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Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 1/31JJ J N I II 1/31
Tema 2Cinemática de fluidos
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 2/31JJ J N I II 2/31
Sólidos, líquidos y gases
La distinción no siempre es clara y nítida. Por ejemplo, el asfalto puedesoportar tensión durante tiempos cortos, pero empieza a fluir a tiemposlargos.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 3/31JJ J N I II 3/31
Concepto generales
Cambia de forma y se adapta al contenedor.
Se deforma de manera continua.
No recupera la forma al cesar la fuerza.
Pueden ser comprimidos pero no traccionados.
Sólido:F
S= K
a
h= Kγ → 0 sólo si γ → 0
Líquido:F
S= µ
U
h= µγ → 0 sólo si γ → 0
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 4/31JJ J N I II 4/31
Aproximación del continuo
Criterio dinámico: Recorrido libre medio (500Å en aire).
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 5/31JJ J N I II 5/31
Partícula fluida
Es una porción del volumen que debe:
1. ser lo suficientemente grande como para que su densidad sea la densidadpromedio del fluido.
2. ser lo suficientemente pequeña como para que sus propiedades físicas(temperatura, densidad, etc) sean uniformes.
3. ser identificable durante tiempos suficientemente largos.
Flujo
Campo de velocidades asociado al fluido en movimiento: ~u(~r, t). Cuando~u = ~u(~r) se dice que el flujo es estacionario.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 6/31JJ J N I II 6/31
Líneas en un fluido
Trayectoria: Curva recorrida por la partícula fluida.Marcamos una partícula fluida con tinta y hacemos una foto de muy larga
exposición.
~r = ~r0 +
∫ t
t0
~v(~r0, t′) dt′
Línea de emisión: Curva constituida por las partículas fluidas que van pa-sando por un mismo punto.Vamos inyectando tinta en un punto cualquiera pero fijo en el fluido y ha-
cemos una foto instantánea.
Línea de corriente: Curva tangente al campo de velocidades en todo puntoen un cierto instante de tiempo.
~u× d~l = 0⇒ dx
u=dy
v=dz
w
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 7/31JJ J N I II 7/31
En un flujo estacionario todas estas líneas coinciden.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 8/31JJ J N I II 8/31
Viscosidad y ley de Newton
Sir Isaac NEWTON, 1642–1727
F
S= τ = µ
du
dy
Viscosidad dinámica: µ.
Unidad SI: Poiseuille. 1 Pl = 1 kg/m s.
Unidad CGS: Poise. 1 Po = 0,1 Pl
Viscosidad cinemática: ν =µρ .
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 9/31JJ J N I II 9/31
Valores de las viscosidades dinámica y cinemática
µ (g/cm s) ν (cm2/s)Aire 0.00018 0.15Agua 0.011 0.011Mercurio 0.016 0.0012Aceite de oliva 0.99 1.08Glicerina 23.3 18.5
Tensión superficial
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 10/31JJ J N I II 10/31
Explicación microscópica
dW = F dx = 2σLdx = 2σ dS
σ: Tensión superficial.Unidades SI: N/m.Agua: 70× 10−3N/m.Mercurio: 480× 10−3N/m.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 11/31JJ J N I II 11/31
Ley de Laplace
Pierre Simon LAPLACE, 1749–1827
Si cambiamos R a R + dR la energía de la su-perficie aumenta.
dWS = σdS = σd(4πR2
)= 8πσR dR
Trabajo de las fuerzas de presión
dWP = −∆P dV = −(P1 − P2) d
(4
3πR3
)= −(P1 − P2)4πR
2 dR
Luego dWS + dWP = 0⇒ P1 − P2 = σ2
R
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 12/31JJ J N I II 12/31
Ley de Laplace general
P1 − P2 = σ
(1
R+
1
R′
)
Presión en un fluido estático
Fuerza por unidad de área. Como no hay movimiento la viscosidad nojuega ningún papel, por lo que esta fuerza es normal a la superficie.
Patm → 1 atm = 101,3 kPa = 1,013 bar, con 1 bar = 105 Pa
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 13/31JJ J N I II 13/31
La fuerza de presión no depende de la dirección
dm =1
2ρ dxdydz
dx = ds cos θ
dy = ds sen θ
0 = P1ds dz sen θ − P3dy dz
0 = P1ds dz cos θ − P2dx dz + g dm
Cuando dV → 0 obtenemos P1 = P2 = P3.
