20
1 Conceptes previs 1 Equació d'una recta al pla Forma implícita: Ax + By + C = 0. Forma explícita: y = mx + b m - pendent = tg b - ordenada a l'origen Exemple: PROGRAMACIÓ LINEAL

Programació Lineal

  • Upload
    garbiol

  • View
    146

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

1

Conceptes previs 1 Equació d'una recta al pla

Forma implícita: Ax + By + C = 0. Forma explícita: y = mx + b

• m - pendent = tg • b - ordenada a l'origen• Exemple:

PROGRAMACIÓ LINEAL

2

PROGRAMACIÓ LINEAL

A tenir en compte:

La recta està més inclinada quan major és el valor de m.

Totes les rectes amb el mateix pendent són paral·leles.

Feix de rectes paral·leles: donada una recta y = mx+b totes les rectes y = mx + k on kR formen un feix de rectes paral·leles.

3

Conceptes previs 2 Tall de dues rectes Analíticament. S'apliquen els mètodes de resolució de sistemes

d'equacions

Exemple:

.

PROGRAMACIÓ LINEAL

214413313

3

yxxxxigualacióPerxy

xy

4

PROGRAMACIÓ LINEAL

•Gràficament, es representen les dues rectes i es busca el punt de tall

5

Conceptes previs 3 Inequació lineal Donada una recta y = mx+b, la seva gràfica divideix el pla en dos

semiplans els punts dels quals compleixen les següents inequacions: y mx + b, y mx + b.

Per reconèixer la inequació de cada semiplà només cal substituir les coordenades d'un punt ,que no estigui a la recta, en l’equació de la recta i veure quina de les dues inequacions és compleix.

PROGRAMACIÓ LINEAL

6

Conceptes previs 3 Inequació lineal Donada una recta y = mx+b, la seva gràfica divideix el pla en dos

semiplans els punts dels quals compleixen les següents inequacions: y mx + b, y mx + b.

Per reconèixer la inequació de cada semiplà només cal substituir les coordenades d'un punt ,que no estigui a la recta, en l’equació de la recta i veure quina de les dues inequacions és compleix.

PROGRAMACIÓ LINEAL

Exemple: A partir de la gràfica de y = 3x-1 i agafant el punt (0,0), substituint 0>3·0-1 0 > -1, tenim localitzats el dos semiplans:

7

Conceptes previs 4 Sistemes d'inequacions lineals

La resolució d'un sistema d'inequacions lineals equival a trobar la zona del pla que compleix totes les inequacions.

Caldrà representar els semiplans corresponents a cada desigualtat i veure la zona comuna a tots els semiplans:

PROGRAMACIÓ LINEAL

8

Conceptes previs 4 Sistemes d'inequacions lineals

La resolució d'un sistema d'inequacions lineals equival a trobar la zona del pla que compleix totes les inequacions.

Caldrà representar els semiplans corresponents a cada desigualtat i veure la zona comuna a tots els semiplans:

PROGRAMACIÓ LINEAL

Exemple:

3

13

xy

xy

9

Formulació d'un problema de programació lineal. Un problema de programació lineal és un problema d'optimització

d'una funció que està sotmesa a uns restriccions de desigualtats. Si la funció a optimitzar i les restriccions són lineals, estem parlant

de programació lineal. Cal conèixer:

La funció objectiu (F.O.): és la funció a optimitzar.La regió factible(R.F.): conjunt de les possibles solucions i

que ve donada per la regió intersecció de totes les restriccions.

És convex: i tancat: conté a tots els

punts frontera

1,0)1(.,.,

FyxFRyx

PROGRAMACIÓ LINEAL

10

PROGRAMACIÓ LINEAL

Possibles solucions:No hi ha òptims interiors a la R.F. ( Només quan la F.O. és constant).Els òptims estan en les arestes i els vèrtex de la R.F.Si dos vèrtex són òptims també ho són tots els punts de l'aresta que els uneix.Si un punt d'una aresta és òptim també ho són tots els punts de l'aresta.

