DINAMICA EJERCICIOS UNSCH

UNIVERSIDAD NACIONALDE SAN CRISTOBAL DE

HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERIA DEMINAS, GEOLOGIA Y CIVIL

ESCUELA PROFESIONAL DEINGENIERIA CIVIL

DINAMICA (IC 244)

DOCENTE:

Ing. Cristian Castro Perez

INTEGRANTES

PALACIOS QUISPE, JoshepPALOMINO TORRES,Richard JhonatanRUIZ CUAREZ,RosmeryVELARDE FERNANDEZ,Ivan HanoverVILCHEZ ALVITES,Emiliano

AYACUCHO - PERU

2015

CAPITULO I:FUNDAMENTOS BASICOS

preguntas de repaso

1.1 Responda brevemente lo siguiente:1 Respuesta:

Efectos malos:

* Vibraciones siısmicas con un grado de resonancia con la edificacion.

* Vibraciones eleectromagneticas que desequilibran la naturalza, tal es elcaso de las abejas.

Efectos buenos:

* Hicieron posible la comunicacion a larga distancia.

* Facilitan la diferenciacion de sistemas o cuerpos.

2 Respuesta:Son los siguientes: Rigidez, la masa (inercia) y amortiguamiento.

3 Respuesta:Los grados de libertad entan en relacion al numero de variables en movimientodel sistema.

4 Respuesta:En un sistema discreto, se puiede diferenciar la cantidad de elemento Rıgidosy Variables en movimiento. en un sistema continuo, no se puede establecer elnumero de variables en movimiento, se toma como una cantidad muy grande.Sı se pueden resolver problemas de sistemas contınuos como sistemas discretos,al hacer ciertas equivalencias.

5 Respuesta:No se puede dehecharse para todos los casos, pues el amortiguamiento es pro-pio de la naturaleza y como tal, esta presente en todo.

6 Respuesta:Sı de acuerdo a su forma de presentacion, pues ya esta establecida una ecua-cion diferencial para este tipo de movimiento.

7 Respuesta:La diferencia esta en que la vibracion determinıstica es periodica mientras quelas vibraciones aleatorias, no obedece a un patron periodico.

8 Respuesta:Representando todos los detalles que involucran el fenomeno en un sistemamatematico o analıtico, con el objeto de derivar las ecuaciones matematicas.

9 Respuesta:Conectandolas en paralelo, pues el equivalente se obtiene por suma directa.

10 Respuesta:La constante de rigidez de un resorte indica la cantidad de fuerza necesariapara estirar o comprimir en una unidad de longitud al resorte.

11 Respuesta:Estan: (1) la pelıcula de fluido entre superficies deslizantes; (2) el flujo defluido al rededor de un piston en un cilindro; (3) el flujo de fluido a traves deun orificio, y (4) la pelıcula de fluido al rededor de un munon en una chumacera.

12 Respuesta:Por funciones trigonometricas armonicas como seno y coseno.Por representacion por numeros complejos del movimiento armonico.Por el algebra compleja.

13 Respuesta:Ciclo: al movimiento de un cuerpo vibratorio desde su posicion no perturba-da o de equilibrio hasta su posicion en una direccion, y luego de vuelta a laposicion de equilibrio, y luego a su posicion extrema en la otra direccion, y devuelta a la posicion de equilibrio.Amplitud: es el desplazamiento maximo con respecto a su posicion de equi-librio.Angulo de fase: implica las condiciones iniciales de un movimiento vibrato-rio armonico.Frecuencia lineal: la cantidad de ciclos por unidad de tiempo.Periodo: es el tiempo requerido para completar un ciclo de movimiento.Frecuencia Natural: si se deja que un sistema vibre de forma naturtal des-pues de una perturbacion, a esa nueva frecuencia se le denomina frecuencianatural.

14 Respuesta:

ω =2π

T; ω = 2πf ; f =

1

T; f =

ω

2π; T =

2π

ω; T =

1

f.

15 Respuesta:Sea el vector rotatorio:x = Acos (ωt+ α); con A en m., t en segundos;ω enrad/s entonces:El angulo de fase: haciendo x = x0 para t = 0

→ α = arc.cos(x0A

)

La amplitud:xmax = A .

16 Respuesta:Se suma representando los movimientos armonicos en forma de vectores y ha-llando su resultante.

17 Respuesta:Cuando se suman dos movimientos artmonicos con freecuencias proximas entresı, el movimiento resultante muestra un fenomeno conocido como pulsaciones.

18 Respuesta:Octava: cuando el Valor maximo de un rango de frecuencia es dos veces sufrecuencia mınima.Desibel: se define originalmente como la relacion entre las potencias electricas.

