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Matemáticas Básicas: Funciones M. en C. Juliho Castillo 3 de marzo de 2017 ESDAI, Universidad Panamericana 1

Matemáticas Básicas: Funciones

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  • Matemticas Bsicas: Funciones

    M. en C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017

    ESDAI, Universidad Panamericana

    1

    https://www.youtube.com/channel/UCb1i-EtybaWWX5urFfmMUWQ

  • 2

  • Acerca de m

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  • Bienvenidas al Curso de Matemticas Bsicas!

    Mi nombre es Juliho Castillo...(s, con h entre la i y lao.)

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  • Bienvenidas al Curso de Matemticas Bsicas!

    Mi nombre es Juliho Castillo...(s, con h entre la i y lao.)

    4

  • Educacin

    1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemticas. Proyecto de Tesis:Tcnicas simplcticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuacin de Hamilton- Jacobi, bajola direccin del Dr. Hctor Sanchez Morgado.

    2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemticas,CINVESTAV, especialidad en Matemticas, fecha detitulacin: 5 de febrero de 2013. Tesis: Clasificacin deCapacidades Simplcticas en Superficies, bajo ladireccin del Dr. Rustam Sadykov.

    3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemticas, fecha de titulacin: 14 deenero de 2011. Tesis: Anlisis Semiclsico de Operadoresde Schrdinger, bajo la direccin del Dr. Hctor SanchezMorgado.

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  • Educacin

    1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemticas. Proyecto de Tesis:Tcnicas simplcticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuacin de Hamilton- Jacobi, bajola direccin del Dr. Hctor Sanchez Morgado.

    2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemticas,CINVESTAV, especialidad en Matemticas, fecha detitulacin: 5 de febrero de 2013. Tesis: Clasificacin deCapacidades Simplcticas en Superficies, bajo ladireccin del Dr. Rustam Sadykov.

    3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemticas, fecha de titulacin: 14 deenero de 2011. Tesis: Anlisis Semiclsico de Operadoresde Schrdinger, bajo la direccin del Dr. Hctor SanchezMorgado.

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  • Educacin

    1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemticas. Proyecto de Tesis:Tcnicas simplcticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuacin de Hamilton- Jacobi, bajola direccin del Dr. Hctor Sanchez Morgado.

    2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemticas,CINVESTAV, especialidad en Matemticas, fecha detitulacin: 5 de febrero de 2013. Tesis: Clasificacin deCapacidades Simplcticas en Superficies, bajo ladireccin del Dr. Rustam Sadykov.

    3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemticas, fecha de titulacin: 14 deenero de 2011. Tesis: Anlisis Semiclsico de Operadoresde Schrdinger, bajo la direccin del Dr. Hctor SanchezMorgado.

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  • Publicaciones

    2014 Symplectic capacities on surfaces: ManuscriptaMathematica, Vol. 229, artculo 701, Artculo deInvestigacin.En colaboracin con Dr. Rystam Sadykov

    2012 Aplicaciones del Control Estocstico al AnlisisSemiclsico: Aportaciones Matemticas, Memorias 45,69-96, Artculo de exposicin.

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  • Reconocimientos

    2011 Premio Nacional Mixbaal a las Mejores Tesis deLicenciatura en Matemticas Aplicadas, MencinHonorfica

    2011 Conferencista invitado, Sesin del Premio Mixbaal,ENOAN XXI

    2001 Seleccionado Estatal, XV Olimpiada Mexicana deMatemticas, Delegacin Oaxaca

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  • Experiencia docente

    Actual Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,ESDAI, Ciudad de Mxico.

    2014-2015 Coordinador Acadmico, Club de MatemticasTeorema, Centro de Formacin en Ciencias yMatemticas, Oaxaca.

    2014 Codelegado, Olimpiada Mexicana de Matemticas,Delegacin Oaxaca.

    2013 Profesor de Asignatura, Instituto Blaise Pascal, Acadmiade Matemticas, Oaxaca de Jurez.

    2013 Profesor de Asignatura, Universidad Anhuac Mxico Sur,Facultad de Ingeniera, Ciudad de Mxico.

    2012-2013 Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,Facultad de Ingeniera, Ciudad de Mxico.

