Toan 1 - Chuong 9

Định nghĩa, tính chấtHai phương pháp tính tích phân

Tích phân suy rộng

Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1

Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH

PHÂN SUY RỘNG

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng

Ngày 12 tháng 10 năm 2010

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG



Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG

9.1 Định nghĩa, tính chất.

9.2 Hai phương pháp tính tích phân.

9.3 Tích phân suy rộng.


















Bài toán diện tích hình thang congVí dụTính chất

Bài toán

Tính diện tích S của miền phẳng giới hạn bởi: đường cong y = f (x),trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b





Bài toán

Chia S một cách tùy ý ra n miền con S1,S2, ...,Sn





Bài toán

Xấp xỉ mỗi miền con S1, S2, ...,Sn bằng các hình chữ nhật





Bài toán

Hình dưới là các trường hợp chia S thành 2 và 4 phần





Bài toán

Hình dưới là các trường hợp chia S thành 8 và 12 phần

Với n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác





Bài toán

Trên mỗi miền con S1, S2, ...,Sn lấy một điểm tùy ý

Ta có S = S1 + S2 + · · ·+ Sn

S ' f (x∗1 ) (x1 − x0) + f (x∗2 ) (x2 − x1) + · · · f (x∗n ) (xn − xn−1)

S 'n∑

i=1

f (x∗i ) ∆xi





Bài toán

Nếu giới hạn I = lim∆xi→0

(n∑

i=1

f (x∗i ) ∆xi

)tồn tại không phụ thuộc

cách chia S và cách chọn điểm x∗i , thì I được gọi là tích phân xác địnhcủa hàm y = f (x) trên đoạn [a, b] và

S = limmax(∆xi )→0

(n∑

i=1

f (x∗i ) ∆xi

)=

b∫a

f (x)dx





Ví dụ

Tính diện tích S giới hạn bởi: đường cong y = x2, trục hoành, haiđường thẳng x = 0 và x = 1





Ví dụ

Chia S thành 4 miền và chọn điểm trung gian bên trái





Ví dụ

Chia S thành 4 miền và chọn điểm trung gian bên phải





Ví dụ

Chia S thành 8 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải





Ví dụ






Ví dụ






Ví dụ






Ví dụ

Bảng thống kê một số giá trị





Tính chất I

1. Nếu các hàm f (x), g(x) khả tích trên [a, b] thì các hàmf (x) + g(x), k .f (x) với k là hằng số cũng khả tích trên [a, b] và

b∫a

[f (x) + g(x)]dx =

b∫a

f (x)dx +

b∫a

g(x)dx

b∫a

kf (x)dx = k

b∫a

f (x)dx

2. Nếu hàm f khả tích trên các đoạn [a, c], [c , b] thì nó cũng khả tíchtrên [a, b] và

b∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

b∫c

f (x)dx

3. Nếu f (x) > 0,∀x ∈ [a, b] thìb∫a

f (x) dx > 0





Tính chất II

4. Nếu f (x) 6 g (x) ,∀x ∈ [a, b] thìb∫a

f (x)dx 6b∫a

g(x)dx

5. Nếu m và M là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm f (x) trên [a, b]thì

m(b − a) 6

b∫a

f (x)dx 6 M(b − a)

6. Nếu f (x) là hàm lẻ thìa∫−a

f (x)dx = 0.

Nếu f (x) là hàm chẵn thìa∫−a

f (x)dx = 2a∫0

f (x)dx

7. Công thức Newton- Leibnitz: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a, b]và có nguyên hàm là F (x). Khi đó

b∫a

f (x)dx = F (x)|ba = F (b)− F (a)





Tính chất III

8. Công thức đạo hàm theo cận trên: Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì

x∫a

f (t)dt

′

= f (x)

ϕ(x)∫a

f (t)dt

′

= f (x).ϕ′(x)




Phương pháp đổi biến sốPhương pháp tích phân từng phần

Phương pháp đổi biển số

Nếu f (x) là một hàm liên tục trên [a, b], x = ϕ(t) là một hàm xácđịnh và có đạo hàm liên tục trên [α, β] với ϕ(α) = a, ϕ(β) = b thì

b∫a

f (x)dx =

β∫α

f [ϕ(t)].ϕ′(t)dt





Ví dụ:

Tính I =a∫0

√a2 − x2dx

Giải: Phép đổi biến x = a sin x ta có:

a2 − x2 = a2(1− sin2t) = a2cos2t, dx = a cos tdt

Đổi cận x = 0⇒ t = 0, x = a⇒ t =π

2. Do đó

I =

π/2∫0

a cos t.a cos tdt = a2

π/2∫0

cos2tdt =a2

2

π/2∫0

(1 + cos 2t)dt

=a2

2

(t +

1

2sin 2t

)∣∣∣∣π/2

0

=πa2

4





Ví dụ:

