MATH1500 - Funciones Trigonométricas

Funciones Trigonométricas

MATH1500

Ángulos y Sus Medidas

• Ángulos

– Un ángulo es determinado al rotar un rayo sobre su extremo.

– La posición inicial del rayo se conoce como el lado inicial del ángulo y la posición del rayo después de la rotación es el lado terminal.

lado inicialvértice


• Ángulos– Cuando colocamos un ángulo en un sistema coordenado y su

vértice está en el origen y el lado inicial está en el eje positivo de x, decimos que ese ángulo está en posición estándar.

– Los ángulos positivos son generados por rotaciones en contra del reloj, mientras que los ángulos negativos son a favor del reloj.

x

y

ángulo positivo

ángulo negativo


• Ángulos– Los ángulos son nombrados con letras griegas tales como

α, β y θ, también con letras mayúsculas tales como A, B y C.

– En la siguiente figura los ángulos α y β tienen el mismolado inicial y terminal; estos ángulos son llamados ánguloscoterminales.

x

y

x

y

α

β

α

β

Medida en Grados

• La medida de un ángulo está determinada por la cantidad de rotación desde el lado inicial al lado terminal.

• La unidad más común de medida de ángulos es el grado, denotado por el símbolo °.

Encontrando Ángulos Coterminales

• Encuentra dos ángulos coterminales (uno positivo y uno negativo) para:

a) θ = 390°

b) θ = -120°

Ángulos Complementarios y Suplementarios

• Dos ángulos positivos α y β son complementarios si su suma es 90°. Dos ángulos positivos α y β son suplementarios sisu suma es 180°.

• Si es posible, encuentra el complemento y el suplemento de:

a) 72°

b) 148°

Medida en Radianes

• Un radián (rad) es la medida de un ángulo central θ que intercepta un arco s igual en longitud al radio r del círculo.

Medida en Radianes

• La medida en radianes de un ángulo central θse obtiene dividiendo el largo de arco s por r.

s

r

Encontrando Ángulos

• Encuentra cada ángulo.

a) El complemento de θ = π/12

b) El suplemento de θ = 5π/6

c) Un ángulo coterminal a θ = 17π/6

Conversión de Medidas de Ángulos

• Convierte las siguientes medidas a radianes.a) 135°

b) -270°

• Convierte las siguientes medidas a grados.a) -π/2 rad

b) 2 rad

radPara convertir grados a radianes, multiplica los grados por .

180

180Para convertir radianes a grados, multiplica los radianes por .

rad

Trigonometría del Triángulo Recto

θ

Lado adyacente a θLa

do

op

ues

to a

θ

opuestosin

hipotenusa

adyacentecos

hipotenusa

opuestotan

adyacente

hipotenusacsc

opuesto

hipotenusasec

adyacente

adyacentecot

opuesto

Evaluando Funciones Trigonométricas

• Utilizando la figura provista encuentra el valor exacto de las seis funciones trigonométricas de θ.

4

3

θ

Senos, Cosenos y Tangentes de Ángulos Especiales

1sin30 sin

6 2

3cos30 cos

6 2

3tan 30 tan

6 3

2sin 45 sin

4 2

2cos 45 cos

4 2

tan 45 tan 1

4

3sin 60 sin

3 2

1cos60 cos

3 2

tan 60 tan 3

3

Identidades Trigonométricas• Identidades Recíprocas

• Identidades Cocientes

• Identidades Pitagoreanas

• 1

1sin

csc

1cos

sec

1tan

cot

1csc

sin

1sec

cos

1cot

tan

sintan

cos

coscot

sin

2 2

2 2

2 2

sin cos 1

tan 1 sec

1 cot csc

Aplicando Identidades Trigonométricas

• Sea θ un ángulo agudo tal que cos θ = 0.8. Encuentra el valor de:

a) sin θ

b) tan θ

Utilizando IdentidadesTrigonométricas

• Utiliza identidades trigonométricas paratransformar un lado de la ecuación en el otro.

a) cos θ sec θ = 1

b) (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1

Aplicaciones que Envuelven Triángulos Rectos

• Un agrimensor está parado a 50 pies de la base de un árbol. El agrimensor mide el ángulo de elevación al tope del árbol la cual es 71.5°. ¿Cuán alto es el árbol?

50 ft71.5°

Aplicaciones que Envuelven Triángulos Rectos

• Te encuentras a 200 m de un río. En lugar de caminar directamente hacia el río, caminas 400 m por una vereda que te lleva a la orilla del río. Encuentra el ángulo entre la vereda y el borde del río.

x

y

(x, y)

θ

Funciones Trigonométricas de Cualquier Ángulo

2 2

Sea un ángulo en posición estándar con , un

punto en el lado terminal de y 0.

x y

r x y

r

sin

cos

tan

y

r

x

r

y

x

csc

sec

cot

r

y

r

x

x

y


• Sea (-3, 4) un punto en el lado terminal de θ. Encuentra el seno, coseno y tangente de θ.

• Sea (12, -5) un punto en el lado terminal de θ. Encuentra el seno, coseno y tangente de θ.

Signos de las Funciones Trigonométricas

x

y

Cuadrante I

sin :

cos :

tan :

Cuadrante II

sin :

cos :

tan :

Cuadrante III

sin :

cos :

tan :

Cuadrante IV

sin :

cos :

tan :


21) Dado que sin y que tan 0, encuentra el valor

3

de las seis funciones trigonométricas.

152) Dado que tan y que sin 0, encuentra el valor

8

de las seis funciones trigonométricas.

