метод интегральных преобразований в задачах математической физики

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

(ФГБОУ ВПО «ВГУ»)

Метод интегральных преобразований в задачах математической физики

Учебно-методическое пособие для вузов

Составитель: Ю.Б. Савченко,

С.А. Ткачева

Воронеж

2014

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

Утверждено научно-методическим советом математического факультета

06.06.2014 года протокол № 0500-06

Рецензент: к.ф-м. н., доцент Бурлуцкая М.Ш.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета

Воронежского государственного университета

Рекомендуется для студентов 3 курса очной формы обучения математического факультета, обучающихся по специальности:

010101 Математика


3

1. Метод интегральных преобразований. Для решения задач математической физики с непрерывным спектром

может быть использован метод интегральных преобразований. Под интегральным преобразованием функции понимается значение определенного интеграла, взятого по заданному промежутку от произведения

на ядро преобразования, представляющее собой функцию переменной и некоторого параметра, который может принимать произвольные значения

в заданной вещественной или комплексной области.

Интегральные преобразования, встречающиеся в математической физике, могут быть условно разделены на «вещественные» и «комплексные» в зависимости от значений, принимаемых параметром преобразования.

Пусть задана некоторая функция . Будем предполагать эту функцию непрерывной от и в указанной области. Пусть - функция вещественной переменной( A – некоторый класс функций). Если для каждой функции класса A интеграл

(1)

сходится, то в этом случае говорят, что определено интегральное преобразование от функции на классе A. При этом функция

называется ядром интегрального преобразования.

Во многих случаях существует обратная зависимость для (1). Она имеет вид:

(2)

Функция называется ядром обратного преобразования. Формула (2) – обращение преобразования (1). Конкретная структура ядра

зависит от ядра и пределов изменения переменных. Как правило, формула (2) имеет место в некотором классе B (не на всем классе A:B A), то есть . Обе формулы (1) и (2) можно объединить в одну:

(3)

Формула (3) – разложение функции по функциям . Часто случается, что формулы (1) и (2) взаимны.

Синус-преобразование Фурье:


4

Формула обращения синус-преобразования Фурье:

Здесь .

В качестве класса A можно взять класс кусочно-непрерывных и абсолютно интегрируемых функций на Класс B – класс таких же функций, но имеющих конечное число максимумов и минимумов на любом

Косинус-преобразование Фурье:

Формула обращения:

Обобщенное преобразование Фурье:


Классическое преобразование Фурье:



5

Ядра классического преобразования Фурье имеют структуру

Преобразование Фурье-Бесселя:


Здесь ядра имеют вид

Класс функций, для которых справедливо преобразование, определяется теоремой разложения в интеграл Фурье-Бесселя.

Типичными представителями другой группы преобразований ,которые могут быть представлены в виде:

(

плоскости комплексного переменного, K- ядро преобразования), являются:

- Преобразование Лапласа: полуплоскость, лежащая правее некоторой прямой , параллельной мнимой оси;

- Преобразование Меллина: полоса, заключенная между параллельными прямыми .

С помощью интегральных преобразований можно решать неоднородные задачи математической физики по схеме метода Гринберга. Применение интегрального преобразования к дифференциальному уравнению в частных производных временно исключает одну из независимых переменных, вследствие чего интегрирование заданного дифференциального уравнения в частных производных сводится к


6

интегрированию уравнения в частных производных, содержащих на единицу меньше независимых переменных, чем заданное уравнение. Если исходное уравнение с двумя независимыми переменными, то применение интегрального преобразования сводит задачу к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения.

Преобразование Фурье.

Ввиду большой важности интегрального преобразования Фурье напомним здесь некоторые основные свойства этого преобразования.

Пусть - произвольная функция, определенная на интервале и удовлетворяющая следующим условиям:

1) - кусочно-непрерывная на . 2) абсолютно интегрируемая на всей числовой оси.

Будем говорить, что тогда При таких условиях функция может быть представлена в виде разложения в интеграл Фурье:

Причем в точке разрыва первого рода левая часть формулы должна быть заменена полусуммой Преобразованием Фурье от функции называется интеграл:

Для Функций, удовлетворяющих перечисленным условиям, преобразование Фурье всегда существует. Действительно, интеграл:

где - любые конечные числа , когда существует(интеграл Римана). Поэтому интеграл Фурье сходится. Преобразование Фурье обладает следующими свойствами.


7

Если где функции константы, то (свойство

линейности преобразования Фурье).