19 Respuesta:Cuando una funcion periodica se representa con una serie de Fourier, se obser-va un comportamiento anomalo.

20 Respuesta:Cuando se tiene una funcion definida de 0 a T , se hace una expansion de −Ta 0 para que se observe la periodicidad.

1.2 Indique si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso:

1. Verdadero.

2. Verdadero.

3. Verdadero.

4. Verdadero.

5. Verdadero.

6. Verdadero.

7. Verdadero.

8. Verdadero.

9. Falso.

Desarrollando:Acos(ωt+ α) = x1(t) + x2(t)

→ A(cosωt.sinα− sinωt.cosα) = 15cosωt+ 20sin (ωt+ 1)→ cosωt (Asinα)− sinωt (Acosα) =

15cosωt+ 20cosωt.sin1− 20sinωt.cos1→ cosωt (Asinα)− sinωt (Acosα) = cosωt(15 + 20sin1)− sinωt(20cos1)

Asinα = 15 + 20sin1...(1)Acosα = 20cos1...(2)

Dividiendo (1) entre (2):

tanα =15 + 20sin1

20cos1→ α = tan−1

(15 + 20sin1

20cos1

)∴ α = 1,2435rad

Reemplazando el valor de α en la ecuacion (2), tenemos:

Acos (1,2435) = 20cos1→ A =20cos1

cos (1,2435)∴ A = 33,613m.

Se observa claramente que el resultado obtenido es diferente al de lapremisa, por ello la respuesta es Falso.

10. Falso.Pues como vimos en la pregunta anterior, α = 1,2435rad.

1.3 Llene el espacio en blanco con la palabra correcta:

1. Resonancia.

2. Enerıa.

3. Masa.

4. Oscilatorio.

5. Simple.

6. Periodo.

7. Frecuencia.

8. Sincronicos.

9. Fase.

10. Infinito.

11. Discretos.

12. Coordenadas.

13. Libre.

14. Forzado.

15. Natural.

16. f (t) 6= f (−t)

17. Media.

18. Numero.

19. 104,72

20. 0,01s

1.4 Seleccione la respuesta mas apropiada de entre las opciones multiplesdadas a continuacion:

1. El primer sismografo del mundo se invento enRespuesta: (b) China2. Los primeros experimentos con pendulos simples fueron realizados por

Respuesta: (a) Galileo3. La obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica fue publicada por

Respuesta: (c) Newton4. Las formas de modo de placas, colocando arena sobre placas vibratorias,

fueron observados por primera vez porRespuesta: (a) Chladni5. La teorıa de vigas gruesas fue presentada por primera vez por

Respuesta: (c) Timoshenko6. La cantidad de grados de libertad de un pendulo simple es:

Respuesta: (b) 17. La vibracion puede clasificarse de

Respuesta: (c) varias maneras8. El fenomeno de Gibbs indica un comportamiento anomalo en la

representacion de la serie de Fourier de unaRespuesta: (b) funcion periodica9. La representacion grafica de las amplitudes y angulos de fase de varios

componentes de frecuencia de una funcion periodica se conoce comoRespuesta: (a) diagrama espectral10. Cuando un sistema vibra en un medio fluido, el amortiguamiento es

Respuesta: (a) viscoso11. Cuando un sistema vibra en un medio fluido, el amortiguamiento es

Respuesta: (a) viscoso12. Cuando la curva de esfuerzo-deformacion del material de un sistema

vibratorio presenta un bucle de histeresis, el amortiguamiento es

Respuesta: (a) viscoso13. La constante equivalente de dos resortes en paralelo con rigideces k1 y k2

esRespuesta: (a) k1 + k214. La constante de resorte equivalente de dos resortes en serie con rigidecesk1 y k2 es

Respuesta: (c)1

k1+ 1

k2

15. La constante de resorte de una viga en voladizo con una masa m en elextremo esRespuesta: (c) Wl3

3El

16. Si f(−t) = f(t), se dice que la funcion esRespuesta: (a) par

1.5 Correlacione lo siguiente:

1 Pitagoras (582-507 a.C) a. publico un libro sobre la teorıadel sonido

2 Euclides (300 a.C.) b. primera persona que investigolos sonidos musicales con basecientıfica

3 Zhang Heng (132) c. escribio un tratado llamado In-troduction to Harmonics

4 Galileo (1564-1642) d. fundador de la ciencia experi-mental moderna

5 Rayleigh (1877) e. invento el primer sismografodel mundo

Respuesta:1:b 2:c 3:e 4:d 5:a .

