Chuyên đề 1 E E 8 1 E C 2 1 E B 2 0 1 A F 1 E D C 1 E B 2 Đ NG QUY Ph ng pháp

Chuyên đề

CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

I.CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNGPhương pháp: 1)Chứng minh điểm nằm trên đường thẳng (hay ba điểm thẳng hàng)Cách 1. Các tia đối nhau Góc là góc bẹt.(Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau).

Cách 2. Các tia .

Cách 3. Các tia cùng song song với một đường thẳng cho trước(Tiên đề về đường thẳng song song)

Cách 4. AB đi qua M hoặc BM đi qua A hoặc AM đi qua B.Sử dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành, hình chữ nhật.

Cách 5. Phương pháp thêm điểm.

Cách 6. Sử dụng diện tích tam giác tạo bởi ba điểm bằng 0.

Lớp 7.

VD1.Cho với lần lượt là trung điểm của . Vẽ các điểm sao cho là trung điểm của và là trung điểm của .

Chứng minh ba điểm thẳng hàng

VD2. Bài 32(70).Cho . Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài ở đỉnh và nằm trên tia phân giác của góc .

VD3.Bài 40(73). Cho cân tại với là trọng tâm, là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

VD4.Bài 46(76). Cho ba tam giác cân có chung đáy . Chứng minh ba điểm thẳng hàng

VD5. Bài 55-56(80).Cho vuông tại . Các đường trung trực của các đoạn , cắt , lần lượt tại , . Gọi là giao điểm của hai đường trung trực đó.

1)Chứng minh ba điểm thẳng hàng;2)Sử dụng kết quả trên để chứng minh rằng: Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó.

1

BÀI TẬP ÁP DỤNGLỚP 71.Cho cân tại . Tia phân giác của góc cắt đường trung tuyến tại . Gọi là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

2.Cho vuông tại . Kẻ . Các tia phân giác của các góc cắt nhau ở . Tia phân giác của góc cắt ở . Chứng minh rằng, đi qua trung điểm của .

3. Cho cân tại . Các đường trung trực của các đoạn , cắt nhau tại . Lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng, đường trung trực của

đi qua .

4.Gọi là trực tâm của nhọn có và thứ tự là giao điểm của các đường trung trực của với . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

LỚP 8.1. Cho với lần lượt là trung điểm của , . Vẽ các điểm sao cho là trung điểm của , là trung điểm của . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh ba điểm thẳng hàng

2. Cho với đường trung tuyến . Gọi là trung điểm của , lấy điểm sao cho là trung điểm của . Gọi là trung điểm của . Chứng minh đường thẳng đi qua điểm .

3. Trên cạnh của hình vuông lấy điểm . Qua vẽ ( thuộc tia đối của tia ). Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

4. Chứng minh rằng, chân của các đường vuông góc kẻ từ và các trung điểm của các cạnh của là 6 điểm thẳng hàng.

5. Chứng minh rằng, các hình chiếu của chân đường cao của lên các cạnh và lên hai đường cao là bốn điểm thẳng hàng.

6. Cho với các đường cao . Gọi theo thứ tự là hình chiếu của trên . Chứng minh là ba điểm thẳng hàng.

7. Cho vuông tại với đường cao . Gọi thứ tự là hình chiếu của trên và là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Thử năng lực

2

8.Cho nhọn với là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu là hình chiếu của trên cạnh và lần lượt là hình chiếu của trên các đường thẳng

. Giả sử bốn điểm thẳng hàng.1) Chứng minh rằng là trực tâm của2) Chứng minh rằng là tứ giác nội tiếp. Chuyên ĐHKHTN vòng 2.2010.

9. Cho hình thang . Gọi là giao điểm hai đường chéo và lần lượt là giao điểm các đường trung trực của các tam giác . Chứng minh là ba điểm thẳng hàng.

10. Cho tứ giác có . Kẻ , lấy sao cho . Vẽ hình bình hành . Chứng minh cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳng này vuông góc với .

LỚP 9.Bài 1. Trên đường tròn , vẽ hai dây // . , cắt nhau tại . Hai tiếp tuyến

của tại cắt nhau tại . Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Bài 2. Cho với trực tâm nội tiếp đường tròn đường kính . Gọi là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Bài 3. Cho nửa đường kính với là điểm chính giữa và điểm. Kẻ đường cao của .

1) Chứng minh vuông cân và là tia phân giác của góc .2) Gọi giao điểm của là . Kẻ . Chứng minh ba điểm

thẳng hàng.

Bài 4. Cho đường tròn và dây với là điểm chính giữa . Trên dây lấy

điểm sao cho . cắt tại . Tiếp tuyến với tại cắt tại , lấy

điểm sao cho là trung điểm của , cắt tại . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Bài 5. Cho nửa đường tròn đường kính với là điểm chính giữa và điểm

là trung điểm đoạn , cắt tại . Kẻ , cắt tại và

cắt tại . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Bài 6. Cho nửa đường tròn đường kính với và là điểm thuộc nửa đường tròn đó. Đường thẳng qua vuông góc với cắt tiếp tuyến qua tại .Đường thẳng qua vuông góc với cắt tiếp tuyến qua tại .

3

Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Bài 7. Bài 42(Tr 79) SBT T9 tập 2. Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba đường tròn đó là A, B, C. Từ một điểm D (khác P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đường tròn (PAB) và (PAC) lần lượt tại M và N.Chứng minh ba điểm thẳng hàng.Thử năng lực1. Trên đường tròn đường kính và dây . Gọi là giao điểm của các tiếp

tuyến tại của , là các giao điểm của các dây cung . Chứng minh vuông góc với . T5/231

2. Cho tứ giác nội tiếp .Vẽ các tia, cắt tại , cắt tại . Chứng minh thẳng hàng.

3. Cho với trực tâm . Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn đường kínhChứng minh thẳng hàng.

4. Cho với trực tâm nội tiếp . là điểm bất kì trên cung không chứa . Gọi lần lượt là điểm đối xứng của qua .

Chứng minh thẳng hàng.