    2005-2010 Entrenador, Olimpiada Mexicana de Matemticas,Delegacin Oaxaca.

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  • 1 Definiciones y ejemplos2 Sistema de coordenadas rectangulares

    Desplazamientos horizontales

    Desplazamientos verticales

    Cambio de coordenadas3 Rectas

    Paralelas y perpendiculares4 Escalamiento y reflexin5 Ecuaciones linales6 Ecuaciones de segundo grado

    Complemento de cuadrados

    Intersecciones con los ejes

    Diferencia de cuadrados

    Ejemplos

    Factorizacin

    Aplicaciones

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  • Definiciones y ejemplos

    11

  • Una relacin es un conjunto de pares ordenados. Al conjuntode los primeros componentes de los pares ordenados se leconoce como dominio de la relacin. Al conjunto de lossiguientes componentes se les llama rando de la relacin.

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  • Una relacin es un conjunto de pares ordenados. Al conjuntode los primeros componentes de los pares ordenados se leconoce como dominio de la relacin. Al conjunto de lossiguientes componentes se les llama rando de la relacin.

    12

  • Una relacin es un conjunto de pares ordenados. Al conjuntode los primeros componentes de los pares ordenados se leconoce como dominio de la relacin. Al conjunto de lossiguientes componentes se les llama rando de la relacin.

    12

  • Ejemplo 2.1.Cul es el dominio y el rango de la relacin

    {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}?

    Solucin.

    Dominio = {1, 2, 3, 4} , Rango = {3, 6, 9, 12} .

    13

  • Definicin 2.1.Una funcin es una relacin tal que cada elemento del dominiotiene su par con un solo elemento del rango.

    14

  • Ejemplo 2.2.Cules de las siguientes relaciones son funciones?

    1 {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}2 {(1, 2), (1, 3), (2, 8), (3, 9)}3 {(1, 3), (2, 3), (4, 3), (9, 3)}

    Solucin.

    SNo, 1 tiene como pares tanto a 2 como 3S

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  • Ejemplo 2.2.Cules de las siguientes relaciones son funciones?

    1 {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}2 {(1, 2), (1, 3), (2, 8), (3, 9)}3 {(1, 3), (2, 3), (4, 3), (9, 3)}

    Solucin.

    SNo, 1 tiene como pares tanto a 2 como 3S

    15

  • Observacin 2.1.

    A menudo, las funciones y las relaciones se expresancomo ecuaciones.Cuando no se especifica el domino, ste se determinacomo el subconjunto ms grande de nmeros reales paralos que se define el ecuacipn.El rango se define encontrando el valor de la ecuacinpara cada uno de los valores del dominio.

    16

  • La variable asociada con el dominio se llama independiente,mientras que la variable asociada con el rango se llamadependiente.

    17

  • La variable asociada con el dominio se llama independiente,mientras que la variable asociada con el rango se llamadependiente.

    17

  • Ejemplo 2.3.Cul es el dominio y el rango de y = x2 + 2?

    18

  • Solucin.

    Figura 2.1: Dominio=(,) := R, Rango=[2,)

    19

  • Ejemplo 2.4.Cual es el dominio y el rango de y = 1/(x 3)?

    20

  • Solucin.

    Figura 2.2: Dominio=R {x = 3}, Rango=R {y = 0}

    21

  • Sistema de coordenadasrectangulares

    22

  • Un sistema de coordenadas rectangulares se utiliza pararepresentar una grfica de la relacin entre dos variables.

    1 La recta X X, denominada eje x, se sita en posicinhorizontal.

    2 La recta Y Y, denominada eje y, se sita en posicinhorizontal.

    3 El punto O es el origen del sistema.4 Los ejes dividen al plano en 4 cuadrantes.

    23

  • Definicin 3.1.La grfica de una funcin y = f(x) es el lugar geomtrico delos puntos (x, y) que satisfacen la ecuacin

    y = f(x).