Сверткой двух функций называется функция, определяемая

по формуле: ; причем свертка

коммутативна, то есть . Справедлива формула ,

Имеет место формула обращения, которая справедлива для функций удовлетворяющих условиям:

1) - кусочно-непрерывна и имеет конечное число максимумов и минимумов в любом замкнутом промежутке

2) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, то есть

имеет конечное значение.

Формула обращения имеет вид (в точках непрерывности)

2. Определение преобразования Лапласа. Оригинал и изображение.

Пусть интегрируемая на (0,T) при любом Т>0 функция, равная нулю при >0: =0 при <0. Если эта функция при >0 удовлетворяет оценке

, (1.1)

то можно рассмотреть интеграл

(1.2)

Действительно, справедлива оценка


8

(1.3)

При выводе (1.3) была использована оценка (1.1). Из оценки (1.3), в частности, следует, что .

Функция является аналитической функцией комплексной переменной p в плоскости . Для того чтобы это проверить, находим пока формально

(1.4)

Как и при выводе (1.3), находим

=

= .

Последнее означает, что интеграл равномерно по сходится и,

следовательно, производная существует при , и формула (1.4)

справедлива при .

Интеграл (1.2) называется преобразование Лапласа функции и обозначается В этом случае функция называется оригиналом, а функция изображением.

Преобразование Лапласа можно связать с преобразованием Фурье. Действительно, из (1.2) имеем

dt= , где

при и (преобразование Фурье берётся со знаком -).

В дальнейшем все приводимые в тексте примеры будут отмечаться знаком " ".


9

Найти преобразование Лапласа функции Хэвисайда Заметим, что оценка (1.1) для

функции Хэвисайда Следовательно, преобразование Лапласа функции Хэвисайда существует и является аналитической функцией при

3. Свойства преобразования Лапласа a. . Линейность

b. . Дифференцирование изображений

.

c. . Преобразование Лапласа производных

d. . Сдвиг преобразование Лапласа

e. . Интегрирование оригинала в преобразовании Лапласа

f. . Преобразование Лапласа свёртки f*g.

g. . Преобразование Лапласа и преобразование подобия При любом справедливо тождество

h. . Сдвиг оригинала в преобразовании Лапласа

i. . Преобразование Лапласа от дроби


10

.

Вычисление преобразования Лапласа основных функций

3.1.

3.2.

По формулам Эйлера имеем -

Поэтому с помощью 3.1.

.

.

3.3.

По определению гиперболических функций Поэтому

3.4.

По свойству 2.2 имеем

.

В частности, .


11

Найти преобразование Лапласа . Для этого

воспользуемся формулами и

.

Вычисления можно провести в пакете Mathematica.

ComplexExpand

, тогда

Этот же результат получается с помощью команды LaplaceTransform пакете Mathematica

Сравним полученные ответы

0

0


12

3.5. Пусть функция при и является периодической с периодом

Обозначим

Отсюда находим

3.6. Найти изображение функции , определяемой следующим образом:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<<<

=

− ....

;

)(

1

;212

11

nn tïðèa

tïðèatïðèa

tf

τ

τττ

Здесь naaa ,...,, 21 - заданные вещественные постоянные,

121 ,...,, −nτττ - заданные положительные числа.

Функция f(t) называется ступенчатым ходом.

Решение. Используя единичную функцию Хевисайда , мы можем представить f(t) следующим образом :

.)()(...)()()()()()( 11223121 −− −−++−−+−−+= nnn taataataatatf τθτθτθθ

Пользуясь свойством 2.8, находим преобразование Лапласа этой функции

)exp(...)exp()exp()( 11

223

1121

−− −

−++−

−+−

−+= n

nn ppaa

pp

aap

paa

papF τττ

Графически f(t) изображается ступенчатой линией. Если ,...,2,,...,1,1,1 21321 ττττ ===== aaa мы получим


13

бесконечный ступенчатый ход, преобразование Лапласа которого равно

)).2

(1(21...))2exp()exp(1(1 τττ pcthp

ppp

+=+−+−+

4. Обратное преобразование Лапласа

Теорема 4.1(основная). Пусть функция удовлетворяет условию (1.1) и её изображение. Тогда в любой точке , в которой функция

дифференцируема, справедлива формула представления

(4.1)

Доказательство. Рассмотрим функцию Очевидно, функция интегрируема на и дифференцируема в точке . Рассматривая как преобразование Фурье функции , применим формулу обращения преобразование Фурье

После умножения последнего равенства на получаем (4.1).