GENERALITZANT:

nrnxmnaxma

rnxnaxa

........111

.............................................11........111

11

Formulació d'un problema de programació lineal. Un problema de programació lineal és un problema d'optimització

d'una funció que està sotmesa a uns restriccions de desigualtats. Si la funció a optimitzar i les restriccions són lineals, estem parlant

de programació lineal. Cal conèixer:

La funció objectiu (F.O.): és la funció a optimitzar.La regió factible(R.F.): conjunt de les possibles solucions i

que ve donada per la regió intersecció de totes les restriccions.

És convex: i tancat: conté a tots els

punts frontera

1,0)1(.,.,

FyxFRyx

PROGRAMACIÓ LINEAL

Formulació general.Maximització:Per n variables i m restriccions:

F.O. f(x1,x2,...,xn) = C1x1+c2x2+c3x3+...+Cnxn.

m Restriccions:

n restriccions de no negativitat xi 0 i= 1,...., nMinimitzacióTot igual menys les restriccions que són , si no ho fossin es multiplica per -1.

nrnxmnaxma

rnxnaxa

........111

.............................................11........111

12

PROGRAMACIÓ LINEAL

Resolució d'un problema de programació lineal per dues variables.Trobada la funció objectiu i la regió factible, la resolució consisteix en:

Analíticament:Trobar els vèrtex de la regió factible: punts de tall de les inequacions restriccions del problema.Substituir les coordenades dels vèrtex en la funció objectiu per veure quin optimitza la funció.

Gràficament: cal interpretar que la optimització de la F.O., equival a trobar, d'entre el feix de rectes definides pel pendent d'aquesta, la que té una major ordenada a l'origen, tot passant pels vèrtex de la R.F.. Això té molt a veure amb les inclinacions de la F.O. i les rectes restriccions del problema.Per això cal:

Trobar el pendent de la F.O.

Trobar els pendents de les restriccions.

Esbrinar entre quins pendents està el pendent de la F.O.

El vèrtex intersecció d'aquestes dues inequacions ens optimitza la F.O.

13

PROGRAMACIÓ LINEAL Exemples

1 Un problema de dieta:

Suposem que una persona per cobrir les seves necessitats nutritives necessita tres tipus d'elements: glucosa, proteïnes i vitamina A. Suposem també que la dieta d'una persona consta només de dos aliments I i II, els preus i els continguts dels quals venen indicats en la taula següent:

Aliment I Aliment II

Preu pe unitat 0'6 1'00 Glucosa 10 gr/unitat 4 gr/unitat

Proteïna 5 gr/unitat 5 gr/unitat

Vitamina A 2 gr/unitat 6 gr/unitat

Es considera que una persona per anar ben alimentada ha de consumir com a mínim 20 grs de glucosa, 20 grs de proteïnes i 12 grs de vitamina A.

Quina és la combinació dels dos elements que cobreix les necessitats diàries i produeix el mínim cost ?.

14

9 Optimització - Exemples_

Resolució:

Assignació de variables: x - quantitat de l'aliment I que pren diàriament.

y - quantitat de l'aliment II que pren diàriament.

Funció objectiu: C(x,y) = 0'6 x + 1'00 y

Regió factible:

Tots els punts de la R.F. són possibles combinacions d'aliments I i II, hem de buscar quin d'aquests fa mínim el cost. Com es compleixen les condicions d'un problema de programació lineal, hem de buscar la solució entre les vèrtex de la regió factible.

Restriccions(Necessitats de nutrició diària)

)5(0

)4(0

min)3(1262

Pr)2(2055

cos)1(20410

y

x

AaVitayx

oteïnesyx

aGluyx

Aliment I Aliment II Mínims

Preu pe unitat 0'6 1'00 Glucosa 10 gr/unitat 4 gr/unitat 20 gr.Proteïna 5 gr/unitat 5 gr/unitat 20 gr.Vitamina A 2 gr/unitat 6 gr/unitat 12 gr.Incògnites x y

15

PROGRAMACIÓ LINEAL Exemples

1 Un problema de dietaResolució analítica:Com es compleixen les condicions d'un

problema de programació lineal, hem de buscar la solució entre les vèrtex de la regió factible.Els vèrtex són:

A(6,0) C(A) = 3'6 €

B(3,1) C(B) = 2'8 €

C(0'667,0'333) C(C) = 3'77 € D(0,5) C(D) = 5 €

Solució: El cost es fa mínim en B(3,1), caldrà prendre 3 unitat de l'aliment I i 1 de l'aliment II per obtenir un cost mínim de 2'8 €.