    24

  • Observacin 3.1.Graficar una funcin es muy sencillo! En SageMath Cloud,puede ocupar el siguiente cdigo:

    x=var("x") #se define la variable independientef(x)=x^2 #se define la funci\'ongrafica = plot(f, (0,1))show(grafica)

    Puede ver ejemplos en SageMath Cloud.

    25

    https://cloud.sagemath.com/projects https://cloud.sagemath.com/projects/4d801286-f69f-4833-9df5-493ac7cc7111/files/0201%20Funciones%20y%20graficas.ipynb

  • Sistema de coordenadasrectangulares

    Desplazamientos horizontales

    26

  • La grfica de la funcin f(x c) es la misma que la grfica dela funcin f(x) pero desplezada a laderecha c > 0izquierda c < 0.

    27

  • Ejemplo 3.1.

    Figura 3.1: Parbolas desplzadas horizontalmente

    28

  • Figura 3.2: Rectas desplazadas horizontalmente

    29

  • Figura 3.3: Hiprbolas desplazadas horizontalmente

    30

  • Figura 3.4: Races desplazadas horizontalmente

    31

  • Sistema de coordenadasrectangulares

    Desplazamientos verticales

    32

  • Figura 3.5: Parbolas desplazadas verticalmente

    33

  • Figura 3.6: Rectas desplazadas verticalmente

    34

  • Figura 3.7: Hiprbolas desplazadas verticalmente

    35

  • Figura 3.8: Races desplazadas verticalmente

    36

  • Sistema de coordenadasrectangulares

    Cambio de coordenadas

    37

  • Cambio de coordenadas

    La grfica de la funcin

    y = f(x h) + k

    es la misma que la grfica de la funcin y = f(x), perodesplazada hacia...la derecha si h > 0la izquierda si h < 0arriba si k > 0abajo si k < 0h (resp. k) nos indican cuantas unidades se tiene quedesplazar horizatalmente (resp. verticalmente).

    38

  • Cambio de coordenadas

    La grfica de la funcin

    y = f(x h) + k

    es la misma que la grfica de la funcin y = f(x), perodesplazada hacia...la derecha si h > 0la izquierda si h < 0arriba si k > 0abajo si k < 0h (resp. k) nos indican cuantas unidades se tiene quedesplazar horizatalmente (resp. verticalmente).

    38

  • Cambio de coordenadas

    La grfica de la funcin

    y = f(x h) + k

    es la misma que la grfica de la funcin y = f(x), perodesplazada hacia...la derecha si h > 0la izquierda si h < 0arriba si k > 0abajo si k < 0h (resp. k) nos indican cuantas unidades se tiene quedesplazar horizatalmente (resp. verticalmente).

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  • Cambio de coordenadas

    La grfica de la funcin

    y = f(x h) + k

    es la misma que la grfica de la funcin y = f(x), perodesplazada hacia...la derecha si h > 0la izquierda si h < 0arriba si k > 0abajo si k < 0h (resp. k) nos indican cuantas unidades se tiene quedesplazar horizatalmente (resp. verticalmente).

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  • Ejemplo 3.2.Grafique y = (x 2)2 + 3; determine su dominio y su rango.

    39

  • Figura 3.9: Grafica de la funcin y = (x 2)2 + 3

    40

  • Ejemplo 3.3.Grafique y = 5 (x 2) + 3; determine su dominio y su rango.

    41

  • Figura 3.10: Grafica de la funcin y = 5 (x 2) + 3

    42

  • Ejemplo 3.4.Grafique y =

    x 2 + 3; determine su dominio y su rango.

    43

  • Figura 3.11: Grafica de la funcin y =

    x 2 + 3

    44

  • Ejemplo 3.5.

    Grafique y = 1x 2 + 3; determine su dominio y su rango.

    45

  • Figura 3.12: Grafica de la funcin y = 1x 2 + 3

    46

  • Puede graficar ms funciones con cambios de coordenadas coneste script de SageMath.

