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Prof. Dr. Eduardo Bento Pereira Departamento de Engenharia elétrica 1/2017
Sistemas lineares
AULA 8: Sistemas lineares
OBJETIVO:
Iniciar o estudo da resposta a estado nulo,
começando pela resposta ao impulso unitário de
sistemas lineares.
Sistemas lineares
A resposta h(t) ao impulso unitário
Porque a resposta o impulso É TÃO IMPORTANTE?
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Sistemas lineares
A resposta h(t) ao impulso unitário
Porque a resposta o impulso É TÃO IMPORTANTE?
Permite obter a resposta para uma entrada genérica por meio da
convolução.
Obtenção de um modelo do sistema a partir da resposta ao
impulso.
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Sistemas lineares
Função impulso unitário ou Delta de Dirac:
0tempo (t)
e
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Função impulso unitário ou Delta de Dirac:
0tempo (t)
e
tempo (t)
Aproximação por um pulso
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Outra aproximações possíveis:
0tempo (t)
Função triangular
Função Gaussiana
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Multiplicação de uma função contínua por um impulso
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Sistemas lineares
Propriedade de amostragem:
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A resposta de estado nulo dos sistemas lineares invariantes de tempo
contínuo.
A resposta de estado nulo dos sistemas lineares invariantes de tempo
contínuo.
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Solução:
0
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Solução:
Considerando-se um
sistema causal temos:
0 0
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Solução:
Considerando-se um
sistema causal temos:
0 0
Exemplo
Solução da equação homogênea ou resposta de entrada nula.
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Solução:
Considerando-se um
sistema causal temos:
0 0
Exemplo
Solução da equação homogênea ou resposta de entrada nula.
?
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0-
tempo (t)
h(0)=?
0+
Solução particular em t = 0:
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As incógnitas dos coeficientes dos N modos característicos de h(t)
podem ser encontradas pelo método do casamento de impulso.
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A resposta h(t) ao impulso unitário - exemplo:
Ex.: Determine a resposta ao impulso de um
sistema contínuo no tempo caracterizado pela
seguinte equação diferencial:
Para o caso especial em que a entrada é a função
impulso unitário temos:
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0-
tempo (t)
h(0)=?
0+
Integrando
Solução particular em t = 0:
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Revisão:
Se h(t) possui um impulso (ou uma singularidade de
ordem maior) em t = 0 a integral possui valor
diferente de 0.
Continuando:
Se h(t) possui um impulso ou uma singularidade de ordem maior em t
= 0, então dh(t)/dt deve conter uma singularidade de ordem mais
elevada na equação:
Neste exemplo sabemos que
não há observando o termo a
direita da equação.
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Assim,
E pela equação
Temos:
Condição inicial necessária!
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A solução completa é, então,
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Método simplificado de casamento de impulso
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Exemplo 2.3 Determine a resposta ao impulso para um
sistema descrito por:
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Exemplo 2.3 Determine a resposta ao impulso para um
sistema descrito por:
Solução:
Raízes da equação característica:
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Exemplo 2.3 Determine a resposta ao impulso para um
sistema descrito por:
Solução da equação homogênea é
e
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Exemplo 2.3 Determine a resposta ao impulso para um
sistema descrito por:
Assim, resulta em
ou,
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Exemplo 2.3 Determine a resposta ao impulso para um
sistema descrito por:
De acordo com o método de casamento de impulso:
Para este exemplo:
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Exemplo 2.3 Determine a resposta ao impulso para um
sistema descrito por:
Temos:
Resultando em:
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