Teori graph: Eulerian dan Hamiltonian Graph

LAPORAN TUGAS TEORI GRAPH

EULERIAN GRAPH DAN HAMILTONIAN GRAPH

JEROL VIDEL LIOW12/340197/PPA/04060

PROGRAM STUDI S2 MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUANALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADAYOGYAKARTA

2014

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

I PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

II EULERIAN DAN HAMILTONIAN GRAPH . . . . . . . . 3

2.1. EULERIAN GRAPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. HAMILTONIAN GRAPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

IIIPENUTUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

ii

BAB I

PENDAHULUAN

Teori Graph merupakan bagian dari matematika diskrit yang telah

mengalami perkembangan yang sangat cepat. Masalah ”Jembatan Konigs-

berg” yang dipresentasikan oleh seorang ahli matematika bernama Leonhard

Euler p ada tahun 1736 dikenal sebagai permulaan pembahasan teori gra-

ph (Harju, 2007). Selain mengalami perkembangan secara teori dalam bidang

matematika diskrit, teori graph sendiri telah memberikan manfaat dalam pe-

nerapannya di bidang-bidang jaringan komunikasi, ilmu komputer, jaringan

listrik, jalur transportasi, teknik kimia, dan lainnya.

Seperti yang disinggung di atas, masalah ”Jembatan Konigsberg” mem-

beri sumbangan penting dalam teori graph. Kasusnya yaitu, dapatkah orang

melalui ”Jembatan Konigsberg” tepat satu kali dan kembali lagi ke tempat

semula? Dalam bahasa teori graph, setiap edge harus tepat satu kali dilewati

dalam melakukan perlintasan untuk kembali ke verteks awal dalam suatu gra-

ph yang diberikan. Jelas bahwa tidak semua graph memiliki sifat seperti ini.

Dari sinilah muncul konsep mengenai Eulerian Graph.

Dalam tulisan ini akan diberikan beberapa kajian mengenai Eulerian

Graph: definisi serta beberapa hasil berupa lemma dan teorema mengenainya.

Diperlukan beberapa konsep yang diharapkan dapat menjadi modal dalam

pembahasan selanjutnya, yaitu pengertian-pengertian mengenai path, chain,

cycle, cirkuit, connected graph, serta lemma yang sangat terkenal dalam pem-

bahasan teori graph, yakni Handshaking Lemma.

Definisi-definisi dan lemma berikut berdasar dalam buku Teori Graph -

Bahan Kuliah Pasca Sarjana Jurusan Matematika UGM karangan Prof. Se-

tiadji.

1

2

Path. Suatu barisan edge dengan sifat bahwa semua edge-nya tidak boleh ada

yang sama, kecuali verteks-nya disebut path.

Chain. Suatu barisan edge dimana baik edge maupun verteks-nya berlainan

disebut chain.

Cycle. Cycle merupakan path tertutup.

Circuit. Circuit merupakan chain tertutup.

Connected Graph. Suatu graph G dikatakan connected jika untuk setiap

dua verteks dari G sekurang-kurangnya dihubungkan dengan satu chain. Gra-

ph yang hanya terdiri atas satu verteks dikatakan connected. Graph dengan

lebih dari satu komponen disebut disconnected.

Handshaking Lemma. Jumlah semua degree dalam suatu graph G adalah

genap, yakni dua kali banyaknya edge dalam graph G.

Berikut diberikan suatu masalah yang disebut sebagai masalah ”Perja-

lanan Salesman”. Seseorang berkunjung ke suatu provinsi dan berharap dapat

mengunjungi setiap kota dengan biaya seminimal mungkin. Hal ini hanya da-

pat dimungkinkan jika dia melakukan perjalanan dengan melalui semua kota

tepat satu kali, dan secara langsung melalui hanya tepat satu jalan penghu-

bung kota. Dalam bahasa teori graph, apakah terdapat graph yang mana

setiap verteks-nya dapat dilalui dengan tepat satu kali, dan kembali ke ver-

teks awal. Sudah tentu tidak semua graph memiliki sifat seperti ini, sehingga

menuntun pada suatu kajian lagi mengenai Hamiltonian Graph.

