Modul Perpindahan Panas: Steady State-One Dimensional

PERPINDAHAN PANAS KONDUKSI STEADY STATE – ONE DIMENSIONAL

PERPINDAHAN PANAS

(HEAT TRANSFER)

oleh Ali Hasimi Pane

Consultant

Ruang Lingkup Pembahasan: Penjabaran persamaan matematika untuk bidang permukaan solid:

Empat persegi geometris

Silinder geometris

Spherical/Bulat geometris

Bidang yang diperluas (Sirip/Fin)

ADVANCE LEARNING PROGRAM

(ALP CONSULTANT)

KONSENTRASI BIDANG STUDI

Thermodinamika, Perpindahan Panas, Mekanika Fluida, Konservasi Energi

Study Application Majors Heat Exchanger, Steam Systems, Refrigeration and AC Systems, Waste Heat

Technology, Lubricant Technology

ALAMAT KONTAK

By Phone:

+6281370934621

By Email:

ali.h.pane@gmail.com

MUKADDIMAH

Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan ke-hadirat Allah SWT, karena atas izin-

Nyalah buku dengan judul: Modul Perpindahan Panas Konduksi: Steady State – One

Dimensional dapat dikerjakan, meskipun sebenarnya masih dibutuhkan koreksi-koreksi

dalam penyempurnaannya, baik itu isi, penyusunan kalimat maupun sisi manfaatnya.

Materi dalam buku ini ditulis dikutip berdasarkan dari beberapa buku teknik khususnya

buku perpindahan panas yang familiar digunakan untuk studi tersebut, dan referensi-

referensi lainnya supaya isi dan pembahasan lebih bervariasi.

Buku ini ditulis berisikan pembahasan dan penjabaran tentang persamaan-

persamaan umum dari proses perpindahan panas konduksi untuk steady state – one

dimensional, dengan diberi detail penjelasan untuk beberapa persamaan yang

dimaksudkan supaya baik pembaca maupun pengguna dapat dengan mudah untuk

memahaminya. Selain itu buku ini adalah fokus terhadap pembahasan perpindahan

panas konduksi pada bidang dengan bentuk geometri, diantaranya: empat persegi,

silinder, spherical/bulat dan bidang permukaan yang diperluas (sirip/fin). Dan

diusahakan tetap berorientasi terhadap referensi yang digunakan.

Demikianlah buku ini diperbuat, dimana penulis dalam proses penulisan buku

ini hanya ingin memperkaya pengetahuan penulis yang sangat sedikit. Atas pengetahuan

yang sedikit tersebut penulis berusaha untuk dapat mengaktualisasikannya dalam bentuk

tulisan dengan membagi waktu diantara tugas-tugas wajib kesibukan yang juga harus

diselesaikan. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritikan dan saran dari

pengguna dan pembaca, agar supaya buku ini dapat diperbaiki dan tepat sasaran sesuai

dengan tema yang disajikan. Besar harapan penulis bahwa buku ini dapat bermanfaat

bagi khalayak banyak, baik bagi pembaca dan pengguna maupun penulis sendiri.

Medan, April 2015

Penulis,

Ali Hasimi Pane

Beranjak dari hadist Nabi Muhammad SAW

“Sampaikanlah dariku walau hanya satu ayat” (HR. Bukhari)

Dari hadist tersebut saya mencoba mengaktualisasikan pengetahuan yang sedikit

dan saya pahami melalui tulisan, dengan harapan untuk memperkaya dan memperluas

wawasan pengetahuan saya untuk lebih bermanfaat

Dedikasi:

Tulisan yang saya tuangkan dalam bentuk buku modul ini saya peruntukkan terutama untuk kedua orang tua (Ayahanda dan Ibunda) sebagai rasa hormat dan ucapan terima

kasih saya atas perkataan bimbingan, nasehat dan buaian kasih sayang yang telah diberikan dari masa kecil hingga saya sampai saat sekarang ini

Kemudian tulisan buku ini saya peruntukan terkhusus untuk istri saya tercinta yang telah memberikan dorongan semangat, baik moril maupun materil, yang sangat luar

biasa dalam proses penyelesaian tulisan buku ini

“Diharapkan bagi para pembaca dan pengguna buku ini, untuk tetap membaca buku-

buku (original textbook) tentang perpindahan panas lainnya sebagai bahan

perbandingan agar supaya tidak keluar dari pemahaman definisi dan phenomena-

phenomena original materi perpindahan panas itu sendiri”

Secarik kata:

Belajarlah selagi kita diberi nafas dan kehidupan

Karena kehidupan yang kita jalani dan akan lalui tidak lepas dari proses pembelajaran

Belajarlah karena hidup bersirkulasi atas hasil dari proses belajar itu sendiri

Belajarlah untuk tidak menilai tapi memilih

Belajar janganlah melihat isi tapi telaahlah manfaatnya

Dan belajarlah atas dasar harapan, karena harapan terbentuk atas belajar itu sendiri

Belajarlah untuk menjadikan dirimu sebagai pena dan tulislah alam dunia ini sebagai

lembaran-lemabaran maha karyamu

Dan ingatkanlah dirimu bahwa hidup akan terhenti jika harapan belajar dihentikan

“Ali Hasimi Pane”

DAFTAR ISI

MUKADDIMAH ................................................................................................................... i

DAFTAR ISI ......................................................................................................................... iv

1. Perpindahan Panas Konduksi Kondisi Steady State – Satu Dimensi ........................ 1

2. Konduksi pada Bidang Datar dalam Kondisi Steady State – Satu Dimensi ............. 6

2.1 Bidang/dinding datar geometri.................................................................................... 6

2.2 Dinding komposit susunan seri ................................................................................... 7

2.3 Dinding komposit susunan parallel ............................................................................. 9

2.4 Dinding komposit susunan kombinasi ....................................................................... 10

Contoh soal 2.1 ................................................................................................................ 11

Contoh soal 2.2 ................................................................................................................ 13

Contoh soal 2.3 ................................................................................................................ 15

3. Konduksi pada Bidang Silindris dalam Kondisi Steady State – Satu Dimensi ........ 17

3.1 Bidang silindris berlubang ......................................................................................... 18

3.2 Bidang silindris dinding komposit ............................................................................. 21

Contoh soal 3.1 ................................................................................................................ 22

Contoh soal 3.2 ................................................................................................................ 23

4. Bidang Bulat Geometris (Koordinat Spherical)......................................................... 26

4.1 Bidang bulat berlubang (hollow sphere) .................................................................... 26

4.2 Bidang bulat berlubang susunan komposit ................................................................ 28

Contoh soal 4.1 ................................................................................................................ 29

5. Perpindahan Panas Konduksi dengan Sumber Pembangkit Kalor Uniform ......... 32

5.1 Bidang/dinding datar .................................................................................................. 32

5.2 Sistem silindris geometris .......................................................................................... 33

5.3 Sistem silindris geometris berlubang ......................................................................... 35

5.4 Sistem bulat geometris berlubang .............................................................................. 35

Contoh soal 5.1 ................................................................................................................ 36

6. Tebal kritis isolasi ........................................................................................................ 41

7. Perpindahan Panas untuk Permukaan yang Diperluas (Sirip/Fin) ......................... 42

7.1 Persamaan umum untuk permukaan yang diperluas .................................................. 42

7.2 Analisis Fin dengan Luas Penampang Merata (unifrom) .......................................... 44

7.2.1 Kasus A: panjang fin pada x = ................................................................... 46

7.2.2 Kasus B: ujung fin adalah diisolasi ................................................................ 48

7.2.3 Kasus C: temperatur pada ujung fin adalah ditentukan, pada x = L ............... 51

7.2.4 Kasus D: ujung fin dipengaruhi perpindahan panas konveksi, pada x = L .... 54

7.3 Efisiensi dan Efektivitas Fin ...................................................................................... 57

7.3.1 Efisisensi fin ................................................................................................... 57

7.3.1.1 Efisiensi fin untuk kasus A .............................................................. 57

7.3.1.2 Efisiensi fin untuk kasus B ............................................................... 58

7.3.1.3 Efisiensi fin untuk kasus C ............................................................... 58

7.3.1.4 Efisiensi fin untuk kasus D .............................................................. 59

7.3.2 Efektivtas fin .................................................................................................. 62

7.3.2.1 Efektivitas fin untuk kasus A ........................................................... 63

7.3.2.2 Efektivitas fin untuk kasus B ........................................................... 63

7.3.2.3 Efektivitas fin untuk kasus C ........................................................... 63

7.3.2.4 Efektivitas fin untuk kasus D ........................................................... 64

7.4 Fin dengan susunan banyak ....................................................................................... 64

Contoh soal 7.1 ................................................................................................................ 66

Referensi ............................................................................................................................... 70

Biography .............................................................................................................................. 70

Ali Hasimi Pane Perpindahan Panas Konduksi: Steady State – One Dimensional

Consultant

1. Perpindahan panas konduksi kondisi tunak – Satu Dimensi

Perpindahan panas konduksi dalam kodisi tunak – satu dimensi (steady state – one

dimensional) adalah perpindahan panas konduksi yang terjadi pada suatu benda/material, dimana

distribusi temperatur bukan sebagai fungsi waktu, dan aliran energi panas dominan terjadi pada satu

arah dengan mengabaikan arah aliran energi panas lainnya atau dengan kata lain arah aliran energi

panas lainnya diisolasi. Untuk kasus ini akan dijelaskan pengetahuan tentang perpindahan panas

konduksi steady state – satu dimensi pada bidang geometris seperti persegi empat (dinding datar),

silinder, bidang bulat dan permukaan perpindahan panas yang diperluas atau disebut fin/sirip.

