Solucionario 5to secundaria

Quinto Año de Secundaria

- 1 -

Solucionario

quinto año de educación secundaria

- 2 -

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS COMBINATORIO Y POTENCIACIÓN (Pág. 34, 35, 36)

NIVEL I

Factorial de un número

Resolución 2

7! 2 5! 7·6·5! 2·5! 7·6· 5M

6! 10 4! 6·5! 2·5·4!− × −= = =

− × −! 2· 5− !

6· 5 ! 2· 5− !

2 2M

6 24 −=

−

∴ M = 10 Rpta.: E

Resolución 1

E = (n + 2)! – 2(n+1)!

E = (n + 2)(n + 1)! – 2(n + 1)! = (n +1)![n+2–2]

∴ E = n(n + 1)! Rpta.: D

Resolución 31 1 1 1

E4! 3! 4· 3! 3! 3!(4 1) 3!· 5

= = = =+ + +

4 4E

3!· 4 · 5 5!= = Rpta.: E

Resolución 41 1 (n 1) 1

En! (n 1)! n!(n 1) (n 1)!

+= − = −+ + +

+ + −= − =+ + +

n 1 1 n 1 1E

(n 1)! (n 1)! (n 1)!

∴ n

E(n 1)!

=+ Rpta.: D

Resolución 5

( )( )

( )( )

[ ]( )

+ −+ − + −= = =

− − −n! n 1 1n 1 ! n! n 1 n! n!

Rn 1 ! n 1 ! n 1 !

( ) ( )2n!n n!· n · n n!n

Rn 1 ! n n 1 ! n!

= = =− −

∴ R = n2 Rpta.: B

Resolución 9

( ) ( )− +=

x 1 ! x 2 5x! 3

3(x – 1)!(x + 2) = 5x · (x – 1)!3x + 6 = 5x

∴ x = 3 Rpta.: B

Resolución 6

( )n 2 !6

n!+

= à ( )( )n 2 n 1 n!

6n!

+ +=

(n + 1)(n + 2) = 6

Resolviendo:

∴ n = 1 Rpta.: A

Resolución 7

( )( )n 3 !1

· 103 n 1 !

+=

+

(n + 3)! = 30(n + 1)!

(n + 3)(n + 2)(n + 1)! = 30(n + 1)!

(n + 3)(n + 2) = 30

∴ n = 3 Rpta.: B

Resolución 8

(x – 1)! + x! + (x + 1)! = 5880

(x – 1)! + x(x – 1)! + (x + 1)· x ·(x – 1)!= 5880

(x – 1)![1 + x + (x + 1)·x] = 5880

(x – 1)!(x2 + 2x + 1) = 5880

(x – 1)!(x + 1)2 =5! · 72

x – 1 = 5

∴ x = 6 Rpta.: B

Resolución 10

( )( )

( )( )

m! n 1 ! m! n 1 n!E

m 1 !n! m 1 m!n!+ +

= =+ +

∴ n 1

Em 1

+=+ Rpta.: B

Resolución 11

11! 10! 9! 11·10· 9· 8! 10· 9· 8! 9· 8!R121· 8! 121· 8!+ + + +

= =

11·10· 9 10· 9 9

R121+ +=

∴ R = 9 Rpta.: B


- 3 -

Resolución 14

(n + 1)! (n – 1)! = 36n + (n!)2

(n + 1)n(n–1)!(n–1)! = 36n+[n(n–1)!]2

(n + 1)n[(n–1)!]2 = 36n + n2[(n–1)!]2

[(n–1)!]2 [n2 + n – n2] = 36n[(n–1)!]2[n] = 36n(n–1)! = 6(n–1)! = 3!(n – 1) = 3

∴ n = 4 Rpta.: C

Resolución 12

( ) ( )( )

n 1 ! n 3 !2 6

n! n 2 !

+ +− = +

( ) ( )( )( )

2· n 1 n! n 3 n 2 !6

n! n 2 !+ + +

− =+

2n + 2 – n – 3 = 6

∴ n = 7 Rpta.: C

Resolución 13

( )( )

( )x 6 ! x 2 !44

x 4 ! x!+ +

− =+

( )( )( )( )

( )( )+ + + + +− =

+x 6 x 5 x 4 ! x 2 x 1 x!

44x 4 ! x!

(x + 6)(x + 5) – (x + 2)(x + 1) = 448x + 28 = 44

∴ x = 2 Rpta.: D

NIVEL II

Resolución 1

( )2n!

R nn 2 !

= −−

( )( )( )

2 2 2n n 1 n 2 !R n n n n

n 2 !− −

= − = − −−

∴ R = –n Rpta.: D

Resolución 2

( )( )

( )( )

( )( )

+ − + − + − = = =− − −

n n 1 ! n! n n 1 n! n! n· n! n 1 1M

n 1 ! n 1 ! n 1 !

( )( )

( )n· n· n n 1 !n· n· n!

Mn 1 ! n 1 !

−= =

− −

∴ M = n3 Rpta.: C

Resolución 3

( ) ( ) ( )( )

n 2 ! n 2 !P n n 3

n! n 3 !+ −

= − + +−

( )( ) ( ) ( )( )( )

n 2 n 1 n! n 2 n 3 !P n n 3

n! n 3 !+ + − −

= − + +−

2P n= n+ 2n+ 2+ 2n− 3n− n 2+ −

∴ P = n Rpta.: C

Resolución 4

( )( )

( )( )

x 5 ! 2 x 4 !x 3 ! x 2 !

− −=

− −

( )−x 5 !

( )−x 3 ( ) ( )− −x 4 x 5 !

( )−=

2 x 4 !

( ) ( )− −x 2 x 3 ( )−x 4 !

1 2x 4 x 2

=− − x–2 = 2x – 8

∴ x = 6 Rpta.: D

Resolución 5

( ) ( )x 2 ! x 1 !720

x− + −

=

(x–2)! + (x–1)(x–2)! = 720x(x–2)!(1+x–1) = 720 x(x–2)! = 6! x–2= 6

∴ x = 8 Rpta.: B

Resolución 6

( )( )

( )( )

n 4 ! n 3 !25

n 2 ! n 2 !+ +

− =+ +

( )( )( )( )

( )( )( )

n 4 n 3 n 2 ! n 3 n 2 !25

n 2 n 2 !+ + + + +

− =+ +

n2 + 3n + 4n + 12 – n – 3 = 25n2 + 6n + 9 = 25

∴ n = 2 Rpta.: C

Resolución 7

( )( ) ( )

( )( )

n 1 ! n! 2n 3 !A

2n 1 ! 2n 2 ! n 2 !

+ + += + + + +

( )( ) ( )( )

( )( )( )( )( )

n 1 n! n! 2n 3 2n 2 2n 1 !A ·

2n 1 ! 2n 2 2n 1 ! n 2 n 1·n!

+ + + + += + + + + + +

n!=

n 2+

( )2n 1 !

+ 2n 3+

2n 3·

+

( )( ) ( )2n 2 2n 1 !+ +

n 2+( )( )n 1 n!+

( )2 n 1n 1

+=

+

∴ A = 2 Rpta.: B

- 4 -

Resolución 8

( ) ( )( ) ( )

+ ⋅ +=

+ + +n 7 ! n 5 !

10!n 6 ! n 5 !

( ) ( )( ) ( ) ( )

n 7 ! n 5 !10!

n 6 · n 5 ! n 5 !+ +

=+ + + +

( ) ( )( ) [ ]

n 7 ! n 5 !10!

n 5 ! n 6 1+ +

=+ + +

( )( )( )

n 7 n 6 !10!

n 7+ +

=+

(n + 6)! = 10!

n + 6 = 10 ∴ n = 4 Rpta.: E

Resolución 11

( )( ) ( ) ( )

−++ +

2

2 213! 13!

10! 11!12! 2 12!11! 11!

( )( )

2

213! 13!

10! 11!12! 11!−

++

( )( )

2

213·12·11! 13·12·11·10!

10! 11·10!12·11! 11!−

++

Resolución 9

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

a!! 2 ! 2 a!! 1 ! a!! 2 a!! 1 ! 2 a!! 1 !R

a!! 1 ! a!! 1 !+ − + + + − +

= =+ +

( ) ( )( )

a!! 1 ! a!! 2 2R

a!! 1 !+ + −

=+

∴ R = a!! Rpta.: B

Resolución 10E = (n!! – 1)!(n!–1)!(n–1)!n–n!!!E = (n!!–1)!(n!–1)!n! – n!!!E = (n!!–1)! n!! – n!!!E = n!!! – n!!!

∴ E = 0 Rpta.: C

Resolución 14

( ) ( )( )

n 2 ! n 12 !5

n! 11 n !+ +

= ++

( )( ) ( )( )( )

n 2 n 1 n! n 12 n 11 !5

n! n 11 !+ + + +

= ++

(n+2)(n+1) = 5+n+12n2 + 3n+2 = 5+n+ 12n2 + 2n = 15

∴ n = 3

∴ Suma valores = 3 Rpta.: C

Resolución 12(119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!)24

(119! 5!)x!! = (5!!)23!· 24

(119! 120)x!! =(5!!)24!

(120!)x!! = (5!!)24!

(5!!)x!! = (5!!)24!

x!! = 24! x!! = 4!! ∴ x = 4 Rpta.: B

Resolución 13

( )5 5 5

5! 4! 3! 5· 4· 3! 4· 3! 3! 3! 20 4 1= =

+ + + + + +

5 1 4 43!· 25 3· 2·1· 5 5· 4· 3· 2·1 5!

= = = Rpta.: D

( ) ( )2 213·12 11!

( ) ( )+ 2 212 1 11!− 13·12·11· 10!

10! ( )+1 11

( )( )

2

213·12 13·12·11

1213−

(12)2 – 13· 11

∴ 1 Rpta.: A

ANÁLISIS COMBINATORIO (Pág. 45, 46)

NIVEL I

N° maneras = 6 × 4

∴ N° maneras = 24 Rpta.: D

Resolución 1 Resolución 2

5 pantalones 3 blusas

N° maneras = 5 × 3

∴ N° maneras = 15 Rpta.: C


- 5 -

Resolución 53 : anillos:4 : dedosN° maneras = 4· 3· 2


Resolución 3

m2V 20=

( )m!

20m 2 !

=−

( ) ( )m m 1 m 2 !− −

( )m 2 !−20=

m(m–1) = 4 × 5

∴ m = 5 Rpta.: C

Resolución 4

A B C D ← asientos

N° maneras = 6 · 5 · 4 · 3

∴ N° maneras = 360 Rpta.: B

55

Resolución 9

...................← Personas--------------- ← asientos

N° maneras = 5· 4· 3· 2· 1


Resolución 6

10 : amigas6 : invitadas

N° maneras = 106

10· 9· 8· 7C

1· 2· 3· 4=


Resolución 7

n15

4

=

( )( )( )n n 1 n 2 n 315

1· 2· 3· 4− − −

=

n(n–1)(n–2)(n–3) = 6· 5· 4· 3

∴ n = 6 Rpta.: B

Resolución 8x x5 6C C 28+ =

x x x 15 6 6C C C 28++ = =

( ) ( )( )( )( )+ − − − −=

x 1 x x 1 x 2 x 3 x 428

1· 2· 3· 4· 5· 6

(x+1)x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 8·7·6·5·4·3

∴ x = 7 Rpta.: C

Resolución 14

n 1 n:

n n 1+

− ... (1)

Entonces:

n 1 n 1 n 1n 1

n n 1 n 1+ + +

= = = + + −

n n nn

n 1 n (n 1) 1

= = = − − − En (1):

∴ n 1

n+

Rpta.: D

Resolución 10

Una persona debe estar fija y las otras 4 las permuta-mos.N° maneras = 4!


Resolución 11

N a b c d 6000= > 6 5 2 3

N° maneras = 1· 3· 2· 1


Resolución 12

84

8· 7· 6· 5C

1· 2· 3· 4=

∴ N° cuadriláteros = 70 Rpta.: B

Resolución 13

N abc=números: {1; 2; 3; 4; 5}N° maneras = 5· 4· 3


- 6 -

Resolución 15x5C 21=

( )( )( )( )x x 1 x 2 x 3 x 421

1· 2·3· 4· 5− − − −

=

x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 7· 6· 5· 4· 3

∴ x = 7 Rpta.: E

De ida: 2 + 2·3 + 1= 9 caminosDe venida: 2 + 2· 3 + 1 = 9 caminosN° maneras = 9· 9 = 81Quitamos los 9 caminos de ida.N° maneras = 81 – 9


Resolución 1

Resolución 2N° maneras = 7· 6 · 5


Resolución 3

Números = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

N a bc d e

9 8 7 6 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓

=

N° formas = 9· 8·7· 6· 5

∴ N° formas = 15120 Rpta.: C

NIVEL II

Resolución 4L I B R O → 5 letrasN° palabras = 5!

∴ N° palabras = 120 Rpta.: B

Resolución 5

252

25· 24C

1· 2=

∴ N° partidos = 300 Rpta.: D

Resolución 6

N° diagonales = 82C N lados− °

N° diagonales = 8 ·7

81· 2

−

∴ N° diagonales = 20 Rpta.: B

Resolución 7

( )( )

( )+ ++ = = + −

p q ! p q !p qp p! q!p! p q p !

