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Lógica de enunciados
(o lógica proposicional)
Ejemplos de enunciados
Cuba es una isla en el Pacífico
2 + 2 = 4
Vicente Fox es el presidente de Guatemala
Vicente Fox no es el presidente de Guatemala y sí es el
presidente de México
enunciado
Secuencia de
símbolos
(oración escrita
o emitida
oralmente)
+ Proposición
(significado del
enunciado en
virtud del cual
el enunciado es
verdadero o
falso)
Enunciados simples
Tegucigalpa es la capital de Honduras
2 + 2 = 4
El Sol es una estrella
Vincente Fox es el presidente de México en el año 2005
La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes
Enunciados complejos
Tegucigalpa es la capital de Honduras y San José es la capital de Costa Rica
Juan sabe que Tegucigalpa es la capital de Honduras
Juan cree que San José es la capital de Costa Rica
Necesariamente 2+2 = 4
Es posible que Pedro no sepa que Tegucigalpa es la capital de Honduras
Enunciados complejos
Se distingue entre enunciados
complejos intensionales y
enunciados complejos
extensionales
• La base de la distinción es el llamado “principio de
sustitución de equivalentes”
Tegucigalpa es la capital de Honduras
y Managua la capital de Nicaragua
“Tegucigalpa es la capital de Honduras” es
equivalente a “Lima es la capital de Perú”
Lima es la capital de Perú y Managua la
capital de Nicaragua
Paris es la capital de Honduras y
Managua la capital de Nicaragua
“Paris es la capital de Honduras” es
equivalente a “Lima es la capital de
Argentina”
Lima es la capital de Argentina y Managua la
capital de Nicaragua
Juan cree que Tegucigalpa es la capital de
Honduras
“Tegucigalpa es la capital de Honduras” es equivalente a
“Roma es la capital de Italia”
Juan cree que Roma es la capital de Italia
Juan cree que Montevideo es la capital de
Argentina
“Montevideo es la capital de Argentina” es equivalente a “San José es la capital de Chile”
Juan cree que San José es la capital de Chile
Principio sustitución de equivalentes
Sea C una oración compleja, Auna oración componente de C, B cualquier oración, y C* el resultado de substituir a A por Ben C :
Si A tiene el mismo valor de verdad que B, entonces C tiene el mismo valor de verdad que C*.
Enunciados complejos
Enunciados complejos extensionales (respetan siempre el principio de
sustitución de equivalentes)
Enunciados complejos intensionales(no siempre respetan el principio de
sustitución de equivalentes)
Operadores
Intensionales : forman
enunciados intensionales(ejemplos: “es necesario que”, “es obligatorio que”)
Extensionales: forman
enunciados extensionales(ejemplos: “y”, “o”, “no es el caso que”
Operadores importantes del
lenguaje coloquial
y
O
Si..., entonces
No es el caso que
Si y solo si
Usos que corresponden a
funciones lógicas diferentes
“y” en “Juan y Pedro son hermanos” tiene un función lógica
diferente de la usada en “Juan es alto y Pedro es bajo”
“o” a veces se usa en sentido exclusivo y otras en sentido inclusivo.
“Si...entonces” tienen usos extensionales e intensionales
Es necesario expresar en forma
precisa la función lógica de ciertos
usos de cada uno de los operadores
mencionados. Con este fin,
introduciremos un lenguaje formal,
el cual llamaremos LE
Lenguaje formal LE:símbolos
básicos
Parámetros de enunciados: letras mayúsculas del
alfabeto
Símbolos lógicos : (, ), , , , ,
Semántica de símbolos
lógicos de LE
Semántica informal: usando el lenguaje coloquial para
interpretar cada símbolo. Por ejm., “” habrá de
significar lo mismo que “y”. Problema: ambigüedad y
falta de precisión de los operadores coloquiales
Semántica formal: usando tablas de verdad
Reglas de construcción de fórmulas de LE
Todo parámetro de enunciado es una fórmula de LE
Si es una fórmula de LE, entonces
Si y son fórmulas de LE, entonces ( ), ( ), (
) y ( ) son fórmulas de LE
Ejemplos fórmulas de LE
(A B)
( A M) (H R)
((D B) H)
(I C) ( A M)
(A B) (C H)
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabla de conjunción
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabla de disyunción
V F
F V
Tabla de negación
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabla de equivalencia material
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabla de implicación material
Símbolo para consecuencia
lógica
Ejemplo razonamiento en LE
AB
B
A
A B AB B A
V V V F F
V F F V F
F V V F V
F F V V V
P1 P2 C
Prueba de validez lógica por tablas de verdad
Prueba de validez lógica de razonamientos en
lenguaje coloquial: procedimiento
Traducir del lenguaje coloquial a LE
Determinar la validez de la traducción mediante tablas de verdad
Si aumentan la inflación y quiebran algunas
empresas, entonces aumentará la criminalidad.
Aumentará la inflación y alguna empresas
quebrarán.
Por lo tanto, aumentará la criminalidad.
Un razonamiento en lenguaje coloquial
Traducción del razonamiento
A: aumenta la inflación
E: algunas empresas quiebran
C: aumentará la criminalidad
(A E) C
A E
C
A E C (A E) (AE) C
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
C P2 P1
Prueba de validez de la traducción
Ámbito de confiabilidad del método
Un razonamiento en lenguaje coloquial será válido intuitivamente,
si la traducción de ese razonamiento a LE es dictaminada por el
método como un razonamiento válido en LE.
Si un razonamiento es intuitivamente inválido, entonces ese
procedimiento siempre dictaminará su traducción a LE como
inválido.
Limitación del método
Si un razonamiento en lenguaje coloquial es intuitivamente válido, es
posible que el método dictamine que la traducción de ese razonamiento a
LE es inválido
Origen de esta limitación: el análisis de los razonamientos no penetra
en la estructura lógica interna de los enunciados simples, lo cual no
revela posibles relaciones lógicas entre las expresiones componentes de
los enunciados simples
Todos los gatos son animales
Todos los animales son mortales
Por lo tanto, todos los gatos son mortales
Ejm. de razonamiento válido no cubierto
por el método
Verdades lógicas de LE:
TODA FÓRMULA QUE RESULTA
VERDADERA BAJO CUALQUIER
ASIGNACIÓN DE VALORES A LOS
PARAMETROS DE ENUNCIADOS
COMPONENTES DE LA FÓRMULA
A A A
V V
F V
Ejemplo de tautología
Sistematización de razonamientos
válidos y tautologías de LE
Mediante un sistema formal axiomático: axiomas y
reglas
Mediante un sistema formal de reglas de deducción
natural: sólo reglas
En el caso de LE, se han
construido sistemas formales que
Permiten derivar todas las tautologías
Permiten derivar todos los razonamientos válidos en LE
Y, por otro lado,
Todo enunciado derivable de tales sistemas formales es
una tautología
Todo razonamiento derivable de tales sistemas es válido