PERSAMAAN LINGKARAN DAN SIFAT-SIFATNYA

Created byLeonardus Reinaldi

Zilla Fronika

GAMES

• Tentukan panjang garis singgung ABA

PQ

P Q

B8 cm

3 cm

13 cm

CB2 = AC2 + AB2 AB2 = 144132 = 52 + AB2 AB = 12169 = 25 + AB2

PQ

P Q

B5 cm

3 cm

13 cm

3 cm

A

C

GAMES

• Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran (panjang AB)

M

A

N

B

7 cm

3 cm14 cm

MN2 = CN2 + CM2 CN2 = 96142 = CN2 + 102

196 = CN2 + 100

M

A

N

B

7 cm

3 cm14 cm

3 cmC

PERSAMAAN LINGKARAN

Di titik O(0,0) Di titik O(a,b) Menentukan jari-jari dan koordinat

POSISI TITIK POSISI GARIS

Di dalam LingkaranDi lingkaranDi luar lingkaran

Di dalam LingkaranDi lingkaranDi luar lingkaran

1. Persamaan Lingkaran Berpusat di titik (0,0)

r2 = x2 + y2

mengapa?

r2 = ( x-a)2 + (y-b)2

= ( x-0)2 + (y-0)2

= x2 + y2

Y

O(0,0) X

CONTOH SOAL :1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari 12

Jawab : x2 + y2 = r2

x2 + y2 = 122

x2 + y2 = 144

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan melalui titik (7 -24)

Jawab : x2 + y2 = r2

72 + (-242) = r2

49 + 576 = r2

625 = r2

25 = r, persamaannya x2 + y2 = 625

2. Persamaan lingkaran berpusat di titik o( a,b)

Misalkan :Lingkaran dengan titik pusat o ( a,b), jarak dari A ke B adalah r, dimana B berada pada posisi ( x,y). Tentukan nilai r?

Jawab : r = ABr2 = AB2

r2 = ( x-a)2 + (y-b)2

Contoh soal :Tentukan Persamaan lingkaran jika diketahui pusatny ( -2,3) dan berjari-jari 5

• Jawab : r2 = ( x-a)2 + (y-b)2

52 = ( x-(-2))2 + (y-3)2

25 = ( x+4)2 + (y-3)2

25 = x2 + 8x + 16 + y2 -6y + 9 25 = x2 + 8x + y2 -6y + 25

0 = x2 + y2 + 8x – 6y

Contoh lainnya1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat

di (3,-2) dan menyinggung sumbu y?

2. Tentukan p jika titik yang diketahui terletak pada lingkaran yang ditentukan sebagai berikut:

a. (p,p), 4x2 + 4y2= 64b. (3p,p), x2 + y2 = 90

3. Menentukan persamaan lingkaran umum dan jari-jarinya

• r2 = ( x-a)2 + (y-b)2

r2 = x2 - 2ax + a2 + y2 – 2by + b2

0 = x2 + y2 -2ax – 2by + a2 + b2 - r2

Misalkan : A = -2a, B = -2b, C = a2 + b2 - c2

Maka :a= -1/2 A, b = -1/2 B dan r = √a2 + b2 – c atau

√1/42 + 1/4b2 – c

Persamaan lingkaran menjadi :x2 + y2 + Ax + By + C = 0Persamaan ini disebut bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di (-1/2A, -1/2B)

• Contoh soal : Tentukan koordinat pusat dan panjang jari –jari lingkaran jika persamaannya x2 + y2-2x-6y-15 = 0

Jawab : A = -2, B = -6

r = √12 + 32 – (-15) maka = √25 = 5-2a = -2a = 1 -2b= -6 b= 3

4. Posisi titik terhadap lingkaran

a. Posisi titik P (x’,y’) terhadap lingkaran berpusat di O (0,0)

