Reed solomon code

REED SOLOMON CODE

Anditya Arifianto

213110008

Video

Suara

Text

Gambar

INTRODUCTION TO INFORMATION CODING

Bit 0 dan 1

Digital ErrorBit 0 menjadi 1

Bit 1 menjadi 0

teknik encoding informasi: teknik yang mengorganisir bit 0

dan 1 sehingga kesalahan yang mungkin terjadi dapat

dideteksi dan diperbaiki

Oleh Irving Reed dan Gustave Solomon pada tahun

1960

Bekerja dengan menambahkan informasi tambahan

(redundansi data) di dalam data asli

Systematic linear block code

Nonbinary ciclic code

Banyak digunakan untuk coding Compact Disc

REED SOLOMON CODE

Notasi : RS(n,k)

k : jumlah simbol data

n : panjang simbol codeword

2t : panjang simbol parity

Tiap simbol dikodekan sebanyak m-bit, maka

panjang codeword yang dapat dibentuk adalah

n = 2m-1

ARCHITECTURE

ARCHITECTURE

Kemampuan RS-Code

Deteksi dan koreksi hingga sebanyak t error

2t = n-k t = (n-k)/2 simbol error

Misal

m = 8 bit

n = 255, k = 223 simbol

2t = n-k = 32, t = 16

Bilangan prima p GF(p), p elemen

GF(p) pm elemen extension field

of GF(p)

GF(pm), m = bilangan bulat positif > 0

Reed-Solomon Code : GF(2m)

{0,a0,a1,a2,…,a2m+2}

GALOIS FIELD

Mendefinisikan finite field GF(2m)

Polinom f(x) berderajad m yang tidak bisa

direduksi dikatakan primitif jika untuk

bilangan positif terkecil n yang membagi

habis f(x) terhadap xn+1 adalah n = 2m-1

1 + x + x4

1 + x + x2 + x3 + x4

m= 4, n = 2m-1 = 15 x15+1

PRIMITIVE POLYNOMIAL

LIST OF PRIMITIVE POLYNOMIALS

m = 3 GF(23) = GF(8)

f(X) = 1 + X + X3 = 0

X a

f(a) = 01 + a + a3 = 0

a3 = -1-a a3 = 1+ a

a4 = a.a3 = a.(1+a) = a+a2,

a5 = a.a4 = a.(a+a2) = a2+a3 = 1+a+a2

a6 = a.a5 = a.(1+a+a2) = a+a2+a3 = 1+a2

a7 = a.a6 = a.(1+a2) = a+a3 = 1 = a0

GF(23) = {0,a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6}

THE EXTENSION FIELD GF(23)


X0 X1 X2

0 0 0 0

a0 1 0 0

a1 0 1 0

a2 0 0 1

a3 1 1 0

a4 0 1 1

a5 1 1 1

a6 1 0 1

a7 1 0 0


a+a = a-a = 0, a.a = a

RS(n,k)

n = 2m-1 dan k = n-2t = 2m-1-2t,

(n,k) = (2m-1,2m-1-2t)

g(X) = (X - a)(X – a2) … (X – a2t)

RS(7,3) n=7,k=3, n-k=4

RSC ENCODING : GENERATOR

Polinon quotient q(x), polinom parity p(x) polinom

pesan (message) m(x)

Secara sistematik

Geser ke kanan m(x) sebanyak n-k hingga ke sisi

paling kanan kodeword, lalu tambahkan p(x) untuk

mengisi sisi paling kiri dari codeword

Xn-k.m(X) = q(X).g(X) + p(X)

p(X) = Xn-k.m(X) mod g(X)

Polinom Codeword

U(X) = p(X) + Xn-k.m(X)

RSC ENCODING : QUOTIENT - PARITY

RS(7,3), GF(23)

Pesan = 010110111

m(X) = a1 + a3X + a5X2

Xn-k = X4

Xn-km(X) = a1X4 + a3X5 + a5x6

g(X) = a3 + a1X + a0X2 + a3X3 + X4

p(X) = Xn-k.m(X) mod g(X)

p(X) = a0 + a2X + a4X2 + a6X3

Codeword

U(X) = a0 + a2X + a4X2 + a6X3 + a1X4 + a3X5 + a5X6

RSC ENCODING : EXAMPLE

a1 a3 a5

RSC ENCODING : EXAMPLE

U(X) = a0 + a2X + a4X2 + a6X3 + a1X4 + a3X5 + a5X6

U(X) = (100) + (001) X + (011)X2 + (101)X3 +

(010)X4 + (110)X5 + (111)X6

Codeword : 100001011101010110111

Error pattern

Received pattern

r(X) = U(X) + e(X)