Tính I =a∫0

√a2 − x2dx

Giải: Phép đổi biến x = a sin x ta có:

a2 − x2 = a2(1− sin2t) = a2cos2t, dx = a cos tdt

Đổi cận x = 0⇒ t = 0, x = a⇒ t =π

2. Do đó

I =

π/2∫0

a cos t.a cos tdt = a2

π/2∫0

cos2tdt =a2

2

π/2∫0

(1 + cos 2t)dt

=a2

2

(t +

1

2sin 2t

)∣∣∣∣π/2

0

=πa2

4





Ví dụ:

Tính I =

π/2∫0

sin x

1 + cos2xdx

Giải: Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx , đổi cận

x = 0⇒ t = 1, x =π

2⇒ t = 0

I =

0∫1

−dt1 + t2

=

1∫0

dt

1 + t2= arctgt|10 =

π

4





Ví dụ:

Tính I =

π/2∫0

sin x

1 + cos2xdx

Giải: Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx , đổi cận

x = 0⇒ t = 1, x =π

2⇒ t = 0

I =

0∫1

−dt1 + t2

=

1∫0

dt

1 + t2= arctgt|10 =

π

4





Phương pháp tích phân từng phân

Nếu u và v là các hàm số cùng với các đạo hàm của chúng liên tụctrên [a, b] thì

b∫a

f (x) dx =

b∫a

udv = uv |ba −b∫

a

vdu

Thật vậy, uv |ba =b∫a

d(uv) =b∫a

(vdu + udv) =b∫a

vdu +b∫a

udv

Ví dụ: Tính I =2∫1

ln xdx

Giải: Đặt u = ln x , dv = dx ta có du =dx

x, v = x suy ra

I = x ln x |21−2∫

1

dx = 2 ln 2− 1







b∫a

f (x) dx =

b∫a


a

vdu


d(uv) =b∫a

(vdu + udv) =b∫a

vdu +b∫a

udv


ln xdx


x, v = x suy ra

I = x ln x |21−2∫

1

dx = 2 ln 2− 1







b∫a

f (x) dx =

b∫a


a

vdu


d(uv) =b∫a

(vdu + udv) =b∫a

vdu +b∫a

udv


ln xdx


x, v = x suy ra

I = x ln x |21−2∫

1

dx = 2 ln 2− 1




Tích phân suy rộng loại 1Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực trong khoảng lấy tích phân)Bài tập

Bài toán

Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = f (x) ≥ 0, trục hoành, đường thẳng x = a

S =

+∞∫a

f (x) dx = limb→+∞

b∫a

f (x) dx





Bài toán

Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = f (x) ≥ 0, trục hoành, đường thẳng x = a

S =

+∞∫a


b∫a

f (x) dx





Tích phân suy rộng loại 1

Định nghĩa

Cho hàm số y = f (x) khả tích trên đoạn [a, b], với mọi b > a. Tíchphân

+∞∫a


b∫a

f (x) dx

được gọi là tích phân suy rộng loại 1.

Các tích phân sau cũng được gọi là tích phân suy rộng loại 1

a∫−∞

f (x) dx = limb→−∞

a∫b

f (x) dx

+∞∫−∞

f (x) dx =a∫−∞

f (x) dx ++∞∫a

f (x) dx





Tích phân suy rộng loại 1

Định nghĩa

Cho hàm số y = f (x) khả tích trên đoạn [a, b], với mọi b > a. Tíchphân

+∞∫a


b∫a

f (x) dx

được gọi là tích phân suy rộng loại 1.

Các tích phân sau cũng được gọi là tích phân suy rộng loại 1

a∫−∞

f (x) dx = limb→−∞

a∫b

f (x) dx

+∞∫−∞

f (x) dx =a∫−∞

f (x) dx ++∞∫a

f (x) dx





Sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 1

Nếu giới hạn limb→+∞

b∫a

f (x) dx tồn tại hữu hạn thì tích phân

+∞∫a

f (x) dx được gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu tích phân không tồn tại

hoặc bằng vô cùng thì tích phân gọi là phân kỳ.

Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng

1 Tính tích phân suy rộng

2 Khảo sát sự hội tụ







b∫a


+∞∫a












b∫a


+∞∫a












b∫a


+∞∫a










Tính tích phân suy rộng (công thức newton-Leibnitz)

Công thức Newton-Leibnitz

Giả sử F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên [a,+∞) khi đó

+∞∫a

f (x)dx = limb→+∞

b∫a


(F (b)− F (a))

Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại limb→+∞

F (b) := F (∞)

+∞∫a

f (x)dx = F (x)|+∞a = F (+∞)− F (a)





Tính tích phân suy rộng (công thức newton-Leibnitz)

Công thức Newton-Leibnitz

Giả sử F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên [a,+∞) khi đó

+∞∫a


b∫a


(F (b)− F (a))

Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại limb→+∞

F (b) := F (∞)

+∞∫a

f (x)dx = F (x)|+∞a = F (+∞)− F (a)





Ví dụ

Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y =1

x, trục

hoành, đường thẳng x = 1

S =

+∞∫1

1

xdx = lim

a→+∞

a∫1

1

xdx = lim

a→+∞(ln |x |) |a1 = lim

a→+∞(ln |a|) = +∞

S có diện tích là vô hạn





Ví dụ


x, trục

hoành, đường thẳng x = 1

S =

+∞∫1

1

xdx = lim

a→+∞

a∫1

1

xdx = lim

a→+∞(ln |x |) |a1 = lim

a→+∞(ln |a|) = +∞

S có diện tích là vô hạnĐàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG




Ví dụ


x2 + 1và trục hoành

S =

+∞∫−∞

1

x2 + 2dx = 2

+∞∫0

1

x2 + 2dx = 2 lim

a→+∞

(arctan x |a0

)= π

S có diện tích là π





Ví dụ


x2 + 1và trục hoành

S =

+∞∫−∞

1

x2 + 2dx = 2

+∞∫0

1

x2 + 2dx = 2 lim

a→+∞

(arctan x |a0

)= π

S có diện tích là π





Ví dụ

Tính tích phân I =+∞∫1

e−2xdx

Ta có

I =

+∞∫1

e−2xdx = −1

2e−2x |+∞1 = −

(e−∞

2− e−2

2

)=

1

2e2

Ví dụ 2: Tính I =+∞∫4

dx

x2 − 5x + 6

Ta có

I =

+∞∫4

1

x2 − 5x + 6dx =

+∞∫4

(1

x − 3− 1

x − 2

)dx = lim

x→∞

(ln

∣∣∣∣x − 3

x − 2

∣∣∣∣)−ln ∣∣∣∣4− 3

4− 2

∣∣∣∣ = ln 2





Ví dụ


e−2xdx

Ta có

I =

+∞∫1

e−2xdx = −1

2e−2x |+∞1 = −

(e−∞

2− e−2

2

)=

1

2e2


dx

x2 − 5x + 6

Ta có

I =

+∞∫4

1

x2 − 5x + 6dx =

+∞∫4

(1

x − 3− 1

x − 2

)dx = lim

x→∞

(ln

∣∣∣∣x − 3

x − 2

∣∣∣∣)−ln ∣∣∣∣4− 3

4− 2

∣∣∣∣ = ln 2





Ví dụ


e−2xdx

Ta có

I =

+∞∫1

e−2xdx = −1

2e−2x |+∞1 = −

(e−∞

2− e−2

2

)=

1

2e2


dx

x2 − 5x + 6

Ta có

I =

+∞∫4

1

x2 − 5x + 6dx =

+∞∫4

(1

x − 3− 1

x − 2

)dx = lim

x→∞

(ln

∣∣∣∣x − 3

x − 2

∣∣∣∣)−ln ∣∣∣∣4− 3

4− 2

∣∣∣∣ = ln 2





Ví dụ


e−2xdx

Ta có

I =

+∞∫1

e−2xdx = −1

2e−2x |+∞1 = −

(e−∞

2− e−2

2

)=

1

2e2


dx

x2 − 5x + 6

Ta có

I =

+∞∫4

1

x2 − 5x + 6dx =

+∞∫4

(1

x − 3− 1

x − 2

)dx = lim

x→∞

(ln

∣∣∣∣x − 3

x − 2

∣∣∣∣)−ln ∣∣∣∣4− 3

4− 2

∣∣∣∣ = ln 2





Ví dụ


e−2x cos xdx

Đặt{u = e−2x ⇒ du = −2e−2xdx

dv = cos xdx ⇒ v = sin x⇒ I = e−2x sin x

∣∣+∞0

+2

+∞∫0

e−2x sin xdx

Ta có limx→+∞

(e−2x sin x

)= 0 suy ra I = 2

+∞∫0

e−2x sin xdx

Đặt

{u = e−2x ⇒ du = −2e−2xdx

dv = sin xdx ⇒ v = − cos xsuy ra

I = −2(e−2x cos x

)∣∣+∞0− 4

+∞∫0