• P (a,b) berada di dalam lingkaran, jika :a2 + b2 < r2

• P (a,b) berada di lingkaran, jika :a2 + b2 = r2

• P (a,b) berada di luar lingkaran, jika :a2 + b2 > r2

B. Posisi titik P (x’,y’) terhadap lingkaran berpusat di O (a,b)

P (x’,y’) berada di dalam lingkaran, jika :(x-a)2 +(y-b)2 < r2

P (x’,y’) berada di lingkaran, jika : (x-a)2 +(y-b)2 = r2

P (x’,y’) berada di luar lingkaran, jika : (x-a)2 +(y-b)2 > r2

Tentukan posisi titik berikut terhadap lingkaran x2 + y2 + 8x – 6y= 0 a. (0,0) b. (2,1)Jawab : masukkan nilai x dan y kedalam persamaana. x2 + y2 + 8x – 6y 0 +0 +0-0 =0 ( di lingkaran)b. x2 + y2 + 8x – 6y= 22 + 12 + 8x2 -6x1

= 4 + 1 + 16 -6 = 15 ( di luar lingkaran)

Contoh soalTentukan posisi titik berikut terhadap lingkaran X2 + Y2 =25

a = (3,1)b= (-3,4)c= (5,-6)

Jawab: a. X2 + Y2 =r2

32 + 12 = r2

10 = r2 ( r < 25, di dalam )

b. X2 + Y2 =r2

-32 + 42 =r2

25 = r2 ( r = 25), di lingkaran) c. X2 + Y2 =r2

52 + -62 =r2

61 = r2

5. Posisi y = mx + n terhadap lingkaran

X2 + Y2 + Ax + By – C garis y= mx + n subtitusi nilai y

X2 +(mx +n)2 + Ax + B(mx + n) –C =0 X2 m2 x2 + 2mnx + n2 + Ax + Bmx + Bn –C = 0 Dapat di cari D = b2 – 4ac

Maka, ada 3 kemungkinan posisi garis terhadap lingkaran

1. Jika D<0, maka garis y = mx + n terletak di luar lingkaran X2 + Y2 + Ax + By – C

2. Jika D=0, maka garis y = mx + n terletak di lingkaran lingkaran X2 + Y2 + Ax + By – C

3. Jika D>0, maka garis y = mx + n terletak di dalam lingkaran X2 + Y2 + Ax + By – C

Contoh soal :Tentukan posisi garis x – y = -1 terhadap lingkaran X2 + Y2 = 25. jika berpotongan tentukan titik potongnya. Jawab : X2 + Y2 = 25 X2 + (x +1)2 = 25 X2 + x2 + 2x + 1 = 25 2X2 + 2x + 1 = 25 2 X2 + 2x – 24 = 0 X2 + x – 12 = 0

D = b2 – 4ac

= 12 – 4.1.-12 = 49 > o ( potong di dua titik)

X2 + x – 12 = 0(X + 4) (X-3) = 0X1 = -4 X2 = 3

subtitusikan ke persamaan garis y = x + 1y = x + 1y = -4 + 1 y1= -3, perpotongan pertamanya adalah ( -4,-3)

y = x + 1y = 3 + 1 = 4, perpotongannya yang kedua adalah (3,4)

5. Garis pada lingkaran

• Jarak dari suatu titik O( X’,Y’) ke garis ( d)d= ax’ + by’ + c/√a2 + b2

Contoh : Tentukan nilai m agar garis y= mx + 3 menyinggung

lingkaran L= x2 + y2 -9 = 0• Penyelesaian :

1. subtitusi nilai y ke persamaan L2. menentukan tanda dan besar nilai D3. Ayo,,, kita coba,,,

Y = mx+3x2 + y2 -9 = 0x2 + ( mx+3)2-9=0x2 + m2 x2 + 3mx + 9 -9 = 0x2 (m2 + 1) + 3mx =0D=0b2 – 4ac =0(3m) 2 – 4(m2 + 1)(0)=0m=0

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan menyinggung garis 4x-3y = 5

d = r = ax’ + by’ + c/√a2 + b2

= 4.0 + (-3.0) + 5/√42 + (-3)2 = 0+0 + 5 /√25 = 1jadi, persamaan nya adalah X2 + Y2 =1

