1. QA371 R293 1998RAINVILLE V EARL D.11111111111111111111111111111111111111111111111111LB004503ECUACIONES DIFERENCIALEShttp://gratislibrospdf.com/

2. http://gratislibrospdf.com/ 3. EcuacionesdiferencialesOCTAVA EDICINEarl D. Rainville VLate Professor of MathematicsUniversity of MichiganPhillip E. BedientProfessor Emertius of MathematicsFranklin and Marshall CollegeRichard E. BedientProfessor of MathematicsHamilton CollegeTraduccin:Vctor HU~Ibarra MercadoLic. en Fsi y MatemticasESFM, Instit to Politcnico NacionalRevisin Tcnica:Oscar Alfredo Palmas VelascoMatemticoFacultad de Ciencias, UNAMPRBNTICEHALLMXICO NUEVA YORK BOGOT LONDRES MADRIDMUNICH NUEVA DELHI PARS Ro DE JANEIRO SIDNEYSINGAPUR TOKIO TORONTO ZURlCHhttp://gratislibrospdf.com/ 4. EDICIN EN ESPAOL:DIRECTOR DE MERCADOTECNIA:GERENTE DIVISIN COLLEGE:GERENTE EDITORIAL:EDITOR:DIRECTOR DE EDICIONES:GERENTE DE EDICIONES:GERENTE DE TRADUCCIN:GERENTE DE PRODUCCIN:SUPERVISOR DE TRADUCCIN:SUPERVISORA DE PRODUCCIN:EDICIN EN INGLS:Acquisitions Editor: George LobellEditorial Assistant: Gale EppsEditorial Director: Tim BozikEditor-in-Chief: Jerome GrantMOISS PREZ ZAVALAJOS TOMS PREZ BONILLALUIS CEDEO PLASCENCIAPABLO EDUARDO ROIG V ZQUEZALBERTO SIERRA OCHOAJUAN ANTONIO RODRGUEZ MORENOJORGE BONILLA TALAVERAJULIN ESCAMILLA LIQUIDANOJOS LUIS NEz HERREJNOLGA ADRIANA sNCHEZ NAVARRETEAssistant Vice President of Production and Manufacturing: David R. RiccardiEditoriallProduction Supervisor: Robert C. WaltersManaging Editor: Linda Mihatov BehrensExecutive Managing Editor: Kathleen SchiaparelliManufacturing Buyer: Alan FischerManufacturing Buyer: Trudy PisciottiMarketing Manager: John TweeddaleMarketing Assistant: Diana PenhaCreative Director: Paula MaylahnArt Manager: Gus VibalArt Director: Maureen EideCover and Interior Designer: Jill LittleCover Photo: Spinning Schaft, by Alejandro and Moira SiaSupplements Editor: Audra WalshRAINVILLE: ECUACIONES DIFERENCIALES, Octava EdicinTraducido del ingls de la obra: ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, 8a. Ed.AIl rights reserved. Authorized translation from English language edition published by Prentice-Hall, Inc.'------ Todos los derechos reservados. Traduccin autorizada de la edicin en ingls publicada por Prentice-Hall, Inc.Al! rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, includingphotocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from the publisher.Prohibida la reoroduccin total o oarcial de esta obra, por cualquier medio o mtodo sin autorizacin por escrito del editor.Derechos reservados 1998 respecto a la primera edicin en espaol publicada por:Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.Calle 4 N9 25-29 piso Fracc. Ind. Alce Blanco,Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico,c.P. 53370ISBN 970-17-0069-4Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Nm. 1524.Original English Language Edition Published by Prentice-Hall, Inc.A Simon & Schuster CompanyCopyright MCMXCVIIAl! rights reservedISBN 0-13-508011-8IMPRESO EN MXICOIPRINTED IN MEXICO JULUTOGRAFICA INGRAMEX, SA DE C.V.CENTENO NO. 162-1MEXICD,OJ.C.P. 098103000 1998 http://gratislibrospdf.com/ 5. ParaEsther, Marie, BetsyKatey Adamhttp://gratislibrospdf.com/ 6. http://gratislibrospdf.com/ 7. ContenidoPrefacio / Xl1l1 Definiciones; familias de curvas / 11.1 Ejemplos de ecuaciones diferenciales / 11.2 Definiciones / 21.3 Familias de soluciones / 51.4 Interpretacin geomtrica / 101.5 Las isoc1inas de una ecuacin / 121.6 Un teorema de existencia / 141.7 Suplemento para computadora / 152 Ecuaciones de orden uno / 182.1 Separacin de variables / 182.2 Funciones homogneas / 242.3 Ecuaciones con coeficientes homogneos / 252.4 Ecuaciones exactas / 292.5 La ecuacin lineal de orden uno / 352.6 La solucin general de una ecuacin lineal / 382.7 Suplemento para computadora / 433 Mtodos numricos / 453.1 Observaciones generales / 45 3.2 Mtodo de Euler / 453.3 Una modificacin al mtodo de Euler / 48vhttp://gratislibrospdf.com/ 8. vi Contenido3.4 Un mtodo de aproximacin sucesiva / 493.5 Una mejora en el mtodode aproximacin sucesiva / 513.6 Uso del teorema de Taylor / 523.7 Mtodo de Runge-Kutta / 543.8 Un mtodo de continuacin / 583.9 Suplemento para computadora / 604 Aplicaciones elementales / 624.1 Velocidad de escape desde la Tierra / 624.2 Ley del enfriamiento de Newton / 644.3 Conversin qumica simple / 654.4 Crecimiento logstico y precio de mercancas / 694.5 Suplemento para computadora / 735 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno / 755.1 Factores integrantes determinados por inspeccin / 755.2 Determinacin de factores integrantes / 79 5.3 Sustitucin sugerida por la ecuacin / 835.4 Ecuacin de Bernoulli / 865.5 Coeficientes lineales en dos variables / 895.6 Soluciones que involucran integrales no elementales / 945.7 Suplemento para computadora / 976 Ecuaciones diferenciales lineales / 996.1 La ecuacin lineal general / 996.2 Un teorema de existencia y unicidad / 1006.3 Independencia lineal / 1026.4 El Wronskiano / 1036.5 Solucin general de una ecuacin homognea / 1066.6 Solucin general de una ecuacin no homognea / 1076.7 Operadores diferenciales / 1096.8 Leyes fundamentales de operacin / 1116.9 Algunas propiedades de los operadores diferenciales / 1136.10 Suplemento para computadora / 115http://gratislibrospdf.com/ 9. Contenido/vii7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes / 1177.1 Introduccin / 1177.2 La ecuacin auxiliar: races distintas / 1177.3 La ecuacin auxiliar: races repetidas / 1207.4 Una definicin de exp z para valores complejos de z / 1237.5 La ecuacin auxiliar: races complejas / 1257.6 Una observacin acerca de las funciones hiperblicas / 1277.7 Suplemento para computadora / 1328 Ecuaciones no homogneas:coeficientes indeterminados / 1348.18.28.38.48.5Construccin de una ecuacin homogneaa partir de una solucin especfica / 134Solucin de una ecuacin no homognea /Mtodo de coeficientes indeterminados /Solucin por inspeccin / 144Suplemento para computadora / . 1509 Variacin de parmetros / 1529.1 Introduccin / 1529.2 Reduccin de orden / 1529.3 Variacin de parmetros / 1569.4 Solucin de yl! + Y = ex) / 1619.5 Suplemento para computadora / 16410 Aplicaciones / 16510.1 Vibracin de un resorte / 16510.2 Vibraciones no amortiguadas / 16710.3 Resonancia / 16910.4 Vibraciones amortiguadas / 17210.5 El pndulo simple / 17710.6 Leyes de Newton y movimiento planetario10.7 Fuerza central y la segunda ley de Kepler10.8 Primera ley de Kepler / 180/137139/ 178179http://gratislibrospdf.com/ 10. viii Contenido10.9 Tercera ley de Kepler / 18210.10 Suplemento para computadora / 18411 Sistemas de ecuaciones lineales / 18611.1 Introduccin / 18611.2 Sistemas de primer orden con coeficientes constantes / 18611.3 Solucin de un sistema de primer orden / 18711.4 Repaso de lgebra matricial / 18911.5 Revisin de sistemas de primer orden / 19511.6 Valores propios complejos / 20411.7 Valores propios repetidos / 208 11.8 Plano fase / 21611.9 Suplemento para computadora / 22212 Sistemas no homogneos de ecuaciones / 224131412.1 Sistemas no homogneos / 22412.2 Carrera armamentista / 22812.3 Circuitos elctricos / 23212.4 Redes sencillas / 235Existencia y unicidad de soluciones13.1 Observaciones preliminares / 24313.2 Un teorema de existencia y unicidad13.3 Condicin de Lipschitz / 246//13.4 Demostracin del teorema de existencia13.5 Demostracin del teorema de unicidad /13.6 Otros teoremas de existencia / 251La transformada de Laplace / 25214.1 El concepto de transformacin / 25214.2 Definicin de la transformada de Laplace14.3 Transformadas de funciones elementales243243/ 250250/ 253/ 25314.4 Funciones continuas por secciones / 25714.5 Funciones de orden exponencial / 25814.6 Funciones de clase A / 261http://gratislibrospdf.com/ 11. Contenido14.714.814.914.10Transformada de derivadas /Derivadas de transformadas /La funcin gamma / 267Funciones peridicas / 26926326615 Transformadas inversas / 27415.115.215.315.415.515.615.715.815.915.10Definicin de una transformada inversa / 274Fracciones parciales / 277Problemas de valor inicial / 280Funcin escaln / 286Un teorema de convolucin / 294, Ecuaciones integrales especiales / 298Mtodos de transformacin y vibracin de resortesDeflexin de vigas / 307Sistemas de ecuaciones .. / 310Suplemento para computadora / 316/ 30316 Ecuaciones no lineales / 32016.116.216.316.416.516.616.716.816.916.10Observaciones preliminares / 320Factorizacin del miembro izquierdo / 320Soluciones singulares / 323Ecuacin con discriminante e / 325La ecuacin con discriminante p / 326Eliminacin de la variable dependiente / 328Ecuacin de Clairaut / 330Ecuaciones sin variable dependiente explcita / 334Ecuaciones sin variabl~ independiente explcita / 335La catenaria / 33817 Soluciones en series de potencias / 34217.1 Ecuaciones lineales y series de potencias / 34217.2 Convergencia de series de potencias / 343 V17.3 Puntos ordinarios y puntos singulares / 345ix17.4 Validez de las soluciones cerca de un punto ordinario / 34717.5 Soluciones cerca de un punto ordinario / 34717.6 Suplemento para computadora / 256http://gratislibrospdf.com/ 12. x Contenido18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares / 35818.1 Puntos singulares regulares / 3581918.2 Ecuacin indicatriz / 36018.3 Forma y validez de solucionescerca de un punto singular regular / 36218.4 Ecuacin indicatriz cuya diferenciaentre las races no es un entero / 36318.5 Diferenciacin de un producto de funciones / 36718.6 Ecuacin indicatriz con races iguales / 36818.7 Ecuacin indicatriz con races iguales:una alternativa / 37418.8 Ecuacin indicatriz cuya diferencia entre raceses un entero positivo: caso no logartmico / 37718.9 Ecuacin indicatriz cuya diferencia entre raceses un entero positivo: caso logartmico / 38118.10 La solucin para valores grandes de x / 38518.11 Relaciones de recurrenciaque dependen de varios trminos / 38818.12 Resumen / 392Ecuaciones de tipo hipergeomtrico /19.1 Ecuaciones que se tratarn en este captulo19.2 Funcin factorial / 39619.3 Funcin hipergeomtrica / 39719.4 Polinomios de Laguerre / 39919.5 Ecuacin de Bessel con ndice no entero19.6 Ecuacin de Bessel con ndice entero /19.7 Polinomios de Hermite / 40219.8 Polinomios de Legendre / 403 ,396/ 396/ 40040120 Ecuaciones diferenciales parciales / 40420.1 Observaciones sobre ecuaciones diferenciales parciales / 40420.2 Algunas ecuaciones diferenciales parcialesde matemticas aplicadas / 40420.3 Mtodo de separacin de variables / 406http://gratislibrospdf.com/ 13. Contenido20.4 Un problema de conduccin de calor en una lmina / 41120.5 Suplemento para computadora / 41621 Conjuntos de funciones ortogonales / 41821.1 Ortogonalidad / 41821.2 Conjuntos simples de polinomios / 41921.3 Polinomios ortogonales / 41921.4 Ceros (races) de polinomios ortogonales / 42121.5 Ortogonalidad de los polinomios de Legendre / 42221.6 Otros conjuntos ortogonales22 Series de Fourier / 42522.1 Ortogonalidad de un conjunto de senos y cosenos /22.2 Series de Fourier: un teorema de desarrollo / 42722.3 Ejemplos numricos de series de Fourier / 431 >-22.4 Series de Fourier en trminos de senos / 43822.5 Series de Fourier en trminos de cosenos / 44122.6 Anlisis numrico de Fourier / 44322.7 Cmo mejorar la rapidez de convergencia / 44422.8 Suplemento para computadora / 44523 Problemas con valores en la frontera / 44723.1 La ecuacin del calor en una dimensin / 44723.2 Verificacin experimental de la validezde la ecuacin del calor / 45342523.3 Temperatura superficial que vara con el tiempo / 45523.4 Conduccin del calor en una esfera / 45723.5 La ecuacin de onda simple / 45823.6 La ecuacin de Laplace en ocho dimensiones / 46123.7 Suplemento para computadora / 46424 Propiedades adicionales de la transformadade Laplace / 46724.1 Series de potencias y transformadas inversas / 46724.2 Funcin error / 471xi/ http://gratislibrospdf.com/ 14. xii Contenido24.3 Funciones de Besse1 / 47824.4 Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables / 48025 Ecuaciones diferenciales parciales: mtodos detransformacin / 48125.1 Problemas con valores en la frontera / 48125.2 Ecuacin de onda / 48525.3 Difusin en un slido semiinfinito / 48825.4 Variables cannicas / 49125.5 Difusin en una lmina de ancho finito / 49325.6 Difusin en un octante infinito / 496Respuestas a los ejercicios / 500ndice / 527http://gratislibrospdf.com/ 15. PrefacioAl preparar esta nueva edicin de Ecuaciones diferenciales elementales, nos propusimosalcanzar dos objetivos de importancia primordial: primero, mantener el estilo directo quelos estudiantes y maestros de las ediciones anteriores han aceptado tan bien. Segundo, comouna respuesta a los cambios en la naturaleza de muchos cursos de ecuaciones diferenciales,agregamos material geomtrico nuevo, reorganizamos algunas secciones y aadimos uncomponente computacional al texto.El nuevo material geomtrico aparece principalmente en las secciones 1.4 y 11.8. En laprimera, introducimos el concepto de una familia de curvas como solucin para una ecuacindiferencial; en la seccin 11.8 presentamos el concepto de plano fase de un sistema deecuaciones. Tambin, el tratamiento de sistemas de ecuaciones lo veremos con ms anticipacinen el presente libro.De todas las reas de las matemticas que se cubren en un plan de estudios universitariotradicional, el campo de las ecuaciones diferenciales es tal vez sobre el que ms influenciatiene el uso de la computadora. Se han producido numerosos programas que estn diseadosespecficamente para ecuaciones diferenciales o que tienen sub aplicaciones para ese tipode material. En este libro tomamos la decisin, algo arbitraria, de presentar nuestrosejemplos para computadora utilizando el programa denominado Maple. Pudimos haberelegido igualmente cualquiera de los otros sistemas de lgebra computacional, como Mathematica,Matlah o Derive. Hay tambin varios programas muy eficaces para trazar grficasnumricas y los cuales producen resultados geomtricos excelentes. Entre los ms comnmentedisponibles se encuentran MacMath y Phaser.Cada suplemento para computadora contiene un ejemplo del captulo correspondientey est resuelto con ayuda de Maple. Posteriormente, se presenta un conjunto de ejerciciosque el estudiante puede resolver por medio de cualquiera de los programas disponibles enel mercado. Nuestro deseo es que estas introducciones, aunque breves, alienten a los lectoresa ir ms all del texto y a emprender exploraciones adicionales con la computadora.Queremos expresar asimismo nuestro agradecimiento a los revisores siguientes por suscomentarios al manuscrito de la octava edicin: Ebrahim Salchi, University ofNevada-LasVegas; J. P. Mokanski, University ofGuelph; Thomas G. Berry, University ofManitoba; GilesWilson Maloof, Boise State University; John H. Ellison, Grove City College; James L.Handley, Montana Tech; Baigiao Deng, Columbus College y Jay Delkin, University ofWestern Ontario.Phillip. E. BedientRichard E. Bedientxiiihttp://gratislibrospdf.com/ 16. http://gratislibrospdf.com/ 17. 11 Definiciones;familias de curvasI 1.1 I Ejemplos de ecuaciones diferencialesLa construccin de modelos matemticos para tratar los problemas del mundo real se ha des-tacadocomo uno de los aspectos ms importantes en el desarrollo terico de cada unade las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuacin en la queuna funcin y sus derivadas desempean papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadasecuaciones diferenciales. Como en la ecuacin (3), una derivada puede estar presente demanera implcita a travs de diferenciales. Nuestra meta es encontrar mtodos para resolvertales ecuaciones; esto es, determinar la funcin o funciones desconocidas que satisfaganuna ecuacin diferencial.Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales:dy- = cosx, (1)dxd2y-2 +k2y =0, (2)dx(x2 + l)dx - 2xydy = O, (3)2u + aau = h2 (a2u) , (4)at ax2 ay2d2i di 1L- + R- + -i = Eto cos cot; (5)dt? dt ea-v a2v-a+x2--0 ay2 - , (6)2--w2y - xy-dw + w = O, (7) dx dx(d1http://gratislibrospdf.com/ 18. 2 Captulo 1 Definiciones; familias de curvasd3x dx- +x- - 4xy = 0,dy3 dy(8)d2y (dy )3 - 2 + 7 - - 8y = 0,dx dx(9)(10)af afx- +y- =nf.ax ay(11)Cuando una ecuacin involucra a una o ms derivadas con respecto a una variable en particular,tal variable es llamada independiente. Una variable es dependiente si aparece unaderivada de esa variable. En la ecuacin:d 2i di lL dt2 + R dt + C i = Ewcoswt (5)i es la variable dependiente, t la variable independiente y L, R, e, E y ro son llamados parmetros.La ecuacin:a2 v a2v-+-=0ax2 ay2tiene una variable dependiente Vy dos variables independientes.Puesto que la ecuacin:puede ser escrita:o(x2 + i)dx - 2xy dy = Ody x2 + i - 2xy- = dx dx(x2 + i)- - 2xy = 0,dy(6)(3)podemos considerar a cualquiera de las variables como la variable dependiente y la otraser la independiente . Ejerciciosldentitique las variables independientes, las dependientes y los parmetros que existan en las ecuacionesdadas como ejemplos en esta seccin.1 .2 DefinicionesEl orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada de orden ms alto que aparezcaen la ecuacin. Por ejemplo,http://gratislibrospdf.com/ 19. 1.2 Definiciones 3(1)es una ecuacin de "orden dos". Tambin se le denomina "ecuacin de segundo orden".En general, la ecuacin:F(x , y,y/ , oO . ,y (n)) -- O (2)es llamada ecuacin diferencial ordinaria de "orden-n". Bajo restricciones adecuadas sobrela funcin F, en la ecuacin (2) podemos despejar explcitamente yen) en trminos de lasotras n + 1 variables x, y, y', ... , yen-l), para obtener:y (n) -_ f( x,y,y,,o O.,y (n - l)) . (3)Para los propsitos de este libro supondremos que esto siempre es posible. En caso contrario,una ecuacin como la (2) se puede representar en la prctica por ms de una ecuacinde la forma de la ecuacin (3).Por ejemplo, la ecuacin:X(y')2 + 4y' - 6x2 = Opuede representarse por dos ecuaciones diferentes,, -2+J4+6x3y ,= ------------ o-2-J4+6x3y' = ------------x xUna funcin (n)(x) = f(x, c/>(x), c/>/(x), ... , c/>(n-l)(x)),para toda x en a < x < b.Por ejemplo, verifiquemos que:es una solucin de la ecuacin:d2y dy -+-- -6y=0.dx2 dx(4)Sustituimos nuestra solucin tentativa en el miembro izquierdo de la ecuacin (4) Y encontramosque para todos los valores de x:d2y dy - + -- - 6y = 4e2x + 2e2x - 6e2x == O,dx2 dxlo cual completa la verificacin deseada.http://gratislibrospdf.com/ 20. 4 Captulo 1 Definiciones; familias de curvasTodas las ecuaciones que consideraremos en el captulo 2 son de orden uno y, por lo tanto,pueden escribirse:dydx = (x, y).En tales ecuaciones, a veces es conveniente usar las definiciones de clculo elementalpara escribirlas en la forma: .M(x, y) dx + N(x, y) dy = O. (5)Un concepto muy importante en el estudio de ecuaciones diferenciales es el de linealidad.Una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es llamada lineal si puede ser escrita enla forma: .dn y dn - y dybo(x)- + b (x)-- + ... + bn- I (x) - + bn(x)y = R(x).dxn dxn- dxPor ejemplo, la ecuacin (1) es no lineal, y la ecuacin (4) es lineal. La ecuacin:x2y" + xy' + (x2 - n2)y = 4x3tambin es lineal.La nocin de linealidad puede ser aplicada tambin a ecuaciones diferenciales parciales.Por ejemplo,aw awbo(x, y)~ + b (x, Y)ay = R(x, y)es la forma general de la ecuacin diferencial parci al lineal de primer orden con dos variablesindependientes, ya2w a2w a2wbo(x, y) ax2 + b l (x, y) axay + b2(x, y) ay2aw aw + b3 (x, y) - + b4 (x, y)- + bs(x, y)w = R(x , y)ax ayes la forma general de la ecuacin diferencial parcial Iinal de segundo orden con dosvariables independientes . EjerciciosDel ejercicio I al 16, establezca si la ecuacin es ordinaria o parcial, lineal o no lineal, y d su orden.1. 2.http://gratislibrospdf.com/ 21. 3.4.5.6.7.8.9.(x2 + y2) dx + 2xy dy = O.y' + P(x)y = Q(x) .ylll - 3y' + 2y = O. yy" = x.a2u a2u a2u- +-+-=0.ax2 ay2 az2d4y-4 = w(x) .dxd2y d 2xx--y-=c,.dt2 dt21.3 Familias de solucionesdi10. L- + Ri = E.dt1l. (x + y)dx + (3x2 -l)dy = O.12. x(y")3 + (y' )4 - Y = O.3- wy -2 (d-Wy +yw = .dx3 dx13. (d14.dy 2 - = 1-xy + y .dx15. y" + 2y' - 8y = x2 + cos x.16. ada + bdb = O.17. Verifique si sen kt es una solucin para la ecuacin del ejercicio ,l.18. Verifique si e-2x es una solucin para la ecuacin del ejercicio 5.19. Verifique si 3e- 2x + 4e' es una solucin para la ecuacin del ejercicio 5.20. La funcin de Bessel de ndice cero est definida por la serie de potencias:00 (_1)" x2nJo(x) = ~ (n!)2221lVerifique si Jo(x) es una solucin para la ecuacin diferencial:xy" + y' + xy = .521. Verifique si para x > O, (2 / -f3)x3/2 es una solucin para la ecuacin delejercicio 6.1 .3 Familias de solucionesTodo estudiante de clculo ha invertido una cantidad considerable de tiempo en encontrarlesoluciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma:dy- = f(x).dxEste problema de antiderivada con frecuencia es escrito:y = f f(x )dx +C(1)(2)y al estudiante se le pide encontrar una sola funcin de x cuya derivada sea idntica af(x)en algn intervalo. Una vez determinada tal funcin, se demuestra que cualquier otrafuncin que satisface la ecuacin diferencial (1) difiere de la primera funcin por una constantepara toda x en el intervalo. Este importante teorema establece el hecho de que las so-http://gratislibrospdf.com/ 22. 6 Captulo 1 Definiciones; familias de curvasluciones de la ecuacin (1) no ocurren aisladas, sino como una fam ilia de soluciones conun parmetro, la llamada constante arbitraria e de la ecuacin (2).Si consideramos la ecuacin diferencial general de primer orden:dydx = f(x, y), (3)el problema de encontrar las soluciones, esto es; funciones qy(x) que sati sfagan la ecuacincuando se sustituya por la variable dependiente y, en general es ms difcil, si no imposible.Sin embargo, como veremos, estas soluciones, cuando existen, aparecen comofamilias de soluciones con un parmetro.En el captulo 2 estudiaremos varios mtodos para encontrar familias de soluciones dealgunos tipos particulares de ecuaciones de primer orden; pero, en general, no existe unafrm ula universal que resuelva todas las ecuaciones. Por el momento nos conformaremoscon ilustrar lo que sucede en algunos ejemplos senci llos.EJEMPLO 1.1La ecuacin diferencial:tiene la fam ilia de soluciones:dy- = 8sen 4xdxy = -2cos4x + e,una senci lla antiderivacin ha producido este resultado.