Tulisan ini membahas mengenai Eulerian Graph dan Hamiltonian Gra-

ph. Pada bagian pertama diberikan pengertian serta beberapa hasil berkaitan

dengan Eulerian Graph, di antaranya menyatakan kapan suatu connected gra-

ph dikatakan sebagai Eulerian Graph. Di bagian berikutnya akan diberikan

kajian mengenai Hamiltonian Graph, yaitu akan dinyatakan apa yang menjadi

syarat cukup bagi suatu graph untuk menjadi Hamiltonian Graph.

BAB II

EULERIAN DAN HAMILTONIAN GRAPH

Masalah ”Jembatan Konigsberg” seperti yang telah disinggung dalam

bagian pendahuluan menampilkan suatu kasus bagaimana suatu graph dilalui

sedemikian hingga setiap kali melakukan perlintasan sampai kembali ke titik

awal, setiap edge dihindari untuk dilintasi sebanyak lebih dari satu kali. De-

ngan kata lain, jika diberikan graph G seperti pada Gambar 2.1, apakah setiap

edge dapat dilewati dengan tepat satu kali (verteks-nya dapat lebih dari sekali)

dalam sekali perlintasan untuk kembali ke verteks awal?

Gambar 2.1 Graph ”Jembatan Konigsberg”

Untuk menjawab persoalan ini, diperlukan beberapa konsep mengenai

Eulerian Graph yang akan dibahas sebagai berikut.

2.1. EULERIAN GRAPH

Konsep pertama yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah Eulerian

Graph.

Definisi 2.1.1 (Setiadji) Suatu connected graph disebut Eulerian graph jika

dapat ditemukan suatu path tertutup yang memuat semua edge dari graph G,

sehingga juga memuat semua verteks dari graph G. Path yang demikian disebut

3

4

Eulerian path. Jika tidak terdapat path tertutup, tetapi dapat ditemukan path

yang tidak tertutup, maka graph tersebut dinamakan semi Eulerian. Suatu

graph yang tidak dapat ditemukan sedikitnya satu path disebut non Eulerian.

Berikut diberikan contoh Eulerian graph, semi Eulerian, dan non Eu-

lerian.

Contoh 2.1.2 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.2.

Gambar 2.2 Eulerian Graph

Dari graph G, dapat ditemukan barisan edge:

v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v6 → v7 → v5 → v3 → v7 → v2 → v6 → v1.

Barisan edge tersebut melaui semua edge dari graph G, yaitu merupakan Eu-

lerian path. Dari sini maka graph G dinamakan Eulerian graph. �


Gambar 2.3 semi Eulerian Graph

Dari graph G, tidak terdapat path tertutup, tetapi dapat ditemukan

barisan edge:

v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v6 → v3 → v5 → v1 → v6 → v2.

5

Barisan edge tersebut merupakan path yang tidak tertutup, tetapi melalui se-

mua edge dari graph G. Dengan demikian graph G merupakan semi Eulerian.

�


Gambar 2.4 non Eulerian graph

Dari graph G, tidak dapat ditemukan path yang memuat semua edge

maupun semua verteks dari graph G. Dengan demikian, graph G merupakan

non Eulerian. �

Berikut diberikan lemma yang menyatakan syarat cukup bagi suatu

graph yang memiliki paling sedikit satu circuit.

Lemma 2.1.5 (Setiadji) Jika G suatu graph dengan degree setiap verteksnya

genap, maka G mempunyai sekurang-kurangnya satu circuit.

Bukti. Jika G terdiri dari loop-loop atau multiple edges maka diperoleh

penyelesaian yang trivial.

Misalkan G adalah simple graph dan misalkan v adalah sembarang verteks

dari graph G, maka akan dapat ditemukan edge sequence: v → v1 → v2 →

· · · , dimana v1 dipilih sedemikian sehingga berlainan dengan v sebab degree

dari setiap verteks genap.

Karena graph G adalah berhingga maka suatu waktu pasti diperoleh suatu

verteks yang sama dengan verteks sebelumnya. Jadi pasti terdapat circuit

dalam graph G. �

6

Teorema berikut merupakan teorema yang sangat penting karena me-

nyatakan karakterisasi dari Eulerian graph, yaitu syarat cukup dan syarat perlu

dari suatu connected graph untuk menjadi Eulerian graph.