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 14/31JJ J N I II 14/31
Ley de Pascal
Blaise PASCAL, 1623–1662
El balance de fuerzas en las direcciones X yZ muestra que P no puede depender de x óz. En la dirección Y
Pdx dz− (P + dP )dx dz− ρgdx dy dz = 0
⇒ dP
dy= −ρg (agua ρg ∼ 0,1 atm/m)
P (y) = P0 − ρgy
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 15/31JJ J N I II 15/31
Capilares
∆P = ρgh =2σ
r=
2σ cos θ
R
h =2σ cos θ
ρgR
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 16/31JJ J N I II 16/31
Principio de Arquímedes
ARQUÍMEDES, 287–212 a.C.
Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba quees igual al peso del volumen de fluido desalojado.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 17/31JJ J N I II 17/31
Demostración
La fuerza en la dirección vertical es
Fy = −∮P (y) cos θ dA = −
∮~Q · d ~A
siendo ~Q ≡ P (y). Aplicando el teorema dela divergencia [AM18]
Fy = −∫∇ · ~QdV = −
∫dP
dydV = ρgV
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 18/31JJ J N I II 18/31
Descripción lagrangiana
Estudia el movimiento de una partícula fluiday, en particular, la trayectoria de la misma.
~r = ~r0 +
∫ t
t0
~v(~r0, t′) dt′
por lo que ~v(~r0, t) = d~rdt
Descripción euleriana
Estudia la dinámica del fluido a partir del campo ~u(~r, t).
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 19/31JJ J N I II 19/31
Aceleración de una partícula fluida
D~u
Dt=∂~u
∂t+ (~u · ∇)~u
Podemos entonces relacionar la aceleración de la partícula fluida (conceptolagrangiano) con el campo de velocidades del fluido (concepto euleriano).
Derivada material
Campo escalar H(~r, t) Campo vectorial ~F (~r, t)
DH
Dt=
∂H
∂t︸︷︷︸derivada local
+ ~u · ∇H︸ ︷︷ ︸derivada advectiva
D~F
Dt=∂ ~F
∂t+ (~u · ∇)~F
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 20/31JJ J N I II 20/31
Demostración
Considereremos una partícula fluida que en el instante t se encuentra en~r1. En t + δt se encontrará en ~r2 = ~r1 + ~u(~r1, t)δt +O(δt2) con velocidad~u(~r2, t + δt).
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 21/31JJ J N I II 21/31
δ~u = ~u(~r2, t+ δt)− ~u(~r1, t) = ~u(~r2, t + δt)− ~u(~r2, t)︸ ︷︷ ︸cambio temporal
+ ~u(~r2, t)− ~u(~r1, t)︸ ︷︷ ︸cambio espacial
Desarrollando por Taylor hasta primer orden obtenemos
~u(~r2, t)− ~u(~r1, t) =∂~u
∂xδx +
∂~u
∂yδy +
∂~u
∂zδz
donde δ~r = (δx, δy, δz) = ~r2 − ~r1 = ~u(~r1, t)δt. Entonces
D~u
Dt≡ lım
δt→0
δ~u
δt=∂~u
∂t+ (~u · ∇)~u
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 22/31JJ J N I II 22/31
Tensor de deformaciones
Cuando pasamos de ~r a ~r + d~r, el campo de velocidades cambia de ~u(~r, t)a ~u(~r, t) + d~u, con
dui =∂ui∂xj
dxj ≡ Gij dxj
donde se ha empleado el criterio de suma sobre índices repetidos.
Se define el tensor de deformación como
Gij =∂ui∂xj
= eij + ωij
eij =1
2
(∂ui∂xj
+∂uj∂xi
)ωij =
1
2
(∂ui∂xj− ∂uj∂xi
)
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 23/31JJ J N I II 23/31
Deformación pura
Para simplificar consideramos un espacio bidimensional.
Admitiremos ahora que sólo e11 y e22 son no nulas.
