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Struttura a bande

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  • 1. Metodi numerici: Pseudopotenziale I metodi di calcolo della struttura a bande operano nellambito dello schema ad un elettrone, modificando in maniera autoconsistente (in funzione delle soluzioni) il potenziale. In precedenza si visto come dei potenziali a particella singola possano includerelinterazione elettrone-elettrone. Come possibile che un elettrone in un metallo si comporti come se fosse libero dento una scatola ? ( Elettroni Quasi Liberi ) Lopseudopotenzialefornisce la risposta !
    • Restringiamo lattenzione ad una singola cella unitaria
  • siaunonda piana
  • siauno stato dicore

Onde Piane Ortogonalizzate (OPW): stati di core + stati di conduzione Consideriamo leffetto di un potenziale Coulombiano per un atomo di valenza U=Z/R 2. Metodi numerici: Pseudopotenziale Sefosse un sistema completo di autostati allora= 0. Sulla base di questo lipotesi chesia piccolo. In definitiva Si trasformata leq. di Schr. in una con potenziale debole e stati ad onde piane. Costo : lo pseudopotenziale U ps nonlocale. Per valutare il suo effetto su un generico stato ( r ) occorre svolgere degli integrali in r, inoltre U psdipende dagli autovalori dellenergia , che non sono noti. 3. Pseudopotenziale empirico Es.empty-core potential: potenziale a tre parametri (U 0 , R ce d) Costruire empiricamente dei potenziali deboli per catturare importanti caratteristuche emerse dagli esperimenti. 4. Pseudopotenziale da principi primi Kohn-Sham autofunzioni R autofunzioni R ps shell esterne U con U pstale che soluzioni KSR ps Usare funzioni donda atomica di forma conveniente (simm. sferica)in Kohn-Sham 5. Pseudopotenziale da principi primi pseudopotenziali risultanti (uno per ogni stato del momento angolare) U psdifferente per ciascun stato di l 6. Pseudopotenziale La teoria generale delle funzioni dielettriche prevede che una nuvola elettronica schermi un nucleo nudo rispettando la condizione (da cuideterminare k): Dato un insieme di atomi disposti su un reticolo per cui stato determinato lo pseudopotenziale, il compito seguente la costruzionedellinsieme delle autofunzioni di base per la successiva risoluzione delleq. di Schr. Sono stati usati vari metodi:

  • LCAO (Linear Combination of Atomic Orbitals)
  • Onde piane
  • LAPW (Linear Augmented Plane Waves)
  • LMTO (Linearized Muffin Tin Orbitals)

Un ulteriore miglioramento si ottiene includendo leffetto di schermo (rammentare che H-F non ne tiene conto) Anche gli effetti relativistici diventano importanti per atomi pesanti ! 7. Metalli, Isolanti e Semiconduttori 8. Gas Nobili Krypton: fcc a=5.72 , E ion =10.5eV, E th gap =6.7eV, E exp gap 10.5eV, E band 2eV Grandegapbanda di valenza/conduzionelocalizz. Wannier OK ! 9. Metalli con elettroni quasi liberi Oltre che per gli alcalini questa approssimazione funziona bene per i metalli nobili (reticolo fcc) Cu, Ag, Au: shell chiuse (inerti) che non interagiscono con gli elettroni di conduzione (1 elettrone s). Le superfici di Fermi sono abbastanza distanti dal limite della BZ, quindi lontano da effetti di scattering del reticolo. 10. Metalli con elettroni quasi liberi Alluminio fcc 4.05 elettroni liberi 11. Metalli con elettroni quasi liberi Le bande d ed s si ibridizzano nella zona di sovrapposizione. I risultati coincidono abbastanza con le misure sperimentali: sono necessari 2eV per eccitare (vedi freccia) un elettrone da stati al top della banda d a quella s.Rame fcc 3.61 Gli elementi dalla 2 aalla 12 acolonna hanno la shell s piena, ma non sono isolanti perch la sup. di Fermi invece di contrarsi per includere la BZ, la attraversa varie volte, determinando un comportamento metallico. 12. Semiconduttori Silicio (diamante) 5.43 13. Metalli di transizione Vanadio

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