1.6 Correlacione lo siguiente:

1 El desequilibrio en motores die-sel

a puede provocar la falla de tur-binas y motores de avion

2 La vibracion en maquinas he-rramienta

b provoca incomodidad en la ac-tividad humana durante el cortede metal

3 La vibracion de hojas y discos c puede hacer que las ruedas delocomotoras se levanten de la vıa

4 La vibracion inducida por elviento

d puede provocar la caıda depuentes

5 La transmision de la vibracion e puede provocar traqueteo

Respuesta:1:c 2:e 3:a 4:d 5:b .

1.7 Considere cuatro resortes con las constantes de resorte:

k1 = 20 Ib/pulg, k2 = 50 Ib/pulg, k3 = 100 Ib/pulg, k4 = 200 Ib/pulg. Correlacione las constantes de resorte equivalentes:

1 k1, k2, k3 y k4 estan en paralelo a. 18,9189 lb/pulg2 k1, k2, k3 y k4 estan en serie b. 370,0 lb/pulg3 k1 y k2 estan en paralela(keq = k12)

c. 11,7647 lb/pulg

4 k3 y k4 estan en paralela(keq = k34)

d. 300,0 lb/pulg

5 k1 , k2 y k3 estan en paralela(keq = k123)

e. 70,0 lb/pulg

6 k123 esta en serie con k4 f. 170,0 lb/pulg7 k2 , k3 y k4 estan en paralela(keq = k234)

g. 350,0 lb/pulg

8 k1 y k234 estan en serie h. 91,8919 lb/pulg

Respuesta:1:b 2:c 3:e 4:d 5:f 6:h 7:g 8:a .

problemas

Seccion 1.4 Conceptos basicos de la vibracion, ySeccion 1.6 Procedimiento de analisis de la vibracion

1.2 Ante un eventual choque se muestra el sistema de restriccion (seguridad)considerando la elasticidad, masa y amortiguamiento del asiento, y las restric-ciones (cinturones de seguridad).

Tomando como sistema a todo el cuerpo del individuo y sometido al choquehorizontal por una fuerza de impacto, el cuerpo, por inercia, quiere seguirmoviendose en sentido contrario a dicha fuerza. Es esta accion lo que haceque los cinturones a la altura del pecho y caderas no dejen que se precipite alparabrisas o al tablero de instrumentos gracias a la rigidez del cinturon (comoconstante de elasticidad). En ese instante el cuerpo del individuo regresa asu posicion inicial (antes del choque) efectuando fuerza en el asiento; y este,en respuesta, merma el impacto, amortiguando el peso y logrando llegar aequilibrio inicial (antes del choque). Los pies del individuo tambien merman elchoque horizontal. Nota: En principio, se tomo como sistema el cuerpo total.Para otro modelamiento, se podrıa tomar la rigidez y amortiguamiento delas extremidades del individuo (brazos y piernas). Con estas consideraciones,recien modelando, obtenemos el siguiente resultado:

Figura 1: Un cuerpo humano y un sistema de restriccion

Figura 2: Representacion de las rigideces de los cinturones, asiento y piernasapoyadas en la plataforma inclinada. Como tambien, el amortiguamiento delasiento.

Para una funcion par, donde se cumple que x(−t) = x(t)

Se tiene que:

x(t) = a0/2 + a1coswt+ a2cos2wt+ . . .+ b1sinwt+ b2sin2wt+ . . .

x(−t) = a0/2 + a1coswt+ a2cos2wt+ . . .− b1sinwt− b2sin2wt− . . .

Nota: El cos(−nwt) = cos(nwt) , n = 1, 2, 3, . . .

Igualando x(−t)yx(t), nos resulta la siguiente igualdad:

0 = 2b1sinwt+ (2b)2sin2wt+ (2b)3sin3wt+ (2b)4sin4wt+ . . .

Para que se cumpla la igualdad, los coeficientes

b1, b2, b3, b4, . . .

Deben ser iguales a cero.Por eso concluimos, que una funcion par x(−t) =x(t), x(t)

es igual a: x(t) = a0/2 + b1coswt+ b2cos2wt+ b3cos3wt+ b3cos4wt+ . . .

El mismo analisis lo hacemos para comprobar las funciones impar, donde:

x(-t)=-x(t)

Igualando x(−t)y − x(t) nos resulta:

0 = 2a1coswt+ (2a)2cos2wt+ (2a)3cos3wt+ (2a)4cos4wt . . .

Donde los coeficientes a1, a2, a3, a4, ...

Deben ser iguales a cero. Por tanto la funcion impar esta dado por:

x(t) = a0/2 + a1sinwt+ a2sin2wt+ a3sin3wt+ a4sin4wt+ . . .

