Reguläre Äquivalenz - IP-Formulierung von Blockmodellen

Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick

Reguläre ÄquivalenzIP-Formulierung von Blockmodellen

Jens Fielenbach

Arbeitsgruppe ComOptvon Prof. Dr. Gerhard Reinelt

Fakultät für Mathematik und InformatikUniversität Heidelberg

Seminar Analyse von Netzwerken im SS 2011


Gliederung

1 Ausgangspunkt / MotivationWiederholung der DefinitionenExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzWas will man mehr?

2 BlockmodellierungBlockmodellierung als OptimierungsproblemKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)IP-Formulierung


Wiederholung der Definitionen

Reguläre Äquivalenz

Definition (Reguläre Äquivalenz)

Eine Äquivalenzrelation der Knotenmenge eines GraphenG = (V ,E) heißt regulär, wenn für jedes Knotenpaar (u, v) mitu ≡ w stets folgende Implikationen gelten:

i (uv ∈ E) =⇒ (∃z ≡ v : wz ∈ E)

ii (vu ∈ E) =⇒ (∃z ≡ v : zw ∈ E)

Merksatz in Prosa

Knoten der selben Äquivalenzklasse haben Knoten dergleichen Äquivalenzklassen in ihrer jeweiligen Menge vonNachbarn.


Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz

Ein kleines Beispiel zum Warmwerden. . .

2

34

1

Abbildung: Finden Sie ein oder mehrere reguläre Äquivalenzen!



Eine Lösung2

34

1

Alle regulären Äquivalenzen1234

14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34

1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34

1/2/3/4



Eine Lösung2

34

1

Alle regulären Äquivalenzen1234

14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34

1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34

1/2/3/4



Der CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993]

Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen.1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse.

Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich.

2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu.

3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen:→ Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent.→ Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten.

4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind.

5 Gebe Partition P als Lösung zurück.











































































Eigenschaften

Terminiert mit dem sog. Regular Interior [Borgatti und Everett]

d.h. der maximalen regulären Partion P ≤ der Startpartition.

Laufzeit O(n3)

maximal n Iterationen, da Anzahl der Äquivalenzklassenstreng monoton steigend – bis auf den letzten Schritt.

Laufzeit eines Schritts beträgt O(n(n−1)2 ) = O(n2).

Prädestiniert für Umgang mit Multiplen Relationen

über stets separate Bestimmung der Nachbarschaftsmengen

Implementierung

nicht mehr als 300-400 Zeilen Quellcode in C++



Eigenschaften



Laufzeit O(n3)





Implementierung




Eigenschaften



Laufzeit O(n3)





Implementierung




Eigenschaften



Laufzeit O(n3)





Implementierung




Beispiel: Geschäftsbeziehungen von 70 Fotografen

Wer beliefert wen? [weitgehende Planardarstellung mit Social Network Visualizer SocNetV]

1

2

3

4

5

6

7

8

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5354

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5859

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62

63

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65

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67

68

69

70



Exemplarisch die Iterationsschritte. . .

Anzahl der Äquivalenzklassen: 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69



‖ 0 5 49 53 ‖ 1 6 7 14 18 20 22 24 29 30 35 36 37 41 43 45 47 57 59 61 62 63 64 65 66 68 ‖ 2 38 60 ‖3 4 10 11 12 13 16 23 25 26 27 31 33 40 42 50 55 ‖ 8 19 56 ‖ 9 17 28 32 34 39 44 51 54 67 ‖15 21 46 48 52 58 ‖ 69 ‖



Äquivalenz mit 8 Klassen

Finden Sie einen Fehler (eine Irregularität)!

1

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43

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5354

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5859

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69

70





‖ 0 5 49 53 ‖ 1 6 7 14 18 20 22 24 29 30 35 36 37 41 43 45 47 57 59 61 62 63 64 65 66 68 ‖ 2 38 60 ‖3 4 10 11 12 13 16 23 25 26 27 31 33 40 42 50 55 ‖ 8 19 56 ‖ 9 17 28 32 34 39 44 51 54 67 ‖15 21 46 48 52 58 ‖ 69 ‖