Además:

+ + + = = + −

p q p q p qq (p q) q p

∴ Son equivalentes I y II Rpta.: B

Resolución 8

4 : biólogos → se escogen 2

3 : químicos → se escogen 2

5 : matemáticos → se escogen 3

N° maneras = 4 3 52 2 3C · C · C

N° maneras = 4 · 3 3 · 2 5 · 4 · 3

· ·1· 2 1· 2 1· 2 · 3


Resolución 9

x0

10

=

..... (1)

Se sabe que:

m0

n

=

⇔ m < n ∧ m > 0

En (1): x < 10 x = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Producto = 1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8· 9

∴ Producto: 9! Rpta.: D

Resolución 10

n 1 n n n 1Q

2 1 n 1 n 1+ −

= + + + − −

Se sabe que:

m mn m n

= −

+ + = −

n 1 m 1n 1 2 y

n nn 1 1

= −

Luego:

( )n 1 nn 1 nQ 2 2 n

2 1 1· 2

++ = + = +

∴ Q = n2 + 3n Rpta.: B

n

+


- 7 -

Resolución 11n n 1

99n 1 n 2

− + = + −

Se sabe que:

m0

k

=

⇔ m < k

n0

n 1

= +

Luego:

n 10 99

n 2−

+ = −

n 199

(n 1) (n 2)−

= − − −

n 199

1−

=

n – 1 = 99

∴ n = 100 Rpta.: D

Resolución 12

N° maneras = 1· 5· 4· 3· 2· 1∴ N° maneras = 120 Rpta.: E

Resolución 133 : entradas → se toma 13 : de fondo → se toma 15 : postres → se toma 1

N° maneras = 3 3 51 1 1C · C · C

N° maneras = 3· 3· 5

∴ N° maneras = 45 Rpta.: A

Resolución 1

A) (x–2y)5 = x5 – 5x4 · 2y + 10x3· (2y)2 – 10x2 · (2y)3 + 5x(2y)4 – (2y)5

= x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5

B) (1 + 3a)7 = 17 + 7(1)6(3a) + 21(1)5(3a)2 + 35(1)4(3a)3 + 35(1)3(3a)4 +21(1)2(3a)5 +

7(1)(3a)6 + (3a)7

=1 + 21a + 189a2 + 945a3 + 2835a4 + 5103a5 + 5103a6 + 2187a7

C) (1–b)11 = 111 – 11(1)10(b)1 + 55(1)9b2 – 165(1)8b3 + 330(1)7b 4 – 462(1)6b5 +

462(1)5b6 – 330(1)4b7 + 165(1)3· b8 – 55(1)2·b9 + 11(1)b10 – b11

= 1 – 11b + 55b2 – 165b3 + 330b4 – 462b5 + 462b6 – 330b7 + 165b8 – 55b9

+ 11b10 – b11

D)61

xx

− = x6 – 6(x)5·(x-1) + 15(x)4(x-1)2–20(x)3(x-1)3 + 15(x)2(x-1)4 – 6(x)(x-1)5 + (x-1)6

= x6 – 6x4 + 15x2 – 20 + 15x-2 – 6x-4 + x-6

E)4

221

zz

+

= (z2)4 + 4(z2)3(z-2) + 6(z2)2(z-2)2 + 4(z2)(z-2)3 + (z-2)4

=z8 + 4z4 + 6 + 4z-4 + z-8

F) 63

43 x

4x

−

= (3x-4)6 – 6(3x-4)5(4-1x3) + 15(3x-4)4(4-1x3)2 – 20(3x-4)3(4-1x3)3 +

15(3x-4)2(4-1x3)4 – 6(3x-4)(4-1x3)5 + (4-1x3)6

= 24 17 10 3 4 11 18729 1215 135 135 9 1729x x x x x x x

2 16 16 256 512 4096− − − −− + − + − +

NIVEL I

BINOMIO DE NEWTON (Pág. 51, 52, 53)

- 8 -

Resolución 3

A) (2x – y)4

coef(t2) = coef(t1+1) = ( )1342 1

1

−

∴ coef(t2) = – 32

B) (3a + b)6

coef(t3) = ( ) ( ) =

4 26

3 4 194402

C)102 2x y

y x

−

coef(t9) = coef(t8+1)= ( ) ( )10 8 881 1 45

10−

− =

D) (–a + 12)5

coef(t5) = coef(t4+1) = ( ) ( )5 4 4 451 12 5·12

4−

− = −

E) (p2v2–1)14

coef(t8) = coef(t7+1) = 147

(1)14-7(–1)7 = –3432

F) (2x2y + xy3)8

coef(t5) =

84 (2)8-4 (1)4 = 1120

Resolución 2

A) (x – y)11 ; t7 = t6+1 = 11 6 611x y

6−

∴ t7 = 462x5y6

B) (a + b)21 ; t5 = t4+1 = 21 4 421a b

4−

∴ t5 = 5985 a17 b4

C)101 1

a b −

; t10 = t9+1 = 10 9 910 1 1

9 a b

− −

∴ t10 = – 10a-1 b-9

D)7

22

2x y

xy

−

; t8 = t7+1 = ( )7

7 722

7 2x y

7 xy

− −

∴ t8 = –128x-7y-14

E) (2a – b)10 ; t11 = t10+1 = ( ) ( )10 10 10102a b

10−

−

∴ t11 = b10

F)4

11

xyz

−

; t2 = t1+1 = ( ) − −

14 14 1

11 xyz

∴ t2 = –4x-1y-1z-1

108

Resolución 4

( )5 52 2 11

3x 3x xx

− − = −

52 1

3xx

− = (3x2)5 – 5(3x2)4(x-1) + 10(3x2)3(x-1)2 – 10(3x2)2(x-1)3 + 5(3x2)(x-1)4 – (x-1)5

52 1

3xx

− = 243x10 – 405x7 + 270x4 – 90x + 15x-2 – x-5

A) coef(t4) = –90B) t3C) No existe el término independiente de x:

Resolución 5

( )12

123 2 1 322

3xy 2x y 3xyx y

− − − = −

A) tk+1 = ( )12 k

k32

12 23xy

k x y

− −

tk+1 = 12k

(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12

Nos piden:(x)3k-24 = x-3 3k – 24 = –3 k = 7

Luego:tk+1 = t7+1 = t8

B) tk+1 = 12k

(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12

(y)4k-12 = y12 4k – 12 = 12 k = 6

∴ tk+1 = t6+1 = t7


- 9 -

C) tk+1 = 12k

(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12

(x)3k-24 = x0 3k – 24 = 0 k = 8

∴ tk+1 = t8+1 = t9

D) tk+1 = 12k

(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12

y4k-12 = y0 4k – 12 = 0 k = 3

∴ tk+1 = t3+1 = t4

= ( ) ( ) ( )3 k k 15 6k33 1 q

k− −

−

(q)15-6k = q9 15 – 6k = 9 k = 1

t1+1 = ( ) ( ) ( )3 1 1 15 6·133 1 q

1− −

−

∴ t2 = –27q9

Resolución 6

A) (2p + q)11

tk+1 = 11k

(2p)11-k(q)k

qk = q9 k = 9

tk+1 = t9+1 = t10 = 119

(2p)11-9(q)9

∴ t10 = 220 p2q9

B)10

1q

pq −

tk+1 = k

10 k10 1q

k pq− −

( ) ( ) ( )k k 10 2k101 p q

k− −

= −

(q)10-2k = q9 10 – 2k = 9

= 1k

2

Como k ∈

∴ No existe el término

C) (p2 – q3)7

tk+1 = ( ) ( )7 k k2 37p q

k

− −

( ) ( ) ( )k 14 2k 3k71 p q

k−

= −

(q)3k = q9 3k = 9 k = 3

Luego:

t3+1 = ( ) ( ) ( )3 14 2·3 3·371 p q

3−

−

∴ t4 = –35p8 q9

D)3

5 13q

q −

tk+1 = ( ) − −

k3 k53 13q

k q

Resolución 7

( )102 x 3+

( ) ( ) ( ) ( )10 10 9102 x 3 2x 2 x 3

1

+ = +

( ) ( )8 2102 x 3

2

+

∴ ( )10 10 9 82 x 3 32x 160 6 x 2160x ...+ = + + +

Resolución 8

(1 + 3x2)6

tk+1 = ( ) ( ) ( ) ( )k6 k k 2k26 6

1 3x 3 xk k

− =

t0+1 = ( ) ( )0 2·063 x

0

t1 = 1

t6+1 = ( ) ( )6 2·663 x

6

t7 = 729x12

Luego:t1 · t7 = 1· 729x12

∴ Producto de los coeficientes = 729

NIVEL II

Resolución 1

(x – 3y)5

t6 = t5+1 = ( ) ( )5 5 55x 3y

5−

−

∴ t6 = – 243y5 Rpta.: D

Resolución 2

(2 – x)11

t8 = t7+1 = ( ) ( )11 7 7112 x

7−

−

t8 = –5280x7

∴ Coeficiente = – 5280 Rpta.: D

- 10 -

Resolución 3

(2a + b)5

t2 = t1+1 = ( ) ( )− =

5 1 1 45

2a b 80 a b1

∴ Coeficiente = 80 Rpta.: C

Resolución 8n2 x

x 2 +

tk+1 = ( ) ( )n k K

n 2k 2k nn n2 x2 x

k kx 2

−− − =

Para el término independiente:(x)2k-n = x0 2k – n = 0 n = 2kPero: k + 1 = 4 k = 3Entonces: n = 2· 3 n = 6Luego: tk+2 = t3+2 = t5

t5 = ( ) ( )6 8 8 6 26 152 x x

4 4− −

=

∴ coef(t5) = 154 Rpta.: C

Resolución 9

133 2

5x 12 x

+

( )( ) ( )−−−

+ =k13 k2 1

13 1 3 5k 1 kt 2 x x

tk+1 = ( ) ( )−−

26 13kk 13

3 15132 x

k

El término indenpendiente:

( )26 13k

03 15x x−

= 26 13k

03 15

− = k = 10

tk+1 = t10+1 = t11

Nos piden el t10 k = 9

t10 = ( ) ( )26 13·99 133 1513

2 x9

− −

∴ t10 =

1315715

x16

Rpta.: A

Resolución 47y

3x2

−

La expresión tiene 7 + 1 = 8 términos

∴ No hay término central Rpta.: E

Resolución 5

(2x – y)6

t4 = t3+1 = ( ) ( )6 3 362x y

3−

−

∴ t4 = –160x3 y3 Rpta.: D

Resolución 64

21

xx

−

tk+1 = ( ) ( ) ( )k

4 k k 4 3k2

4 41x 1 x

k kx− − − = −

Del dato:

x4-3k = x0 4 – 3k = 0 4

k3

=

Como k ∈

∴ No hay término independiente

Rpta.: E

Resolución 7

(2x – 1)5

tk+1 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − − = −

5 k k 5 k k 5 k5 5

2x 1 2 1 xk k

t3 = t2+1 = ( ) ( ) ( )5 2 2 5 2 352 1 x 80x

2− −

− =

t5 = t4 + 1 = ( ) ( ) ( )5 4 4 5 4 x52 1 x 10

4− −

− =

Luego: 3

5

t72

t=

380x72

10x=

∴ = ±x 3 Rpta.: C

Resolución 101201

xx

+

tk+1 = ( )k

120 k 120 2k120 1201x x

k kx− − =

Como es de grado 100120 – 2k = 100 k = 10

∴ tk+1 = t10+1 = t11 Rpta.: E


- 11 -

Resolución 119

2 0,50,4x

x +

tk+1= ( )k9 k29 0,5

0,4xk x

−

( ) ( ) ( )9 2k k 9 18 3k92 5 x

k− − −

=

Término independiente:

(x)18-3k = x0 18 – 3k = 0 k = 6

Luego: t6+1 = ( ) ( ) ( )9 2·6 6 9 18 3·692 5 x

6− − −

t7 = 0,084 Rpta.: C

Resolución 12

(1 + x)3n

tk+1 = ( ) ( )3n k k k3n 3n1 x x

k k−

=

tk+2 = k 13n

xk 1

+ +

t2k-3 = 2k 43n

x2k 4

− −

Como los coeficientes son iguales se tiene:

3n 3nk 1 2k 4

= + −

(k + 1) + (2k – 4) = 3n

3k – 3 = 3n

∴ k = n+1 Rpta.: A

BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO

Pág. 58

Resolución 5

( )−151 2x

( ) ( )1 445

1 15 4 1 2x5 1 45

4 4

t T16x

− =+ − =

=

4

1 1 1 11 2 35 5 5 5 ·16x

1· 2· 3· 4

− − −

421

16x625− =

∴ t5 = 4336

x625

−

Resolución 7

3

E33−

=

( )( )( )( ) ( )3 3 1 3 2 3 3 ..... 3 32

E1· 2· 3· 4· 5· ..... ·33

− − − − − − − − −=

( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )− − − − − − − −

= =313 4 5 6 · ..... · 35 1 34 35

E1· 2· 3· 4· 5 · ..... · 33 1· 2

∴ E = –595

Resolución 8

15 15 15E

3 4 5− − −

= + +

15 1 15E

4 5− + − = +

14 15E

4 5− −

= +

( )( )( )( )− − − −=

14 15 16 17E

1· 2· 3· 4

Resolución 6

11 231

x4

+

t4 = t3+1 =

313 1

23

1 11

2 2x 32x43 3

− =

− − = = ⋅

4

1 1 11 2

12 2 2t 32x 32x1· 2· 3 16

∴ t4 = 2x

- 12 -

Resolución 10

2931

x x2

−−− −

( ) ( ) ( )k

3k2 k 9 6k 21 3 2k 1 22 2t 2 x2 x x kk

− − −+−− −+

− − = = Término indenpendiente:

3k6 0

2− = k = 4

Entonces:

t4+1 = t5 = ( ) ( )−+−

3·464 2 22

2 x4

t5 = ( )( )( )( ) ( )62 3 4 5

21· 2· 3· 4

− − − −

∴ t5 = 320

Resolución 9

( )1

2 2x 3−

t3 = t2+1 = ( ) ( ) ( )− −

− =

1 2 322 2

1 12 2 x 9x 32 2

t3 = ( )33

1 11

92 2 9x1· 2 8x

−

− − =

Si: x = 3 t3 = 39

8· 3

−

∴ t3 = (–24)-1

( )( )( )( )( )15 16 17 18 19

1· 2· 3· 4· 5

− − − − −+

∴ E = – 9248

CAPÍTULO 3LOGARITMACIÓN (Pág. 93, 94, 95, 96)

