1

2n de Batxillerat

jvsirerol

MOVIMENT  HARMÒNIC  SIMPLE

2

INTRODUCCIÓ Equilibri estable i moviment oscil·latori Ja saps que un objecte, que podem considerar puntual, és troba en equilibri estàtic quan la suma de forces que actuen sobre ell donen zero:

Condició d’equilibri estàtic, v=0, per una partícula puntual: 𝐹! = 0            ⇔        𝑎 = 0 Si en lloc de ser una partícula puntual es tracta d’un sistema material macroscòpic, estarà en equilibri estàtic si, a més, es compleix una segona condició. La suma dels possibles moments que creïn les forces que actuen sobre el cos també doni zero.

𝑀! 𝐹! = 0 Pel que fa a aquest tema, ja ens és suficient considerar que el nostre cos es comporta com una partícula puntual.

Així considerem una partícula puntual que es troba inicialment en equilibri estàtic. La suma de forces sobre el cos és nul·la. En aquest cas hi ha dues possibilitats:

• Equilibri Inestable: En aquest cas, si desplacem lleugerament el cos de la seva posició inicial, el cos perd la seva condició d’estar en equilibri.

En les imatges de dalt tens tres exemples d’equilibri inestable. Qualsevol pertorbació pot fer caure l’objecte. NO és aquest el cas que estudiarem.

• Equilibri Estable: Per contra, en el cas de l’equilibri estable, quan pertorbem la posició del cos, aquest retorna cap la posició d’equilibri i, si no hi ha fricció, el cos oscil·larà al voltant de la seva posició d’equilibri inicial. De fet, podem dir que tot cos que tengui una posició d’equilibri estable pot realitzar oscil·lacions al voltant d’aquesta posició. En la nostre vida quotidiana tenim molts exemples de situacions d’aquest tipus, un suro en el mar, cada punt d’una corda de guitarra, les suspensions dels cotxes, un cable tensor o qualsevol altre cosa tal i com us mostren les figures que teniu a continuació. També hi ha

3

altres situacions d’aquest tipus en el món microscòpic i que no són visibles. Per exemple: les oscil·lacions de les molècules de l’aire quan els arriba una ona de so, o les vibracions dels electrons quan estan sotmesos a l’acció d’una ona electromagnètica.

En tots els cassos que mostra la figura, si pertorbem la posició inicial de l’objecte, aquest començarà a oscil·lar al voltant de la seva posició d’equilibri. Això és el que volem estudiar en aquest tema. Volem saber com es mouen cadascun dels cossos quan els separem de la posició d’equilibri i els deixem anar, quedant així baix l’acció de la força d’una molla o de la força de la gravetat i la tensió d’un fil, ... . També saber la velocitat i l’acceleració que tindran en qualsevol instant i l’energia que emmagatzema el sistema quan realitza aquest tipus de moviment oscil·latori.

Per a contestar les qüestions anteriors el que necessitem saber és com són les forces que actuen dins el sistema i que provoquen aquest tipus de moviment. Per veure com són aquestes forces començarem per estudiar el cas d’una molla horitzontal tal i com mostra la figura de la dreta. En ella es representen cinc situacions. En la primera la molla està totalment comprimida per l’acció de una força externa gran. En la segona també està comprimida i la força que cal fer és més petita. En la tercera posició la molla no fa força ni actua cap força externa sobre ella, en aquest cas direm que la molla està en la posició d’equilibri. Finalment en la quarta i cinquena posicions la molla està estirada per l’acció de la força externa que es mostra en el dibuix.

4

En el gràfic de dalt es representa amb una línia de punts la força externa que cal fer en cada cas. Quan les deformacions de la molla no són molt grans la línia de punts, que representa la força externa que cal fer sobre la molla, s’ajusta a la línia recte vermella que passa per l’origen. Així, quan les deformacions són petites, l’equació que ens dóna el valor de la força externa en funció de la deformació de la molla té un aspecte senzill, és l’equació d’una recta que passa per l’origen.

𝐹!"#!$%& = 𝑘 · 𝑥 Si considerem que en la deformació de la molla no hi ha acceleracions i que el procés és casiestàtic, llavors segur que, en tot instant, la força que fa la molla és exactament igual i de sentit contrari a la força externa. Això és: 𝐹!"##$ = −𝑘 · 𝑥 On “k” és una constant que tindrà unitats de “ N/m” i és característica del material amb què està feta la molla. Com més gran és “k”, més costa deformar la molla, és més dura. Fixa’t que la força que fa la molla sempre té signe i, per tant, sentit contrari al desplaçament de la massa. En el dibuix es representen les forces que fa la molla en cada cas. La força és de sentit contrari al desplaçament. Per deformacions petites, valors propers a x=0, la força restauradora de la molla augmenta linealment amb la deformació. Llavors es diu que el material compleix la Llei de Hooke. Aquesta llei es compleix, o és una bona aproximació, en tots els exemples que hem exposat anteriorment sempre que els desplaçaments respecte de la posició d’equilibri siguin petits. La Llei de Hooke també es compleix en materials com els pilars de construcció, tirants de ferro i multitud d’altres materials que també requereixen esforços lineals quan les deformacions són petites. En l’estudi de materials, la llei de Hooke és fonamental. A1. Fes una representació gràfica de la força que fa la molla per a petites deformacions. És a dir representa la funció 𝐹 = −𝑘 · 𝑥. Robert Hooke: Va néixer en Freshwater, Anglaterra, en 1635. És considerat un dels millors científics experimentals de la història, polemista i geni creatiu. Treballà en els camps de la biologia, medicina, física planetària, deformació de sòlids, microscòpia, nàutica i arquitectura. Participà en la creació de la primera societat científica, la Royal Society de Londres. Va tenir importants polèmiques amb Newton sobre la paternitat de Llei de la Gravitació Universal. Morí a Londres en 1703.