‖ 0 5 49 53 ‖ 1 6 7 14 18 20 22 24 29 30 35 36 37 41 43 45 47 57 59 61 62 63 64 65 66 68 ‖ 2 38 60 ‖3 4 10 11 12 13 16 23 25 26 27 31 33 40 42 50 55 ‖ 8 19 56 ‖ 9 17 28 32 34 39 44 51 54 67 ‖15 21 46 48 52 58 ‖ 69 ‖






‖ 0 5 49 53 ‖ 1 6 7 14 18 20 22 24 29 30 35 36 37 41 43 45 47 57 59 61 62 63 64 65 66 68 ‖ 2 38 60 ‖3 4 10 11 12 13 16 23 25 26 27 31 33 40 42 50 55 ‖ 8 19 56 ‖ 9 17 28 32 34 39 44 51 54 67 ‖15 21 46 48 52 58 ‖ 69 ‖



‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 23 25 26 33 42 55 ‖ 4 11 16 27 31 ‖ 5 53 ‖ 6 29 ‖7 24 41 45 47 61 62 63 65 66 68 ‖ 8 ‖ 9 17 ‖ 12 40 ‖ 14 18 30 35 37 43 57 64 ‖ 15 ‖ 19 ‖ 20 36 ‖21 ‖ 22 59 ‖ 28 67 ‖ 32 34 39 54 ‖ 38 60 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 48 52 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 56 ‖ 58 ‖ 69 ‖





‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 23 25 26 33 42 55 ‖ 4 11 16 27 31 ‖ 5 53 ‖ 6 29 ‖7 24 41 45 47 61 62 63 65 66 68 ‖ 8 ‖ 9 17 ‖ 12 40 ‖ 14 18 30 35 37 43 57 64 ‖ 15 ‖ 19 ‖ 20 36 ‖21 ‖ 22 59 ‖ 28 67 ‖ 32 34 39 54 ‖ 38 60 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 48 52 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 56 ‖ 58 ‖ 69 ‖





‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 23 25 26 33 42 55 ‖ 4 11 16 27 31 ‖ 5 53 ‖ 6 29 ‖7 24 41 45 47 61 62 63 65 66 68 ‖ 8 ‖ 9 17 ‖ 12 40 ‖ 14 18 30 35 37 43 57 64 ‖ 15 ‖ 19 ‖ 20 36 ‖21 ‖ 22 59 ‖ 28 67 ‖ 32 34 39 54 ‖ 38 60 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 48 52 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 56 ‖ 58 ‖ 69 ‖






‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 23 25 26 33 42 55 ‖ 4 11 16 27 31 ‖ 5 53 ‖ 6 29 ‖7 24 41 45 47 61 62 63 65 66 68 ‖ 8 ‖ 9 17 ‖ 12 40 ‖ 14 18 30 35 37 43 57 64 ‖ 15 ‖ 19 ‖ 20 36 ‖21 ‖ 22 59 ‖ 28 67 ‖ 32 34 39 54 ‖ 38 60 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 48 52 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 56 ‖ 58 ‖ 69 ‖



‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 25 26 55 ‖ 4 ‖ 5 ‖ 6 ‖ 7 24 41 45 47 62 63 65 66 ‖ 8 ‖ 9 ‖ 11 16 27 31 ‖ 12 ‖14 18 35 ‖ 15 ‖ 17 ‖ 19 ‖ 20 ‖ 21 ‖ 22 59 ‖ 23 ‖ 28 67 ‖ 29 ‖ 30 57 ‖ 32 34 ‖ 33 42 ‖ 36 ‖ 37 ‖ 38 ‖39 ‖ 40 ‖ 43 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 48 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 52 ‖ 53 ‖ 54 ‖ 56 ‖ 58 ‖ 60 ‖ 61 ‖ 64 ‖ 68 ‖ 69 ‖





‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 25 26 55 ‖ 4 ‖ 5 ‖ 6 ‖ 7 24 41 45 47 62 63 65 66 ‖ 8 ‖ 9 ‖ 11 16 27 31 ‖ 12 ‖14 18 35 ‖ 15 ‖ 17 ‖ 19 ‖ 20 ‖ 21 ‖ 22 59 ‖ 23 ‖ 28 67 ‖ 29 ‖ 30 57 ‖ 32 34 ‖ 33 42 ‖ 36 ‖ 37 ‖ 38 ‖39 ‖ 40 ‖ 43 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 48 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 52 ‖ 53 ‖ 54 ‖ 56 ‖ 58 ‖ 60 ‖ 61 ‖ 64 ‖ 68 ‖ 69 ‖





‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 25 26 55 ‖ 4 ‖ 5 ‖ 6 ‖ 7 24 41 45 47 62 63 65 66 ‖ 8 ‖ 9 ‖ 11 16 27 31 ‖ 12 ‖14 18 35 ‖ 15 ‖ 17 ‖ 19 ‖ 20 ‖ 21 ‖ 22 59 ‖ 23 ‖ 28 67 ‖ 29 ‖ 30 57 ‖ 32 34 ‖ 33 42 ‖ 36 ‖ 37 ‖ 38 ‖39 ‖ 40 ‖ 43 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 48 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 52 ‖ 53 ‖ 54 ‖ 56 ‖ 58 ‖ 60 ‖ 61 ‖ 64 ‖ 68 ‖ 69 ‖






‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 25 26 55 ‖ 4 ‖ 5 ‖ 6 ‖ 7 24 41 45 47 62 63 65 66 ‖ 8 ‖ 9 ‖ 11 16 27 31 ‖ 12 ‖14 18 35 ‖ 15 ‖ 17 ‖ 19 ‖ 20 ‖ 21 ‖ 22 59 ‖ 23 ‖ 28 67 ‖ 29 ‖ 30 57 ‖ 32 34 ‖ 33 42 ‖ 36 ‖ 37 ‖ 38 ‖39 ‖ 40 ‖ 43 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 48 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 52 ‖ 53 ‖ 54 ‖ 56 ‖ 58 ‖ 60 ‖ 61 ‖ 64 ‖ 68 ‖ 69 ‖



‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 26 ‖ 4 ‖ 5 ‖ 6 ‖ 7 24 47 63 ‖ 8 ‖ 9 ‖ 11 ‖ 12 ‖ 14 18 35 ‖ 15 ‖ 16 27 31 ‖17 ‖ 19 ‖ 20 ‖ 21 ‖ 22 59 ‖ 23 ‖ 25 ‖ 28 67 ‖ 29 ‖ 30 ‖ 32 34 ‖ 33 42 ‖ 36 ‖ 37 ‖ 38 ‖ 39 ‖ 40 ‖41 45 62 ‖ 43 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 48 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 52 ‖ 53 ‖ 54 ‖ 55 ‖ 56 ‖ 57 ‖ 58 ‖ 60 ‖ 61 ‖ 64 ‖65 66 ‖ 68 ‖ 69 ‖





‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 26 ‖ 4 ‖ 5 ‖ 6 ‖ 7 24 47 63 ‖ 8 ‖ 9 ‖ 11 ‖ 12 ‖ 14 18 35 ‖ 15 ‖ 16 27 31 ‖17 ‖ 19 ‖ 20 ‖ 21 ‖ 22 59 ‖ 23 ‖ 25 ‖ 28 67 ‖ 29 ‖ 30 ‖ 32 34 ‖ 33 42 ‖ 36 ‖ 37 ‖ 38 ‖ 39 ‖ 40 ‖41 45 62 ‖ 43 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 48 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 52 ‖ 53 ‖ 54 ‖ 55 ‖ 56 ‖ 57 ‖ 58 ‖ 60 ‖ 61 ‖ 64 ‖65 66 ‖ 68 ‖ 69 ‖





‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 26 ‖ 4 ‖ 5 ‖ 6 ‖ 7 24 47 63 ‖ 8 ‖ 9 ‖ 11 ‖ 12 ‖ 14 18 35 ‖ 15 ‖ 16 27 31 ‖17 ‖ 19 ‖ 20 ‖ 21 ‖ 22 59 ‖ 23 ‖ 25 ‖ 28 67 ‖ 29 ‖ 30 ‖ 32 34 ‖ 33 42 ‖ 36 ‖ 37 ‖ 38 ‖ 39 ‖ 40 ‖41 45 62 ‖ 43 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 48 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 52 ‖ 53 ‖ 54 ‖ 55 ‖ 56 ‖ 57 ‖ 58 ‖ 60 ‖ 61 ‖ 64 ‖65 66 ‖ 68 ‖ 69 ‖






‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 26 ‖ 4 ‖ 5 ‖ 6 ‖ 7 24 47 63 ‖ 8 ‖ 9 ‖ 11 ‖ 12 ‖ 14 18 35 ‖ 15 ‖ 16 27 31 ‖17 ‖ 19 ‖ 20 ‖ 21 ‖ 22 59 ‖ 23 ‖ 25 ‖ 28 67 ‖ 29 ‖ 30 ‖ 32 34 ‖ 33 42 ‖ 36 ‖ 37 ‖ 38 ‖ 39 ‖ 40 ‖41 45 62 ‖ 43 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 48 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 52 ‖ 53 ‖ 54 ‖ 55 ‖ 56 ‖ 57 ‖ 58 ‖ 60 ‖ 61 ‖ 64 ‖65 66 ‖ 68 ‖ 69 ‖



‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 26 ‖ 4 ‖ 5 ‖ 6 ‖ 7 24 63 ‖ 8 ‖ 9 ‖ 11 ‖ 12 ‖ 14 18 35 ‖ 15 ‖ 16 27 31 ‖ 17 ‖19 ‖ 20 ‖ 21 ‖ 22 59 ‖ 23 ‖ 25 ‖ 28 67 ‖ 29 ‖ 30 ‖ 32 34 ‖ 33 42 ‖ 36 ‖ 37 ‖ 38 ‖ 39 ‖ 40 ‖41 45 62 ‖ 43 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 47 ‖ 48 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 52 ‖ 53 ‖ 54 ‖ 55 ‖ 56 ‖ 57 ‖ 58 ‖ 60 ‖ 61 ‖64 ‖ 65 66 ‖ 68 ‖ 69 ‖



70 Fotografen, 54 verschiedene Typen


‖ 0 ‖ 1 ‖ 2 ‖ 3 10 13 26 ‖ 4 ‖ 5 ‖ 6 ‖ 7 24 63 ‖ 8 ‖ 9 ‖ 11 ‖ 12 ‖ 14 18 35 ‖ 15 ‖ 16 27 31 ‖ 17 ‖19 ‖ 20 ‖ 21 ‖ 22 59 ‖ 23 ‖ 25 ‖ 28 67 ‖ 29 ‖ 30 ‖ 32 34 ‖ 33 42 ‖ 36 ‖ 37 ‖ 38 ‖ 39 ‖ 40 ‖41 45 62 ‖ 43 ‖ 44 ‖ 46 ‖ 47 ‖ 48 ‖ 49 ‖ 50 ‖ 51 ‖ 52 ‖ 53 ‖ 54 ‖ 55 ‖ 56 ‖ 57 ‖ 58 ‖ 60 ‖ 61 ‖64 ‖ 65 66 ‖ 68 ‖ 69 ‖

Ist eine solche Anzahl von Klassen noch sinnvoll fürdas Treffen qualitativer analytischer Aussagen?


Was will man mehr?

Problemfeld 1: Fehlertoleranz gegenüber Realdaten

Einzelne Perturbation2

34

1

Rollen-Primitivität1234

14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34

1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34

1/2/3/4

– Kleine Ungenauigkeiten in den zu Grunde gelegtenBeziehungsdaten führen zu völlig anderer Klassenstruktur

+ Arbeitsweise des Algorithmus dafür leicht nachvollziehbar.


Was will man mehr?



34

1


14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34

1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34

1/2/3/4




Was will man mehr?



34

1


14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34

1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34

1/2/3/4




Was will man mehr?

Problemfeld 2: Einbringung von Vorwissen

1234

14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34

1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34

1/2/3/4

+ Im Prinzip von jeder Partition aus startbar, so lässt sich dieTrennung bestimmter Knoten erzwingen.

– Trotz strukturellem Vorwissen ist weder Klassenzahl nochRollengraph vorgebbar.


Was will man mehr?


1234

14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34

1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34

1/2/3/4




Was will man mehr?


1234

14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34

1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34

1/2/3/4




Blockmodellierung als Optimierungsproblem

Grundideen der Blockmodellierung

1 Klassenzahl und Rollengraph als Modell-Annahme2 Knoten bestmöglich den Rollen zuordnen



Gütebeurteilung: Was bedeutet bestmöglich?

Die Zielfunktion ∆ soll folgende Eigenschaften erfüllen:1 ∆(P) ≥ 02 ∆(P) = 0⇔ P ist exakt regulär.