    47

    https://cloud.sagemath.com/projects/4d801286-f69f-4833-9df5-493ac7cc7111/files/0201%20Cambio%20de%20coordenadas.html

  • Rectas

    48

  • Diremos que una funcin f(x) es afn si es de la forma

    f(x) = mx + b.

    Muchas veces, a estas funciones tambin se les llama lineales;pero este trmino no es del todo correcto.

    49

  • Diremos que una funcin f(x) es afn si es de la forma

    f(x) = mx + b.

    Muchas veces, a estas funciones tambin se les llama lineales;pero este trmino no es del todo correcto.

    49

  • La grficas de este tipo de funciones se llaman rectas; alcoeficiente m se le llama pendiente y a la constante b,ordenada al origen.

    Figura 4.1: Coleccin de lneas rectas

    50

  • La grficas de este tipo de funciones se llaman rectas; alcoeficiente m se le llama pendiente y a la constante b,ordenada al origen.

    Figura 4.1: Coleccin de lneas rectas

    50

  • La grficas de este tipo de funciones se llaman rectas; alcoeficiente m se le llama pendiente y a la constante b,ordenada al origen.

    Figura 4.1: Coleccin de lneas rectas

    50

  • Si la pendiente m es positiva, la recta es creciente.

    Figura 4.2: Rectas con pendiente positiva

    51

  • Si la pendiente m es negativa, la recta es decreciente.

    Figura 4.3: Rectas con pendiente negativa

    52

  • Si sabemos que la recta pasa por los puntos P0 = (x0, y0) yP1 = (x1, y1), entonces la pendiente de la recta est dada por

    m = y1 y0x1 x0

    .

    53

  • Ejemplo 4.1.Determine la pendiente de la recta que pasa por los punto(2, 3) y (1, 8).

    54

  • Si sabemos que la recta tiene pendiente m y pasa por el puntoQ = (a, b), entonces la ecuacin de la recta est dada por

    y = m (x a) + b.

    55

  • Ejemplo 4.2.

    1 Determine la ecuacin de la recta que pasa por el punto(2, 3) con pendiente m = 53 .

    2 Determine la ecuacin de la recta que pasa por el punto(1, 8) con pendiente m = 53 .

    56

  • Ejemplo 4.3.Determine la ecuacin de la recta que pasa por los puntos(2,5) y (3, 2).

    57

  • Observacin 4.1.Si la ecuacin de la recta y = mx + b se reescribe como

    Ax + By + C = 0,

    diremos que la ecuacin est en su forma general. Siemprepreferiremos que los coeficientes A, B, C sean enteros, de serposible.

    58

  • Observacin 4.1.Si la ecuacin de la recta y = mx + b se reescribe como

    Ax + By + C = 0,

    diremos que la ecuacin est en su forma general. Siemprepreferiremos que los coeficientes A, B, C sean enteros, de serposible.

    58

  • Ejemplo 4.4.Reescriba la ecuacin

    y = 32x +75

    en su forma normal, con coeficientes enteros.

    59

  • Cuado y = 0, obtenemos la ecuacin

    Ax + C = 0;

    la solucin x de sta se llama raz, y el punto (x, 0) seencuentra sobre el eje x.

    60

  • Cuando x = 0, obtenemos la ecuacin

    By + C = 0;

    la solucin y de sta se llama ordenada al origen, y el punto(0, y) se encuentra sobre el eje y.

    61

  • Si (x, y) 6= (0, 0), entonces podemos graficar la rectauniendo los puntos (x, 0) y (0, y).

    En otro caso, podemos graficar la recta uniendo los puntos(0, 0) y (q, p), donde

    m = pq

    ;

    de hecho, si (a, b) es un punto de la recta, basta unir ste con(a + q, b + p) para graficar la recta.

    62

  • Si (x, y) 6= (0, 0), entonces podemos graficar la rectauniendo los puntos (x, 0) y (0, y).

    En otro caso, podemos graficar la recta uniendo los puntos(0, 0) y (q, p), donde

    m = pq

    ;

    de hecho, si (a, b) es un punto de la recta, basta unir ste con(a + q, b + p) para graficar la recta.