NIVEL I

Resolución 1

log a = xlog 10a = log10 + loga = 1 + loga

∴ log10a = 1 + x Rpta.: E

Resolución 2

log p = x

3 1log p logp

3=

∴ 3 xlog p

3= Rpta.: D

Resolución 3

loga = m ; logb = n

( )a 1 a 1log log loga logb

b 2 b 2 = = −

∴ a m n

logb 2

−= Rpta.: B

Resolución 4

log 103 = 3log10 = 3· 1

∴ log 103 = 3 Rpta.: D

Resolución 5

5 2log x 0,4=25 2

log x5

= 2 2

logx5 5

=

∴ logx = 1 Rpta.: B

Resolución 6

log p = qp

log log p log rr

= −

∴ p

log q log rr

= − Rpta.: B

Resolución 7

logx + log 2

1

x= logx + logx-2 = logx – 2logx

∴ logx + log 2

1

x= –logx Rpta.: C

Resolución 8

= = =2

3 35 5 5

2 2log 25 log 5 log 5 ·1

3 3

∴ 35

2log 25

3= Rpta.: D


- 13 -

Resolución 10

log2 a = xx + 1 = log2 a + log2 2

∴ x + 1 = log2 2a Rpta.: D

Resolución 9

logx–3 = logx – 3log10 = logx– log103

= logx–log1000

∴ logx–3 = x

log1000

Rpta.: E

Resolución 18

log0,01+0,3

log 0,0081= log10-2 + 40.3

log (0,3)

= –2log10 + 4 (0,3)

log (0,3)

= – 2 + 4 = 2 Rpta.: C

Resolución 19

2 2 2log 0,25 log 0,125 log 0,0625+ −

( )( ) ( )( )2 2

0,25 0,125 0,03125log log

0,0625 0,0625=

12 2 2

log (0,5) log 2 1log 2−= = −

= – 1 Rpta.: E

Resolución 20

2 3 5

1 1 1log log log

16 81 125 − +

4 4 32 3 5

log 2 log 3 log 5− − −− +

2 3 54log 2 4log 3 3log 5− + −

– 4 + 4 – 3

∴ –3 Rpta.: D

Resolución 21

log3 = 0,47 , log5 = 0,70

log75 – log125 + log45 =

375 · 45log log27 log3 3log3

125= = =

= 3(0,47)

=1,41 Rpta.: B

Resolución 11

log(a3–b3)= log(a–b)(a2+ab+b2)

log(a3–b3) = log(a–b) + log(a2+ab+b2)

Rpta.: D

Resolución 12

log(x2–x) = logx(x–1)

∴ log(x2–x) = logx + log(x–1)

Rpta.: A

Resolución 13

= =5

113 2 3 61236 36

56

11 12log 216 6 log 6 : log 63 5

5536

= Rpta.: C

Resolución 14

0,4log 0,064 x= 3

0,4log (0,4) x=

0,43log 0,4 x=

∴ x = 3 Rpta.: D

Resolución 15

23

log x 2= − 22

x3

− = 9

x4

=

Rpta.: E

Resolución 16

− −− + = −

22 2(a b) (a b)

log (a 2ab b ) log (a b)

(a b)2 log (a b) 2

−= − = Rpta.: E

Resolución 17

log 100 + 2 5

log 128 log 625−

log 102 + 7 4

2 5log 2 log 5−

2log 10 + 2 5

7log 2 4log 5−

2 + 7 – 4 5 Rpta.: B

Resolución 22

log2 = 0,30 ∧ log5 = 0,70

log35 – log14 = 35log

14

5log log5 log2

2= = −

log 35 – log14 = 0,70 – 0,30

∴ log35 – log14 = 0,40 Rpta.: B

- 14 -

Resolución 25

22log (5x 3) log x 1− − =

− =2 2

(5x 3)log log 2

x

5x 32

x− = 5x – 3 = 2x

∴ x = 1 Rpta.: B

Resolución 26

33log (2x 21) log x 2+ − =

+ = 2

3 3

2x 21log log 3

x 22x 21

3x+ =

2x + 21 = 9x

∴ x = 3 Rpta.: A

Resolución 27

log a + logb = log(a + b)

log a · b = log(a+b) a·b = a + b a(b–1) = b

∴ ba

b 1=

−Rpta.: D

Resolución 23

36 362 3

1 1log (2) log (3)

log 36 log 36+ = +

3636log (2· 3) log 6= =

12

36 36

1log (36) log 36

2= =

12

= Rpta.: C

Resolución 24

2log 3 x=

624 24 24

log 64 log 2 6log 2= =

2 2

1 16 6

log 24 log (8· 3)

= =

2 2 2

1 16 6

log 8 log 3 3log 2 x

= = + +

6

3 x=

+ Rpta.: B

Resolución 28

( )log 2log 2 33 5243 3=

5log 2log 2 5·log 23 33 5243 (3) (3) 2= = =

∴ log 2

3243 32= Rpta.: E

Resolución 29

logx + log(x–3) = 1

logx (x–3) = log10

x(x–3) = 10

∴ x = 5 Rpta.: C

Resolución 30

logx log310 10 2x 5− = −

x – 3 = 2x – 5

∴ x = 2 Rpta.: B

NIVEL II

Resolución 1

2 2

1log x

16 =

( )=x1

2 216

3x4 22 2

−=

34 x

2− =

∴ 8

x3

= − Rpta.: A

Resolución 2

(I) 2log 32 5= 32 = 25 ... (V)

(II) 2000log 1 0= 1=(2000)0 .... (V)

(III)2

1log 4

16 = −

41

216

−= ... (V)

∴ VVV Rpta.: D

Resolución 3

12log 27 a=

42 2

62 2 2 2

log 2 4log 2log 16

log 2 log 3 log 2 log 3= =

+ +

62

4log 16

1 log 3=

+ ........................... (1)


- 15 -

Resolución 4

2 3 10234 5log 3 · log 4 · log 5 · log 6 ..... log 1024

log3 log4·

log2 log3

log5·

log4

log6·

log5log1024

.....log1023

10log1024 log210

log2 log2= = Rpta.: B

Resolución 5

log2 = a ∧ log3 = b

( )3 2 22 2log 75 log75 log 5 · 3

3 3= =

[ ]22 2log5 log3 2log5 log3

3 3 = + = +

2 10

2log log33 2

= +

( )22 log10 log2 log3

3 = − +

( )22 1 a b

3 = − +

∴ [ ]3 2 2log 75 b 2a 2

3= − + Rpta.: D

Resolución 62 4 6

logx7 5 11 7 11 5

= + −+ + +

( )( )( )0

7 5 11 7 11 5=

+ + +

logx = 0 x = 100

∴ x = 1 Rpta.: B

Pero: 12

log 27 a= 2

2 2

3log 3a

2log 2 log 3=

+

2

2

3log 3a

2 log 3=

+ 2

2alog 3

3 a=

−

Reemplazando en (1)

6

4log 16

2a1

3 a

=+

−

∴ 6

12 4alog 16

3 a−=+

Rpta.: E

Resolución 10

5log 2 a= ∧ 5

log 3 2b=

( )25 5 5

1 1log 300 log 300 log 10 ·3

2 2 = =

[ ]255 5 5

1 1log 10 log 3 2log 10 log 3

2 2 = + = +

( )5 5 5

12 log 5 log 2 log 3

2 = + +

( )12 1 a 2b

2 = + +

∴ 5

log 300 a b 1= + + Rpta.: E

Resolución 7

log2 = x 2 = 10x

2 2 2

2,5log 2,5 log (0,4) log

0,4 − =

2

22 2

5 5log 2log

22 = =

[ ]2 22 2

102 log 2 log 10 2log 2

2

= = −

x10

12 log 10 2 2 2

x = − = −

2 4xx

−= Rpta.: D

Resolución 8

( )log y

55

log x y=

( )log y5

5log log x logy =

( )55

log y log log x logy =

( ) =5

log log x log5 5log x 5=

x = 55 = 3125

∴ cifras 11∑ = Rpta.: C

Resolución 9

( )1 2 22 122 2

5 41 13 3 33

log 4 log 4log 2 log 2

Elog 243 log 81 log 3 log 3

−

−

++

= =+ +

2 2E

5 4−=−

∴ E = 0 Rpta.: E

Resolución 11

log(2–x) + log(3–x) = log2 + 1log(2–x) + log(3–x) – log2 = log10

- 16 -

( )( )2 x 3 xlog log10

2− −

=

( )( )2 x 3 x10

2− −

=

Resolviendo: x1 = 7 ∧ x2 = –2

∴ CS = {7; –2} Rpta.:

Resolución 12

2 2xlog x 8log 2 3− =

logx 8log23

log2 2logx− =

2(logx)2 – 6· logx· log2 – 8(log2)2 = 02logx 2 log2logx – 4log2(1) : 2logx + 2log2 = 0 logx = –log2

(2) : logx – 4log2 = 0 logx = log24

x = 16

Luego: x 16=

∴ x 4= Rpta.: D

Resolución 131

log x 21 1 logx2

− = −

12

log x 21 log10 logx− = −

10

log x 21 logx

− =

10x 21

x− = x(x–21) = 100 = 4· 25

∴ x = 25 Rpta.: A

Resolución 14

x + log(1+2x) = xlog5 + log72log10x + log(1+2x) = log5x + log72log[10x·(1+2x)] = log[5x· 72]10x(1+2x) = 5x· 72

2x x5 (1+2x) = x5 ·23· 32

2x(1+2x) = 23· 32 2x(1+2x)=23(1+23)

∴ x = 3 Rpta.: C

Resolución 1522 2log x log x2 x 1024+ =

( )2 2

log x2log x log x 102 x 2+ =

log x log x 102 2x x 2+ = log x 1022· x 2=

log x2 9x 2= ( )log x2 92 2log x log 2 =

2 2 2log x · log x 9log 2= ( )2

2log x 9=

2log x 3= ±

3

3

2 x x 81

2 x x8

−

= ⇒ =

= ⇒ =

Suma = 1

88

+

∴ Suma = 658

Rpta.: D

Resolución 162

2 3x xlog a log a k+ =

x x

1 2log a log a

2 3+ = k

x

6klog a

7=

a

1 6klog x 7

=

∴ a

7log x

6k= Rpta.: C

Resolución 17

23 x

logx log16 log2

− =

logx3 – log24 = logx2 – log2logx3 – logx2 = 4log2 – log2

33

2x

log log2x

=

x = 23

∴ x = 8 Rpta.: E

Resolución 18

= =

6logx

610

x 0x

[ ] =

6logx

610

log x logx

6logx · logx 6 log10 log x = −

(logx)2 = 6 – logx

(logx)2 + logx – 6 = 0

Resolviendo:

x1 = 102 ∧ x2 = 10-3

Luego: x1 · x2 = 102· 10-3

∴ x1 · x2 = 10-1 Rpta.: B


- 17 -

Resolución 19

( ) ( )− + − =logn

n 10log 2x 1 log x 1 n

log(2x–1)n + log(x–1)n = n

n log(2x–1) + nlog(x–1) = n

log(2x–1) + log(x–1) = log10log(2x–1)(x–1) = log10(2x–1)(x–1) = 10∴ x = 3 Rpta.: B

Resolución 23

antilogx· antilogx x = 16

antilogxxx = 16

xxx 16=

x 2x 2x 2= x = 2

Resolución 20

x ab x ab ab+ − − =

x ab x ab logy+ + − =

(x + ab)–(x – ab) = ab logy2ab = ab logy 2 = logy log102 = logy

∴ y = 100 Rpta.: E

Resolución 21

2 x

x

log x log 2 52 log 2 3

+ =−

22

2

1log x

5log x1 32

log x

+=

−

( ) ( )22 2

3 log x 3 10 log x 5+ = −

( )22 23 log x 10· log x 8 0− + =

Resolviendo: 1x 4= ∧ 32x 2 2=

Luego: x1· x2 = 34 ·2 2

∴ x1· x2 = 38 2 Rpta.: B

Resolución 22

log2 = 0,3 ∧ log3 = 0,472x = 24 2x = 23· 3log2x = log(23· 3)xlog2 = 3log2 + log3x(0,3) = 3(0,3) + 0,47

∴ x = 4,5 Rpta.: B

Luego: x3 = 23

∴ x3 = 8 Rpta.: E

Resolución 24

4 2 36antilog x antilog · colog 3 log 3=

12

324 6 3

antilog x antilog · colog · log 3=

24 6antilog x antilog · colog 6=

( ) ( )22 24 66

antilog x antilog · log 6 antilog · log 6= − = −

( )24

antilog x antilog 2= −

4x = 2-2 22x = 2-2

∴ x = –1 Rpta.: D

Resolución 25

2 216 8log x log x 4+ = −

Sea: log2x = a

16 8a a 4+ = − 16 +8a = a2 – 8a + 16

a = 16 log2x = 16 logx = ± 4logx = log104

∴ x = 104 Rpta.: B

Rsolución 26

( )( )( )Ln Ln Ln Lnx 0=

( )( )( )Ln Ln Ln Lnx Ln1=

( )( )Ln Ln Lnx 1= [ ] 1Ln Lnx e=

Lnx = ee

∴ x= eee Rpta.: D

Resolución 27

Lnx 13Lnx 42 Lnx+ =

Lnx · Lnx + 42 = 13· Lnx

(Lnx)2 + 42 = 13· Lnx

(Lnx)2 – 13 · Lnx + 42 = 0

Resolviendo la ecuación de 2do grado:

Lnx1 = 7 ∧ Lnx2 = 6

Lnx1 = 7 x1 = e7

Lnx2 = 6 x2 = e6

x1· x2 = e7· e6

∴ x1· x2 = e13 Rpta.: E

(x)

- 18 -

Resolución 29

x2 – y2 = 11

logx – logy = 1 x

log log10y

=

x

10y

= x = 10y

Resolución 28

35 5

R colog 0,04 antilog 2= +

2

55 5 5

1 100colog 0,04 log log log 5 2

0,04 4= = = =

25

antilog 2 5 25= =

Entonces:

3R 2 25= +

∴ R = 3 Rpta.: C

Resolución 30

1+ 2logx – log(x+2) = 0

log10 + logx2 = log(x+2)

log10·x2 = log(x+2) 10x2 = x+2

10x2 – x – 2 = 0

Resolviendo: 11

x2

= ∧ 22

x5

= − (no)

∴ C.S =

12 Rpta.: C

Entonces:

(10y)2 – y2 = 11 1

y3

= ∧ 10

x3

=

Por lo tanto:

+ = +10 1x y

3 3

∴11

x y3

+ = Rpta.: D

CAPÍTULO 5

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO (Pág. 157, 158)

Resolución 1Cambiamos el sentido de giro del ángulo negativo, enton-ces:

(17x – 19)° + (13x – 11)° = 180° 30x – 30 = 180 x = 7 Rpta.: C

Resolución 2Cambiando el sentido de giro de los ángulos negativostenemos:

• Se observa que:

(–θ)+ x = 180°

x – θ = 180° .... (1)

• Además:

(–α) + 90° + β = 180°

–α + β = 90°

–2α + 2β = 180° .... (2)

• Igualando 1 y 2 :

x – θ = –2α + 2β

x = θ + 2β – 2α Rpta.: D

Resolución 3

En la figura se observa que:


- 19 -

• Entonces se cumple:(ax2+bx+c+120)° + (–mx2–nx–p+150)° = 270°ax2+bx+c–mx2–nx–p+270 = 270(a–m)x2 + (b–n)x + (c–p) = 0

• Aplicando la definición de polinomios identicamente nulo se tiene:

− = → = − = → = − = → =

a m 0 a mb n 0 b nc p 0 c p

• Finalmente:

a b c1 1 1

m n p+ + = + +

a b c3

m n p+ + = Rpta.: E

Resolución 4

Analizando la figura se tiene que:

θ+(–α)+ β = 2 vueltasθ – α + β = 2(360°)θ – α + β = 720° Rpta.: A

Resolución 5

Analizando el gráfico observamos que:

θ + x = –720°– α + x = –360°θ –(–α) = –360°

θ = –360° – α Rpta.: C

Resolución 6Dividendo cada uno de los ángulos dados entre 360° seobtiene:

3106 360134 9

− ° °° −

854 360134 2

° °°

5186 360146 14

° °°

Observando los residuos de estas divisiones se concluyeque:

α y β son coterminales Rpta.: A

Resolución 7

De acuerdo al gráfico se debe cumplir que:(11x + 50°) –(–560°) = 720°11x + 610° = 720° x = 10° Rpta.: B

Resolución 8Sean los ángulos coterminales α, β y θ tal que : α < β < θ.

