Beer mecanica de_materiales_5e_manual_de_soluciones_c01_y_c02

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  • Adriano Alberto

    1 ENG285 4 Unidade

    Fonte: Arquivo da resoluo da lista 1 (Adriano Alberto), Slides do Prof. Alberto B. Vieira Jr., RILEY - Mecnica dos Materiais.

    Momento de Inrcia (I)

    Para seo retangular:

    I = .

    Para seo triangular reta:

    I = .

    Semi-crculo:

    =

    Momento esttico (Q)

    Q = A . (distncia do centride L.N.)

    = - . ; = .

    = - ..

    Mdulo de resistncia (W)

    = => Wreq = W =

    ||

  • Adriano Alberto

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    PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXO

    Nas questes abaixo, de acordo com as respostas da lista, no so calculadas as tenses mximas. Para isso, seria necessrio calcular tambm as tenses cisalhantes e, a partir do estado de tenso resultante, calcular as tenses mximas, que podem ou no coincidir com os resultados das questes abaixo.

    1) A viga carregada como mostrado tem a seo transversal da figura. Determine a tenso longitudinal: (a) num ponto a 4,5 m a contar da extremidade esquerda e 125 mm acima da superfcie neutra; (b) num ponto 75 mm abaixo da superfcie neutra numa seo a 1,2 m do extremo direito

    RA + RD = 30 + 15 + 30 = 75 kN

    # = 0 => - 30 . 1,5 - 15 . 4 + 5 . RD 6 . 30 = 0 => RD = 57 kN RA = 18 kN

    Para 0 x < 3: V(x) = - 10x + 18

    Para V(x) = 0 => x = 1,8 m

    Diagrama:

  • a)

    M(4,5) = ?

    Para 4 x < 5: V(x) = - 27 kN

    M(x) = - 27x + C

    M(4) = - 3 kN.m = - 27 . 4 + C =>

    M (x) = - 27x + 105 => M(4,5) =

    Clculo da Posio da Linha Neutra (L.N.)

    Obs: no era preciso calcular para esse caso, devido a simetria da seo.

    AT = 200.50.3 = 30 000 mmA1 = 200.50= 10 000 mmA2 = 200.50= 10 000 mmA3 = 200.50= 10 000 mm = 275 mm = 150 mm = 25 mm

    27 . 4 + C => C = 105

    27x + 105 => M(4,5) = - 27 . 4,5 + 105 => M(4,5) = - 16,5 kN.m

    Clculo da Posio da Linha Neutra (L.N.)

    Obs: no era preciso calcular para esse caso, devido a simetria da seo.

    000 mm

    m

    m

    Adriano Alberto

    3

  • Adriano Alberto

    4 yi =

    #.)#.)#.#* =

    +,,,,.-./)+/,)-/0,,,, = 150 mm

    ys = 300 150 = 150 mm

    Clculo do momento de inrcia

    I z = + + = .1 + A1 . 3 = -,,./,

    4+- + 10 000 . 275 150- = 158 333 333,3.78 m4

    = .1 + A2 . 3 = /,.-,,4

    +- + 10 000 .150 150- = 33 333 333,33.78 m4

    = .1 + A3 . 3 = -,,./,4

    +- + 10 000 . 25 150- = 158 333 333,3 .78 m4

    => I z = 350 000 000 . 78 m4

    = - . => 9: = - ;8+.+-/.+,?4

    0/,,,,,,,.+,?@A = 5 892 857,143 Pa

    b)

    x = 7 1,2 = 5,8 m

    M(5,8) = ?

    Para 5 x < 7: V(x) = - 15x + C

    V(5) = 30 = - 15 . 5 + C => C = 105 => V(x) = - 15x + 105

    M(x) = - 7,5 . x + 105 . x + C

    M(5) = - 30 kN.m = - 7,5 . 25 + 105 . 5 + C => C = - 367,5

    M(x) = - 7,5 . x + 105 . x - 367,5 => M(5,8) = - 7,5 . (5,8) + 105 . 5,8 - 367,5 =>

    M(5,8) = - 10,8 kN.m

    = - . => 9: = - ;8+,,B.+,4>.8./.+,?4

    0/,,,,,,,.+,?@A = - 2 314 285,714 Pa

  • 2) (a) Determine a tenso longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfcie neutra numa seo a 1,3 m do extremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a mxima tenso longitudinal numa seo a 1 m do

