Curvas Vertica l es

Con objetos de que no existen cambios bruscos en la dirección vertical de los vehículos en moviendo en carreteras y ferrocarriles, los segmentos adyacentes que tienen diferentes pendientes se conectan con una curva en un plano vertical, denominado curva vertical. Generalmente la curva vertical es el arco de una parábola, ya que esta se adapta bien al cambio gradual de dirección y permite el cálculo rápido de las elevaciones sobre la curva. Cuando las dos pendientes forman una especie de colina, la curva se llama cresta o cima cuando forma una depresión se llama columpio o vaguada.

La pendiente se expresa en porcentaje, así, una pendiente de 1 a 50 equivale al 2% ó0.02m/m.

En la fig. 3.1 (a) y (b) se ilustran curvas verticales en cresta y columpio.

Fig. 3.1 Tipos de curvas verticales.

P2 y P1 expresada en tanto por uno; es decir m/m en el sistema decimal que utilizamos

Todas las distancia en las curvas verticales se miden horizontalmente y todas las coordenadas desde la prolongación de la tangente, a la curva, se miden verticalmente. Cuando la tangente es ascendente en la dirección del cadenamiento, la pendiente es positiva, y cuando la cadena es descendiente, la pendiente es negativa.

El diseño de la curvas verticales en cresta y en columpio, es una función de la diferencia algebraica de las pendientes de las tangentes que se intersecan, de la distancia de visibilidad deparada o de rebase, las cuales a su vez son funciones de la velocidad del proyecto de los vehículos y de la altura de visión del conductor sobre la carretera; y del drenaje. Además de estos factores, el diseño de las curvas verticales en columpio, dependen también de las distancias que cubren el haz de luz de los faros del vehículos, de la comodidad del viajero y de la apariencia.

Los detalles que gobiernan el diseño de las curvas verticales, rebasan al alcance de este texto y pueden consultarse en libros de diseño Geométricos de carreteras Rurales y Urbanas (AASHTO).

Únicamente se proyectara curva vertical cuando la diferencia algebraica, entre dos pendiente sea mayor de 0.5% ya que en los casos de diferencia igual o menor de la indicada, el cambio es tan pequeño que en el terreno se pierde durante la construcción.

Análisis G e o m étr i cos d e las Curvas Vertica l es.

Para hacer análisis geométricos, tomaremos el caso de la curva vertical simétrica siguiente:

PCV : Punto de comienzo de la curva vertical. PTV : Punto de terminación de la curva vertical.PIV : Punto de intersección vertical de las tangentes.P1, P2 : pendientes de las tangentes de entrada y salida respectivamente. L : Longitud total de la curva vertical:Y : Ordenada del punto P de la curva vertical:

V : Ordenada vertical desde la prolongación de la tangente, a un punto P de la curva (V = NP).

Ø : Ordenada vertical desde el vértice a la curva. X : Distancia del PCV a un punto P de la curva.

La variación de la pendiente de la tangente a la curva, es constante a lo largo de ella, o sea; la segunda derivada de y con respecto a x es una constante.

d 2 y = k = Constante dx2

Integrando tenemos la primera derivada o la pendiente de la parábola.

dy = kx + Cdx

Cuando x = 0 ; dy = P1 de modo que P1 = 0 + C . dx

Cuando x= L ; dy = P2 de modo que P2 = KL + C. dx

Así : P2 = KL + P1, por lo que:

K = P2 - P1 (Se define como grado de cambio de pendiente en porcentaje por estación) L

De manera que:

d y = P2 - P1 X + P1

dx L

Integrando nuevamente para obtener ”Y” tenemos:

Y = P2 - P1 x 2 + P1 x + C1

L 2

Cuando X = 0, Y = 0 , C1

= 0.

Por otro lado tenemos : P1 = Y + V de modo que: Y = P1 x – vX

Sustituyendo valores;

P1 x – v = P2 - P1 x 2 + P1 x

L 2

Así tenemos que:

V = P2 - P1 x2

2L

Podemos prescindir del signo de V, sabiendo que si la curva está en el columpio, se suma la cota del tangente en el punto considerado, para encontrar el punto correspondiente de la curva y si la curva esta en cresta, se restara

Así : V = P2 - P1 x2

2L

donde:

V = Ordenada vertical a la curva de la tangente.

La cual es la ecuación de la curva Parabólica y se puede utilizar para calcular las elevaciones si se conocen P2 , P1 , L y la elevación del PCV.

El punto más bajo o más alto de una curva vertical, es de interés frecuente para el diseño del drenaje. En el punto más bajo o más alto, la tangente en la curva vertical es cero. Con la igualación con cero de la primera derivada de Y con respecto a X se obtiene:

KX + P1 = 0

X = - P1 Sustituyendo el valor de k nos queda: K

X = P1 L P2 - P1

X : es la distancia medida a partir del PCV.

