“Santiago Mariño”Conicas, Ecuaciones parametricas y Coordenadas polares

Iván Lovera CI:27275224

Teorema

Es un enunciado que puede ser demostrado como verdadero mediante operaciones matemáticas y argumentos lógicos.En matemática, un teorema es una proposición teórica, enunciado o fórmula que incorpora una verdad, axioma o postulado que es comprobada por otros conjuntos de teorías o fórmulas. Un teorema también es una regla o ley que se expresa en forma de ecuaciones y / o fórmulas matemáticas. En lógica, un teorema es una proposición deducida por premisas y asunciones de un sistema siendo ideas o creencias generalmente aceptadas como verdaderas.

Elipse

Son aquellas formas geométricas que están formadas por curvas planas resultantes de la intersección entre una forma cónica y un plano. La elipse no es un círculo si no que se compone de dos trazos perpendiculares entre sí de los cuales uno es mayor y otro menor (por lo general el trazo vertical es el menor ya que la elipse suele ser más extensa horizontal que verticalmente). La conjunción de estos dos trazos es el centro de la elipse y con ellos se forma el eje central de la elipse.

Una de las características de la elipse es que si trazamos dos puntos cualquiera en alguno de los dos trazos mencionados, la unión de los mismos en el perímetro de la elipse siempre forma una figura cónica o triangular. Dependiendo de donde se tracen estos puntos, las líneas podrán ser mayores o menores o incluso iguales si son trazadas a similar distancia del perímetro. En algunos casos, las elipses pueden ser la proyección de la perspectiva de los círculos.

Teorema

La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean F (0,c) y F´(0,-c) la ecuación de la elipse es  Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b la del eje menor y a, b, c están ligados por la relación a2= b2+c2. 

También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es  =, y la excentricidad e está dada por la fórmula e

Propiedades de la elipse •La tangente a la elipse b2x2+a2y2=a2b2 en cualquier punto P1(x1,y1) de la curva tiene por ecuación b2x1x+a2y1y=a2b2• •Las ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la elipse b2x2+a2y2=a2b2 son y.• •La normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

Parábola

parábola es un término que proviene del latín parabŏla y que tiene su origen más remoto en un vocablo griego. En el ámbito de la matemática, la parábola es el espacio geométrico de los puntos de un plano que tienen equidistancia respecto a un punto fijo y una recta. Este lugar se crea a partir de la acción de un plano que es paralelo a la generatriz y que disecciona un cono circular.

La parábola constituye una curva cónica que suele trazarse en fenómenos frecuentes, como la caída de agua de una fuente o el movimiento de un balón o pelota que es impulsado por un jugador de básquetbol: “Manu Ginóbili lanzó con una gran parábola para evitar a su defensor y logró encestar”.

Teoremas1: La ecuación de una parábola de vértice en el origen y el eje X, es:  En donde el foco es el punto (p, 0) y la ecuación de la directriz es x = - p.   Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda. Si el eje de una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su ecuación es:

En donde el foco es el punto (0, p), y la ecuación de la directriz es y = - p. Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado.

2: La ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje x, es de la forma: (y – k)² = 4p (x – h)Siendo |p| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice. Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha, p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda. Si el vértice es el punto (h,k) y el eje y su ecuación es de la forma:(x – h)² = 4p (y – k)Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba, si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.

Propiedades:

La parábola se puede considerar como una elipse, uno de cuyos vértices se encuentra en el infinito, así como el centro de la curva. Partiendo de esta consideración, comprobaremos que las propiedades enunciadas para la elipse, se cumplen igualmente en la parábola. La circunferencia principal Cp, pasará por el vértice V de la curva, y dado que el centro de la curva se encuentra en el infinito, la circunferencia principal resulta ser la recta perpendicular al eje en el vértice V. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares (Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la parábola.

hipérbola

Es aquella curva plana y simétrica respecto de dos planos perpendiculares entre sí, mientras que la distancia en relación a dos puntos o focos resulta constante.O sea, la hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas que se podrá obtener al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje que impone simetría; y con un ángulo más pequeño que el de la generatriz respecto del eje de revolución.Cabe destacar que se trata del lugar geométrico de los puntos de un plano, siendo el valor absoluto de sus distancias a dos puntos fijos, los focos, igual a la distancia entre los vértices, la cual resulta ser una constante positiva.

Teorema de Dandelin

Teniendo nuestra superficie cónica sabemos como obtener una hipérbola.

Aquí tenemos Las intersecciones del plano con las generatrices que nos dan los puntos A y B, los vértices. Cambien tenemos dos esferas tangentes al plano en los puntos F1 y F2 que son los focos, y a la superficie cónica formando las circunferencias tangentes(que pasan por T1y T2 una y por T3 y T4 la otra), cuyos planos al extenderlos cortan el plano de corte y nos dan las directrices d1 y d2.

 

Ahora en esta imagen podemos tomar la generatriz de la superficie cónica que pasa por un punto P.

Esta corta a la esfera superior en un punto A y a la esfera inferior en un punto B. Es evidente que sea cual sea el punto P, tenemos siempre la relación |PB – PA| =AB = Cte. os puntos A y F1 son puntos de la esfera superior, el segmento PA esta en la generatriz así que es tangente a dicha esfera y el segmento PF1 también lo es pues esta en el plano de corte y la esfera es tangente al plano. Así pues PA y PF1 son segmentos de tangente a la esfera trazados desde un mismo punto por lo que PA = PF1 Lo mismo tenemos para los puntos B y F2,, el segmento PB es parte de la generatriz por lo tanto es tangente a la esfera inferior y el segmento PF2 se encuentra en el plano de corte por lo que también es tangente a la esfera, siendo dos segmentos de tangente a la esfera trazados desde el mismo punto tenemos que: PB = PF2, Por un lado teníamos que: |PB – PA| =AB = Cte. Y por el otro obtuvimos que: PA = PF1 y PB = PF2, por lo tanto el resultado es: |PF1 – PF2| = Cte.

Propiedades

La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real. Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a; el eje menor se representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva. Los focos están en el eje real. La distancia focal se representa por 2c. Entre a, b y c existe la relación c2 = a2 + b2. La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto respecto del centro O. Las rectas que unen un punto M de la curva con dos focos, se llaman radios vectores r y r' y por definición se verifica: r - r' = 2a.

Enlaces de youtube cónicas

Parábola: https://www.youtube.com/watch?v=gPkF2g0D8FU

Elipse: https://www.youtube.com/watch?v=ira6fc3zuRg

Hipérbola: https://www.youtube.com/watch?v=ORQ_XfVXA2Q

Curva Plana

es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada. La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana. Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave.

  Eliminación del Parámetro

Dada una curva en su representación paramétrica, a veces, resulta conveniente expresarla en su forma rectangular o polar, para esto, será necesario eliminar el parámetro t. Desafortunadamente no existe un método único para eliminar elparámetro t y tendremos que aplicar alguno de los vistos en álgebra o aplicar identidades trigonométricas que hagan posible su eliminación

Ejemplo

Curva suave

Una curva C representada por x = f (t) y y = g(t) es un intervalo I, se dice que es suave si f ' g' son continuas en el intervalo y no son simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos terminales del intervalo. Es suave a trozos si es suave en subintervalos del intervalo I.

Enlaces de youtube

curva planahttps://www.youtube.com/watch?v=OWGLtaOXppQEcuaciones parametricashttps://www.youtube.com/watch?v=zuADQhh8huo