Embed Size (px)
Citation preview
JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
F2B U6 Moviment ondulatori
P 2JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
El moviment periòdic és aquell moviment que es repeteix a intervals regulars de temps, de manera que el mòbil descriu la mateixa trajectòria al llarg del temps.
Un moviment oscil·latori és aquell moviment periòdic en el qual el mòbil es mou al voltant d’una posició d’equilibri passant una vegada i una altra per aquesta posició d’equilibri de manera que descriu la mateixa trajectòria contínuament.
Moviment de la Terra al voltant del Sol.
El moviment d’una pilota elàstica quan cau.
El moviment d’oscil·lació d’una molla.
El moviment d’un pèndol.
El moviment del cor.
1. Moviments periòdics
P 3JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
Els moviments oscil·latoris es poden estudiar a partir del moviment oscil·latori més senzill que es dóna a la natura: moviment harmònic simple.
Tots els moviments oscil·latoris es poden reduir a combinacions de moviments harmònics simples.
El moviment harmònic simple es verifica en una sola dimensió. A la pràctica sempre cal considerar un cert fregament, per petit que sigui, de manera que l’amplitud de les oscil·lacions van disminuint, i el mòbil acaba parant-se: oscil·lacions amortides.
El moviment harmònic simple és aquell moviment que resulta de projectar un moviment circular uniforme sobre un eix que passi pel centre de la circumferència i que estigui contingut en el pla que la defineix.
2. El moviment harmònic simple
P 4JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
Per trobar l’equació del moviment harmònic simple ho podem fer a partir de la comparació amb en moviment circular uniforme que el podria originar.
Si considerem la projecció del moviment circular sobre l’eix x, trobem:
)··cos(·cos tAAx
)··sin(·sin tAAy
Si considerem la projecció del moviment circular sobre l’eix y, aleshores:
En forma més general, sigui quina sigui la posició inicial del cos:
)··sin( 0 tAy
3. Equació del moviment harmònic simple
P 5JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
Posició vertical en funció del temps:
Període T
Període T
P 6JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
Elongació, y: magnitud que oscil·la, que varia. [m]
El gràfic que obtenim per al desplaçament del cos és una corba sinusoïdal en funció del temps.
Les diferents magnituds que carateritzen aquest moviment:
Amplitud, A: màxima elongació. [m]
Període, T: temps per fer una oscil·lació completa. [s]
Freqüència, f = 1/T: nombre d’oscil·lacions per unitat de temps. [Hz]
Fase, ·t+0: funció del temps. [rad]
Pulsació, = 2·p/T = 2·p· f: velocitat de variació de la fase. [rad/s] )··sin( 0 tAy
4. Magnituds del MHS
P 7JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
Equació del moviment:
Per obtenir la velocitat i l'acceleració del moviment harmònic simple, hem de fer la primera i la segona derivada de l'equació del moviment y(t). Així doncs:
Equació de la velocitat:
Equació de l'acceleració:
P 8JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
x
y
π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π 9π/2 5π
-1
1
y=sin(x)y=cos(x)
Per veure els desfasaments entre posició, velocitat i acceleració recordarem les relacions trigonomètriques entre sinus i cosinus:
5. Desfasaments en el MHS
P 9JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
Si suposem, per simplificar, que el mòbil passa en el temps inicial per l'elongació màxima:
Si observem aquestes expressions, veiem que, en un instant de temps t, la fase de l'elongació y(t) és ·t, mentre que la fase de la velocitat és ·t+p/2; per tant, la diferència de fase o desfasament és:
Amb l'acceleració el desfasament és:
P 10JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
Si ens fixem bé en els gràfics veurem que en el moviment harmònic simple:
El mòdul de la velocitat és màxim quan el mòbil passa per la posició d'equilibri (y=0); per contra, s'anul·la quan el mòbil passa pels punts extrems (y=±A). El valor màxim de la velocitat serà:
El mòdul de l'acceleració és màxim quan el mòbil passa pels punts extrems (y = ±A) i s'anul·la quan y = 0. El valor màxim de l'acceleració serà:
6. Velocitat i acceleració màximes del MHS
P 11JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
Podem comprovar aquesta hipòtesi si recordem que la força elàstica F verifica la llei de Hooke:
amF ·
Una força recuperadora proporcional a l’elongació provoca un moviment harmònic simple.