Força que fa la molla

5

Moviments periòdics Ara enganxem una massa “m” a un extrem de la molla i l’altre extrem l’enganxem a una paret o un lloc inamovible. Tot el sistema es troba sobre una superfície horitzontal sense fricció i en repòs. Suposem que estirem lleugerament la molla una distància “x”, com mostra el dibuix. En arribar a aquest punt, deixem d’aplicar la força externa, la massa “m” tan sols estarà sotmesa a la força de la molla i la massa oscil·larà al voltant de la posició d’equilibri “x=0” entre “ +x” i ” –x” i ho farà de forma indefinida si sobre el sistema no actuen forces dissipatives, forces de fricció. És a dir, la massa “m” realitzarà un moviment periòdic, ja que es tracta d’un moviment que, en intervals iguals de temps, repeteix la mateixa situació cinemàtica. Què caracteritza els moviments periòdics?

− El PERÍODE, T : és el temps que transcorre entre una situació qualsevol i la seva repetició. En el Sistema Internacional d’Unitats, SI, la seva unitat és el segon, T(s), però es pot utilitzar qualsevol altra unitat de temps.

− FREQÜÈNCIA, f : és el nombre de cicles, o oscil·lacions complertes, que es produeixen cada unitat de temps. Les unitats en el SI, són: cicles/segon = Hz , Hertz. Com el cicle no és una unitat operativa, són adimensionals, la unitat es queda en “ s-1 ”.

El període i la freqüència, són invers un de l’altre.  𝑇 = !!

A2. Tenim una bola en el fons d’una palangana parabòlica. Separem la bola de la seva posició d’equilibri i la deixem anar. La bola oscil·la al voltant de la seva posició inicial i tarda 0,8 s en anar des del punt més alt a passar per la posició d’equilibri. Calcula el seu període i la seva freqüència. A3. Creus que el moviment del planetes són moviments periòdics? Quin és el període de la Terra? I la seva freqüència?. A4. Una rentadora acaba el seu programa de rentat centrifugant la roba banyada. Ho fa a 1000 rpm (revolucions per minut). Calcula la seva freqüència i el seu període en el SI. Moviment Harmònic Simple, MHS. Tornem al cas de la massa lligada a la molla sobre una superfície horitzontal sense fricció. Imagina la massa “m” en moviment, baix l’acció de la força de la molla. Saps que la massa realitza un moviment periòdic i que la seva posició, que rep el nom d’elongació, va canviant en el temps, per tant, la posició vindrà donada per una funció del tipus 𝑥 𝑡 (En els cursos passats ja has vist funcions d’aquest tipus com el moviment uniforme o el uniformement accelerat).

Fx = −Kx: llei de Hooke

Aquest sistema estable respon amb una força de recuperació quan es separa de la posició d’equilibri

Equació diferencial característica del MHS

amplitud fase

solució

Un MHS és aquell on l’acceleració (força) és proporcional al desplaçament però en sentit contrari.

sábado 12 de febrero de 2011

6

La força que fa la molla sobre la massa és “ 𝐹!"##$ = −𝑘 · 𝑥(𝑡) ” . On x(t) representa la posició, és adir, l’elongació de la massa, de la massa en cada instant. Per una dimensió la podem reduir a “ 𝐹!"##$ = −𝑘 · 𝑥(𝑡) “. Aquesta força, d’acord amb la segona llei de Newton sempre serà igual a la massa del cos per l’acceleració que tindrà en cada instant. Això és:

𝐹!"##$ = 𝐹! = −𝑘 · 𝑥(𝑡) = 𝑚 · 𝑎 = 𝑚 ·𝑑!𝑥(𝑡)𝑑𝑡!

hem aplicat que l’acceleració és igual a la segona derivada de la funció de la posició

respecte al temps dues vegades, 𝑎 = 𝑑!𝑥(𝑡)𝑑𝑡!. De l’equació anterior deduïm:

𝑚 · !!!(!)!!!

= −𝑘 · 𝑥(𝑡) la reordenem !!!(!)!!!