(4)(5)Si deseamos encontrar un miembro de la familia (5) que sati sfaga la condicin adicionaly = 6 cuando x = O, estaremos obligados a elegir e = 8. Entonces decimos que:y = - 2cos4x + 8es la solucin al problema de valor inicial:EJEMPLO 1.2dy- = 8sen 4x ,dxy = 6, cuando x = O. Del clculo, aprendimos que la derivada de la Funcinf(x) = ce2.x esj'(x) = 2ce2.x. Expresadoen el lenguaje de ecuaciones diferenciales, decimos que la ecuacin diferencial:dy- =2ydx(6)http://gratislibrospdf.com/ 23. 1.3 Familias de soluciones 7tiene la familia de soluciones:y = ee2x.Si buscamos una solucin de la ecuacin (6) que satisfaga:dydx = 2y, y = 4, cuando x = 0,entonces, de la ecuacin (7) vemos que e = 4 Y la solucin de (8) es:y = 4e2x.EJEMPLO 1.3Considere la ecuacin de segundo orden:Y 1/ = 12 x2.Al integrar ambos miembros de esta ecuacin con respecto a x se obtiene:y' = 4x3 + el.Una segunda integracin produce:4 Y = x + el x + e2(7)(8)(9)(lO)(11)En este ejemplo hay dos constantes arbitrarias, de modo que tenemos una familia de solucionescon dos parmetros. Esto significa que para aislar a un miembro de esta familianecesitamos proporcionar dos partes de informacin. Por lo comn stas son dadas especificandolos valores de y y y '_para el mismo valor de x. Por ejemplo, suponga que queremosencontrar la solucin de (9) que tambin satisfaga y (O) = 1 Y y'(O) = 2. Sustituyendox = y y' = 2 en (10) vemos que el = 2, de modo que:y = x4 + 2x + e2.Por ltimo, sustituyendo x = 0, y = 1, vemos que e2 = 1, de modo que la solucin requeridaes:EJEMPLO 1.4Considere la familia de curvas con un parmetro:(12)http://gratislibrospdf.com/ 24. 8 Captulo 1 Definiciones; familias de curvasUna diferenciacin de ambos miembros de esta ecuacin con respecto ax produce:2 2 dy 3x - 3x - - 6xy = Odxody x - 2ycuando x =f- O. (13)dx xDe haber iniciado este ejemplo con la ecuacin (13) y tratando de encontrar la familiade curvas dadas por la ecuacin (12), nos habramos enfrentado a un problema mucho msdesafiante que los de los ejemplos anteriores. Aprenderemos cmo resolver la ecuacin(13) en el captulo 2. Aquslo indicaremos que el valor x = O crea cierta dificultad tantopara la ecuacin diferencial (13) como para su familia de soluciones:obtenida de la ecuacin (12).EJEMPLO 1.5Considere la familia de crculos:(x - 2)2 + (y + 1)2 = e2.Una sencilla diferenciacin con respecto a x produce:dy2(x - 2) + 2(y + 1)- = Odxodydx=-(x - 2)y + 1 'cuando y =f- -1 .(14)(15)Aqu estamos obligados a pensar en la familia de crculos como en dos familias de semicrculos,una familia:y = -1 + J e2 - (x - 2)2 (16)y la otra:y = -1 - J e2 - (x - 2)2 . (1 7)En la ecuacin (16) tenemos una familia de soluciones de la ecuacin diferencial paray > -1, mientras que en la ecuacin (17) tenemos una familia de soluciones de (15)para y < - 1. Para resolver el problema de valor inicial:dydx- (x - 2)y + 1 'y = 2, cuando x = - 1, (18)http://gratislibrospdf.com/ 25. 1. dy dy 4 -=x3+2x. 4. -dx dx x2 - 1dy 3 dy 22. - 5. -dx x dx x2 +4 3.dy dy 3 - = 4cos6x. 6. - dx dx x2 +xResuelva los problemas de valor inicial de los ejercicios 7 al 12.1.3 Familias de soluciones 9debemos elegir el parmetro e de la ecuacin (16), ya que 2 > -1. Tenemos 2 =-1 + ~e2 - 9 o e = m.Por lo tanto, la funcin:y = -1 + J18 - (x - 2)2es la solucin que buscamos. Su grfica es la de un semicrculo de radio m. EjerciciosResuelva las ecuaciones diferenciales de los ejercicios 1 al 6.dy7. - = 3ex y = 6, cuando x = O.dx '8. ~~ = 4e-3x, y = 2, cuando x = O.dy9. dx = 4y, Y = 3, cuando x = O.dy10. dx = -5y, Y = 7, cuando x = O.dy11. - = 4 sen 2x, y = 2, cuando x = tt /2.dxdy12. dx = x2 + 3 + e2x, y = -1, cuando x = O.13. Demuestre que la familia de crculos (x + 1)2 + (y - 3)2 = e2 puede ser interpretadacomo dos familias de soluciones para la ecuacin diferencial:dy -(x + 1)dx y - 314. Demuestre que la familia de parbolas y = ax2 puede ser interpretada como dosfamilias de soluciones para la ecuacin diferencial:dy 2ydx xhttp://gratislibrospdf.com/ 26. 10 Captulo 1 Definiciones; familias de curvasdespus encuentre la solucin al problema de valor inicial:dydx2yxy = 2, cuando x = - l.Para qu valores de x es vlida la solucin? Tambin observe que no hay solucin de estaecuacin diferencial que satisfagll la condicin inicial y = 2 cuando x = O.1.4 Interpretacin geomtricaEn la seccin 1.3 vimos que por lo comn una ecuacin de primer orden tiene una familiade soluciones. Una tcnica til para entender la naturaleza de estas soluciones es trazar lasgrficas de las soluciones representativas de esta familia.EJEMPLO 1.6Trace la grfica de varios miembros de la familia de sol uciones para la ecuacin:dy-=8sen4x.dx(1)Recuerde de la seccin 1.3 que la familia de soluciones es:y = -2cos4x + c. (2)Al trazar la grfica de las soluciones correspondientes a e = 2, 1, 0, -1 obtenemos la figura1.1. No es difcil imaginar cmo se ver el resto. yFigura 1.1http://gratislibrospdf.com/ 27. 1.4 Interpretacin geomtrica 11La familia de curvas solucin con un parmetro del ejemplo 1.6 satisface una propiedadimportante, a saber: por cada punto en el plano pasa exclusivamente un miembro de lafamilia de soluciones. Formalizaremos este hecho en la seccin 1.6; por ahora slo afirmamosque esto es verdadero para las soluciones de cualquier ecuacin diferencial de primerorden con las restricciones adecuadas.Si especificamos un punto en el plano, por la propiedad mencionada tendremos exactamenteuna solucin que pase por ese punto. La nica curva que resulta es la curva solucin delproblema con valor inicial. Esta es la versin geomtrica del proceso descrito en la seccin 1.3.Si ampliamos el sentido de estas ideas y las aplicamos en ecuaciones de orden ms alto,encontraremos que slo se puede conservar parte de la interpretacin geomtrica.EJEMPLO 1.7Trace la grfica de varios miembros de la familia de soluciones de la ecuacin:d 2y- = 12x2 (3)dx2Como vimos en la seccin 1.3, la familia de soluciones es:y = x 4 + CX + C2. (4)Al trazar las grficas de las soluciones correspondientes a las parejas de constantes c = 2,c2 = 1; c = 0, c2 = y c l = 0, c2 = 1 obtenemos la figura 1.2.Puede apreciarse claramente que estas soluciones no satisfacen la propiedad de unicidaddel caso de primer orden. Hayal menos dos soluciones que pasan por los puntos (0, 1)Y por un punto cercano ( - 112, O). Sin embargo, observemos que este par de soluciones notiene la misma pendiente en su punto de interseccin. Esto es, al especificar una solucinparticular para una ecuacin de segundo orden, podramos especificar tanto el punto pory----~~~~--~----~----~--- xFigura 1.2http://gratislibrospdf.com/ 28. 12 Captulo J Definiciones; familias de curvasdonde pasa la solucin como la pendiente en dicho punto. En este caso, dada esta informacin,concluimos que hay una solucin nica. Entonces, la versin de segundo orden de la propiedad geomtrica establecida anteriormentese transforma en: por cada punto en el plano pasa exclusivamente un miembro de lafamilia de soluciones que tiene una pendiente dada. Esta propiedad ser analizada con detalleen el captulo 6 . Ejerciciosl . Para los ejercicios 1 al6 de la seccin 1.3, dibujar una muestra representativa de curvassolucin.2. En los ejercicios 7 al 10 de la seccin 1.3, dibujar la grfica de la solucin para el problemade valor inicial.1 .5 Las isoclinas de una ecuacinEn la seccin 1.4 conocimos algunas propiedades geomtricas de las familias de solucionesque habamos encontrado por los mtodos analticos de la seccin 1.3. En esta seccinveremos que podemos usar mtodos geomtricos para encontrar curvas solucin.Considere la ecuacin de orden uno:dydx = f(x, y). (1)Podemos pensar en la ecuacin (1) como una mquina que asigna a cada punto (a, b) en eldominio def, alguna direccin con pendientef(a, b). As, podemos hablar del campo de direccionesde la ecuacin diferencial. En un senlido real, cualquier solucin de la ecuacin(1) debe tener una grfica, la cual presentar en cada punto la direccin que la ecuacin (1)requiere.Una manera de visualizar esta idea bsica es dibujar una pequea marca en varios puntospara indicar la direccin asociada con cada uno de esos puntos. Esto puede hacerse unpoco sistemticamente dibujando primero curvas llamadas isoclinas, esto es, curvas en lasque la direccin indicada por la ecuacin (1) es fija.EJEMPLO 1.8Considere la ecuacin:dy-dx- -y. (2)Las isoclinas son lneas rectasf(x, y) = y = c. Para cada valor de c obtenemos una recta enla que, en cada punto, la direccin impuesta por la ecuacin diferencial es el nmero c. Porejemplo, en cada punto de la recta y = 1, la ecuacin (2) determina una direccin con pendiente1. En la figura 1.3 hemos dibujado varias curvas isoclinas, indicando las direccioneshttp://gratislibrospdf.com/ 29. asociadas con cada isoclina mediante pequeas marcas. Si empezamos en cualquier puntoen el plano y nos movemos a lo largo de una curva cuya direccin sea siempre la de las mar-casde direccin, entonces obtendremos una curva solucin. En la figura 1.3 podemos apre-ciarvarias curvas solucin. EJEMPLO 1.9Use el mtodo de isoclinas para bosquejar algunas de las curvas solucin para la ecuacin:(3)Aqu las isoclinas sern los crculos x2 + l = e, con e> O. Cuando e = 1, la isoclina EjerciciosPara cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes, dibuje varias isoclinas con los indicadores de di-reccintiene radio 1; para e = 4 el radio es 2. En la figura 1.4 hemos dibujado estas isoclinas, mar-candocada una con el indicador de direccin apropiado y, por ltimo, bosquejando variascurvas que representan soluciones para la ecuacin (3).apropiados y bosqueje varias curvas solucin.l. dy~~~----~~----~~~----~~---------x-----" ..~..-.+..- ..-.-.~. .......>'r_---~~~e -= -112~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~c=-IFigura 1.3dy = x2 + ldx3.1.5 Las isoclinas de una ecuacin 13dy 2yy-=2x. -dx dx x2.dy Y 4.dy- - = y-x.dx x dxhttp://gratislibrospdf.com/ 30. 14 Captulo J Definiciones; familias de curvasy----~----~~~--r-~~~----_+----xFigura 1.45.dy--=x+y+l. dy 2 8.-- =y-xdx dx6.dy dy x--=x-y-l. 9. --dx dx ydy dy -x7. -- = 2x - y. 10. --dx dx yI 1.61 Un teorema de existenciaDebe ser claro, an para el lector casual, que dibujar isoclinas no es una herramienta prc-ticapara encontrar soluciones a cualquier ecuacin diferencial distinta de aquellas que in-volucrenlas funciones ms simples. Antes de estudiar algunas de las tcnicas analticaspara determinar soluciones, estableceremos un teorema importante en lo que concierne ala existencia y unicidad de tales soluciones. En el captulo 13 estudiaremos con detalledicho teorema.Considere la ecuacin de orden uno:dydx = f(x, y). (1)Sea T la regin rectangular definida por:Ix -xol::: a y Iy - yol ::: b,una regin con el punto (xo' Yo) en su centro. Suponga quef y af/ay son funciones conti-nuasde x y y en T.http://gratislibrospdf.com/ 31. 1.7 Suplemento para computadora 15Bajo las condiciones impuestas sobref(x, y) anteriormente, existe un intervalo alrededorde xo' Ix - xol ::; h, Y una funcin y(x) que tiene las propiedades:(a) y = y (x) es una solucin de la ecuacin (1) en el intervalo Ix - xo l ::; h.(b) En el intervalo Ix - xo l DEplotl ( diff(y(x) ,x)=xA 2+yA 2 , y(x), x=-2 . . 2, y=-2 .. 2 );producir la figura 1.5.Para trazar las curvas solucin agregamos selectivamente varios puntos a partir de loscuales podamos eTi ;pezar. El comando:> DEplotl (diff(y(x) ,x)=xA 2+yA 2 ,y(x) , x=-2 .. 2 , {[O,2],[O,O],[O,1]L y=-2 .. 2 );produce la figura 1.6.http://gratislibrospdf.com/ 33. 