Формула (3.1) называется формулой обратного преобразования Лапласа или формулой Меллина.

a1

a2

a3


14

Теорема 4.1 обладает тем недостатком ,что для её применения требуется предварительно обладать информацией о свойствах исходного оригинала

. В следующей теореме устанавливается формула обращения при достаточных условиях только на изображение .

Теорема 4.2. Пусть аналитическая в полуплоскости функция, удовлетворяющая условиям

4.2.1. При любом существует интеграл .

4.2.2. Для -дуги окружности радиуса R с центром в точке

Тогда есть изображение функции , представленной формулой (4.1)

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный контур . По теореме Коши интеграл по контуру равен нулю. Перейдём к пределу в при .Легко убедиться, что интегралы по верхней и нижней сторонам прямоугольника стремятся к нулю при , а интегралы по боковым сторонам в пределе оказываются равными по величине. Таким образом. Интеграл (4.1) не зависит от выбора .

Докажем. Что построенная по формуле (4.1) функция действительно является оригиналом заданной функции .Прежде всего заметим, что для интеграла (4.1) справедлива оценка

Отсюда следует, что интеграл (4.1) равномерно по сходится.

Докажем, что .Для этого рассмотрим интеграл по замкнутому контуру в полуплоскости .состоящему из дуги окружности радиуса R и отрезка прямой.По теореме Коши

.


15

В силу леммы Жордана интеграл по дуге окружности стремится к нулю при

. Оставшийся интеграл в пределе переходит в интеграл по прямой , равный нулю при . Следовательно,

Покажем, наконец, что преобразование Лапласа в точке совпадает с .С помощью формулы Коши находим при

При выводе мы учли, что интеграл по прямой можно заменить на интеграл по замкнутому контуру ,так как

Замечание 4.1. Мы используем лемму Жордана в следующей формулировке Лемма Жордана. Пусть -полуокружность радиуса в полуплоскости . Если функция удовлетворяет условиям

1. функция непрерывна при . 2.

Тогда

Доказательство. Сделаем замену переменной интегрирования .Тогда справедлива оценка интеграла

Как известно, при .Продолжим оценку интеграла

Лемма доказана.


16

5. Пример на вычисление преобразования Лапласа

Задача. Найти преобразования Лапласа функции

(5.1)

Здесь введена гамма- функция

Рассмотрим вначале при . С помощью простой замены переменной находим

Пусть далее и Для определённости будем считать (случай рассматривается аналогично).

Положим Легко проверяется, что - положительное число. Далее имеем

(5.2)

Где -отрезок луча . Построим замкнутый контур . По теореме Коши

(5.3)

Оценим интеграл по дуге Г[R] окружности радиуса R

при

Аналогично доказывается при


17

Переходя к пределу при в равенство (5.3), получаем

Отсюда и из (5.2) окончательно устанавливаем (5.1).

Лемма Жордана (вариант 2). Пусть -полуокружность радиуса в полуплоскости .Если функция удовлетворяет условиям

1. функция непрерывна при . 2. .

Тогда



Тогда



Тогда

Доказательство вариантов 2-4 полностью повторяет доказательство самой леммы Жордана.

Лемма Жордана (вариант 5). Пусть -полуокружность радиуса с центром в точке в полуплоскости ( может быть как положительным, так и отрицательным). Если функция удовлетворяет условиям


18


Тогда

Для доказательства варианта 5 леммы Жордана следует лишь в интеграле сделать замену переменной интегрирования и воспользоваться вариантом 2 леммы Жордана.

6. Первая теорема разложения.

Теорема. Пусть -целая регулярная при функция. В этом

случае можно разложить в ряд Лорана

Доказательство. Так как изображение Лапласа , то .Это означает, что коэффициент . В силу

свойства 3.6 и поэтому обратное преобразование

Лапласа .Следовательно, можно рассмотреть

.

Воспользуемся далее неравенством Коши для коэффициентов ряда Лорана при некоторых

Таким образом, ряд сходится во всей плоскости и определяет целую функцию .

7. Вторая теорема разложения.

Теорема. Пусть -мераморфная функция, регулярная в полуплоскости (мераморфная называется аналитическая функция, имеющая лишь

конечное число полюсов в любой конечной части плоскости). Предположим, что


19

7.1. Существует система окружностей с центрами точке таких, что

7.2. При любом

Тогда функция является изображением функции

(7.1)

Где сумма берется по всем полюсам функции (вычет в точке обозначается ).