e−2x cos xdx = 2− 4I ⇒ I =2

5





Ví dụ


e−2x cos xdx

Đặt{u = e−2x ⇒ du = −2e−2xdx

dv = cos xdx ⇒ v = sin x⇒ I = e−2x sin x

∣∣+∞0

+2

+∞∫0

e−2x sin xdx

Ta có limx→+∞

(e−2x sin x

)= 0 suy ra I = 2

+∞∫0

e−2x sin xdx

Đặt

{u = e−2x ⇒ du = −2e−2xdx

dv = sin xdx ⇒ v = − cos xsuy ra

I = −2(e−2x cos x

)∣∣+∞0− 4

+∞∫0

e−2x cos xdx = 2− 4I ⇒ I =2

5





Ví dụ


arctan x

(1 + x2)3/2dx

Đặt t = arctan x ⇒ dt =dx

1 + x2, đổi cận

x → 0⇒ t → 0

x → +∞⇒ t → π

2

x = tan t ⇒ 1 + x2 =1

cos2t

Suy ra

I =

+∞∫0

arctan x

(1 + x2)3/2dx =

+∞∫0

arctan x√1 + x2

dx

1 + x2=

π/2∫0

t cos tdt =π

2− 1





Ví dụ


arctan x

(1 + x2)3/2dx

Đặt t = arctan x ⇒ dt =dx

1 + x2, đổi cận

x → 0⇒ t → 0

x → +∞⇒ t → π

2

x = tan t ⇒ 1 + x2 =1

cos2t

Suy ra

I =

+∞∫0

arctan x

(1 + x2)3/2dx =

+∞∫0

arctan x√1 + x2

dx

1 + x2=

π/2∫0

t cos tdt =π

2− 1





Ví dụ

Xét tích phân+∞∫a

1

xαdx (a > 0)

1 Với α > 1+∞∫a

1

xαdx =

1

1− α1

xα−1

∣∣∣∣+∞a

=1

(α− 1) aα−1

hữu hạn, khác 0 nên tích phân hội tụ.2 Với α < 1

+∞∫a

1

xαdx =

x1−α

1− α

∣∣∣∣+∞a

= +∞

nên tích phân phân kỳ.3 Với α = 1

+∞∫a

1

xdx = ln |x ||+∞a = +∞

nên tích phân phân kỳ.





Ví dụ


1

xαdx (a > 0)

1 Với α > 1+∞∫a

1

xαdx =

1

1− α1

xα−1

∣∣∣∣+∞a

=1

(α− 1) aα−1

hữu hạn, khác 0 nên tích phân hội tụ.

2 Với α < 1+∞∫a

1

xαdx =

x1−α

1− α

∣∣∣∣+∞a

= +∞


+∞∫a

1

xdx = ln |x ||+∞a = +∞






Ví dụ


1

xαdx (a > 0)

1 Với α > 1+∞∫a

1

xαdx =

1

1− α1

xα−1

∣∣∣∣+∞a

=1

(α− 1) aα−1


+∞∫a

1

xαdx =

x1−α

1− α

∣∣∣∣+∞a

= +∞


3 Với α = 1+∞∫a

1

xdx = ln |x ||+∞a = +∞






Ví dụ


1

xαdx (a > 0)

1 Với α > 1+∞∫a

1

xαdx =

1

1− α1

xα−1

∣∣∣∣+∞a

=1

(α− 1) aα−1


+∞∫a

1

xαdx =

x1−α

1− α

∣∣∣∣+∞a

= +∞


+∞∫a

1

xdx = ln |x ||+∞a = +∞

nên tích phân phân kỳ.Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG




Ví dụ

Vậy tích phân I =+∞∫a

1

xαdx (α > 0) hội tu khi α > 1 và phân kỳ khi

α 6 1





Tiêu chuẩn hội tụ

Định lý so sách 1

Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên [a, b] và0 6 f (x) 6 g (x) , x > a. Khi đó

1 Nếu+∞∫a

g (x) dx hội tụ thì+∞∫a

f (x) dx hội tụ.

2 Nếu+∞∫a

f (x) dx phân kỳ thì+∞∫a

g (x) dx phân kỳ.

Để khảo sát sự hội tụ của I =+∞∫a

f (x)dx thường so sánh với+∞∫a

dx

xαđã

biết kết quả.








1 Nếu+∞∫a



2 Nếu+∞∫a





dx

xαđã

biết kết quả.








1 Nếu+∞∫a



2 Nếu+∞∫a





dx

xαđã

biết kết quả.





Chú ý:

Trong định lý so sánh 1

1 f (x) , g (x) là các hàm số không âm.

2 Chỉ cần tồn tại α sao cho α > a (∀x ∈ [α,+∞)) f (x) 6 g(x)

3 Cận dưới của tích phân+∞∫a

dx

xαlà số dương a > 0

Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =+∞∫1

dx

2x2 + sin23x

Ta có f (x) =1

2x2 + sin23x6

1

2x2= g(x). Vì

+∞∫1

dx

2x2hội tụ, theo định

lý so sánh 1 suy ra I hội tụ.


ln3xdx

x + 5

Ta có f (x) =ln3x

x + 5>

1

x + 5>

1

2x= g (x) ,∀x > 5. Vì

+∞∫1

dx

2xphân kỳ,

theo định lý so sách 1 suy ra I phân kỳ.