Teorema 2.1.6 (Setiadji) Suatu connected graph G adalah eulerian jika dan

hanya jika degree dari setiap verteksnya genap.

Bukti. (=⇒) Misalkan P adalah Eulerian path dari graph G. Pasti P melalui

sembarang verteks, dimana verteks tersebut memberikan dua degree kepada

verteks itu. Karena setiap edge ada pada P tepat satu kali, maka setiap

verteks mempunyai degree genap.

(⇐=) Digunakan bukti dengan induksi matematik. Ambil sebarang connected

graph G, setiap verteks dari G mempunyai degree sekurang-kurangnya dua.

Dan menurut Lemma 2.1.5, G pasti mempunyai circuit C. Jika C memuat

setiap edge dari G, maka persoalan selesai. Tetapi jika tidak, laluilah dalam

G edge-edge dari C, buat graph H dimana jumlah edge-nya lebih kecil dari

jumlah edge dalam G dan setiap verteks dari H mempunyai degree genap.

Karena induksi hipotesa, setiap komponen dari H mempunyai Eulerian path.

Mulailah dari salah satu komponen, misalnya H2. Pilihlah komponen yang lain

(misal H1) untuk memperoleh Eulerian path P1 yang memuat komponen H2

dan H1. Demikian seterusnya (lihat Gambar 2.5) sampai diperoleh Eulerian

path yang memuat semua verteks dan berakhir di verteks mula-mula (initial

verteks). �

Gambar 2.5 Eulerian graph

7

Akibat 2.1.7 (Wilson, 1996) Suatu connected graph G merupakan Eulerian

jika dan hanya jika keluarga edgenya dapat dipisah-pisahkan atas circuit-circuit

yang saling asing.

Bukti. (=⇒) Diketahui connected graph G adalah Eulerian graph yang non-

trivial. Berdasarkan Teorema 2.1.6, setiap verteks dari G memiliki degree

genap. Jadi, degree terkecil dari G adalah dua. Dari Lemma 2.1.5, maka

G pasti mempunyai circuit, katakan circuit Z. Penghapusan edge-edge dari

Z menghasilkan spanning subgraph G1 dan setiap verteks dalam G1 mem-

punyai degree genap. Jika G1 tidak mempunyai edge, maka terbukti. Jika

sebaliknya ulangi proses diatas sehingga menghasilkan spanning subgraph G2

dimana setiap verteks-nya mempunyai degree genap. Dan seterusnya, proses

terus diulangi sampai diperoleh totally disconnected graph Gn dan mempu-

nyai partisi-partisi terdiri atas edge-edge dari G yang merupakan n-circuit.

(⇐=) Diketahui connected graph G yang keluarga edge-nya dapat dipisah-

pisahkan atas circuit-circuit yang saling asing. Karena circuit dapat dipan-

dang sebagai cycle, maka G dapat dipandang terpartisi ke dalam cycle-cycle

yang saling asing.

Misal Z1 adalah salah satu cycle dari partisi. Jika G hanya memuat Z1, bukti

selesai yaitu G Eulerian. Jika tidak, yaitu terdapat cycle lain katakan Z2

dengan verteks v dalam Z2 yang juga sekaligus merupakan verteks dari Z1,

maka path dari G dimulai dari v serta memuat cycle Z1 dan Z2. Jadi terdapat

path tertutup dimana semua edge-nya adalah cycle-cycle Z1 dan Z2. Teruskan

proses diatas untuk semua cycle dalam G sehingga akhir dari proses diperoleh

path tertutup yang memuat semua edge dari G. Dengan demikian, G meru-

pakan Eulerian. �

Akibat 2.1.8 (Wilson, 1996) Suatu connected graph G adalah semi Eulerian

jika dan hanya jika G mempunyai tepat dua verteks dengan degree ganjil.

Bukti. (=⇒) Diketahui connected graph G adalah semi Eulerian. Berarti

terdapat path P yang tidak tertutup dari graph G, dimana P melalui setiap

8

edge dengan tepat satu kali dan dengan demikian P melalui setiap verteks

dari G. Misalkan v dan w merupakan verteks awal dan verteks akhir dari

P . Karena setiap edge pada P dilalui dengan tepat satu kali, maka setiap

kali melalui verteks dalam G, harus ada dua edge yang dilalui. Ini berlaku

untuk semua verteks dalam G, kecuali v dan w. Ini berarti setiap verteks dari

G memiliki degree genap, kecuali v dan w. Selain edge awal dan edge akhir,

terdapat dua edge setiap kali melalui verteks v maupun w. Dengan demikian,

verteks yang memiliki degree ganjil hanya v dan w.