Доказательство. Пусть .Рассмотрим систему замкнутых контуров

состоящих из полуокружностей радиуса с центром в точке ,

расположенных в полуплоскости , и отрезке По лемме Жордана (вариант 5)

(7.2)

По теореме Коши при любом

По формуле (4.1)

Однако, учитывая (7.2), можно также записать

С другой стороны,

,


20

где сумма берется по всем полюсам функции ,находящимся внутри контура . Переходя к пределу при , получаем требуемое равенство (7.1).

Замечание. В пакете Mathematica формула (7.1) записывается в виде

(7.1)

Следствие. Пусть -многочлены (не имеющие

общих нулей), причём степень строго меньше степени . Тогда удовлетворяет условиям второй теоремы разложения. Если обозначить различные корни знаменателя -их кратности соответственно, то по формуле (7.1) и по правилам нахождения вычетов

(7.3)

В частности, если все корни знаменателя простые, то формула (7.3)

приобретает более простой вид .

8. Примеры на вычисление обратного преобразования Лапласа.

Задача. Найти оригинал функции

В силу теоремы 4.1 оригинал существует и может быть найден по формуле

Рассмотрим замкнутый контур ,состоящих из полуокружности радиуса с центром точке ,расположенной в полуплоскости , отрезка

; отрезков, лежащих на берегах разреза окружности .По теореме

Коши

. (8.1)


21

По лемме Жордана

Действительно, если , то следует положить

. Следовательно,

и применение леммы Жордана законно. Рассматривая интегралы по берегам разреза, прежде всего заметим, что

Поэтому интегралы по берегам разреза можно записать как один интеграл

Для интеграла по легко устанавливаем

Поэтому после перехода в (8.1) к пределу при найдём, учитывая теорему (4.1)

После замены переменной интегрирования в последнем интеграле находим

Рассмотрим далее интеграл

и найдём производную по


22

Подсчитаем последний интеграл помощью пакета Mathematica

Таким образом, при условии получаем значение интеграла

Последнее уравнение проинтегрируем по , замечая, что

Если воспользоваться стандартным обозначением , то

можно окончательно установить

.

9. Пример решения задачи для уравнения с частными производными с помощью преобразования Лапласа

Задача. Найти решение уравнения свободных колебаний конечной струны

(9.1)

при условиях

(9.2)

Решение. Применим преобразование Лапласа по переменной t. Используя свойства преобразования Лапласа, получим


23

Таким образом, решение задачи (9.1)-(9.2) свелось к решению граничной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения

(9.3)

Найдем вначале общее решение обыкновенного дифференциального уравнения

Определим постоянные и из граничных условий. Вначале найдем производную

После этого составим уравнения для определения постоянных


24

Таким образом, решение задачи (9.3) после некоторых упрощений принимает вид

Впрочем, нахождение общего решения, определение постоянных и упрощение решения может быть поручено пакету Mathematica с помощью команды


25

Перейдём к анализу найденной формулы представления для . Прежде всего заметим, что не является полюсом функции (устранимая особенность). Действительно, для любого при имеем

Пусть где – любое положительное число. Два простых полюса функции находятся в точках

Нам остается найти полюсы функции . Для этого найдем

. Как известно, . Поэтому

Здесь мы учли, что при любом . Следовательно, может обратиться в нуль лишь при . Поскольку при

/ 2 , то нули функции (и следовательно, полюсы функции )определяются нулями

/ функции .

Обозначим / Тогда для нахождения обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться второй теоремой разложения, в силу которой


26

(9.4)

Предположим, что все полюсы функции простые. Для этого достаточно предположить, что Обозначим

Как известно, для любого простого полюса вычет можно подсчитать по формуле

Поэтому

При выводе мы учли, что


27

Таким образом, из (9.4) получаем

u[x,t]=-

/=

((-1+2k)3 3-4 (-1+2k) 2) –

/

((-1+2k)3 3-4 (-1+2k) 2) )


28

+

(9.5)

Последнюю формулу, представляющую решение в виде ряда, можно считать

окончательной. Для построения графика решения задачи можно

ограничиться конечным числом слагаемых в сумме (9.5). Введем

обозначение

u0[n_, , x_, t_] :=

Chop[ Evaluate

], 10^-5]

Plot3D[u0[10, 1, x, t], {x, 0, 1}, {t, 0, 4},

PlotRange → {{0, 1}, {0, 4}, {−1.2, 1.8}},

PlotPoints → {35, 45}, BoxRatios → {4, 3, 2},

AxesLabel → {"x", "t", "u"},

PlotLabel → StyleForm["Graphic u[x,t]",

FontFamily → "Times−Bold", FontSize → 12],

ViewPoint −> {−2.880, 0.930, 1.030}, Shading → False]


29

Заметим, что увеличение числа слагаемых в u0[n, ,x,t] с n=10 до n=20

практически не изменяет график функции.