Contoh-Contoh soal1. Tentukan persamaan lingkaran A(4,2), B(1,3), C(-3,-5)2. Apakah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi persamaan 10X2 + 10Y2 -30x + 40y -4= 0 merupakan lingkaran, kalau ya tentukan nilai r? 3. Tentukan posisi titik A (6,-8) terhadap lingkaran :

a. X2 + Y2 = 100b. X2 + Y2 -6x + 8y + 25 = 0

4. Tentukan posisi garis-garis berikut terhadap lingkaran X2 + Y2 -2x -2y – 14 = 0b. 2x + 3y = 6 c. X + y =1

5. Persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 -4x + 6y – 17 =0 dan menyinggung garis 3x -4y + 7 = 0

6. Jika garis y = 1/ √5 (2x + 5) menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x – k = 0

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Harus tau!!!!

PGSL Pusat di

(0,0)

PGSL Pusat di

(a, b)

PGSL Pusat di (0,0) Gradien

diketahui

PGSL Pusat (a, b)

Gradien diketahui

Gradien• Gradien garis

• Garis singgung g tegak lurus dengan OP maka gradiennya

• Garis singgung dengan OP maka gradiennya

• Persamaan garis singgung g adalah:

Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui sebuah titik pada Lingkaran

• Pusat lingkaran di O(0,0) dan jari-jari r

O Px1

y2

P(x1, y2)

g

Garis singgung

Pusat lingkaran di O(0,0) dan jari-jari r

• Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik adalah

HOW COME??LETS PROVE!!!!!

P(x1, y2)

Contoh

• Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

= 10 yang melalui titik (-3, 1).

Penyelesaian

• Titik (-3, 1) X1 = -3 dan y1 = 1, terletak pada

= 10. Persamaan garis singgungnya:(-3)x + (1)y =10

-3x + y = 10 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran

= 10 yang melalui titik (-3, 1) adalah -3x+y

Lagi… lagi…

• Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (-3, 1).

Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui sebuah titik pada Lingkaran

• Pusat lingkaran di O(a, b) dan jari-jari r

X

Y

Garis singgung

Pusat Lingkaran di O(a, b) dan jari-jari r

• Persamaan garis singgung lingkaran

melalui titik adalah

HOW COME???LETS PROVE!!!

P(x1, y2)

Contoh

• Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik

(7,2).

Penyelesaian

• Titik (7,2) X1=7 dan y1= 2, terletak pada

.Persamaan garis singgungnya:(7 - 3)(x - 3) + (2 +1 )(y + 1) = 25

4x – 12 + 3y + 3 = 25 4x + 3y – 34 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya lingkaran yang melalui titik (7, 2)

adalah 4x + 3y – 34 = 0

Lagi… lagi…

• Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik

(0, 2).

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Gradiennya Diketahui

• Pusat lingkaran di O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan garis singgung pada lingkaranJika gradien garis singgung m diketahui, dapat

ditentukan sebagai berikut:1. Persamaan garis singgung dengan gradien m

yakni y=mx + n (n akan ditentukan kemudian)2. Subtitusikan y=mx + n ke persamaan

lingkaran 3. Maka akan diperoleh persamaan garis

singgung

Contoh

• Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradien

Lagi… lagi…

• Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran , jika diketahui

a. Gradien persamaan garis singgungnya 3.b. Garis singgungnya membentuk sudut

terhadap sumbu x.c. Garis singgungnya tegak lurus dengan garis

3x – 4y + 10 = 0

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Gradiennya Diketahui

• Pusat lingkaran di O(a, b) dan jari-jari r

Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradien

m dapat ditentukan dengan rumus:

Contoh

• Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaranyang sejajar dengan garis 5x – 12y + 15 = 0

Lagi… lagi…

• Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran , jika:

a. Garis singgung membentuk sudut terhadap sumbu X

b. Garis singgung membentuk sudut terhadap sumbu X

c. Garis singgung sejajar dengan garis x + 12y + 10 = 0

What have you learned?