro más] - 6edimiento pan eficacia. Piño se limita pauta dig

nos concrean una variaos van dangar a explo4 [tactac]; 5uenta verbason dos mliarizados cremadame

P) abrevia ente al primero no redu

nta (Baroodun proceso ahorra mucy, en pren

e aligerar sicontarlo to

de los

que 1 + uar cto

nta. de

ta. y el 2; 3 res

6»). ara Por a a

gital

tas ada ndo otar 5, 6 al o ás,

con nte

el mer uce y y de

cho sa;

se odo



empecontamient- 6»). en 2 +requiemayoha heproce

Coempieproce[+ 1], prime(Fusoabrevpartir aún a

Auel aumentaConsiEn nuCTP. de cotarjetahastade quPara invencon lopor la

1 Poorden Groen equivapor ejeen cuamisma)como informa

ezando por r hasta el

tras se enumNótese qu

+ 4 se reduere un procr. Los niñosecho automeso de llevaontar a partieza a contaedimiento in6 [+ 2] - 6»)

er sumandoon, 1982; Rviado de em

de 1. Por tahorra más

utocontrol, inutocontrol hales ayudáidérese el euestra primEn la segustumbre, coa: «1, 2, 3»

a 6. 1, 2, 3, 4ue, para lleahorrarse ttó un proceos procedima idea de modría parecerde los sumany Resnick, 1lentes y daba

emplo, darían alquier orden p). Parece quealgunos con

ales de cálcu

el término cardinal demera el térme, al empez

uce de cuatceso extra ins adoptan emático y exar la cuentar del términ

ar desde la nformal de a). Durante e es innecesResnick y

mpezar con etanto, el protrabajo.

nventiva y flhace que ndoles a seejemplo deera entrevi

unda, se le ontando el ». Esta vez4, 5> 6 [pau

evar la cuentrabajo, adaedimiento nmientos coninimizar sur que si los nndos (CTM o977). Sin em

an el mismo rresultados di

porque creen e ciertos factonocimientos lo.

mayor (CTel número mino menozar por el tétro a dos pannecesario el CTM porxige un es. no mayor (Cdesignacióadición meel cálculo, losario y bastN eches, el término cocedimiento

flexibilidad. los niños

entir cuánd Casey, unsta, Caseypresentó elprimer sum, sin embarusa] 7, 8, 9.nta con su aptó su ménuevo, CTMncretos de c esfuerzo c

niños inventano CPM) es qumbargo, Caseresultado. En stintos (Barooque obtendrá

ores no conceconceptuales

TM) (Baroodmayor a p

or (por ejemérmino mayasos. Obsécon el CTP

rque ver cuásfuerzo ina

CPM) abrevn cardinal dntal más ecos niños puta con enun1984). Co

cardinal delo CTM se a

Al igual queinventen

o hace faltn niño de páy se basó el problema

mando a mergo, se det» Al pareceprocedimie

todo. EmpeM, de más fcálculo, parcognoscitivon procedimienue comprendeey no parecíaposteriores eody y Gannonán una respueeptuales, coms, pueden e

dy, 1984a).artir de 1 y

mplo, 2 + 4: yor, el procérvese tambP: ver cuál dál de los su

apreciable

via el procedel término conómico (ueden darsenciar el cardmo resulta sumando m

abandona e

e con los prespontánea reajustarárvulos (Ba

exclusivame3 + 6 en un

edida que ibuvo y come

er, Casey hento CTP, ezó por confácil ejecucirece que loo. ntos de adicióen la propieda darse cuententrevistas, Cn, 1984). Los esta correcta (o el impulso a

explicar el d

. El métodoy luego seg«1, 2, 3, 4; eso para llebién que el de los dos sumandos esen compar

edimiento Cmayor y, ppor ejemploe cuenta dedinal que le

ado, adoptamayor en veen favor de

rocedimienteamente prr los métodoaroody y Gaente en el pna tarjeta. Eba dando goentó: «Creoabía previshacían falt

ntar el sumaión 1. Al igu

os niños est

ón que no daad conmutatita de que 3 +asey indicó qniños pueden

(aunque no nea ahorrar esfuesarrollo de

o CTM implguir contan5 [+ 1],6 [+

evar la cuemétodo CT

sumando ss mayor yaración con

CTM ya quepor tanto, eso, 2 + 4: «4e que contae corresponan el métoez de contal CPM porq

tos concretrocedimienos existentannon, 198procedimieEmpezó coolpecitos eno que conta

sto la dificultta seis pasando mayo

ual que ocután motivad

an importanciiva (por ejem+ 6 y 6 + 3 eque 6 + 4 y 4 n sumar númeecesariamentuerzo mental,

procedimien

ica ndo + 2] nta TM es se el

se s el 4, 5 r el

nde odo ar a que

os, tos es.

84). nto mo n la aré tad os.

or e urre dos

a al mplo, eran + 6, eros te la , así ntos



El

diversejempnuevo=__ , continproce

C)

Pro

PaprinciconceMoseminuey c) cimplicdos d(las m

Se em

auto contrsos procedplo, Carpeno y más avay 3 + 6 =

nuaba empedimiento p

SUSTRA

ocedimien

ara problempio los niñepto informer», 1982).endo (el núontar los el

caría contare los eleme

marcas) res

mplean 5 bl

rol tambiéndimientos mnter y Moseanzado. Au _, que co

pleando el ara llevar la

ACCION INF

ntos concre

mas con sos empleaal de la su Este promero mayolementos rer cinco dedentos (tachtantes: «Tr

oques, ded

n permite amentales. Cer, 1984), nunque usabomportaban

CTP en pa cuenta m

FORMAL

etos

ustraendosan modelosustracción cocedimientoor); b) quitaestantes pados u otros ar dos de la

res.» (Véas

dos o marca

a los niños Casey, al igo usaba sisa el CTM c

n un proceproblemas enos comp

s (númeross concretoscomo «quitao «extractivr un númerara determiobjetos (ha

as marcas)e la fig. 8.2

as, se quita

escoger dgual que mstemáticam

con problemso exigentcomo 2 +

plicado.

s menoress que reprear algo» (pvo» compoo de elemenar la respacer cinco ) y, por últim2.)

an dos y se

de manera muchos otrmente este pmas como 2

e para llev+ 4 = _, qu

) mayores esentan dirpor ejemploorta: a) re

entos igual auesta. Por marcas), c

mo, contar

cuenta el r

flexible enros niños (procedimie

2 + 6 = -- , 2 var la cuenue exigen

que uno,ectamente

o, Carpenteepresentar al sustraenejemplo, 5

contar y retlos elemen

resto

ntre por nto + 8 nta,

un

al su

er y el

do, - 2 irar tos



Proce

ReComoprocementaconceconcrimplicsustraemperetrocniños Para rantesde coespecla cuefig.8.3

Un

es má(Baroproce

edimientosetrocontar: uo ocurre coedimientos cal muy usuaepción extrretos mencca expresaraendo y daezar desde contar es u

para calcuresolver pro de otro en ontar haciacífico de la enta que de3).