    62

  • Ejemplo 4.5.Grafique

    15x 10y + 14 = 0.

    63

  • Figura 4.4: 15x 10y + 14 = 0

    64

  • Rectas

    Paralelas y perpendiculares

    65

  • Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:

    m1 = m2.

    Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes satisfacen laecuacin;

    m1m2 = 1.

    66

  • Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:

    m1 = m2.

    Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes satisfacen laecuacin;

    m1m2 = 1.

    66

  • Ejemplo 4.6.Determine si la recta que pasa por los puntos A y B esparalela, perpendicular o ninguna de las opciones anteriores ala recta que pasa por los puntos C y D :

    1 A(2, 4), B(3, 8); C(5, 1), D(4,3).2 A(2,3), B(4, 5); C(0,1), D(4,4).3 A(1, 9), B(4, 0); C(0, 6), D(5, 3).4 A(8,1), B(2, 3); C(5, 1), D(2,1).

    67

  • Ejemplo 4.7.Escriba la ecuacin de la recta que pasa por el punto (5, 6) yque es paralela a la recta

    3x 4y = 5.

    68

  • Escriba la ecuacin de la recta que pasa por el punto (4, 6) yque es perpendicular a la recta

    2x y = 8.

    69

  • Escalamiento y reflexin

    70

  • En las seccin anteriores, hemos considerado cambios decoordenadas:

    y = f(x h) + k

    es la misma grfica que y = f(x), pero desplazada h unidadeshorizontalmente y k unidades verticalmente.

    71

  • Para finalizar consideraremos las siguientes transformaciones:El escalamiento y la reflexin.

    72

  • La grfica y = m f(x) es similar a la grfica y = f(x) peroexpandida si |m| > 1contrada si |m| < 1;adems si m < 0, la grfica se refleja verticalmente.

    73

  • Figura 5.1: y = mx2

    74

  • Figura 5.2: y = mx

    75

  • Figura 5.3: y = mx

    76

  • Figura 5.4: y =

    mx

    77

  • Ecuaciones linales

    78

  • Mtodo de solucin

    mx + b = c mx = c b

    x = c bm

    79

  • Ejemplo 6.1.Cecilia recibi $435.00 una semana por trabajar 52 horas. Supatrn paga 1.5 = 150 % cada hora extra, por encima de las40 horas semanales. Con esta informacin, determine el pagopor hora regular de Cecilia.

    80

  • Definicin 6.1.El inters generado por una inversin P, a una tasa de intersr en un tiempo t esta dado por

    I = Prt (6.1)

    81

  • Ejemplo 6.2.Una inversionista con $70, 000 decide colocar parte de sudinero en bonos corporativos que pagan 12 % anual, y el restoen un Certificado de Depsito que paga 8 % anual. Si elladesea obtener una ganacia total del 9 % anual, cunto debecolocar en cada inversin?

    82

  • Definicin 6.2.Si un objeto se mueve a una velocidad media v, la distancia scubierta en el tiempo t est dada por la frmula

    s = vt. (6.2)

    83

  • Ejemplo 6.3.Un amigo de usted, quien es corredor de distancia, corre a unavelocidad media de 8 millas por hora. Dos horas despus deque su amigo inicia una carrera desde su casa, usted sale en suautomovil y sigue la misma ruta que su amigo a un velocidadde 40 millas por hora. Cunto tiempo tardar en darle alcancea su amigo? ?A qu distancia estarn entonces de la casa?

    84

  • Ejemplo 6.3.Un amigo de usted, quien es corredor de distancia, corre a unavelocidad media de 8 millas por hora. Dos horas despus deque su amigo inicia una carrera desde su casa, usted sale en suautomovil y sigue la misma ruta que su amigo a un velocidadde 40 millas por hora. Cunto tiempo tardar en darle alcancea su amigo? ?A qu distancia estarn entonces de la casa?