= − !!· 𝑥(𝑡)

Aquesta equació que hem trobat té per solució funcions, no números, i rep el nom d’equació diferencial. És la condició que ha de complir les funcions de la posició, x(t), per a la massa “m” quan realitza un moviment oscil·latori provocat per una força del tipus:

𝐹! = −𝑘 · 𝑥(𝑡) Ara cercarem, d’una manera senzilla, com ha de ser la funció x(t) per satisfer l’equació diferencial, és a dir, la segona derivada de la funció respecte al temps ha de ser igual a ella mateixa canviada de signe i multiplicada per una constant. Per fer més fàcil trobar la solució, suposarem que la massa “m” i la constant “k” són numèricament iguals (encara que tindran dimensions diferents), llavors “ 𝑘 𝑚 = 1” i l’equació ens queda:

𝑑!𝑥(𝑡)𝑑𝑡! = −𝑥(𝑡)

Ara tan sols cerquem una funció x(t) que quan la derivem dues vegades respecte al temps, ens doni la mateixa funció però canviada de signe. Quines funcions coneixes que tenen aquesta propietat? Ja saps quines són: Ø 𝑥 𝑡 = sin 𝑡            →       !

!!(!)!!!

= −𝑠𝑖𝑛𝑡(𝑡)    

Ø 𝑥 𝑡 = cos 𝑡          →       !!!(!)!!!

= −cos  (𝑡) Recordeu que: 𝑠𝑖𝑛 𝑡 + !

!= 𝑐𝑜𝑠 𝑡 o bé 𝑠𝑖𝑛 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 − !

!

Les funcions trobades són funcions harmòniques i els cossos que es mouen d’acord amb aquestes equacions, que compleixen l’equació diferencial anterior, les direm que realitzen un Moviment Harmònic Simple, MHS.

7

Malgrat tot, això que hem trobat tan sols és una aproximació a la solució que cerquem, ja que aquesta té uns quants falls que anem a solucionar i, així tindrem la solució definitiva:

1. Aquestes funcions tan sols poden oscil·lar entre “+1” i “-1” . És lògic pensar que la massa “m” pugui oscil·lar amb amplitud més grans o més petites que la unitat, per tant, cal multiplicar les solucions trobades per una constant, que direm, A, i així la massa “m” podrà oscil·lar entre “+A” i “-A”.

𝑥 𝑡 = 𝐴 · sin 𝑡               ;                  𝑥 𝑡 = 𝐴 · cos 𝑡    

“A” rep el nom d’Amplitud del moviment.

2. No podem calcular un sinus o cosinus d’una magnitud que té unitats de temps, segons. El que hi ha dintre del parèntesi ha de tenir unitats de radiants. Això fa necessari introduir una nova constant, que multipliqui al temps, i que tengui unitats de “rad/s” a la constant la representarem per “ω”.

𝑥 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡               ;                  𝑥 𝑡 = 𝐴 · cos 𝜔𝑡    

3. Casi tenim la solució, tan sols ens falta un detall. La funció amb sinus, per a t=0s, instant inicial, sempre val zero i la cosinus val 1 i la posició tindria el valor “A”. Ja podeu pensar que hi ha moltes altres possibilitats intermitges. Ho solucionem afegint un angle arbitrari “𝝋𝟎”. Les solucions definitives són:

𝑥 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑!               ;                  𝑥 𝑡 = 𝐴 · cos 𝜔𝑡 + 𝜑!     Les constants “A” i “𝜑!” es determinen imposant les condicions inicials en què es realitza l’experiència. En canvi, la constant “𝜔” la determinen les característiques de la molla i la massa enganxada a ella. La pregunta que et pots fer és: quina de les dues solucions he d’utilitzar? La resposta és que les dues són totalment vàlides, però és recomanable utilitzar aquella que faci “𝜑! = 0” i així la solució resulta més senzilla. A5. Comprova que les dues solucions trobades compleixen l’equació diferencial

𝑑!𝑥(𝑡)𝑑𝑡! = −

𝑘𝑚 · 𝑥(𝑡)

si ho has fet bé hauràs trobat, per exemple per la funció sinus: !

!!(!)!!!

= −𝐴𝜔! sin(𝜔𝑡 + 𝜑!) El compliment amb l’equació diferencial és total si :

8

𝜔! =𝑘𝑚          ⇔        𝜔 =

𝑘𝑚

Com podeu veure la “𝜔 “ tan sols depèn de la constant característica de la molla i de la massa que està lligada a ella. Recorda també, que la “𝜔 “ té unitats de “rad/s” i dóna compte de com canvia l’angle, en radiants, per segon. Podràs dir que en el MHS no hi ha cap angle, tan sols és un moviment vibratori. Tens raó, però es tracta d’un moviment periòdic al igual que el moviment de rotació i una oscil·lació complerta és equivalent a donar una volta complerta, des del punt vista matemàtic. Per tant, tenen la mateixa descripció matemàtica. Identificació de constants en l’equació: 𝑥 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑!