RSC DECODING : ERROR - RECEIVED

RSC DECODING : ERROR - RECEIVED

Codeword sent : 100001011101010110111

Codeword received : 100001011100101110111

r(X) = (100) + (001) X + (011)X2 + (100)X3 + (101)X4 +

(110)X5 + (111)X6

r(X) = a0 + a2 X + a4X2 + a0X3 + a6X4 + a3X5 + a5X6

Parity check pada r(X) untuk memastikan r(X) valid

r(X) valid syndrome bernilai 0

Terbentuk dari n-k simbol

{ Si }, i = 1..n-k

Si substitusi X dengan ai, i = 1…n-k

RSC DECODING : SYNDROME

RSC DECODING : SYNDROME

r(X) = a0 + a2 X + a4X2 + a0X3 + a6X4 + a3X5 + a5X6

RS(7,3) n = 7, k = 3

{ Si }, i = 1..n-k = 1..4

S1 = r(a) = a0 + a3 + a6 + a3 + a10 + a8 + a11 = a3

S2 = r(a2) = a0 + a4 + a8 + a6 + a14 + a13 + a17 = a5

S3 = r(a3) = a0 + a5 + a10 + a9 + a18 + a18 + a23 = a6

S4 = r(a4) = a0 + a6 + a12 + a12 + a22 + a23 + a29 = 0

∑Si ≠ 0 codeword mengandung error

Misal terdapat sejumlah v error pada posisi

Xj1 Xj2,…Xjv

Maka polinom error :

Bl = ajl , subtitusikan ai pada r(X) untuk i = 1..2t

RSC DECODING : ERROR PATTERN

Polinom Error Locator L(X) atau (X)

L(X) = 1 + L1X + L2X2 + … + LvX

v

L(X) = (1+B1X) (1+B2X) … (1+BvX)

Akar dari L(X) = 1/B1, 1/B2, … 1/Bv

Kebalikan dari akar L(X) adalah nomor lokasi error

dari error pattern e(X), maka menggunakan teknik

autoregresif modeling kita dapatkan

RSC DECODING : ERROR LOCATOR


Dari contoh

Penyelesaian koefisien L1 dan L2

Inv[A] = cofactor[A]/det[A]


Sehingga kita dapatkan polinom L(X)


Akar dari L(X) adalah posisi error pada r(X)

cara paling brute force : coba subtitusi masing2 elemen

GF pada L(X), jika L(X) bernilai 0, maka elemen

tersebut adalah akar dari L(X) lokasi error


Didapat akar L(X)

1/B1 = a3 B1 = 1/a3 B1 = a4

1/B2 = a4 B2 = 1/a4 B2 = a3

Subtitusi akar L(X) ke Syndrome manapun

Sehingga bisa kita tuliskan matrix persamaan

RSC DECODING : ERROR VALUE

RSC DECODING : ERROR VALUE

Hitung e1 dan e2

Sehingga kita dapat

Hitung

Kemudian kita dapatkan

RSC DECODING : ERROR CORRECTING

RSC DECODING : ERROR CORRECTING

Sehingga untuk

U(X) = (100) + (001) X + (011)X2 + (101)X3 + (010)X4 +

(110)X5 + (111)X6

r(X) = (100) + (001) X + (011)X2 + (100)X3 + (101)X4 +

(110)X5 + (111)X6

ê(X) = (000) + (000) X + (000)X2 + (001)X3 + (111)X4 +

(000)X5 + (000)X6

Kita dapatkan

Û(X) = (100) + (001) X + (011)X2 + (101)X3 + (010)X4 +

(110)X5 + (111)X6

Hasil corrected code

Û(X) = (100) + (001) X + (011)X2 + (101)X3 + (010)X4 +

(110)X5 + (111)X6

Karena symbol pesan mengkonstitusikan rightmost

k=3 simbol,

maka pesan yang didekodekan =

a1 a3 a5 = 010 110 111

RSC DECODING : DECODED SYMBOL

TERIMA KASIH

Technology

Reed solomon code