Chú ý:





dx



dx

2x2 + sin23x

Ta có f (x) =1

2x2 + sin23x6

1

2x2= g(x). Vì

+∞∫1

dx




ln3xdx

x + 5

Ta có f (x) =ln3x

x + 5>

1

x + 5>

1

2x= g (x) ,∀x > 5. Vì

+∞∫1

dx

2xphân kỳ,






Chú ý:





dx



dx

2x2 + sin23x

Ta có f (x) =1

2x2 + sin23x6

1

2x2= g(x). Vì

+∞∫1

dx




ln3xdx

x + 5

Ta có f (x) =ln3x

x + 5>

1

x + 5>

1

2x= g (x) ,∀x > 5. Vì

+∞∫1

dx

2xphân kỳ,






Chú ý:





dx



dx

2x2 + sin23x

Ta có f (x) =1

2x2 + sin23x6

1

2x2= g(x). Vì

+∞∫1

dx




ln3xdx

x + 5

Ta có f (x) =ln3x

x + 5>

1

x + 5>

1

2x= g (x) ,∀x > 5. Vì

+∞∫1

dx

2xphân kỳ,






Chú ý:





dx



dx

2x2 + sin23x

Ta có f (x) =1

2x2 + sin23x6

1

2x2= g(x). Vì

+∞∫1

dx




ln3xdx

x + 5

Ta có f (x) =ln3x

x + 5>

1

x + 5>

1

2x= g (x) ,∀x > 5. Vì

+∞∫1

dx

2xphân kỳ,






Định lý so sánh 2


Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên [a, b] và

limx→+∞

f (x)

g (x)= k . Khi đó

Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân+∞∫a

f (x) dx và+∞∫a

g (x) dx cùng

hội tụ hay cùng phân kỳ.

Nếu k = 0 và tích phân+∞∫a

g (x) dx hội tụ thì tích phân+∞∫a

f (x) dx

hội tụ.

k = +∞ và tích phân+∞∫a

g (x) dx phân kỳ thì tích phân

+∞∫a

f (x) dx phân kỳ.








limx→+∞

f (x)

g (x)= k . Khi đó



g (x) dx cùng




f (x) dx

hội tụ.



+∞∫a









limx→+∞

f (x)

g (x)= k . Khi đó



g (x) dx cùng




f (x) dx

hội tụ.



+∞∫a






Chú ý:

Cách sử dụng định lý so sánh 21 Kiểm tra f (x) là các hàm số không âm.2 Tìm hàm g (x) bằng cách tìm hàm tương đương của f (x) khi

x → +∞3 Tính K = lim

x→+∞

f (x)

g(x)và kết luận

Hai hàm f (x) , g (x) không âm: Nếu f (x)x→+∞' g(x) thì

+∞∫a

f (x) dx và

+∞∫a

g (x) dx cùng tính chất trên.

Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =+∞∫1

√x3dx

1 + x2

Giải: Ta có limx→+∞

√x3

1 + x2

1

x

= +∞. Do+∞∫1

dx

xphân kỳ, nên theo định

lý so sánh 2 suy ra I phân kỳ.





Chú ý:



x→+∞

f (x)



+∞∫a

f (x) dx và

+∞∫a



√x3dx

1 + x2


√x3

1 + x2

1

x

= +∞. Do+∞∫1

dx







Chú ý:



x→+∞

f (x)



+∞∫a

f (x) dx và

+∞∫a



√x3dx

1 + x2


√x3

1 + x2

1

x

= +∞. Do+∞∫1

dx







Chú ý:



x→+∞

f (x)



+∞∫a

f (x) dx và

+∞∫a



√x3dx

1 + x2


√x3

1 + x2

1

x

= +∞. Do+∞∫1

dx


lý so sánh 2 suy ra I phân kỳ.Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG




Trường hợp f (x) có dấu bất kỳ

Định lý

Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó nếu+∞∫a

|f (x)| dx hội tụ

thì+∞∫a

f (x) dx cũng hội tụ.

Định nghĩa:

Nếu+∞∫a

|f (x)| dx hội tụ thì+∞∫a

f (x) dx hội tụ và được gọi

+∞∫a

f (x) dx hội tụ tuyệt đối.

Nếu+∞∫a

f (x) dx hội tụ nhưng+∞∫a

|f (x)| dx phân kỳ thì+∞∫a

f (x) dx

được gọi là bán hội tụ.