Seccion 1.7 Elementos de resorte

1.7 Determine la constante de resorte equivalente del sistema de la figura1

SOLUCIONHallando la rıgidez equivalente en k1, k2 y k3:

keq(1) = 2k1

keq(3) = 2k3

keq(2) =⇒ 1keq(2)

= 1keq(1)

+ 1k2

+ 1keq(3)

keq(2) =k2keq(1)keq(3)

k2k3+keq(1)keq(3)+keq(1)k2

Hallando la rıgidez equivalente en k4 y keq(2):

keq(4) = k2 + keq(2)

Hallando la rigidez equivalente en k5 y keq(4):

1keq(T )

= 1keq(4)

+ 1k5

keq(T ) =keq(4)k(5)keq(4)+k5

Hallando la rıgidez equivalente total:

keq(T ) =(keq(2)+k(4))k(5)

(keq(2)+k(4))+k5

keq(T ) ={

[keq(1)k(4)keq(3)

(k(2)keq(3)+k(1)keq(3)+k(1)k(2)

]+k(4)}k(5)[

keq(1)k(2)keq(3)(k(2)keq(3)

+keq(1)keq(3)+k(1)k(2)

]+k(4)+k(5)

∴ keq(T ) =4k(1)k(2)k(3)+2k(4)k(2)k(3)k(5)+4k(1)k(4)k(3)k(5)+2k(4)k(2)k(1)k(5)

4k(1)k(2)k(3)+2k(4)k(2)k(3)+4k(1)k(4)k(3)+2k(4)k(2)k(1)+2k(3)k(2)k(5)+4k(5)k(3)k(1)+2k(5)k(2)k(1)

1.9 Encuentre la constante de resorte equivalente del sistema en la direccionde θ:

SOLUCION

Hallando la rıgidez de resorte equivalente por conservacion de energia:

12Keq(θ)

2 = 12K1(l1senθ)

2 + 12K2(l1senθ)

2 + 12K3(l2senθ)

2 + 12Kt1(θ)

2 +12Kt2(θ)

2

Si: senθ ≈ θ

∴ Keq = K1(l)2 +K2(l1)

2 +K3(l2θ)2 +Kt1 +Kt2

1.10 Encuentre la constante de resorte torsional equivalente del sistemaque se muestra en la figura. Suponga que K1, K2, K3 y K4 son torsio-nales y que K5 y K6son constantes de resorte lineales.

SOLUCION

Hallando la rıgidez de resorte equivalente:

Si:K1, K2, K3 estan en serie:

keq(1) =⇒ 1keq(1)

= 1k3

+ 1k2

+ 1k1

keq(1) = k1k2k3k2k3+k1k3+k1k2

12Keq(θ)

2 = 12Keq1(θ)

2 + 12K6(θR)2 + 1

2K5(θR)2 + 1

2K4(θ)

2

Keq = Keq(1) +K6(R)2 +K5(R)2 +K4

∴ keq = k1k2k3k2k3+k1k3+k1k2

+K6(R)2 +K5(R)2 +K4

1.18 En la figura se muestra la posicion de equilibrio estatico de unabarra rıgida sin masa, acoplada a una bisagra en el punto O y conectada alos resortes K1, K2. Suponiendo que el desplazamiento (x) producido porla fuerza F aplicada en el punto A es pequeno, encuentre la constante deresorte aquivalente dei sistema,Ke, que relaciona la fuerza aplicada F con eldesplazamiento x com o F = Kex.

SOLUCION

Hallando Ke:

Si: F = KeqX

12Keq(X)2 = 1

2K2

(L4senθ

)2+ 1

2K1

(L4senθ

)2Si : K1 = K; K2 = K; senθ ≈ θ; X = L

2senθ

Keq

(L2θ)2

= K(L4θ)2

+ 2K(L4θ)2

∴ Keq = 3KL4

1.20 La figura muestra una barra rıgida uniforme de masa m pivotadaen el punto O y conectada por resortes de rigideces K1, K2. Considerandoun pequeno desplazamiento angular θ de la barra rıgida con respecto al puntoO, determine la constante de resorte equivalente asociada con el momento derestauracion.

SOLUCION

Sea: F : fuerza o momento de restauracion.F = mg

(L2senθ

)− k1(L4 θ)− k2(Lθ) ; senθ ≈ θ

= mgL2θ − k1L4 θ − k2(Lθ) ...(I)

Si : F = Keqθ ...(II)

Igualando : (I) y (II)

Keqθ = mgL2θ − k1L4 θ − k2Lθ

Keq = mgL2− k1L4 − k2L

∴ Keq = L2

(mg − k1

2− 2k2

)

1.24 Encuentre la longitud de la flecha hueca uniforme equivalente dediametro interno d y espeso r cuya constante de resorte axial es igual a lade la flecha conica solida que se muestra en la figura.