→ Amplitud, A: és la màxima separació que té la massa “m” de la posició de l’equilibri, és l’elongació màxima. Sempre té les mateixes unitats que x(t).

→ La fase, 𝜔𝑡 + 𝜑! : és l’angle de la funció i té unitats de radiants. Mentre que 𝜔 i 𝜑! són constants, el temps va augmentant i canviant el valor de la fase i, per tant, també canvia la posició de la massa “m” en el seu moviment vibratori. El sinus o el cosinus de la fase, sempre és un número adimensional.

→ La Constant de Fase o Fase Inicial, 𝜑!: El seu valor ens determina l’estat inicial, posició, del moviment per a t=0s. És a dir, desplaça les funcions sinus/cosinus cap la dreta o esquerra.

→ La pulsació o freqüència angular, 𝜔: en indica com canvia la fase per unitat de temps. També és important que recordis que radiants no és una unitat operativa i la seva unitat operativa serà “ s-1 “.

→ El període, T: Com ja saps, és el temps necessari per a repetir un mateix estat del moviment. Si aquesta idea l’apliquem a les funcions solució que hem trobat, ens podem demanar: quant ha de canviar l’angle de la fase perquè la funció repeteixi el seu resultat? La resposta és senzilla “ 2𝜋 “. Apliquem-ho a una de les solucions: 𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 2𝜋 = 𝐴 · sin 𝜔 𝑡 + 𝑇 =𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 𝜔𝑇

Això implica que:

𝜔 · 𝑇 = 2𝜋        ⟺    𝑇 = !!!

si substituïm el valor de la pulsació trobem pel període:

𝑇 = 2𝜋𝑚𝑘

Hem trobat que el període, el temps que es tarda en realitzar una oscil·lació complerta, augmenta amb la massa del cos i disminueix quan la constant de la molla augment, és a

9

dir, quan la molla és més dura. Fixa’t que el període no depèn de l’amplitud del moviment. També podem trobar la relació entre la pulsació “𝜔” i la freqüència “f ”. Combinat les equacions:

𝑇 =2𝜋𝜔              𝑖                𝑇 =

1𝑓

trobem: 𝜔 = 2𝜋𝑓

A6. Tenim una molla de constant “k” que està enganxada a una massa “m”. Estirem el sistema fins una distància x=A i el deixem anar en l’instant que posem el cronòmetre en marxa. Si no hi ha fricció, com es mourà el cos? Indica quina de les dues solucions has d’utilitzar de manera que la fase inicial o constant de fase valgui zero. Fes una representació gràfica de la funció “x(t)”. A7. En el gràfic tens representats les funcions x(t) per a dos MHS.

a. Explica en què coincideixen els dos moviments i en què es diferencien, pel que fa a les constants del moviment.

b. Troba el valor d’A, 𝜔    𝑖    𝜑!, de cadascuna.

c. Hi ha dues maneres d’aconseguir, en la funció x(t), que l’amplitud inicial del gràfic blau sigui negatiu. Expliqueu.

d. Escriu les funcions de l’elongació x(t) per a cadascun. A8. La constant de la molla de l’activitat (A6) val k=670N/m i la massa té una massa de 0,8 kg. Calcular el període, la freqüència del moviment, la pulsació angular. Escriu l’equació del moviment si per a t=0s el cos es troba en repòs en el punt de màxima amplitud, x= A= 0,15m. Quant temps tardarà en anar d’un extrem a passar per la posició d’equilibri? Quant tardarà en fer una oscil·lació complerta?. A9. Un cos d’1,6 kg lligat a una molla realitza un MHS de període 1,2 s. L’amplitud del moviment és de 0,20 m. Calcula la constant elàstica de la molla i la seva pulsació. Escriu l’equació del moviment suposant que per a t=0s, x=A. Calcula la posició del cos en el següents instants: t=0; t=0,3 ; t=0,6 ; t=0,9 ; t=1,2 ; t=1,3 i t=1,5 segons. A10 Un cos que es mou d’acord amb l’equació: 𝑥 𝑡 = 5 sin 9,9 · 𝑡 , on l’amplitud ve donada en centímetres i el temps en segons. Troba dos instants consecutius en els quals el cos es trobi en x=-5 cm. També troba dos instants consecutius en els quals el cos passi pel punt d’equilibri. Fes una representació gràfica d’aquesta funció entre t=0 i t=2T. A11. Explica com t’imagines que és el moviment que realitza la massa del problema anterior. Explica en quin llocs està el cos amb velocitat igual a zero i en quins llocs la velocitat serà màxima. Realitza la massa un moviment uniforme, uniformement accelerat o cap de les dues cosses?. Expliqueu.

10

CINEMÀTICA DEL MHS Ja coneixes les equacions que descriuen l’elongació del MHS.

𝑥 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑!               ;      𝑥 𝑡 = 𝐴 · cos 𝜔𝑡 + 𝜑!     Saps que les dues són vàlides però per a desenvolupar la teoria tan sols utilitzarem una, per exemple la del sinus. Així:

1. L’equació de la posició: 𝑥 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑!

La posició de la massa varia entre “+A” i “-A”.