    C = 0 => RA + RB = 39 000 N# = 0 => 9 000 30 000 . 1,5 + 3 . RRA = 27 000 N

    Para 1,5 x D 3,5: V(x) = - 15 000 . x + C

    V(1,5) = 18 000 = - 15 000 . 1,5

    V(x) = - 15 000 . x + 40 500

    Para V(x) = 0 => x = 2,7 m

    Diagrama:

    2) (a) Determine a tenso longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfcie neutra xtremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a

    mxima tenso longitudinal numa seo a 1 m do extremo esquerdo.

    = 39 000 N

    30 000 . 1,5 + 3 . RB = 0 => RB = 12 000 N

    15 000 . 1,5 + C => C = 40 500

    Adriano Alberto

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    2) (a) Determine a tenso longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfcie neutra xtremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a

  • Adriano Alberto

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    Clculo da Posio da Linha Neutra (L.N.)

    AT = 150.50 + 150.50 = 15 000 mm A1 = 150.50= 7 500 mm A2 = 150.50= 7 500 mm = 175 mm = 75 mm yi =

    #.)#.#* =

    ./,,.+./)./,,../+/,,, = 125 mm

    ys = 200 125 = 75 mm

    Clculo do momento de inrcia

    I z = + = .1 + A1 . 3 = +/,./,

    4+- + 7 500 . 175 125- = 20 312 500 . 78 m4

    = .1 + A2 . 3 = /,.+/,4

    +- + 7 500 . 75 125- = 32 812 500 . 78 m4

    => I z = 53 125 000 . 78 m4

    a)

    x = 4 1,3 = 2,7 m

    M(2,7) = 10,8 kN.m

    = - . => 9: = - ;+,,B.+,4>.8+,,.+,?4

    /0+-/,,,.+,?@A = 20 329 411,76 Pa

    b) M(1) = - 9 kN.m

    Clculo das tenses acima da L.N.:

  • Adriano Alberto

    7 = - .F => 9: = - ;8G.+,

    4>../.+,?4/0+-/,,,.+,?@A = 12 705 882,35 Pa

    Clculo das tenses abaixo da L.N.:

    = - .3 => 9: = - ;8G.+,4>.8+-/.+,?4

    /0+-/,,,.+,?@A = - 21 176 470,59 Pa = ,

    3) Uma barra de ao de 200 mm de dimetro carregada e apoiada como mostrado na figura. Determine a mxima tenso longitudinal numa seo a 1,5 m a partir da parede.

    R = 12 kN

    12 . 3 + M = 0 => M = - 36 kN.m

    M(3) = - 18 kN.m

    Iz = HIJK =

    H,,+,,JK

    A = LM- = L0,100- yi = ys = = 100 mm

  • Adriano Alberto

    8 = - .F = -

    ;8+B.+,4>.+,,.+,?4OP,@PPJ

    J = 22 918 311,81 Pa

    4) Para a viga mostrada, as tenses longitudinais admissveis na seo sob a carga so de 42 MPa T e 70 MPa C. Determine a mxima carga admissvel P.

    RA + RC = P (I) QR = 0 => - 1 . P + 3,5 . RC = 0=> RC = S,T (II) Substitundo em (I):

    RA + S,T = P => RA =

    ,T.S,T

    RA = 2,5 . RC

    Para o trecho 0 x < 1: V(0) = V(1) = RA

    M(x) = RA . x + C M(0) = 0 => C = 0 => M(x) = RA . x

    M(1) = RA

    Para o trecho 1 x < 3,5:

    V(1) = V(3,5) = RA P M(x) = (RA - P). x + C M(1) = RA = (RA - P). 1 + C => C = P => M(x) = (RA - P). x + P

    M(3,5) = (RA - P). 3,5 + P = 3,5 . RA 3,5 . P + P = 3,5 . RA 2,5 . P = 3,5 . -,/.U0,/ 2,5 . P = 0

    Para x = 3,5: V(3,5) = RA P + RC = RA P + P RA = 0

  • Adriano Alberto

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    M(3,5) = 0 Mmx = RA =

    ,T.S,T

    Clculo da Posio da Linha Neutra (L.N.)