• Luego de acuerdo al enunciado:i) 0° < a < 90°

ii) 1 7 13α β θ= = 7

13

α = αβ = αθ = α

• Además: θ – β = 360°n13α – 7α = 360° n

α = 60° nn = 0 → α = 0° ¡No!n = 1 → α = 60° ¡Si !n = 2 → α = 120° ¡No !∴ θ = 13(60°)

θ = 780° Rpta.: A

Resolución 9Sean los ángulos coterminales α y β tal que α > β, enton-ces:

193

α =β →

193

α = β ... (1)

α – β = 360°n ... (2)

• Reemplazando (1) en (2):

19360 n

3β − β = °

16360 n

3β = ° → β = 67,5°n

• Pero “β” toma su menor valor positivo, entonces:n = 1 → β = 67,5°

• Luego en (1) tenemos:

( )1967,5

3α = ° → α = 427,5°

∴ α = 427 30'° Rpta.: A

Resolución 10

Siendo α y β ángulos coterminales, se cumple que:

α – β = 360°n

(7x2 + 1)° – (1 – 3x2)° = 360°n

10x2 = 360n

x = 6 n

- 20 -

� Para que a tome su mínimo valor, x ∈ + tambien debetomar su mínimo valor, entonces:

n = 1 → x = 6� Finalmente:

α = (7·62 + 1)°α = 253° Rpta.: D

Resolución 11Sean α y β ángulos coterminales tal que: α > β , entonces:

α + β = 600° ... (1) α – β = 360°n ... (2)

• De 1 y 2 :α = 300° + 180° npero: 400° < α < 600°n = 0 → α = 300° ¡No!n = 1 → α = 480° ¡Si!n = 2 → α = 660° ¡No!

� En 1: 480° + β = 600° β = 120° Rpta.: C

Resolución 12

En la figura se cumple que:x + α° + (–β)° = 180°

x = 180° – ( )Suplem.(x)

α° − β°

∴ Suplemento (x) = α° – β° Rpta.: B

Resolución 13 Del enunciado:

3θ + 2x = 18° ... (1)• En la figura se observa que:

2θ − 3x = 90° ... (2)• Resolviendo 1 y 2 :

Resolución 14

Siendo α y β ángulos coterminales tal que:

β – α = 360° n ... (1)

15

α =β → β = 5α ... (2)

• Reemplazando 2 en 1:5α – α = 360°nα = 90°n

pero: 100° < α < 200°n = 2 → α = 180°

• En 2 :β = 5(180°)

β = 900° Rpta.: E

Resolución 15Revisemos los residuos que se obtienen al dividir cadaángulo entre 360°:

1370 360290 3

° °°

2450 360290 6

° °° °

3310 360

290 10

− ° °

° −

• Observamos que los residuos son iguales, luego:

α, β y θ son coterminales Rpta.: D

3θ + 2x = 18° (x3)→ 9θ + 6x = 54°

2θ – 3x = 90° (x2)→ 4θ – 6x = 180°

13θ = 234° θ = 18°

• Reemplazando en 1:3(18°) + 2x = 18°

x = –18°• Finalmente:

E = 18° + (–18°) E = 0° Rpta.: B

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES (Pág. 174, 175, 176)

CAPÍTULO 6

NIVEL I

Resolución 1

• De 1:

36° < > Ag Ag = 36° × g

g1040

9=

°

A = 40

• De 2 :

B° <> 60g B° = gg

960

10°× = 54°

B = 54

• Nos piden:

M = 3(54) –4(40) = 162 – 160

M = 2 Rpta.: B

Resolución 2Realizando las conversiones al sistema sexagesimales:

30g ⇔ 30g × g

927

10° = °

rad9π

< > 180

209

° = °


- 21 -

• Reemplazando en la expresión pedida:

45 27 72E

20 20° + ° °= =

° °

E = 3,6 Rpta.: C

Resolución 4 Tenemos que:

S Cn

9 10= = →

S 9nC 10n

= =

• Reemplazando en la condición dada:

( ) ( )2 9n 9 10n 43 2

− +=

6n – 3 = 5n + 2 → n = 5

• Nos piden “S” , entonces:

S = 9(5) → S = 45° Rpta.: C

Resolución 5

• Sabemos que:

180RS

200RC

= π = π


200R 180R3− =

π π

20R3=

π

3R

20π= rad Rpta.: E

Resolución 3 Recordemos que:

S C Rk

180 200= = =

π → S 180kC 200kR k

= = = π

Reemplazando en la expresión pedida:

( )( )( )

2

2

2 200k 180k 2 200k 180kP

400 k

π × + × −=

π

( )( )2

2 2

580k 220k 580 220P

400 k 400π ×= =

π

P = 319 Rpta.: A

Resolución 9

• Teniendo en cuenta que:S = 180K ; C = 200K , R = πK


180K 200K14

6 5+ =

70K = 14 → 1

K5

=

∴ 1

R5

= π

R5π= rad Rpta.: A

Resolución 10

• Calculando la suma tenemos:

( )360 360 164980

2

° +α = = °

Resolución 6

• Se tiene que:

180rad 3,75 3 45'

48 48π °< > = ° = °

∴ A°B’ = 3°45’ → A 3B 45

= =

• Nos piden:

33A3 3

B 45 27 35 5

= × = =

A3

B 35

= Rpta.: C

Resolución 7 Sabemos que:

S C9 10

= → 10S = 9C → 10S – 9C = 0

• Reemplazando en la expresión a reducir tenemos:

[ ]0E 2R 1= + π =

E = 1 Rpta.: B

Resolución 8

• De la condición tenemos:S = 2n + 2 (x3)→ 3S = 6n + 6

C = 3n – 4 (x2)→ 2C = 6n – 8

3S – 2C = 14 ... (I)

• En I se tiene que:

180R 200R3 2 14 − = π π

540R 400R14− =

π π

140R = 14 π

R10π= rad Rpta.: D

- 22 -

• Expresamos “α” en radianes:

rad64980 361 rad

180π α = °× = π °

∴ α = 361 πrad Rpta.: C

NIVEL II

Resolución 1

• Realizando la conversión al sistema sexagesimal te-nemos:

13g90m<> 13,9g <> 13,9g × g

910

°

13g90m <> 12,51° = 12°30’36’’

A°B’C’’ = 12°30’36’’ → A 12B 30C 36

= = =

• Reemplazando en lo pedido:

A C 12 361,6

B 30+ += = Rpta.: C

Resolución 2

• Sabemos que: S = 180KC = 200KR = πK

• Reemplazando en la expresión a reducir:

( )( )

2 2 2

2 2

40000K 32400kU

76 K

− π=

π

2 2

2 2

7600KU 100

76 Kπ= =

π Rpta.: D

Resolución 3

• En la condición tenemos:

C S 19SC 72+ =

200K 180K 19180K·200K 72

+ =

2

380K 1936000K 72

= → 1

K25

=

∴ 1R

25 25π = π =

rad Rpta.: A

Resolución 4 Del enunciado:

Resolución 5

• Expresando la medida de los ángulos del cuadrilateroen el sistema sexagesimal tenemos:

m( A ) = (13x + 10)°

m ( B ) = 25(x + 1)g · g

9 45(x 1)

10 2° = + °

m( C ) = 90°

m( D ) = x 180

rad· 12x15 rad

π ° = ° π

• Aplicando la propiedad de los cuadriláteros tenemos:

m( A )+ m( B )+ m( C ) + m( D ) = 360°

(13x + 10)° +452 (x+1)° + 90° + 12x° = 360°

13x + 10+452 x +

452 +12x = 270

95 475x

2 2= → x = 5 Rpta.: C

Resolución 6

• Trabajando en la condición:

180R 200R4 3 10R 12 − + = + π π π

120R10R 12+ = + π

π

120R + 10Rπ = (12+π)π

10R(12+π) = (12+π)π

∴ R10π= rad Rpta.: E

Observación:

El problema también lo podemos resolver aplicando

el siguiente método:

4S – 3C + 10R = 12 + π

Igualamos los términos que presentan la constantes “π”

10R = π → R10π= rad

ˆˆ ˆA B C 180+ + = °α – 12° + α + α + 12° = 180° ∴ α = 60°

• Se observa que el menor ángulo es A, entonces:

A = 60° – 12° = 48° <> 48°×rad

180π

°

4A rad

15π= Rpta.: D


- 23 -

∆APQ (ángulo exterior)

x = 20° + y

x – y = 20° ·rad

180π

°

x – y = rad9π

Rpta.: D

Resolución 10

• Elevando al cuadrado la condición tenemos:

[ ]2

2R2 3 5

R

π+ = π

π π+ + = π π

4R R 92 2 3 25

R R

Resolución 7

• De la propiedad de las proporciones notamos que:

2C S 5 9R2C S 5 9R

+ π +=− π − →

2C 5S 9R

π=

10 52

9 9Rπ =

→ R4π= rad Rpta.: B

Resolución 8

• A partir de la condición hallamos el valor de “x”:

S C9 10

= → 2x 1 9x 29 10− −=

10x2 – 81x + 8 = 0

(10x – 1)(x – 8) = 0 → 1

x10

x 8

= =

pero: x ∈ → x = 8

• Reemplazando tenemos:

S = (8)2 – 1 = 63

R = 63 180π

→

7R

20π= rad Rpta.: B

4R 912 25

Rπ+ + =

π

4R2 – 13Rπ + 9π2 = 0

(R – π)(4R – 9π) = 0

i) R = π → S = 180°

ii) 9R

4π= → = = °9(180)

S 4054

• Nos piden el mayor valor, entonces

S = 405° Rpta.: C

Resolución 9

• Analizando la figura tenemos:

NIVEL PREUNIVERSITARIO

Resolución 1

• Resolviendo la ecuación dada tenemos:418 S 3 S− =

4S 3 S 18 0+ − =

( )( )4 4S 6 S 3 0+ − =

i) 4 S 6= − ¡Absurdo!

ii) 4 S 3= → S = 81°

∴ 9R 81

180 20π π = =

rad Rpta.: A

Resolución 2

• Reemplazando los datos en la igualdad:

S C9 10

= → 2 23x x 8 2x 5x 5

9 10+ − + +=

12x2 – 35X – 125 =0

(12X +25)(X – 5) = 0 →

25x ¡No!

12x 5

− = =

• Reemplazando el valor de “x” se obtiene:

S = 3(5)2 + (5) –8 = 72

∴ 2R 72

180 5π π = =

rad Rpta.: C

Resolución 3

• A partir de los datos tenemos:

- 24 -

m( A ) = m(B ) → (5x – 3)° < > (7x – 25)g

5x 3 7x 259 10− −= → x = 15

• Luego:

m( A ) = (5×15–3)° = 72°

m( B ) = 72°

m( C ) = 180° – 72° – 72° = 36°

∴ m( C ) = 36° ×rad

rad180 5π π=

°

Rpta.: B

Resolución 4

• De acuerdo al enunciado se tiene que: (α < β < θ)

α = (a – r)° α + β + θ = 14 (180°)

β = a° (a – r)° +a° + (a + r)° = 45°

θ = (a + r)° ∴ a = 15

• Además:a + r = (a –r)2

15 + r = (15 – r)2

r2 – 31r + 210 = 0

(r – 21)(r – 10) = 0 → r 21 ¡No!r 10

= =

∴ α = (15 – 10)° = 5°

α = 5°× rad

rad180 36π π = °

Rpta.: A

Resolución 5

• En la figura se cumple que:

xm <> – yll → g 0

x y100 3600

< > −

S C9 10

= → y x

3600 1009 10

−=

y x162 5− = → x 5

y 162= − ... (I)

• Reemplazando (I) en la expresión pedida tenemos:

33375x 75 5 1254y 4 162 216

= − = −

∴ 375x 54y 6

= − Rpta.: E

Resolución 6

• Recordemos la siguiente propiedad algebraica:

ab = 1 → I. b 0 a 0II. a 1 b

= ∧ ≠ = ∧ ∈

• Analizando para el caso I :

C – S – 1 = 0

C – S = 1

200R 180R1− =

π π

R20π= →

S 9C 10

= =

Pero si reemplazamos en la condición del problemase observa que:

× − − =

02 9 10

1 19 10

00 = 1 ¡Absurdo!

• Analizando para el caso II :

2S C1 1

9 10− − =

20S – 9C = 180

180R 200R20 9 180 − = π π

R10π= →

S 18C 20

= =

Comprobando en la condición del problema tenemos:

[ ](20 18 1)1 1

− − =

11 = 1 ¿Correcto!