Định lý



thì+∞∫a


Định nghĩa:

Nếu+∞∫a



+∞∫a


Nếu+∞∫a



f (x) dx







Định lý



thì+∞∫a


Định nghĩa:

Nếu+∞∫a



+∞∫a


Nếu+∞∫a



f (x) dx






Chú ý

Trường hợp f (x) có dấu bất kỳ, để khảo sát sự hội tụ của tích phân+∞∫a

f (x) dx ta khảo sát sự hội tụ của tích phân có hàm không âm

+∞∫a

|f (x)| dx . Khi đó ta có thể sử dụng được các định lý so sánh.





Ví dụ:

Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =+∞∫1

sin xdx

x2 + ln 2x

Giải: Nếu áp dụng định lý so sánh đánh giá

f (x) =sin x

x2 + ln 2x6

1

x2 + ln 2x

x→+∞' 1

x2= g(x)

suy ra I hội tụ, Kết quả này sai vì f (x) có dấu bất kỳ.

Xét tích phân có hàm không âm J =+∞∫1

∣∣∣∣ sin x

x2 + ln 2x

∣∣∣∣ dx , ta có

|f (x)| =

∣∣∣∣ sin x

x2 + ln 2x

∣∣∣∣ 6 1

x2 + ln 2x

x→+∞' 1

x2

Do+∞∫1

1

x2dx hội tụ, do đó J hội tụ. Áp dụng định lý suy ra I hội tụ tuyệt

đối.





Ví dụ:


sin xdx

x2 + ln 2x


f (x) =sin x

x2 + ln 2x6

1

x2 + ln 2x

x→+∞' 1

x2= g(x)



∣∣∣∣ sin x

x2 + ln 2x


|f (x)| =

∣∣∣∣ sin x

x2 + ln 2x

∣∣∣∣ 6 1

x2 + ln 2x

x→+∞' 1

x2

Do+∞∫1

1


đối.





Ví dụ:


sin xdx

x2 + ln 2x


f (x) =sin x

x2 + ln 2x6

1

x2 + ln 2x

x→+∞' 1

x2= g(x)



∣∣∣∣ sin x

x2 + ln 2x


|f (x)| =

∣∣∣∣ sin x

x2 + ln 2x

∣∣∣∣ 6 1

x2 + ln 2x

x→+∞' 1

x2

Do+∞∫1

1


đối.





Chú ý

1 Các tích phâna∫−∞

f (x) dx ,+∞∫−∞

f (x) dx cũng có kết quả tương tự.

2 Với các tích phân chỉ có một điểm suy rộng+∞∫a

f (x)dx khi tách có

dạng vô định G (x)|+∞a + H(x)|+∞a =∞−∞ chưa kết luận được

tích phân ban đầu phân kỳ.

3 Với tích phân có hai điểm suy rộng+∞∫−∞

f (x) dx khi tách ra thành

các tích phâna∫−∞

f (x)dx ++∞∫a

f (x)dx chỉ cần một trong hai tích

phân phân kỳ thì tích phân ban đầu phân kỳ.





Chú ý


f (x) dx ,+∞∫−∞









f (x)dx ++∞∫a







Chú ý


f (x) dx ,+∞∫−∞









f (x)dx ++∞∫a







Định nghĩa

Định nghĩa 1

Điểm x0 được gọi là điểm bất thường (hay điểm kỳ dị) của đườngcong y = f (x) nếu lim

x→x0

f (x) =∞

Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhấtlà x0 = b

Khi đó

b∫a

f (x)dx := limt→0

b−t∫a

f (x)dx

(0 < t < b − a) được gọi là tíchphân suy rộng loại hai của f (x)trên [a, b]





Định nghĩa

Định nghĩa 1

Điểm x0 được gọi là điểm bất thường (hay điểm kỳ dị) của đườngcong y = f (x) nếu lim

x→x0

f (x) =∞

Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhấtlà x0 = b

Khi đó

b∫a

f (x)dx := limt→0

b−t∫a

f (x)dx

(0 < t < b − a) được gọi là tíchphân suy rộng loại hai của f (x)trên [a, b]





Định nghĩa

Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhấtlà x0 = a

Khi đó tích phân suy rộng loại haicủa f (x) trên [a, b] là

b∫a

f (x)dx := limt→0

b∫a+t

f (x)dx

trong đó (0 < t < b − a)





Định nghĩa

Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhấtlà c ∈ [a, b]


b∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx+

b∫c

f (x)dx

= limt→0

c−t∫a

f (x)dx + limt→0

b∫c+t

f (x)dx

Tích phân vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân ở vế phải hội tụ.





Định nghĩa



b∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx+

b∫c

f (x)dx

= limt→0

c−t∫a

f (x)dx + limt→0

b∫c+t

f (x)dx






Định nghĩa



b∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx+

b∫c

f (x)dx

= limt→0

c−t∫a

f (x)dx + limt→0

b∫c+t

f (x)dx






Nhận xét

1 Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộngloại một.

2 Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn so sánh chotích phân hàm không âm.