Tinjauan Dasar

Seperti gambar disamping sebuah plat datar, dimana luasan arsiran (A) dan tebal arsiran (dx) adalah

sebagai volume control yang akan dianalisa:

Gambar 1.1 Skematik perpindahan panas konduksi steady state-satu dimensi pada bidang datar

(dalam koordinat empat persegi panjang)

Dari keseimbangan energi:

kontrol volumedari

dalam energi

ahanLaju/perub

kontrol volume

kanan sisi dari

keluar yang energiLaju

kontrol volume

dalam darikitkan

-dibang yang energiLaju

kontrol volumekiri

sisi daridihantar

yang energiLaju

dapat ditulis dalam bentuk persamaan matematik:

uAdxqAdxqq dxxx

''' ….(1.1)

Consultant

dimana:

A = luas penampang volume kontrol

A dx = volume dari volume kontrol

qx = laju perpindahan panas konduksi ke volume kontrol

q''' = energi kalor yang dibangkitkan dari dalam volume kontrol

= density volume kontrol

A dx = massa volume kontrol

tu / = laju perubahan energi dalam per massa volume kontrol

Laju perpindahan panas konduksi dari persamaan hukum Fourier:

dTkAqx ….(1.2)

dimana k adalah koefisien konduktivitas thermal, T adalah temperatur, jika T sebagai fungsi lebih

dari satu variabel, maka dapat ditulis dalam bentuk differensial parsial:

….(1.3)

dalam prinsip thermodinamika dapat dinyatakan:

pvuh ….(1.4)

dalam bentuk differensial:

vdppdvdhdu ….(1.5)

Kemudian perpindahan panas konduksi adalah prinsip dasar perpindahan panas pada benda padat,

maka persamaan 1.5 dapat ditulis:

dhdu ….(1.6)

dari definisi panas spesifik diketahui:

dTcpdTcv ….(1.7)

ccpcv ….(1.8)

dimana cv adalah panas spesifik pada volume konstan, cp adalah panas spesifik pada tekanan

konstan, keduanya merupakan persamaan untuk benda padat. Maka laju perubahan energi dalam

dapat ditulis:

….(1.8)

Kemudian dari persamaan 1.1 untuk laju perpindahan panas konduksi dari sisi luar atau sisi kanan

volume kontrol dapat ditulis:

xxdxx dqqq ….(1.9)

Consultant

dqqq x

xdxx ….(1.10)

Jika q sebagai fungsi lebih dari satu variable, maka dapat dilakukan differensial parsial:

….(1.11)

subsitusi persamaan (1.3), (1.8), dan (1.11) ke persamaan (1.1), maka:

TcAdxdx

qqAdxqq x

)(''' ….(1.12)

eliminasi qx pada persamaan (1.12), maka:

TcAdxdx

qAdxq x

)(''' ….(1.13)

TcAdxdx

qAdxq x

)(''' ….(1.14)

Subsitusi persamaan (1.3) ke persamaan (1.14), maka:

TcAdxdx

)(''' ….(1.15)

Kalikan kedua sisi dengan Adx/1 , maka:

''' ….(1.16)

….(1.17)

Jika diselesaikan lanjut dimana (k) adalah konstan, maka:

….(1.18)

dimana c

(Thermal diffusi), maka:

….(1.19)

Consultant

Persamaan (1.19) adalah merupakan persamaan perpindahan panas konduksi untuk dinding datar

dalam kondisi steady state – satu dimensi.

Pada kondisi khusus:

Steady state

Tdt ….(1.20)

Transient, tidak ada energi panas yang dibangkikan dari dalam

2''' ….(1.21)

Steady state dan ada energi panas yang dibangkikan dari dalam

Tdqt ….(1.22)

Untuk perpindahan panas konduksi sistem tiga dimensi dapat ditulis:

Untuk sistem koordinat kartesius (seperti gambar)

''' ….(1.23)

Jika konduktivitas thermal (k) adalah konstan, maka:

….(1.24)

Gambar 1.2 Skematik perpindahan panas konduksi koordinat kartesius

Consultant

Untuk sistem koordinasi silindris seperti gambar disamping

11 ….(1.25)

111 '''

….(1.26)

Gambar 1.3 Skematik perpindahan panas konduksi koordinat silinder

Untuk sistem koordinasi spherical

11 ….(1.27)

12 '''

….(1.28)

Gambar 1.4 Skematik perpindahan panas konduksi koordinat spherical

Consultant

2. Konduksi pada dinding datar kondisi steady state – satu dimensi

2.1 Bidang/dinding datar geometris

Perhatikan gambar 2.1, dimana energi kalor mengalir melalui dinding datar pada arah x. Sementara

itu, diasumsikan bidang datar adalah dalam kondisi tunak (steady state) dan satu dimensi, maka

untuk menentukan laju aliran perpindahan panas konduksi dapat dilakukan sebagai berikut, dari

persamaan (1.19)

Gambar 2.1 skematik perpindahan panas konduksi pada bidang datar

dimana tidak ada energi yang dibangkitkan dari dalam, maka persamaan diatas dapat ditulis

menjadi:

T atau 0

Td ....(2.1)

kemudian lakukan proses integrasi ganda pada persamaan (2.1)

Integrasi pertama:

dxCdTdxTd 122 0

dT ....(2.2)

Integrasi kedua:

211 CxCTdxCdT ....(2.3)

dari gambar 2.1 diketahui kondisi batas volume kontrol:

Jika x = 0 ; maka T = T1, sehingga

211 0 CCT atau 12 TC ….(2.4)

Consultant

Jika x = L ; maka T = T2, sehingga

212 )( CLCT atau 112 )( TLCT

TTC 12

….(2.5)

subsitusi harga C1 dan C2 ke persamaan (2.3), maka:

112 Tx

….(2.6)

sehingga untuk laju perpindahan panas konduksi pada bidang/dinding seperti gambar 2.1 dapat

ditentukan berdasarkan hukum Fourier sebagai berikut:

dTkAqx ….(2.7)

subsitusi persamaan (2.2) dan (2.3) ke persamaan (2.7), maka:

TTkAqx

21 ….(2.8)

dimana KAL / adalah hambatan thermal yang dinotasikan sebagai (R), dan persamaan (2.8) dapat

ditulis:

21 ….(2.9)

2.2 Dinding komposit susunan seri

Perhatikan gambar 2.2, dimana dinding komposit susunan seri dalam kondisi tunak (steady

state) dan satu dimensi, sementara itu sifat-sifat material adalah konstan. Maka untuk menentukan

laju perpindahan panas konduksi pada arah x:

A. Laju perpindahan panas konduksi dengan mengabaikan pengaruh perpindahan panas

konveksi

dari hukum Fourier

dTkAqx ….(2.10)

Consultant

Gambar 2.2 Skematik perpindahan panas konduksi untuk dinding datar susunan seri

dan konservasi energi

11 TTx

Akqx ….(2.11)

persamaan (2.11) dapat ditulis juga sebagai berikut:

Akqx ; )( 23

Akqx ; )( 34

kalikan persamaan diatas dengan kAx /

1, maka:

….(2.12)

dengan menjumlahkan persamaan (2.12), maka akan diperoleh:

….(2.13)

dimana (L/kA) adalah tahanan thermal yang dinotasikan sebagai (R), maka persamaan (2.13) dapat

ditulis:

Totalx R

TTq 41 ….(2.14)

Consultant

B. Laju perpindahan panas pada dinding komposit dengan mempertimbangkan perpindahan

panas konveksi yang terjadi.

Laju perpindahan panas konveksi dapat ditentukan:

)( 4 aa TThAq ….(2.15)

a /14 ….(2.16)

dimana:

hA/1 = R (tahanan thermal)

dari persamaan (2.12)

q ax 1

)()()()( 4

….(2.17)

dengan menjumlahkan persamaan (2.17), maka diperoleh:

atau Total

….(2.18)

2.3 Dinding komposit susunan paralel

Perhatikan gambar 2.3, dimana dinding komposit susunan paralel dan diisolasi dalam

kondisi tunak (steady state) dan satu dimensi, sementara itu sifat-sifat material adalah konstan,

maka laju perpindahan panas konduksi pada dinding dapat ditentukan:

Gambar 2.3 skematik perpindahan panas konduksi pada dinding datar susunan paralel

dari gambar dapat ditulis keseimbangan laju aliran energi panasnya:

21 qqq ....(2.19)

Consultant

21 11)(

TTq ….(2.20)

ditinjau dari analogi listriknya

TotalR

TTq 21 ….(2.21)

dimana

RRRTotal (dinding komposit susunan paralel)

RRRTotal

maka persamaan (2.21) dapat ditulis:

….(2.22)

dimana

222 Ak

2.4 Dinding komposit susunan kombinasi (seri dan paralel)

Perhatikan gambar 2.4, dimana dinding komposit susunan seri dan paralel dalam kondisi

tunak (steady state) dan satu dimensi, sementara itu sifat-sifat material adalah konstan. Maka untuk

menetukan laju perpindahan panas konduksinya,

Gambar 2.4 skematik perpindahan panas konduksi untuk dinding datar susunan kombinasi paralel

dan seri

Consultant

dari persamaan:

TotalTotal R

1 ….(2.23)

dimana

konveksiseriparalelTotal RRRR ….(2.24)

konveksiTotal RRRR

21 ….(2.25)

sementara itu,

11 .Ak

22 .Ak

33 .Ak

AhRkonveksi ….(2.26)

Contoh soal 2.1: Perhatikan jendela kaca, seperti gambar, dengan dimensi tinggi 1,2 m dan lebar 2

m dan koefisien konduktivitas thermalnya k = 0,78 W/m. oC. Pada kondisi steady state, tentukan

laju perpindahan panas melalui jendela kaca, temperatur permukaan sisi dalam dan luar dinding

kaca dimana temperatur ruang dijaga pada 24oC sementara temperatur lingkungan luar adalah -5oC.

