NOMBRES ENTERS

Tipus de nombresEls nombres naturals ( ) s’utilitzen per ordenar, comptar i codificar

= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ....

Els nombres enters ( ) estan formats pels nombres naturals precedits del signe – o + .

= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ....

Exemples:

Saldo del banc: -1500€ o +200€

Temperatura: -3ºC o 18ºC

Planta d’un edifici: -2 o 15

SituacionsIndica amb quin nombre enter indicaries aquestes situacions:• Arquimedes va néixer l’any 287 abans de Crist• Puja cinc pisos amb l’ascensor• Vola 50 metres sobre el nivell del mar:• El submarí és a 1500 metres sota el nivell del mar• Tinc un deute de 500€• He guanyat 600€• Fa un calor! Estem a 31º

Representació nombres enters

Indica quins nombres corresponen a les lletres: A, B, C, D,E i F

Posa >, < o = en els següents parells de nombres:-1 ⃞ 3, +3 ⃞ +6, -9 ⃞ -6, 1 ⃞ -1, 0 ⃞ -2, -3 ⃞ +3, -4 -12⃞

Valor absolut – valor oposatValor absolut d’un nombre enter és el nombre prescindint del signe.|+a| = a i |-a| = a |-8| = 8 valor absolut de -8 és el 8|+2| = 2 valor absolut de +2 és el 2

Valor oposat d’un nombre enter és el nombre simètric. El mateix canviat de signeOp(+a) = - a i Op(-a) = + a

Op (4)= - 4 l’oposat del 4 és el -4Op (-9)= +9 l’oposat del -9 és el 9

Exercicis:1. Ordena de més gran a més petit i

representa'ls sobre la recta: op(-2), 0, 5, |-4|, -3, op(1), -6 , +7, |8|

2. Calcula:a. |-7| + |-3+2| +|-15| =b. |9-3+2| -|-4| =c. |-12+8| +op(15) =d. |-9-2| +|-1-3| +|-2-2| =

Suma de nombres enters• Per a sumar dos nombres de mateix signe:

• S’escriu el mateix signe dels sumands• Se sumen els valors absoluts dels sumands

• Exemple:• (+2) + (+3) = +5• (-1) + (-3) = - 4

• Per a sumar dos nombres de diferent signe:• S’escriu el mateix signe del sumand que té valor

absolut més gran• Es resten els valors absoluts dels sumands

• Exemple:• (-2) + (+9) = +7• (+1) + (-8) = - 7

Suma de nombres enters• Opció A: S’efectuen les sumes en ordre que

apareixen(- 3) + (- 5) + (+4) + (-1) = (- 8) + (+4) + (-1) =

(- 4) + (-1) = - 5• Opció B: Reordenem els sumands. Els positius

junts i els negatius junts i després efectuem les sumes corresponents.(- 3) + (- 5) + (+4) + (-1) = (- 3) + (- 5) + (- 1) + (+4)= (-9) + (+4) = - 5

Restes de nombres entersQuan trobem el signe – pot tenir dos significats:• Indica l’operació de resta• Indica un nombre enter negatiu

Ex: (+ 5) – (- 2) =

Quan volem fer una resta d’un nombre enter negatiu, podem fer-ho de dues maneres:• Convertim el signe - +

Ex: (+ 5) – (- 2) = +5 + 2 = + 7

• Substituïm el subtrahend (el que va restat) pel seu oposat:

Ex: (+ 5) – (- 2) = +5 +op(- 2) = +5 + 2 = 7

Practica sumes i restes de nombres enters

(-6) + (+5) = (-3) + (-4) = (+4) + (-2) = (+1) + (+3) =(+3) + (+7) = (-5) + (-9) =(+7) + (-4) = (-8) + (+2) =(-6) - (+5) = (-5) - (-9) = (+4) - (-2) = (-8) - (+2) =(-4) - (-7) = (+7) - (-4) =(-15) + (-7) - (-4) + (+4) =(+9) - (-3) - (+8) + (-12) =(+4) - (-3) - (-5) - (+6) - (-2) =