2. Per a trobar l’equació de la velocitat del cos en cada instant, o sigui en funció del temps, tan sols cal calcular la derivada de l’equació de la posició respecte del temps.

𝑣 𝑡 =𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑!

La velocitat de la massa varia entre “+𝐴𝜔” fins “ –𝐴𝜔”. Aquests són el valors màxims de la velocitat.

3. Per trobar l’equació de l’acceleració, cal derivar una altra vegada:

𝑎 𝑡 =𝑑!𝑥(𝑡)𝑑𝑡! = −𝐴𝜔! sin(𝜔𝑡 + 𝜑!)

l’acceleració varia entre “ -  𝐴𝜔!” i “ +  𝐴𝜔!”. Aquests són el valors màxims de l’acceleració.

Exemple -1: Un objecte oscil·la amb un freqüència angular 𝜔 = 8,0 𝑟𝑎𝑑 𝑠. Per a t=0, l’objecte es troba en el punt x=4 cm i una velocitat v=-25 cm/s. Trobar l’amplitud i la constant de fase del moviment. Escriure l’equació del moviment. Solució: per a resoldre el problema cal utilitzar les equacions de l’elongació i la de la velocitat i substituir en elles les dades de les condicions inicials. A part de 𝜔 = 8,0 !"#

!. les condicions inicials per a t=0 són x=4cm i v=-25 cm/s.

• Per a l’elongació: 𝑥 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑!        ⇒      4 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜑!)

• Per a la velocitat: 𝑣 𝑡 = 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑!            ⇒    −25 = 𝐴 · 8 · 𝑐𝑜𝑠 𝜑!

si dividim les dues equacions trobem: !

!!"= !"#$ !!

!·!·!"# !!= !

!tan𝜑!

sábado 12 de febrero de 2011sábado 12 de febrero de 2011

sábado 12 de febrero de 2011

11

Aïllem la tangent: tan𝜑! =

!·!!!"

= −1,28          ⟹    𝜑! = −0,91  𝑟𝑎𝑑 Per a trobar l’amplitud és suficient utilitzar l’equació de la posició: 4 = 𝐴 · sin𝜑!

𝐴 =4

𝑠𝑖𝑛 −0,91 = −5,1𝑐𝑚

ja tenim les constants i podem escriure l’equació del moviment:

𝑥 𝑡 = −5,1 · 𝑠𝑖𝑛 8𝑡 − 0,91   si volem posar l’amplitud positiva: 𝑥 𝑡 = 5,1 · 𝑠𝑖𝑛 8𝑡 + 0,91 Comentaris:

− Sempre l’amplitud i la posició instantània tenen les mateixes unitats, en aquest cas centímetres. Com a conseqüència, la velocitat ha d’anar en cm/s i l’acceleració en cm/s2.

− Si en lloc de la funció si nus usem la funció cosinus per la posició haguéssim trobat el mateix resultat per a l’amplitud “A” però no per la constant de fase, ja que les funcions sinus i cosinus van desfasades 𝜋 2 = 1,57  𝑟𝑎𝑑 i la solució seria:

𝑥 𝑡 = −5,1𝑐𝑜𝑠 8𝑡 − 0,91− 1,57 = −5,1𝑐𝑜𝑠 8𝑡 − 2,48 si volem posar l’amplitud positiva:

𝑥 𝑡 = 5,1𝑐𝑜𝑠 8𝑡 + 0,91− 1,57 = 5,1𝑐𝑜𝑠 8𝑡 − 0,66

A12. Un cos de 600g realitza un MHS que ve donat per l’equació 𝑥 𝑡 = 0,2 cos 2𝜋𝑡 . Calcula: Les equacions de la velocitat i de l’acceleració. L’amplitud del moviment. La velocitat màxima i l’acceleració màxima. La freqüència angular i el període. A13. Estàs dins una barca que oscil·la verticalment a causa de les onades. L’equació que descriu el seu moviment vertical ve donada per:

𝑦 = 1.2𝑐𝑜𝑠 0,5 · 𝑡 +𝜋6  𝑒𝑛  𝑒𝑙  𝑆𝐼.

Calcula l’amplitud, la freqüència angular, la constant de fase, la freqüència i el període del moviment. Quina és la posició de la barca per a t=1s? Troba les equacions de la velocitat i l’acceleració en funció del temps. A14. Respecte al problema anterior, dóna dos instants en què la velocitat sigui màxima i dos instants en què l’acceleració sigui màxima.

