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Profª Débora Bastos

Matematica2 1

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Profª Débora Bastos

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ProgramaEMENTAAplicações da derivada: determinação de máximos

e mínimos, concavidade e pontos de Inflexão de funções, esboço do gráfico de funções, problemas de otimização.

Integração indefinida: método de substituição, integrais de produtos e potências de funções trigonométricas, método de integração por partes, método de substituição trigonométrica, método para integração de funções racionais.

Integração definida: definição e cálculo da integral definida, métodos para calcular integrais definidas, aplicações da integral definida, cálculo de áreas, volume de sólidos de revolução, cálculo do comprimento de arco.

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Bibliografia1. LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P.

e EDWARDS, Bruce H. Cálculo com Aplicações. Editora LTC, 4. Ed.

2. HOFFMANN, Laurence D. & BRADLEY, Gerald L. Cálculo - Um curso moderno e suas aplicações. Editora LTC, 6. Ed.

3. LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harper & Row do Brasil,1982. (Campus Cidade)

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AvaliaçãoProvas: 1º Bimestre: 25/04/20122º Bimestre: 27/06/2012Exame: ?Sem Vade Mecum (orientação apenas para os

estudos)Sem calculadoraFormulário de derivadas e/ou integrais

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AtendimentoSala 726Tel: 3233 8670E-mail: [email protected]:

http://pertenceamatematica.pbworks.comHorário: ?

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Aplicações da DerivadaEstudo do Gráfico de funções.Poderemos:Verificar a existência e encontrar pontos

extremos (máximos e mínimos) e críticos (inflexão);

Determinar intervalos em que a função é crescente ou decrescente;

Determinar intervalos em que a função tem concavidade para cima ou para baixo;

Esboçar gráficos sabendo a lei de formação da função.

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Pontos extremos

Pontos de máximo relativo (local): A e C.Pontos de mínimo relativo (local): B e D.Ponto de máximo absoluto: C.Ponto de mínimo local:

A

B

C

D

x

y

2

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DefiniçõesDefinição 1: Uma função f tem

um máximo local (relativo) em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) > f(x) para todo x I. x

y

c

f(c)

I

x1

f(x1

)

Definição 2: Uma função f tem um mínimo local (relativo) em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) < f(x) para todo x I.

x

y

c

f(c)

I

x1

f(x1

)

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Exemplof(x) = 3x4 12x2 x ( 2, 2)

Pontos de mínimo local

AB

Ponto de máximo absoluto

C ( 0, 0)

2 2 x

y

A B

C 2

12

2 12,2

12,2

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Mais definiçõesDefinição 3: Dizemos que f(c) é o máximo

absoluto da função f, se c D(f) e f(c) > f(x) para todo x D(f).

Definição 4: Dizemos que f(c) é o mínimo absoluto da função f, se c D(f) e f(c) < f(x) para todo x D(f).

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Interpretação Geométrica da Derivada.Por definição f ’(x) =

P é um ponto qualquer dafunção.s é a reta secante à funçãopassando por P e Q. é o ângulo da secante como eixo x.tg =

O que acontece com a reta s se x 0?

lim0x x

)x(f)xx(f

x

)x(f)xx(f

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Interpretação geométrica da derivadaf ’(x) =

A derivada da função emum ponto é a inclinação(coeficiente angular) da reta tangente à funçãono ponto P.

lim0x

tg

x

)x(f)xx(f

t

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O que isso tem a ver com os extremos de uma função?Se um ponto for extremo (máximo ou mínimo),

como serão as retas tangentes à função nesses pontos?

Qual o ângulo entre a reta tangente t e o eixo ox?

Qual o valor da tangente desse ângulo?

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Afinal...Se P(xp, f(xp)) é um ponto extremo, então f

’(xp) = 0

Teorema 1: Se f(x) foi definida para todos os valores de x no intervalo aberto (a,b) e se f tiver um extremo relativo em c, onde a < c < b, então f ’(c)=0, se f ’(c) existir.

Exemplo: f(x) = 2x2 – 8x + 6

O vértice é um ponto de mínimo. V(2, 2)

f ’(x) = 4x – 8

f ’(2) = 4.2 – 8 = 0

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Se f’(x) = 0 não necessariamente temos P(c, f(c)) um ponto extremo.Exemplos: f(x) = (x – 2)3 + 4

f ’(x) = 3(x – 2)2

3(x – 2)2 = 0x = 2

P (2, 4) não é um ponto extremo, nem máximo, nem mínimo. 9

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Pode ocorrer ainda que exista um ponto extremo, mas f’(x) 0.Exemplo:

f ’(3) não existe, pois f’+(3) f’-(3).

Gráficos com “bicos” não são deriváveis nesses pontos.

Definição 5: Se c D(f) e se f ’(c) = 0, ou f ’(c) não existir , então c será chamado de número crítico de f e P (c, f(c)) ponto crítico de f.

3 x se ,x 8

3 x se,1x2)x(f

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Existência de pontos extremos.Teorema 2: (Teorema do valor extremo) Se a função f

for contínua no intervalo fechado [a,b], então f terá um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em [a,b].

Os pontos críticos de uma função que satisfaz o Teorema do valor extremo podem ser determinados pelo seguinte processo:

1- Achar os valores da função nos números críticos de f em (a,b).

2-Ache os valores de f(a) e f(b).3- O maior dentre os valores das etapas 1 e 2 será o

valor máximo absoluto e o menor será o valor mínimo absoluto.

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ExemploAche os extremos absolutos de f em se f(x) = x3 + x2 – x + 1.Solução: f é uma função polinomial, então é

contínua em lR, logo também é em .Pontos críticos:f’(x) = 3x2 +2x – 1 f’(x) = 0 x = 1/3 ou x = -1Ambos estão em .Cálculo das ordenadas:

Resposta: A é mínimo absoluto, B é máximo absoluto, C é mínimo local e D é máximo local.

2

1,2

2

1,2

2

1,2

X - 2 -1 1/3 ½

f(x) -1 2 22/27

7/8

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Problema de máximo: Um exemplo.Um fabricante de caixas de papelão deseja

fazer caixas abertas a partir de pedaços quadrados de papelão com 12 cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Queremos encontrar o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com o maior volume possível.

Solução:

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Solução

Volume = área da base x alturaV(x)= (12-2x)2xV(x)= 144x – 48x2 + 4x3 x [0,6]V é contínua em [0,6]Pontos críticosV’(x) = 144 – 96x + 12x2

V’(x) existe para qualquer valor real.

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Solução

144 – 96x + 12x2 = 0 x = 2 ou x =6Ambos pertencem ao intervalo [0,6]

Ponto de máximo P (2, 128)Resposta: O volume máximo possível é de 128

cm3, quando é cortado nos cantos um quadrado de 2 cm de lado.

X 0 2 6

V(x) 0 128 0

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