1.7 Suplemento para computadora 17I I I II I I II I I II I / II I / II / / I/ / / // / ,/ // / // / /- ,/ / / / ~,/ ,/ /- / /,/ ,/ ---- --- ,/ ,/ / / / // ,/ ,/ ,/ ,/ / / I / // / / / / / I / / II I / / I I / / I I/ / / / / / / / I II / / / / I I I I II I I I I I I I I II I I I I I I I I IFigura 1.6 Ejercicios1. En los ejercicios 1 a 10 de la seccin 1.5, utilice el programa de computacin de su pre-ferenciapara trazar los campos de pendientes y las curvas solucin representativas.2. Considere el problema de dibujar isoclinas para la ecuacin dyldx = y sen(y + x).ste es un problema muy difcil. Luego utilice la computadora para dibujar el campode pendientes y las curvas solucin representativas.3. Qu puede decir acerca de las curvas dibujadas en el ejercicio 2 cuando x ~ 00 ycuando x ~ -oo? Sus respuestas dependen de las condiciones iniciales?http://gratislibrospdf.com/ 34. Ecuacionesde orden uno 2 11182.1 Separacin de variablesEn este captulo estudiaremos varios mtodos elementales para resolver ecuaciones diferencialesde primer orden. Empecemos con una ecuacin de la forma:Mdx+ Ndy = 0,donde M Y N pueden ser funciones de x y y. Algunas ecuaciones de este tipo son tan sencillasque pueden ser puestas en la forma:A(x) dx + B(y) dy = O; (1)esto es, las variables pueden separarse. En este caso, una solucin puede ser escrita casi deinmediato. Para ello slo tenemos que encontrar una funcin F cuya diferencial total sea elmiembro izquierdo de (1). Por lo tanto, F = e, donde e es una constante arbitraria, es el resultadodeseado.EJEMPLO 2.1Resuelva la ecuacindydx2yxpara x > O Y Y > O. (2)Advertimos que para la funcin de la ecuacin (2) es aplicable el teorema de la seccin1.6, lo que asegura la existencia de una solucin continua nica que pasa por cada punto enel primer cuadrante. Separando las variables podemos escribir:dy 2dxy xDe aqu obtenemos una familia de soluciones:Inlyl=2Inlxl+c (3)o, ya que estamos en el primer cuadrante,(4)http://gratislibrospdf.com/ 35. 2.1 Separacin de variables 19Ahora, si ponemos el = , podemos escribir:y=ex2, cO.EJEMPLO 2.2Resuelva la ecuacin (2) del ejemplo 2.1 para x 4= O.(5) Aqu el argumento debe ser hecho en dos partes. Primero, si y 4= 0, podemos procedercomo antes en la ecuacin (3). Sin embargo, la ecuacin (5) debe ser escrita como:Iyl = c)x2, e) > O. (6)Segundo, si y = 0, de inmediato vemos que como x 4= 0, Y = es una solucin vlidapara la ecuacin diferencial (2).Por convencin, las soluciones encontradas mediante la ecuacin (6) se escriben generalmentecomo:2 Y = e2X , (7)donde e2 es un nmero real arbitrario. Esta forma de expresar las soluciones incluye elcaso especial y = O. Varias curvas solucin representativas son mostradas en la figura 2.3.Sin embargo, debemos ser cautelosos. La funcin definida por:g(x)=x2, x>Ox:::: 0,y representada con una lnea ms oscura en la figura 2.1, obtenida al juntar dos arcos parablicosdiferentes, tambin podra ser considerada solucin de la ecuacin diferencial, aun-y--------------~~~~~-------------- xFigura 2.1http://gratislibrospdf.com/ 36. 20 Captulo 2 Ecuaciones de orden unoque dicha funcin no est incluida en la familia de la ecuacin (7). El enunciado de unicidaden el teorema de la seccin 1.6 nos indica que, en tanto restrinjamos nuestra atencina un punto (xo' Y~ con Xo =1= O, Y considerando un rectngulo con centro en (xo' Yo) que nocontenga puntos en los que x = O, entonces en ese rectngulo existe una solucin nica quepasa por (xo' Yo) y es continua dentro del rectngulo.EJEMPLO 2.3Resuelva la ecuacin:con la "condicin inicial" de que cuando x = O, Y = -1.Si escribimos esta ecuacin en la forma:dy -(1 + y2)dx 1 + x2 '(8)observamos que el miembro derecho y su derivada parcial con respecto a y son continuascerca de (O, -1). Deducimos entonces que existe una solucin nica para la ecuacin (8)que pasa por el punto (O, -1).De la ecuacin diferencial obtenemos:~+~-O 1 + x2 1 + y2 - ,de la cual se concluye inmediatamente que:arctan x + arctan y = c. (9)En el conjunto de soluciones (9), cada "arctan" representa el valor principal de la inversade la tangente y est sujeta a la restriccin:1 1 -27l" < arctan x < 27l" La condicin inicial de que y = -} cuando x = O nos permite determinar el valor de e quedebe ser usado para obtener la solucin particular deseada. Ya que arctan O = O Yarctan( -1) = - t 7T, la solucin al problema de valor inicial es:arctan x + arctan y = - i 7l". (10)Ahora suponga que deseamos bosquejar la grfica de (10). Mediante un recurso de trigonometra,tomamos la tangente de cada lado de (10). Como:ytan(arctan x) = xtanA+tanBtan (A + B) = -----1 - tan A tan Bhttp://gratislibrospdf.com/ 37. obtenemos la ecuacin:ox + y--- = - 1,1 - xy2.1 Separacin de variables 21xy - x - y - 1 = O. (11)Ahora (11) es la ecuacin de una hiprbola equiltera con asntotas x = 1 Y Y = l. Pero siregresamos a (10), vemos de:arctan x = - ~ 7r - arctan yque, como ( - arctan y) < ! 7T,arctan x < ~7r.Concluimos que x < 1, Y que la ecuacin (10) slo representa una rama de la hiprbola (11).En la figura 2.2, la curva trazada con una lnea continua es la grfica de la ecuacin (10); dichacurva junto con la trazada en lnea discontinua forman la grfica de la ecuacin (l1).Cada rama de la hiprbola (11) representa una solucin de la ecuacin diferencial; una ramapara x < 1 Y la otra para x > 1. En este ejemplo nos vimos forzados a circunscribirnosa la rama izquierda, ecuacin (10), por la condicin inicial de que y = - 1 cuando x = O.Puede advertirse una distincin entre las ecuaciones (10) y (11) observando que unacomputadora, dada la ecuacin diferencial (8) y buscando una solucin que pase por elpunto (O, -1), estara condicionada a prolongar la rama izquierda de la curva en la figura2.2. La barrera (asntota) en x = 1 impedira a la computadora detectar la existencia de laotra rama de la hiprbola (11).yI ... __I_ _ _ L __ _ _______ _Io-----~~-+_-~------xFigura 2.2http://gratislibrospdf.com/ 38. 22 Captulo 2 Ecuaciones de orden unoEJEMPLO 2.4Resuelva el problema de valor inicial:2x(y + l)dx - ydy = 0,donde x = y y = - 2.Al separar las variables en la ecuacin (12), obtenemos:2xdx = (1 -_1_) dy, y:j:.-l.y+1Una vez integrado conseguimos una familia de soluciones dada implcitamente por:x2 = y - In Iy + 11 + c.(12)(13)Ya que buscamos un rruembro de esta farrulia que pase por el punto (0, - 2), debemos tener: = -2 - In I - 11 + c,oc = 2.As, la solucin al problema est dada implcitamente por:x2 = y -In Iy + 11 + 2.Debe usted observar cmo se aplica el teorema de la seccin 1.6 a este problema para indicarque hemos encontrado implcitamente la solucin nica al problema de valor inicial,solucin que es continua para y < -l. Podemos apreciar una muestra representativa de curvassolucin en la figura 2.3, donde la solucin particular fue trazada con una lnea msoscura. Observe que algunas de estas curvas no son grficas de funciones y deben dividirseen arcos separados en el punto donde crucen a la recta y = 0, como se hizo en el ejemplo 2.2.y----~~_+------+-----_+--~----- xFigura 2.3 http://gratislibrospdf.com/ 39. 2.1 Separacin de variables 23 EjerciciosEn los ejercicios 1 al6 obtenga la solucin particular que satisfaga la condicin inicial dada. En cada ejerciciointerprete su respuesta a la luz del teorema de existencia de la seccin 1.6 y dibuje una grfica de lasolucin. --1. dr/dt = -4rt; cuando t = O, r = ro .2. 2xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3.3. xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3.4. 2ydx = 3xdy; cuando x = 2, Y = 1.5. 2y dx = 3x dy; cuando x = - 2, Y = l.6. 2ydx = 3x dy; cuando x = 2, Y = -1.En los ejercicios 7 al 10 obtenga la solucin particular que satisfaga la condicin inicial dada.7. y' = X exp (y - X2); cuandox = O, Y = O.8. xy2 dx + eX dy = O; .cuando x --+ 00, y --+ 4.9. (2a2 - r2) dr = r3 sene de; cuando e = O, r = a.10. v(dv/dx) = g; cuando x = xo, v = VoEn los ejercicios 11 al 37 obtenga la solucin general.11. (1 - X)y' = y2. 24. (1 - y)y' = x2.12. sen x seny dx+cos x cos y dy = O. 25. x2yy' = eY.13. xy3 dx + ex2 dy = O. 26. tan2 ydy = sen3 x dx.14. 2ydx = 3xdy. 27. y' = cos2 X cos y.15. mydx = nxdy. 28. y' = Y secx.16. y' = xy2. 29. dx = t(1 + t2) sec2 x dt.17. dV/dP = -V/P. 30. (e2x + 4)y' = y.18. ye2xdx = (4 + e2x) dy. 3l. a df3+f3 da+af3(3 da+d(3) = O.19. dr = b(cose dr + rsene de). 32. O+lnx)dx+(1+1ny)dy =0.20. xy dx - (x + 2) dy = O. 33. x dx - J a2 - x2 dy = O.2l. x 2dx + y(x -l)dy = O. 34. xdx + Ja2 - x 2dy = O.22. X cos2 y dx + tan y dy = O. 35. a2 dx = xJx2 - a2 dy .23. xy3 dx + (y + l)e-Xdy = O. 36. ylnxlnydx + dy = O.37. (xy +x)dx = (x2y2 +x2 + y2 + l)dy.http://gratislibrospdf.com/ 40. 24 Captulo 2 Ecuaciones de orden uno2.2 Funciones homogneasLos polinomios en los que todos los trminos son del mismo grado, como:x 2 -3xy +4l,x3 + i,x 4y + 7i,(1)son llamados homogneos. Ahora deseamos ampliar el concepto de homogeneidad y aplicarloa otras funciones ms que a polinomios.Si asignamos una dimensin fsica, digamos una longitud, a cada variable x y y en lospolinomios dados en (1), entonces cada polinomio tendr tambin una dimensin fs ica,una longitud a :!lguna potencia. Esto sugiere la generalizacin deseada. Si, cuando ciertasvariables son conceptualizadas como longitudes, una funcin tiene la dimensin fsica longitudelevada a la k-sima potencia, entonces decimos que la funcin es homognea de gradok en esas variables. Por ejemplo, la funcin:(Y) X4 f(x, y)=2i exp - ---x x + 3y(2)es de dimensin (longitud)3 cuando x y Y son longitudes. Por lo tanto, se dice que esafuncin es homognea de grado 3 en x y y.Permitimos que el grado k sea cualquier nmero. La funcin -V x +4 Y es llamada homogneade grado t en x y y. La funcin:xes homognea de grado cero en x y y.Una definicin formal de homogeneidad es: lafuncinf(x, y) es homognea de grado ken x y Y si, y slo si,f(h , Ay) = Ak f(x , y ). (3)Puede extenderse fcilmente el sentido de esta definicin y aplicarse a funciones de ms dedos variables.Para la funcinf(x, y) de la ecuacin (2), la definicin formal de homogeneidad nos llevaa considerar:Pero vemos de inmediato que:fCh , Ay) = A3 f(x, y);en consecuencia f(x, y) es homognea de grado 3 en x y y, como se estableci antes.Los teoremas siguientes demostrarn su utilidad en la prxima seccin.http://gratislibrospdf.com/ 41. 2.3 Ecuaciones con coeficientes homogneos 25Teorema 2.1 Si M(x, y) y Nix, y) son homogneas ydel mismo grado, lafuncinM(x, y)lN(x, y) es homo-gneade grado cero.La demostracin del teorema 2.1 se deja al estudiante.Teorema 2.2 Sif( x, y) es homognea de grado cero en x y y, entonces f( X, y) es solamente unafuncin de x/y.Demostracin. Supongamos que y = vx. El teorema 2.2 establece que sif(x, y) es ho-mogneade grado cero, entonces f(x, y) ser slo una funcin de v. Ahora.:f(x, y) = f(x, vx) = xo fO, v) = f(1, v), (4)en la que la x est desempeando el papel tomado por A. en la definicin (3). Por (4),f(x, y) slo depende de v, como se establece en el teorema 2.2. EjerciciosDetermine en cada ejercicio si la funcin es o no homognea. Si es homognea establezca el grado de lafuncin.l. 4x2 - 3xy + y2. 1l. x2 + 3xy2. x3_xy+y3.x -2yx53. 2y+Jx2+y2. 12.x2 + 2y24. rx=y. 13. (u2 + v2)3/2.5. eX. 14. (u2 _ 4v2)-1/2.X 6. tanx. 15. ltan-exp(~).y7. (x2+y2)1/216. (x2 _ y2) 1/2 .3y8. tan-o 17.a +4bx ---(x2 + y2) exp (2;) +4xy.a -4b9. 