SOLUCION

Si: E = σλ, F = K∆L

K =EA

L

En a : K1 = EAL

Hallando el area :A = π

(d2

+ t)2 − π(d

2

)2= πt (d+ t)Reemplazando :

K1 = Eπt(t+d)L

En b : K2 = EAL

=⇒ Si : K1 = K2

Eπt(t+d)L

= EπDd4l

∴ L = 4t(t+d)Dd

1.28 F = 500,t + 2r-’ describe la caracter’istica de fuerza-deflexion de unresorte, donde b fuerza (F) esta en Newtons y la deflexion (x) esta en milıme-tros. Encuentre (a) la constante de resorte linealizada en x = 10 mm y (b) lasfuerzas ejercidas por el resorte en x = 9 mm y x = 11 mm utilizando la cons-tante de resorte linealizada. Encuentre tambien el error en las fuerzas ejercidaspor el resorte en (b).

SOLUCION

F = 500X + 2X3

⇒ La constante de resorte linealizada : K = ∂F∂X

∣∣X∗

a) X∗ = 10 mm K = 500 + 6X2

> K = 500 + 6(10)2 = 5600 Nmm

b)F = (500 + 6X2)X = 500X + 6X3

> X∗ = 9 mmF = 500(9) + 6(9)3 = 8874 N> X∗ = 11 mmF = 500(11) + 6(11)3 = 13486 N

Seccion 1.8 Elementos de masa o inercia

1.49 solucion:

Sea: x1, el movimiento de la masa m1; θ, la inclibacion de la barra rıgida; Jo,el momento de inercia con respecto al punto de sujecion de la barra.Representando el sistema por medio de energıas cineticas paraciales e igualan-do con la energıa cinetica equivalente con respecto a la coordenada “x”:

1

2m1 (x1)

2 +1

2Jo

(θ)2

+1

2m2(x)2 =

1

2meq(x)2

Haciendo las relaciones respectivas, para pequenas vibraciones, resulta:

θ =x

b; x1 =

a

bx

Reemplazando:

1

2m1

(ab

)2(x)2 +

1

2Jo

(1

b

)2

(x)2 +1

2m2(x)2 =

1

2meq(x)2

Simplificando:

m1

(ab

)2+ Jo

(1b

)2+m2 = meq...rpta.

1.53 Solucion:Sea: x1, la variable en movimiento de la masa ms; θ, la inclinacion del cuerporıgido; Jo el momento de inercia con respecto al punto de sugecion del cuerporıgido; θ1, la inclinacion de la masa ms.Representando el sistema por medio de sus energıas cineticas se cada elementoen movimiento respecto de la coordenada en “x”:

1

2ms (x1)

2 +1

2Js

(θ1

)2+

1

2Jo

(θ)2

+1

2m2(x)2 =

1

2meq(x)2

Haciendo las relaciones respectivas, queda:

θ1 =l2rsl1

x; θ =1

l1x; x1 =

l2l1x

Reemplazando:

1

2ms

(l2l1

)2

(x)2 +1

2Js

(l2rsl1

)2

(x)2 +1

2Jo

(1

l1

)2

(x)2 +1

2m2(x)2 =

1

2meq(x)2

Eliminando convenientemente, queda:

ms

(l2l1

)2

+ Js

(l2rsl1

)2

+ Jo

(1

l1

)2

+1

2m2 = meq... Rpta.

Seccion 1.9 Elementos de amortiguamiento

1.66 Encuentre la constante de amortiguamiento torsional de una chumace-ra con los siguientes datos: Viscosidad del lubricante (µ) = 0,35Pa− s,Diametro de la flecha (2R) = 0,05m, longitud del cojinete (l) = 0,075m,holgura del cojinete (d) = 0,005m. Si la flecha gira a una velocidad(N) de 3000rpm , determine el par de torsion de amortiguamiento desa-rrollado.

SOLUCIONUsando la ecuacion obtenida en la parte teorica, la constante de amorti-guamiento torsional de una chumacera, la cual es:

ct =2πµR3l

d

y reemplazando los valores se tiene:

ct =2π (0,35) (0,025)3 (0,075)

0,005

ct = 0,021N − s/m

Ademas, la relacion entre el par de torsion de torsion y la constante deamortiguamiento torsional de una chumacera, es:

T = ωct

T = (3000)

(1

60

)(0,021)

T = 1,05N −m

1.70 La constante de amortiguamiento (c)producida por la resistencia por fric-cion de una placa rectangular que se mueve en un fluido de viscosidad mesta dada por (vea la figura 1.107):

c = 100µl2d

Disene un amortiguador tipo placa (mostrado en la figura 1.42) que pro-duzca una constante de amortiguamiento identica por el mismo fluido.