n procedimiás difícil paody, 1984c

eso de lleva

s mentalesuna ampliaon la adicióconcretos eal es contarractiva de cionados ar el minuenar el último5, 4 [quitan

una amplIacular diferenoblemas dela serie numa atrás unserie numéebe ejecuta

iento exigenara los niñ

c). Con los ar la cuenta

s ción naturaón, cuandoen favor der regresivamla sustrac

anteriormenndo, contaro número cndo una], 3 ción naturacias N - 1,

el tipo N - 1,mérica. Conn número érica. Por taarse mientr

nte. El métoños que losprocedimie

a son progre

al del conoco los niñose procedimmente o retcción comonte (Carpenr hacia atrácontado co[quitando d

al del procees más co el niño sólon sustraenddeterminad

anto, retrocoras el niño

odo de retros métodos

entos de adesivos, es d

cimiento exis están preientos mentrocontar, qo ocurría nter y Mo

ás tantas unmo respuedos] - la resedimiento momplicado eo tiene quedos mayoredo de unidontar compva contand

ocontar parinformales

ición mentadecir, se di

xistente. eparados antales. Un pque tambiéncon los pser, 1982)nidades co

esta (por ejspuesta es mental queen el plano

e saber qué es, el niño ddades des

porta un médo hacia a

ra la sustras para la aal, tanto la srigen hacia

bandonan procedimien parte de urocedimien). Retroconomo indiquejemplo, 5 -«3»). Aunq

e emplean o cognosciti

número vieebe ser cap

sde un puétodo de lletrás (véase

cción tambadición mensuma como

a adelante.

los nto una ntos ntar e el - 2: que los

ivo. ene paz nto var

e la

bién ntal o el En



cambpeque1983)se ejeabrumfrecue«No mGelma

La del tade 9 -de dode lle6 [ - 3llega comptamañniños10 (Fse enbasanautom

El sustradescu(Wooprocecuentausensustrala cuedos] -extraccircunel suprogrecualqdiecis

io, retroconeños que c). Además, ecuta una cmadora de encia tan ame gustan nan, 1982). dificultad d

maño de lo- 2, el proce

os pasos («9evar la cuen3], 5 [- 4],4 [

a ser práporta (« 19ño del min

s del ciclo inFuson et al.ncuentran cn en retrocmática y fam

desarrolloacción inteubrir por suds, Resnick

edimiento dta progresivnte", pero aaendo y coenta del núm-la respuesctiva informnstancias estraendo eesivamenteuier otro pr

siete que so

ntar exige ccontar progesta cuentcuenta proeste proc

larmante, enada las re del procedi

os númeroseso de lleva9; 8 [- 1], 7 nta es muy[- 5],3 [- 6],ácticament; 18 [- 1],

nuendo puenicial, conta., 1982; Gicon problemcontar se vmiliar.

de procervienen nú

u cuenta otk y Groen,

de retrocuenva. Contar

aplicado a lantar hacia amero de pasta es dos,mal que

es cognoscies relativame reduce erocedimienon necesar

contar regrgresivamenta regresivagresiva, es

cedimiento está en bocestas; son m

imiento de s. El tamañoar la cuenta[- 2] - 7»).

y difícil porq2 [- 7], - 2»te imposib17 [- 2], 16ede contribar hacia atinsburg y Bmas cuyosven forzado

edimientos meros cadros método1975) indicnta y que, progresiva

a sustraccióadelante ha

asos dados ,,). Aunquetiene un itivamente mente graenormemento para llevrios si se c

resivamentente (Fuson a, ya difícil ds decir, ¡enpuede ayu

ca de muchmucho más

retrocontaro del sustraa es relativaEn el caso

que consta). Para 19

ble a caus6 [- 3], ..., buir a las drás desde Baroody, 1s minuendoos a emple

flexibles. Ada vez mayos de sustrcan que, al p

más adelaamente se ón (Carpentasta llegar a(por ejemp

e contar proniño de más fácil qnde, comonte las exigvar la cuencuenta haci

e, que es met al., 198de por sí, d

n dirección udar a exphos niños d difíciles qu

r está relacaendo es unamente mao de 9 - 7, sa de siete p- 17, el prosa de los3 [- 16],2 [

dificultades20 suele s983). Por

os son mayear una se

A medida yores, los nracción. Enprincipio, mante, invent

parece al ter y Moseral minuend

plo 19 - 17: ogresivamela sustrac

que contar ro en el cagencias deta (dos pasia atrás). C

más difícil p82; Ginsburdebe ejecutcontraria!

plicar la frade la primerue las suma

cionada con factor clavnejable puesin embargpasos («9; oceso de lles diecisiete[- 17] - 2»)s de los niñer más difítanto, cuan

yores que 1ecuencia in

que en sniños debe realidad, a

muchos niñotan un procenfoque d

r, 1982). Imo, al tiempo«17, 18 [es

ente no refción, en regresivam

aso de 19 e la cuentasos en con

Cuando el m

para los niñrg y Barootarse mientLa naturalease que, cra enseñanas» (Starke

n el probleve. En el caes sólo congo, el proce8 [- 1], 7 [-

evar la cuee pasos q). Ademásños. Para ícil que desndo los niñ10, los quenversa men

us tareas en aprendealgunos daos empleancedimiento del «sumanplica partir o que se lle

s uno], 19 [sfleja la nocdeterminad

mente. Cuan- 17, con

a doble o traste con

minuendo y

ños ody, tras eza con

nza: ey y

ma aso

nsta eso 2],

nta que , el los

sde ños se

nos

de r o tos un de

ndo del eva son ción das ndo ntar

de los

y el



sustratambinecespequeejempprocegresivdescu(Woo

D) MU

Cuya hamultipejempadiciócursoiguale

Ya hagrupo4 son + 4 sinterv Proce

Al calculcalculniños y de lremos

aendo estáién minimizsarios si seño y el mplo, 9 - 2),eso de llevavamente hubren esta ds et al., 19

ULTIPLICA

uando a losan adquiridplicación pplo, 5 x 3 =ón familiareos, los niñoes como lo

an aprendidos de cuatro

4;5,6,7,8 yson 8 y 8 alos y calcu

edimientos

principio, llar productlar 3 X 3 tenque acaba

llevar las cs la explica

án relativama el proces

se cuenta minuendo , retrocontaar la cuentaarían falta pauta y e

975).