18.xIn-.yx y 20. x Inx - x Iny.y x 19. x Inx - y In y. 10. x sen - - y sen -.12.3 1 Ecuaciones con coeficientes homogneosSuponga que los coeficientes M y N en la ecuacin de orden uno,M(x, y) dx + N(x, y) dy = O, (1)http://gratislibrospdf.com/ 42. 26 Captulo 2 Ecuaciones de orden unoson ambas funciones homogneas y del mismo grado en x y y. Por los teoremas 2.1 y 2.2de la seccin 2.2, el cociente M/N slo es una funcin de y Ix. De aqu que la ecuacin (1)pueda expresarse en la forma:dy + g ( ~) = O.dx x(2)Esto sugiere la introduccin de una nueva variable v haciendo y = vx. Entonces (2) setransforma en:dvx - + v + g(v) = 0,dx(3)donde las variables son separables. Podemos obtener la solucin de (3) por el mtodo de laseccin 2.1, introduciendo y Ix por v, y llegar as a la solucin de (l). De esta manera demostramosque la sustitucin y = vx transformar la ecuacin (1) en una ecuacin en v y xdonde las variables son separables.El mtodo anterior habra sido igualmente til si se usara x = vy para obtener, a partir de(1), una ecuacin en y y v. Vase el ejemplo 2.6. .EJEMPLO 2.5Resuelva la ecuacin:(x2- xy + l) dx - xy dy = O. (4)Ya que los coeficientes en (4) son homogneos y de grado dos en x y y, hacemos y = vx.Entonces (4) se transforma en:(x2- x 2v + x 2v2) dx - x 2v(v dx + x dv) = 0,de la cual el factor x? ser eliminado de inmediato. Hecho eso, tenemos que resolver:(1- v + v2)dx - v(vdx + xdv) = 0,o(l-v)dx-xvdv=O.Por lo que separamos las variables para obtener:Entonces de:dx + vdv = O.x v-I-dx + [ 1+-1 -] dv=Ox v - 1http://gratislibrospdf.com/ 43. 2.3 Ecuaciones con coeficientes homogneos 27una familia de soluciones ser:In Ixl + v + In Iv - 11 = In lel,ox(v - 1)ev = e.En trminos de las variables originales, estas soluciones estn dadas por:oEJEMPLO 2.6Resuelva la ecuacinx (~ - 1) exp (~) = e,(y - x) exp (~) = c.xydx + (x2 + l)dy = O.(5)donde los coeficientes son de nuevo homogneos y de grado dos. Podramos usar y = vx,pero la simplicidad relativa del trmino dx en (5) sugiere que hagamos x = vy. Entoncesdx = v dy + y dv, y la ecuacin (5) es remplazada por:vl(v dy + Y dv) + (v2l + y2) dy = 0,0v(v dy + Y dv) + (v2 + 1) dy = O.De aqu que necesitemos resolver:vy dv + (2v2 + 1) dy = 0, (6)lo cual nos conduce de inmediato a:In (2v2 + 1) +4lnlyl = lne,oy2v2 + 1) = c.As, las soluciones deseadas estn dadas por:http://gratislibrospdf.com/ 44. '-28 Captulo 2 Ecuaciones de orden unoesto es,(7)Ya que el miembro izquierdo de la ecuacin (7) no puede ser negativo, podemos, por simetra,cambiar la constante arbitraria a e 14, escribiendo:Es til, principalmente para el estudiante, resolver la ecuacin (5) usando y = vx. Esemtodo conduce directamente a la ecuacin:(v3 + 2v) dx + x(v2 + 1) dv = O.En las ecuaciones con coeficientes homogneos, a menudo es por completo irrelevantesi se utiliza y = vx o x = vy. Sin embargo, algunas veces es ms fcil sustituir la variablecuya diferencial tenga el coeficiente ms sencillo. EjerciciosEn los ejercicios 1 al 21 obtenga una familia de soluciones.1. 3(3x2 + y2) dx - 2xy dy = O.2. (x - 2y)dx + (2x + y)dy = O.3. 2(2x2 + y2) dx - xy dy = O.4. xy dx - (x2 + 3y2) dy = O.5. x2y' = 4x2 + 7xy + 2y2.6. 3xy dx + (x2 + y2) dy = O.7. (x - y)(4x + y)dx +x(5x - y)dy = O.8. (5v - u)du + (3v -7u)dv = O.9. (x2 + 2xy - 4y2) dx - (x2 - 8xy - 4l) dy = o.10. x(x2 + y2)2(y dx - x dy) + y6 dy = O.lI. (x2 + y2) dx + xy dy = O.12. xydx - (x + 2y)2dy = O.13. v2dx +x(x + v)dv = O.14. [x csc (ylx) - y]dx +xdy = O.15. x dx + sen2 (ylx)[y dx - x dy] = O.16. (x - ylny + ylnx)dx +x(1ny -ln x)dy = O.l7. [x - y arctan (y Ix)) dx + x arctan (y Ix) dy = O.18. y2dy = x(xdy - ydx)ex / y 19. t(s2 + t2) ds - s(s2 - t2) dt = O.http://gratislibrospdf.com/ 45. 2.4 Ecuaciones exactas 2920. ydx=(x+Jy2-x2)dy.21. (3x2 - 2xy + 3y2) dx = 4xy dy.22. Demuestre que con ayuda de la sustitucin y = vx, puede resolverse cualquier ecuacinde la formay" f(x) dx + H(x, y)(y dx - x dy) = O,donde H (x, y) es homognea en x y y.En los ejercicios 23 al 35 encuentre la solucin particular indicada.23. (x - y)dx + (3x + y)dy = O; cuando x = 3, Y = -2.24. (y - Jx2 + y2)dx - xdy = O; cuando x = O, y = l.25. (y + Jx2 + y2) dx - x dy = O; cuando x = .)3, y = l.26. [x cos2 (y/x) - y] dx + x dy = O; cuando x = 1, y = 71: / 4.27. (y2 + 7xy + 16x2) dx + x2 dy = O; cuando x = 1, y = 1.28. y2 dx + (x2 + 3xy + 4y2) dy = O; cuando x = 2, y = l.29. xy dx + 2(x2 + 2y2) dy = O; cuando x = O, Y = l.30. y(2x2 - xy + y2) dx - x2(2x - y) dy = O; cuando x = 1, y = ~.3l. y(9x - 2y)dx - x(6x - y)dy = O; cuando x = 1, y = 1.32. y(x2 + y2) dx + x(3x2 - 5y2) dy = O; cuando x = 2, y = l.33. (16x + 5y) dx + (3x + y)dy = O; la curva pasa por el punto (1, -3).34. v(3x + 2v) dx - x2dv = O; cuando x = 1, v = 2.35. (3x2 - 2y2) Y I = 2xy; cuando x = O, y = -1 .36. De los teoremas 2.1 y 2.2 de la seccin 2.2, se deduce que si F es homognea de gradok en x y y, F puede ser escrita en la forma:(A)Utilice la ecuacin (A) para demostrar el teorema de Euler: si F es una funcinhomognea de grado k en x y y, entonces:aF aFx-+y-=kF. ax ay2.4 Ecuaciones exactasEn la seccin 2.1 se hizo notar que cuando una ecuacin puede ser puesta en la forma:A(x) dx + B(y) dy = O,http://gratislibrospdf.com/ 46. 30 Captulo 2 Ecuaciones de orden unosiempre ser posible determinarle un conjunto de soluciones por medio de integracin, estoes, encontrando una funcin cuya diferencial sea A (x) dx + B (y) dy.Esa idea puede ampliarse y ser aplicada en algunas ecuaciones de la forma:M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1)en las que la separacin de variables no es posible. Suponga que se puede encontrar unafuncin F(x, y) en la que su diferencial tenga la expresin M dx + N dy; esto es,dF = M dx + N dy. (2)Entonces, naturalmente,F(x, y) = c (3)defina de manera implcita un conjunto de soluciones para la ecuacin (1). De (3) sededuce que:dF=O,o, en vista de (2),Mdx+ Ndy = 0,como se deseaba.En este punto son necesarias dos cosas: (1) encontrar bajo qu condiciones impuestas aM y N tiene lugar una funcin F tal que su diferencial total sea exactamente M dx + N dy;Y (2), si dichas condiciones son satisfechas, determinar realmente la funcin F. Si existeuna funcin F tal que:Mdx +Ndysea precisamente la diferencial total de F, decimos que la ecuacin (1) es una ecuacin exacta.Si la ecuacin:Mdx+Ndy=Oes exacta, entonces, por definicin, existir una F donde:dF= Mdx + Ndy.Pero, por razones de clculo, se tiene:de modo que:aF aFdF = -axd x + -ady y,aFM=ax'aFN=a-y .(1)http://gratislibrospdf.com/ 47. 2.4 Ecuaciones exactas 31Estas dos ecuaciones nos conducen a:aMayY, de nuevo por clculo, tenemos:aNy =ax axaya2F a2Fayax - axay'a condicin de que estas derivadas parciales sean continuas. Por lo tanto, si (1) es una ecuacinexacta, entonces:aMayaNaxAs, para que (1) sea exacta es necesario que (4) sea satisfecha.(4)Ahora mostraremos que si la condicin (4) se satisface, entonces (1) es una ecuacinexacta. Sea cP(x, y) una funcin para la cual:acP = M.axLa funcin cP es el resultado de integrar M dx con respecto a x mientras y se mantiene constante.Luego,a2cP aMayax ay ,en consecuencia, si (4) se satisface, tambin:a2cP aN= (5)axay axIntegramos ambos miembros de la ecuacin (5) con respecto a x, manteniendo fija a y. Enla integracin con respecto a x, la "constante arbitraria" puede ser cualquier funcin de y.Le llamamos B 'ey), por comodidad al indicar su integral. Entonces la integracin de (5)con respecto a x produce:acP = N + B'(y).ayAhora puede ser representada una funcin F, a saber,para la cual:F = cP(x, y) - B(y),dF = acP dx + acP dy - B'(y) dyax ay= M dx + [N + B'(y)] dy - B'(y) dy=Mdx+Ndy.(6)http://gratislibrospdf.com/ 48. 32 Captulo 2 Ecuaciones de orden unoDe aqu concluimos que la ecuacin (1) es exacta. As terminamos una demostracin delteorema establecido a continuacin.Teorema 2.3 Si M, N, aM / ay y aN / ax son funciones continuas de x y y, entonces una condicin necesariay suficiente para que:Mdx +Ndy = O (1)sea una ecuacin exacta es que:ay ax(4)Adems, la demostracin contiene el principio del mtodo que utilizaremos para obtenerun conjunto de soluciones en los ejemplos 2.7 y 2.8.EJEMPLO 2.7Resuelva la ecuacin:Primero, como:3x(xy - 2) dx + (x3 + 2y) dy = O.yconcluimos que la ecuacin (7) es exacta. Por lo tanto, su solucin es F = c, donde:y,aF 2- = M = 3x y - 6xaxaF 3ay=N=x +2y.(7)(8)(9)Tratemos de determinar F a partir de la ecuacin (8). Al integrar ambos miembros de (8)con respecto a x, manteniendo constante a y, se obtiene:(10)donde la constante arbitraria usual en la integracin indefinida ahora es necesariamenteuna funcin T (y), hasta ahora desconocida. Para determinar T (y), usamos el hecho de quela funcin F de la ecuacin (10) debe satisfacer la ecuacin (9). De aqu que:x 3 + T'(y) = x 3 + 2y,T'(y) = 2y.http://gratislibrospdf.com/ 49. 2.4 Ecuaciones exactas 33No se necesita una constante arbitraria en la obtencin de T (y), puesto que ser introducidauna en el lado derecho en la solucin F = c. Entonces:y de (10)Por ltimo, un conjunto de soluciones para la ecuacin (7) est definido por:x3y - 3X2 + y2 = c.EJEMPLO 2.8Resuelva la ecuacin:Aqu,(2x 3- xl- 2y + 3) dx - (x2y + 2x) dy = O.aM aN - = -2xy-2 = - ay ax'de modo que la ecuacin (11) es exacta.yUn conjunto de soluciones para (11) es F = c, donde:aF 3 2 - = 2x - xy - 2y + 3 axaF 2 - = -x y-2x. ay(11)(12)(13)Ya que (13) es ms sencilla que (12), y para variar un poco, iniciamos la determinacinde F a partir de la ecuacin (13). Veamos,F = -4x2l- 2xy + Q(x),donde Q (x) ser d@terminadade(12). De la ltima se obtiene:Por lo tanto,-xl- 2y + Q'(x) = 2x 3 - xl - 2y + 3,Q'(x) = 2x 3 + 3.http://gratislibrospdf.com/ 50. 34 Captulo 2 Ecuaciones de orden unoy el conjunto de soluciones deseado para (11) est definido de manera implcita por:o EjerciciosAnalice cada una de las ecuaciones siguientes para saber si son exactas y resulvalas. Las que no lo seanpodrn resolverse con los mtodos estudiados en las secciones anteriores.1.2.3.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.(x + y) dx + (x - y) dy = O.(6x+y2) dx+y(2x-3y) dy = O.(2xy-3x 2) dx+(x2+y) dy = O.4. (2xy + y) dx + (x2 - x) dy = O.5. (x-2y)dx+2(y-x)dy=0.6. (2x-3y)dx+(2y-3x)dy = o.Resuelva el ejercicio 5 con otro mtodo.Resuelva el ejercicio 6 con otro mtodo.(y2 _ 2xy + 6x) dx - (x2 - 2xy + 2) dy = O.v(2uv2 - 3) du + (3u 2v2 - 3u + 4v) dv = O.(cos 2y - 3x2y2) dx + (cos 2y - 2x sen 2y - 2x3y) dy = O.(1 + y2) dx + (x 2y + y) dy = O.(1 + l + xy2) dx + (x 2y + y + 2xy) dy = O.(w3 + wz2- z) dw + (Z3 + w2z - w) dz = O.(2xy - tan y) dx + (x2 - x sec2 y) dy = O.(cosx cos y - cotx)dx - sen x senydy = O.(r + sen e - cos e) dr + r(sen e + cos e) de = O.x(3xy - 4 y3 + 6) dx + (x 3 - 6x2y2 - 1) dy = O.(sen e - 2r cos2 e) dr + r cos e(2r sen e + 1) de = o.[2x + y cos (xy)] dx + x cos (xy) dy = O.2xydx + (y2 +x2)dy = O.2xy dx + (l - x2) dy = O.(xy2 + y - x) dx + x(xy + 1) dy = O.3y(x2 - 1) dx + (x3 + 8y - 3x) dy = O; cuando x = O, Y = 1.(1 - xy)-2 dx + [y2 + x2(1 - xy)-2] dy = O; cuando x = 2, Y = 1.(3 + Y + 2l sen2 x)dx + (x + 2xy - y sen 2x) dy = O.2x[3x + y - y exp (_x2)] dx + [x2 + 3y2 + exp (_x2)] dy = O.(xy2 +x - 2y + 3)dx +x2ydy = 2(x + y)dy; cuando x = 1, Y = 1.http://gratislibrospdf.com/ 51. 