Ángulos de Referencia

• Sea θ un ángulo en posición estándar. Su ángulo de referencia es el ángulo agudo θ’ formado por el lado terminal de θ y el ejehorizontal.

• Encuentra el ángulo de referencia para los ángulos dados1. θ = 300°

2. θ = 2π/3

3. θ = -135°

Evaluando Funciones Trigonométricas de Cualquier Ángulo

• Para encontrar el valor de una función trigonométrica de cualquier ángulo θ:1. Determina el valor de la función para el ángulo asociado de

referencia.

2. Dependiendo del cuadrante donde θ descansa, coloca el signoapropiado al valor de la función.

(grados) 0 30 45 60 90 180 270

(radiannes) 0 6

4

3

2

3

2

sin 0 1

2

2

2

3

2 1 0 1

cos 1 3

2

2

2

1

2 0 1 0

tan 0 3

3 1 3 Indef. 0 Indef.

El Círculo Unitario

-1 1

-1

1

x

y

0

2

3

2


-1 1

-1

1

x

y

0

2

3

2

4

3

4

5

4

6

4


-1 1

-1

1

x

y

0

2

3

2

4

3

4

5

4

6

4

6

3

2

3

5

6

7

6

4

3

5

3

11

6


-1 1

-1

1

x

y

0

2

3

2

4

3

4

5

4

6

4

6

3

2

3

5

6

7

6

4

3

5

3

11

6

1,0

0,1

1,0

0, 1

3 1,

2 2

2 2,

2 2

1 3,

2 2

3 1,

2 2

2 2,

2 2

1 3,

2 2

3 1,

2 2

2 2,

2 2

1 3,

2 2

1 3,

2 2

2 2,

2 2

3 1,

2 2

Funciones Trigonométricas de Ángulos No Agudos

• Evalúa cada función trigonométrica.

41) cos

3

2) tan 210

113) csc

4

Utilizando Identidades Trigonométricas

11) Sea un ángulo en el Cuadrante II tal que sin .

3

Encuentra cos y tan .

52) Sea un ángulo en el Cuadrante IV tal que csc .

8

Encuentra sec y cot .

π/2 π 3π/2 2π

-1

-0.5

0.5

1

x

y

Gráficas de las Funciones Seno y Coseno

sinf x x

Periodo: 2π

Gráficas de las Funciones Seno y Coseno

π/2 π 3π/2 2π

-1

-0.5

0.5

1

x

y

cosf x x

Periodo: 2π

Amplitud y Periodo de las Curvas de Seno y Coseno

siny a bx c d

cosy a bx c d


La amplitud de

sin y cos

representa la mitad de la distancia entre los valores

máximos y mínimos de la función y está dada por

Amplitud .

y a x y a x

a

π/2 π 3π/2 2π

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

2si

s

1n

i

i

n

s2

ny x

y x

y x


La amplitud de

sin y cos



Amplitud .

y a x y a x

a

π/2 π 3π/2 2π

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

2si

s

1n

i

i

n

s2

ny x

y x

y x


La amplitud de

sin y cos



Amplitud .

y a x y a x

a

π/2 π 3π/2 2π

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

2si

s

1n

i

i

n

s2

ny x

y x

y x


Sea un número positivo real. El periodo de sin

y cos está dado por

2 Periodo .

b y a bx

y a bx

b

π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π

-1

-0.5

0.5

1

x

y

sin 2

n

2

i

n

s

si

y x

y

y x

x




2 Periodo .

b y a bx

y a bx

b

π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π

-1

-0.5

0.5

1

x

y

sin 2

n

2

i

n

s

si

y x

y

y x

x




2 Periodo .

b y a bx

y a bx

b

π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π

-1

-0.5

0.5

1

x

y

sin 2

n

2

i

n

s

si

y x

y

y x

x

Translaciones de las Curvas Seno y Coseno

Las gráficas de sin y cos

tienen las siguientes características. (Asume que 0)

2 Amplitud Periodo

Los extremos izquierdos y derechos de un intérvalo de

un ciclo pueden ser de

y a bx c y a bx c

b

ab

terminados resolviendo las

ecuaciones 0 y 2 .bx c bx c


1Analiza la gráfica de sin .

2 3

Analiza la gráfica de 3cos 2 4 .

y x

y x


Una translación vertical es causada por la constante

en las ecuaciones

sin y cos

La translación es unidades hacia arriba si 0

y unidades hacia abajo si 0.

d

y a bx c d y a bx c d

d d

d d

Analiza la gráfica de 3cos2 2y x

Encontrando la Ecuación para una Gráfica

• Encuentra la amplitud, periodo y cambio de fase de la función seno, cuya gráfica se presenta. Escribe una ecuación para esta gráfica.

-π/2 π/2 π 3π/2

-2

-1

1

2

x

y

Funciones Trigonométricas Inversas

La función seno inverso esta definida por

arcsin si y solamente si sin

donde 1 1 y 2 2. El dominio

de arcsin es 1,1 y el alcance es 2, 2 .

y x y x

x y

y x


1

1

Si es posible, encuentra el valor exacto.

1a. arcsin

2

3b. sin

2

c. sin 2


Función Dominio Alcance

arcsiny x si y solamente si sin y x 1 1x 2 2

y

arccosy x si y solamente si cos y x 1 1x 0 y

arctany x si y solamente si tan y x x 2 2

y


1

1

Encuentra el valor exacto.

2a. arccos

2

b. cos 1

c. arctan 0

d. tan 1

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