0)(·· 2
2
tykdtydm
Les úniques funcions que compleixen aquesta equació diferencial són les funcions sinus i cosinus:
yAdtyd
tAdtdy
tAty
·)··sin(·
)··cos(·
)··sin()(
20
22
2
0
0
mk
0··· 2 ykym
Quan l’acceleració d’un objecte és proporcional al seu desplaçament i de sentit contrari a aquest, l’objecte es mourà amb moviment harmònic simple
Condicions en termes d’acceleració per al MHS
7. Dinàmica del MHS
P 12JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
El pèndol simple consisteix en una massa m (de grandària negligible) suspesa d’una corda de longitud L i massa negligible.
L’angle que forma amb la vertical varia com una funció sinus o cosinus del temps.
8. El pèndol simple
P 13JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
La força restauradora és proporcional al sinus de l’angle (sin ), i de signe contrari al desplaçament, mentre que en una molla era proporcional al desplaçament ( en aquest cas):
gLT
Lg
p
2
2
2
···sin·dtdLmgm
ydtyda ·22
2
··sin2
2
Lg
Lg
dtd
Lmgm ···sin·
tT amF ·
P 14JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
En el cas d’una molla que oscil·la les energies que cal tenir present són l’energia potencial elàstica i l’energia cinètica. Quan la massa es troba en qualsevol dels extrems d’oscil·lació la velocitat és zero i tota l’energia és potencial. En absència de forces dissipatives es conserva l’energia mecànica del sistema. En la posició d’equilibri la velocitat és màxima i l’energia potencial zero:
22 )··(·21··
21 AmvmE màxmàxc
22 ·21··
21 AkxkE màxmàxp
Com es compleix el principi de conservació de l’energia mecànica (absència forces dissipatives), aquesta energia és la mateixa en qualsevol posició:
222 )··(·21·
21·
21 Amvmxk
9. Estudi energètic del MHS
P 15JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
10. El moviment ondulatori harmònic (MOH)
Ona és qualsevol tipus de pertorbació que es propaga per l’espai sense transport de matèria.
Ones transversals: si la direcció de vibració és perpendicular a la direcció de propagació (ones sísmiques S, ones electromagnètiques, ones d’una corda,...)
Ones longitudinals: si la direcció de vibració és la mateixa que la de propagació (ones sísmiques P, el so,...).
Tipus d’ones segons la forma de vibració:
P 16JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
IR B
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
log f (Hz)
X
UV extrem
UV AUV BUV C
0
11
12
13
14
15
16
17
IR
Visible
IR CMW
RF
Durs
Tous
EHFSHF
UHF
VHFHF
MF
LF
VLF
ELF
Ones electromagnètiques: es poden transmetre tant en medis materials com en el buit i són produïdes per camps electromagnètics. Exemples: llum visible, ones ràdio, microones,...
Ones mecàniques: necessiten un medi material per propagar-se i són causades per pertorbacions mecàniques (desplaçaments, canvis de pressió,...). Exemples: ones sísmiques, el so,...
11. Tipus d’ones segons el tipus de pertorbació
P 17JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
En una dimensió, ones unidimensionals: per exemple el so per un fil metàl·lic, la llum laser,...
En dues dimensions, ones 2D o bidimensionals: per exemple ones circulars damunt l’aigua, ones de so damunt una placa metàl·lica,...
En tres dimensions, ones 3D o tridimensionals: per exemple: les ones sísmiques, les ones del so dins l’aire, les ones de telefonia mòbil, la llum d’una làmpada, etc.
12. Tipus d’ones segons nombre dimensions propagació
P 18JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
La velocitat de fase d’una ona és la velocitat amb què es transmet la pertorbació des del focus fins a un punt determinat del medi, és a dir, la velocitat de fase no és sinó la velocitat amb què es transmeten la quantitat de moviment i l’energia des del focus emissor fins als diferent punts del medi.
13. Velocitat de fase, front d’ona i raig.
El front d’ona és el conjunt de punts del medi als quals arriba la pertorbació en un instant de temps determinat.