Sei Θk die Menge aller Partitionen mit k Klassen. Dann ist zulösen das Optimierungsproblem

∆(P∗) = minP∈Θk

∆(P)



Gütebeurteilung: Was bedeutet bestmöglich?

Wähle für ∆ die Definition

∆(P) =∑

Cu ,Cv∈P

{min

B∈B(Cu ,Cv )d(Cu × Cv ,B)

}

mitCu Cluster = Äquivalenzklasse mit Repräsentant u

Cu × Cv Block = kartesisches Produkt der Cluster (Cu,Cv )

B(Cu,Cv ) Menge aller Idealblöcke für Cu × Cv

d noch zu definierende Abstandsfunktion



Wie sehen ideale reguläre Blockmatrizen aus?

Definition (Regulärer Block)

Eine Block Cu × Cv heißt regulär, wenn er in jeder Zeile undjeder Spalte mindestens eine 1 enthält.

Definition (Reguläre Matrix)

Eine Matrix heißt regulär, wenn sie nur aus Nullblöcken undregulären Blöcken besteht.

Lemma (Konsistenz der Definition)Eine Blockmatrix R ist genau dann regulär, wenn sie einereguläre Partition darstellt.




















Beweis des Lemmas für Zeilen (Spalten analog).

„⇒“ Sei R regulär. Im Falle, dass Cu × Cv Nullblock ist nichtszu zeigen. Da für jeden Block Cu × Cv gilt

Cu × Cv regulär =⇒ ∀w ∈ Cu ∃z ∈ Cv : rwz = 1 =⇒ P reg.

„⇐“ Angenommen die Blockmatrix R stelle die regulärePartition P dar, aber ein Block Cu × Cv sei weder Null- nochregulärer Block. Sei o. B. d. A.

(ruv = 1)P reg.=⇒ (∀w ∈ Cu ∃z ∈ Cv : rwz = 1)

Dann wäre aber Cu × Cv regulär �zur Annahme.



Naheliegende Definition

Definition (Abstandsfunktion d)

d(Cu × Cv ,B) ={#Nullzeilen + #Nullspalten, falls Cu × Cv regulär#Einsen, falls Cu × Cv Nullblock

Bemerkung

Obige Definition von d gewichtet Abweichungen in Nullblöckenim Mittel stärker als in regulären Blöcken. Allerdings wird so dieIP-Formulierung später wesentlich übersichtlicher.



Lösungsansätze

Definition (Lokale Transformation)1 Vertausche zwei Zeilen bzw. Spalten aus verschiedenen

Clustern.2 Verschiebe eine Zeile bzw. Spalte in einen anderen

Cluster.

Gradienten-VerfahrenEs werden solange lokale Transformationen durchgeführt, wiedadurch ∆ (ganzzahlig) reduziert wird. Das erreichte Optimumist lokal. Globale Optimalität ist nur im Falle ∆ = 0 garantiert.

Daraus ergibt sich grundsätzliche Frage: Wann gibt es einexakt reguläre Partition mit genau k Äquivalenzklassen?


Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)

Reguläre k -Zuweisbarkeit für ungerichtete Graphen

Definition (Reguläre k -Zuweisbarkeit)

Ein ungerichteter Graph G heißt regulär k -zuweisbar, wenn fürihn eine exakte reguläre Äquivalenz mit genau k Klassenexistiert.

Leicht: k = 1 und k = |V | Schwer ist dagegen. . .

Satz (NP-Vollständigkeit von 2RA)

Das Entscheidungsproblem, ob ein ungerichteter Graph Gregulär 2-zuweisbar ist, ist NP-vollständig, falls N 6= NP.



























2-Rollenverteilungen eines ungerichteten Graphen

Definition (2RAi )Mit 2RAi bezeichnen wir das Teilproblem, zu entscheiden ob Gregulär 2-zuweisbar ist mit Rollengraph Ri .

Abbildung: Anzeichnen

R5

R6

4RR1

R2

3R



Polynomiell entscheidbare Teilprobleme von 2RA

Lemma (für 2RAi , i = 1 . . . 4)Der Graph G hat genau dann eine Rollenzuweisung mit

R1 wenn G aus lauter isolierten Knoten besteht.R2 wenn G sowohl isolierte Knoten als auch einen

zusammenhängenden Teil besitzt.R3 wenn G keine isolierten Knoten, dafür aber

mindestens zwei Zusammenhangskomponentenbesitzt.