При желании сумму, входящую в (9.5), можно представить через

гипергеометрические функции. Для этого введём обозначение

и применим следующую команду

g[expr_] := Block[{Sum}, e = MapAt[FunctionExpand, expr, 1]; e]

вместе с простыми функциями подстановки, а также упрощения

FullSimplify[

ArcTanh ,

ArcTanh ,

ArcTanh ,

ArcTanh ,


30

ArcTanh ,

ArcTanh ,

,

,

x > 0 &&t > 0]

–

+

+

+

+

+

+

i(Log[-i Cos[ ]] – Log[-i Cos[ ]]+

Log[(i Cos[ ]) (-1 + Sin[

Log[(1+ Sin[ ]] – Log [


31

(i Cos[ ]) (-1 + Sin[ + Log[(1+ Sin[ ]]))

Сумма последних трёх слагаемых равна нулю. Для доказательства этого

утверждения достаточно провести следующую цепочку тождественных

преобразований

Следовательно, функция θ может быть представлена в виде


32

,

t > 0 && x > 0]

-

+

))))

После этого формула представления решения (9.5) принимает вид

-


33

))))+

В случае, когда при некотором целом

формула (9.5) несколько усложняется, однако доказательство принципиально

не изменяется.

10. Решение задачи для уравнения распространения тепла в полубесконечном стержне с помощью преобразования Лапласа

Задача. Найти решение уравнения распространения тепла в полубесконечном стержне, на конце которого поддерживается температура ,а в начальный момент температура стержня была равна нулю.

(10.1)

при условиях

(10.2)

Решение. Будем предполагать, что как заданная функция , так и искомая функция и её производная по растут при не быстрее . Это позволяет применить к (10.1) и (10.2) преобразование Лапласа . После этого задача (10.1)-(10.2) переходит в эквивалентную задачу

(10.3)

При выводе (10.3) мы использовали свойство 2.3 и учли, что .

Здесь

Далее решаем дифференциальное уравнение


34

Поскольку нас интересует решение ,ограниченное при то постоянную следует положить, равной нулю, а

постоянную определим из граничного условия

Следовательно,

Теперь для нахождения можно воспользоваться формулой Меллина (3.1). Однако проще воспользоваться уже установленной формулой

(10.4)

В нашем случае ,формула (10.4) приобретает вид

(10.5)

Далее заметим, что предел при функции равен нулю,

так как . Поэтому по свойству 2.3

Таким образом, произведение можно записать в виде

и следовательно,

В силу свойства 2.6 последнее выражение можно представить через свёртку


35

.

Рассмотрим применение свойств преобразований Лапласа для отыскания решений интегральных уравнений Вольтера с ядром, зависящим от разности аргументов.

∫ =−−x

xfdssysxkxy0

)()()()( (10.6)

Можно доказать, что если k(x) u f(x) являются оригиналами, то решение уравнения (37) является оригиналом.

Пусть ).()(),()(),()( pFxfpKxkpYxy ⇔⇔⇔ Умножая обе части уравнения (10.6) на exp(-px) и интегрируя в пределах от 0 до ∞ , мы получим, пользуясь свойством 2.6:

Y(p)-K(p)Y(p)=F(p).

Отсюда находим

).()(1

)()()(1

)()( pFpK

pKpFpK

pFpY−

+=−

=

Обозначим через R(x) оригинал для изображения )(1)(pK

pK− . Тогда, пользуясь

свойством 2.6, мы можем записать

∫ −+=x

dssfsxRxfxy0

.)()()()(

Пример . Найти решение интегрального уравнения Вольтера второго рода

∫ =−−x

xdssysxshxy0

).5cos()()()(

Решение. В нашем случае

f(x)=cos(5x), k(x)=sh(x).

Вычисления проведем в системе Mathematica.


36

k=Sinh[4*x];

f=Cos[5*x];

K=LaplaceTransform[k,x,p];

R1=FullSimplify[K/(1-K)];

R=InverseLaplaceTransform[R1,p,x];

R=R/.x→x-s;

f1=f/.x→s;

y=FullSimplify[f+Integrate[R+f1, {s,0,x}]]

Cos[5x]+51 [ ]( )Sin[5x]52Cosh1 ++−

Отметим, что рассмотренный способ нахождения решения уравнения Вольтерры не требует нахождения изображения функции f(х). Однако если

нахождение оригинала для изображения )(1)(pK

pK−

вызывает затруднение, то

можно попытаться взять изображение неизвестной функции в виде

.)(1

)()(pK

pFpY−

=

11. Применение операционного исчисления к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(11.1)

где, -искомая функция; -её последовательные производные по ; - не зависящие от вещественные постоянные.