Anomenem raig qualsevol línia recta que sigui perpendicular a un front d’ona determinat. Els diferents raigs corresponen a diferents direccions de propagació de l’ona.
COMPTE! No confondre amb la velocitat de la vibració de l’ona.
P 19JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
Les ones que trobem a la natura són molt complexes, com per exemple les ones sonores produïdes pels instruments musicals.
Però el físic francès Joseph Fourier (1768-1830) va descobrir que qualsevol ona, per complicada que sigui, es pot obtenir sumant ones harmòniques, és el teorema de Fourier.
14. Les ones harmòniques.
P 20JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
La molla situada a una distància x del focus oscil·la igual que ho fa el focus, però més tard. Necessita que passi un temps (t’) per a que li arribi la informació d’on està oscil·lant el focus. Quina és l’equació del seu moviment?
0··2·sin),(
p xTtAxty
Equació de d’Alembert o de les ones harmòniques unidimensionals
Pot anar amb sinus o amb cosinus. Si avança cap a la dreta els signes de les dues fraccions del parèntesi són diferents. Si avança cap a l’esquerra són iguals.
Representa el moviment MVHS d’una partícula a una distància x del focus.
15. Equació d’ona.
0'··sin),( ttAxty
0··sin
onavxtA
0··2·sin p
onavxt
TA
0·
··2·sin ponavTx
TtA
P 21JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
Magnituds que depenen del MVHS del focus:
Magnituds que depenen del medi de propagació:
16. Magnituds del MOH
Elongació, y: magnitud que oscil·la, que varia.
Amplitud, A: màxima elongació.Període, T: temps per fer una oscil·lació completa.
Freqüència, f = 1/T : nombre d’oscil·lacions per unitat de temps. Fase, : funció del temps.
Pulsació, = 2·p/T = 2·· f: velocitat de variació de la fase.
Desplaçament, x: distància al focus.
Longitud d’ona, : mínima distància entre dos punts amb el mateix estat d’oscil·lació.
Velocitat d’ona, vona = / T = · f: velocitat de propagació de l’ona en la direcció x.
P 22JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
Equació d’ona:
En general es comença a comptar el temps sense fase inicial, però de vegades pot haver-hi una certa fase 0 a l’equació.
A voltes es fa servir el nombre d’ona (k), que és el nombre de vegades que es repeteix l’ona en una longitud de 2·p m (rad/m).
p ·2
kv
k
Es desplaça d’esquerra a dreta
Es desplaça de dreta a esquerra
p xTtAxty ··2·sin),(
xktAxty ···sin),(
p xTtAxty ··2·cos),(
xktAxty ···cos),(
p xTtAxty ··2·sin),(
xktAxty ···sin),(
p xTtAxty ··2·cos),(
xktAxty ···cos),(
P 23JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
msTHzfmA330
1305 p
Problema: Determina del següent MOH (SI):
1. L’amplitud, la freqüència, el període, la longitud d’ona, la velocitat de propagació.2. La fase als 0,1 s a 1,0 m del focus.3. La velocitat de vibració als 0,1 s del MVHS d’un punt a 2 m del focus.
xty ··106·sin5 p
pp
ppppp
pp xtxtxty ·3·302·sin5
26
2602·sin5660
22·sin5
rady 87,1211,0··106)1,1,0( p
smv
xtxtdt
xtddt
xtddtdyv
v
v
796566,0cos3002·61,060cos3002,1,0
660cos30060·660·cos5660·sin5106·sin5
ppp
pppppp
smfT
vona /1030·3
· pp
P 24JOSEPCASTELLSJOSEPCASTELLS
ms2T p
Problema: Determina del següent MOH (SI):
1. La fase inicial.2. La diferència de fase, Δ, entre dos punts consecutius separats 0,5 m.3. L’interval de temps entre dos punts la qual diferència de fase és de p rad.
2·2··sin2,0 pp xty
222·sin2,0
22·2
2·2·sin2,0
2·2·
22·sin2,0 p
ppp
pppppp
pp xtxtxty
rad
xt
220·20·0,0
2·2·
0ppp
pp
radmradm 1·2·5,0
pp
sradsradt 1
·22·
pp