∴ R10π= rad Rpta.: C

Resolución 7

• De acuerdo al enunciado se cumple que:

aI<>bg → 0a

60

<> bg

ab60

9 10= → a = 54b

• Reemplazando en la expresión pedida:

54b 5bE 49 7

b−= = = Rpta.: D

Resolución 8

• Analizando la expresión dada tenemos:


- 25 -

α = 14 – (x2 – 4x)α = 18 – (x2 – 4x + 4)

α = 18 – (x – 2)2

máximo mínimo = 0α máx. = 18°

α máx = rad10π

Rpta.: C

máx( )+

Resolución 10

• Aplicando el método explicado en el problema 06tenemos:

5 5 5S C 5R36 40

+ +π = 2S4 + 2C4 + 2R4

Términos que presentan la constante “π”

∴ 5

45R2R=

π → 5R = 2π

2R

5π= rad Rpta.: B

Resolución 9

• Del gráfico se cumple que:

a b120 180

b a ° − + φ = °

a b60

b a + φ = − °

φ = − ° +

máx(-)

60� bb �

Nota:

a b2

b a+ ≥

a b2

b a+ ≤ −

6030

2− °φ = = °−

rad6πφ = Rpta.: C

LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DELSECTOR CIRCULAR (Pág. 189, 190, 191)

CAPÍTULO 7

NIVEL I

L = α · r

→ 20 rad

9r 9m

πα = ° < > =

L · 99π=

L = πm Rpta.: A

Resolución 2• En la figura se cumple que:

L = α r →

L (3x 4)m2rad

r (2x 1)m

= +α = = +

3x + 4 = 2(2x + 1)3x + 4 = 4x + 2∴ x = 2 Rpta.: B

Resolución 3

• En el sector circular COD:

CDL COD OC= ×

2 4r4ππ = × 45 rad

4π° < >

r = 2m

• En el sector circular AOB:

ABL AOB OA= ×

L 24π= × OA = r = 2m

L m2π= Rpta.: D

Resolución 1

• Del enunciado tenemos:

Resolución 4

• Analizando la figura:

- 26 -

2

1·r

S2

α=

22

22 ·(2r)

S 4 r2

α= = α

• Nos piden:2

12

2

·rS 12S 4 r 8

α

= =α

Rpta.: E

Resolución 5

• En el gráfico se cumple que:

S AOB = ( ) ( )2

m AOB · OA2

2·(2x)2x3

2

π

π = → x2 – 3x = 0

x(x – 3) = 0 → x 0¡No!x 3

= =

∴ x = 3 Rpta.: C

Resolución 6


i) ( )ABL m AOB ·OA=

ABL ·12 3 m

4π= = π

ii) CDL m( COD)·OC=

CDL ·16 4 m

4π= = π

• Luego: nos piden:

AB CDL L

S ·BD2

+ =

3 4S ·4 14

2π + π = = π

222S 14 44m

7 = =

Rpta.: D

i) ( )1L m CAD ·AC=

1L ·12 4 m3π= = π

ii) ( )2L m AOB ·OA=

2L ·24 4 m6π= = π

� Nos piden:L1 + L2 = 4π + 4π = 8πm Rpta.: E

Resolución 7

• Analizamos la figura:

S2 = 2

2(5) 9 16m

2 2 2− =

θ θ θ

• Nos piden:

2

1

16S 16 42

9S 9 32

θ= = =

θ Rpta.: A

Resolución 9

• Segun la figura se cumple:

i) ABL · OA= θ

2 = θ · OA

ii) CDL · OC= θ

4 = θ ·(OA + 2)

4 = θ ·OA + 2θ

4 = 2 + 2θ

∴ θ = 1 Rpta.: A

Resolución 10

• En el gráfico se verifica que:

S ABDC = AB CD

L L·AC

2

+

( ) ( )x 1 x 19 ·x

2 − + +

=

9 = x2 → x = {–3; 3}

∴ x = 3 Rpta.: D

Resolución 8

• Del gráfico se obtiene:

i) S1 = 2 2

2ABL (3) 9m

2 2 2= =

θ θ θ

ii) S2 = S COD – S1 = 2

CDL 92 2

−θ θ


- 27 -

i) Sector COD: 3L = α · 2r ... (1)

ii) Sector AOB: 2L = ·r2π − α

... (2)

� Dividendo m · a· m (1) : (2)

3L ·2r2L r

2

α=π − α

→ 3 22

2

α= π − α

33 4

2π − α = α →

314

πα = B

OBC: R2 = r2 + 2

5

R2 – r2 = 5• Además:

S ABDC = S COD – S AOB

S ABCD = 2 22 2

·R ·r5 5

2 2

π π

−

S ABCD = ( )2 2R r (5)5 5π π− =

S ABCD = πm2 Rpta.: A

Resolución 3

• En el sector circular AOB:

( )ABL m AOB ·OA=

4 = θ · r ........... (1)• En el sector circular EOF:

EFL m( EOF)·OE=

14 = θ · (r + 5)

Resolución 5

• Analizando la gráfica:

ABD : Isósceles (AB = BD = 2 2 m)

∴ m A m D 45= = °

Asom = A ABD – ASector BAC

Asomb. = ( )2· 2 22 2·2 2 4

2 2

π

−

Asomb. =(4 – π)m2 Rpta.: C

• Aplicando la propiedad de ángulos en la circunferen-cia:

m BOC 2m BAC= → m BOC 2= α°

• En el sector BOC:

radL 2 · ·R

180π = α° °

Resolución 1

• Analizando la gráfica:

NIVEL II

Resolución 2


Resolución 4• Trasladando los datos al gráfico tenemos:

14 = θr + 5θ14 = 4 + 5θ θ = 2rad

• Reemplazando en (1):4 = 2· r → r = 2m

• En el sector circular COD:

CDL m( COD)·OC=

CDL = θ·(r + 3)

CDL =2(2 + 3)

CDL = 10m

• Nos piden: L 10m

5r 2m

= = Rpta.: B

2α

- 28 -

• Del enunciado:

S AOB 1S COD 4

= →S COD = 4·S AOB

Reemplazando:2 22 1L L

4·2 2

=θ θ → 2 2

2 1L 4L=

L2 = 2L1 → 2

1

L2

L= Rpta.: C

Resolución 6

• Sea: m AOB rad= θ ; entonces:

L R90απ=

90LR =

πα Rpta.: B

Resolución 7

• Sea: m AOB rad= θ ; luego:

ABL ·1 m= θ = θ

CDL · 3 3 m= θ = θ

EFL · 6 6 m= θ = θ

• Además:

21

3S ·2 4 m

2θ + θ = = θ

22

3 6 27S ·3 m

2 2θ + θ = = θ

• Nos piden:

1 333

2

S 4 8 227S 27 32

θ= = =θ Rpta.:A

LR

θ = → 8 10r r 2

θ = =+

∴ 8r + 16 = 10r → r = 8m

• Luego:

Asomb. = 2ABL · r 8 · 8

32m2 2

= = Rpta.:E

Resolución 8

• En la figura:

Resolución 9

• Sea : = θ = θm CoD rad rad; luego :

( ) ( )θ +=2

1a 1

S ..... 12

( ) ( )2

2 1

2aS S ..... 2

2θ= −

Dato: S1 = S2

( )2

1 12aS S2

θ= −

2S1= θ ⋅ 2a2 ..... Reemplazando (1)

2 θ ( )+ 2a 12

= θ ⋅ 22a

a2 + 2a + 1 = 2a2

0 = a2 – 2a – 1

( )2 4 4 1a2

± − −=

2 8a2

±=

2 2 2a2

±=

⇒ a=1+ 2 o a = 1– 2 (absurdo)a = 1 + 1,41

∴ a = 2,41 Rpta. E

Resolución 10

• De acuerdo al gráfico:

i) S1 = 2x

2α

ii) S2 = S DOE – S BOC


- 29 -

S2 = 2 2y x

2 2α α−

• De la condición:

S1 = S22 2 2x y x

2 2 2α α α= −

x2 = y2 – x2 → 2x2 = y2

2

2

x 1y 2

= → x 2y 2

=

∴ x0,71

y= Rpta.: C

• Además:

Asomb. = A AOB – A OBC

Asomb. = ( ) ( )22

2 32 332

2 2

ππ

−

Asomb. = 3π – 2π = πm2 Rpta.:D

Asomb. = ( )2 2R r

1802

απ −

Asomb. = 2·a360απ

• Aplicando la fórmula anterior tenemos:

Asomb. = 2 21· 2· 8·1 ·2

360 360 360 360π π π π+ = +

Asomb. = 2m40π

Rpta.: D

i) El ∆AOC es equilátero:OA = OC = AC = 12m

m AOC m OAC m ACO 60= = = °

Además:

AC = AD → AD = 12m

ii) En el sector circular AOC:

ACL ·12 4 m

3π= = π

iii) En el sector circular CAD:

CDL ·12 m

12π= = π

• Sea 2p el perímetro de la región sombreada, enton-ces:

2p = AD + ACL + CD

L = 12 + 4π + π

2p = 5π + 12 Rpta.: D

∆BOC: equilátero

m OBC 60= °

Resolución 1

• Analizamos la gráfica:

NIVEL PRE-UNIVERSITARIO

Resolución 2

• Revisando la figura tenemos:

Resolución 4

• Analizamos el siguiente caso general:

Resolución 3


S ABDC = 5

CD2 L

·2 52

+ =

CDL 3m=

• Además:

S ABDC = S COD – S AOB2 2CD AB

L L5

2 2= −

θ θ

10θ = 32 – 22 → 10θ = 5

θ = 0,5 Rpta.: E

Resolución 5

• Del gráfico se obtiene que:

i) 1BCL 2L=

ii) S1 = 21L

2θ

iii) S2 = S DOE – S BOC

S2 = ( )( )

( )

2212 2LL

2 2 2 2−

θ θ

- 30 -

Resolución 7

• Según el enunciado tenemos:

2p = 8

a + b + 2x = 8

a + b = 8 – 2x

• Además:

a bA x

2+ =

→ 8 2x

A x2

− =

A = 4x – x2 → A = 4 – (x – 2)2

Máx Mín = 0

∴ Amáx = 4m2 Rpta.:D

i) R + r = 4 ; R·r = 2

(R + r)2 = (4)2

R2 + 2Rr + r2 = 16

R2 + 2(2) + r2 = 16

R2 + r2 = 12

ii) S ABC = 4 2·4 2

162

=

iii) S1 = 2R

2; S3 =

2r4

π

S2 = 2R

4π

; S4 = 2r2

• De gráfico se observa que:

Asomb. = S ABC –(S1 + S2 + S3 + S4)

Asomb. = 16 – 2 2 2 2R R r r

2 4 4 2 π π+ + +

Asomb. = 16 – 2 2R r

1 12 2 2 2

π π + + +

Asomb. =16 – 2 2R r

12 2

π + +

Asomb. = 16 – 12

12 2π +

Asomb. = 10 – 3π Rpta.: A

S2 =2 22 1L L

4−

θ θ

• De la condición se tiene:

S1 = S2 → 2 2 21 2 1L L L

2 4= −

θ θ θ2 21 23L L

2 4= → 2 2

1 26L L=

1 26 L L= → 1

2

L 6L 6

= Rpta.: D

Resolución 6

• En la figura se observa que:

( )m AOB rad2π = − θ

� De la condición se tiene que:

S1 = 2S2 → ( ) ( )

22· 2 2

· 12 22 2

π − θ θ =

42π − θ = θ

→ 2π – 4θ = θ

∴ 25πθ = Rpta.:D

Resolución 8


2p = 2

L + 2r = 2

2 Lr

2−=

Resolución 9

• De acuerdo a los datos:


- 31 -

Resolución 10


• Además:

L rS

2×= →

2 LL

2S

2

−× =

22 L LS

4−= →

21 2

L2 2

S4

− − =

Por condición: S → máximo

Entonces: 2

2L

2

−

→ mínimo

∴2

L 02

− = → 2

L2

= Rpta.: E

i) 1ab

S2

=

ii) ( ) 2

2

a a b ab aS

2 2 2+

= − =

• Nos piden:2

2

1

aS a2

abS b2

= =

• Además:

ABL · a= α →

ba

α =

( )CD

aL a b

a b= α + → α =

+

b aa a b

=+ → ab + b2 = a2

a2 – ab – b2 = 0

( ) ( ) ( )( )( )

2 2b b 4 1 ba

2 1

− − ± − − −=

b 5 ba

2±= →

1 5a b

2

±=

a 1 5b 2

±= → 2

1

1 5a 2b 1 5 S

¡No! 02 S

+=

− >

∴ 2

1

S 5 1S 2

+= Rpta.:B

NÚMERO DE VUELTAS EN UN SISTEMA DE RUEDAS (Pág. 202, 203, 204)

Nivel I

Resolución 1

• Del enunciado se tiene: Longitud del tramo AB = 18π m = 1 800π cm Radio de la rueda = 20 cm Número de vueltas = n• Por teoría se sabe que:

=π ⋅

longitud del tramo ABn

2 radio

1800 cm

n2 20 cm

π=

π ⋅ n = 45 Rpta. C

Resolución 2

• Del enunciado obtenemosel siguiente gráfico con susrespectivos valores.

• Debemos calcular el número de vueltas que da la mo-neda móvil al recorrer completamente a la otra moneda.