ACION INFO

s niños se do una baspuede defin= 5 + 5 + 5es para losos se enfreos siguiente

o varios proo. Pueden cy 8 +4 son 8+ 4 son 12ular: «4,8; 9

s mentales

los niños stos (por ejenía que «co

an de empezcuentas necación que d

mente próxiso de llevar hacia atráy el sustraar tiene vea consta de

siete). Cueligen el p

ORMAL

les presense sólida pnirse como5). Como las niños, la

entan muches:

ocedimientocontar a inte8;9,10,11,122»), o com9,10,11,12»

s

se basan eemplo, Kou

ontar tres, trzar a aprencesarias padaba un ni

mos, comola cuenta (ds). Sin emaen do es

entaja en ce dos pasouando llegarocedimien

nta la multippara comp la adición a multiplicaasimilan c

has veces

os para detervalos («42»), emplea

mbinar esto»).

en procedimuba, 1986)res veces» nder a multiara calcularño para ca

o en 9 - 7, dos pasos embargo; custán relativacuanto a faos, mientrasan a terce

nto más ec

plicación prenderla yrepetida d

ación se bcon rapideza sumas d

terminar, po,8,12»), haar sumas coos métodos

mientos inf). Como ex(Allardice, plicar poser productosalcular 3 X

contar proen contrasteuando el samente se

acilidad de s que si se

er curso, mconómico e

or primeray calcular pde términosasa en expz. Durantede dos o m

or ejemplo, cer cálculoonocidas(pos (por ejem

formales dexplicaba un1978). La men las técn

s mentalme3: «Bueno

ogresivamee con los siustraendo

eparados (pejecución

e contara pmuchos niñen cada ca

vez, muchproductos. s iguales (pperiencias

e los primemás conjun

el total de ts informaleor ejemplo,

mplo, conta

e contar pana niña, pamayoría de icas de con

ente. Consido, pues digo

nte ete es

por (el

pro-ños aso

hos La

por de ros tos

tres es + «4

ar a

ara ara los

ntar de-o e



primeluegonuevelos niñpara ltercerdetenbásicocardinproce

Tabla4 x 3 a) Ge

se b) Lle

co c) Lle

cu d) De

nugrco

Para conjuempletres vllevarpuedeseguiX 3: produ

er número tro digo el sigue ... » (Allarños para lallevar la cur número, y

ner la geneo consiste nal del priesos compo

a 8.1. Procecomo ejem

enerar númerie numéric

evar la cuenontado:

evar la cuenuatro:

etener la umérica desrupo de cuaontado corn

hacer queunto para reear una paveces. Medr la cuentae ayudarle ida de que c«5, 10, 15

uctos. Los n

res en voz auiente en vordice, 1978

a multiplicacenta: a) gey c) llevar leración de en empezamer términ

onentes se

edimiento bmplo

meros sucesca:

nta de cada

nta del núm

generacióspués de coatro y dar

no respuest

e el cálculoepresentar uta digital p

diante el em de cada cde otras m

contar a int5»). Contar niños tambi

alta, luego oz alta, así:

8, p. 4). De ción implicaenerar la sea cuenta dla serie n

ar a contarno o multidetallan en

ásico de cá

sivos a part

a cuarto nú

mero de gru

ón de la ompletar elel último nta:

o mental seel multiplic

para represmpleo de pacuarto núm

maneras. Entervalos pue

a intervaloén pueden

digo los do: tres [susurhecho, el p

aba contar tecuencia nude los grupoumérica. Ur desde 1 (plicando).

n la tabla 8.

álculo menta

ir de la 1 2

mero 1 2

pos de

serie tercer úmero

ea más macando. Parasentar el 4 yautas digitamero contadn concreto,ede servir pos es un precurrir a s

os números rrando, 4, 5procedimietres veces, umérica; b) os de tres

Un procedim(en vez de Este proc1.

al para la m

2 3 4; 5 6 7

2 3 4 1 2

1

anejable, loa 4 X 3, poy, a continules, el niñodo. Su exp, los niños para la multprocedimiensu conocimi

siguientes5], seis [susnto mental incluyendollevar la cupara determiento meempezar d

cedimiento

multiplicació

7 8; 9 10 1

3 4 1 2

2

s niños sur ejemplo,

uación, cono elimina la periencia inpueden datiplicación (nto común ento forma

en voz bajurrando, 7,e informal

o dos procesuenta de caminar cuánntal aún mdesde el vabásico y

n empleand

1 12

3 4

3

12

elen crear el niño puetar esta panecesidad

nformal prerse cuenta por ejemplopara calcul para abor

a y 8], de

sos ada ndo más alor los

do

un ede uta de

evia en

o, 5 ular dar



la muejemp(por e4 x 3dos c

InvniñosproduempleConsenseñgrupoempededosfrenteespac12», «3, em11,12cinco

E) IMLA

Más u

CasuficiesustraenconprobleAdemproblemayonúmecon ra(Fusocapac- 1 pa

ultiplicaciónplo, «4 + 4 ejemplo, 4 x: «4 + 4 son

cuatros, 8 +

vención de s hallan esuctos. Inclusear los conideremos eñó un procos de cuatrezó a abrevs y, en vez e al primer cios donde «13, 14, ...

mpleó una s2). Para 5 X

en cinco) p

MPLICACIOA ARITME

uno y men

asi todos loentes para acción es ntraron queemas de ti

más, muchoemas de tipría de los

ero dado, eapidez las son et al., 19ces de geneara valore

n. Con frecu= 8») para

x 2) o para n 8, y cuatr

+ 8 son 16,

atajos. Cospontáneamso los niñosnocimientosel caso de Aedimiento cro bloques viar el procde colocardedo. Condeberían h, 18»). Prouma conocX N, se diopara genera

ONES EDUTICA INFO

nos uno

s niños quecomprendun proces

e casi todospo N + 1 s niños de

po 1 + N (cniños posel que le presumas N + 982). Cuanderar automá

es de N ha

uencia, usaa determina

razonar la ro más son es decir, cu

mo ocurre mente métos con dificus que ya pAdam, un nconcreto pay contar t

cedimiento r seis bloquntó la hilerahaber estadonto empezcida (4 + 4 =o cuenta enar la respue

UCATIVAS:ORMAL

e llegan a lder que la so diminut

s los niños d(con N hacuatro año

con N hastaeen una soecede y el 1 (con N hdo llegan aáticamente

asta 10. Si

an su conoar productos

respuesta 9, 10, 11,

uatro cuatro

con la adicodos informultades de aposeen paniño con diara multipliodos los bconcreto. es junto a c

a de bloquedo las otrasó a utilizar

= 8) Y se punseguida deesta.