Kemudian gunakan koefisien perpindahan panas konveksi untuk bagian dalam dan luar jendela

adalah h1 = 10 W/m2. oC dan h2 = 25 W/m2. oC dan abaikan pengaruh perpindahan panas radiasinya.

(Referensi: Heat transfer-Practical Approach, second edition. By Yunus A Cengel)

Diketahui : seperti soal dan gambar.

Ditanaya : laju perpindahan panas pada jendela kaca, temperatur permukaan sisi dalam

dan luar.

Diasumsikan: Jendela kaca dalam kondisi steady state dan satu dimensi, konduktivitas thermal kaca

adalah konstan dan perpindahan panas radiasi adalah diabaikan.

Penyelesaian:

Berdasarkan gambar sistem dan analogi tahanan thermalnya, maka dari persamaan:

okacaitotal RRR

Consultant

Gambar 2.5 Skematik sistem untuk contoh soal 2.1

dimana:

A adalah luas penampang jendela kaca:

2m 4,2m)22,1( A

C/W0,04167 m4,2C.W/m10

1 o2o2

C/W0,00321 m4,2CW/m.78,0

m006,0 o2o

C/W0,01667 m4,2C.W/m25

1 o2o2

sehingga

C/W0,06155

01667,000321,004167,0

totalR

Oleh karena itu,

a. Laju perpindahan panas konduksi pada jendela kaca:

W471,16166C/W0,06155

C)]5(24[o

b. Temperatur permukaan sisi dalam jendela kaca

TTq 11

Consultant

C4,4 C4,3666

C/W)0,04167 W471,16166(C24oo

c. Temperatur permukaan sisi luar jendela kaca

TTq 21

C3 C2,88757

C/W)0,00321 W(471,161664,4

kacaRqTT

Contoh soal 2.2: Sebuah jendela kaca ganda, seperti gambar, memiliki tinggi 1,2 m, lebar 2 m,

tebal 3 mm, dan koefisien konduktivitas thermalnya (k) 0,78 W/m. oC dipisahkan dengan ruang

udara stagnant dengan jarak 12 mm dan k = 0,026 W/m. oC. Tentukanlah laju perpindahan panas

dalam keadaan steady melalui jendela kaca ganda tersebut dan temperatur permukaan sisi dalamnya

dimana temperatur ruang dijaga pada 24oC sementara temperatur lingkungan luar adalah -5oC.

Gunakan koefisien konveksi untuk sisi dalam dan luar jendela adalah h1 = 10 W/m2. oC dan h2 = 25

W/m2. oC dan abaikan perpindahan panas radiasi yang mungkin terjadi. (Referensi: Heat transfer-

Practical Approach, second edition. By Yunus A Cengel).

Diketahui : seperti soal dan gambar.

Ditanya : laju perpindahan panas pada jendela kaca dan temperatur setiap titiknya.

Diasumsikan : Jendela kaca dalam kondisi steady state dan satu dimensi, konduktivitas

thermal kaca dan udara adalah konstan dan perpindahan panas radiasi

adalah diabaikan.

Penyelesaian:

Berdasarkan gambar dan analogi tahanan thermal sistem, maka dari persamaan:

oitotal RRRRR

okacaudarakaca

Consultant

dimana:

A adalah luas penampang jendela kaca:

2m 4,2m)22,1( A

C/W0,04167 m4,2C.W/m10

1 o2o2

C/W0,00160 m4,2CW/m.78,0

m003,0 o2o1

C/W0,19231 m4,2CW/m.026,0

m012,0 o2o2

C/W0,00160 o13 RR

C/W0,01667 m4,2C.W/m25

1 o2o2

sehingga

C/W0,2538501667,0

00160,019231,000160,004167,0

totalR

Oleh karena itu,

a. Laju perpindahan panas konduksi pada jendela kaca:

W114,24069C/W0,25385

C)]5(24[o

Consultant

b. Temperatur permukaan pada setiap titiknya

- Untuk T1

TTq 11

C19,23959 C/W)0,04167 W114,24069(C24 ooo

- Untuk T2

C19.05681 C/W)0,00160 W114,24069(C19,23959 ooo1

- Untuk T3

C2,91282 - C/W)0,19231 W114,24069(C19,05681 ooo2

- Untuk T4

C3,09561 - C/W)0,00160 W114,24069(C-2,91282 ooo3

Contoh soal 2.3: Tentukan laju aliran energi panas pada dinding komposit, seperti gambar 2.7,

asumsikan aliran energi panas 1 dimensi. Kemudian nilai konduktivitas setiap material masing-

masing adalah: kA = 150 W/m. oC, kB = 30 W/m. oC, kC = 50 W/m. oC, kD = 70 W/m. oC, dan AB =

AD. (Referensi: Heat Transfer, Tenth Edition, by J. P. Holman).

Diketahui: dinding komposit seperti soal dan gambar 2.7

Ditanya: laju aliran panas pada dinding komposit

Penyelesaian:

Berdasarkan gambar dinding komposit adalah susunan seri dan paralel, maka dari persamaan,

Tq 2121

Consultant

dimana,

C/W0,001667 m1,0CW/m.150

1 cm5,2

C/W0,05 m)2/1,0(CW/m.30

1 cm5,7

C/W0,01 m)2/1,0(CW/m.50

C/W0,02143 m)2/1,0(CW/m.70

1 cm5,7

C/W0,02667 0,021430,05

0,021430,05 0,010,001667 o

TotalR

Oleh karena itu.

W11398,5752C/W0,02667

C)66370(o

TotalR

Consultant

3. Konduksi pada bidang silindris dalam kondisi steady state – satu dimensi

Sebuah sistem dalam koordinat silindris, seperti gambar 3.1, dimana laju perpindahan

konduksi terjadi pada arah radial, berdasarkan keseimbangan energi yang terjadi:

Gambar 3.1 Skematik perpindahan panas konduksi pada bidang silindris

kontrol volumedari

dalam energi

ahanLaju/perub

kontrol

volumedarikeluar

yang energiLaju

kontrol volumedalam

darian dibangkitk

yang energiLaju

kontrol

olumedihantar v

yang energiLaju

udzdrdrdr

qqdrdzrdqq r

)(''' ….(3.1)

atau disederhanakan:

udzddrrdzddrrqdr

''' ….(3.2)

dari hukum fourier untuk konduksi dalam koordinat polar:

TkAq rr

….(3.3)

kTdzdr

kq ….(3.4)

Tdrdrk

TkAq zz

….(3.5)

Consultant

dari persamaan energi dalam Tcu , dan subsitusi ke persamaan (3.2), maka:

11 '''

….(3.6)

Persamaan (3.6) adalah persamaan perpindahan panas konduksi satu dimensi untuk koordinat polar

(sistem silindris).

Untuk kondisi khusus:

Steady state

t maka 01 '''

r ….(3.7)

Transient, tidak ada energi yang dihasilkan

0''' q maka t

….(3.8)

Steady state dan tidak ada energi yang dihasilkan

0dan0 '''

maka 0

d ….(3.9)

3.1 Bidang silinder berlubang

Sebuah bidang silinder dalam koordinat polar seperti gambar 3.2, dimana laju aliran

perpindahan panas konduksi pada silinder tersebut pada kondisi asumsi sebagai berikut:

- tidak ada energi panas yang mengalir kearah sumbu z atau 0/ zT

- temperatur pada arah sudut adalah seragam (uniform) atau 0/ T

- 0''' q ; 0/ tT ; k = konstan

dengan menggunakan persamaan (3.9)

d atau 0

Dan melalui proses integrasi ganda pada persamaan diatas, maka diperoleh:

Proses integrasi prtama

22 0drTdr atau drCdTr 1

atau dapat ditulis

dT 1 ….(3.10)

Consultant

Proses integrasi kedua

drCdT 1

21 ln CrCT ….(3.11)

Gamabr 3.2 skematik perpindahan panas konduksi pada bidang silindris berlubang

Penyelesaian dimana kondisi batas sistem silindris:

Jika: r = r1 dan T = T1

dan subsitusi harga batas tersebut ke persamaan (3.11), maka:

2111 ln CrCT

1112 ln rCTC ….(3.12)

Jika: r = r2 dan T = T2

kemudian subsitusi harga batas tersebut ke persamaan (3.11), maka:

2212 ln CrCT

2122 ln rCTC ….(3.13)

dari persamaan (3.12) dan (3.13), sama dengan-kan harga C2, maka diperoleh:

212111 lnln rCTrCT

)](ln)ln[( 21121 rrCTT

sehingga

211 lnln rr

Consultant

jika disederhanakan

)/ln( 21

211 rr

….(3.14)

)/ln( 12

121 rr

….(3.15)

subsitusi persamaan (3.15) ke persamaan (3.12), maka:

1212 ln

)/(lnr

…(3.16)

kemudian subsitusi persamaan (3.14) dan (3.15) ke persamaan (3.11), maka:

12 ln)/(ln

ln)/(ln

1121 /ln

rrTTTT ….(3.17)

dari persamaan (3.17) jika disederhanakan adalah merupakan persamaan distribusi temperatur untuk

sistem koordinat polar untuk bidang silinder berlubang:

TT ….(3.18)

Kemudian untuk persamaan laju perpindahan panas pada bidang silinder berlubang, dapat

diselesaikan dimulai berdasarkan persamaan (3.3) dan (3.10) sebagai berikut:

dTkAq rr dan

akan diperoleh

CkAq rr

subsitusi harga C1 dari persamaan (3.15)

)/(ln 12

TTkAq rr

TTkAq r

….(3.19)

dimana Ar = 2rL adalah luas selimut silinder, maka:

TTrLkqr

Consultant

TTLkqr

.…(3.20)

Dalam hubungan tahanan thermal, dimana dinotasi sebagai RTh, maka:

rrRTh 2

)/(ln 12 ….(3.21)

subsitusi persamaan (3.21) kepersamaan (3.20), maka diperoleh:

21 ….(3.22)

3.2 Bidang silinder dinding komposit

Sebuah sistem silinder komposit seperti gambar 3.3, dimana laju aliran perpindahan panas

pada silinder tersebut dengan metode hambatan thermal dengan mempertimbangkan perpindahan

panas konveksi. Maka dari persamaan (3.22)

Gambar 3.3 Skematik analogi listrik perpindahan panas pada bidang silindris komposit

dimana:

Consultant

Contoh soal 3.1: Uap panas lanjut pada 300oF mengalir pada pipa baja diameter 6-in schedule 40.