Solucions(-6) + (+5) = -1 (-3) + (-4) = -7 (+4) + (-2) = +2 (+1) + (+3) = +4(+3) + (+7) = +10 (-5) + (-9) = -14(+7) + (-4) = +3 (-8) + (+2) = -6(-6) - (+5) = -11 (-5) - (-9) = +4(+4) - (-2) = +6 (-8) - (+2) = -10(-4) - (-7) = +3 (+7) - (-4) = +11(-15) + (-7) - (-4) + (+4) = -14(+9) - (-3) - (+8) + (-12) = -8(+4) - (-3) - (-5) - (+6) - (-2) = +8

Multiplicacions de nombres enters

Per multiplicar dos nombres enters:

• Es multipliquen els valors absoluts del diferents valors

• S’utilitza la regla del signe:(+) · (+) = + (+4) · (+5) = +20

(-) · (-) = + (-4) · (-3) = +12

(+) · (-) = - (+4) · (-2) = -8

(-) · (+) = - (-5) · (+2) = -10

Divisió de nombres entersPer dividir dos nombres enters:

• Es divideixen els valors absoluts dels diferents valors

• S’utilitza la regla del signe:(+) : (+) = + (+40) : (+5) = +8

(-) : (-) = + (-45) : (-3) = +15

(+) : (-) = - (+44) : (-2) = -22

(-) : (+) = - (-50) : (+2) = -25

Exercicis multiplicacions i divisions d’enters

56 : (-4) =(-24) : 4=-30 : (-6) =60: (-5) =(+44) : (+2)=12 : (-3) =(-51) : (-3) =-44 : (-11) =(-40) : 4=

5 · (-4) =-2 · (4)=-3 ·(-6)=(+4) · 2=(-5) · (-3) =-4 · 4=(-2) · (-7) =(+3) · (-2)=-10 · 5=

Operacions combinades• Ordre de les operacions:

• En primer lloc, s’efectuen les operacions de dins els parèntesis.

• A continuació, efectuem calculem les multiplicacions i les arrels, seguidament fem les multiplicacions i les divisions en l’ordre que apareixen.

• Finalment, es fan les sumes i restes

• Exemple:- [5 + 7 x (-3)] + 21 : 7 – 4=

- [5 + (-21)] + 21 :7 – 4=

- (-16) + 21 :7 – 4=

+16 + 3 – 4= +15

Exemple 1: +3 – (+4) · (-2)=1. Multiplicar +3 – (-8)=2. Eliminar parèntesis +3 +8= 3. Sumar +11

Exemple 2: +1+ (-6): (+4-7)=1. Operar el parèntesi +1 + (-6): (-3)=2. Divisió +1 + (+2)=3. Treure parèntesis +1 + 2 =4. Sumar +3

Exemple 3: -4 +[-3 – (-14):(+2)]=1. Operar el parèntesis petit - 4 + [-3 – (-7)]=2. Treure parèntesis -4 + ( -3+7)=3. Suma parèntesis -4 + (+4)=4. Sumar 0

Exercicis

Propietats de la multiplicació

Propietat commutativa ⇒ a · b = b · a 3 · (-2) = (-2) · 3Propietat associativa ⇒ (a · b) · c = a · (b · c)(-3 · 2) · 5 = -3 · ( 2 · 5) - 6 · 5 = -3 · 10Element unitat ⇒ a · 1 = a-5 · 1 = -5Propietat distributiva ⇒ a · (b + c) = a · b + a · c IMP-2 · (5 + 3) = -2· 5 + (-2) · 3-2 · 8 = -10 - 6

Factor comúTreure factor comú significa trobar un element comú a un conjunt de sumands

(4 · 3 ) + (3 · 8) = 3 · (4 + 8)

(-4 · 6) + (-4 · 2) – (5 · (-4)) = -4 · (6 + 2 – 5)

(5 · 2 · 4) - (10 · (-3)) = 10 · (4 – (-3))

Exercici. Treu factor comú:

6 · 4 + 4 ·3=

-5 · 3 + 3 · 4 – 3 · 2 · 7=

4 . (-7) – (-7) · 3 =

DescomposicióLa descomposició d’un nombre en factors primers consisteix en expressar el nombre com a multiplicació de nombres primers.