    84

  • Ejemplo 6.3.Un amigo de usted, quien es corredor de distancia, corre a unavelocidad media de 8 millas por hora. Dos horas despus deque su amigo inicia una carrera desde su casa, usted sale en suautomovil y sigue la misma ruta que su amigo a un velocidadde 40 millas por hora. Cunto tiempo tardar en darle alcancea su amigo? ?A qu distancia estarn entonces de la casa?

    84

  • Ejemplo 6.4.Un bote de motor avanza ro arriba una distancia de 24 millasen un ro cuya corriente fluye a 3 millas por hora. El viaje deida y vuelta es de 6 horas. Suponiendo que el bote mantieneuna velovidad constante relativa al agua, cul es suvelocidad?

    85

  • Ejemplo 6.4.Un bote de motor avanza ro arriba una distancia de 24 millasen un ro cuya corriente fluye a 3 millas por hora. El viaje deida y vuelta es de 6 horas. Suponiendo que el bote mantieneuna velovidad constante relativa al agua, cul es suvelocidad?

    85

  • 86

  • Ecuaciones de segundo grado

    87

  • Una funcin cuadrtica es de la forma

    f(x) = ax2 + bx + c;

    su grfica se llama parbola.

    88

  • Figura 7.1: y = x2 4x + 7

    89

  • Ecuaciones de segundo grado

    Complemento de cuadrados

    90

  • Cualquier funcin cuadrtica se puede reescribir en la forma

    f(x) = a(x h)2 + k,

    por el mtodo de complementos de cuadrado.

    91

  • El punto (h, k) se llama vrtice, y corresponde al extremo dela parbola

    y = a(x h)2 + k.

    92

  • La frmula para encontrar el vrtice de la parbolay = f(x) = ax2 + bx + c esh =

    b

    2ak = f(h).

    93

  • Para completar el cuadrado, podemos usar el mtodo dedivisin sinttica:

    h a b c

    +ah . . .a . . . k

    94

  • Ejemplo 7.1.Complete el cuadrado de

    y = x2 4x + 7.

    95

  • Ejemplo 7.2.Complete el cuadrdo de

    y = 3x2 + 30x + 63.

    96

  • Ecuaciones de segundo grado

    Intersecciones con los ejes

    97

  • Las races de un polinomio p(x) son aquellos nmeros reales rtales que p(r) = 0.

    98

  • Para encontrar las races de una polinomio cuadrtico,necesitamos resolver la ecuacin de segundo grado

    a(x h)2 + k = 0.

    99

  • Si r es una raz de p(x) = a(x h)2 + k, entonces la parbolay = a(x h)2 + k cruza al eje x en el punto (r, 0).

    100

  • Observacin 7.1.Si k > 0, entonces a(x h)2 + k > 0 y por tanto no existenraces. Por lo tanto, la parbola y = a(x h)2 + k nuncacruza el eje x.

    101

  • Ejemplo 7.3.Determine si existen races de

    y = x2 4x + 7,

    102

  • Ecuaciones de segundo grado

    Diferencia de cuadrados

    103

  • Una identidad que es muy til al momento de resolverecuaciones es la diferencia de cuadrados

    (a b) (a + b) = a2 b2.

    104

  • Una ecuacin de la forma

    z2 c2 = 0

    se puede reescribir como

    (z c) (z + c) = 0...

    ...en cuyo caso tenemos que z c = 0 o z + c = 0, y portanto las soluciones son

    z = c.

    105

  • Una ecuacin de la forma

    z2 c2 = 0

    se puede reescribir como

    (z c) (z + c) = 0...

    ...en cuyo caso tenemos que z c = 0 o z + c = 0, y portanto las soluciones son

    z = c.

    105

  • Ejemplo 7.4.Encuentre las races de

    y = 3x2 + 30x + 63.

    106

  • 107

  • Ecuaciones de segundo grado

    Ejemplos

    108

  • Ejemplo 7.5.Resuelva las siguientes ecuaciones

    1 x2 40 = 92 2x2 400 = 03 x2 + 36 = 9 2x2

    109

  • Ejemplo 7.6.Resuelva las siguientes ecuaciones

    1x

    16 =4x

    2y2

    3 =y2

    6 + 2

    110

  • Ejemplo 7.7.Resuelva la siguiente ecuacin

    1 2x3 x =

    x 23x 1 .