Kemudian pipa baja tersebut diisolasi dengan bahan 85% magnesia dan tebal 3-in. Hitunglah laju

rugi aliran energi panas per panjang pipa (dalam ft) dan tahanan thermalnya, dimana koefisien

perpindahan panas konveksi pada sisi dalam dan luar pipa masing-masing adalah h1 = 30 Btu/h. ft2. oF dan h2 = 5 Btu/h. ft2. oF. (Referensi: Principles of Heat Transfer,Seventh Edition, by Frank

Kreith, Raj M. Manglik and Mark S. Bohn).

Diketahui : seperti soal dan gambar 3.4

Ditanya : laju rugi aliran perpindahan panas pada pipa dan tahanan thermalnya

Diasumsikan : pipa baja dalam kondisi steady state dan satu dimensi, konduktivitas

thermalnya adalah konstan dan pipa adalah 1% baja karbon

Penyelesaian:

Dari tabel pipa dengan diameter nominal 6-in schedule 40 diperoleh:

Do = 6,625 in ro = 3,3125 in ; Di = 6,065 in ri = 3,0325 in

karena pipa diisolasi dengan tebal (tpipa) 3 in, maka:

Disolasi = 6,625 + 3 = 9,625 in risolasi = 4,8125 in

Dari tabel material pada temperatur 68oF diperoleh nilai konduktivitas:

kpipa = 24,8411 Btu/h. ft. oF ; kisolasi = 0,0341 Btu/h. ft. oF

uappipaisolasiudaraTh

r RRRR

dimana

F/Btuft.h.

0,07937

1in)3625,6(F.ftBtu/h.5

xDLhAhR

pipaooudara

F/Btuft.h. 1,7433

F ft. Btu/h. 0,03412

]3,3125/4,8125ln[

)/(ln oo LLLk

isolasi

oisolasiisolasi

F/Btuft.h. 0,000566

F ft. Btu/h. 24,84112

]3,0325/3125,3ln[

)/(ln oo LLLk

isolasi

iopipa

F/Btuft.h.

0,02099

1in)065,6(F.ftBtu/h.30

LDhAhR

iiudara

Consultant

Gambar 3.4 Skematik contoh soal 3.1

F/Btuft.h. 1,84423

F/Btuft.h.0,020990,0005661,74330,07937

LLLLRth

sehingga laju rugi aliran energi panas per panjang pipa adalah:

ft Btu/h.130,13561F/Btuft.h.

1,84423F)60300(

Contoh soal 3.2: Uap panas lanjut pada temperatur 575oC dari boiler dan dialirkan ke turbin uap

untuk menghasilkan daya melalui pipa baja (kpipa = 35 W/m. K), seperti gambar 3.5, yang diameter

dalamnya 300 mm dan tebal dinding 30 mm. Untuk mengurangi rugi energi panas ke lingkungan

dan untuk menjaga temperatur permukaan luar pipa dalam kondisi aman, maka dipasang material

isolasi yaitu calcium silicate (kisolasi = 0,1 W/m. K) terhadap permukaan luar pipa, sementara bahan

isoalsi tersebut dibungkus dengan pelat aluminium tipis yang memiliki emisivitas = 0,20.

Sementara itu, temperatur udara linkungan dan dinding power plant adalah 27oC. Asumsikan bahwa

temperatur permukaan dalam pipa sama dengan temperatur uap dan koefisien konveksi dinding luar

pelat aluminium adalah 6 W/m. K, berapa tebal minimum bahan isolasi yang dibutuhkan untuk

Consultant

menjaga temperatur aluminium tidak lebih dari 50oC?. Dan berapa rugi energi panas per satuan

panjang pipa?. (Referensi: Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Sixth Edition, by Incropera,

Dewitt, Bergman and Lavine).

Diketahui: seperti soal dan gambar 3.5.

TLing = 27 + 273 = 300 K ; TAl = 50 + 273 = 323 K ; T1 = 575 + 273 = 848 K

T2 = 27 + 273 = 300 K ; h2 = 6 W/m2. K

kpipa = 35 W/m. K ; kisolasi = 0,1 W/m. K

Ditanya: seperti soal

Diasumsikan: Sistem dalam kondisi steady sate-satu dimensi, perpindahan panas konduksi sistem

radial, abaikan tahanan thermal konduksi untuk pelat aluminium, sifat-sifat thermodinamika sistem

dan fluida adalah konstan, abaikan tahanan thermal konveksi pada sisi uap dan sistem berada dalam

ruangan yang besar.

Penyelesaian:

Berdasarkan persoalan dan gambar 3.5 dapat ditentukan persamaan keseimbangan energi pada sisi

luar pelat aluminium:

radiasikonveksikonduksi qqq ….(a)

dimana

isolasipipa

Alkonduksi

)/ln( 2312

….(b)

Consultant

)(2)( 2322,2 TTrhTTAhq AlAlAlskonveksi ….(c)

)(2)( 42

4, TTrTTAq AlAlAlsradiasi ….(d)

Subsitusikan persamaan (b), (c) dan (d) ke persamaan (a), maka:

)(2)(2

)/ln(4

32322312

TTrTTrh

isolasipipa

)]()([2)/ln()/ln(

)(2 42

TTTThr

isolasipipa

)]300323(1067,52,0

)300323(6[2

)18,0/ln(

)15,0/18,0ln()323848(2

)18,0/ln(r0,00520919r401065,4817463298,67228 3

persamaan persoalan tersebut dapat diselesaikan melalui proses trial and error, dengan batas

maksimum error 10-5,maka dihasilkan: r3 = 0,39442065 m r3 = 0,39442 m. Dan tebal isolasi

adalah:

mm 42,214 m 0,2144218,039442,023 rrtisolasi

Sehingga laju perpindahan panas konduksinya dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan

W/m420,22352

)18,0/39442,0ln(

)15,0/18,0ln(323848

konduksiq

Consultant

4. Bidang bulat geometris (koordinat spherical)

Dalam koordinat spiris untuk perpindahan panas konduksi satu dimensi dinyatakan dalam

persamaan sebagai berikut:

11 '''

….(4.1)

Untuk kondisi khusus:

Steady state

t maka 01 '''

r ….(4.2)

Transient dan tidak ada energi panas yang dibangkitkan

0''' q maka dr

r 11 2

….(4.3)

Steady state dan tidak ada energi panas yang dibangkitkan

t ; 0''' q maka 02

d ….(4.4)

4.1 Bidang bulat berlubang (hollow sphere)

Dari bidang bulat berlubang seperti gambar 4.1, dimana laju aliran perpindahan panas konduksi

pada sistem tersebut dalam steady state dan tidak ada energi yang dihasilkan, dan dapat ditentukan:

Gambar 4.1 skematik perpindahan panas konduksi pada bidang bulat berlubang

d atau 0

Tdr ….(4.5)

Consultant

dengan melakukan proses integrasi ganda, maka diperoleh:

222 0 drdTr

drCdTr 12 atau

dT ….(4.6)

dengan mengintegrasi persamaan (4.6), maka:

CT ….(4.7)

Penyelesaian dimana kondisi batas sistem

Jika r = r1 ; T = T1 , maka:

CTC ….(4.8)

Jika r = r2 ; T = T2 , maka:

CTC ….(4.9)

Sama dengankan antara harga C2 dari persamaan (4.8) dan (4.9), maka:

)/()/( 212111 rCTrCT

)/()/( 112121 rCrCTT

)/1()/1( 12121 rrCTT

sehingga diperoleh harga C1:

)/1()/1( 12

211 rr

….(4.10)

kemudian untuk harga C2, subsitusi persamaan (4.10) ke persamaan (4.8), maka diperoleh:

)/1()/1(

112 rr

)/1()/1(

112 rr

rTC ….(4.10)

Consultant

maka laju perpindahan panas konduksinya dapat ditentukan sebagai berikut:

dTkAq rr

dimana Ar = 4r2 dan dT/dr = C1/r2, sehingga:

)/1()/1(

….(4.11)

)(4 2112

21 TTrr

….(4.12)

diketahui

)/1()/1( 21 ….(4.13)

ThRrkr

4 ….(4.14)

subsitusi persamaan (4.13) atau (4.14) ke persamaan (4.11) atau (4.12), maka

21 ….(4.15)

4.2 Bidang bulat berlubang susunan komposit

Dalam sistem bulat berlubang susunan komposit, seperti gambar 4.2, dimana laju perpindahan

panas konduksi pada sistem tersebut terjadi pada kondisi steady state dan satu dimensi.