DIFICULT

la escuela adición es tivo. De hde cuatro aasta 5) si ts y la mayo

a 5). Más aoltura suficque le siguasta 5) y la

a segundo las sumasin embarg

ocimiento des en los qua problema12», o 4 x 4os»).

ción y la sumales paraaprendizajera ahorrar ficultades dicar (por ej

bloques). CPor ejempcada dedo,es («1, 2, . dos hilerasprocedimie

uso a contae que podía

TADES Y S

han tenido un procesecho, Staños que estenían objeoría de los dún, cuandociente con ue, para deas diferencicurso, la m N + 1 ó 1 +

go, el apre

e las sumae el multipl

as mayores4: «4 + 4 so

ustracción ina abreviar e pueden ve

esfuerzo ede aprendizemplo, 4 xasi de inmlo, para 6 sólo alineó.. ,6») y lus de bloqueentos mentaar a partir dea contar a

SOLUCIONE

experienciso aumentarkey y Ge

studiaron poetos concrede cinco po

o empiezanlas relacio

eterminar mas N - 1 (c

mayoría de + N y las dendizaje fo

as dobles (licador es d

s (por ejempon 8, es de

nformales, el cálculo

er manerasen el cálcuzaje al quex 3: hacer tmediato, Ad

x 3 sacó tó seis bloquego contó

es (<<7, 8, ales. Para 4e ella (8,9, intervalos

ES EN

as informaativo y queelman (198odían resolvetos a manodían resolvn la escuelaones entre mentalmente

on N hastalos niños s

diferenciasortuito de l

por dos plo,

ecir,

los de de ulo. se tres am res ues los ... , 4 X 10, (de

les e la 82) ver no. ver a la un

e y a 5) son s N los



concenecesobre

1. Ade la automprece1(difetécnicnumépreceempleseccio

2. un niñmismdescudarle 1 = __que econtinen algferenc

A.

B.

Padadosy un dtirar lo+ 1 y proble

eptos aritsarias noe todo SI s

Asegurar eadición (su

máticamenteede) no poderencias N -ca de contaérica para dede) (Barooear la adicones. Estimular eño puede reo con pro

ubrir una reuna serie d

_ le siga su el niño resnuación, resgunos casocia entre lo

Sol tiene ttotal? Tammy tieen total?

ara practicas especialedado con sóos dados ha

1 + 3 y 4 ema 1 + N t

tméticos io pueden se trata de

el dominio dustracción) me las relacidrán deter- 1). En estr necesariaeterminar l

ody, 1984bción (sustr

el descubrimesolver autblemas 1 egla generade problema

contrapartsuelva el suelva el pros puede ses dos probl

tres galleta

ene una ga

ar aún máss: un «dadoólo dos, treará que los + 1 y 1 +

tienen el m

informalesdarse po

e niños de

de la técnicamental de uones entreminar mentos casos, la, es decir, eas relacion). La enseracción) co

miento de utomáticame+ N,"' se d

al para el nas de enuncida 1 + N =problema Aroblema B. er adecuadlemas.

as. Su madr

alleta. Su m

s, se puedeo de unos»

es y cuatro niños se e4, dándole

mismo result

s básicosor sentadaeficientes.

a del númeruna unidad.e un númerntalmente yla educacióen emplear

nes entre N ñanza de a

oncreta qu

una regla gente probledeben creanúmero sigciado verba

=__ (o vicevA que se Cuando el

do pregunta

re le da otra

madre le da

en introduc(con un pupuntos en cncuentren c

es muchas tado que el

y de lasas en pob

ro siguiente. Si los niñoo dado y e

y con eficaón de apoyo

mentalmeny el númer

apoyo debe se exam

general paramas N + 1,ar oportuniguiente. Unal de manerversa). Por

muestra mniño haya

arle si ha vi

a más. ¿Cu

tres más. ¿

cir juegos eunto en cadacada cara. con combinoportunida problema

s técnicasblaciones

e (número aos no puedeel que le sigacia sumaso deberá cente y con efro que le sigerá instar mina en la

a el número, pero no pdades para estrategira que a un ejemplo, semás adelacalculado esto alguna

uántas galle

¿Cuántas g

en los que a una de laEl proceso

naciones 2 +ades rara vN + 1 corre

s de contespeciale

anterior) anen determingue (el ques de tipo Nentrarse enficacia la segue (el quea los niñosas siguient

o siguienteuede hace

ra que puea consiste problema N

e puede hante y queel problemasimilitud o

etas tiene e

galletas tien

se emplees seis caras aleatorio d+ 1 y 1 + 2,

ver que cadespondiente

tar es,

tes nar e le N + n la erie e le s a tes

. Si r lo eda en

N + cer , a

a B, di-

en

ne

en s)

de 3

da e.



Adic

1. Aunqantes1984;preesniñosniñosCC, onumeprocecomobásiceficacdesemordentica laapreny CPM

2. signifla unmás procepuedpsicoproblexiste

3. númedeberfácilmCC e avanclos npequecálculabrum

ción

Hacer que ue muchos

s de llegar a; Lindvall scolares ha desfavore sólo requi

otros tienenerosas demedimiento Co la comparas de contaces. La incmbocará enn de los sumas relacionnder procedM). En estoEmplear u

ficativa. Laión de dodirectame

eso aumene ser más

ológicamenemas en ente. Empezar

eros mayorería basarse

mente con minventar a

ces posterioiños ya pueños. Estolo mental a

mados ante

se adquiers niños apra la escuelae Ibarra,

ayan desarrecidos (Ginsieren una on dificultadeostraciones

CC parece eración de nar impedirácapacidad dn la dificultamandos (CTes existent

dimientos baos casos, haun modeloa enseñanzs conjuntonte la adic

ntativo. Pas útil presente más blos que s

con problees poco a e en sumamétodos conatajos para ores. Es mueden usa

o puede ofaún más pproblemas

ra soltura crenden un pa (por ejem1979), no rollado un psburg y Ruo dos demoes para doms (Baroody,estar asociaúmeros segn que los nde comparad de adoptTM y CPM)tes entre uasados en ace falta teo aumentaza de la ados. Se les ción comora algunos

entar la adásico. Es

se añaden

emas de npoco y con

andos pequncretos. Esestos proc

ejor introduar con soltfrecer un apoderosos. s más difícile

con los procprocedimie

mplo, Baroodpuede da

procedimieussell, 198ostracionesminar estos, en prensaada a la deguidos. Adeiños invent

rar automáttar procedim. Si los niño

un número contar a paner soltura

ativo para dición se senseña u

o la unión s niños, sodición con

decir, la en uno o do

úmeros pen cuidado. ueños (del sto permite cedimientosucir problemtura procedaliciente pa

Sin embaes. Por tant

cedimientosnto concredy, en prenarse por snto CC, so1) o deficies para apres procedim

a). La dificulebilidad de emás, las dten procediticamente dmientos quos no conocy el que le

artir de uno con las técintroducir

suele presun procedide dos co

obre todo loun modelenseñanzaos elemen

equeños; inLa enseña1 al 5) q

a los niñoss y construmas con núdimientos cara desarrargo, algunto, la introd

s informalesto para cal

nsa; Carpenentado qu

obre todo sentes. Aunqender un prientos aun ltad en el dotécnicas pr

deficienciasmientos dedos númere no den imcen de mane sigue, lede los sum

cnicas necer la adiciónentar a losmiento CC

onjuntos y os de bajo o aumentaa puede entos a un

ntroducir pranza inicial que se pue dominar p

uir una basúmeros maconcretos ollar proce

nos niños pucción de p

s de adiciónlcular sumanter y Mosee todos lo

si se trata dque algunorocedimientdespués d

ominio de urearitméticas en técnicae cálculo máros seguidomportancia nera automás será difíc

