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Bessel関数に親しもう !

日曜数学者Kuma

日曜数学会 vol.52016年 3月 26日

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0

( 1)( )! ( 1) 2

mm

m

xJ xm m

Agenda

2

1. 自己紹介2. Bessel 関数は難しくない？3. カメラのレンズと Bessel 関数4. LTE も WiMAX も Bessel 関数 ~FM 変調 ~

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自己紹介

HN ： Kuma経歴：工学修士卒→エンジニア→研究者【免責事項】数学と本業の接点はなし。独学です！好きな分野：理論物理学、解析学、工学理論

趣味：野鳥観察、日本酒、ガジェットと電波、ゆるキャラ

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Bessel関数は難しくない？

2

0

( 1)( )! ( 1) 2

mm

m

xJ xm m

第１種 Bessel関数

( ) cos( ) ( )( ) limsin( )

n n

n

J x n J xY xn

→第２種 Bessel関数

第１種 Bessel関数 (各 νについて）

2 2 2'' ' ( ) 0x y xy x y Besselの微分方程式

なんか減衰振動っぽい？？

なるほど、さっぱりわからん

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Bessel関数は難しくない？

第１種 Bessel関数 Jの近似

減衰振動で近似できる 次数は位相の違いだけ

2 2 1( ) cos4

2 2 1( ) sin4

v

v

J x xx

Y x xx

X>>1漸近展開

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Bessel関数のルーツ

太鼓の膜の振幅を解析→ Bessel の微分方程式に帰着

振幅 =0

円対象な波動　が Bessel関数の正体

角度の条件⇔ベッセルの次数 n

振幅の条件⇔ゼロ点の次数m

𝜆0 𝜆1 𝜆𝑚

x ＝ L

𝜆𝑚

,( ) n mnR J

L

2 2

2 2

1 0R R n R

7http://web.tuat.ac.jp/~katsuaki/el/EL2008/slide_hikari04.pdf

2( sin )( )sin

sin,1.22

m

J kaIka

kaF F

w F

で暗点となる。

カメラの 値を 光波長を として第一暗環半径

𝜃

𝑎

𝑤

種別 記録密度比

スポットサイズ

F値 波長

CD 1 720 nm 0.77 780 nm

DVD 1.4 倍 600 nm 0.77 650 nm ( 赤 )

BD 6.4 倍 285 nm 0.59 405 nm ( 青 )

カメラの F値と Bessel関数

RRH（増幅機 )

局舎全国へ

セクタ２ セクタ１電波の繋がる仕組み

BBU(変調部 )

SW(ルータ )

伝送装置

F[Hz]

FM FM FM

ユーザー 1 ユーザー 2

800 MHz 帯

LTE

Ether

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FM変調のスペクトルは Bessel関数

cos( sin ) ( )cos( )nn

m t J m n t

http://www11.atwiki.jp/denpaarray/pages/40.htmlhttp://www.circuitdesign.jp/jp/technical/modulation/modulation_FM.asp

FM 変調の例： FM ラジオ、通信

中心周波数 高さ = ベッセル

高次

FMFM 波形

高次

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まとめ

Bessel 関数は減衰振動と思えば良い

円対象 + 波動　⇒ Bessel の出番？

Bessel は身近で活躍している

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太鼓の膜の振動と Bessel

2 2 22

2 2 2

2 2 22

2 2 2 2

( , , )

1 1

u u t

u u uct x y

u u u uct

極座標

振幅振幅 =0

角度の条件⇔ベッセルの次数 n

振幅の条件⇔ゼロ点の次数m

x ＝ L

𝜆𝑚

22

2

22

2

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

1 0

u T t R

T c Tt

n

R R n R

を仮定

,

,

( ) cos

( ) cos( )

( )

n m

n mn

cT t t

Ln

R JL

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太鼓の膜の振動と Bessel

http://www.natural-science.or.jp/article/20101108184753.php

(n,m)=(0,0) (n,m)=(0,1) (n,m)=(0,2)

(n,m)=(1,0) (n,m)=(1,1) (n,m)=(1,2)

叩く場所が対称性を失うと高次ベッセル関数が出る傾向

中心を叩くと 0 次ベッセルのみ

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なぜ回折像がベッセル関数になるか

回折像はレンズの開口形状のフーリエ変換となる（フレネル - キルヒホフの公式 )

円形の開口関数のフーリエ変換は J(x)/x である

波面

sin( )kx t

ホイヘンスの素元波

※ 二次元フーリエ変換を指す

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フレネルーキルヒホフの積分公式

第 4 章 フレネル・キルヒホッフの回折理論 ( 東海大 )

'

1( )4

' , ( , ')'

S

jkR jkR

S

jk

e e UU P Un R R n

eR W r r

r r

r rr r

が素元波

/ nは閉曲面 の法線方向の方向微分

電磁波の空間部分 U(x,y,z)は Helmholtz方程式に従う。Green関数論を用いると

R

0 0

0

' '

( ) ( ', ') ' ',x yjk x ys s

SU P A x y e dx dy A

スクリーンまで（距 s )離 が波長に比べ十分遠いとして

は開口面上の電界振幅A(x,y) の二次元フーリエ変換！

ホイヘンスの原理の正当化