Gambar 4.2 skematik dan analogi listrik perpindahan panas konduksi pada bidang bulat berlubang

susunan komposit

Consultant

maka dari persamaan (4.15) dapat digunakan:

TTq ssss

dimana:

122 4 rrk

233 4 rrk

Contoh soal 4.1: Sebuah tangki bulat berbahan stainless steel (k = 15 W/m. oC) dengan diameter

dalam 5 m dan tebal 1,5 cm digunakan untuk menyimpan air es pada temperatur 0oC, seperti

gambar 4.3 . Tangki ditempatkan dalam sebuah ruangan yang bertemperatur 30oC. Dinding ruangan

juga bertemperatur 30oC. Permukaan terluar dari tangki adalah berwarna hitam (emisivitas = 1),

dan perpindahan panas yang berlangsung antara permukaan terluar tangki dan lingkungan adalah

secara konveksi almi dan radiasi. Koefisien perpindahan panas konveksi pada permukaan dalam

dan luar tangki masing-masing adalah 80 W/m2. oC dan 10 W/m2. oC. Tentukanlah: (a) laju

perpindahan panas terhadap es dalam tangki, (b) Jumlah es pada 0oC yang mencair selama 24 jam.

Perpindahan panas fusi dari air pada tekanan atmosfir adalah hif = 333,7 kJ/kg. (Referensi: Heat

transfer-Practical Approach, second edition. By Yunus A Cengel).

Diketahui: seperti soal dan gambar 4.3

Ditanya: (a) Laju perpindahan panas terhadap es dalam tangki, (b) Jumlah es pada 0oC yang

mencair selama 24 jam.

Diasumsikan: Perpindahan panas adalah kondisi steady state karena pada kondisi batas thermal

khusus tidak berubah terhadap waktu, perpindahan panas adalah satu dimensi karena ada thermal

yang symetrik pada titik tengah tangki, koefisien konduktivitas thermalnya aalah konstan.

Sifat-sifat fisik baik material maupun fluida kerja yang diketahui:

ktangki = 15 W/m. oC (stainless steel)

hif = 333,7 kJ/kg (panas fusi air pada 1 atm)

tangki, luar = 1 (permukaan luar tangki adalah hitam)

Consultant

(a) (b)

Penyelesaian:

a. Menentukan Laju perpindahan panas terhadap es dalam tangki

Dari persamaan (4.15)

totalTh

inruangan

totalThr R

dari gambar 4.3 (a) dan (b):

C/W 0,0001592)m5( C) . W/m(80

11 o2o21

inin AhR

C/W 63500000,0m50752m 5,2 C W/m.154

m )5,250752(

untuk R3 adalah hambatan thermal yang dipengaruhi oleh radiasi antara lingkungan dan permukaan

hitam tangki sisi terluar, untuk hal ini kita asumsikan bahwa temperatur permukaan terluar tangki

adalah T2 = 5oC setelah membandingkan koefisien perpindahan panas konveksi pada permukaan

dalam dan luar tangki. Melalui asumsi tersebut dapat ditentukan koefisien perpindahan panas

radiasi sebagai berikut:

))(( 222

222 ruanganruanganradiasi TTTTh

K . W/m5,57038)]K27330()K2735[(])K27330()K2735[(

)K .W/m1067,5(1

radiasih

C/W 0,0022721)m0,0155( C) . W/m(5,57038

11 o2o23

outradiasi AhR

C/W 0,0012656)m015,05( C) . W/m(10

11 o2o24

outout AhR

Consultant

berdasarkan gambar 4.3 (b) Rth, total adalah kombinasi susunan seri dan paralel, maka dapat

ditentukan:

4321, RR

RRRRR totalTh

C/W 0,0009781C/W 0012656000227210

001265600022721063500000,00,0001592 oo

,,R totalTh

Oleh karena itu,

kJ/s 30,6717105 W5930671,7104C/W 0,0009781

C)030(o

totalTh

inruanganr R

b. Menentukan perpindahan panas total terhadap es dalam tangki dan jumlah es yang

mencair selama 24 jam

Perpindahan panas total terhadap es selama 24 jam

kJ 722650035,783600)s(24kJ/s 30,6717105tjam24selama, rtotalr qq

Jumlah es yang mencair selama 24 jam

kg 27941,37185kJ/kg 7,333

kJ 722650035,78jam24selama,

jam24selama if

totalr

Pengecekan terhadap asumsi temperatur permukaan sisi luar tangki T2 = 5oC,

)( ,2 pengecekanruanganoutradiasikonveksir TTAhq

C1,5C 5,0685788

)m 015,05(K . W/m5,57038)(10

W5930671,7104C 30

outradiasikonveksi

rruanganpengecekan Ah

Kesimpulannya bahwa T2 yang diasumsikan tidak memiliki selisih error yang signifikan pada T2

hasil perhitungan. Oleh karena itu analisa perhitungan selesai, beda halnya jika T2 memiliki selisih

yang begitu besar maka perhitungan diulangi kembali.

Consultant

5. Perpindahan Panas Konduksi dengan Sumber Pembangkit Kalor Uniform

Dalam bidang engineering banyak akan ditemui beberapa sistem yang terdapat applikasi

perpindahan panas konduksi steady state – satu dimensi, seperti kabel listrik, refrigerator, oven,

reaktor-reaktor kimia/nuklir dan lainnya, untuk itu dalam bagian ini akan dibahas untuk sistem pada

bidang dinding datar dan silinder.

5.1 Dinding datar dengan sumber pembangkit kalor uniform

Perhatikan sebuah dinding datar dengan sumber pembangkit kalor uniform seperti gambar 5.1,

dimana sistem dalam steady state – satu dimensi.

Gambar 5.1 Skematik perpindahan panas konduksi pada bidang datar dengan sumber pembangkit

kalor uniform

dari persamaan perpindahan panas konduksi untuk satu dimensi:

kondisi sistem steady state:

Td atau

Td '''

....(5.1)

Dengan melakukan integrasi ganda pada persamaan diatas dihasilkan:

- Integrasi tingkat pertama

dT ….(5.2)

- Integrasi tingkat kedua

qT ….(5.3)

Consultant

Pada kondisi batas x = 0 ; dT/dx = 0, kemudian subsitusi harga tersebut kepersamaan (5.2), maka:

01 C ….(5.4)

Pada sisi tengah sistem dimana C1 = 0 dan C2 = To, kemudian subsitusi harga tersbut kepersamaan

(5.3), maka:

2 ….(5.5)

Pada kondisi batas x = L dan T = Tw, kemudian subsitusi kepersamaan (5.5), maka:

….(5.6)

Pada kondisi x = 0 dan T = To (posisi tengah/center sistem), maka diperoleh:

LqTT wo 2

….(5.7)

Dari hubungan persamaan (5.5), dan (5.6), dihasilkan suatu persamaan distribusi temperatur

parabolik sistem sebagai berikut:

….(5.8)

5.2 Sistem silindris geometris dengan sumber pembangkit kalor uniform

Sistem silindris pejal, seperti gambar 5.2, dengan sumber kalor uniform sepanjang dinding silinder,

dimana sistem dalam kondisi steady state – satu dimensi. Maka dari persamaan perpindahan panas

konduksi satu dimensi untuk bidang silindris:

r 11 '''

….(5.9)

kemudian dari persamaan pada kondisi steady state yang sumber kalor dibangkitkan dari dalam:

01 '''

….(5.10)

lakukan proses integrasi ganda:

- Integrasi pertama:

dTr atau

dT 1'''

2 ….(5.11)

Consultant

Gambar 5.2 Skematik perpindahan panas konduksi pada bidang silindris dengan sumber

pembangkit kalor uniform

- Integrasi Kedua

qrT ….(5.12)

Pada kondisi batas: r = 0; dT/dr = 0 maka:

01 C ….(5.13)

maka persamaan (5.12) menjadi:

qrT ….(5.14)

Pada kondisi batas: r = ro ; T = Tw maka pers. (5.14) menjadi:

w ….(5.15)

qrTC o

2 ….(5.16)

subsitusi harga C1 dan C2 kepersamaan (5.12), maka akan diperoleh persamaan distribusi

temperaturnya sebagai berikut:

qTT ow ….(5.17)

dimana temperatur pada center/tengah silinder (T0) pada r = 0, adalah:

….(5.18)

Consultant

rqTT o

….(5.19)

Sehingga kombinasi dari persamaan (5.17) dan (5.19) dihasil persamaan distribusi temperatur

sistem tak berdimensi:

TT ….(5.20)

5.3 Sistem silindris berlubang dengan sumber pembangkit kalor uniform

Sistem silindris dengan sumber pembangkit kalor dari dalam , seperti gambar 5.3, dimana sistem

dalam kondisi steady state – satu dimensi dengan sumber kalor merata sepanjang silinder. Oleh

karena itu, analisa matematik dapat dimulai dari persamaan (5.12)

Gambar 5.3 Skematik perpindahan panas konduksi pada bidang silindris berlubang dengan sumber

Pada kondisi batas r = r1 ; T = T1 dan r = r2 ; T = T2, maka diperoleh penyelesaian akhir untuk

persamaan distribusi temperatur sistem:

….(5.21)

5.4 Sistem bulat berlubang dengan sumber pembangkit kalor uniform

Sistem bulat berlubang dengan sumber kalor pembangkit dalam uniform, seperti gambar 5.4,

dimana sistem dalam kondisi steady state – satu dimensi dengan sumber kalor merata pada luas area

sistem.

Consultant

Gambar 5.4 Skematik perpindahan panas konduksi pada bidang bulat berlubang dengan sumber

dari persamaan dasar sistem bulatan berlubang satu dimensi:

11 '''

….(5.22)

Untuk kondisi steady state dengan sumber kalor uniform:

01 '''

rr ….(5.23)

dengan melakukan proses integrasi terhadap persamaan tersebut diperoleh:

rqT ….(5.24)

Dan pada kondisi batas r = r1 ; T = T1 dan r = r2 ; T = T2, maka diperoleh distribusi temperatur:

rqTT sss

….(5.25)

Contoh soal 5.1: Dua pelat baja besar pada temperatur 90oC dan 70oC adalah dipisahkan oleh

sebuah batang baja dengan panjang 0,3 m dan diameter 2,5 cm, seperti gambar 5.5. Batang baja

tersebut dilas pada tiap ujungnya. Ruang antara pelat diisi dengan bahan isolasi dan juga

mengelilingi batang baja tersebut. Disebabkan perbedaan tegangan voltasi antara kedua pelat, arus

mengalir melalui batang baja, energi listrik yang tidak teratur mengalir pada laju aliran 12 W.