12

L’ENERGIA EN EL MHS Com ja saps de l’any passat, quan un sistema és capaç d’emmagatzemar l’energia que li dones a través d’un treball vol dir que el Sistema és Conservatiu i que un sistema conservatiu està associat a forces conservatives com les de molles, la gravetat o forces elèctriques. Ens fixarem en el cas de la molla tal i com hem anat fent fins ara. Quan una força externa, empeny i desplaça el cos lligat a la molla, realitza un treball sobre el sistema. A la vegada la força de la molla realitza un treball igual però de signe contrari, si el procés es realitza casiestàticament. Aquest segon treball és el que permet que el sistema emmagatzemi l’energia subministrada pel treball de la força externa. Recorda de l’any passat que el treball realitzat per aquestes forces ve donat per les àrees entre les rectes i l’eix “x”. Si fas el càlcul trobaràs: 𝑊 𝐹!"# =𝑊 𝐹!" = !

!  𝑘 · 𝑥!

i

𝑊 𝐹!"##$ = −!!  𝑘 · 𝑥!

Com es tracte d’un sistema conservatiu, aquest treball emmagatzema l’energia en forma d’energia potencial del sistema. La relació que ens dóna la variació de l’energia potencial és:

∆𝐸! = −𝑊 𝐹!"#$%&'()*'( = −𝑊 𝐹!"##$ = !!  𝑘 · 𝑥!

Si empenyem o estirem el cos enganxat a la molla des de la posició d’equilibri fins l’amplitud màxima, 𝑥 = ±𝐴, llavors l’energia potencial que haurà guanyat la molla del sistema serà:

∆𝐸! =!!  𝑘 · 𝐴!

En aquesta posició la massa està en repòs i la molla estirada. Si deixem en llibertat al sistema, la força de la molla estirarà el cos cap a l’altre costat, la molla cada cop està menys estirada i va perdent energia potencial. Mentre tant, la massa va guanyant velocitat i, per tant, energia cinètica. Aquesta transferència d’energia de la molla a la massa la realitza el treball de la molla. Quan la massa passa per l’origen, tindrà velocitat

13

màxima i la molla no estarà estirada. Ara tota l’energia potencial de la molla s’ha transformat en energia cinètica de la massa. Un cop passat l’origen, la molla va frenant la massa fins que queda totalment parada en 𝑥 = −𝐴. Novament l’energia està emmagatzemada en la molla en forma d’energia potencial i la massa es troba en repòs. El procés es repeteix periòdicament. Al ser un sistema conservatiu, en tot moment l’energia total del sistema sempre és la mateixa, és a dir, per a qualsevol instant i posició, la suma de l’energia potencial de la molla amb l’energia cinètica de la massa és una constant del moviment.

𝐸!"#$% = 𝐸! 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 + 𝐸! 𝑚𝑜𝑙𝑙𝑎 = 𝑐𝑡𝑒    ;  𝑜  𝑡𝑎𝑚𝑏é,      ∆𝐸! 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 + ∆𝐸! 𝑚𝑜𝑙𝑙𝑎 = 0 Cal tenir present que l’energia total coincideix amb l’energia potencial màxima, quan el cos està en els extrems i, coincideix, amb l’energia cinètica màxima quan la massa passa pel punt d’equilibri.

𝐸! = 𝐸! 𝑚à𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝐸! 𝑚à𝑥𝑖𝑚𝑎                ↔              𝐸! =!!  𝑚 · 𝑣!à!! = 1

2  𝑘 · 𝐴2

Per tant, per a qualsevol punt entremig “x” es complirà:

𝐸! =!!  𝑚 · 𝑣!! +  

12  𝑘 · 𝑥

2 = 12  𝑘 · 𝐴

2 Si representem en uns mateixos eixos com varien les energies potencial i cinètica trobem el gràfic adjunt. Pots veure que són dues paràboles. En els extrems l’energia potencial es fa màxima i l’energia cinètica nul·la. En el punt d’equilibri és l’energia cinètica que es fa màxima i la potencial nul·la. Utilitzar les equacions de balanç energètic és més fàcil que utilitzar les equacions cinemàtiques. D’aquesta darrera equació podem trobar la velocitat de la massa per a qualsevol posició, aïllant trobem:

𝑣! =𝑘𝑚 𝐴! − 𝑥!

A15. Un objecte de 3 kg està lligat a una molla i oscil·la amb una amplitud de 4 cm i un període de 2 s.

a. Quina és la seva energia total? b. Quina és la màxima velocitat de l’objecte? c. En quina posició, “ x1” la velocitat és la meitat de la velocitat màxima?

A16. Un objecte enganxat a una molla oscil·la amb una amplitud de 4,5 cm. La seva energia total és 1,4J. Quina és la constant elàstica de la molla?

En els punts de desplaçament màxim x=+A o x=-A

Ec=0E=U

En el punt d’equilibri x=0U=0E=Ec

Els punts A i -A s’anomenen punts de

retorn, ja que l’objecte inverteix el sentit i torna

cap a la posició d’equilibri.