30 = 2 · 3 · 545 = 32 · 580 = 24 · 5

Factor comú

Descompon els nombres i treu factor comú:30 + 45 = (2 · 3 · 5) + (32 · 5) = 15 · (2 + 3)245 + 42=90 + 70=75 + 36 + 12=500 - 100 =168 + 105 =150 -18 =432 + 48 – 256 =1024 – 128 =

Descompon els nombres i treu factor comú:30 + 45 = (2 · 3 · 5) + (32 · 5) = 15 · (2 + 3)245 + 42= (5 · 72) + (2 · 3 · 7) = 7 ·(35 + 6)90 + 70= (2 · 32 · 5) + (2 · 5· 7)= 10· ( 9 + 7)75 + 36 + 12= (3 · 52) + (32 · 22) + (3 · 22) = 3·(25+12+4)500 - 100 = 100 · (5 – 1)168 + 105 = (23 · 3 · 7) + (3 · 5 · 7) =21 · (8 + 5)150 – 18 = (2 · 3 · 52) – (2 · 32) = 6 · (25 -3)432 + 48 – 256 =1024 – 128 =490 – 243 =56 + 168 – 312=

Potenciació i radicació• Una potència és una multiplicació de nombres iguals• El factor que es repeteix és la base• El nombre de vegades que es repeteix és l’exponent

-3 · (-3) = (-3)2 es llegeix -3 al quadrat5 · 5 · 5 = 53 es llegeix 5 al cub6 · 6 · 6 · 6 = 64 es llegeix 6 elevat a quatre

COMPTE!No és el mateix - 22 que (- 2)2

-22 = - (2 · 2) = - 4 (-2)2 = (-2) · (-2) = 4

Operacions amb potènciesUna potència d’exponent 1 és igual a la base ⇒ a1 = a

41 = 4(-5)1 = -5

Una potència d’exponent 0 és igual a 1 ⇒ a0 = 130 = 1(-2)0 = 1

Si l’exponent és parell, la potència sempre serà positiva42 = 16(-5)2 = -5 · (-5) = 25

Si l’exponent és imparell, la potència tindrà el mateix signe que la base positiva

53 = 5 · 5 ·5 = 125(-5)3 = -5 · (-5) · (-5)= -125

Operacions amb potènciesMultiplicació de potències – mateixa base ⇒ am · an = a m+ n

72 · 73 = 7 2 + 3 = 75

(-7)2 · (-7)3 = (-7) 2 + 3 = (-7)5

Divisió de potències – mateixa base ⇒ am : an = a m- n

35 : 33 = 3 5 – 3 = 32

(-3)5 : (- 3)3 = (-3) 5 – 3 = (-3)2

Potència d’un producte ⇒ (a · b)n = an · bn

( 3 · 6)2 = 32 x 62

( -3 · 6)2 =(-3)2 · 62

Potència d’una potència ⇒ (am)n = a m·n

(45)3 = 45·3= 415

[(-7)3]2 = (-7)3·2= (-7)6

Potències d’exponent negatiu

66

4

14

1

=

=

−

−n

n

aa Una potència d’exponent negatiu

expressa l’invers de la corresponent potència ambexponent positiu.

Operacions amb exponent negatiu:

43 · 4-5 = 43 + (-5) = 4-2

253535

3

5353 444:4

4

4

4

1·44·4 −−− =====

44

2

12 −=− −

Exercicis de potènciesExpressa el resultat en forma d’una sola potència:

(-5)2· (-5)3 = 153 · 154=3 · 33 · 3-2 = (-2)4 · 23=46 : 43 = 78 : 710 =106: 106 = (-9)6 : (-9)8 =(102)3 = (5-3)4 =[(-11)3]3 = [(-4)4]-2 =(33 · 3)4= (52 · 5-4)-2=(47 · 44): (42 · 43) = (-2)4 : (-2)5: (-2) = 5 - 4 : 5 - 3 · 5 - 4 · 5 5 - 4 : 5 - 3 =

Exercicis resoltsExpressa el resultat en forma d’una sola potència:

(-5)2· (-5)3 = (-5)5 153 · 154= 157

3 · 33 · 3-2 = 32 (-2)4 · 23=24·23=27

46 : 43 = 43 78 : 710 = 7-2

106: 106 =100=1 (-9)6 : (-9)8 = (-9)-2

(102)3 = 106 (5-3)4 = 5-12

[(-11)3]3 = (-11)9 [(-4)4]-2 =(-4)-8

(33 · 3)4= (34)4= 316 (52 · 5-4)-2= (5-2)-2= 54

(47 · 44): (42 · 43) = 411: 46= 45 (-2)4 : (-2)5: (-2) = (-2)0=15 - 4 : 5 - 3 · 5 - 4 · 5 = 5-4 5- 4 : 5- 3 = 5-1

