5.1.1 Notai Sigma5.1.1 Notasi Sigma

MODUL BELAJAR

BAB 5. INTEGRAL TENTUSubbab 5.1 Notasi Sigma, Jumlah Riemann dan Integral Tentu

• Notasi sigma adalah notasi yang digunakan untuk menyatakan penjumlahan secara singkat.

• Dinotasikan dengan ∑i=1

n

u i

dimana, i= bilangan bulat, yang dimulai dari bilangan dibawah notasi sigma dan berakhir pada bilangan di atas notasi sigma.

Contoh:

1. Tentukan nilai dari ∑i=1

4

i !

Penyelesaian :

∑i=1

4

i=1+2+3+4 =....

2. Tentukan nilai dari ∑i=1

4

i2 !

Penyelesaian :

Jika ∑i=1

4

i2=1+22+…+…=

3. Tentukan nilai dari ∑i=1

4

(2 i+1)!

Penyelesaian :

4. Tentukan nilai dari ∑i=1

5

( i2 )!Penyelesaian :

5.1.1 Notai Sigma5.1.2 Jumlah Riemann

5. Nyatakanlah bentuk jumlah berikut ke dalam notasi sigma:a. a1+a2+a3+a4

b. 2.1+2.2+2.3+2.4+2.5c. 1+4+9+16+25+36+49

Penyelesaian:

Mengamati 5.1.2.1

`

Bagaimanakah cara menentukan luas daerah daun?

Sebelum menentukan luas daerah daun, maka amati terlebih dahulu amati dua gambar berikut.

Gambar a.

Berapakah luas daerah poligon dibawah ini?

Jika poligon diatas dibagi menjadi beberapa segitiga seperti dibawah ini maka luas daerah poligon (A) tersebut adalah A= A1+A2+...+...+....

KESIMPULAN: Jika menghitung luas daerah yang tidak berarturan maka harus mempartisi/membagi luas daerah tersebut menjadi beberapa bagian yang dapat dihitung luasnya.

Gambar b.

Berikut adalah membandingkan luas poligon terhadap luas lingkaran. Bagaimana luas poligon terhadap luas lingkaran?

Kembali pada menentukan luas daerah daun.

Misalkan batas tinggi pada daun diwakili oleh grafik fungsi f(x) pada interval [0,a] dengan partisi (bagian) sebanyak 8 persegi panjang, sehingga diperoleh sketsa sebagai berikut:

KESIMPULAN: Semakin kecil partisi poligon maka

Berdasarkan gambar diatas didapat bahwa luas masing-masing persegi panjang yang terbentuk adalah

A1=f (x1)∆ x1

A2=f (x2 )….

A3=…

A4=…

A5=…

A6=…

A7=…

A8=…

Berdasarkan konsep sigma terkait luas tiap-tiap persegi panjang dengan panjang f (x i )dan lebar ∆ x i, maka luas total dari keseluruhan persegi yang terbentuk adalah

A1+A2+...+A8= f (x1 )∆ x1+ f (x2 )∆ x2+……..+……..+……..+……+…… ..+…… ..

¿∑i=1

8

f (x i)∆ x i

LATIHAN

1. Misalkan diketahui suatu fungsi f(x)=x pada interval [0,3], tentukan jumlah Riemann dengan menggunakan 6 subinterval sama panjang dan titik ujung kanan subinterval sebagai titik wakil tiap-tiap subinterval.