2.5 La ecuacin lineal de orden uno 35I 2.5 I La ecuacin lineal de orden unoEn la seccin 2.4 estudiamos las ecuaciones diferenc!ales de primer orden que eran exactas.Si una ecuacin no es exacta, es natural que se intente hacerla exacta introduciendo unfactor adecuado, el cual es llamado factor de integracin. En la seccin 2.1 multiplicamospor un factor de integracin para separar las variables y con eso obtuvimos una ecuacinexacta.En general, es muy poco lo que se puede decir acerca de la teora de factores de integracinpara ecuaciones de primer orden. En el captulo 5 probaremos algunos teoremas quenos ayudarn en ciertas situaciones aisladas. Sin embargo, hay una clase importante deecuaciones en las que la existencia de un factor de integracin s puede ser demostrada. Estaclase es la de las ecuaciones lineales de orden uno.Una ecuacin que es lineal y de orden uno en la variable dependiente y por definicin(seccin 1.2) debe ser de la forma:dyA(x) dx + B(x)y = C(x).Al dividir cada miembro de la ecuacin (1) entreA(x), obtenemos:dy - + P(x)y = Q(x),dxa la que elegimos como la forma cannica para la ecuacin lineal de orden uno.(1)(2)Por el momento suponga que para la ecuacin (2) existe un factor de integracin positivov (x) > 0, una funcin que es solamente de x. Entonces,v(x) [~~ + P(X)Y] = v(x) Q(x) (3)debe ser una ecuacin exacta. Pero (3) se puede anotar fcilmente en la forma:Mdx+Ndy = con,M = vPy - vQyN= v,en las que v, P y Q son funciones exclusivas de x.Por lo tanto, si la ecuacin (3) es exacta, el requisito:aM aNay axhttp://gratislibrospdf.com/ 52. 36 Captulo 2 Ecuaciones de orden unoimplica que v debe satisfacer la ecuacin:dvvP=-.dxDe la ecuacin (4), v puede ser obtenida fcilmente, ya que:de modo que,odvPdx =-,vInv=fPdx,v = exp (f P dx ) .(4)(5)Esto es, si la ecuacin (2) tiene un factor de integracin independiente de y, entonces esefactor debe estar dado por la ecuacin (5).Nos falta demostrar que la v dada por la ecuacin (5) es en realidad un factor de integracinde:dydx + P(x)y = Q(x). (2)Multiplicamos (2) por el factor de integracin, obteniendo:exp (f P dx ) ~~ + P exp (f P dX) y = Q exp (f P dX) . (6)El miembro izquierdo de (6) es la derivada del producto:el miembro derecho de (6) es una funcin exclusiva dex. De aqu que (6) sea exacta, lo cualqueramos demostrar. Por supuesto, es suficiente un solo factor de integracin. En consecuencia,podemos utilizar en el exponente (f P d x) cualquier funcin cuya deri vada sea P.Debido a la gran importancia de las ideas que acabamos de analizar, y como es frecuentela presencia de ecuaciones lineales de primer orden, a continuacin resumimos los pasosinvolucrados en la solucin de tales ecuaciones:a) Escribir la ecuacin en forma cannica:dydx + Py = Q.http://gratislibrospdf.com/ 53. 2.5 La ecuacin lineal de orden uno 37b) Obtener el factor de integracin exp (f P d x).c) Multiplicar ambos miembros de la ecuacin (escrita en forma cannica) por el factorde integracin.d) Resolver la ecuacin exacta resultante.Observe que en la integracin de la ecuacin exacta la integral del lado izquierdo siemprees el producto de la variable dependiente multiplicada por elfactor de integracin utilizado.EJEMPLO 2.9Resuelva la ecuacin:2(y - 4x2) dx + x dy = O.La ecuacin es lineal en y. Al escribirla en forma cannica se transforma en:dy 2 - + - y = 8xdx xcuando x =f. O.Entonces un factor integrante es:exp (1 2 :x) = exp (21n Ix 1) = exp (In x2) = x 2.Ahora se aplica el factor de integracin a (7), as se obtiene la ecuacin exacta:x2 dy + 2xy = 8x3dx 'que de inmediato se puede escribir como:Al integrar (9) encontramos que:(7)(8)(9)(lO)Esto puede ser verificado. De (10) obtenemos (8) por diferenciacin. Luego la ecuacindiferencial original se deduce de (8) por un ajuste sencillo. De aqu concluimos que (10)define un conjunto de soluciones para la ecuacin original.EJEMPLO 2.10Resuelva la ecuacin:y dx + (3x - xy + 2) dy = O.http://gratislibrospdf.com/ 54. 38 Captulo 2 Ecuaciones de orden unoYa que el producto y dy aparece aqu, deducimos que la ecuacin no es lineal en y. Peros es lineal en x. Por lo tanto, reacomodando los trminos como en:ydx + (3 - y)xdy = - 2dyy pasando a la forma cannica,~: + (~ - 1) x = ~2 para y # O.Ahora, f (~ -1) dy = 31n Iyl - y + Cl,de modo que un factor de integracin para la ecuacin (1) es:exp (3 In Iyl - y) = exp (3 In Iyl)e- Y= exp (In IY I3)e-Y= IYI3 e- y (11)Se deduce que cuando y> O, y3 e- Y es un factor de integracin para la ecuacin (11), Y cuandoy < O, _y3e-Y sirve como factor de integracin. Cualquiera de estos casos nos conducea la ecuacin exacta:de la cual obtenemos:xie- Y = -2 f le- Y dy= 2le- Y + 4ye-Y + 4e-Y + c.As que una familia de soluciones queda definida de manera implcita por:xi =2l+4y+4+ceY2.6 La solucin general de una ecuacin linealEn la seccin 1.6 establecimos un teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferencialesde primer orden. Si sucede que la ecuacin diferencial en ese teorema sea unaecuacin lineal, podemos demostrar un teorema un poco ms difcil.Considere la ecuacin diferencial lineal:dy - + P(x)y = Q(x).dx(1)http://gratislibrospdf.com/ 55. 2.6 La solucin general de una ecuacin lineal 39Suponga que P y Q son funciones continuas en el intervalo a < x < b, Y que x = Xo es cualquiernmero en ese intervalo. Si Yo es un nmero real arbitrario, existe una solucin nicay = y (x) de la ecuacin diferencial (1) que tambin satisface la condicin inicial:Adems, esta solucin satisface la ecuacin (1) en todo el intervalo a < x < b.En esencia, la demostracin de este teorema fue hecha en la seccin 2.5. Al multiplicarla ecuacin (1) por el factor de integracin v = exp (f P dx) e integrando se obtiene:yv = f vQdx + c.Ya que v * O, podemos escribir:y = v- 1 f vQdx+cv-1 (2)Es muy sencillo demostrar que como v * O y contina en a < x < b, (2) es una familia desoluciones para la ecuacin (1) .. Tambin es fcil advertir que dada una Xo en el intervalo a < x < b junto con cualquiernmero Yo' podemos seleccionar la constante c de modo que y = Yo cuando x = xoEl resultado de nuestro argumento es que toda ecuacin con la forma de la ecuacin (1),para la cual P y Q tengan algn intervalo comn de continuidad, tendr un conjunto nicode soluciones, el cual poseer una constante de integracin que puede ser obtenida introduciendoel f~ctor de integracin apropiado. Como estamos seguros de la unicidad de estassoluciones, debemos esperar que cualquier solucin obtenida por otro mtodo sea unade las funciones contenidas en nuestra familia de soluciones con un parmetro. Es por estarazn que a este conjunto de soluciones se le llama solucin general de la ecuacin (1).La palabra "general" quiere decir que se han encontrado todas las posibles soluciones quesatisfacen la ecuacin diferencial en el intervalo a < x < b . EjerciciosEn los ejercicios l al 24 encuentre la solucin general.l. (x5 + 3y) dx - x dy = O. 6. y'=x - 4xy.2. y' = X - 2y. 7. y' = cscx + y cotx.3. (y + 1) dx + (4x - y) dy = O. 8. y' = cscx - Y cotx .4. u dx+(1-3u)x du = 3u2e3u duo 9. (y - cos2 x) dx + cosx dy = O.5. udx + (1 - 3u)xdu = 3udu . 10. y' = x - 2y cot2x.http://gratislibrospdf.com/ 56. 40 Captulo 2 Ecuaciones de orden uno11. (y - x +xy cotx)dx +xdy = O.12. 2(2xy +4y - 3)dx + (x + 2fdy = O.13. (2xy + X2 + x 4 ) dx - (1 + x2) dy = O.14. y ,_ my = CIen .. ", donde cl y m son constantes.15. y ,_ m 2y = cIen/Ix, donde c l ' mI' m 2 son constantes y mI =1= m 216. v dx + (2x + 1 - vx) dv = O. 19. 2y dx = (x2 - l)(dx - dy).17. x(x2 + 1)y' +2y = (x2 + 1)3 . 20. dx - (1 +2xtany)dy = O.18. 2y(y2_X)dy =dx. 21. y'=1+3ytanx.22. (1 + cos x) y' = sen x (sen x + sen x cos x - y).23. (x2 + a2) dy = 2x[(x2 + a2)2 + 3y] dx; a es una constante.24. (x + a)y ,= bx - ny; a, b, n son constantes con n =1= O, n =1= -1.25. Resuelva la ecuacin del ejercicio 24 para los casos excepcionales donde n = O Yn = -1.26. En la forma cannica dy + Pydx = Qdx, haga y = VW, para obtener:w(dv + Pvdx) + vdw = Qdx.Luego, seleccionando primero v de modo que:dv + Pvdx = Oy determinando despus w, demuestre cmo completar la solucin de:dy + Pydx = Qdx.En los ejercicios 27 al 33 encuentre la solucin particular indicada.27.28.29.30.31.32.33 .(2x + 3)y I = Y + (2x + 3) 112; cuando x = - 1, y = O.Y I = .x3 - 2xy; cuando x = 1, y = 1.L di + Ri = E ; donde L, R Y E son constantes, cuando t = O, i = O.dtdiL- + Ri = E senwt; cuando t = O, i = O.dtEncuentre la solucin de y ,= 2(2x - y) que pase por el punto (O, -1).Encuentre la solucin de y I = 2(2x - y) que pase por el punto (O, 1).(1 + t 2) ds + 2t [st 2 - 3(1 + t 2)2] dt = O; cuando t = O, s = 2. Ejercicios diversosEn cada ejercicio encuentre el conjunto de soluciones, a menos que el enunciado del ejercicio indique otra cosa.1. y' = exp (2x - y). 2. (x 4 + 2y) dx - x dy = O.http://gratislibrospdf.com/ 57. 2.6 La solucin general de una ecuacin lineal 413. (3xy + 3y - 4) dx + (x + 1)2 dy = O.4. (x + y)dx +xdy = O.5. y2dx -x(2x +3y)dy = O.6. (x2 + l)dx +x2y2dy = O.7. y' = x3 - 2xy; cuandox = 1,y = 2.8. senedrjde = -1-2rcose. 13. dxjdt=cosxcos2t.9. y(x + 3y) dx + x2 dy = O. 14. 3x3y' = 2y(y - 3).10. dyjdx = sec2 x sec3 y. 15. xy(dx - dy) = x2 dy + y2 dx.11. O+x2)y' = x 4y4. 16. (y-sen2x)dx+senxdy = 0.12. (2x2-2xy _ y2)dx + xydy =0. 17. (x+2y)dx+(2x+y)dy = 0.18. (2xy - 3x2) dx + (x2 + 2y) dy = O.19. (x3 + l) dx + y2(3x + ky) dy = O; k es una constante.20. y(2x3 - x2y + y3) dx - x(2x3 + y3) dy = O.21. y(3 + 2xy2) dx + 3(x2y2 + X - 1) dy = O.22. y(x2 + y2) dx + x(3x2 - 5y2) dy = O; cuando x = 2, y = 1.23. y '+ ay = b; a y b son constantes. Resulvala con dos mtodos.24. (x - y) dx - (x + y) dy = O. Resulvala con dos mtodos.25. (sen y - y sen x) dx + (cos x + x cos y) d y = O.26. 0+ 4xy - 4x2y) dx + (x2 - x 3) dy = O; cuando x = 2, y = ~.27. (2y cosx + sen4 x) dx = sen x dy; cuando x = !Jr, Y = 1.28. a2(dy - dx) = x2 dy + y2 dx; a es una constante.Al resolver los ejercicios 29 al 33 recuerde que el valor principal arcsen x de la funcin inversa del seno,est restringido como sigue: -! 7T::S arcsen x ::S! 7T. Los ejercicios 30, 31 Y 32 se refieren a los segmentosde arco de la figura 2.4 que muestra la grfica de la elipse:29. JI=Yidx + vT=X2dy = O.30. Resuelva la ecuacin del ejercicio 29 con la condicin adicional de que cuando x = O,31. Resuelva la ecuacin del ejercicio 29 con la condicin adicional de que cuando x = O,32. Demuestre que despus de eliminar las respuestas a los ejercicios 30 y 31, los arcosrestantes de la elipsehttp://gratislibrospdf.com/ 58. 42 Captulo 2 Ecuaciones de orden unoy------~------~------~------ xFigura 2.4no son soluciones de la ecuacin diferencial:JI"=Y2dx + ~dy = O.Para lograr este objetivo tome en consideracin el signo de la pendiente de la curva.33. Para la ecuacinJI"=Y2dx - ~dy =0plantee y resuelva cuatro problemas anlogos a los ejercicios 29 al 32.34. u du = (e V + 2uu - 2u) du. 36. y(y2 - 3x2) dx + x3 dy = O.35. y2dx-(xy+2)dy=0. 37. y'=ytanx +cos x.38. (x3 - 3xy2) dx + (y3 - 3x2y) dy = O.39. (l-x2)y' =1 -xy-3x2+2x4 . 42. x 2y' = y(1 - x) .40. (y3 _x3 ) dx = xy(x dx + ydy). 43. xy' = x - y +xy tanx.41. y' = secx - y tanx. 44. y2 dx + x2 dy = 2xy dy.45. ydx = (3x + y3 - y2)dy; cuandox = 1, Y =-1.46. (x2 - 2xy - y2) dx - (x2 + 2xy - y2) dy = O.47. y2dx + (xy + y2 -l)dy = O; cuando x = -1, Y = l.48. y' = cosx - ysecx; cu,a ndo x = O, Y = l.49. Encuentre la solucin de y ,= 3x + y que pase por el punto (-1, O) . .50. Encuentre la solucin de y I = 3x + y que pase por el punto ( -1, 1).http://gratislibrospdf.com/ 59. 