R4 wenn G keine isolierten Knoten besitzt und bipartitist.



































Skizze der Beweisführung

Beweisidee.

Zeige 3SAT (NP-vollständig nach Cook) �p 2RAklar !∈ NP.

Vorgehen.

Für eine beliebige Instanz von 3SAT mitVariablenmenge U = {u1,u2, . . . ,ui , . . . ,un}Aussagenmenge C = {c1, c2, . . . , cj , . . . , cm}konstruiere einen Graphen, der genau dann regulär2-zuweisbar ist, wenn die 3SAT -Instanz erfüllbar ist.



Skizze der Beweisführung

Beweisidee.

Zeige 3SAT (NP-vollständig nach Cook) �p 2RAklar !∈ NP.

Vorgehen.

Für eine beliebige Instanz von 3SAT mitVariablenmenge U = {u1,u2, . . . ,ui , . . . ,un}Aussagenmenge C = {c1, c2, . . . , cj , . . . , cm}konstruiere einen Graphen, der genau dann regulär2-zuweisbar ist, wenn die 3SAT -Instanz erfüllbar ist.



Übertragung von 3SAT auf Graphen

Truth-Setting Ti und Satisfaction-Testing-Komponenten Sj

cj3

bj1

bj3

iuui

T i(a) Sj(b)

cj1 j2c



Beispielgraph zum Beweis von 3SAT �p 2RA5

Konstruktion in PTIME aus der 3SAT -InstanzU = {u1,u2,u3,u4} und C = {{u1,u2, u3}, {u2, u3,u4}}

u u uu

a11

12a

a13

a21

a22

23a

a31

a32

a33

a41

a42

a43

c11 c13

b11

b12

b13

c12

c21 c23

b21

b22

b23

c22

u u u u1 2 3 41 2 3 4



Beispielgraph zum Beweis von 2RA5 �p 2RA

Konstruktion in PTIME

u 1 u 2

u 1 u 2

x 1 y 1 x 2 y2

a 1 b 2

a 2b 1

C1 C2

GG (b)(a)


IP-Formulierung

Vereinbarungen zur IP-Formulierung

N ∈ N,N ≥ 3 Anzahl der KnotenK ∈ N \ {0} Anzahl der Blöcke

S ∈ {0,1}N×N Adjazenzmatrix des Graphen

B ∈ {0,1}K×K Matrixdarstellung des Rollengraphen

P ∈ NK×K0 Abweichungs-Gewichtungsmatrix (optional)

Lateinische Kleinbuchstaben stellen ggf. Elemente der mitGroßbuchstaben bezeichneten Matrizen dar.Alle Ausdrücke gelten für alle Indizes aus {i , j , k , l},über die nicht summiert wird.Ausdrücke mit αikl , βjkl gelten nur für Blöcke (k , l)|bkl = 1.


IP-Formulierung

IP-Formulierung [Brusco, Steinley]

minN∑

i=1

N∑j=1

∑(k ,l)|bkl =0

pkl yijkl sij +N∑

i=1

∑(k ,l)|bkl =1

pkl αikl +N∑

j=1

∑(k ,l)|bkl =1

pkl βjkl

s.t.K∑

k=1

xik = 1N∑

i=1

xik ≥ 1 (1)

xik + xjl − yijkl ≤ 1 xik + xjl − 2 yijkl ≥ 0 (2) N∑j=1

yijkl sij

+ αikl ≥ xik

(N∑

i=1

yijkl sij

)+ βjkl ≥ xjl (3)

xik , yijkl ∈ {0,1} αikl , βjkl ∈ {0,1} (4)

= 1, genau dann wenn Knoten i Cluster k und gleichzeitig Knoten j Cluster l zugeordenet wird. Dies wird sichergestellt durch die Nebenbedingungen vom Typ (2).

= 1, wenn Zeile i Nullzeile innerhalb des Blocks kl ist. Dies sichert die erste Nebenbedingung vom Typ (3).

= 1, wenn Spalte j Nullspalte innerhalb des Blocks kl ist. Dies sichert die zweite Nebenbedingung vom Typ (3).

= 1, genau dann wenn Knoten i Cluster k zugeordenet wird. Die Nebenbedingungen vom Typ (1) stellen sicher, dass jeder Knoten genau einem Cluster und jedem Cluster mindestens ein Knoten zugeordnet wird.