SOLUCIONA partir de la figura 1.42, se tiene que la constante de amortiguamientoes:

c =µA

h

Igualando ecuaciones, se tiene que:

µA

h= 100µl2d

simplificando:

h =A

100l2d

pero A = ld, con referencia a la figura 1.107, entonces:

h =ld

100l2d

h =1

100l

Por tanto h = 1100l

, es la distancia necesaria que debe tener el diseno deplacas como la figura 1.42, para que produzca la constante de amorti-guamiento c = 100µl2d.

1.71 La constante de amortiguamiento (c)del amortiguador hidraulico que semuestra en la figura 1.108 esta dada por:

c =

(6πµl

h3

)[(a− h

2

)2

− r2][

a2 − r2

a− h2

− h

]

Detemine la constante de amortiguamiento (c)del amortiguador hidrauli-co por los siguientes datos:

µ = 0,3445Pa− s, l = 10 cm, h = 0,1 cm, a = 2 cm, r = 0,50 cm

SOLUCIONReemplazando valores en la ecuacion, se obtiene:

c =

(6πµl

h3

)[(a− h

2

)2

− r2][

a2 − r2

a− h2

− h

]

c =

(6π (0,3445) (0,1)

(0,001)3

)[((0,02)− (0,001)

2

)2

− (0,005)2

][(0,02)

2 − (0,005)2

(0,02)− (0,001)2

− (0,001)

]

c = 4205,614N − s/m

1.72 En el problema1.71, tomando los datos dados como referencia, determine la variacionde la constante de amortiguamientoc cuando:a. r cambia de 0.5 cm a 1.0 cmb. h cambia de 0.05 cm a 0.10 cmc. a cambia de 2 cm a 4 cm

SOLUCIONi) Se hallara la constante, usando µ = 0,3445Pa − s, l = 10 cm, h = 0,05 cm, a =2 cm, r = 0,50 cm:

c1 =

(6πµl

h3

)[(a− h

2

)2

− r2][

a2 − r2

a− h2

− h

]

c1 =

(6π (0,3445) (0,1)

(0,0005)3

)[((0,02)− (0,0005)

2

)2

− (0,005)2

][(0,02)

2 − (0,005)2

(0,02)− (0,0005)2

− (0,0005)

]

c1 = 35060,817N − s/m

ii) Ahora se hallara la constante, usando µ = 0,3445Pa−s, l = 10 cm, h = 0,10 cm, a =4 cm, r = 1,0 cm:

c2 =

(6πµl

h3

)[(a− h

2

)2

− r2][

a2 − r2

a− h2

− h

]

c2 =

(6π (0,3445) (0,1)

(0,001)3

)[((0,04)− (0,001)

2

)2

− (0,01)2

][(0,04)

2 − (0,01)2

(0,04)− (0,001)2

− (0,001)

]

c2 = 35060,817N − s/m

Luego, la variacion esta dada por:

4c = c2 − c1

4c = 35060,817− 35060,817

4c = 0N − s/m

Seccion 1.10 Movimiento armonico

1.75 Expresar el numero complejo 5 + 2i en la forma exponencial Aiθ.

sea el vector posicion en el plano xy:

~X = a+ ib

con

A = (a2 + b2)12

y

θ = tan−1(ab

)entonces

a+ ib=5 + 2i

igualando se obtiene que a = 5 y b = 2

remplazando

A = (52 + 22)12 =5,385

θ = tan−1(52

)=21,8◦

por lo tanto en la forma exponencial

~X = 5,38521,8i lqqd.

1.76 Sume los dos numeros complejos 1+2i y 3−4i y exprese el resultadoen la forma Aiθ.

sean los vectores representados en numeros complejos

~X1 (t) = 1 + 2i~X2 (t) = 3− 4i

y la suma de ~X1 (t) y ~X2 (t) se expresa como:

~X (t) = Re[Ai(ωt+α)

]entonces

~X1 (t) + ~X2 (t)=(1 + 2i) + (3− 4i)~X (t) = 4− 2icon las formulas

A = (a2 + b2)12

α = tan−1(ab

)remplazando

A = (42 + 22)12 =4,472

α = tan−1(

4−2

)=−63,4◦

el resultado en la forma Aiθ

~X (t) = Re[4,472i(ωt− 63,4)

]1.77 Reste el numero complejo 1 + 2i de 3− 4i y exprese el resultado en laforma Aiθ.

sean los vectores representados en numeros complejos

~X1 (t) = 1 + 2i~X2 (t) = 3− 4i

y el resultado de restar ~X1 (t) de ~X2 (t) se expresa como:

~X (t) = Re[Ai(ωt+α)

]entonces

~X2 (t)− ~X1 (t)=(3− 4i)− (1 + 2i)~X (t) = 2− 6icon las formulas

A = (a2 + b2)12

α = tan−1(ab

)remplazando

A = (22 + (−6)2)12 =6,32

θ = tan−1(

2−6

)=−18,43◦


~X (t) = Re[6,32i(ωt− 18,43)

]

1.78 Encuentre el producto de los numeros complejos z1 = 1 + 2i yz2 = 3− 4i y exprese el resultado en la forma Aiθ.El producto de los numeros complejos se realiza aplicando la propiedaddistributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta quei2 = −1.

z1 ∗ z2 = (1 + 2i) ∗ (3− 4i) = 3− 4i+ 6i− 8i2 = 3 + 2i− 8 ∗ (−1) = 11 + 2i

entonces:

z = 11 + 2i

con las formulas

A = (a2 + b2)12

α = tan−1(ab

)remplazando

A =(112 + 22

) 12 =11,18

θ = tan−1(112

)=79,7◦


~X (t) = Re[11,18i(ωt+ 79,7)

]1.100 El desplazamiento de una maquina se expresa comoX (t) = 0,05sen(6t+ φ), donde x esta en metros y t en segundos. Si se sabeque el desplazamiento de la maquina en el instante t = 0 se sabe que es de0,04m, determine el valor del angulo de fase φ.

si t = 0, entonces X(0) = 0,04m:

X (0) = 0,05sen(6(0) + φ)

X (0) = 0,05sen(φ)

0,04 = 0,05sen(φ)

0,04/0,05 = sen(φ)

φ = sin−1(

0,040,05

)φ = 53◦

1.101 El desplazamiento de una maquina se expresa comoX(t) = Asen(6t+ φ), donde x esta en metros y t en segundos.Si se sabe queel desplazamiento y la velocidad de la maquina en el instante t = 0 son de0,05m y 0,005m/s, determine el valor de A y φ.

si t = 0, entonces X(0) = 0,05m y X(0) = 0,005 m/s

X(0) = Asen(6(0) + φ)

X(0) = Asen(φ)

0,05 = Asen(φ)...(1)

para la velocidad

X(t) = 6Acos(6t+ φ)

X(0) = 6Acos(6(0) + φ)

0,005 = 6Acos(φ)...(2)

dividiendo (2) en (1)

0,050,005

= 16

tanφ

tanφ = 60

φ = tan−1 60

φ = 89◦

remplazando φ en (1)

A = 0,05m

Seccion 1.11 Analisis armonico

1.106 Para una funcion par, donde se cumple que x(-t)=x(t)Se tiene que:x(t)=a0/2 + a1coswt+ a2cos2wt+ . . .+ b1sinwt+ b2sin2wt+ . . .x(-t)=a0/2 + a1coswt+ a2cos2wt+ . . .− b1sinwt− b2sin2wt− . . .Nota: El cos(-nwt)=cos(nwt) , n=1,2,3,. . .Igualando x(-t) y x(t), nos resulta la siguiente igualdad:0= 2b1sinwt+ (2b)2sin2wt+ (2b)3sin3wt+ (2b)4sin4wt+ . . .Para que se cumpla la igualdad, los coeficientesb1, b2, b3, b4, . . .Deben ser iguales a cero.Por eso concluimos, que una funcion par x(-t)=x(t),x(t)es igual a: x(t)=a0/2 + b1coswt+ b2cos2wt+ b3cos3wt+ b3cos4wt+ . . .El mismo analisis lo hacemos para comprobar las funciones impar, donde:

x(-t)=-x(t)

Figura 3: Grafica de una funcion periodica

Igualando x(-t) y -x(t) nos resulta:0=2a1coswt+ (2a)2cos2wt+ (2a)3cos3wt+ (2a)4cos4wt . . .Donde los coeficientes a1, a2, a3, a4, ...Deben ser iguales a cero. Por tanto la funcion impar esta dado por:x(t)=a0/2 + a1sinwt+ a2sin2wt+ a3sin3wt+ a4sin4wt+ . . .1.109 Hallamos la expansion de la serie de Fourier de la funcion periodica:Hallamos la relacion de x(t),τ y t :a. Para 0 < t1 ≤ τ/2 :Por semejanza de triangulos: τ/2A = (τ − 2t)/(A− x)→ x = 2tA/τObtenemos los coeficientes a0, an y bn :

a0 = w/π∫ 2π/w

02tAτdt

an = w/π∫ 2π/w

02tAcos(nwt)

τdt

bn = w/π∫ 2π/w

02tAsin(nwt)

