1. SimmetrieGiochi di specchi

2. Osserviamo in natura qualcosa che abbia unasse di simmetria, per esempio una farfalla.Ne disegniamo una met [disegno di Dav] 3. Se appoggiamo un solo specchio,che come se appoggiassimo gli specchiincidenti aprendoli di un angolo di 180,vediamo la farfalla intera! 4. Se segniamo sul bordo del foglio un angolo da90 e apriamo gli specchi su questangolo,vediamo 4 mezze farfalle. La farfallaraddoppiata! 5. Allora, se pensiamo a qualcosa cha abbia piassi di simmetria o una simmetria centrale.Per esempio un fiore [disegno Dav]. Nedisegniamo un quarto 6. Se apriamo gli specchi a 90 suilati che sono met asse disimmetria, vediamo il fiore intero! 7. Altro fiore [disegno di Andrea F.] 8. Ora passiamo a disegnare figuregeometriche: i poligoni regolari.Partiamo da un quadrato.Apriamo gli specchi a 90, sui latidel quadrato 9. Le riflessioni suglispecchi ci dannoun quadrato intero(quadruplo delprimo):Osserviamo dueassi di simmetria,le mediane!E annotiamo:Quadrato, 4 lati,angolo di aperturadegli specchi: 90 10. Quadrato su cartoncino [lavori di Dav a casa] 11. Mediane 12. Ma vogliamo evidenziare gli altri due assidi simmetria: le diagonali. Queste passano per i vertici del quadrato.Il quarto di quadrato lo dobbiamopreparare diversamente: triangolare. 13. Un triangolo rettangolo isoscele: cateti uguali,mezze diagonali. Appoggiamo gli specchisullangolo retto 14. Ecco il quadrato intero con le due diagonali, assidi simmetria. 15. Ma se posizioniamo gli specchisullangolo acuto (45) dello stessotriangolo rettangolo isoscele 16. Ecco tutti gli assi di simmetria del quadrato: mediane ediagonali! 17. Annotiamo anche:apertura degli specchi a 45, la figura dipartenza si riflessa 7 volte.Come se avessimo ottenuto un ottagono, 8 lati.Ma i lati sono a due a due uno prolungamentodellaltro e allora abbiamo un quadrato. 18. Cominciamo a capire che :per ottenere un esagono, lafigura deve riflettersi 5 volte.Infatti, tutti diciamo subito,possiamo costruire un triangoloequilatero, che 1/6dellesagono regolare 19. Appoggiamo gli specchi lungo due lati: apertura 60e 20. Ecco lesagono, con 3 assi di simmetria: le 3 diagonali! 21. Ancora unafoto. Eaperturaspecchi60,poligono di6 lati 22. Ma, come per il quadrato e per tutti ipoligoni regolari con numero pari di lati:assi di simmetria sono diagonali emediane.Per vedere le mediane con gli specchi,costruiamo un triangolo rettangolomet del triangolo equilatero. 23. Appoggiamo gli specchi sui lati cheformano langolo acuto da 30 e 24. Ecco lesagono con i 6 assi di simmetria:3 diagonali e 3 mediane! 25. Questa unimmagine dei tentativi, tracciando laltezza deltriangolo equilatero ma poi appoggiavamo gli specchisempre sullangolo di 60! Ma cos abbiamo potuto vedere untriangolo equilatero inscritto in un esagono: la met! 26. A questo punto, con commenti e osservazioni di tanti di noi!E con le annotazioni, abbiamo capito che:per ottenere con gli specchi il pentagono regolare,dobbiamo costruire un triangolo isoscele conlangolo al vertice di 72: 360/5Abbiamo voluto fare le costruzioni con Geogebra. Simulandogli specchiLe immagini sono la sintesi dei lavori di Igor, Stefano, Dav,Davide D., Beatrice, Marco N., Daniele. 27. Appoggiando gli specchiincidenti sui lati obliqui deltriangolo isoscele, angoloda 72, ecco ilpentagono regolare. I 5triangoli isosceli sonoreciprocamente simmetricirispetto a uno dei lati obliqui.Ma non vediamo gli assi disimmetria del pentagono! 28. Ora lo sappiamo:dividiamo in 2 parti ugualiil triangolo che riflessonello specchio forma ilpentagono. Otteniamo untriangolo rettangolo, conuno degli angoli acuti di36 29. Appoggiando gli specchiincidenti sui lati che formanolangolo di 36 otteniamo ilpentagonocon tutti i suoi assi disimmetria, sono tuttemediane: 5!Il poligono regolare ha unnumero dispari di lati. 30. Questo lettagono, ottenuto dalle riflessioni di untriangolo isoscele con angolo acuto di 51,42 : 360/7Non vediamo assi di simmetria. Succede come per ilpentagono, il poligono ha numero dispari di lati 31. Come il triangolo equilatero, 3 lati, angolo di apertura deglispecchi: 120 [qualcuno ha usato uno specchio rotondo, si abbiapazienza ! ] 32. Abbiamo raccolto in una tabella la corrispondenza:numero di lati del poligono visualizzato angolo diapertura degli specchi incidentiLatiGradi31204 905 726 607 51,428 459 40 33. La tabella ci dice:dimezzando lampiezzaLati Gradidellangolo, raddoppiail numero di lati, se 3120lampiezza diventa 1/3, 4 90il numero di latitriplica, ecc Il 5 72prodotto dei valori 6 60corrispondenti delle due 7 51,42 grandezze costante: 360! 8 45Si tratta di una legge 9 40matematica cheimpareremo aconoscere bene!