mandos (CPesarias. n de manes niños comC que refleno como rendimien

ativo, que empezar c

conjunto

roblemas cde la adic

edan manerocedimien

se sólida paayores cuancon núme

edimientos pueden veproblemas c

n. as er, os de os to de un as as ás os al á-cil

PP

era mo eja un

nto, es

con ya

con ción ejar tos ara ndo ros de

rse con



núme

4. Pa los invent(1977Despupartir procedeficieproce

Sinbasánestos cuentellos. CPM.niños verbamentaños (Rpartir

PamuchUna mCuandenconPor ejautomy contprime

5. Lprocetieneny parCPM)1948)niñospuedeenseñ

eros mayorePrever la nniños se letar procedi

7) enseñaroués de un pde uno de

edimiento Centes aban

edimientos mn embargo, ndose en pr

niños la a porque loEn alguno Es probabhayan ten

al directa esal como el CResnick y Nde uno de

ara facilitar eas oportunmanera intdo los niñntrar sus prjemplo, un

máticamentetar todos lo

er punto delLa enseñan

edimiento pn problemarecen incap) (Baroody). En casos aprendanen necesitañar uno de

es debe conecesidad ds da la opomientos me

on a unos pprolongadoe los sumanCPM. Muchndonan losmentales dalgunos ni

rocedimienoportunidados procedim

os casos, pble que estenido una ams el métodoCPM y las N eches, 19los sumandel aprendizaidades paraeresante dos se vanropios métoniño puedee la primeras puntos, y segundo dnza de apoypara llevar s y los niño

paces de a, Berent y extremos,

n procedimar ayuda paestos proce

ntrolarse code un períodortunidad deentales a spreescolare período dendos, cercaos niños cos procedime tipo CPMños, sobre tos concretd de consmientos de uede ser ú

e tipo de demmplia expero menos adexplicacion984). En cudos antes daje de proca que los ni

de alcanzarn familiarizaodos abreve sacar un a pauta ((V

y puede limidado], 6 [seyo puede tela cuenta.

os de educadquirir procPackman,puede ser

mientos meara aprendedimientos

on atencióndo largo pae emplear osu propio rites un procee práctica ya de la mitaon problem

mientos conM.

todo los qutos durantetruir proceinvención

til demostrmostraciónriencia de cdecuado pones sólo puualquier casde mediadocedimientosiños realizar este objeando con

viados paracuatro (: :)aya, un cuatarse a con

eñalando el ener que deEn ocasion

ación especcedimiento 1982; Blenecesario i

entales. Máer un proce, es mejor e

n. ara el cálculobjetos paratmo. Por ejedimiento cy sin que sead de los n

mas de aprencretos por

ue tienen p mucho tiemdimientos propia tienar para los sea más ecálculo conorque es difueden serviso, no aconos del primes mentales, aran descubtivo es juglas pautas determina) y un dos (atro») no nentar a partir

otro punto]edicarse expnes, los niñcial- se encs mentales

ey y Thornintervenir dás concretedimiento dempezar co

lo y el desca calcular sjemplo, Groconcreto pae les enseñniños empeendizaje y ar su cuent

roblemas, pmpo. Es immás avanz

nen más sigs niños un peficaz despun objetos. Lfícil describr para confnsejo enseñer curso. el maestro

brimientos pgar a juegos de los dar la suma d( • • ). Si el necesita empde 4: «4, 5 ] -6». plícitamenteños -sobre

callan en el s (especialmton, 1981; irectamentetamente, ade llevar laon problema

cubrimientosumas, sueoen y Resnara la adiciara a contaezó a usar algunos niñta e inven

pueden segportante dazados por gnificado paprocedimieués de que La enseñanbir un procefundir a los ñar a conta

debería crepor su cuen

os con daddados, suede una tiraniño reconopezar desd [señalando

e a impartir todo los qnivel concrmente de t

Cruickshae para que

algunos niña cuenta. Pas N + 2 ó

. Si elen nick ón.

ar a un

ños tan

guir ar a

su ara nto los

nza eso ni-

ar a

ear nta. os.

elen da. oce e 1 o el

r un que reto tipo

ank, los

ños ara 2 +



N y Nproce

A.

B.

C.

6. El recestimcuentcomodomin

La sumaprecispautadejar el emnúmelibre pde sunúme

Algpierde(comuproceEste represEntonprimecoinc

N + 3 ó 3 edimiento d

Hacer quededos o bA continumayor («1Continuar(«5 es un

Estimular econocimienularse a lota. A los niño las pautanarlas.

eficacia dando de los sión, los niñas digitales,el lápiz, co

mpleo de laeros del 1 alpara anotarumandos meros con pagunos niñosen la cuentunicación p

edimiento inprocedimiesentar el s

nces, el niñoero como siden, el niñ

+ N. Introetallado en

e el niño sbloques (poación, hace1, 2, 3, 4»).r entonces o más; 6 so

el aprendizanto automáos niños a ños que nos digitales

del cálculo problemas

ños suelen el cálculo p

ontar, volvers pautas dl 9 con la mr (véase la ayores de uutas digitals lentos tiena y no sabepersonal, 2ntermedio aento intermsegundo suo emplea lase describio para de c

oducir la iden el caso de

e centre enor ejemplo, er que el ni contando eon dos más

aje y el empático de pa

que empleo hayan dom

hasta 10,

mental des es mayor calcular mpuede ser mr a tomar el

digitales Chano que nofig. 8.4). Esuna maneraes. nden a olviden cuándo 28 de julio ntes de pra

medio implicumando coa mano queió antes. Ccontar.

ea de llevae Mike y que

n el sumanpara 4 + 2,ño cuente h

el conjunto s - seis»).

pleo de métutas puedeeen y comminado técse les deb

e los niñosque cinco.

mal estos pmás exacto l lápiz y ano

hisenbop pao se empleaste métodoa natural, e

dar el valordeben parade 1986)

acticar el proca crear unn una pau no escribeCuando las

ar la cuente se resum

ndo menor levantar dohasta el val

más peque

todos eficace facilitar lpartan sus

cnicas de reberá estim

s suele baComo es droblemas. Spero es mu

otar la sumara que sea para escri permite a

emparejand

r del segundar de conta

ha visto qocedimientn medio auta digital e

e para añads pautas d

ta enseñanme a continu

y haga un os dedos). lor cardinal

eño hecho a

ces para llelevar la cu

s métodos econocimieular para q

ajar cuandodifícil llevar Si recurrenuy lento. Loa. Fuson (1 puedan rebir, dejandolos niños lle

do nombres

do sumandr. En estos que es útil o descrito auxiliar para

en la manoir el segunddigitales de

ndo al niñouación:

conjunto c del suman

anteriorme

evar la cuenuenta. Debpara llevarnto de pauque lleguen

o el segunla cuenta c

n a empleo os niños deb1985) propoepresentar o la otra maevar la cue

s sucesivos

do y, por tancasos, Fusintroducir

anteriormena la memoo que escrido sumandoe cada ma

o el

con

ndo

nte

nta. erá r la

utas n a

ndo con de

ben one los

ano nta de

nto, son un

nte. ria: be. o al ano



7.