L’enrgia cinètica i l’energia potencial depenen del temps, però l’energia total és constant(principi de conservació de

l’energia)

sábado 12 de febrero de 2011

14

A17. Es penja una massa d’1kg d’una molla que penja verticalment. La molla s’estira x0= 4cm.

a. Escriu l’equació del balanç de forces que actuen sobre la massa quan el sistema es troba en repòs en el seu punt d’equilibri. Calcula la constant de la molla.

b. Ara estirem el cos “ x=5 cm” cap avall i deixem anar el sistema. Què farà el sistema? Dibuixa les forces que actuen sobre la massa just en l’instant en què deixem anar al sistema i l’equació del balanç de forces d’acord amb la segona Llei de Newton.

c. Creus que el cos realitzarà un MHS? En cas que la resposta sigui afirmativa, cal tenir en compte tot el que s’ha estirat la molla, “ x0 + x ” o és suficient tenir en compte els últims “x cm”? Demostra-ho.

A18. Una massa de valor desconegut es penja de l’extrem d’una molla vertical, tal com mostra el dibuix. La molla s’estira una longitud “x=3,42 cm” quan acompanyem amb la ma el sistema fins el nou punt d’equilibri. Des d’aquest punt, l’ estirem un poc més i el deixem oscil·lar. Amb quin període oscil·larà? A19. Un objecte penja d’una molla de constant k=1800 N/m. Quan és estirat cap avall 2,5 cm i el deixem oscil·lar en llibertat. La seva freqüència f=5,5 Hz. Trobar:

a. El valor de la massa que penja de la molla. b. Escriu les equacions x(t), v(t) i a(t). c. Si en el temps el sistema va perdent energia fins arribar a quedar-se aturat en la

posició d’equilibri, quant s’ha estirat la molla en aquesta situació final?. ALTRES SISTEMES: El pèndol simple El pèndol simple consisteix en un fil de longitud “L” i massa inapreciable del que penja una massa puntual “m”. Separem la massa de la posició d’equilibri i amollem. El pèndol comença a oscil·lar. Analitzem les forces que actuen sobre la massa quan es troba fora de la posició d’equilibri i, el fil, formant un angle “𝜙” respecte de la vertical. Com mostra el dibuix les forces són la tensió del fil el pes de la massa. Si agafem uns eixos de manera que l’eix “y” tengui la direcció del fil i l’eix “x” tangent a la trajectòria de la massa podem escriure el balanç de forces:

𝑇 + 𝑝 = 𝑚 · 𝑎 descomponem l’equació vectorial: Eix-y: 𝑇 −𝑚𝑔 cos𝜙 = 0 Eix-x: −𝑚𝑔 sin𝜙 = 𝑚 · 𝑎!"#$%#!

15

Tan sols la component tangencial a la trajectòria del pes és la responsable de la força restauradora i fa retornar la massa cap a la posició d’equilibri. El signe menys que té aquesta component de la força es deu a que té sentit i signe oposat a l’angle de separació del pèndol. Substituïm l’acceleració per la derivada segona de la posició:

−𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑡 = 𝑚𝑑!𝑠 𝑡𝑑𝑡!

On “ s(t) “ és la funció de la posició sobre l’arc-camí que fa la massa en el seu moviment oscil·latori. L’equació es sembla però no és igual a : −𝑘 · 𝑥(𝑡) = 𝑚 · !

!!(!)!!!

tenim un sinus d’un angle que va canviant en el temps i la derivada segona d’un arc respecte al temps. Anem a veure que no són tant diferents:

− Sabem que per a qualsevol arc de circumferència es compleix: 𝑠 𝑡 = 𝜙 𝑡 · 𝐿 Per tant, !

!! !!!!

= 𝐿 !!! !!!!

− En el primer membre de l’equació per angles (en radiants) petits és compleix:

𝜙 ≈ 0    ⇔    𝑠𝑖𝑛𝜙 ≈ 𝜙 Aquesta aproximació és bona fins a angles de 10º expressats en radiants.

Substituïm els resultats trobats en l’equació diferencial inicial i ens queda: −𝑔 · 𝜙 𝑡 = 𝐿 !

!! !!!!

reescrivem l’equació i comparem:

!!! !!!!

= − !!𝜙 𝑡 idèntica a !

!!(!)!!!

= − !!· 𝑥(𝑡)

però ara: 𝜔! = !!

i 𝑇 = !!!= 2𝜋 !

!

Naturalment, les solucions d’aquesta equació diferencial seran del tipus: 𝜙 𝑡 = 𝜙!"# · sin 𝜔𝑡 + 𝜑!               ;                  𝜙 𝑡 = 𝜙!"# · cos 𝜔𝑡 + 𝜑!    

Què hem trobat?:

− Que el moviment d’un pèndol simple també realitza un MHS quan els angles són petits. És a dir, aquest sistemes obeeixen l’equació diferencial del MHS i les solucions harmòniques descriuen correctament el seu moviment.

− El període del pèndol simple tan sols depèn de la longitud del fil i de l’acceleració de la gravetat d’on es troba el pèndol. Per tant és independent de la massa que hi posem enganxada i de l’angle d’oscil·lació del pèndol.