ExercicisOperacions combinades:

=+−+−

=−−

=−−−+−−

=−++−+−

25:5)9(:45)2·(2

)2(10

)23()3·(5)104)·(3(

)7·(62:2)21·(5)2·(3

332

4

22

2423

Per practicar...

no

Descomposició polinòmica Qualsevol nombre pot escriure’s com una

suma de naturals que multipliquen a potències de base 10, és el que es coneix com descomposició polinòmica d’un nombre:

975 = 9·102 + 7·101 + 5·100

18067 = 1·104 + 8·103 + 0·102 + 6·101 + 7·100

Potències de 10Qualsevol nombre seguit de zeros es pot expressar com el producte d’aquest nombre per una potència de 10 d’exponent positiu90.000 = 9·104

-4.500.000 = -45· 105

Qualsevol nombre decimal on la part entera és nul·la es pot expressar com el producte de la xifra decimal per una potència en base 10 d'exponent negatiu0,00004 = 4· 10-5

0,0025 = 25 · 10-4

0,0025 = 2,5 ·10-3

Notació científica• Quan es fan servir quantitats molt grans o molt petites,

és convenient utilitzar l'anomenada notació científica. • Consisteix a utilitzar potències de 10, la qual cosa

evita fer servir nombres amb molts zeros. • Un nombre en notació científica consta d’una única

xifra no nul·la davant de la coma decimal, multiplicada per una potència de deu

2,689 ·106 = 2 689 000

3,742 · 10-5 = 0,00003742

Factors de conversió• Quants mm són 150cm?

mmcm

mmcm 1500

1

10150 =

• Quants cm són 37 nanòmetres?

nmm

cm

nm

mnm 7

9

10·371

100·

1

1037 −

−

=

Tera- (T) 1012

Giga- (G) 109

Mega- (M) 106

Quilo- (K) 103

Hecto- (H) 102

Deca- (D) 101

------------

deci- (d) 10-1

centi- (c) 10-2

mil·li- (m) 10-3

micro- (μ) 10-6

nano - (n) 10-9

pico – (p) 10-12

Arrels quadrades• S’anomena quadrat perfecte quan un nombre

natural és el quadrat d’una altre• Exemple: 64 és un quadrat perfecte (quadrat de 8)

• Les arrels quadrades d’un nombre negatiu no tenen solució

• Qualsevol arrel té dues solucions, una de positiva i l’altre de negativa

(-7)2 = 49 i (+7)2 = 49

77749 −→ ;+±=

∃/=− 9

Arrels

232

32

3

2

233 323108

3·633232108

23 23 8

224

8587

645849

645849

·=·=

·=·=

==

==

<<

<<

<<

=

En els exercicis, només considerem el resultat positiu de l’arrel

Extreure factors:

Arrels= radicalSuma i resta: han de tenir el mateix radical

Multiplicació: La multiplicació de dues arrels és l’arrel dels nombres multiplicats

50105100252500

153·5

··a

=·=·=

bab

=

=

)43·(55·45·3

)·(··

+=+

+=+ mnaaman

Divisió: La divisió de dos arrels és l’arrel de la divisió

4162

32

2

32

b

a

===

=b

a

Arregla les següents operacions el més simple que es pugui

=

=

=

=

=

=

=

8

1·

2

1.

8

1·2.

490000.

1600.

2

50.

4·5.

8·2 a.

g

f

e

d

c

b

=

=

=−

=+−

=

=

108.

16.

18162.

22422.

5·3·2.

5·3·2.

3

3 43

52

l

k

j

k

j

i

Operacions combinades• En primer lloc, efectuarem potències i arrels en l’ordre

que apareixen

• Seguidament, multiplicacions i divisions• I finalment, sumes i restes.

[ ][ ]

818668132

25:150)8·(1024

625:150)53·()4(

625:1505)6(:18·)4(

625:1505)6(:324·)4(

5

5

5

=−=−−−

=−−−−

=−−−−

=−−−−

Càlcul d’arrels quadrades

Càlcul d’arrels quadrades

Operacions combinades

Calculadora

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas_cat/1quincena1/1quincena1_contenidos_5b.htm