(⇐=) Diketahui connected graph G yang mempunyai tepat dua verteks de-

ngan degree ganjil. Katakan dua verteks dengan degree ganjil tersebut dengan

u dan v. Misalkan H graph baru yang diperoleh dari G dengan menambahkan

verteks baru w dan menghubungkannya dengan verteks u dan v. Dari sini

maka diperoleh H merupakan connected graph dengan semua verteks memi-

liki degree genap. Berdasarkan Teorema 2.1.6, maka H merupakan Eulerian

graph. Misalkan P Eulerian path dari H dengan verteks w sebagai initial

point. Dari sini maka dengan menghapus kembali w, terdapat path yang tidak

tertutup P ′ yang memuat semua edge dari G, dengan u sebagai verteks awal

dan v sebagai verteks akhir. Dengan demikian, G merupakan semi Eulerian

graph. �

Jika dalam semi Eulerian graph mempunyai tepat dua verteks dengan

degree ganjil, maka pasti ada semi Eulerian path yang dimulai dari salah satu

verteks dengan degree ganjil dan diakhiri pada verteks dengan degree ganjil

yang lain. Dengan menggunakan Handshaking Lemma, suatu graph tidak

dapat dengan tepat mempunyai suatu verteks dengan degree ganjil. Sebab

jumlah degree dari seluruh verteks harus genap. Dari sini maka diambil suatu

kesimpulan yang kemudian dapat diangkat menjadi sebuah teorema, tetapi

sekaligus dapat dipandang sebagai algoritma untuk mendapatkan Eulerian

path dalam graph G. Algoritma ini sering pula disebut sebagai Algoritma

F leury.

9

Teorema 2.1.9 (Setiadji) Misal G adalah connected graph, maka kalimat-

kalimat berikut ekuivalen :

(i) G adalah Eulerian.

(ii) Setiap verteks dari G mempunyai degree genap.

(iii) Himpunan edge dari G dapat digolong-golongkan (dipisah-pisahkan) men-

jadi cycle-cycle yang saling asing.

Bukti. (i) =⇒ (ii) Misalkan P adalah Eulerian path dari graph G. Pasti P

melalui sembarang verteks, dimana verteks tersebut memberikan dua degree

kepada verteks itu. Karena setiap edge ada pada P tepat satu kali, maka

setiap verteks mempunyai degree genap.

(ii) =⇒ (iii) Pandang G connected graph yang non-trivial, dan setiap verteks

mempunyai degree genap. Jadi degree terkecil adalah dua. Selanjutnya G pas-

ti mempunyai cycle katakan Z. Penghapusan edge-edge dari Z menghasilkan

spanning subgraph G1 dan setiap verteks dalam G1 mempunyai degree ge-

nap. Jika G1 tidak mempunyai edge, maka (iii) terbukti. Jika sebaliknya ula-

ngi proses diatas sehingga menghasilkan spanning subgraph G2 dimana setiap

verteks-nya mempunyai degree genap. Dan seterusnya, proses terus diulangi

sampai diperoleh totally disconnected graph Gn dan mempunyai partisi-partisi

terdiri atas edge-edge dari G yang merupakan n-cycle.

(iii) =⇒ (i) Misal Z1 adalah salah satu cycle dari partisi. Jika G hanya me-

muat Z1, bukti selesai yaitu G Eulerian. Jika tidak, yaitu terdapat cycle lain

katakan Z2 dengan verteks v dalam Z2 yang juga sekaligus merupakan verteks

dari Z1, maka path dari G dimulai dari v serta memuat cycle Z1 dan Z2. Jadi

terdapat path tertutup dimana semua edge-nya adalah cycle-cycle Z1 dan Z2.