τdt

Integrando:

a0 = 2Aw/πτ[t2

2

] 2pi/w0

= 2A

an = 2Aw/πτ[tsin(nwt)

nw+ sin(nwt)

nw2

] 2pi/w0

= 0

bn = 2Aw/πτ[− tcos(nwt)

nw− cos(nwt)

nw2

] 2pi/w0

= −2Anπ

Entonces:x(t1) = A−2A/πsinwt1−2A/2πsin2wt1−2A/3πsin3wt1−2A/4πsin4wt1−. . .b. Para τ/2 < t2 ≤ τ :

Por semejanza de triangulos: τ/A = (2t− τ)/τ → x = 2A(t− τ)/τObtenemos los coeficientes a0, an y bn :

a0 = w/π∫ 2π/w

02A(t−τ)

τdt

an = w/π∫ 2π/w

02A(t−τ)Acos(nwt)

τdt

bn = w/π∫ 2π/w

02A(t−τ)sin(nwt)

τdt

Integrando:

a0 = 2Aw/πτ[t2

2− τt

] 2pi/w0

= −2A

an = 2Aw/πτ[tsin(nwt)

nw+ sin(nwt)

nw2 − τsin(nwt)nw

] 2pi/w0

= 0

bn = 2Aw/πτ[− tcos(nwt)

nw− cos(nwt)

nw2 − τcos(nwt)nw

] 2pi/w0

= 2Anπ

Entonces:x(t2) =−A+ 2A/πsinwt2 + 2A/2πsin2wt2 + 2A/3πsin3wt2 + 2A/4πsin4wt2 − . . .Por tanto:x(t1) = A−2A/πsinwt1−2A/2πsin2wt1−2A/3πsin3wt1−2A/4πsin4wt1−. . .x(t2) =−A+ 2A/πsinwt2 + 2A/2πsin2wt2 + 2A/3πsin3wt2 + 2A/4πsin4wt2 − . . .

Seccion 1.12 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB

1.121 Usamos MATLAB para trazar la variacion de la rigidez de resorte kcon la deformacion x:a. Para k = 1000x− 100x2; 0 ≤ x ≤ 4 :Usamos los siguientes comandos en MATLAB:1 >> %ex121.m

2 %de trazo (de) la funcion k(x)=1000x-100x2

3 x=0:0.1:4;4 k=1000*x-100*x.2;

5 plot(x,k,’+’);6 grid on7 ylabel(’k(x)’);8 xlabel(’x’);9 title(’Variacion de la rigidez’);

Resultandonos la grafica de la variacion de la rigidez:

Figura 6: Captura de grafico en Matlab

b. Para k = 50 + 500x2; 0 ≤ x ≤ 4 :

Usamos los siguientes comandos en MATLAB:

1 >> %ex122.m2 >> %de trazo (de) la funcion k(x) = 50 + 500x2

3 >> x = 0 : 0,1 : 4;4 >> k = 50 + 500 ∗ x.2;5 >> plot(x, k,′+′);6 >> gridon7 >> ylabel(′k(x)′);8 >> xlabel(′x′);

9 >> title(′V ariacion de la rigidez′);

Resultandonos la grafica de la variacion de la rigidez:


1.122 Una masa se somete a dos movimientos armonicos dados por:{x1(t) = 3sin(w + ϕ)t = 3sin(30)t

x2(t) = 3sin(w)t = 3sin(29)t

Identificamos en las ecuaciones:

A1 = A2 = 3m

w = 29rad/s

ϕ = 1rad/s

El movimiento resultante de la masa, x(t) esta dado por:

x(t) = x1(t) + x2(t) = 3sin(30t) + 3sin(29t)

Haciendo uso de las suma de senos: sin(a)+sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a−b)/2)

Entonces:

x(t) = 3[2sin(59t

2)cos( (

t2)]

= 6sin(59t2

)cos( (t2)

Trazando la ecuacion resultante en MATLAB:

1 >> %ex123.m2 >> %Trazar el fenomeno de pulsaciones3 >> A = 3;4 >> w = 29;5 >> delta = 1;6 >> fori = 1 : 10017 >> t(i) = 15 ∗ (i− 1)/1000;8 >> x(i) = 2 ∗ A ∗ sin((w + delta/2) ∗ t(i)) ∗ cos((delta/2) ∗ t(i));9 >> end10 >> plot(t, x);11 >> xlabel(′t′);12 >> ylabel(′x(t)′);13 >> title(′Fenomeno de pulsaciones′);

Obteniendo la siguiente grafica:


LimeGreenHola

proyecto

Editado en LATEX.

Engineering

DINAMICA EJERCICIOS UNSCH