16

PROGRAMACIÓ LINEAL Exemples

1 Un problema de dietaResolució gràfica:En forma

explícita obtenim els pendents:

F.O. y = -0'6x + C

(1)y = -2'5x + 5

(2)y = -x + 4

(3)y = -0'33x + 2

Comparant-les m(2)<mF.O.<m(3),

el vèrtex determinat per aquestes

dues restriccions ens proporciona la dieta amb cost mínim:

Es pot veure al gràfic que de tot el feix de rectes paral·leles de la F.O.la que té una ordenada a l'origen més petita és la que passa pel punt B(3,1).

Solució: el cost es fa mínim en B(3,1). Cal prendre 3unitats de l'aliment I i 1 de l'aliment II per tenir un cost mínim de 0'6·3+1·1 = 2'8 €.

17

PROGRAMACIÓ LINEAL Exemples 2 Un problema de producció. Una empresa produeix dos tipus de productes "Normal" i “Super” en una planta que

consta de tres departaments: selecció, muntatge i empaquetament. Els equips de cada departament poden treballar 8 hores diàries. El procés de producció es pot resumir de la forma següent:

(1)El producte "Normal" és primerament seleccionat i després empaquetat. Cada tona d'aquest producte necessita 1/2 hora de selecció i 1/3 d'hora per l'empaquetat.

(2)El producte "Super" primerament es munta i després s'empaqueta, necessitant cada tona 1 hora de muntatge i 2/3 d'hora d'empaquetat.

El nivell de producció global de l'empresa ha de ser com a mínim de 3 tones diàries. Finalment els productes "Normal" i "Super" són venuts i l'empresa n'obté un benefici

net de 40 $ i 30 $ respectivament per tona. Quina combinació de producte haurà de produir l'empresa per tal de maximitzar el

benefici total (brut) ?.

18

9 Optimització - Exemples_

Resolució:

Assignació de variables: x - tones per dia del producte “Normal”.

y - tones per dia del producte “Super”. Funció objectiu: B(x,y) = 40 x + 30 y

Regió factible

Tots els punts de la R.F. són possibles combinacions d'aliments I i II, hem de buscar quin d'aquests fa mínim el cost. Com es compleixen les condicions d'un problema de programació lineal, hem de buscar la solució entre les vèrtex de la regió factible.

Restriccions(Hores diàries

necessàries)

)6(0

)5(0

3)4(3

242)3(83

2

3

1

8)2(810

16)1(802

1

y

x

yxdiàriaproduccióNivellyx

yxgeEmpaquetatyx

yMuntatgeyx

xSeleccióyx

19

PROGRAMACIÓ LINEAL Exemples

2 Un problema de produccióResolució analítica:

Els vèrtex són: A(3,0) B(A) = 120 $B(16,0) B(B) = 640 $C(16,4) B(C) = 760 $D(8,8) B(D) = 560 $E(0,8) B(E) = 240 $F(0,3) B(F) = 90 $

Solució: El benefici és màxim en C(16,4), caldrà produir 16 tones del producte “Normal” i 4 del producte “Super” per obtenir un benefici màxim de 760 $.

20

PROGRAMACIÓ LINEAL Exemples

2 Un problema de produccióResolució gràfica: En forma explícita

obtenim els pendents:

F.O. y = -1'33 x + B

(3) y = -0'5 x + 12

(4) y = -x + 3

• Comparant observem que mF.O.<m(4), la qual cosa ens indica que la inclinació de la F.O. es menor que la de les restriccions(3) i (4), la qual cosa ens diu que el vèrtex C ens proporciona el benefici màxim:

• Es pot veure al gràfic que de tot el feix de rectes paral·leles de la F.O.la que té una ordenada a l'origen més gran és la que passa pel punt C(16,4).Solució: el benefici és màxim en C(16,4). Cal produir 16 tones del producte “Normal” i 4 del producte “Super” per obtenir un benefici màxim de 760 $.