Tentukanlah temperatur maksimum pada batang baja dan laju aliran perpindahan panas pada tiap

ujungnya. Periksa hasil perhitungan dengan membandingkan laju aliran energi panas netto pada

kedua ujung batang baja dengan total energi panas yang dibangkitkan dari dalam. (Referensi:

Principles of Heat Transfer,Seventh Edition, by Frank Kreith, Raj M. Manglik and Mark S. Bohn)

Consultant

Ditanya: seperti soal

Diasumsikan: sistem adalah kondisi stady state-satu dimensi, laju perpindahan panas pada isolasi

diabaikan, koefisien konduktivitas thermal sistem adalah konstan, enrgi yang dibangkitkan melalui

batang baja adalah merata/uniform, temperatur pelat baja adalah konstan/tetap dan baja adalah 1%

baja karbon.

Penyelesaian:

Energi yang dibangkitkan per satuan volume batang baja:

''''''''' W/m681487,3308

m3,0)m025,0(4

a. Menentukan temperatur maksimum pada batang baja

Berdasarkan persamaan perpindahan panas konduksi untuk satu dimensi:

dari persamaan (5.1) dimana sistem pada kondisi steady state:

Td atau

Td '''

….(a)

kondisi batas dalam persaoalan ini dan berdasarkan gambar:

- Pada x = 0 maka T = T1

- Pada x = L maka T = T2

Consultant

lakukan integaral ganda untuk persamaan (a)

Integaral pertama:

dT ….(b)

Integral kedua:

qT ….(c)

Pada kondisi batas 1, dimana x = 0, maka persamaan (c):

12 TC ….(d)

subsitusi nilai C2 ke persamaan (c), maka:

qT ….(e)

Pada kondisi batas 2, dimana x = L, maka persamaan (e)

2 2TLCL

121 ….(f)

subsitusi nilai C1 dan C2 ke persamaan (c):

….(g)

Temperatur maksimum pada batang baja terjadi pada jarak x, dan dapat ditentukan dengan

mendifferensialkan tingkat pertama persamaan (g) sama dengan nol:

)(1 '''

dT ….(h)

bagi persamaan tersebut dengan )/( ''' kq , maka diperoleh:

)( 12'''

kx ….(i)

diketahui nilai konduktivitas thermal baja dengan 1% baja karbon adalah 43 W/m. K pada 20°C,

maka dari persamaan (h) diperoleh:

Consultant

m 0,114822

m3,0K )363343(

m3,0 W/m681487,3308

K W/m.433

Oleh karena itu, dari persamaan (g) dapat ditentukan temperatur maksimum batang baja:

m 0,11482m3,0K W/m.432

W/m681487,3308K )363343(

m) (0,11482K W/m.432

W/m681487,3308

C 102,492003 K 375,492003 oT

b. Laju aliran pepindahan panas konduksi pada tiap ujung batang baja

dari persamaan hukum Fourier:

dTkAqx ….(j)

subsitusi persamaan (h) ke persamaan (j), maka:

qkAqx 2

)(1 '''

qdkqx 2

….(k)

- Pada x = 0, maka persamaan (k), maka:

Ldkq xx 2

W4,59283m3,0KW/m.432

W/m681487,3308K)363343(

)m025,0(4

KW/m.43

Tanda (-) mengindikasikan bahwa arah aliran energi panas kearah kiri atau keluar dari ujung batang

baja pada x = 0.

- Pada x = L, maka persamaan (k), maka:

Consultant

qdkq Lxx 2

'''2 TT

qdq Lxx

W7,40717

K)363343(m3,0

KW/m.43

m3,0 W/m681487,3308

)m025,0(4

Tanda (+) mengindikasikan bahwa arah aliran energi panas kearah kanan atau keluar pada ujung

batang baja pada x = L.

c. Rugi perpindahan energi panas total

W12 W7,40717 W4,592830, LxxxxTotalx qqq

Consultant

6. Tebal Kritis Isolasi

Sebuah pipa diisolasi sekelilingnya, seperti gambar dibawah, dimana diasumsikan:

T1 = Temperatur dalam pipa

T = Temperatur luar terkena lingkungan konveksi

Dan untuk menentukan tebal kritis isolasi adalah sebagai berikut:

Penyelesaian:

KonvIsoTH RR

….(6.1)

….(6.2)

sehingga

1)/ln(2

….(6.3)

agar perpindahan kalor maksimum, maka kondisi maksimum:

2 1)/ln(

hrkrTTL

….(6.4)

dan dihasilkan:

hkrcr 2, (adalah tebal kritis isolasi) ….(6.5)

Consultant

7. Perpindahan Panas untuk Permukaan yang Diperluas (Sirip/Fin)

7.1 Persamaan umum untuk permukaan yang diperluas

Perhatikan gambar dibawah dimana temperatur akan mengalami perbedaan pada arah/volume r dan

x. Dalam masalah ini akan dilakukan beberapa asumsi:

- Variasi temperatur pada arah z adalah kecil maka dapat diabaikan.

- Temperatur adalah konstan dalam bagian menyilang pada lokasi/arah aksialnya.

- Permukaan yang diperluas adalah sungguh tipis

Gambar 7.1 skematik perpindahan panas konduksi pada bidang fin/sirip

Sirip batang silindris, seperti gambar, adalah sebagai ilustrasi sistem yang akan dianalisis, dimana

sistem dalam kondisi steady state – satu dimensi. Kemudian volume yang dianalisis adalah pada

arah koordinat x. Oleh karena itu, berdasarkan hukum keseimbangan energi untuk sistem, seperti

gambar:

dxxdxxx antara

permukaan dari konveksi

panasn perpindahaLaju

pada kontrol

umekeluar vol konduksi

pada kontrol

volumekedalam konduksi

atau dapat ditulis dalam bentuk simbol persamaan:

cdxxx dqqq ….(7.1)

xx dqdx

….(7.2)

Consultant

dq ….(7.3)

dimana

dTkAq cx ….(7.4)

Differensial kearah x:

x ….(7.5)

Dan karena sistem terkena lingkungan konveksi:

)( TTdAhdq scc ….(7.6)

Subsitusi persamaan (7.5) dan (7.6) ke persamaan (7.3), maka:

TTdAhdxdx

dk scc

Dimana Ac adalah luas penampang untuk konduksi dan As adalah luas permukaan yang terkena

konveksi. Kemudian bagi persamaan tersebut dengan kdx, dan lakukan differensiasi pada sisi kiri

persamaan terbut, maka dapat ditulis:

dA scc

c ….(7.7)

c ….(7.7a)

Untuk memudahkan penyelesaian matematika persamaan (7.7a), kita andaikan

TT `….(7.8)

TT ….(7.8a)

diffresialkan persamaan diatas terhadap arah x, maka:

dT ….(7.9)

lakukan differesial orde 2 terhadap persamaan (7.9), maka:

Td ….(7.10)

Consultant

subsitusi persamaan (7.8), (7.9) dan (7.10) ke persamaan (7.7a), maka:

c ….(7.11)

Persamaan (7.11) adalah bentuk persamaan umum keseimbangan energi dalam hal temperatur

dimana permukaan perpindahan panasnya diperluas. Dan untuk pengembangan atas persamaan

(7.11) dapat diperhatikan penjelasan berikut ini.

7.2 Analisis Fin dengan Luas Penampang Merata (unifrom)

Sebuah fin dengan luas penampang merata pada umumnya dengan bentuk geometri silindris dan

empat persegi panjang, seperti gambar 7.2. Persamaan untuk distribusi temperatur dan laju

perpindahan panas dapat dilakukan sebagai berikut:

Gambar 7.2 skematik fin/sirip dengan luas penampang merata/uniform

Untuk luas penampang fin adalah merata (uniform) atau konstan, maka:

dA ….(7.12)

Dimana luas keliling fin dinotasikan sebagai P:

sdAPdx ….(7.13)

Consultant

dAs ….(7.14)

d ….(7.15)

asumsikan bahwa,

c ….(7.16)

d ….(7.17)

penyelesaian umum untuk persamaan (7.17) yang merupakan persamaan linier, homogen dan

diffrensial orde dua. Oleh karena itu, ada dua cara bentuk umum untuk penyelesaiannya, yaitu:

)sinh()cosh()( 21 mxCmxCx ….(7.18)

mxmx eCeCx 21)( ….(7.19)

Dimana C1 dan C2 pada persamaan (7.19) adalah konstanta yang bisa dievaluasi dengan

menerapkan kondisi batas, sebagai berikut:

- Kondisi batas 1

Adalah kondisi batas yang menetapkan temperatur pada dinding dasar. Sementara untuk kondisi

batas khusus dari temperatur pada dinding dasar fin, atau x = 0, dari persamaan (7.8) adalah:

TTx)( ….(7.20)

ww TT )0( ….(7.21)

- Kondisi batas 2

Adalah kondisi batas yang bergantung pada kondisi fisik yang dialami pada ujung fin, dan dalam

penjelasan lebih lanjut akan ditinjau pada 4 kasus dengan kondisi fisik yang berbeda, yaitu:

Kasus A: dimana fin adalah sangat panjang dan temperatur pada ujung fin mendekati temperatur

fluida lingkungannya. Pada x = ; () = 0.

Kasus B: dimana pada bagian ujung fin adalah diisolasi dan panjang fin ditentukan pada x = L ;

.0/)( Lxdxxd

Consultant

Kasus C: dimana temperatur pada ujung fin adalah ditentukan dan panjang fin ditentukan pada x

= L ; (L) = TL – T.