Уравнение (11.1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами порядка .

Задача Коши, как известно, заключается в следующем: найти уравнение (11.1), удовлетворяющее начальным условиям: при

(11.2)

Где - заданные числа.


37

Обозначим через изображение искомого решения:

По теореме об изображении производной будем иметь

(11.3)

……………………………………………………………………………………….

Воспользовавшись начальными условиями. Получим вместо дифференциального уравнения (11.3) алгебраическое соотношение

=

(11.4)

Это соотношение принято называть изображающим уравнением. Для составления последнего используется не только дифференциальное уравнение (11.1), но и начальные условия; таким образом, в записи изображающего уравнения содержатся все условия, накладываемые на оригинал .

Обозначим через -коэффициент при в изображающем уравнении.

Через -коэффициенты при .Тогда из изображающего уравнения получим

(11.5)

Пусть - оригиналы для изображений

Будем говорить, что функции образуют основную систему решений рассматриваемого дифференциального уравнения. Решение этого дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям, выражается через эти условия и функции из основной системы решений следующим образом:


38

(11.6)

Если - произвольные постоянные, то мы получим общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения.

Пример 11.1. Найти основную систему решений и построить общее решение следующего дифференциального уравнения:

Решение: Реализуем описанный выше алгоритм в системе Mathematica.

1=x’’’’ [t]+2*x’’’ [t]+3*x’’ [t]+2*x’ [t]+x[t];

L=Expand[LaplaceTransform[1,t,p]];

Δ0=-Coeffiicient[L,x[0]];

Δ1=- Coeffiicient[L,x’[0]];

Δ2=- Coeffiicient[L,x’’[0]];

Δ3=- Coeffiicient[L,x’’’[0]];

fo=InverseLaplaseTransform[Δ0/Δ, p,t]

f1=InverseLaplaseTransform[Δ1/Δ, p,t]



f=x0*f0+x1*f1+x2*f2+x3*f3

Перейдём к рассмотрению неоднородного уравнения

(11.7)

И будем искать его решение, удовлетворяющее начальным условиям: при

(11.8)

где - заданные числа.

Рассмотрим сначала случай, когда все начальные данные равны нулю:


39

-единичная функция Хевисайда Соответствующее решение обозначим .

(11.9)

и

(11.10)

Изображающее уравнение будет иметь вид

(11.11)

Или

(11.12)

Аналогичным образом можно доказать, что если все начальные данные равны нулю:

,то изображающее уравнение будет иметь вид

и, следовательно,

( 11.13)

Так как , то

(11.14)

Определение 11.1. Функция называется фундаментальным решением уравнения (11.7).

Зная начальные условия, основную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (11.7), мы можем найти решение самого этого уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Действительно, рассмотрим изображающее уравнение для рассматриваемого дифференциального уравнения

(11.15)


40

Отсюда получаем

Переходя к оригиналам и применяя теорему о свёртке, будем иметь

(11.16)

Если в соотношение (11.16) вместо начальных значений подставить произвольные постоянные, мы получим общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения. Заметим, что, не применяя теорему о свертке, можно попытаться непосредственно найти оригинал для произведения .

Пример 11 .2 . Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение . Находим основную систему решений соответствующего однородного уравнения, затем, пользуясь соотношением (11.16), находим общее решение данного дифференциального уравнения. 1=x’’[t]+2*x’[t]+5*x[t]; L=Expand[LaplaceTransform[1,t,p]];

Δ=-Coeffiicient[L, LaplaceTransform [x[t],t,p]];

Δ0=-Coeffiicient[L,x[0]];

Δ1=- Coeffiicient[L,x’[0]];

fo=FullSimplify[InverseLaplaseTransform[Δ0/Δ, p,t]]

f1= FullSimplify [InverseLaplaseTransform[Δ1/Δ, p,t]]

f=c0*f0+c1*f1;

f1= FullSimplify [InverseLaplaseTransform[Δ1/Δ, p,t]]

f1=f1/.t→t-τ

Integrate[Sin[τ]^2*f1, { τ,0,t};

