MatemáTica Intro FunçõEs

Profª Aracéli Marins

Aula 2 � Introdução à Funções

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Idéia Intuitiva de Funções

As funções surgem, quando hánecessidade de escrever uma quantidade em termos da outra, em outras palavras, quando uma depende da outra.

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Definição de Função

Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma relação de A em B, tal que todo elemento de A deve estar relacionado com um elemento de B e este deve ser único. Formalmente, uma função fé uma lei a qual para cada elemento x em um conjunto A faz corresponder exatamente um elemento chamado f(x), em um conjunto B.

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Exercício 1

Uma caixa aberta em cima, tem um volume de

10 m3. O comprimento da base é o dobro da

largura. O material da base custa R$ 10,00

por metro quadrado, ao passo que o

material das laterais custa R$ 6,00 por metro

quadrado. Expresse o custo total do material

em função da largura da base.

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Valor de uma função em um

número

Para determinar o valor da função f em um número a de seu domínio, basta calcular f(a).

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Exercício 2

Se f(x) = 3x3 � x + 2, encontre f(2), f(-2), f(a), f(-a), f(a + 1), 2f(a), f(2a), f(a2), [f(a)]2 e f(a + h).

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Domínio e Imagem

O conjunto A é chamado domínio da função, já que se trata de uma relação,

em que todos os elementos de A tem um e apenas um elemento correspondente em B.

A imagem da função f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x).

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Exercício 3

Encontre o domínio e a imagem das funções:

f(t) = t2 � 6t

4

2

x

xf

3 xxf

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Gráfico de uma Função

O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pares ordenados (x, f(x)) pertencentes à

função f.

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Exercício 4

Os registros de temperatura T (em ºF) foram tomados de duas em duas horas a partir da meia noite até as 14 horas, em Dallas, em 2 de junho de 2001. O tempo foi medido em horas após a meia noite:

9188817269707373T

14121086420t

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Use os registros para esboçar um gráfico de T como uma função de t, e use o gráfico para estimar a temperatura as 11 horas da manhã.

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Maneiras de Representar uma função

Verbalmente: quando se descreve uma função por palavras;

Numericamente: por meio de tabelas ou valores;

Visualmente: através de gráficos;

Algebricamente: utilizando-se uma fórmula explícita.

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Tipos de Funções

Funções Polinomiais: São funções em que a regra édescrita por um polinômio;

Funções Racionais: São funções que podem ser escritas como a divisão entre duas funções polinomiais;

Funções Algébricas: São funções cujas regras envolvem somas, divisões, radiciações com funções racionais;

Funções Transcendentes: São as funções logarítmicas, as exponenciais, as trigonométricas.

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Simetria de funções

Uma função é dita par quando

f(-x) = f(x)

Uma função é dita ímpar quando

f(-x) = - f(x)

Obs.: Quando uma função não é par nem ímpar

é chamada assimétrica

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Exercício 5

Classifique as funções abaixo quanto a

simetria:

;

;

.

12 2 xxxf

33 xxxf

23 24 xxxf

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Funções Crescentes e

Decrescentes

Uma função f é chamada crescente

em um intervalo I se:

f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2 em I

Uma função f é chamada

decrescente em um intervalo I se:

f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2 em I

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Exercício 6

Mostre se as funções abaixo são crescentes

ou decrescentes:

;

.

3 xxf

16 xxf

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Interceptos de Funções

São os locais em que o gráfico da

função f �corta� os eixos;

O local em que intercepta o eixo x é

chamado raiz e são os valores de x para

os quais f(x) = 0;

O local em que intercepta o eixo y é

chamado intercepto-y, e é o f(0)

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Combinações, Composições e

Inversão de Funções

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Combinações de Funções

A partir de duas ou mais funções, podemos fazer combinações, de forma a obter novas funções, essas combinações são:

Soma de funções;

Subtração;

Divisão;

Multiplicação.

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Álgebra de Funções

Sejam f e g funções. Então as funções

f + g, f � g, fg e f/g estão definidas da

seguinte forma:

xg

xfx

g

f

xgxfxfg

xgxfxgf

xgxfxgf

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Exercício 7

Dadas f(x) = 2x + 4 e g(x) = x � 1, determine: f + g

f * g

f � g

f / g

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Composição de Funções

Dadas as funções f e g chama-se função composta de g com f, a função denotada por f o g, tal que para todo x:

(f o g)(x) = f(g(x))

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Exercício 8

Dadas as funções f, g e h, abaixo, determine todas as funções compostas possíveis entre elas.

xxh

xxg

xxf

12

43

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Inversão de funções

Dada uma função f, a função inversa de

f, denotada por f -1, é tal que:

f(f -1(x)) = x

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Exercício 9

Determine a função inversa das funções

abaixo:

73

5

12

xxg

xxf