    111

  • Ejemplo 7.8.Resuelva la siguiente ecuacin

    12x 1

    12x + 1 =

    14 .

    112

  • Ejemplo 7.9.Resuelva la siguiente ecuacin

    x 2xx + 1 =

    5x + 1 1.

    113

  • Ejemplo 7.10.

    Encuentre las races de los siguientes polinomios

    1 7x2 5x2 x2 5x + 63 3x2 + 2x 54 x2 4x + 4

    114

  • Ejemplo 7.11.

    Encuentre las races de los siguientes polinomios

    1 x2 6x 22 3x2 5x + 1 = 03 4x2 6x + 3

    115

  • Ecuaciones de segundo grado

    Factorizacin

    116

  • Si un polinomio p(x) = ax2 + bx + c tiene races r1, r2

    diferentes, entonces podemos factorizar de la siguiente manera

    p(x) = a(x r1) (x r2) .

    117

  • Si el polinomio se puede escribir como

    p(x) = a(x h)2 c2,

    podemos utilizar la diferencia de cuadrados y factorizar como

    p(x) = a (x h c) (x h + c) .

    118

  • Si un polinomio p(x) = ax2 + bx + c tiene una nica ra r1,entonces podemos factorizar de la siguiente manera

    p(x) = a (x r1)2 .

    119

  • Ejemplo 7.12.Factorice los polinomios del ejercicio 7.10.

    120

  • Ejemplo 7.13.Factorice los polinomios del ejercicio 7.11.

    121

  • Ecuaciones de segundo grado

    Aplicaciones

    122

  • Ejemplo 7.14.

    Encuentre dos nmeros positivos sabiendo que uno de ellos esigual al triple del otro ms 5 y que el producto de ambos esigual a 68.

    123

  • Ejemplo 7.15.

    Encuentre un nmero sabiendo que la suma del triple delmismo con el doble de su recproco es igual a 5.

    124

  • Ejemplo 7.16.

    Encuentre las dimensiones de un rectngulo cuto permetro esde 50 pies y rea es de 150 pies cuadrados.

    125

  • Ejemplo 7.17.

    La hipotenusa de un tringulo es igual a 34 pulgadas.Encuentre las longitudes de los catetos sabiendo que uno deellos es 14 pulgadas mayor que el otro.

    126

  • Ejemplo 7.18.

    Las dimensiones exteriores de un marco de fotografa son 12por 15 pulgadas. Sabiendo que el ancho permanece constante,encuentre su valor a) cuando la superficie de la fotografa esde 88 pulgadas y b) cuando dicha superficie vale 100 pulgadascuadradas.

    127

  • Ejemplo 7.19.

    Un piloto realiza un vuelo de 600 millas. Sabiendo que siaumenta la velocidad en 40 millas/hora podra recorrer dichadistancia empleando 30 minutos menos, encuentre la velocidadpromedio.

    128

  • Ejemplo 7.20.

    Un comerciante compra determinado nmero de camisas por$180 y las vende todas menos 6 con una ganancia de $2 encada camisa. Sabiendo que con el dinero recaudado en laventa podra haber comprado 30 camisas ms que antes,calcule el precio de cada camisa.

    129

  • Ejemplo 7.21.

    Dos operarios A y B juntos, realizan una tarea en 10 das.Trabajando por separado, A tardara 5 das ms que B.Encuentre el nmero de das que tardaran en hacer la tareatrabajando cada no por s slo.

    130

    EncuadrePresentacinDefiniciones y ejemplosSistema de coordenadas rectangularesDesplazamientos horizontalesDesplazamientos verticalesCambio de coordenadas

    RectasParalelas y perpendiculares

    Escalamiento y reflexinEcuaciones linalesEcuaciones de segundo gradoComplemento de cuadradosIntersecciones con los ejesDiferencia de cuadradosEjemplosFactorizacinAplicaciones