Calculo de Curvas Verticales Simétricas.

Uno de los métodos para calcular una curva vertical se explica en el siguiente ejemplo:

En un ferrocarril, una pendiente de + 0.8% se cruza con otro de -0.4% en la estación90 + 000 y una elevación de 100.00 m. El cambio máximo de pendiente permitido por estación es de 0.2 (de especificaciones). Se desea proyectar una curva vertical para unir las dos pendientes.

La diferencia algebraica entre las pendientes es: 0.9 – (-0.4) = 1.2%. La longitud mínima es entonces de 7.2 – 0.2 = 6 estaciones o sea 120m.

Como la curva es simétrica, la longitud a cada lado del vértice es 120 / 2 =60m. La estación del PCV es por lo tanto:

Est. PCV = 90+000 – 60 = 89+940m.

Y la del PTV:

Est: PTV. = 90+000 + 60 = 90+060m.

La elevación del PCV es:

Elev. PCV = 100 – 60 * 0.008 = 99.52m.

Y la del PTV:

Elev. PTV = 100 – 60 * 0.004 = 99.76m.

Fig. de la curva

Calcúlese las elevaciones sobre la tangente de entrada y la tangente de salida en las estaciones cerradas. Recuerde que P1 = tangente de entrada = 0.8%. Así la primera elevación es 20 * 0.008 = 0.16; sumado a la elevación del PCV = 99.52m. resulta99.68m. Y así mismo se calculan las restantes. Las elevaciones de la tangente aparecen en la tabla 3.1.

Calcúlese el valor de v.

-0.004 – 0.008V= x2

2 (120)

V= 5 * 10-6 x2

X12 X2

2

Y como V1 = e y como V2= eL1 L2

Donde:

X1 = Distancia medida desde el PCV al punto de la curva que se considere, en la rama izquierda.

X2 = Distancia medida desde el PTV al punto de la curva que se considere, en la rama derecha.

Entonces:

(P2 – P1) L2

.V1 = X12

2L L1

(P2 –P1) L1

V2 = X22

2L L2

Estas expresiones son generales ya que en el caso de de las curvas simétricas L1 = L2

La elevación de un punto de una curva vertical cualquiera estará dada según la expresión:

Elev. X1 = Elev. PCV + P1 x ± V1

Elev. X2 = Elev. PTV + P2 x ± V2

P1 y P2 con su signo respectivo.

“V” se suma si la curva es en columpio y se resta, si la curva es en cresta.

Para encontrar la posición y elevación del punto mas bajo o mas alto

X12

Elev. X1 = Elev. PCV + P1 X - eL1

d Elev: X1 2 X1

= P1 -d X1 2

Fig. 3.3.

e = 0

L1 = Longitud de la rama izquierda de la curva.

L2 = Longitud de la rama derecha de la curva.

L = L1 + L2

En la figura 3.3. VM es una línea vertical. El punto M no es el punto medio de la línea que une PCV – PTV, ni C es el punto medio de la curva ni el mas bajo de ella, pero se puede comprobar que :

VC = CM = e

La divergencia vertical entre las tangentes es (P2 - P1) m. por estación, por lo tanto para las estaciones,

BE= (P2 – P1) L2

Por triángulos semejantes:

BE L=

MV L1

BE = MVL L

= 2 eL1 L1

Despejando el valor de e :

(P2 –P1)e =

2LL1 L2

Este valor para cada estación par tomando % de PCV a PIV y luego, de PTV a PIV. Estos valores aparecen en la tabla 3.1.

Calcúlese las elevaciones de la curva aplicando la corrección de V a las elevaciones sobre la tangente. Ver Tabla 3.1.

Est. X V Elev. s/t Elev. s/c

PCV 89+940 0 0 99.52 99.52

89+960 20 0.02 99.68 99.66

89+980 40 0.08 99.84 99.76

PIV 90+000 60 0.18 100.00 99.82

90+020 40 0.08 99.92 99.84pto+alto

90+040 20 0.02 99.84 99.82

PTV 90+060 0 0 99.76 99.76Tabla 3.1 Calculo de curva vertical en cresta

Calcúlese el estacionamiento y la elevación del punto mas alto

0.8 * 120X =

0.8 – (-0.04)= 80m

Est. Punto mas alto = Est. PCV + X Est. Punto mas alto = 89+940 + 80m Est. Punto mas alto = 90+020 m.

Elev. Punto mas alto = 99.84 m. (Ver tabla 3.1)

Otro método de calculo de curvas verticales consiste en efectuar las operaciones anteriores, pero conociendo su longitud