( )α +=

πR r

n2 r

; donde:

α = π = =

2 radR 4rr r

Luego:

( )π +=

π2 rad 4r r

n2 rad r n = 5 Rpta. D

Resolución 3

Del enunciado se tiene:

Ambas ruedas recorren la misma distancia (L), luego:

* Número de vueltas de B = π ⋅

L2 radio

r

- 32 -

( )=πL

82 3r

L = 48π r

* Número de vueltas de A = π ⋅

L2 radio

( )π=

π48 r

2 2r = 12

Luego:

ángulo que barrela rueda menor = 12(360°) = 4 320° Rpta. A

Resolución 4

Del gráfico se obtiene:• n1 · r1 = n3 · r3 n1 · 10 cm = 3 · 40 cm n1 = 12• n1 = n2 , además

=π2

2

Ln

2 r

( )=π

L12

2 35 cm L = 2 640 cm

• La longitud que asciende el bloque es L

∴ El bloque ascenderá 26,40 m Rpta. C

Resolución 5

Además:

• 11

Ln

2 R=

π • 2

2L

n2 r

=π

( )1L

12 9 cm

=π ( )

2L3

2 4 cm=

π

L1 = 18π cm L2 = 24π cm

Luego: x = 18π cm + 12 cm + 24π cm

x = 144 cm Rpta. E

Resolución 6

Calculamos el número de vueltas en el tramo AB

( ) ( )( )AB

R r 9 cm 1cmn

2 r 9 1cm

α − π −= =

π π

nAB = 4

Resolución 7

En la figura se observa que en cada vértice del triánguloequilátero se forma, debido al giro de la rueda, un tercio decircunferencia. Entonces la longitud total recorrida por larueda será:

( ) ( )T2 1cm

L 44 cm 3 44 2 cm3

π= + = + π

Ahora calculamos el número de vueltas

TL

n2 r

=π

( )44 2 cmn

2 cm

+ π=

π n = 8 Rpta. E

Resolución 8

De la figura se obtiene lo siguiente:

• Las ruedas de radio r y 2r tienen la siguiente relación:

n2r · 2r = nr · r

n2r · 2r = 50 · r n2r = 25

• El número de vueltas de las ruedas de radio 2r y 3r soniguales, entonces: n2r = n3r = 25

• Además la rueda de radio 3r es la mayor

∴ El ángulo que barre la rueda mayor es 25 · 2π = 50π

Rpta. E

Resolución 9

• Sea n el número de vueltas que da la rueda de 7 cm,entonces:

( )AhL

n2 7 cm 14 cm

= =π π

Calculamos el número de vueltas en el tramo BC

( ) ( )

( )BC

7 cm 1cmR r 2n2 r 2 1cm

π +α += =

π π nBC = 2

Además; el número de vueltas durante el tramo AC es iguala la suma de los números de vueltas de los tramos AB y BC.

∴ Número de vueltas en el tramo AC = 6Rpta. A

donde N es el número de vueltasde la rueda de 8 cm de radio

Ah

2 N 814

⋅ = ⋅π

AhN

56=

π . . . (1)

• La rueda de radio 7 cm y la rueda de 2 cm dan el mismonúmero de vueltas (n)

• Las ruedas de 2 y 8 centímetros tienen la siguiente relación:

n · 2 = N · 8 ,


- 33 -

• El número de vueltas de las ruedas de 8 y 3 centímetrosson iguales, entonces:

( )Bh

N2 3 cm

=π

BhN

6=

π . . . (2)

• Igualando (1) y (2) se obtiene:

=π π

A Bh h56 6

A

B

h 28h 3

= Rpta. A

Resolución 10

Datos de la 1a rueda:

radio = a n° de vueltas de = n

long. de recorrido = bπ

Datos de la 2a rueda:

n° de vueltas = N

radio = b

long. de recorrido = aπ

Pero ab

es equivalente a 1

2n

= = 1 1 1

N2 2n 4n

∴ La segunda rueda debe dar 1

4n vueltas

Rpta. D

π= =π

=

b bn

2 a 2 a

a 12nb

a aN

2 b 2 bπ= =

π

Resolución 11

Calculamos la longitud del borde de la moneda de 2r deradio (L2r)

L2r = 2π(2r) L2r = 4πr

Calculamos el número de vueltas que da la moneda de radio r.L

n2 r

=π ⋅ , pero L = L2r = 4πr

4 rn

2 rπ=π = 2

∴ La moneda de radio r da 2 vueltas Rpta. B

Nivel II

Resolución 12

Graficando tenemos:

Ahora calculamos el número de vueltas

( )R rn

2 R

α +=

π

( )( )

π

=π

375r

90n2 4r

37

n144

= Rpta. B

Resolución 13

Graficando tenemos:

• 540° equivalente a una vuelta y media, 3

n2

=

• Calculamos la longitud recorrida

L = 2π r n L = 3π


2d 9 4 cm= π + Rpta. E

Resolución 14

Sea r el radio del cilindro, entonces 5r será el radio deltubo. Ahora calculamos el número de vueltas que da elcilindro.

( )R rn

2 rα −

=π

( )2 5r rn

2 rπ −

=π n = 4 Rpta. B

Resolución 15

Se sabe que:

bL

n2 radio

=π

L1

2 b=

π ⋅ L = 2π b

Además en la pista circular se tiene:

donde: 12

L a5π= ⋅a a

72° < >25�

L1

- 34 -

Resolución 16

Tenemos: 1a rueda: 2a rueda: 3a rueda: radio = a n° de vueltas = n longitud =

Luego:

2 a 2 b 2 x− =

π π π

1 1 1a b x

− = ab

xb a

=− Rpta. C

radio = bn° de vueltas = Nlongitud =

radio = xn° de vueltas = n – Nlongitud =

n2 a

=π

N2 b

=π

n N2 x

− =π

Resolución 17

• Sea L el espacio recorrido por la bicicleta

• Calculamos el número de vueltas de la rueda menor

( )L

n2 50 cm

=π

L

n100 cm

=π

• Calculamos el número de vueltas de la rueda mayor

( )L

N2 70 cm

=π

L

N140 cm

=π

• Del enunciado se tiene:

L L20

100 cm 140 cm− =

π π

L(40π cm) = 20 · 100π cm · 140π cm

L = 7 000π cm

L = 702 27

m L = 220 m Rpta. D

Graficando tenemos:

Resolución 18

• Calculamos la distancia recorrida

distancia = θ · 1 = θ

• En el PMO se tiene:

PM = sen(θ – 90°) PM = –cosθ

MO = cos(θ – 90°) MO = senθ

• Sea (x; y) las coordenadas del punto P, entonces

x = θ – cos(θ – 90°) x = θ – secθ

y = 1 + cos(θ – 90°) y = 1 – secθ

∴ Las coordenadas de P son (θ – senθ; 1 – cosθ)

Rpta. C

Del enunciado se tiene:

Resolución 19

Además:

R + r = R + ( )2 1− R = 2 R

Luego, el número de vueltas que da la rueda menor es:

( )( )

32 RR r 2n 2 2

2 r 2 2 1 R

π ⋅ α += = π π −

3 2n

2 2 2=

− n se aproxima a 5 Rpta. D

Pero: L = L1 2πb = 25π

a

a

5b

= Rpta. E

Donde r = ( )2 1 R−

M


- 35 -

Resolución 2

• Del dato se tiene:

Cotg A = 5 C . A

C. O12→→

3 5E

4 4= +

E = 2 Rpta.: A

CAPÍTULO 8

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I. (Pág. 225, 226, 227)

NIVEL I

• Nos piden:

12 5M

13 13= − →

7M

13= Rpta.: C

Resolución 20

Sean:

x = número de pisos del edificio.

y = distancia entre cada piso.

Luego: x · y = 48 m

Calculamos la distancia que sube el material

Ln

2 radio=

π

( )L

212 20 cm

=π L = 840π cm

Además para que el material llegue al piso 12, el materialdebe recorrer 11y, luego

840π cm = 11y

240 cm = y

Luego: x · y = 48 m

x · 2,4 m = 48 m

x = 20

∴ El edificio tiene 20 pisos Rpta. C

Resolución 1

• Aplicando el teorema de Pitágoras:

(a + 1)2 = (a – 1)2 + (4)2

a2 + 2a + 1 = a2 – 2a + 1 + 16

4a = 16 → a = 4

• En la figura:

Resolución 3

• Nos piden:

56E5

12

= → E = 2 Rpta.: A


i) AB2 = 132 – 52

AB = 12

ii) AM = MB = 6

- 36 -

Resolución 4

• En la figura se tiene:

i) AC2 = 152 + 82

AC = 17

ii) NC2 = 62 + 82

NC = 10

• Nos piden:

19117 8csc tg 88 15P

15 10ctg sec8 8

−β − β= = =β − α −

.1558

19175

=

P = 2,5 Rpta.: D

Resolución 5


i) CD2 = 252 – 152

CD = 20

ii) BC2 = 252 – 242

BC = 7

• Nos piden:

33

7 2027 325 25Q

5 125 5

+= = =

Q = 0,6 Rpta.: E

Resolución 6

• De acuerdo a las R.T. de ángulos complementariosse cumple que:

(4x + 12°) + (3x + 8°) = 90°

7x = 70° → x = 10° Rpta.: C

Resolución 7

• De acuerdo a las R.T. recíprocas se cumple que:2x + 17° = x + 34°

x = 17° Rpta.: D

• Nos piden:

x 40y 10

°=°

→ x

4y

= Rpta.: D

Resolución 9

• A partir del gráfico se tiene:

i) ABC: AB

ctga

α = → AB = a· ctgα

ii) AHB: x

cosAB

α = → x

cosa·ctg

α =α

∴ x = acosα ctgα Rpta.: D

Resolución 10


i) ABC: AB

ctga

θ = → AB = a·ctgθ

ii) DBC: BDtg

aθ = → BD = a·tgθ

iii) x = AB – BD = actgθ – atgθ

∴ x = a(ctgθ − tgθ) Rpta.: E

Resolución 8

• De 1 : x + y + 40° = 90°x + y = 50° ... 3

• De 2 : x – y = 30° .... 4

• Resolviendo 3 y 4 :

x + y = 50° x = 40°x – y = 30° y = 10°

NIVEL II

Resolución 1

• Del dato tenemos:

senA · SenB = 49

a b 4·

c c 9=

24a · b c

9=

• Nos piden:

b aE

a b= + →

2 2b aE

ab+=

2

2

cE

4c

9

= →

9 3E

4 2= =

∴ E = 1,5 Rpta.: D

Resolución 2

• En la figura:


- 37 -

(2a)2 + 22 = 2

13

4a2 = 9

3a

2=

• Nos piden: 2

tg32

α = → 4

tg3

α = Rpta.: D

Resolución 3

• Revisando la figura:

Resolución 6

• En el numerador aplicamos las propiedades de lasR.T. de ángulos complementarios:

cos65 ctg55 csc66K

cos65 ctg55 csc66° + ° + °=° + ° + °

x = 1 Rpta.: D

CM: mediana

AM = BM = CM

∴ ∆BMC : Isósceles

• En el ACB : 1

ctg2

θ = Rpta.: C

AC2 = (3a)2 – (a)2

AC = 2 2 a

• Además “θ” es el mayor ángulo agudo, entonces:

2 2 atg

aθ = → tg 2 2θ =

Rpta.: B

• Además: 2p = 905a + 12a + 13a = 90 → a = 3

• Nos piden: AC = 13a = 13(3)

AC = 39 Rpta.: C

Resolución 4

• De acuerdo a los datos tenemos:

Resolución 5

• Aplicando las propiedades respectivas tenemos:

W = sen20° · tg40° · tg50° · sec70°

W= sen20° · tg40° · ctg40° · csc20°

1 1

W = 1 Rpta.: B

Resolución 7


→ 12a

cos13a

θ =

→ AB2 = (13a)2 – (12a)2

AB = 5a

Resolución 8

• Del dato se cumple que:cos(2x – θ)·csc(x + 3θ) = 1

sen[90° – (2x – θ)] · csc(x + 3θ) = 1

→ 90° – 2x + θ = x + 3θ 3x + 2θ = 90°∴ sen 3x = cos 2θ

sen 3x – cos 2θ = 0


− θ= =+ θ + θ

sen3x cos2 0P

tg(x ) tg(x )

P = 0 Rpta.: A

Resolución 9


i) ABC: BCctg

aα = → BC = a· ctgα

ii) ABM: BMtg

aθ = → BM = a · tgθ

- 38 -

i) BAF: AB

ctg1

θ = → AB = ctgθ

ii) AB = CD → CD = ctgθ

iii) CDF: 3

tg2ctg

θ =θ

→ tg2θ · ctgθ = 3

∴ W = 3 Rpta.: D

Resolución 10

• Revisando la figura:

• Además: BC = BM + MC a · ctgα = a · tgθ + a ctgα = tgθ + 1ctgα – tgθ = 1

M = 1 Rpta.: C

Resolución 2

• De la condición tenemos:121 secsec sec 222 sec

22 2 22 2

θθ θθ= → ⋅ =

Resolución 1

• De los datos se tiene:

→

c3a a

bbc

−=

a c 3a c·

b b a− =

a2 = 3ac – c2

a2 + c2 = 3ac

• Nos piden:

a cU

c a= + →

2 2a cU

ac+=

3acU

ac= → U = 3 Rpta.: B


θ=

3sec 222 2 →

3sec 2

2θ =

4

Sec3

θ =

• Nos piden:2

7 4E 9 7 7 4

3 7

= − = −

E = 3 Rpta.: C

Resolución 3

• De acuerdo a los datos tenemos:

i)5

cos13

θ = → CD 552 13

=

∴ CD = 20

ii) AC2 = 522 – 202

AC = 48

• En el BCD:

48tg

2 52 20θ =

+ → 2

tg2 3θ = ... 1

20tg

2 48 xθ =

− ... 2

• Igualamos 1 y 2 :

2 203 48 x

=− → 48 – x = 30

x = 18 Rpta.: E

Resolución 4


i) c2 = a2 + b2 ... 1

ii) 2c 13

ab 6=

2 13c ab

6= ... 2


a2 + b2 = 13

ab6


- 39 -

3 3atg

7 7aθ = = → BH 3a

CH 7a=

=

• En el BHC:

(3a)2 + (7a)2 = ( )210 58

58a2 = 100 · 58 a = 10

• En el AHB:AH = 86 – 7(10) = 16BH = 3(10) = 30

AB = 2 216 30 34+ =

• Nos piden:

16 34 50M

30 30 30= + =

5M

3= Rpta.: E

6a2 – 13ab + 6b2 = 0(2a – 3b)(3a – 2b) = 0

2a – 3b = 0 → a 3b 2

=

3a – 2b = 0 → a 2b 3

=

• Sea A el menor ángulo, entonces

a < b → a

1b

<

Además: tgA = ab

∴ tgA = 23 Rpta.: C

Resolución 5

• Del gráfico tenemos:

Resolución 6

De la figura se tiene:

OBA: OBcos

1θ = → OB = cosθ

OCB: OC

coscos

θ =θ

→ OC = cos2θ

En el EPF :