2.7 Suplemento para computadora 4351. (x2 - 1 + 2y) dx + (1 - x2) dy = O; cuando x = 2, Y = 1.52. (y2 + y) dx - (y2 + 2x y + x) d Y = O; cuando x = 3, Y = 1.53. (3x 4y - 1) dx + x 5 dy = O; cuando x = 1, Y = 1.54. (sen x sen y + tan x) dx - cos x cos y dy = O.55. (3xy - 4y - 1) dx + x(x - 2) dy = O; cuando x = 1, Y = 2.I 2.7 I Suplemento para computadoraEn este captulo iniciamos el proceso para resolver ecuaciones diferenciales de maneraanaltica. La mayor parte de los mtodos descritos involucra la integracin de alguna maneray, por lo tanto, estn sujetos a resolverse utilizando los Sistemas de lgebra Computacional(SAC) que pueden integrar de manera simblica. Como una sencilla muestraconsidere la ecuacin diferencial separable del ejemplo 2.1 en la seccin 2.1 :dy 2y = dx xLa solucin dada en el texto implica la separacin de las variables y la integracin inmediatade ambos miembros de la ecuacin resultante. Las integraciones pueden ser realizadasen Maple por medio del siguiente comando:>int(1/y,y) =int(2/x,x)+C;ln(y) = 2 ln(x) + eEsta solucin implcita puede ser resuelta para y y simplificada por:>sol ve(" , y);e21n(x)+C>simplify ( " ) ;Consideremos tambin la ecuacin (7) dada en el ejemplo 2.7 de la seccin 2.4,3x(xy - 2) dx + (x3 + 2y) dy = O.Aqu el primer paso es verificar si la ecuacin es exacta. Maple puede hacer esto comosigue:>M: =3*x* (x*y- 2) ;M := 3 x (xy - 2)>N: = (x"3+2*y) ;N:= x 3 +2y>diff (M, y) ;>di f f (N, x) ;http://gratislibrospdf.com/ 60. 44 Captulo 2 Ecuaciones de orden unoLa ecuacin resulta ser exacta. Podramos usar la computadora para completar los pasos restantesdel proceso. Afortunadamente, los programas que trabajan con expresiones simblicas, ensu mayor parte, estn diseados para encargarse de todos los pasos de una sola vez. Primero, regreseal primer ejemplo citado anteriormente. Podemos introducir la ecuacin diferencial como>diff(y(x) , x) =2*y/ x;d 2 y-y(x) =-d x xEsta ecuacin puede ser resuelta en un comando:>dsolve ( " ,y(x ));y(x) = X 2 _elEl segundo ejemplo es casi igual de fcil:>(3*x*(x*y- 2) )+(xA3+2*y)*diff(y(x) , x)=O ;d3x (xy - 2) + (x3 + 2 y ) -y(x) = dx>dsolve ( " ,y(x));Por ltimo, la computadora tambin puede resolver problemas de valor inicial. Veamos,considere la ecuacin (8) en el ejemplo 2.3 de la seccin 2.1 :(1 + l) dx + (1 +x2) dy = 0,con la "condicin inicial" de que cuando x = 0, y = - l . La ecuacin es introducida como:>diff(y(x) , x) =-(l+y(x)A2) / (l+xA2 ) ;d 1 + (y(x2dx Y(x) = - 1 +x2y luego resuelta mediante:>dsolve({" , y(O) =-l } ,y (x)) ;y(x) = tan ( - arctan (x) - ) . Ejercicios1. Utilice un Sistema de lgebra Computacional para resolver una muestra representativade los problemas trabajados en el presente captulo. Asegrese de incluir algunoscon condiciones iniciales y otros sin stas. Es probable que se encuentre con algunosproblemas que el SAC no podr resolver usando tcnicas bsicas. Verifique si su sistematiene tcnicas ms avanzadas para resolverlos.2.. Un SAC es capaz de resolver an ecuaciones tan generales como dy/dx + P(x)y =Q(x). Intntelo en su sistema.http://gratislibrospdf.com/ 61. Mtodos,/ nUmerlCOS3. 1 Observaciones generalesNo existe un mtodo general que nos d una forma explcita para encontrar la solucin deuna ecuacin diferencial. En la prctica, nos encontramos con ecuaciones especficas paralas que no se conoce un mtodo de resolucin o para las cuales las formas explcitas desolucin no son las adecuadas para los clculos. Por estas razones, son tan importantes mtodossistemticos y eficaces que nos lleven a una aproximacin numrica de las soluciones.Desafortunadamente, el dominio de buenos mtodos numricos exige mucho tiempo deprctica y la disponibilidad de una computadora adecuada.Este captulo est restringido a un estudio parcial de algunos de los mtodos ms sencillosy tiles. Aqu el propsito es dar al estudiante un concepto de los principios fundamentalespara obtener aproximaciones numricas a las soluciones. Considerarem0s un problemaque no es posible resolver con los mtodos desarrollados hasta el momento y le aplicaremosvarios procesos numricos.3.2 Mtodo de EulerBuscamos obtener la solucin de la ecuacin diferencial:y'=y-xl (1)para la cual y = 1 cuando x = O. Deseamos aproximar la solucin y = y (x) en el intervaloo:::;x:::;lLa ecuacin (1) puede ser escrita en forma diferencial como:(2)La figura 3.1 muestra el significado geomtrico de la diferencial dy y de ~ y, el cambio realen y, inducido por un incremento dx (o ~) aplicado a x. En clculo se muestra que cerca deun punto donde exista la derivada, dy puede hacerse tan aproximado a ~y como se desee tomandoun ~ x lo suficientemente pequeo.Digamos que, conociendo el valor de y en x = O, deseamos calcular y para O :::; x :::; -.Suponga que elegimos ~ = 0.1; entonces dy puede ser calculado de:dx = cY - X2) ~.45http://gratislibrospdf.com/ 62. 46 Captulo 3 Mtodos numricosA saber, dy = (1 - 0)(0.1) = 0.1. As, para x = O + 0.1, el valor aproximado de y es1 + 0.1. Ahora tenemos x = 0.1, Y = 1.1. Otra vez elegimos Llx = 0.1. Entonces:de modo que dy = 0.12. De aqu que en x = 0.2, el valor aproximado de y sea 1.22. El clculocompleto usando Llx = 0.1 se muestra en la tabla 3.1. Los clculos se realizaron con seiscifras decimales y despus el resultado se redonde a tres cifras decimales.El incremento Llx no necesita ser constante a lo largo de todo el intervalo. Donde la pendientesea grande, se toma un incremento pequeo. Por simplicidad en los clculos, aqu seusarn incrementos iguales.Es til repetir los clculos con un incremento ms pequeo y notar los cambios queresultan en los valores aproximados de y. La tabla 3.2 muestra un clculo conLlx = 0.05.En la tabla 3.3 tenemos los valores de y que se obtuvieron de los clculos en las tablas3.1 y 3.2, Y los valores de y obtenidos usando Llx = 0.01 (no se muestran los clculos), ademsde los valores correctos de y redondeados a tres cifras decimales.yhttp://gratislibrospdf.com/ 63. 3.2 Mtodo de Euler 47TABLA 3.2 ~x = 0.05x y y2 x2 (y2 _ X2) dy0.00 1.000 1.000 0.000 1.000 0.0500.05 1.050 1.102 0.002 1.100 0.0550.10 1.105 1.221 0.010 1.211 0.0610.15 1.166 1.359 0.022 1.336 0.0670.20 1.232 1.519 0.040 1.479 0.0740.25 1.306 1.706 0.06~ 1.644 0.0820.30 1.388 1.928 0.090 1.838 r 0.0920.35 1.480 2.192 0.122 2.069 0.1030.40 1.584 2.508 0.160 2.348 0.1170.45 1.701 2.894 0.202 2.692 0.1350.50 1.836TABLA 3.3Cuando ~x = 0.1 ~x = 0.05 Sx = 0.01 Correctax y y y y0.0 1.000 1.000 1.000 1.0000.1 1.100 1.105 1.l10 1.l110.2 1.220 1.232 1.244 1.2470.3 1.365 1.388 1.411 1.4170.4 1.542 1.584 1.625 1.6370.5 1.764 1.836 1.911 1.934Los valores correctos fueron obtenidos mediante el mtodo que veremos en la seccin3.7. Su disponibilidad en cierto sentido es accidental. Con frecuencia no sabemos de quforma obtener el valor correcto de y con un grado especfico de exactitud. En tales casos escostumbre recurrir a la disminucin del tamao del incremento hasta que los valores de ymuestren cambios no mayores que los errores que estamos dispuestos a permitir. Entoncesse espera que el cambio constante de los valores de y se deba a que nos encontramos cercade la solucin correcta, en lugar de atribuido a la lentitud de convergencia del proceso uti-lizado(lo cual tambin es posible).Para el problema ms general de valor inicial:dy - = f(x, y); cuandox = Xo, y = yo,dx(3)la sucesin de aproximaciones descritas anteriormente puede ser expresada en trminos de lasrelaciones de recurrencia:http://gratislibrospdf.com/ 64. 48 Captulo 3 Mtodos numricosXk+1 = Xk + hYk+1 = Yk + hf(xk, Yd,(4)para k = O, 1, 2, ... . Aqu hemos usado h para el valor de ru:.La tcnica descrita lneas arriba es conocida como el mtodo de Euler, aunque no involucranada ms que la aproximacin lineal de clculo elemental. EjerciciosEn cada uno de los ejercicios siguientes, utilice el mtodo de Euler con el Dx indicado para aproximar lasolucin al problema de valor inicial en el intervalo dado. En los ejercicios 1 al 6, resuel va el problema pormtodos elementales y compare los valores aproximados de y con los valores correctos.1. y' = x + y; cuando x = O, Y = 1; box = 0.1 Y O ::: x ::: 1.2. Utilice ru: = 0.05 en el ejercicio l.3. y' = x + y; cuando x = O, Y = 2; box = 0.1 Y O ::: x ::: 1.4. y' =x +y; cuandox = l,y=l; box=0.lyl:::x :::2.5. y' = x + y; cuando x = 2, y = -1 ; box = 0.1 Y 2::: x::: 3.6. y' = 2x - 3y; cuando x = O, y = 2; ;0.x = 0.1 Y O::: x::: 1.7. y' = e-xy ; cuando x = O, Y = O; box = 0.2 Y O::: x ::: 2.8. Utilice ru: = 0.1 en el ejercicio 7.9. y' = (1 +x2 + /)-1; cuando x = O, y = O; box = 0.2 Y O::: x::: 2.10. Utilice ru: = 0.1 en el ejercicio 9.] 1. y' = (cosx + seny)1 /2; cuando x = O, y = 1; box = 0.2 Y O::: x::: 2.12. Utilice ru: = O.] en el ejercicio] 1.13. cuando x = O, y = O; box = 0.2 Y O ::: x ::: 2.3.3 Una modificacin al mtodo de EulerEn cada paso del mtodo de Euler, como se describi en las ecuaciones (4) de la seccin3.2, la nueva aproximacin Yk+1 utiliza la pendientef(xk, Yk). Esta pendiente es calculadaen (xk' yk), un punto que est en el extremo izquierdo del intervalo xk :::; x :::; xk + h. Es razonablesuponer que se obtendra una mejor aproximacin para el valor de Yk+1 si la pendientefuera calculada en el punto medio del intervalo en lugar de usar el extremo.izquierdo. Una modificacin en el mtodo de Euler hace uso de esta observacin.Procedemos de la siguiente manera: a partir del punto inicial (xo' Yo) y mediante el mtodode Euler determinamos el punto (XI' y), luego repetimos este paso empezando otrahttp://gratislibrospdf.com/ 65. 3.4 Unmtodo de aproximacin sucesiva 49vez en el punto inicial (xo' Yo)' Sin embargo, en la segunda ocasin usamos el mtodo deEuler con un tamao de incremento de 2h y tomando el valor de la pendiente en el punto(xl' y,), un punto que est a la mitad del nuevo intervaloXo ::::x ::::Xo + 2h.Por lo tanto, las frmulas para el mtodo modificado de Euler son:Xl = Xo + h,Yl = yo + hf(xo, yo)yXk+2 = Xk + 2h, k ::::0,Yk+2 = Yk + 2hf (Xk+ 1 , Yk+l), > O.Al aplicar el mtodo modificado de Euler al problema:Xo = 0, Yo = 1,se obtienen los resultados de la tabla 3.4. Por comparacin con la tabla 3.3 vemos que hayuna mejora considerable en la precisin de los valores calculados de y.TABLA 3.4Cuando h = 0.1 h = 0.05 h = 0.01 CorrectaX y Y Y Y0.0 1.000 1.000 1.000 1.0000.1 l.l00 l.l00 l.l11 l.l110.2 1.240 1.245 1.247 1.2470.3 1.400 1.414 1.417 1.4170.4 1.614 1.631 1.637 1.6370.5 1.888 1.922 1.933 1.934 EjerciciosEn cada uno de los ejercicios de la seccin 3.2, utilice el mtodo modificado de Euler para aproximar lasolucin del problema de valor inicial en el intervalo dado. Compare estos resultados con los obtenidospor el mtodo de Euler.I 3.4 I Un mtodo de aproximacin sucesivaAhora abordaremos nuevamente el problema anterior,X = 0, y = 1, (1)http://gratislibrospdf.com/ 66. 