16

A20. Tenim un pèndol format per un fil d’1,2 m de llarg i una massa de m=400g. Separem el pèndol 5º de la posició d’equilibri i el deixem anar. Calcula:

a. El període del pèndol b. L’Energia potencial que ha guanyat la massa

quan és separada 5º de la posició d’equilibri. c. La velocitat de la massa quan passi per la posició

d’equilibri. d. Quina força fa el fil quan la massa passa per la

posició d’equilibri? e. Escriu l’equació que dóna l’angle en funció del

temps, 𝜙 𝑡 . A21. El pèndol de l’activitat anterior el posem dintre d’un ascensor. Calcula quin serà el seu període en els següents casos:

a. Quan l’ascensor arranca cap amunt amb una acceleració de 3m/s2. b. Quan l’ascensor baixa amb una acceleració de 4 m/s2.

Indicació: fes un dibuix on representis totes les forces que actuen sobre la massa “m” i estableix la segona Llei de Newton per la massa.

17

Problemes proposats per la UIB

18

19

Altres problemes 1. Una massa de 0,5 kg està enganxada a una molla que realitza un mhs amb un

període de 0,4 s. Si l’energia mecànica del sistema és de 4J, calcula: a. La constant de la molla. b. L’amplitud del moviment.

Sol: 123,1 N/m ; 0,25 m.

2. Una massa de 5 kg cau per la superfície de la figura sense fricció. Quan arriba al final colpeja la molla quedant enganxat a ella i comprimint-la 5 cm.

a. Calcula la constant elàstica de la molla. b. El període d’oscil·lació del sistema cos –

molla. Sol: 39.200 N/m ; 7,1·10-2 s

3. Considerem un cos de 2 kg de massa que es troba 0,5 m per sobre d’una molla, de

constant K= 200 N/m, col·locada verticalment, tal com mostra la figura de l’esquerra. Si deixem caure el cos, que inicialment es troba en repòs, sobre la molla, calculeu: a. El desplaçament màxim de la molla, x1, respecta a la posició inicial per

l’impacte del cos, tal i com mostra la figura del mig. b. La posició final d’equilibri, x2, respecte la posició inicial de la molla. Si el

sistema pateix una petita dissipació d’energia que va esmorteint el moviment vibratori i després d’un llarg temps el sistema es quedarà en el punt d’equilibri, tal i com mostra la figura de la dreta.

c. Escriu l’equació que representi la oscil·lació del sistema en funció del temps. Quin serà el seu període? Considerar que no hi ha esmorteïment.

Sol: a) 0,426 m per davall ; b) 0,098 m per davall. c) 𝑥 = 0,328  cos  (10 · 𝑡).

4. Tenim un bloc de fusta de M=5 kg lligat a una molla que es troba en repòs sobre una taula horitzontal sense fricció. Un projectil de m=15 g, que es mou a u= 800 m/s, xoca contra el bloc de fusta i queda encastat en ell. Si el conjunt es mou i comprimeix la molla 20 cm, què val la constant elàstica de la molla? Nota: té en compte que es tracta d’una col·lisió totalment inelàstica. Sol: 717,8 N/m

20

5. Un saltador de 80kg, es llança des d’un pont que es troba a 60 m sobre l’aigua, “puenting”. Porta enganxada als peus una goma elàstica, que compleix la llei de Hooke, de constant k= 9400 N/m.

a. Quina llargada màxima ha de tenir la goma elàstica per estar segurs que no xocarà amb l’aigua. Considera el saltador com si fos una massa puntual.

b. Escriu l’equació del moviment que realitzarà el saltador, després del salt, considerant la posició inicial l’instant en què el saltador està a punt de tocar l’aigua amb el cap.

c. Si el MHS es va esmorteint, quant s’haurà estirat la goma elàstica en la posició d’equilibri final?.

Sol:50m

6. Un astronauta ha instal·lat en la Lluna un pèndol simple i comprova que el seu període és de 4,6 s. El mateix pèndul a la Terra tenia un període de 1,85 s. Quina és l’acceleració de la gravetat a la lluna?. Sol: 1,6 m/s2.

7. En els gràfics que tens a continuació es representa l’equació de la posició i de la velocitat de MHS. En l’eix vertical es representen dues variables “x(t) (metres) i v(t) (m/s)”. En l’eix horitzontal es representa el temps “ t(s)”.

a. Troba, per x(t), l’amplitud o elongació màxima del moviment, A, el seu període, T, la pulsació 𝜔 i la constant de fase 𝜑!.

b. Escriu l’equació x(t). c. Troba l’equació de la velocitat

v(t) a partir de x(t). És el gràfic de la velocitat el de color blau?

d. Què val la velocitat màxima? e. Quina és la posició del mòbil quan la velocitat és màxima? Per què?

8. En els gràfics es representa dos MHS, en l’eix vertical es representa l’elongació en

centímetres i en l’eix horitzontal el temps en segons. a. Troba l’amplitud o elongació màxima del moviment, A, el seu període, T, la

pulsació 𝜔 i la constant de fase 𝜑!. b. Escriu l’equació de l’elongació, x(t), per a cadascun d’ells.