    AT = 200.25 + 100.25 = 7 500 mm A1 = 200.25= 5 000 mm A2 = 100.25= 2 500 mm = 125 mm = 12,5 mm yi =

    #.)#.#* =

    /,,,.+-/)-/,,.+-,/./,, = 87,5 mm

    ys = 225 87,5 = 37,5 mm

    Clculo do momento de inrcia

    I z = + = .1 + A1 . 3 = -/.-,,

    4+- + 5 000 . 125 87,5- = 23 697 916,67.78 m4

    = .1 + A2 . 3 = +,,.-/4

    +- + 2 500 . 12,5 87,5- = 14 192 708,33.78 m4

    => I z = 37 890 625 . 78 m4

    Para o trecho AB:

    Mmx = ,T.S,T

    Clculo das tenses acima da L.N.:

    = - .F => - 70 . 106 = - WA,X.Y4,X Z.0.,/.+,?40.BG, P = 99 020,83334 N

  • Adriano Alberto

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    Clculo das tenses abaixo da L.N.:

    = - .3 => 42 . 106 = - WA,X.Y4,X Z.8B.,/.+,?4

    0.BG, P = 25 462,5 N = Padm

    5) e 6) Se o momento mostrado atua no plano vertical, determinar a tenso no: (a) ponto A; (b) ponto B.

    5)

    a)

    Como o ponto A vai ser comprimido, ser negativo. M z = 15 kN.m yi = ys = 60 mm Clculo do momento de inrcia

    Como a seo simtrica, e a rea interna concntrica com a rea externa, Iz = [- 3: [- 3= B,.+-,4+- - K,.B,

    4+- = 9 813 333,333 . 78 m4

    = - . = - ;+/.+,4>.K,.+,?4

    GB+0000,000.+,?@A = - 61 141 304,35 Pa

    b)

    Como o ponto B vai ser tracionado, ser positivo. M z = 15 kN.m

    = - .3 = - ;+/.+,4>.8

  • Adriano Alberto

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    *** 6)

    a)

    Como o ponto A vai ser comprimido, ser negativo. M z = 2,8 kN.m yi = ys = 30 mm Clculo do momento de inrcia

    I z = [- 2 . 3 = +-,..0,.+,?4+G,B.8-,.+,?4

    +G,B

  • Adriano Alberto

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    Posio da Linha Neutra (L.N.)

    yi = 130 mm

    Clculo do momento de inrcia

    A1 = 200.16= 3 200 mm A2 = 228.10= 2 280 mm A3 = 200.16= 3 200 mm

    = 252 mm = 130 mm = 8 mm

    I z = + + = = .1 + A1 . 3 = -,,.+ -/,.+,]

    -,/ = ^_.+0,.+,?4

    +,/-.+,G0,0.+,?@A => = 80 977,76408 N.m

    8) Sabendo-se que uma viga de seo transversal, como mostrado, encurvada em torno de um eixo horizontal e est submetida a um momento fletor de 5,7 kN.m, determinar a intensidade total da fora atuando: (a) na aba superior; (b) na poro sombreada da alma.

  • Adriano Alberto

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    Posio da Linha Neutra (L.N.)

    yi = 87,5 mm

    Clculo do momento de inrcia

    A1 = 150.37,5= 5 625 mm A2 = 50.100= 5 000 mm A3 = 150.37,5= 5 625 mm

    = 156,25 mm = 87,5 mm = 18,75 mm

    I z = + + = = .1 + A1 . 3 = +/,.0.,/

    4+- + 5 625 . 156,25 87,5- = 27 246 093,75.78 m4

    = .1 + A2 . 3 = /,.+,,4

    +- + 5 000 . 87,5 87,5- = 4 166 666,667 . 78 m4

    => I z = 58 658 854,17 . 78 m4

    a)

  • Adriano Alberto

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    Para y = 68,75 mm (distncia da L.N. ao centride da figura)

    = - .3 = - /,..+,4. F = - 6 680 577,136 . 5 625 . 10-6 m => F = - 37 578,24639 N

    b)

    Para y = - 25 mm (distncia da L.N. ao centride da figura)

    = - . = - /,..+,4.8-/.+,?4

    /B = 2 429 300,777 Pa

    F = . A => F = 2 429 300,777 . 50 . 50 . 10-6 m => F = 6 073,251943 N

    *