lugar,tanto CPM compproseM marequi(empSi loscómo

8. Lniño a

La enseña, en las técnsi lo hacenes una a

probar que leguir con intayor de 1.eren lleva

pleando loss niños sio llevar la cLa enseñana darse cue

nza de aponicas básicn mentalmempliación los niños ptentos de c. A diferenar la cues procedimiguen usacuenta. nza de apoyenta del esf

oyo de proccas necesarente como de la reglauedan real

cultivar el prncia de losenta. Si lomientos CT

ndo proce

yo de procefuerzo supe

cedimientosrias. Algunosi lo hace

a para calizar automárocedimients problemos niños

TP o CTM)edimientos

edimientos erfluo. Es pr

s CPM debos niños pen concretacular probáticamenteto CPM paras N + 1, lo cuenta

, ya posees concreto

CPM deberobable que

berá centrarersisten en mente. El plemas N +

e cálculos Nra problemalos proble

an todo men este reqos, necesit

rá centrarse la mayorí

rse, en primcontarlo toprocedimie+ 1. Se deN + 1 antes as N + M, cemas N +mentalmen

quisito prevtan aprend

e en ayudaía de los niñ

mer do, nto ebe de

con + M nte vio. der

ar al ños



no cucuentresultGinsbpor Sniños desig

Su

1. tiene posib.es imlos niñpaso 1), notanto,

uenten espoa de que ado que si

burg, en preecada, Fusa ver que

nación card

ustracción

Asegurar edificultadesle que teng

mportante cños carecenen un proce

o serán capa antes de n

ontáneamecontar desmplemente

ensa). En lason y Hall (e contar el dinal.

el dominio s para calc

ga problemacomprobar ln de solturaedimiento daces de resnada

nte a partirsde uno h

e enunciar a figura 8.5 s1983) que primer sum

de las técncular difereas para domlas técnicasa para calcude retroconstar mentalm

r de uno dehasta el prla designacse muestrasuele tenermando des

nicas neceencias con minar la técs necesariaular mentalmtar para promente cuan

e los sumarimer sumación cardina

a un métodor éxito en asde uno es

esarias paraun sustrae

nica de retras para hacmente diferoblemas N ndo el minu

andos, porqando produal del mism

o de enseñaayudar rápids lo mismo

a retrocontaendo de dorocontar. Encerlo. En prencias de N- M, siendoendo sea d

que no se duce el mismo (Baroodanza diseñadamente a

que decir

ar. Si un nos o más, n estos casrimer lugarN - 1 (el primo M distintodos o más. P

dan mo y y

ado los su

iño es

sos, r, si mer de Por



es neEn

ampliapara hay qproceretrocella y puedela cueniños 14 [- matempausaretroc, 15 [ehacia apren17, 16

Si enseñpara lhacerdificulde suenseñgresiv

MieniñosniñosMediasuponprocedominconcrTambcomb

2. conta

ecesario que segundo ar su proceretrocontarue hacerlo

esos en direcuenta no eel proceso

e desembocenta o en asuelen salt4], 13 [- 5]

máticas ema para pencuenta: <<1esto ... tresatrás le co

ndizaje, se p6, esto..., eun niño es

ñanza de alos niños derlo desde 10ltades de austracción ñanza de vamente eentras retr

s a practics descubreante el emne generareso de llevanar la técnretos. Másbién se lesbinaciones Estimular pr hacia atrá

e los niños lugar, si lo

edimiento mr. Además, con solturaecciones oes un procesimultáneocar en un eambos. Asítarse algún ] - 13»). U

mpezó a resonsar qué v9, 18 [una

s menos], 1ostaba bastperdió en lasto..., 17, 1s incapaz dapoyo debeel ciclo inic0, los que e

aprendizajeincluyen m

apoyo dntre 20 y 1rocontar noar su proc

en que el rpleo de unr la difícil sear la cuentaica de retro

s bien debs puede inN-1.

procesos eás con efica

puedan caos niños nomental para

retrocontaa. De no serpuestas pu

eso mínimao de llevar larror ~ en el í, cuando ctérmino (pon niño de olver 19 - 5 venía antemenos], 17

14 [cuatro mtante, Adamas dos cuen8, 19,20, 2

de contar re centrarse ial contar hemplean ese inmediataminuendos deberá ce0.

o llegue a cedimientoreloj de la a lista numecuencia ina (véase laocontar, noería animástar a que

eficaces paracia puede

alcular difereo saben cóa restas N -r no sólo ir así, la tareuede ser abamente autoa cuenta deproceso de

contar hacior ejemplo,segundo ccontando hs de 16.

7 [dos menomenos], 13m, un niño ntas cuando21». regresivamen esta té

hacia atrás ste tipo de eas y empezentre 10 y

entrarse e

ser algo ao informal

clase es umérica, el nnversa y pa fig. 8.6). Co se les deárseles a ee continúen

ra llevar la socavar lo

encias N - ómo contar

1 Y desarrmplica conea de ejecubrumadora omático, la el sustraende retrocontaa atrás con 19 - 5: «19urso que tehacia atrás,Corno resuos], 16 [tres [cinco mende quinto c

o intentaba

ente o de écnica infordesde 20 s

estrategia pzar a sufriry 20 (o máespecíficam

automáticocon una liun instrumiño se ve luede concCuando losebe impediemplear sn ejercitán

cuenta. Auos procesos

1 con eficahacia atrá

rollar un méntar hacia atar simultán(Baroody, atención s

do. Esta atear, en el pronstituye un9, 18 [- 1], 17enía dificul, pero tuvo qultado, se s menos], enos] - 13».curso con dcalcular 19

hacerlo comal para csuele ser mpueden no erlas cuandoás). En estmente en

o, se puedeista numér

mento útil piberado deentrar su a

s niños estár el empleou estrateg

ndose en e

unque la ins simultáne

cia . ás, no puedétodo genuatrás: tambneamente d1983a). S

se divide enención dividoceso de lle esfuerzo, 7 [- 2], 16 [-tades con que hacer uperdió en

esto... , esto Corno condificultades 9 - 5: <<19,

on soltura, contar. Cornmás difícil qu

experimento sus tareatos casos,

contar r

e instar a rica. Algunpara calcule la carga qatención enán llegandoo de modeia extractiv

el dominio

ncapacidad eos requerid

den uino bién dos i la

ntre dida var los

- 3], las

una la

o ... ntar

de 18,

la no ue tar as la

re-

los nos lar. que n el o a los va. de

de dos



para procedebenque d(Steffcuándsecuerealidniños especretroccuenthacia continse camues