3 Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân suy rộngloại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.





Nhận xét








Nhận xét








Ví dụ

Tính I =0∫−1

dx√1− x2

Giải: Ta có điểm x = −1 là điểm bất thường nên

I =0∫−1

dx√1− x2

= limε→0

0∫−1+ε

dx√1− x2

= limε→0

(arcsin x |0−1+ε

)= limε→0

(− arcsin (−1 + ε)) =π

2





Ví dụ

Tính I =0∫−1

dx√1− x2

Giải: Ta có điểm x = −1 là điểm bất thường nên

I =0∫−1

dx√1− x2

= limε→0

0∫−1+ε

dx√1− x2

= limε→0

(arcsin x |0−1+ε

)= limε→0

(− arcsin (−1 + ε)) =π

2





Ví dụ

Tính tích phân I =3∫0

dx

x − 1

Giải: Ta có điểm x = 1 là điểm bất thường trên [0, 3] nên

I =

1∫0

dx

x − 1+

3∫1

dx

x − 1= I1 + I2

Mặt khác do

I1 = limt→0

1−t∫0

dx

x − 1= lim

t→0ln |x − 1| |1−t

0 = limt→0

ln |t| = +∞

Vậy I phân kỳ





Ví dụ

Tính tích phân I =3∫0

dx

x − 1

Giải: Ta có điểm x = 1 là điểm bất thường trên [0, 3] nên

I =

1∫0

dx

x − 1+

3∫1

dx

x − 1= I1 + I2

Mặt khác do

I1 = limt→0

1−t∫0

dx

x − 1= lim

t→0ln |x − 1| |1−t

0 = limt→0

ln |t| = +∞

Vậy I phân kỳ





Ví dụ

Xét sự hội tụ của tích phân I =b∫a

1

(b − x)αdx (a < b, α > 0)

Giải: Ta có x = b là điểm bất thường

Với α 6= 1 ta có

I = limε→0

b−ε∫a

1

(b − x)αdx = lim

ε→0

(b − x)1−α

α− 1|b−εa =

= limε→0

[1

α− 1ε1−α +

1

1− α(b − a)1−α

]=

+∞ khi α > 1

(b − a)1−α

1− αkhi α < 1

Với α = 1 ta có

b∫a

1

(b − x)αdx =

b∫a

1

b − xdx = − lim

ε→0

[ln |b − x | |b−εa

]= −∞

Vậy I hội tụ khi α < 1, phân kỳ khi α ≥ 1.





Ví dụ


1

(b − x)αdx (a < b, α > 0)



I = limε→0

b−ε∫a

1

(b − x)αdx = lim

ε→0

(b − x)1−α

α− 1|b−εa =

= limε→0

[1

α− 1ε1−α +

1

1− α(b − a)1−α

]=

+∞ khi α > 1

(b − a)1−α

1− αkhi α < 1

Với α = 1 ta có

b∫a

1

(b − x)αdx =

b∫a

1

b − xdx = − lim

ε→0

[ln |b − x | |b−εa

]= −∞






Ví dụ


1

(b − x)αdx (a < b, α > 0)



I = limε→0

b−ε∫a

1

(b − x)αdx = lim

ε→0

(b − x)1−α

α− 1|b−εa =

= limε→0

[1

α− 1ε1−α +

1

1− α(b − a)1−α

]=

+∞ khi α > 1

(b − a)1−α

1− αkhi α < 1

Với α = 1 ta có

b∫a

1

(b − x)αdx =

b∫a

1

b − xdx = − lim

ε→0

[ln |b − x | |b−εa

]= −∞






Ví dụ


1

(b − x)αdx (a < b, α > 0)



I = limε→0

b−ε∫a

1

(b − x)αdx = lim

ε→0

(b − x)1−α

α− 1|b−εa =

= limε→0

[1

α− 1ε1−α +

1

1− α(b − a)1−α

]=

+∞ khi α > 1

(b − a)1−α

1− αkhi α < 1

Với α = 1 ta có

b∫a

1

(b − x)αdx =

b∫a

1

b − xdx = − lim

ε→0

[ln |b − x | |b−εa

]= −∞






Ví dụ

Tương tự tích phân I =b∫a

1

(x − a)αdx (a < b, α > 0) hội tụ khi

α < 1, phân kỳ khi α ≥ 1.







Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên (a, b] với x = a là điểmbất thường duy nhất sao cho 0 ≤ f (x) ≤ g (x) ,∀x ∈ (a, c] ; a < c < b .Khi đó

1 Nếub∫a

g (x) dx hội tụ thìb∫a


2 Nếub∫a

f (x) dx phân kỳ thìb∫a









1 Nếub∫a



2 Nếub∫a










1 Nếub∫a



2 Nếub∫a










1 Nếub∫a



2 Nếub∫a









Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên (a, b] với

x = a là điểm bất thường duy nhất và limx→a+

f (x)

g (x)= k . Khi đó

Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phânb∫a

f (x) dx vàb∫a

g (x) dx cùng


Nếu k = 0 và tích phânb∫a

g (x) dx hội tụ thì tích phânb∫a

f (x) dx

hội tụ.

k = +∞ và tích phânb∫a

g (x) dx phân kỳ thì tích phânb∫a

f (x) dx

phân kỳ.









f (x)

g (x)= k . Khi đó


f (x) dx vàb∫a

g (x) dx cùng




f (x) dx

hội tụ.



f (x) dx

phân kỳ.









f (x)

g (x)= k . Khi đó


f (x) dx vàb∫a

g (x) dx cùng




f (x) dx

hội tụ.



f (x) dx

phân kỳ.









f (x)

g (x)= k . Khi đó


f (x) dx vàb∫a

g (x) dx cùng




f (x) dx

hội tụ.



f (x) dx

phân kỳ.






Định lý

Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó nếub∫a

|f (x)| dx hội tụ thì

b∫a


Định nghĩa:

Nếub∫a

|f (x)| dx hội tụ thìb∫a

f (x) dx hội tụ và được gọib∫a

f (x) dx

hội tụ tuyệt đối.

Nếub∫a

f (x) dx hội tụ nhưngb∫a

|f (x)| dx phân kỳ thìb∫a

f (x) dx được

gọi là bán hội tụ.

Tương tự với x = b là điểm bất thường duy nhất.






Định lý



b∫a


Định nghĩa:

Nếub∫a



f (x) dx


Nếub∫a



f (x) dx được








Định lý



b∫a


Định nghĩa:

Nếub∫a



f (x) dx


Nếub∫a



f (x) dx được







Ví dụ

Xét sự hội tụ của tích phân I =2∫1

dx√x2 − 1

Giải: Ta có x = 1 là điểm bất thường và

f (x) =1√

(x − 1)(x + 1)

x→1+

' 1√2(x − 1)1/2

Chọn g(x) =1

(x − 1)1/2⇒ lim

x→+∞

f (x)

g(x)=

1√2hữu hạn khác 0, do đó

hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Mặt khác tích phân2∫1

1

(x − 1)1/2dx hội tụ, nên I hội tụ.





Ví dụ


dx√x2 − 1


f (x) =1√

(x − 1)(x + 1)

x→1+

' 1√2(x − 1)1/2

Chọn g(x) =1

(x − 1)1/2⇒ lim

x→+∞

f (x)

g(x)=

1√2hữu hạn khác 0, do đó

hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.


1

(x − 1)1/2dx hội tụ, nên I hội tụ.





Ví dụ


dx√x − 2


f (x) =1√x − 2

=

√x + 2

x − 4

x→4−' 4

(x − 4)1

Chọn g (x) =1

x − 4⇒ lim

x→4

f (x)

g (x)= lim

x→4

x − 4√x − 2

= 4 hữu hạn khác 0,

do đó hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.


1

x − 4dx phân kỳ nên I phân kỳ.





Ví dụ


dx√x − 2


f (x) =1√x − 2

=

√x + 2

x − 4

x→4−' 4

(x − 4)1

Chọn g (x) =1

x − 4⇒ lim

x→4

f (x)

g (x)= lim

x→4

x − 4√x − 2

= 4 hữu hạn khác 0,

do đó hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.


1

x − 4dx phân kỳ nên I phân kỳ.





Bài tập I

1 Tính các tích phân sau

a,∫ π2

0

4dx

3 + 5 cos x, b,

∫ π20

cos3x

cos3x + sin3xdx

c,∫ π2

0 e5x sin 4xdx , d,1∫0

e−x ln(ex + 1)dx

e,1∫0

x arctan x√1 + x2

dx , f,

√3

2∫1

2

dx

x√1− x2

2 Tính các tích phân suy rộng sau

a, I =+∞∫0

xe−xdx , b, I =∫ +∞

0x3e−x2

dx

c, I =∫ +∞

0e−√

xdx , d, I =∫ 2

0

√x + 2√2− x

dx





Bài tập II

e, I =∫ 3

1

dx√4x − x2 − 3

, f,3∫−3

x2

√9− x2

dx

3 Xét sự hội tụ của các tích phân sau

a, I =∫ +∞

0

√xe−xdx , b, I =

∫ +∞1

ln(1 + x2

)x

dx

c,+∞∫3

dx√x (x − 1) (x − 2)

, d,+∞∫1

(1− cos

1

x

)dx

e,1∫0

sin 2x√1− x2

dx , f, I =∫ 1

0

xndx√1− x4

(n ∈ N)


Education

Toan 1 - Chuong 9