ω12 = −ω21 = 0 =⇒ ∂u1
∂x2
=∂u2
∂x1
e12 = e21 = 0 =⇒ ∂u1
∂x2
= −∂u2
∂x1
=⇒ ∂u1
∂x2
=∂u2
∂x1
= 0
Por tanto, las derivadas no nulas en este caso son
e11 =∂u1
∂x1
6= 0 e22 =∂u2
∂x2
6= 0
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 24/31JJ J N I II 24/31
Coordenadas en t y t + dt respecto a los ejes X1 y X2
A (0, 0) → A′(u1(0, 0)dt, u2(0, 0)dt
)B (dx1, 0) → B′
(dx1 + u1(dx1, 0)dt, u2(dx1, 0)dt
)C (0, dx2) → C ′
(u1(0, dx2)dt, dx2 + u2(0, dx2)dt
)
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 25/31JJ J N I II 25/31
Como
u1(dx1, 0) ' u1(0, 0) +∂u1
∂x1
dx1 u2(dx1, 0) ' u2(0, 0) +∂u2
∂x1︸︷︷︸=0
dx1
u1(0, dx2) ' u1(0, 0) +∂u1
∂x2︸︷︷︸=0
dx2 u2(0, dx2) ' u2(0, 0) +∂u2
∂x2
dx2
las coordenadas en t + dt respecto a los ejes X ′1 y X′2 son
A′ (0, 0)
B′(dx1 +
∂u1
∂x1
dx1dt, 0
)C ′
(0, dx2 +
∂u2
∂x2
dx2dt
)
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 26/31JJ J N I II 26/31
El cambio relativo en las longitudes de las aristas es
A′B′ − ABAB
=∂u1
∂x1
dt
A′C ′ − ACAC
=∂u2
∂x2
dt
Para un paralelepípedo de aristas dx1, dx2 y dx3, el cambio relativo devolumen V = dx1dx2dx3 por unidad de tiempo es
1
VDVDt
=1
dx1dx2dx3
D
Dt
(dx1dx2dx3
)=
1
dxi
D
Dtdxi =
∂ui∂xi
1
VDVDt
= ∇ · ~u
Si el fluido es incompresible ∇ · ~u = 0.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 27/31JJ J N I II 27/31
Efecto de las componentes no diagonales
Consideremos que e11 = e22 = 0 y e12 = e21 6= 0.
ω12 = −ω21 = 0 =⇒ ∂u1
∂x2
=∂u2
∂x1
e11 = e22 = 0 =⇒ ∂u1
∂x1
=∂u2
∂x2
= 0
=⇒ e12 = e21 =∂u1
∂x2
=∂u2
∂x1
6= 0
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 28/31JJ J N I II 28/31
u1(dx1, 0) ' u1(0, 0) +∂u1
∂x1︸︷︷︸=0
dx1 u2(dx1, 0) ' u2(0, 0) +∂u2
∂x1
dx1
u1(0, dx2) ' u1(0, 0) +∂u1
∂x2
dx2 u2(0, dx2) ' u2(0, 0) +∂u2
∂x2︸︷︷︸=0
dx2
las coordenadas en t + dt respecto a los ejes X ′1 y X′2 son
A′ (0, 0)
B′(dx1,
∂u2
∂x1
dx1dt
)C ′
(∂u1
∂x2
dx2dt, dx2
)
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 29/31JJ J N I II 29/31
θ 6= π/2 (ángulo entre segmentos A′B′ y A′C ′). Sea dφ la variación delángulo entre ambos segmentos
dφ ≡ θ − π
2=⇒ dφ ' sen(dφ) = sen
(θ − π
2
)= − cos θ
Utilizando que hasta primer orden
‖ ~A′B′‖ ' dx1 ‖ ~A′C ′‖ ' dx2
~A′B′ · ~A′C ′ '(∂u1
∂x2
+∂u2
∂x1
)dx1dx2dt = 2e12dx1dx2dt
tenemosdφ = − cos θ = −
~A′B′ · ~A′C ′
‖ ~A′B′‖ ‖ ~A′C ′‖= −2e12dt
dφ
dt= −2e12
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 30/31JJ J N I II 30/31
Rotación pura
ωij 6= 0, eij = 0 =⇒ ∂u1
∂x2= −∂u2
∂x1. dβ ' −∂u1
∂x2dt = ∂u2
∂x1dt = dα
dα
dt=∂u2
∂x1
=1
2
(∂u2
∂x1
− ∂u1
∂x2
)= ω21
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 31/31JJ J N I II 31/31
Vorticidad
Sea ωk = −εijkωij. Entonces
ωk = −1
2εijk
∂ui∂xj
+1
2εijk
∂uj∂xi
= −1
2(−εijk)
∂uj∂xi
+1
2εijk
∂uj∂xi
= εkij∂uj∂xi
~ω = ∇× ~u
Ejemplo: rotación uniforme
~u = ~r×~Ω = rΩ r× z = rΩ φ→ uφ = rΩ
~ω = ∇×~u [AM16c]=
1
r
∂(ruφ)
∂rz = 2Ω z = 2~Ω