Au

niños(con resultdos. Eestratvelocdema

retrocontaedimiento tan ser conscdeben contfe et al., 19do deben deencia inversad, Carpen

de primecificado de cuenta. La ten hacia at

atrás unanuación se dlcula y la mtra en la fig

un despuéss se ven obfrecuenciatado perdeEn estos ctegia inteli

cidad. Otro asiado pront

r, hay otroan exigentecientes de ltar hacia a83). Como etenerse y,sa o tiendenter y Moseer curso qunidades yenseñanz

trás un núm o dos unidebe señal

manera de hg. 8.6).

s de aprenligados a d

a, para eviter la cuentacasos, debgente y nerror frecueto con la de

os factorese en el aspla necesidatrás y planalgunos n

en consecen a responer (1982) enque estudiay, como resa de apoy

mero especíidades e irar explícita

hacerlo. (Pu

nder un prdespachar tar el estig

a de uno dee hacerse ormal y qente consis

esignación c

s que puepecto cognoad de llevarnificar previiños no pieuencia, o s

nder incorrencontraron aron podíasultado, no yo puede ífico de unidr aumentanamente la neuede hacer

rocedimienrápidamen

gma de cone los proces

comprendue la precste en empcardinal de

eden impeoscitivo. Par la cuenta iamente alg

ensan en lleiguen contaectamente que sólo la

a contar hsolía emplempezar h

dades. Se pndo la dificecesidad derse con mod

to para llente el procentar). Estasos de conder al niño cisión es tapezar el prol minuendo

edir o impoara retrocondel númerogún medio evar la cueando hasta (Fuson et

a mitad de hacia atrásear un prochaciendo qpuede empecultad paulae llevar la cdelos concr

evar la cueedimiento da prisa puetar simultáque retrocan importa

oceso de lle (por ejemp

osibilitar entar, los niño de unidad

para hacenta, no sabque agotanal., 1982). la muestra s un númecedimiento que los niñezar contanatinamentecuenta cuanretos como

enta, algunde retroconede dar cománeos o de contar es uante comoevar la cueplo, 17 - 3: «

este ños des erlo ben n la En de

ero de

ños ndo . A ndo o se

nos ntar mo los

una o la nta

«17



[- 1],1la rescasosproce

3. proceretrocgrandhace aprende uspara han ddiscutbenefprogrepuede«quitaa su d Ejem

6 [- 2], 15 [puesta del

s, se puedeeso de conta

Estimularedimiento dcontar, pueddes. A medimás larga

nder un prosar que el pintroducir u

descubiertotan y examficiarse de esiva y la ren no captaar». En estodebido tiem

mplo: 8.1 En

[- 3] - 15»). niño suele t

e demostrarar» no empr el desa

de cálculo den ser preda que las y más proccedimientoprocedimienun procedim algún procinen las situuna enseñ

regresiva. Sar este procos casos, e

mpo, ya des

nseñar a c

Este error tener una ur al niño la epieza desdearrollo de más eficazecisos con tareas imp

clive al erroo de cuentanto regresivmiento paracedimiento uaciones doñanza explSin embargocedimientos mejor no cubrirá la e

contar prog

produce ununidad más estrategia de el número

contar yz. Si los nproblemaslican núme

or. Por tantoa progresivavo. En el ea contar pro

de este tiponde lo encícita de la o, se debe porque noinsistir. Hac

estrategia p

gresivame

na pauta quque la resp

de retrocono mayor (my de escoiños se ba

s pequeñosros mayoreo, podría sea y empleaejemplo 8.1ogresivamepo se les pcuentran mrelación etener en c

o coincide ccerlo sólo c

por su cuent

nte: activid

ue se detecpuesta corretar, recalcáinuendo).

oger con asan exclus pero no ces, la cuentaer útil estimrlo cuando se describ

ente. A los puede estimás útil. Los

existente enuenta que

con su nociconfundiría ta.

dad con un

cta fácilmenecta. En es

ándole que

flexibilidad sivamente

con problema regresiva

mular al niñsea más fá

be un métoniños que

mular a queniños pued

ntre la cuealgunos niñón informa al niño y és

na balanza

nte: stos «el

el en

mas a se o a ácil odo

ya e lo den nta ños de

ste,

a



Nivmejorprogreotro pdeber

Nivel progrenúme

Actividpuedepuedeprevisprecisprecis

vel II: Usar r hacerlo esivamentepeso en vará instarse

III: Usar núesivamente

ero correspo

dad optativen practicaen comprosión calculasión de sussión con el

una lista cuando el

e mediantearios puntosal niño a co

úmeros con e. Cuando ondiente a

va para profr la realizabar media

ando la difes previsionetiempo.

numérica c niño ya objetos cos a lo largoontar simple

pesos distiel niño ha la respuest

fundizar máción de estnte el cálcerencia entes para un p

como sopoha domin

oncretos. Io del lado emente de

intos para ecolocado l

ta en el lado

ás: nótese timaciones culo. Puedtre ella y laproblema, p

rte semiconado el prnicialmentemás livian3 a 9 en la

estimular ella respuesto más livian

que, para lo cálculosen determ

a respuestapueden obs

ncreto. Carocedimiene, el niño po. Llegado lista numé

procedimieta, hacer qno.

os tres nives aproximad

minar la prea calculadaservar los c

si siempre to de conpuede coloo el momenérica.

ento de conue cuelgue

eles, los niñdos que lueecisión de . Si anotan

cambios de

es ntar car nto,

ntar e el

ños ego

su n la e su



Multip

1. Exadicióporquconocen ayniño ddificuclase multipcomohacerdifícil conta11 12CuanKen, enconadelacómo+ 7 =

A vnecesverdaKen. tenidoconfumayoejemptodos

2. combnúmedificuproblede unpara lejemp

plicación

xponer expón repetidaue los niñcimiento exyudar al niñde tercer cltades de ame pidió q

plicación. Co 6 X 2 = _ yr. Según de

para él. Ear cuatro de2). Ken excdo la multipque en segntrar maner

ante, por ejeo lo había ca

14. veces, las dsario empleaderas dificuA Adam seo éxito coundirlo. Anteor claridad plo, se ress.

Estimularbinaciones geros pequeltades conemas con nna mano pallevar la cueplo, para 4 x

plícitamentea. Las dificos no ven

xistente. A vño a estableurso asignaaprendizajeque lo exam

Cuando le py 3 X 3 = _, Kecía estabaEntonces leedos (sin voclamó: «j Vplicación seguida aprenras de abreemplo, respalculado, ex

dificultades ear un enfoqultades de e le enseñón Ken. Sie esto se inla adición

solvió coloc

r explícitagrandes y deños (hasta problemas

números peara represeenta del númx 3, levanta

e la conexcultades con la coneveces, la enecer esta cado a la cla

e (Baroody, minara exppresenté vaKen no parea convencide demostréolver a empVaya, así qe presentó ndió a calcueviar el procpondió inmexplicó que h