= 1, genau dann wenn Knoten j Cluster l zugeordenet wird. Die Nebenbedingungen vom Typ (1) stellen sicher, dass jeder Knoten genau einem Cluster und jedem Cluster mindestens ein Knoten zugeordnet wird.
















IP-Formulierung

IP-Formulierung [äquivalent und lesbar]

minK∑

k=1

K∑l=1

pkl

¬bkl

N∑i=1

N∑j=1

yijkl sij + bkl

N∑i=1

αikl +N∑

j=1

βjkl

s.t.K∑

k=1

xik = 1N∑

i=1

xik ≥ 1 (1)

xik + xjl − yijkl ≤ 1 xik + xjl − 2 yijkl ≥ 0 (2) N∑j=1

yijkl sij

+ αikl ≥ xik

(N∑

i=1

yijkl sij

)+ βjkl ≥ xjl (3)

xik , yijkl ∈ {0,1} αikl , βjkl ∈ {0,1} (4)























IP-Formulierung

Nachbemerkung I zur IP-Formulierung

Die Typ (2)-Nebenbedingung

xik + xjl − 2 yijkl ≥ 0

ist von entscheidender Bedeutung. Würde sie fehlen, könntendie yijkl trotz xikxjl 6= 1 irrtümlich den Wert 1 annehmen, nur umdie Nebenbedingungen vom Typ (3) zu erfüllen.





IP-Formulierung

Benchmark: Das Everett-Netzwerk

a b c d e f g h i ja 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0b 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0c 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0d 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0e 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0f 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0g 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1h 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1i 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1j 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0

Tabelle: Eingangsdaten


IP-Formulierung


{?} {?} {?}{?} 1 1 0{?} 1 0 1{?} 0 1 1

Tabelle: Vorgegebener Rollengraph


IP-Formulierung


c a j h b d g i e fa 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0c 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0h 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0j 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0b 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0d 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0g 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1i 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1e 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1f 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0

Tabelle: 3-Cluster-Blockmodell


IP-Formulierung


c a j h b d g i e fa 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0c 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0h 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0j 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0b 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0d 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0g 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1i 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1e 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1f 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0

Tabelle: Reguläre und Nullblöcke (∆ exakt 0)


IP-Formulierung


{a,c,h,j} {b,d,g,i} {e,f}{a,c,h,j} 1 1 0{b,d,g,i} 1 0 1

{e,f} 0 1 1

Tabelle: Berechnung mit CPLEX 1.30s


IP-Formulierung

Nachbemerkung II zur IP-Formulierung

In eine ähnliche IP-Form bringen lassen sichStrukturelle Äquivalenz Wesentlich einfacher, da bkl = 1⇔

Block kl vollbesetzt.SE und RE auf V ×W Noch um einges komplexer, da Partition

zweier Mengen erforderlich.


Vorzüge und Nachteile aller drei Ansätze

CATREGE Gradienten-Heuristik IP-Lösung

Güte keine Aussage lokales Optimum OptimalitätsgarantieVorgehen explorativ Hypothesentest HypothesentestVorwissen kaum einbringbar Rollengraphvorgabe Rollengraphvorgabe

Worst-Case-Laufzeit O(n3) überpolynomial überpolynomialmehrereRelationen einfach möglich großer Mehraufwand großer Mehraufwand


Forschungsperspektive

Wünschenswert wären Verfahren, die alle drei Kriterienerfüllen:

1 Rollengraph auswählen2 Reguläre Partition finden3 Optimalitätsgarantie liefern

Anhang

Weiterführende Literatur

Weiterführende Literatur I

Jürgen Lerner.Role Assignments, S. 216–252.in Brandes, Erlebach: Network Analysis, Springer 2005.

Fred S. Roberts, Li Sheng 2001.How Hard Is It to Determine If a Graph Has a 2-RoleAssignment?NETWORKS Journal, Vol. 37, S. 67-73.

Michael J. Brusco, Douglas Steinley 2009Integer programs for one- and two-mode blockmodelingbased on prespecified image matrices for structural andregular equivalence.Journal of Mathematical Psychology, Nr. 53, S. 577-585.

Education

Reguläre Äquivalenz - IP-Formulierung von Blockmodellen