32ctg72

α =

3

ctg7

α = Rpta.: E

ODC: 2

ODcos

cosθ =

θ → OD = cos3θ

• Nos piden:S = 1 + cosθ + cos2 θ + cos3θ + ...S = 1 + cosθ [1 + cosθ + cos2θ + ... ]

SS = 1 + cosθ · S → S[1 – cosθ] = 1

1S

1 cos=

− θ Rpta.: B

Resolución 7

• En el gráfico se tiene:

CBD : BDtg

1θ = → BD = tgθ

ABC: θ =+1

tg4 BD

→ θ =+ θ1

tg4 tg

tg2θ + 4tgθ = 1 tg2θ + 4tgθ + 4 = 1 + 4 (tgθ + 2)2 = 5

E 5= Rpta.: C

Resolución 8


Resolución 9


- 40 -

i) OB = OC → R = r 2 r+ → R – r = r 2

ii) O1NB: 1

BN r 2ctg

O N rθ = =

ctg 2θ = Rpta.: A

Luego trazamos BH OC, entonces se cumple que:

i) OHB: BH

sen12

α = → BH = 12senα

OHcos

12α = → OH = 12 cosα

ii) BHC: HCctg

BHβ = → HC

ctg12sen

β =α

HC = 12senα · ctgβ

Además: OH + HC = OC, reemplazando:12cosα + 12senα ctgβ = 13

Dividendo entre “senα”

12cos 12sen ·ctg 13sen sen sen

α α β+ =α α α

12ctgα + 12ctgβ = 13cscα13csc 12ctg

12ctgα − β=

α

∴ P = 12 Rpta.: CEn el OAC : OC2 = 122 + 52

OC = 13

Resolución 10

• Trabajando la figura:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II (Pág. 242; 243; 244)

NIVEL I

Resolución 1

• Reemplazando los valores notables:

( )21A 4 1 3

2 = + =

B 2 2·2 2= =

∴ A + B = 5 Rpta.: C

Resolución 2

� De la condición:

. [ ] [ ]1ctg2tg 2

αα = → tgα = 2

5 5E 2

1 2

=

E = 5 Rpta.: E

Resolución 3

• Del dato se cumple que:

(5x + 8°) + (2x – 2°) = 90°7x = 84° → x = 12°

MBC : 3k

ctg2k

α = → 3

ctg2

α = Rpta.: C

Resolución 4


• Reemplazando en lo pedido:M = tg15° + tg60°

( ) ( )M 2 3 3= − +

M = 2 Rpta.: B

Resolución 5

• A partir del gráfico tenemos:

CDA: sen 45° = CDb →

2CD

2= b ... 1

CDB: sen 37° = CDa

→ 3

CD5

= a ... 2


2 3b a

2 5= →

b 3 2·

a 5 2=


- 41 -

PHC: sen37° = PH10 → PH = 10

36

5 =

PHA: csc30° = PA6 → PA = 6(2) = 12

∴ PA = 12 Rpta.: A

Resolución 9


i) ∆ABC: equilátero

ii) Trazamos PH AC

• PHC: Notable (30° y 60°)

PC = 2 ; PH = 3 ; HC = 1

• AHP: 3

tg5

θ = Rpta.: D

B

b 3 2a 5

= Rpta.: C

Resolución 6

• Sean BP = BQ = x ; luego:

ABC: tg74° = 38 x4 x

++ →

24 38 x7 4 x

+=+

96 + 24x = 266 + 7x → x = 10

PBQ: sec 45° = PQx → PQ = 10 2

Rpta.: E

Resolución 7

• Recordemos que: tg75° = 2 + 3

ctg75° = 2– 3

P = 2 + 3 + 2– 3 → P = 4

Rpta.: B

Resolución 8


Resolución 10

• Del gráfico se tiene:

i) ABC: sec37° = AC12 → AC = 12

515

4 =

ii) ACD: sec45° = ADAC

→ AD = 15 ( )2 15 2=

iii) ADE : sec30° = AEAD

→ AE = 2 3

15 23

AE = 10 6 Rpta.: A

AHB: cos60° = BH8 → BH = 8

14

2 =

AHC: cos37° = HC10 → HC = 10

48

5 =

∆ ABC: BC = BH + HC → BC = 4 + 8

BC = 12 Rpta.: A

Resolución 2

• De los datos tenemos:i) tg3α · ctg(90° – 2β) = 1

3α = 90° – 2β3α + 2β = 90° ... 1

ii)cos2α · sec(3β – 5°) = 12α = 3β – 5°2α – 3β = –5 ... 2

• Resolviendo 1 y 2 :

3α + 2β = 90° ( 3)×→ 9α + 6β = 270°

2α – 3β = –5 ( 2)×→ 4α – 6β = –10°

13α = 260° α = 20°

En 1 : 3(20°) + 2β = 90°β = 15°

Resolución 1

• Analizamos el gráfico:

NIVEL II

- 42 -

Resolución 3

• Reemplazando los valores notables tenemos:

1x 1

521 4x 12

+ = −

→ x 2 5x 2 4

+ =−

4x + 8 = 5x – 10 → x = 18 Rpta.: D

Sea: CD = 5a, entonces:

i) CED notable(37°; 53°) CD = 5a ; DE = 3a ; CE = 4a

ii) DEB Notable (45°; 45°) DE = 3a; EB = 3a

i) Trazamos: OT AC

ii)El OTA es notable (45° y 45°)

Entonces OT = 1 → OA = 2

iii) AB = OA + OB

AB = 2 + 1

iv) BC = AB

BC = 2 + 1 Rpta.: B

• Reemplazamos en lo pedido:

N = sen230° + tg245° = 1

14

+

N = 1,25 Rpta.: E

Resolución 4


Resolución 5


iii) 4a + 3a = 28 → a = 4

∴ CD = 5(4) → CD = 20 Rpta.: A

• PBQ notable (37° y 53°):

PB = 3K ; BQ = 4K; PQ = 5K

• En el DAQ:

° = → =+ +a 3 a

tg37a 4K 4 a 4K

3a + 12K= 4a → a = 12K

• En el ABP:

α = = =3K 3K 1tg

a 12K 4

tgα = 0,25 Rpta.: E

i) BHP: PHsen

xθ = → PH = x·senθ

BHcos

xθ = → BH = x·cosθ

ii) PHA: AH = PH → AH = x·senθ

iii) Luego: AH + BH = AB

xsenθ + xcosθ = a

a

xsen cos

=θ + θ Rpta.. B

Resolución 6

• Analizamos la gráfica

4K

3K

Resolución 7



- 43 -

• Trazamos MP AC , entonces:

HP = PC = 8

• En el APM: 6ctg

17θ = Rpta.: A

Resolución 9• En la figura elegimos convenientemente AM = MC =

5 2

BRM: α = 4 2sen

BM

BQM: BMcsc

5β =


4 2 BMP 5 · ·

BM 5=

P 4 2= Rpta.: D

Resolución 8

• En la figura se observa el ABC notable (37° y 53°),entonces asignamos valores convenientes a sus la-dos:

• En el AQP:

3 1ctg

3+θ = →

3 3ctg

3+θ =

Rpta.: D

i) En la semicircunferencia trazamos HT , entonces

HT BT (propiedad)

ii) Trazamos TP AH , entonces:

TPH es notable (37°; 53°) sea:

PH = 3 ; PT = 4; TH = 5

• Además se cumple:

BTH: sec37° = BH5 → BH = 5

5 254 4

=

BHC: tg37° = HC254

→ 25 3 75

HC4 4 16

= =

TPC: ctgα =

753

164

+ →

123ctg

64α = Rpta.: A

Resolución 10

• En la figura se observa que el PQC es notable (30° y60°) , entonces tenemos:

Resolución 1



Resolución 2

• En la figura el DAE es notable (37°; 53°), enton-ces elegimos sus lados convenientemente: AD = 16; AE = 12; DE = 20

- 44 -

• En el DCF:

32tg

1θ = → tgθ = 32 Rpta.: D

i) ABC: sen53° = AB3a → AB = 3a

4 12a

5 5 =

ii) AHD: sen37° = HDa →

3HD a

5=

AH

cos37a

° = → 4

AH a5

=

iii) HB = AB – AH → 12 4 8

HB a a a5 5 5

= − =

iv) BHD: HD

tgHB

α = →

3a

5tg8

a5

α =

3

tg8

α = Rpta.: C

Resolución 5

• Se observa que: sen62° = cos28°

Además: cos45° = 2

2, luego:

( )

( )

tg 3x 20 ·cos281

22 · cos28 · · ctg 5x 30

2

− ° °=

° + °

Simplificando: ( )( )

tg 3x 201

ctg 5x 30− °

=+ °

tg(3x – 20°) = ctg(5x + 30°)(3x – 20°) + (5x + 30°) = 90°8x + 10° = 90° → x = 10°

• Reemplazando en lo pedido:E = sen40° – cos50°E = cos50° – cos50°E = 0 Rpta.: D

i) BQP Notable (37°; 53°)

BQ = 4a ; PQ = 3a ; BP = 5a

ii) PQC Notable(45°; 45°)

PQ = QC = 3a

iii) BQ + QC = BC → 4a + 3a = 7 a = 1

∴ BP = 5a = 5(1) → BP = 5Rpta.: B

i) ACB: a

ctgb

α =

ii) PQB: BQctg

xα = →

aBQ · x

b=

iii) BQ + QC = BC → a

x x ab

+ =

a bx a

b+ =

→ ab

xa b

=+

∴ 2ab

PCa b

=+

Rpta.: B

Resolución 3


Resolución 4• Analizamos la figura:

Resolución 6


Resolución 7


AB = 15 + 20

AB = 35

Rpta.: A


- 45 -

Resolución 9

• En el gráfico se tiene:

Resolución 8


i) En el ACD notable (37°; 53°) elegimos conve-nientemente los lados:

AC = 4 2 ; CD = 3 2 ; AD = 5 2

ii)En el ABC (45°; 45°):

AC = 4 2 → AB = BC = 4

iii) En el CED(45°; 45°)

CD = 3 2 → CE = ED = 3

iv) En el BED:

4 3ctg

3+θ = →

7ctg

3θ =

Rpta.: C

• OP = OA = OB

OP = 2a

• NP2 = (2a)2 – (a2)

NP = a 3

• En el MHP:

PH = a 3 – a = a ( )3 1−

MH = a

∴ ( )a 3 1PH

ctgMH a

−θ = =

ctg 3 1θ = − Rpta.: A

i) ABC : AM = MC = BM = 2aii) ∆ ABM: Equilátero

iii) MPC: Notable(30° y 60°)

MC = 2a → MP = a ; PC = a 3

• En el NPC:

i) NC2 = ( ) ( )222a a 3+ → NC 7a=

ii) NPcos

NCα = → 2a

cos7a

α =

∴ 7 cos 2α = Rpta.: B

Resolución 10

• En la figura se observa:

ÁNGULOS VECTICALES (250, 251, 252)

Resolución 1

De los datos mencionados:

Nivel I

Se nota que: AE = CE = H ( 45° y 4°)

por paralelas BD = AE = H

Ahora: BCD: ( Resolución)

CD = Htgθ

finalmente: x = H – Htgθ

∴ x = H(1–tgθ) Rpta. D

H

- 46 -

Resolución 2

de la figura: AE = H – 3

PEA(30° y 60°): PE = (H – 3 )3

3

(30° y 60°)REA: tg30° =

( )−

+ −

H 3

38 H 3

3

( )−=

+ −

3 H 33 3

8 H 33

H = 5 3 m Rpta. B

Resolución 3

Graficando:

ADC: DC = Hcotg37°BDA: BD = Hcotg45°

luego: DC = BD + 80Reemplazando:

Hcotg37° = Hcotg45° + 80

H

43 = H(1) + 80

43 H – H = 80

H3 = 80

∴ H = 240 m Rpta. D

Resolución 4

ABC AB = 6Hcotgα . . . (1)

ABD AB = 7Htgα . . . (2)

Igualamos: (1) y (2)7Htgα = 6Hcotα

7tgα = 6 α

1tg tgα =

67

∴ cotgα = 76

Rpta. D

Resolución 5

En 12h < > 180° 1h < > 15° de 4 a 6 pm θ = 30°

HOJ (Notable de 30° y 60°)

Lsombra = ( )3 3 ∴ Lsombra = 3 m Rpta. C

Resolución 6

Piden cotgα = ?