5. Cho nội tiếp . Trên dây lấy điểm , đường thẳng cắt tại .Đường thẳng qua vuông góc với và đường thẳng qua vuông góc với cắt nhau tại . Chứng minh thẳng hàng.

CÁC BÀI TẬP KHÔNG THỂ BỎ ĐƯỢC

1. Chứng minh rằng, trong một hình thang trung điểm của hai cạnh bên, trung điểm của hai đường chéo là bốn điểm thẳng hàng;

2. Cho có góc tù. Chứng minh rằng chân của các đường vuông góc kẻ từ xuống các đường phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh và các trung điểm của các cạnh là sáu điểm thẳng hàng.

3. Chứng minh rằng trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là ba điểm thẳng hàng.

4. Chứng minh rằng, trong một hình thang có hai đáy không bằng nhau thì giao điểm hai đường chéo, giao điểm hai cạnh bên và trung điểm hai đáy là bốn điểm thẳng hàng.

5. Chứng minh rằng

4

II.CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Phương pháp:

Cách 1. Lợi dụng định lí về các đường đồng quy trong tam giác1.Sử dụng định lí ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm Lớp 7.Bài1. Cho với đường cao . Vẽ ra phía ngoài các tam giác, vuông cân tại và vuông cân tại .Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho Chứng minh rằng

1) . 2)Ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.

Bài 2. Bài 170 NC T7.Cho hai đoạn thẳng cắt nhau. Gọi theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác . Chứng minh rằng

đồng quy tại một điểm.

2.Sử dụng định lí ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác.

VD2. Cho hai đường thẳng cắt nhau tại , trên đường thẳng , lấy ba điểm sao cho , trên đường kia ta lấy ba điểm sao cho

. Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm.

3.Sử dụng các định lí: 1.Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm.2.Giao điểm của hai đường phân giác ngoài nằm trên đường phân giác trong của góc thứ ba.

VD3. Cho với đường cao . Vẽ các điểm sao cho thứ tự là các đường trung trực của đoạn . Gọi lần lượt là giao điểm của với

. Chứng minh rằng, ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.

4.Sử dụng định lí ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm.

VD4. Cho với điểm nằm trong tam giác. Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên . Các đường thẳng lần lượt qua và vuông góc với . Chứng minh rằng, ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.Bài 5(117) tháng 1.2013

Cách 2. Sử dụng tính chất các đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường của của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

5

Bài 1. Nếu một hình bình hành nội tiếp trong một hình bình hành khác thì bốn đường chéo gặp nhau tại một điểm.

Bài 2. Cho và điểm nằm trong tam giác đó. Gọi thứ tự là trung điểm của các cạnh . Gọi lần lượt là điểm đối xứng của qua .Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm.

Bài 3. Cho và điểm nằm trong tam giác đó. Gọi thứ tự là trung điểm của và lần lượt là trung điểm của các cạnh .Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm.

Bài 4.Chứng minh rằng trong một tứ giác có hai cạnh đối diện không song song, các đường thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện và các trung điểm của đường chéo cắt nhau tại một điểm.

Bài 5. Cho với trực tâm và theo thứ tự là giao điểm các đường trung trực của các tam giác . Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm.

Cách 3. Lùi về quen thuộc, chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc giao điểm của hai đường nằm trên đường thẳng thứ ba.Lớp 8.Bài 1. Cho với trung tuyến .Trên các cạnh thứ tự lấy các điểm sao cho . Chứng minh rằng, đồng quy tại một điểm.

Bài 2. Cho tứ giác , người ta kẻ hai đường thẳng song song với đường chéo cắt cạnh lần lượt tại . Cắt các cạnh thứ tự tại .Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm.

Bài 3. Cho hình thang với thứ tự là trung điểm của . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho ( không là đường trung bình của hình thang). Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm.

Bài 4. Cho hình bình hành . Qua điểm ở trong hình bình hành kẻ hai đường thẳng song song với ; lần lượt cắt tại .Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm.

Bài 5.a) Lấy điểm , trên đường chéo của hình vuông . Kẻ. Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm.

b)Cho hình vuông với điểm nằm trên đường chéo .Vẽ , , . Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm.

6

Bài 6. Cho nhọn không cân tại với đường cao . Vẽ . Kẻ. Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm.

Lớp 9.Bài 1. Bài 67(138). Cho và cắt nhau tại A và B. Kẻ các đường kính AOC,

. Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng và .

Bài 2. Bài 69(138) Cho và cắt nhau tại A và B, trong đó nằm trên .

a)Chứng minh CA, CB là các tiếp tuyến của .b)Đường vuông góc với tại cắt CB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt ở K. Chứng minh ba điểm O, I, K thẳng hàng.ChoBài 3. Ở bên ngoài , vẽ các tam giác đều . Chứng minh rằng

đồng quy tại một điểm.(Tứ giác nội tiếp)

Bài 4. Chuyên ĐHKHTN Vòng 1.2014. Cho phân giác . Vẽ các tia cắt đường trung trực cạnh tại

, cắt đường trung trực cạnh tại . Chứng minh rằng: 1) ; 2) đồng quy tại điểm .3)Đường thẳng qua song song với cắt tại , cắt đường tròn ngoại tiếp

tại khác . Chứng minh cùng thuộc một đường tròn.

7