50 Captulo 3 Mtodos numricoscon la y requerida en el intervalo O ::5 x ::5 ~, por el mtodo sugerido en el anlisis delteorema de existencia del captulo 13. Una vez aplicados los enunciados hechos en ese an-lisis,concluimos que la solucin deseada es y = y(x), donde:y(x) = lim Yn(x)n->ooy la sucesin de funciones ylI(x) est dada por Yo(x) = 1, Y para n 2: 1,Yn(X) = 1+ lx[Y~_I (t) - t2] dt.Para el problema en cuestin,YI(X) = 1+ lXO-t2)dt,=1+x-tx3.Ahora obtenemos la segunda aproximacin, encontrando y/x) a partir de yl(x) por me-diode (2). As tenemos que:Y2(X) = 1 + lx[O + t - tt3)2 - t2] dt,= 1 + x + x2 - !x4 - 1..x5 + ..!..x76 15 63'Entonces Ylx), Ylx), ... , pueden ser obtenidas de manera anloga, cada una a partir delelemento precedente en la sucesin YII(X).En la tabla 3.5 se muestran los valores tomados por yl(x), y/x) y ylx) a intervalos de0.1 en x, junto con los valores correspondientes de y(x) redondeados a dos decimales, co-mose obtuvieron en la seccin 3.7.Debe tomarse en cuenta que la utilidad de este mtodo no depende de nuestra habilidadpara realizar las integraciones en un sentido formal. Puede ser mejor realizar las integra-cionespor medio de algn proceso numrico, como la regla de Simpson.TABLA 3.5x YI (x) Y2(X) Y3(X) y(x)0.0 1.00 1.00 1.00 1.000.1 1.10 1.11 1.11 1.110.2 1.20 1.24 1.25 1.250.3 1.29 1.39 1.41 1.420.4 1.38 1.56 1.62 1.640.5 1.46 1.74 1.87 1.93(2)http://gratislibrospdf.com/ 67. 3.5 Una mejora en el mtodo de aproximacin sucesiva 51 Ejercicios1. Aplique el mtodo estudiado en esta seccin para resolver el problema (ejercicio 1,seccin 3.2)y' = x + y; cuando x = 0, y = l.Obtenga y(x), Yix) y Y3(x).x = a x = 1 a intervalos de 0.1. Tambin tabule los valores correctos de y obtenidosa partir de la solucin elemental del problema.2. Calcule una tabla de valores con dos decimales de Yl' Y2' Y3 en el ejercicio 1 para3. Obtenga y(x), yix) y Y3(x) para el problema de valor inicial (ejercicio 4, seccin 3.2)y' = x + y; cuando x = 1, Y = l.Sugerencia: exprese el integrando de la integral en la ecuacin (2) en potencias det - 1 antes de integrar.4. Calcule una tabla de valores con dos decimales de las y , Y2' Y3 en el ejercicio 3 para x= 1 a x = 2 a intervalos de 0.1. Tambin tabule los valores correctos de y obtenidos apartir de la solucin elemental del problema.3.5 Una mejora en el mtodo de aproximacin sucesivaEn el mtodo utilizado en la seccin 3.4, cada una de las y/x), donde n = 0, 1,2, ... , produceuna aproximacin a la solucin y = y (x). Por lo regular es factible que, mientras unaaproximacin en particular Yk(X) sea ms correcta, su sucesora Yk+' (x) sea mejor.El problema de valor inicial que estamos tratando es:x = O,y = 1el cual nos indica de inmediato que en x = 0, la pendiente es y ' = l. Pero en la seccin 3.4,siguiendo a ciegas una sugerencia dada en el captulo 13, iniciamos con yo f : = (x, y) - >yA 2 -xA 2;> Xin it : =O ;http://gratislibrospdf.com/ 77. > Xfinal :=O.5;> Yinit : =l;> n:=10;> h:=(Xfinal-Xinit) / n> x:=x init> y:=Yini t;> for i froro 1 to n doy: =y +h*f(x,y) x:=x+hod> Yfinal:=y3.9 Suplemento para computadora 61Observe dos hechos acerca del programa: primero, tenemos que escoger el valor que leasignaremos a n, el nmero de pasos y, luego, hacer que la mquina calcule el tamao delpaso h. Este es el proceso inverso al descrito en la seccin y libera al usuario de verificarque el tamao del paso sea un divisor de la longitud del intervalo. El segundo hecho dignode considerar es el orden de los dos comandos dentro del ciclo foro Este orden nos obligaa calcular el nuevo valor de y antes de incrementar el valor de X.Como se hizo notar en la seccin 3.7, la ecuacin en tumo puede ser resuelta a cualquiergrado de precisin de modo que podamos comparar los resultados del programa anteriorcon los valores reales. Luego podemos experimentar con varios tamaos de paso y medianteun mnimo de trabajo modificar el programa para implantar otros mtodos numricos . Ejercicios1. Implante el mtodo de Euler dado en la seccin 3.2 en el lenguaje de programacin desu preferencia.2. Modifique su programa para n = 50 Y n = 100. Compare sus resultados con la respuestacorrecta dada en el texto.3. Modifique su programa para resolver algunos de los ejercicios de la seccin 3.2.4. Modifique su programa para implantar el mtodo modificado de Euler. Esto requerirde aadir unas cuantas instrucciones al ciclo foro Tenga cuidado de hacer sus asignacionesen el orden correcto. Compare la precisin de los dos mtodos de Euler para lamlsman.5. Modifique su programa para implantar el mtodo de Runge-Kutta y proceda como enel ejercicio 4.http://gratislibrospdf.com/ 78. Aplicacioneselementales624. 1 Velocidad de escape desde la oerraMuchos problemas de fsica involucran ecuaciones diferenciales de orden uno. Considereel problema de determinar la velocidad de una partcula proyectada en direccin radial fuerade la Tierra, al mismo tiempo que sobre dicha partcula acta slo una fuerza: la atraccingravitacional de este planeta. Supondremos una velocidad inicial en cierta direccinradial de modo que el movimiento de la partcula se lleve a efecto por completo sobre unarecta que pasa por el centro de la Tierra.De acuerdo con la ley de gravitacin de Newton, la aceleracin de la partcula serinversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la partcula al centro de la Tierra.Sea r la distancia variable y R el radio de la Tierra. Si t representa el tiempo, v la velocidadde la partcula, a su aceleracin y k la constante de proporcionalidad en la ley deNewton, entonces:dv ka = - =--.dt r2La aceleracin es negativa ya que la velocidad est disminuyendo. De aqu que la constantek sea positiva. Cuando r = R, entonces a = - g, la aceleracin debida a la gravedad enla superficie de la Tierra. As,de lo cual:gR2a = --2- .rQueremos expresar la aceleracin en trminos de la velocidad y la distancia. Tenemosa = dv/dt y v = dr/dt. En consecuencia,dv dr dv dva =-=--= v -dt dt dr dr'de modo que la ecuacin diferencial para la velocidad ahora se ve como:dv gR2v- = ---odr r2(1)http://gratislibrospdf.com/ 79. 4.1 Velocidad de escape desde la Tierra 63El mtodo de separacin de variables se aplica a la ecuacin (1) Y de inmediato nos conduceal conjunto de soluciones:2 2gR2V = -- +C.rSuponga que la partcula abandona la superficie de la Tierra con la velocidad inicial vo' Entoncesv = Vo cuando r = R, de lo cual es fcil determinar la constante C:C = v5 - 2gR.As, una partcula que es lanzada en direccin radial fuera de la superficie de la Tierra conuna velocidad inicial vo' viajar a una velocidad v dada por la ecuacin:2 2gR2v = - - + V 2 2 '(2) o - gR.rEs de considerable inters determinar si la partcula escapar de la atraccin de laTierra. Ahora bien, en la superficie terrestre, para r = R, la velocidad es positiva, v = vo'Una revisin del miembro derecho de la ecuacin (2) muestra que la velocidad de la partculapermanecer po si ti va si, y slo. si,v6 - 2gR :::: O. (3)Si la desigualdad (3) se satisface, la velocidad dada por la ecuacin (2) permanecer positiva,ya que no puede anularse, es continua y positiva en r = R. Por otro lado, si (3) no sesatisface, entonces v~ - 2gR < O, y habr un punto crtico de r para el cual el miembro derechode la ecuacin (2) es cero. Esto es, la partcula se detendra. la velocidad cambiarade positiva a negativa y la partcula regresara a la Tierra.Un partcula proyectada desde la Tierra con una velocidad inicial Vo tal que:Vo :::: ../2gRescapar de la atraccin terrestre. De aqu que la mnima de tales velocidades de proyeccin,ve = ../2gR, (4)es llamada velocidad de escape.El radio R de la Tierra mide aproximadamente 3 960 millas. La aceleracin debida a lagravedad g en la superficie de la Tierra es de aproximadamente 32.16 pies por segundo porsegundo (pies/segund02), o g = 6.09(10)-3 millas/segund02. Para la Tierra, se encuentrafcilmente que la velocidad de escape es ve = 6.95 millas/segundo.Por supuesto, la atraccin gravitacional de otros cuerpos celestes, tales como la Luna, elSol, Marte, Venus, etc., ha sido pasado por alto en el problema que hemos tratado aqu enforma idealizada. Aunque no es difcil advertir que tales aproximaciones estn justificadasya que slo estamos interesados en conocer la velocidad inicial crtica ve' Si la partcularealmente regresa a la Tierra o se transforma, por ejemplo, en un satlite de algn cuerpoceleste, ello no acarrea consecuencias en el problema tratado.Si en este estudio sucede que conceptualizamos la partcula como un cohete de tipo balstico,entonces deberemos considerar otros elementos. En las primeras millas no puedehttp://gratislibrospdf.com/ 80. 64 Captulo 4 Aplicaciones elementalessoslayarse la resistencia del aire. Pero los mtodos recomendados para vencer tales dificultadesno son temas que puedan ser analizados aqu.Debe darse cuenta que la frmula ve = ..J2gR se aplica tambin para la velocidad de escapedesde cualquier otro miembro del Sistema Solar, mientras se den a R y a g sus valorescorrectos.4.2 Ley del enfriamiento de NewtonLa experiencia ha demostrado que, bajo ciertas condiciones, una buena aproximacin de latemperatura de un objeto puede ser obtenida utilizando la ley del enfriamiento de Newton,a saber: la temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la diferenciaentre el medio y el cuerpo. Aqu supondremos que la constante de proporcionalidades la misma cuando la temperatura aumenta o disminuye.Por ejemplo, suponga que un termmetro, que ha presentado una lectura de 70 0P en elinterior de una casa, es colocado fuera, donde la temperatura del aire es de 10F. Tres minutosms tarde se descubre que la lectura del termmetro es de 25 F. Deseamos predecirlas temperaturas en varios instantes posteriores.Sea u (OP) la temperatura del termmetro en el tiempo t (minutos); el tiempo ser medidodesde el instante en que el termmetro es colocado en el exterior. Tenemos que cuandot = O, u = 70 y cuando t = 3, u = 25.De acuerdo con la ley de Newton, la velocidad de cambio de la temperatura con respectoal tiempo, du/dt, es proporcional a la diferencia de temperatura (u - 10). Ya que la temperaturadel termmetro est disminuyendo, es conveniente seleccionar (- k) como laconstante de proporcionalidad. As la u ser determinada a partir de la ecuacin diferencial:dudt = - k (u - 10) , (1)y las condiciones de que:cuando t = O, u = 70 (2)ycuando t = 3, u = 25. (3)Necesitamos conocer la lectura del termmetro en dos instantes diferentes ya que haydos constantes por determinar, k en la ecuacin (1) Y la constante "arbitraria" que apareceen la solucin de la ecuacin diferencial (1).De la ecuacin (1) se deduce de inmediato que:u = 10 + e e - k .Entonces la condicin (2) conduce a 70 = 10 + e, de lo cual e = 60, de modo que tenemos:u = 10 + 60 e- k. (4)Ahora el valor de k ser determinado usando la condicin (3). Poniendo t = 3 y u = 25en la ecuacin (4), obtenemos:25 = 10 + 60e- 3k,de lo cual e- 3k = ~, de modo que k = ~ In 4.http://gratislibrospdf.com/ 81. 4.3 Conversin qumica simple 65Por lo tanto, la temperatura est dada por la ecuacin:u = 1O+60exp(- 1tln4). (5)Ya que In 4 = 1.39, la ecuacin (5) puede ser remplazada poru = 10 + 60 exp (- 0.46t).4.3 Conversin qumica simple(6)Se sabe por los resultados de experimentacin qumica que, en ciertas reacciones donde lasustancia A se transforma en otra sustancia, la razn de cambio de la cantidad x de sustanciasin transformar con respecto al tiempo es proporcional a x.Suponga que la cantidad de sustancia sin transformar es conocida en un instante especfico,esto es, sea x = Xo