BCD: (Not de 45° y 45°) CD = 10

ACD: cotgα = 5 0 +2 10

10

∴ cotgα = 5 2 +1 Rpta. E

Resolución 7

�

C

D

90°-��

�

B6Hcotg�A

6H7H


- 47 -

de la figura aplicando resolución de triángulos rectángulos:

Ahora en AHC:

Resolución 8

Del enunciado:

Triángulos rectángulos notables de 30° y 60°

x = 17 cos60°

12 ∴ x =

174

m Rpta. C

ABD: AB = H

ECD (Not. de 30° y 60°): H – 9 = H 3

3 H 3 – 9 3 = H

∴ H = ( )93 1

2+ Rpta. E

Resolución 9

BDC: DC = dcotgθBDE: ED = dtgθ

piden: EC = ED + DC

∴ EC = d(tgθ + cotgθ) Rpta. C

Resolución 10

ABC: tgθ = xH x = Htgθ ...(1)

ABD = tgθ = H

x H+ tgθ(x + H) = H ...(2)

Reemplazando (1) en (2)

tgθ(Htgθ + H) = H

tgθ2 + tgθ – 1 = 0

Resolviendo mediante la fórmula general tenemos:

1 1 4

tg2

− + +θ =

∴ 5 1

tg2−θ = Rpta. E

Resolución 1

Nivel II

BFD: BF = 1,5cotg27°BFC: CF = 1,5cotg27°tg53°

CF = 32

(1,95)

43 CF = 3,9 m

Longitud del poste = CF + FD

∴ Longitud del poste = 5,4 m Rpta. C

Resolución 2

Dato: cotgθ = 125

entonces:

de 45° y 45° 50 + 260cosθ + 3K = 4K + 260senθ

50 + 260 1213 + 3K = 4K + 260

513

50 + 240 + 3K = 4K + 100 K = 190 . . . (1)

B

H

A

�

C

�

�90 - �

Dx H

- 48 -

Resolución 3

de la figura se nota que: α = β

Resolución 4

Resolución 5

Del enunciado del problema graficamos:

Se nota

OPQ: cscθ = +R hR

h = R(cscθ – 1) . . . (1)

OPT: secθ = xR

x = Rsecθ . . . (2)

En el triángulo pintado tenemos:

tgα = a ( )− θ2 1 tg

a ∴ tgα = ( )−2 1 tgθ Rpta. C

De (1) R = θ −h

csc 1reemplazando en (2)

θ=θ −

hsecx

csc 1 Rpta. C

Resolución 6

De las condiciones tenemos:

* AHB (Not. de 45° ): AH = 24

* BHC: HC = 32 (Not. de 37° y 53° ) x = AH + HC

∴ x = 56 m Rpta. A

Resolución 7

Hallamos AD

AD = AB – DB; aplicando resolución

AD = 24cotβ – 24cotα

reemplazando

AD = 24 (4) – 24(3)

AD = 24 m

pero ADe = V · t

24 = V x 0,8 V = 30 m/s

piden en Km/h: = 3 0V

ms

1Kmx

1 0 0 0 m3 6 0

x0 s

1h

∴ V = Km

108h

Rpta. A

cotα = 3cotβ = 4

Del enunciado:

t

piden: H = 4K + 260senθ

Reemplazando:

H = 4(190) + 260

513 ∴ H = 860 m Rpta. B

Ahora del dato: α + β =α

tg tg ntg

tgα = n2

piden longitud de AB =π2

(H – h)cotα

∴ π2

(H – h)2n

= − π

H hn Rpta. A

B

A

h

� �

H-h

h(H-h)cotg�

(H-h)cotg�

45°

a

a

�

atg�

�

a 2

a 2tg�

� �a 2 1 tg� �

�


- 49 -

Resolución 8

ABC(Not de 45°): AB = BC = 28

pero RC = AB (por paralelas)

Ahora PRC:

PR = 21 m

luego: x = PR + RA x = 21 + 28

∴ x = 49 m Rpta. B

Resolución 9

(Not. 45° y 45°) AOC: OA = 10

(Not. 30° y 60°) COB: OB = 10 3

Finalmente:

AOB: Teorema de Pitágoras

x2 = 102 + ( )210 3

∴ x = 20 m Rpta. B

Resolución 10

De la figura: AB = AC

ÁNGULOS HORIZONTALES (Pág. 258)

Resolución 1

Del enunciado:

Del gráfico: ∆ PQR: equilátero PQ = PR = QR = 150 km

∴ Distancia de Q a R = 150 km Rpta. A

Resolución 2

Del enunciado:

PQR: Teorema de Pitágoras

d2 = 962 + 282

∴ d = 100 m Rpta. B

( ∆ ABC: isósceles)

Además: ∆ ACD: isósceles

AC = CD = d

Finalmente: PCD: PC = dtgθ Rpta. C

10W E

C

10

O

A

x45°

30°

10 3

N

S

B

- 50 -

Resolución 3

PMJ:

Teorema de Pitágoras:

x2 = 1002 + 2402

∴ x = 260 m Rpta. C

Resolución 4

ADB: (Not. de 30° y 60°)

BD = H 3

ADE: (Not. de 45° y 45°) DE = H

Finalmente: Teorema de Pitágoras en BDE

( ) ( )+ + =2 2 2H 3 H 24

4H2 = 242 H = 12 m Rpta. D

∆NHP: isósceles NH = HP = dLuego: NP = 2dcos20° = 74cos20° d = 37 kmAhora:

d = 37 km = V · t = 185 km

h·t t =

15 h =

60 min5

∴ t = 12 min Rpta. C

Resolución 5

AHB: Teorema de Pitágoras:

602 = + +

22d 3d 7d

8 8 d = 40

Luego la altura de la torre es: H = 40 3 m Rpta. B

Resolución 6

RSM: Teorema de Pitágoras:

d2 = 402 + 402 ∴ d = 40 2 km Rpta. B

Resolución 7

De la figura:

De la figura

tgα = 3 7

20°58°

12°

20°

Q38°

P

58°

12°d

N

1

8

�

3 7

30 km

50km

R

M

d

E

S

O

N

10 km 40 km

40 km

40 km

S

E

N

O

S 37°

Juanapunto dellegada

Punto dePartida(Roberto)

S

10 km

( )


- 51 -

∆RBB’: Isósceles

BB’ = RB = 200 m

RFB: (Notable de 30° y 60°)

d = 100 m Rpta. A

Resolución 8

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL (Pág. 275; 276; 277; 278)

CAPÍTULO 9

Resolución 1


x = –2

y = 1

( ) ( )= − + =2 2r 2 1 5

NIVEL I

Resolución 2

• Del gráfico se obtiene:x = –3y = –1

( ) ( )= − + − =2 2r 3 1 10

• Nos piden:

1 2M 5 ·

5 5−= → M = –2

Rpta.: D

• Nos piden:

θ =−10

csc1

→ θ = −csc 10

Rpta.: A

Resolución 3

• En la figura se observa:

i) Para“α”

x = –4

y = 3

( ) ( )= − + =2 2r 4 3 5

ii) Para “β”

x = –7

y = –24

( ) ( )= − + − =2 2r 7 24 25

• Nos piden:

3 25 4 25E 8 7

5 24 5 7− = + − −

E = –5 + 20 → E = 15 Rpta.: D

Resolución 4

• Del gráfico se tiene:

(-5)2 + (y)2 = (13)2 ; y > 0

y = 12

∴ α = ytg

x → −α = 12

tg5 Rpta.: B

- 52 -

Resolución 10

• Recordemos que:

∴ Tienen signos diferentes en el: Q2 y Q4

Rpta.: E

Resolución 1


NIVEL II

( ) ( )2 2

x 2

r 13

y 13 2 3

= − = = − − − = −

Resolución 5

• Según los datos tenemos:

• Nos piden:

23 13

N 4 9 6 132 3

− = + = + − −

N = 19 Rpta.: C

Resolución 6


±α = 9cos

25 → α = 3

cos5 ; 4Qα ∈

160° ∈ Q2 → sen160° : (+)

230° ∈ Q3 → cos230° : (–)

350° ∈ Q4 → tg350° : (–)

80° ∈ Q1 → ctg80° : (+)

200° ∈ Q3 → sec200° : (–)

300° ∈ Q4 → csc300° : (–)

• Reemplazando tenemos:

( )( )( )( )( )( )

( )( )

+ − − += =

+ − − +B → B = (+)

Rpta.: A

Resolución 9

• De acuerdo al dato:

θ ∈ Q3 →

Resolución 7


α +α ∈ → α −

2sen : ( )

Qcos : ( )

β +β∈ → β +

3tg : ( )

Qctg : ( )


( ) ( )( ) ( )

( )( )E

·+ + + +

= =− + − → E = (–) Rpta.: B

= =

= − − = −2 2

x 3r 5

y 5 3 4

Resolución 8

• Analizando los términos de la expresión dada tene-mos:

Cosθ = (–)

tgθ = (+)


E = (–) – (+) = (–) Rpta.: C

• Nos piden:

= − =− −3 5 2

A4 4 4 → A = 0,5 Rpta.: E


- 53 -

( ) ( )

= − = − = − + − =

22

x 1

y 2

r 1 2 3

• Nos piden:

M = 2secθ · cscθ + θ3 3 sen

−= + − −

3 3 2M 2 3 3

1 2 3

( ) ( )

= −

= − = − + − =

2 2

x 1y 8

r 1 8 65

θ =−65

sec1

→ θ = −sec 65 Rpta.: D

Resolución 2


32

tg 2 ; Q1

−θ = = θ∈−

Resolución 3

• A partir del gráfico se tiene:

i) Para “α”: x = 7 y = 24

= + =2 2r 7 24 25

ii) Para “β”: x = –12 y = –5

( ) ( )= − + − =2 2r 12 5 13

• Nos piden:

= + − 25 13

R 224 12 → R = 1

Rpta.: A

= −M 3 2 3 2 → M = 0 Rpta.: C

Resolución 4


[ ] + θ + =

2 21 tg 1 2 → + θ + =1 tg 1 4

[ ] θ + = 2 2tg 1 3 → tgθ + 1 = 9

tgθ = 8 ; θ ∈ Q3

• Finalmente:

Resolución 5

• Factorizando la expresión dada:

(5senα + 4)(5senα – 3) = 0

α + = → α = − α − = → α =

45sen 4 0 sen

53

5sen 3 0 sen5

( ) ( )

=

= − = + − =

2 2

x 60y 11

r 60 11 61

• Nos piden:

−= +11 61K

60 60 → 5

K6

= Rpta.: E

Pero: α ∈ Q2 → α = 3sen

5

• Nos piden:

= − − + − 3 4 3

M5 5 4

= 13M

20 → M = 0,65 Rpta.: B

- 54 -

• Nos piden:

− =

15 1A 16

4 4

A 15= − Rpta.: D

Resolución 1

• De los datos tenemos:

tgθ < 0 → tgθ : (–) θ∈Q4

secθ = 4 → secθ : (+)

• Nos piden:


Resolución 10


Resolución 8

• De acuerdo al dato:

θ ∈Q3

• Nos piden:

− − =

2 1P 10

5 5 → P = 4 Rpta.: B

Resolución 6

• A partir del dato tenemos:

[ ] [ ]θθ =

12ctgtg 2 →

θ = θ =

tg 21

ctg2

Resolución 7

• De los datos tenemos:

senα < 0 → senα : (–) → α ∈ Q3 ; Q4

secα > 0 → secα : (+) → α ∈ Q1 ; Q4

∴ α∈Q4

• Nos piden:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

+ − − += =

− − +E

· → E = (+) Rpta.: A

Resolución 9


R.T.(α) = R.T.(β) = R.T(θ)

• Además:

α =tg 2 → α∈Q1 , Q3

β = −sec 3 → β∈Q2 , Q3

∴ α ; β y θ ∈ Q3

secθ = (–)

tgθ = (+)

• Reemplazando en lo pedido

(–) – (+) = (–) Rpta.: C

−α = = −2 6sen

33

β = − 6sen

3

θ = − 6sen

3• Nos piden:

= − + − + −

6 6 6G 2 3

3 3 3 → = −G 2 6

Rpta.: B

− − = −

21 3

E10 10

→α = 4E

10

E = 0,4 Rpta.: D


- 55 -

α + =ctg 13

2 → ctgα = 5 ; α∈Q3

• Nos piden:

α =−26

csc1

α = −csc 26 Rpta.: B

+

+

Resolución 2


[ ] [ ] [ ]ctg 1

ctg 1 31 3 22 2 2 2

2

α+α+ = → =

Resolución 3


secθ : (–) θ∈Q3

tgθ : (+)

• Además:

–1 < cosθ < 0 –1 < senθ < 0

1 < 2+cosθ < 2 0 < –senθ < 1

2< 2–senθ < 3

• Luego:

Resolución 4

• En la figura se cumple:

(2a –1)2+ (a + 4)2 = ( )25 2

5a2 + 4a + 17 = 50

5a2 + 4a – 33 = 0(5a – 11)(a + 3) = 0

Resolución 7

• Analizamos la figura para calcular las coordenadas

de los puntos M y N:

Resolución 5

• Analizando la expresión tenemos:

− α ≥1 cos 0 → senφ < 0

∴ φ ∈ Q3 y Q4 Rpta.: B

Resolución 6


x = a + 1

y = a – 1

( ) ( )= + + − = +2 2 2r a 1 a 1 2a 2

• Por condición r es minímo:

r = ( )+22 a 1 → rmin = 2

∴ a = 0 → =

= −

x 1y 1

• Nos piden:

= −

2 2E

1 1 → E = –2 Rpta.: C

mín

• Nos piden: 5 2 5 2csc

a 4 3 4α = =

+ − +

α =csc 5 2 Rpta.: E

( ) ( )( )

( )( )

+ − −= =

+ +·

R → R = (–) Rpta.: B

→ − = → = + = → = −

115a 11 0 a

5a 3 0 a 3

Pero: 2a – 1< 0 → < 1a

2∴ a = –3

• Nos piden: − = − − 3 5

k ·3 1

k = –5 Rpta.: B

- 56 -

Resolución 8

• Tg4θ – 7tg2θ + 1 = 0

2 7 49 4tg

2± −θ =

2 14 2 45tg

4±θ =

14 2 9 5tg

4± ⋅θ =

tgθ = – ( )19 5

2±

tgθ = – ( )13 5

2±

• Nos piden:

( )1 2E 3 5

2 3 5= ± −

±

• Solución 1

13 5 2 5 3 5

E2 3 5 3 5

+ += − =+ +

15 3 5 3 5

E3 5 3 5

+ −= + − = 5

• Solución 2

23 5 2 5 3 5

E2 3 5 3 5

− −= − = −− −

( ) − += − = − − − + 2

5 3 5 3 5E 5

3 5 3 5

2E 5= Rpta.: C

Resolución 9

• 2Sen θ + Senθ = 0

Sen Sen 0θ + θ =

I) senθ > 0 ⇒ senθ + senθ = θ senθ = 0 (NO)

II) senθ < 0 ⇒ senθ + senθ = 0 θ toma cualquier valor

• Hacemos tg 7θ =θ∈ IIIC

1cos

8θ = −

• Luego:

7 tg tg 7 tg 2− θ + θ − = β +

7 7 7 7 tg 2− + − = β +tgβ = –2

1

5

�

-21

cos5

β =

• Nos piden: cosθ · cosβ

1 1 1 10cos cos

208 5 40−θ ⋅ β = − ⋅ = − = Rpta.: C

Resolución 10

• P y Q puntos simétricos:• Nos piden:

1 1 53 7ctg

22 2tg2 53 7

φ −= = =φ

−

4 2tg

2 2 53 14 53 7φ = =

− − Rpta.: C

Resolución 11

• ∆ABC equilátero: a = 4

P(–2a;4a – 1) = (–8;15)

• Nos piden:

E = senθ · cosθ

E = 15 817 17

−⋅ = 120

289−

Rpta.: C

-14 (6;0)

4

Q(-14;4)

2 53

1

78

�

3

120°

17

42o 6

4C

-8

60°

4

A(2;3)

a=4

B(6;7)7

x’

P(-8;15)

15

y’

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Solucionario 5to secundaria