F=f+%


41

Пример 11.3 . Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:

Решение . При решении будем сразу учитывать начальные условия. Сначала найдем изображение неизвестного решения , а затем его оригинал .

x[0]=1;

x’ [0]=3;

1=x’’[t]-3*x’[t]+2*x[t]-t*Sin[3*t];

L=[LaplaceTransform[ 1, t, p ]

L=L/.[LaplaceTransform[x[t],t,p]→X

G=Solve[L==0,X];

x=InverseLaplaseTransform[Replace[X,G[[1]]],p,t] Пример 11.4 . Найти решение дифференциального уравнения

где . Решение . Поступим в данном случае так же, как и при решении предыдущего примера. G=UnitStep[t]; 1=x’’’ [t]+6*x’’[t]+11*x’[t]+6*x[t]-D[g,{t,2}]-5*D[d,t]-6*g; L=LaplaseTransform[l,t,p]; L=L/.{x[0]→1,x’[0]→-3,x’’[0]→9}; L=L/.(LaplaseTransform[x[t],t,p])→X; G=Solve[L==0,X]; X=X/.G[[1]]; X=InverseLaplaseTransform[X,p,t] Null

Предположим, что многочлен имеет простые корни . Тогда, пользуясь теоремой, мы можем записать

Подставляя найденные значения в формулу (11.4), мы после элементарных

преобразований найдем


42

, (11.17)

где константы линейно выражаются через начальные условия. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами имеет вид

(11.18)

Изображающая система при начальных условиях будет иметь вид (11.19)

Изображения искомых функций определятся по аналогии со сказанным выше следующим образом: (11.20) Отсюда, используя теорему о свертке, получим

(11.21) Если в (11.18) заменить начальные значения произвольными постоянными, то мы получим общее решение рассматриваемой системы. Пример 11.5 . Найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее при условиям

Решение . Находим изображающую систему, определяем изображения неизвестных функций, а затем находим их оригиналы.

A={{2,4},{-1,2}}; f={Cos[t],Sin[t]);

X0={-2,1};n=2;

T=Table[y[i]’[t]-Sum[A[[I,j]]*y[j][t],{j,1,n}]-f[[i]],{I,1,n}];

T1=Table[LaplaceTransform[T[[i]],t,p],{I,1,n}];

X1=Table[y[i][0]→x0[[i]],{I,1,n}];

T1=T1/.x1;

X2=Array[x,n];

X=Table[LaplaceTransform[y[i][t],t,p]→x2[[i]],{I,1,n}];

T1=T1/. x;

T2=Table[T1[[i]]=0, {I,1,n}];


43

R=Solve[T2,x2];

X=x2/.R[[1]];

X=Table[InverseLaplaceTransform[x[[i]],p,t],{I,1,n}] Преобразование Лапласа дает возможность интегрировать линейные

дифференциальные уравнения, коэффициенты которых представляют собой степени или в более общем случае некоторые полиномы от . Тогда отдельные члены такого уравнения будут иметь вид

Заменим в рассматриваемом уравнении каждое слагаемое его

преобразованием Лапласа. Если обозначить общий член рассматриваемого уравнения через то, учитывая

и применяя теорему о дифференцировании изображений, получим

(11.22) Отсюда следует, что преобразование исходного уравнения с переменными коэффициентами приводит в общем случае к дифференциальному уравнению относительно изображения также с переменными коэффициентами. Порядок этого уравнения равен наивысшей степени , встречающейся в коэффициентах исходного уравнения. Если изображающее уравнение решается, то, применяя затем рассмотренные выше способы отыскания оригинала по заданному изображению, мы решим поставленную задачу. Пример 11.6 Найти решение уравнения

Решение . Применим описанный выше алгоритм, используя систему Maple. >restart:with(inttrans): >l:t*diff(x(t),t$2)+(1-t)*diff (x(t) , t)+4x(t): >L:=laplace(l,t,p): >L1:=subs(laplace(x(t) , t, p)=y(p), L): >Y:=dsolve(L1=0, y(p)): >Y:=rhs(Y): >invlaplace(Y, p, t); Предложенный подход к решению дифференциальных уравнений с

переменными коэффициентами позволяет находить изображения некоторых функций. С этой целью решается дифференциальное уравнение при помощи стандартных функций систем компьютерной математики, а затем находится


44

изображение решения этого дифференциального уравнения описанным методом.