Teruskan proses diatas untuk semua cycle dalam G sehingga akhir dari proses

diperoleh path tertutup yang memuat semua edge dari G. Dengan demikian,

G merupakan Eulerian. �

10

Berikut diberikan contoh sebagai penerapan untuk Teorema 2.1.9


Gambar 2.6 Eulerian graph

Dari graphG, himpunan edge dariG dapat digolong-golongkan (dipisah-

pisahkan) menjadi cycle-cycle yang saling asing. Dengan demikian, graph G

merupakan Eulerian. �

Penyelesaian bagi masalah ”Jembatan Konigsberg” diberikan dalam

Contoh 2.1.11 berikut.


Gambar 2.7 Graph ”Jembatan Konigsberg”

Dari graph G, himpunan edge dari G tidak dapat digolong-golongkan

(dipisah-pisahkan) menjadi cycle-cycle yang saling asing. Selain itu, terdapat

verteks yang berderajat ganjil, yaitu ρ(v1) = ρ(v3) = ρ(v4) = 3 dan ρ(v2) = 5.

Dari sini, maka graph G merupakan Eulerian. �

Dengan demikian, berdasarkan Contoh 2.1.11, diperoleh jawaban untuk

kasus: ”Apakah ’Jembatan Konigsberg’ dapat dilalui dengan tepat satu kali

11

dan kembali lagi ke tempat semula?”, yakni tidak dapat. Hal ini dikarenak-

an ”Jembatan Konigsberg” tidak memenuhi syarat cukup sebagai Eulerian

graph.

Berikut diperhatikan suatu kasus yang sering disebut sebagai masalah

”Perjalanan Salesman”. Seseorang berkunjung ke suatu provinsi dan berha-

rap dapat mengunjungi setiap kota dengan biaya seminimal mungkin. Hal ini

hanya dapat dimungkinkan jika dia melakukan perjalanan dengan melalui se-

mua kota tepat satu kali, dan secara langsung melalui hanya tepat satu jalan

penghubung kota. Dalam bahasa teori graph, maka masalah ini adalah apakah

terdapat graph yang mana setiap verteks-nya dapat dilalui dengan tepat satu

kali saja, untuk dapat kembali ke verteks awal. Sudah tentu tidak semua gra-

ph memiliki sifat seperti ini, sehingga menuntun pada suatu kajian mengenai

Hamiltonian Graph.

2.2. HAMILTONIAN GRAPH

Di atas telah dibahas adanya path tertutup yang memuat setiap edge

dari connected graph G yang diberikan. Persoalan yang hampir sama seperti di

atas, tetapi lebih sulit yaitu adanya path tertutup yang melalui setiap verteks

dari G dengan tepat satu kali. Sekarang akan diberikan kajian mengenai Ha-

miltonian Graph, yaitu selain memberikan definisinya, juga akan dinyatakan

apa yang menjadi syarat cukup bagi suatu graph untuk menjadi Hamiltonian

Graph.

Definisi 2.2.1 (Setiadji) Diberikan graph G. Circuit dalam graph G yang me-

muat semua verteks dari G, yakni circuit tersebut incident dengan setiap ver-

teks dari graph G, dinamakan Hamiltonian circuit. Graph G yang memiliki

Hamiltonian circuit disebut Hamiltonian graph.

Graph yang mempunyai chain yang melalui setiap verteks dari G disebut semi

Hamiltonian graph, chain-nya disebut Hamiltonian chain.

12

Bipartite graph mempunyai beberapa Hamiltonian chain yang tidak

merupakan Hamiltonian circuit. Tidak ada bipartite graph dengan jumlah

verteks ganjil yang mempunyai Hamiltonian circuit (setiap simple circuit

dalam suatu bipartite graph mempunyai jumlah edges genap yang incident

dengan setiap verteks dengan jumlah genap juga). Jadi setiap Hamiltonian

graph pasti mempunyai Hamiltonian chain tetapi tidak sebaliknya. Sehingga

setiapHamiltonian graph pasti semi Hamiltonian graph. Tidak setiap graph

mempunyai Hamiltonian chain maupun Hamiltonian circuit; graph yang

tidak mempunyai Hamiltonian circuit juga tidak mempunyai Hamiltonian

chain disebut non Hamiltonian graph (misalkan tree). Berikut diberikan

contoh Hamiltonian Graph, semi Hamiltonian Graph, dan non Hamiltonian

Graph.


Gambar 2.8 Hamiltonian Graph

Dari graph G, dapat ditemukan barisan edge:

v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v6 → v7 → v8 → v1.

