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Il problema della Il problema della rappresentazione dei rappresentazione dei

numerinumeriDRESDDRESD HHow ow TTo (DHow2) – L2o (DHow2) – L2

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La rappresentazione dei La rappresentazione dei numerinumeri

Vi sono diversi metodi per la rappresentazione dei numeri La stessa operazione aritmetica, a seconda del metodo adottato, viene quindi eseguita con:

algoritmi diversicircuiti diversi

Nello specifico, vedremo:

numeri interi positivi, in particolare:le rappresentazioni posizionali pesate con pesi pari alla potenza di una base (RPPPB)rappresentazione mediante residui (RR)

numeri interi dotati di segno, in particolare i casi di:modulo e segnocomplemento a 1complemento a 2

codici ridondanti

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RPPPBRPPPB

Dati:b: baseai: cifra compresa tra 0 e b-1.

La rappresentazione della formula precedente è una rappresentazione:

posizionaleil contributo di una cifra ai dipende dalla sua posizione “i”

pesataogni cifra viene moltiplicata per un peso bi

Il peso e' legato alla posizione della cifra in quanto e' potenza della base e l'esponente e' la posizione: il peso è bi. Ogni cifra puo' assumere un valore da 0 a b-1

nel caso decimale (b=10), 0≤ai≤9; nel caso binario ai puo' assumumere i valori zero ed uno.

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RPPPB: un esempioRPPPB: un esempio

Rappresentazione dei numeri: binaria

Un numero binario è costituito da un vettore di bit

A = an-1…a1a0 ai = {0, 1}

Il valore della base b è pari a 2

Il valore di A e’ dato da:

V(A) = an-12n-1 + … + a121 + a020

Un vettore di n bit consente di rappresentare i numeri naturali nell’intervallo da 0 a 2n-1.

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Rappresentazione mediante residuiRappresentazione mediante residui

Una rappresentazione posizionale ma non pesata e' quella basata sui residui Dato un numero intero A ed una base, anche essa intera, b, si definisce residuo R(A)b del numero A rispetto alla base b il resto della della divisione di A per b:

A=Qb+ R(A)b

Si consideri ora un insieme [b1, b2, ..., bn] di "n" basi rappresentate da n numeri primi si calcoli il residuo di un numero A rispetto a ciascuna di dette basi:

A={R(A)b1, R(A) b2,…R(A) bn}

questo insieme di residui rappresenta biunivocamente un numero intero nell'intervallo 0≤A≤b1b2..bn-1.

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La rappresentazione dei La rappresentazione dei numerinumeri

Modulo e segnoRappresentazione con n bit: il bit di segno è 1 per i numeri negativi e 0 per i positiviCampo rappresentabile -2 n-1-1 N +2 n-1 -1La rappresentazione dello zero è ridondante: +0 e -0 hanno rappresentazioni diverse, rispettivamente +0=0000; -0=1000

Complemento a 1Rappresentazione con n bit: i numeri negativi sono ottenuti invertendo bit a bit il corrispondente numero positivoCampo rappresentabile -2 n-1-1 N +2 n-1 -1La rappresentazione del numero 0 è ridondante: 00000=+0; 11111=-0

Complemento a 2Rappresentazione con n bit: i numeri negativi sono ottenuti invertendo bit a bit il numero positivo corrispondente, quindi sommando il valore 1Campo rappresentabile -2 n-1 N +2 n-1 -1 Rappresentazione unica dello 0consente di realizzare circuiti di addizione e sottrazione più sempliciE’ quella utilizzata nei dispositivi digitali per rappresentare numeri relativi

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Numeri interi dotati di segno - Numeri interi dotati di segno - esempiesempi

A V(A) a2a1a0 Modulo e segno Complemento a 1 Complemento a 2 000 +0 +0 +0 001 +1 +1 +1 010 +2 +2 +2 011 +3 +3 +3 100 -0 -3 -4 101 -1 -2 -3 110 -2 -1 -2 111 -3 -0 -1

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Rappresentazione ridondanteRappresentazione ridondante

Dati:b: baseai: la cifra esce dal limite: 0 ≤ ai ≤ b-1.

Quindi...Dato un insieme di bit a1, a2, ..., an, esiste un solo numero A da essi rappresentatoDato un numero A possono esistere più insieme di bit a1, a2, ..., an, che lo rappresentano

Esempio:b: 2ai: -1, 0, +1Rappresentare il numero intero positivo 3: 011; 10-1

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Rappresentazione ridondante: Signed Rappresentazione ridondante: Signed DigitDigit

Dati:b (base) = 2ai (cifra): -1, 0, +1 cifra esce dal limite: 0 ≤ ai ≤ b-1.

Il segno non è legato all’intero numero ma a ciascuna delle sue cifre Si consideri l’esempio con n=3, b=2, ai={ -1, 0, +1}

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