12. Преобразование Лапласа обобщенных функций. Пусть а- произвольное вещественное число. Обозначим через La множество функций, удовлетворяющих следующим условиям:

Функция φ(t), принадлежащая рассматриваемому множеству, в каждой точке вещественной оси имеет производные всех порядков. Для каждого целого неотрицательного k функция exp(at) φ(k)(t) ограничена на на положительной полуоси.

Обозначим через ρa,k(φ) следующее число

ρa,k(φ)= .)()exp(sup )(

0tat k

tϕ

∞<≤

Определение 12.1. Будем говорить, что последовательность функций { },)(tnϕ n=1,2, … сходится к нулю в La , если каждая из числовых последовательностей ρa,k(φn), k=0,1, …

сходится к нулю.

Определение 12.2. Обобщенной функцией на пространстве La называется всякий линейный непрерывный функционал на этом пространстве, т.е. линейный функционал f , обладающий свойством: если последовательность функций { },)(tnϕ n=1,2, … сходится к нулю в La, то и числовая последовательность (f, φ) также сходится к нулю.

Можно доказать, что если f – обобщенная функция в смысле определения, данного ранее, носитель которой сосредоточен на положительной полуоси , то f будет обобщенной функцией и в смысле определения (6). В частности, δ – функция будет обобщенной функцией в смысле этого определения.

Определение 12.3. Преобразованием Лапласа обобщенной функции f называется обычная функция, определяемая следующим образом

F(p)=(f,exp(-pt)).

Пример 12.1. Найти преобразование Лапласа функции δ(х).

Решение.

(δ(х),(-pt))=exp(-p*0)=1.


45

Можно доказать, что преобразование Лапласа обобщенной функции является аналитической функцией в некоторой полуплоскости Re(p)> δ f.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 12.1. Пусть f(t) - обобщенная функция, f(t) )( pF⇔ .Тогда выполняется следующие соотношения :

1) )()1()( pFtft kkn −⇔ , Re(p)> δf ;

2) fkk ppFptf σ>⇔ )Re(),()()(

3) fppFptf σττ >−⇔− )Re()()exp()(

4) );Re()Re(),()()exp( ασαα −>+⇔− fppFpFt

5) .)Re(;1)( fppFtf λσλλ

λ >⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇔

Можно также доказать, что для того, чтобы функция F(р) была преобразованием Лапласа обобщенной функции f(t), необходимо и достаточно, что бы она была аналитической в некоторой полуплоскости Re(p)> δ и удовлетворяла в ней условию

),()( pQpF ≤

где Q(|p|) –полином относительно |p|.

Для преобразования Лапласа обобщенных функций имеет место следующая теорема обращения.

Теорема 12.2. Пусть f(t) )( pF⇔ при Re(p)> δ . Тогда

,)exp()(21lim)( ∫

+

−∞→

=irs

irsr

dtptpFi

tfπ

где s – произвольное число, удовлетворяющее соотношению s > δ , а сходимость понимается в смысле сходимости в пространстве обобщенных функций.


46

Определение 12.4. Пусть f(t) и g(t) – две обобщенные функции. Сверткой этих функций f*g называется обобщенная функция, определяемая соотношением

))).(),((),(())(,*( τϕτϕ += tgtftgf

Из этого определения следует, что любой обобщенной функции f(t) выполняется соотношение f* δ=f . Действительно,

.))(),(()))(),((),(())(,*( fttfttftf ==+= ϕτϕτδϕδ

Кроме этого можно доказать, что имеют место соотношения

).(*)(*)(

ττδδ

−=−=

tfftff kk

Теорема 12.3. Пусть f(t) )( pF⇔ , ).()( pGtg ⇔ Тогда ).()(* pGpFgf ⇔

Упражнение. Дана функция F(p)= .12 +p Показать, что эта функция является изображением для некоторой обобщенной функции и найти ее оригинал.

ЛИТЕРАТУРА

1. Преобразование Лапласа. Свойства и применения : Пособие по специальному курсу для студентов 3-6 курсов мат. фак. всех форм обучения / А.В.Глушко, В.П.Глушко .— Воронеж, 2004 .— 56 с.

2. Кристалинский Р. Е. Преобразования Фурье и Лапласа в системах компьютерной математики: учеб. пособие для вузов. / Р. Е. Кристалинский, В. Р. Кристалинский – М. : Горячая линия – Телеком, 2006. – 216 с.


47

Учебное издание

Интегральные преобразования в уравнениях с частными производными

Учебно-методическое пособие для вузов

Составители: Ткачева Светлана Анатольевна

Савченко Юлия Борисовна

Редактор


Internet

метод интегральных преобразований в задачах математической физики