Barisan edge tersebut merupakan circuit, dan karena circuit tersebut melalui

setiap verteks dari graph G, maka circuit tersebut dinamakan Hamiltonian

circuit, sehingga graph G dinamakan Hamiltonian graph. �

13


Gambar 2.9 semi Eulerian Graph

Dari graph G, tidak terdapat chain tertutup, tetapi dapat ditemukan

barisan edge:

v4 → v6 → v5 → v7 → v3 → v1 → v2.

Barisan edge tersebut merupakan chain yang tidak tertutup, dan melalui se-

mua verteks dari graph G, sehingga chain tersebut merupakan Hamiltonian

chain. Dengan demikian, graph G merupakan semi Hamiltonian graph. �


Gambar 2.10 non Hamiltonian graph

Dari graph G, tidak dapat ditemukan chain yang memuat semua verteks

dari graph G. Dengan demikian, graph G merupakan non Hamiltonian. �

14

Teorema 2.2.5 (Setiadji) Jika G adalah simple graph dengan banyak verteks

n ≥ 3, dan ρ (v) ≥ 1

2n untuk setiap verteks v, maka G adalah Hamiltonian.

Bukti. Diketahui G adalah simple graph dengan banyak verteks n ≥ 3, dan ρ

(v) ≥ 1

2n untuk setiap verteks v. Diambil k verteks baru yang dihubungkan

dengan semua verteks dari G. Misal k adalah banyak minimum verteks baru

sedemikian hingga G = G+G1 Hamiltonian, dengan G1 = {p1, p2, p3, · · · , pk}.

Akan dibuktikan bahwa k = 0. Diandaikan k 6= 0 atau k > 0, maka karena G

Hamiltonian, ada Hamiltonian circuit untuk G, misal :

v → p1 → w → x→ y → · · · → v.

Maka v atau w tidak ajacent (sebab jika v dan w ajacent, maka p1 tidak di-

perlukan atau dapat dihapus. Dalam hal ini, tidak mungkin sebab k = banyak

minimum verteks baru sedemikian sehingga G Hamiltonian). Jika x titik se-

barang yang ajacent dengan v, maka x pasti tidak berada di Hamiltonian

circuit di atas, sehingga x tidak ajacent dengan w.

Jadi, (x ajacent dengan v ) =⇒ (x ajacent dengan w).

Sekarang diambil :

α = {x ∈ G′|x ajacent dengan v}

β = {x ∈ G′|x tidak ajacent dengan w}

Sehingga α ⊆ β, yaitu |α| ≤|β|.

Diperhatikan |α| ≥ 12n+ k sehingga |β| ≥ 1

2n+ k.

Dari sini maka, banyak titik dalam G yang tidak ajacent dengan w ≥ 12n+ k,

dan banyak titik dalam G yang adjacent dengan w ≥ 12n+ k.

Sehingga diperoleh banyak titik dalam G = n+ k ≥ 12n+ k.

Hal ini merupakan kontradiksi, sehingga pengandaian ditolak dan terbukti

k = 0 atau G = G Hamiltonian. �

15

Penerapan dari Teorema 2.2.5 diberikan dalam contoh berikut.


Gambar 2.11 Hamiltonian graph

Dari graph G, diperoleh sejumlah enam verteks, dan ρ(vi) =1

2· 6 = 3,

untuk setiap i = 1, 2, ..., 6. Berdasarkan Teorema 2.2.5, maka graph G meru-

pakan Hamiltonian graph.

Hamiltonian circuit dari graph G: a1, a7, a8, a5, a6, a2,

atau

v1 → v2 → v5 → v3 → v6 → v4 → v1.

�

BAB III

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

3.2. Saran

16

DAFTAR PUSTAKA

Harju,T, 2007, Lecture Notes on GRAPH THEORY, Department of Mathe-

matics University of Turku : Finland.

Setiadji, - , Teori Graph - Bahan Kuliah Pasca Sarjana Jurusan Matematika

UGM, Jurusan Matematika UGM: Yogyakarta.

Wilson, 1996 , Introduction to Graph Theory, edisi ke 4, Addison Wesley Lo-

ngman Limited: Edinburgh Gate.

17

Science

Teori graph: Eulerian dan Hamiltonian Graph