1. Untuk dapat menetukan jumlah Riemann fungsi f(x)=x dengan 6 subinterval pada selang [0,3].

a. Buat grafik f(x)=x.Interval dari [0,3]x f(x)=x0 01 12 23 3

b. Jika selangnya [0,3] maka untuk setiap

KESIMPULAN:

Selanjutnya nilai ∑i=1

n

f (x i)∆ x i disebut Jumlah Riemann fungsi f(x), dengan x iadalah titik wakil

(titik yang bersentuhan dengan kurva) pada interval ke-i dan ∆ x ilebar interval ke-i dan n banyak subinterval.

selang memiliki lebar subinterval

∆ x i=3−0

6=0,5

c. Perhatikan titik wakil (titik yang mengenai kurva)

d. Lalu bagi menjadi 6 subinterval

Dengan demikian didapat bahwa tinggi dari masing masing subinterval adalah,1. f (x¿¿1)=f (0,5 )=0,5¿2. f (x¿¿2)= f (1 )=¿¿3. f (x¿¿3)=f (1,5 )=¿¿4. f (x¿¿4)=…¿5. f (x¿¿5)=…¿6. f (x¿¿6)=…¿

Jadi jumlah Riemannn dari f(x)=x pada interval [0,3] dengan 6 subinterval adalah nilai

∑i=1

6

f (x i)∆x i=f (x1) ∆x1+ f (x2 )∆ x2+…+…+…+…=¿

2. Misalkan diketahui jumlah Riemann fungsi f (x)=x2 pada interval [0,3], tentukan jumlah Riemann dengan menggunakan 6 subinterval sama panjang dan titik ujung kanan subinterval sebagai titik wakil tiap-tiap subinterval.

a. Buat grafik f (x)=x2.X f (x)=x2

0 01 ...2 43 ...

b. Jika selangnya [0,3] maka untuk setiap selang memiliki lebar subinterval

∆ x i=3−0

6=0,5

c. Perhatikan titik wakild. Lalu bagi menjadi 6 subinterval

Dengan demikian didapat bahwa tinggi dari masing masing subinterval adalah,

1. f (x¿¿1)=…¿2. f (x¿¿2)=…¿3. f (x¿¿3)=…¿4. f (x¿¿4)=…¿5. f (x¿¿5)=…¿6. f (x¿¿6)=…¿

Jadi jumlah Riemannn dari f(x)=x pada interval [0,3] dengan 6 subinterval adalah

∑i=1

6

f (x i)∆ x i=…+…+…+…+…+…=¿

3. Tentukan jumlah Riemann dari fungsi yang diperlihatkan oleh gambar berikut.

4. Sketsakan fungsi g ( x )=x−1pada interval [-1,2] memakai 6 subinterval dan titik tengah subinterval sebagai titik wakilnya. Tentukan jumlah Riemannya.

5. Tentukan jumlah Riemann fungsi f ( x )=−x2+x pada interval [-2,0] dengan menggunakan 4 subinterval dengan lebar sama panjang dan titik-titik ujung kiri subinterval sebagai titik awalnya.

a. Buat grafik f ( x )=x−1.

X f ( x )=x−1-1 -20 -11 02 1

b. Jika selangnya [-1,2] maka untuk setiap selang memiliki lebar subinterval

∆ x i=2− (−1 )

6=3

6=0,5

c. Perhatikan titik wakild. Lalu bagi menjadi 6 subinterval

Dengan demikian didapat bahwa tinggi dari masing masing subinterval adalah,

1. f (x¿¿1)= f (−0,75)=0,25¿2. f (x¿¿2)= f (−0,25)=1¿3. f (x¿¿3)=f (0,25)=2,25 ¿4. f (x¿¿4)=f ¿¿)=45. f (x¿¿5)=f (1,25 )=6,25¿6. f (x¿¿6)=f (1,75 )=9¿

Jadi jumlah Riemannn dari f(x)=x pada interval [0,3] dengan 6 subinterval adalah

∑i=1

6

f (x i)∆ x i= f (x1) ∆x1+ f (x2 )∆ x2+ f (x3 )∆ x3+ f (x4 )∆ x4+ f (x5 )∆ x5+ f (x6 ) ∆x6=¿0,25.

(0,5)+1(0,5)+2,25(0,5)+4(0,5)+6,25(0,5)+9(0,5)

=0,125+0,5+1,125+2+3,125+4,5=11,375satuan luas