con la multque más coaprendizajeó el mismon embargontentó otra

repetida dcando tres

amente codifíciles de ca 5 X 5) s en los q

equeños, puentar el mumero de vear cuatro de

xión existenon la multxión entrenseñanza dconexión. Case especia1986). La

plicándome arios probleecía tener ndo de que

é un procedezar) tres vue la multide una ma

ular productcedimiento ediatamentehabía empl

tiplicación toncreto (Bare, planteab

o procedimio, este proestrategia

de las unidgrupos de

ontar a icalcular. No

con pocaque intervieueden haceultiplicando ces que se

edos de la m

nte entre liplicación b

e esta nuede apoyo coConsidéreseal de matemaestra quque no ten

emas sencininguna idela multiplicdimiento paveces (1, 2,iplicación n

anera informtos. De hecque se le h

e a 7 X 2. Ceado la com

ienen raíceroody, 1986

ba un reto mento mentaocedimientoconcreta q

dades. El pe cuatro blo

intervalos, ormalmentea dificultadenen los ner una pauta

y emplear ha contado

mano izquie

la multiplicbásica sueeva operaconsiste, sime el caso dmáticas poue tenía Kenía el concillos de mu

ea de lo queación era dara contar: 3, 4; 5, 6,

no es más mal, tuvo secho, pronto había ense

Cuando se lembinación c

es más profu6). Adam, u

mucho más al informal o no hizo

que represeproblema 4oques y co

sobre toe, los niños m, pero sueúmeros 6 a digital con

los dedos o el multiplicerda y lleva

ación y la elen darse ción y su

mplemente, de Ken, un orque tenía en en esta cepto de la ltiplicación

e tenía que demasiado 4 X 3 es 7, 8; 9, 10, que eso!»

entido para empezó a ñado. Más e preguntó conocida 7

undas y es un niño con

grave que que había más que

entaba con 4 x 3, por ontándolos

odo para multiplican elen tener a 9. Para

n los dedos de la otra

cando (por r la cuenta



de lascomo

Paverticsaca pautaen elanota

Pa

Wynrcon uhubieantesprimehabercolumen el todo sEste la cueque hvolveX 4 = hastaque ede los7 X 7entraEvencomb

s tres veceso 6 X 5 ó 5 Xara solventcal para llevsiete dedos

ado. Se vue papel pau

aciones, com

ara algunosoth (1969-1

un círculo eera colocados de que eera columnarse colocad

mna. El emppárrafo an

si necesitanmétodo veenta al calchayan hecher a utilizar l

_, un niño a la cuarta este métodos niños a co

7 = _, los niñada (la sexttualmente,

binaciones

s con los dX 6, no hay ar esta dif

var la cuents y los cue

elven a conutado. El pmo se mue

niños pued1980) propel multiplicao un 7 rode

el niño empa que espedo una columpleo de unaterior puedn educaciónrtical para l

cular, simpleho (y seguias anotaciosólo tiene entrada y o vertical paontar a inteños puedenta) y contar

los niñosbásicas de

edos de la dedos suficficultad, Wta. Para 7 xnta. Cuandtar los sieteproceso co

estra a cont

de ser útil eone que, p

ando (el núeado por unpezara a ccifique el mmna con los

a sola columde producir n especial. llevar la cueemente puer contandoones. Para que ir contencontrar qara llevar la

ervalos. Parn ir hacia abr siete máss pueden la multiplic

mano derecientes par

Wynroth (19x 6, si un ndo acaba, ae dedos (a ontinúa hasinuación:

etiquetar elpara empezúmero a con círculo encontar. Ademultiplicados números

mna en el prmenos con

enta tiene veden contaro a partir deproblemas tando haciaque la respa cuenta esra problemabajo en la cos a partir de

tener un cación.

echa). Paraa este proc969-1980) niño elige coanota un 7 e

partir de «sta que el

multiplicanzar, el niñontar). En e

n la parte suemás, puedor. En el ejedel 1 al 6 a rocedimiennfusión en

varias virtur hacia arribe aquí). Adcon un mu

a atrás en puesta ya es coherenteas con un molumna de e ahí (y ha

registro c

problemascedimiento dpropone uontar grupoen una hojaocho») y seniño ha h

ndo y el muo debe anote ejemplo auperior de lde ser útil emplo anterla izquierdato descrito algunos ni

des. Si los ba el númerdemás, los ltiplicando mla columna

está anotade con la tendmultiplicadolos sietes h

acer una nucompleto d

s mayores, de cálculo.

un método os de siete a de papel e anota 14 hecho seis

ultiplicador. tar r rodear

anterior, se a columna tener una

rior, podría a de la otra e ilustrado ños, sobre

niños pierdro de entradniños puedmenor com

a de los sieda allí. Nótedencia natu

or mayor cohasta la últiueva entradde todas

den das den o 7

etes ese ural mo ma

da). las



F) R

Anapoyarequietiendeel cálnumécompinvencconte1 y 1 +puede6. LoseficazLlegaalteramentacuándque incuentcálculcomoinformporquno so

RESUMEN

ntes de doarse en preren objetoen de maneculo. Tamb

érica para rerensión infoción de prmplan la ad+ 5 ó 3 + 5 en sentirse s niños desz regla del ndo el mom

a el resultadal es cognodo deben contervengan a, y para lolo que minim los no con

males de cáue las técnicn adecuada

ominar las rocedimienos concretoera natural abién aprendesponder cormal que rocedimientdición comoy 5 + 3, se obligados a

scubren pronúmero sig

mento, los ndo de los poscitivamenontar cuanden un prob

os niños es umicen este ceptuales dálculo. Lascas para coas ni eficac

combinacitos de cá

os como loa emplear pden en seg

con eficaciatienen los tos de cálco añadir máven como pa calcular laonto que 1 +guiente a otniños aprenproblemas Nnte exigentedo cuentan

blema más cun verdadetrabajo me

desempeñas dificultadeontar o paraces.

iones numálculo basaos dedos oprocedimieguida a ema a problemniños de laculo concrás a algo, loproblemas a suma de + N y N + 1tro dado senden que eN + M (pore porque los. Por tanto,complicado

ero alicienteental. Así puan su papees con el ca llevar la c

éricas básados en coo bloques. ntos de con

mplear su cmas de tipo a aritméticaetos y meos problemadistintos. C1 + 5 aun c1 producene aplica porel orden der ejemplo, .s niños deb, cuanto ma

o será el proe inventar nuues, tanto lol en el desacálculo infocuenta que

sicas, los nontar que,Normalmen

ntar orales oconocimienN + 1 = _ y

a guía su centales. Coas conmuta

Como resultcuando sepa la misma s

r igual a 1 +e los suman3 + 5 = 5+ ben tener payores seaocedimientouevos procos factoresarrollo de pormal puede intervienen

niños pued al principnte, los niño mentalesto de la sey N - 1 = _.construcciónomo los niñados como tado, los niñan que 5 + suma y que+ N y a N +ndos tampo3). El cálc

presente han los término para llevaedimientos conceptuarocedimienen producin en el mis

den pio, ños s en erie La n o ños 5 + ños 1 =

e la + 1. oco culo asta nos

ar la s de ales ntos rse mo



Education

Matemàtica Informal - Baroody Arthur