Kasus D: dimana pada ujung fin adalah dipengaruhi oleh perpindahan panas konveksi dan

panjang fin ditentukan pada x = L ; ).(/)( Lhdxxd Lx

Penjabaran evaluasi nilai C1 dan C2 berdasarkan kondisi batas dan penomena kasus yang

dialami pada ujung fin

7.2.1 Kasus A: dimana fin adalah sangat panjang dan temperatur pada ujung fin mendekati

temperatur fluida lingkungannya. Pada x = ; () = 0.

Dari persamaan (7.20) dan kondisi batas 2, dimana x = , maka:

0)( TT ….(7.22)

Gambar 7.3 skematik perpindahan panas konduksi pada fin untuk kasus A

kemudian dari persamaan (7.19) dan x = , maka:

eCeC mm

dimana dari persamaan (7.22) nilai () = 0, maka:

01 C ….(7.23)

sementara untuk persamaan (7.19) pada kondisi batas 1, yaitu: x = 0, maka:

)0(1)0(

eCeC mm

….(7.24)

dimana dari persamaan (7.21) diketahui nilai (0) = w, maka persamaan (7.24) dapat ditulis:

21 CCw ….(7.25)

Consultant

subsitusi nilai C1 dari persamaan (7.23), ke persamaan (7.25), maka:

wC 2 ….(7.26)

Kemudian subsitusi nilai C1 dan C2 ke persamaan (7.19), maka:

mx eex .0)(

mxw ex )( ….(7.27)

Kemudian untuk menentukan persamaan distribusi temperatur dan laju perpindahan panas konduksi

untuk kasus A adalah sebagai berikut:

Distribusi Temperatur

….(7.28)

dimana dari persamaan (7.16) diketahui:

Phm 2 jadi

Phm ….(7.29)

dimana

persegiempat bidanguntuk 22

silindris bidanguntuk 4/2

dan subsitusi persamaan (7.20), (7.21) dan (7.29) ke persamaan (7.28), maka:

….(7.30)

Laju perpindahan panas

Untuk laju perpindahan panas melalui fin adalah sama dengan energi panas yang

dikonduksikan kedinding, maka dari hukum Fourier:

dTkAq ccx

….(7.31)

differensialkan persamaan (7.27) diperoleh:

mxw emdxd / ….(7.32)

Consultant

mxwccx emkAemkA

….(7.33)

dan subsitusi (7.21) dan (7.29) ke persamaan (7.33), diperoleh:

cx eTT

)( ….(7.34)(1)

dapat disederhanakan menjadi,

mxwcx eTThPkAq

)( ….(7.35)

Oleh karena itu, untuk menentukan laju perpindahan panas konduksi pada dinding dasar fin, dimana

x = 0, maka persamaan (7.35) dapat ditulis:

)0()( m

wcx eTThPkAq

)( TThPkAq wcx ….(7.36)

7.2.2 Kasus B: dimana pada bagian ujung fin adalah diisolasi dan panjang fin ditentukan pada

Dari persamaan (7.18) dan gunakan kondisi batas 1, yaitu: x = 0, maka diperoleh:

)0sinh()0cosh()0( 21 mCmC

)0()1( 21 CCw

wC 1 ….(7.37)

subsitusi persamaan (7.21) kepersamaan (7.37), maka:

TTC w1 ….(7.38)

dari kondisi batas 2, pada x = L, yaitu ujung fin adalah diisolasi, maka:

0/ LxdxdT ….(7.39)

Untuk kasus ini gunakan bentuk penyelesaian umum yaitu: persamaan (7.18), dan differensialkan

persamaan tersebut, maka diperoleh:

(1) Penyederhanaan persamaan (7.34)

mxwccx

eTThPkA

eTThPkAeTThPkAkAq

)()( 2/12/12/12/1

Consultant

)cosh()sinh(/)( 21 mxmCmxmCdxxd ….(7.40)

dimana x = L

)cosh()sinh()(

21 LmmCLmmCdx

….(7.41)

Gambar 7.4 skematik perpindahan panas konduksi pada fin untuk kasus B

)cosh()sinh(0 21 LmmCLmmC

)(cosh

)(sinh12 mL

mLCC ….(7.42)

subsitusi persamaan (7.37) ke persamaan (7.42), diperoleh:

)(cosh

)(sinh2 mL

mLC w ….(7.43)

kemudian subsitusi persamaan (7.37) dan (7.43) ke persamaan (7.18), maka:

)(cosh

)(sinh)(sinh)(cosh)(cosh

)sinh()(cosh

)(sinh)cosh()(

mxmLmxmL

)(cosh

)(sinh)(sinh)(cosh)(cosh)(

mxmLmxmLx

….(7.44)

dengan mengaplikasikan funsi hiperbolik, maka persamaan (7.44) dapat disederhanakan menjadi:

)(cosh

)(cosh)(

….(7.45)(2)

(2) Fungsi hiperbolik cosh(A+B) = cosh(A) cosh(B) + sinh(A) sinh(B) cosh(A – B) = cosh(A) cosh(B) – sinh(A) sinh(B)

Consultant

untuk kasus B adalah sebagai berikut:

Distribusi temperatur

Dari persamaan (7.20), (7.21) dan (7.29) subsitusi nilai variabel (x), w dan m tersebut

kepersamaan (7.45), maka diperoleh:

)/(cosh

)(/cosh

w kAPhL

xLkAPh

….(7.46)

Laju perpindahan panas melalui fin adalah sama dengan energi panas yang dikonduksikan

kedinding, maka dari hukum Fourier:

xcx dx

….(7.47)

differensialkan persamaan (7.45) terhadap fungsi x, dimana formula differensial yang dapat

digunakan adalah:

dxdvudxduv

….(7.48)

dimana

)(cosh xLmu ….(7.49)

)(sinh xLmmdx

du ….(7.50)

dan mLv cosh ….(7.51)

dv ….(7.52)

subsitusi persamaan (7.49), (7.50), (7.51) dan (7.52) ke persamaan (7.48), maka:

0 cosh

]0)([cosh)}](sinh{[cosh)(

xLmxLmmmL

x cosh

sinh)(

….(7.53)

subsitusi persamaan (7.53) ke persamaan (7.47):

)(cosh

)(sinh

mLmkAq wcwcx

Consultant

)(tanh mLmkAq wcx ….(7.54)

untuk nilai variabel w dan m, diketahui:

)( TTww dan cc kAPh /

subsitusi kepersamaan (7.54), maka diperoleh:

)(tanh/)( mLkAPhkATTq cccwx ….(7.55)(3)

atau dapat disederhanakan:

)(tanh)( mLPhkATTq ccwx ….(7.56)

7.2.3 Kasus C: dimana temperatur pada ujung fin adalah ditentukan dan panjang fin ditentukan

pada x = L

Dari kondisi batas 1, pada x = 0, dan persamaan (7.37) diketahui:

wC 1 ….(7.57)

kemudian dari kondisi batas 2, pada x = L, dimana temperatur ujung fin adalah ditentukan, maka:

Lx )( ….(7.58)

gunakan persamaan (7.18) dan kondisi batas 2, pada x = 0, untuk mendapatkan nilai C2:

)sinh()cosh()( 21 mLCmLCL

)sinh(

)cosh()(

)sinh(

)cosh()( 12 mL

mLCLC w

….(7.59)

Gambar 7.4 skematik perpindahan panas konduksi pada fin untuk kasus C

(3) Penyederhaan persamaan (7.55)

)(tanh)(

)(tanh)()(

)(tanh)()()(

)(tanh/)(

2/12/1

mLPkAhTT

mLkAPhTT

mLkAPhkATT

mLkAPhkATTq

Consultant

kemudian subsitusi nilai C1 dan C2 ke persamaan (7.18):

)(sinh)(sinh

)(cosh)()(cosh)( mx

mLLmxx w

….(7.60)

disederhanakan

)(sinh

)(sinh]/)([)]}(sinh)([cosh)](sinh)({[cosh)(

mxLmxmLmLmxx w

maka dari fungsi hiperbolik persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi:

)(sinh

)(sinh]/)([)}({sinh)(

mxLxLmx w

….(7.61) (4)

untuk kasus C adalah sebagai berikut:

Dimana diketahui nilai dari:

)()( TTx ; )( TTww pada x = 0

)()( TTL L pada x = L ; kAhPm /

subsitusi nilai w, L dan m ke persamaan (7.61):

)(sinh

)(sinh)]/()[(})({sinh

mxTTTTxLm

w ….(7.62)

xcx dx

….(7.63)

differensialkan persamaan (7.61) terhadap x, dimana formula differensial yang dapat digunakan

adalah:

dxdvudxduv

….(7.64)

(4) Fungsi hiperbolik untuk persamaan (7.61) sinh (A – B) = [sinh A . cosh B] – [sinh B . cosh A] sinh (A + B) = [sinh A . cosh B] + [sinh B . cosh A]

Consultant

misalkan:

)(sinh]/)([)}({sinh mxLxLmu w ….(7.65)

)(cosh]/)([)}(cosh{ mxmLxLmmdx

duw ….(7.66)

)(sinh mLv ….(7.67)

dv ….(7.68)

subsitusi persamaan (7.65), (7.66), (7.67) dan (7.68) ke persamaan (7.64):

0 )]([sinh

0])}(cosh]/)({[)}(cosh[{)(sinh)(

mxmLxLmmmL

atau dapat disederhanakan:

)(sinh

)(cosh]/)([)(

….(7.69)

)(sinh

)(cosh]/)([)(

mLLmkA

xdkAq w

)(sinh

]/)([)(cosh

LmLmkAq w

….(7.70)

dimana

ckAhPm / ; TTww ; TTLL

)(sinh

)/()(cosh)(/

mLTTkAhPkAq wL

dan dapat disederhanakan menjadi:

)(sinh

)/()(cosh)(

mLTThPkAq wL

….(7.71)

Consultant

7.2.4 Kasus D: dimana pada ujung fin adalah dipengaruhi oleh perpindahan panas konveksi dan

panjang fin ditentukan pada x = L

Berdasarkan keseimbangan energi yang terjadi pada fin, seperti gambar:

konveksikonduksi qq ….(7.72)

TLThAdx

dTkA c

Lxc ….(7.73)

dari hukum Fourier untuk perpindahan panas konduksi:

….(7.74)

TLTL )()( ….(7.75)

Gambar 7.4 skematik perpindahan panas konduksi pada fin untuk kasus D

subsitusi persamaan (7.74) dan (7.75) ke persamaan (7.73), dimana luas penampang fin (Ac) adalah

konstan, maka:

)(Lhdx

.…(7.76)

Berdasarkan kondisi batas 1, pada (x = 0) dalam kasus B, dari persamaan (7.38) adalah dapat

digunakan untuk kasus D, yaitu:

ww TTC 1 ….(7.77)

dari persamaan (7.18) dan kondisi batas 2, yaitu x = L, diperoleh:

)sinh()cosh()( 21 mLCmLCL ….(7.78)

differensialkan persamaan (7.72)

)cosh()sinh()(

21 mLmCmLmCdx

….(7.79)

Consultant

)]sinh()cosh([)]cosh()sinh([ 2121 mLCmLChmLmCmLmCk

)]sinh()cosh([)]cosh()sinh([ 2121 mLCmLCkm

hmLCmLC ….(7.80)

dan persamaan tersebut dapat disusun berdasarkan variabelnya:

)sinh()cosh()]sinh()[cosh( 12 mLmLkm

hmLC ….(7.81)

dan diperoleh nilai C2:

)sinh()cosh(

)sinh()cosh(1

mLmLkm

….(7.82)

subsitusi nilai C1 dari persamaan (7.77) ke persamaan (7.82), maka:

)sinh()cosh(

mLmLkm

….(7.83)

subsitusi nilai dari C1 dan C2 ke persamaan (7.18), maka akan diperoleh:

)sinh()sinh()cosh(

)sinh()cosh()cosh()( mx

mLmLkm

dan berdasarkan fungsi hiperbolik, maka persamaan tersebut dapat disederhanakan sebagai berikut:

)(sinh]/[)(cosh

)(sinh]/[)(cosh)(

mLkmhmL

xLmkmhxLmx

….(7.84)

untuk kasus D adalah sebagai berikut:

Dimana diketahui nilai dari:

)()( TTx ; )( TTww pada x = 0

)()( TTL L pada x = L ; kAhPm /

subsitusi nilai w, L dan m ke persamaan (7.84):

mLmkhmL

xLmkmhxLm

w sinh]/[cosh

)(sinh]/[)(cosh

….(7.85)

Consultant

xcx dx

….(7.86)

differensialkan persamaan (7.84) terhadap x, dimana formula differensial yang dapat digunakan

adalah:

dxdvudxduv

….(7.87)

dimana

)(sinh]/[)(cosh xLmkmhxLmu ….(7.88)

)(cosh)]/)([()(sinh xLmkmhmxLmmdx

du ….(7.89)

)(sinh]/[)(cosh mLkmhmLv ….(7.90)

dv ….(7.91)

subsitusi persamaan (7.88), (7.89), (7.90) dan (7.91) ke persamaan (7.87), maka:

)(sinh]/[)(cosh

cosh)]/(sinh)(

0 mLkmhmL

LmkmhLmm

….(7.92)

)(sinh]/[)(cosh

cosh)]/(sinh

0 mLkmhmL

LmkmhLmmkA

dkAq wc

)(sinh]/[)(cosh

cosh)]/(sinh

mLkmhmL

LmkmhLmmkAq wcx ….(7.93)

dimana

ckAhPm / ; TTww

mLkmhmL

LmkmhLmhPkAq wcx sinh]/[cosh

cosh)]/(sinh ….(7.94)

Consultant

7.3 Efisiensi dan Efektivitas Fin

Dalam banyak kasus, bentuk geometris fin dan peranan penting kondisi batas tertentu

terhadap distribusi temperatur adalah sangat komplek. Oleh karena itu, diperkenalkan dua

parameter yang dapat menentukan karakteristik atau performance atas pengaplikasian fin dalam

meningkatkan proses perpindahan panas, yaitu: efisiensi fin (f) dan keefektifan fin (f).

7.3.1 Efisisensi fin (f)

Efisiensi sebuah fin secara umum dapat didefinisikan:

dasarr temperatupada beradafin seluruh jika

n dipindahka yang ideal panasn Perpindaha

fin dari aktual panas nPerpindahaf ….(7.95)

atau dalam bentuk persamaan umum matematik sebagai berikut:

q ….(7.96)

Sekarang akan dikembangkan penggunaan dari persamaan (7.96) terhadap kondisi batas yang

dialami oleh ujung fin.

7.3.1.1 Efisiensi fin untuk kasus A, dimana luas penampang fin merata/uniform dan panjang fin

adalah sangat panjang, x =

Dari persamaan (7.36) dapat ditulis:

)( TThPkAq wcx

untuk qc, max

)(max, TTAhq wfincc

dimana Afin adalah luas permukaan fin, untuk luas permukaan fin adalah konstan, maka Afin = PL,

mka persamaan qc, max dapat ditulis:

))((max, TTPLhq wcc

maka efisiensi fin dari persamaan (7.96) dapat ditulis:

)())((

TThPkA

….(7.97) (5)

kAPhPh

1)()()()()(

2/12/12/112/1

dimana: cc kAPhm /

Consultant

dapat disederhanakan menjadi:

….(7.98)

7.3.1.2 Efisiensi fin untuk kasus B, dimana luas penampang fin merata/uniform dan pada ujung

fin adalah diisolasi

mLPhkATTq ccwx tanh)(

maka efisiensi fin:

tanh)(

mLPhkATT

xf ….(7.99) (6)

dapat disederhanakan:

)(tanh ….(7.100)

7.3.1.3 Efisiensi fin untuk kasus C, dimana temperatur pada ujung fin adalah ditentukan dan

panjang fin ditentukan pada x = L

)(sinh

)/()(cosh)(

mLTThPkAq wL

sehingga efisiensi fin:

)(sinh

)/()(cosh)(

mLTThPkA

….(7.101)(7)

dapat disederhanakan

)(sinh

)/()(cosh

….(7.102)

(6) Penyederhanaan persamaan (7.97):

cccce kAhPm

mLkAPhPh/dimana

)tanh()tanh()tanh()()()( 2/112/1

mLhPhPkA wLwL

)(sinh

)/()(cosh

)(sinh

)/()(cosh12/1

Consultant

7.3.1.4 Efisiensi fin untuk kasus D, dimana pada ujung fin adalah dipengaruhi oleh perpindahan

panas konveksi dan panjang fin ditentukan pada x = L

Dari persamaan (7.94) diketahui:

mLkmhmL

LmkmhLmTThPkAq wcx sinh]/[cosh

cosh)]/(sinh)(

sehingga efisiensi fin:

sinh]/[cosh

cosh)]/(sinh)(

mLkmhmL

LmkmhLmTThPkA

f ….(7.103)(8)

dapat disederhanakan

mLkmhmL

LmkmhLm

mLf sinh]/[cosh

cosh)]/(sinh1 ….(7.104)

Dalam kondisi praktis untuk menentukan efisiensi fin, panjang fin adalah dikoreksi, yang

dinotasikan sebagai Lc. Koreksi ini didasarkan pada asumsi kesetaraan antara perpindahan panas

dari fin yang sebenarnya dengan ujung fin yang terkena konveksi dan perpindahan panas yang lebih

lama, kemudian ujung fin adalah adiabatik/diisolasi.

- Fin dengan bentuk empat persegi dan uniform

2/tLLc t adalah tebal fin ….(7.105)

- Fin dengan bentuk silindris dan uniform

4/DLLc ….(7.106)

Ilustrasi atas koreksi panjang fin khususnya fin dengan bentuk geometris adalah empat persegi

(seperti gambar 7.2). Oleh karena itu, berdasarkan kasus B dan persamaan (7.56) dan (7.100) yang

panjang finnya adalah dikoreksi, maka dapat ditulis:

)(tanh)( cccwx mLPhkATTq ….(7.107)

mL )(tanh ….(7.108)

mLkmhmL

LmkmhLm

mLkmhmL

LmkmhLmhPhPkAc

sinh]/[cosh

cosh)]/(sinh

sinh]/[cosh

cosh)]/(sinh12/1

dimana: ckAhPm /

Consultant

jika lebar fin (w) lebih besar daripada tebalnya (t), atau w t, maka luas keliling fin (P) adalah

P = 2w dan Ac = wt, maka mLc dalam kedua persamaan tersebut dapat ditulis:

2/12/12/122

….(7.109)

kalikan Lc1/2 terhadap pembilang dan penyebut pada persamaan (7.109), maka dihasilkan:

2/32/1

….(7.110)

dimana, Lct pada persamaan tersebut adalah merupakan koreksi atas luas fin yang dinotasikan

sebagai Ap, maka persamaan (7.110) dapat ditulis:

2/32/1

….(7.111)

Oleh karena itu, untuk menentukan efisiensi fin dengan hubungan berdasarkan persamaan (7.111)

dapat digunakan grafik seperti gambar 7.5 dan 7.6.

Consultant

Gambar 7.5 Efisiensi fin untuk bentuk geometris persegi panjang, segitiga dan parabolik

(dari Ref.: 7)

Gambar 7.6 Efisiensi fin annular dengan profil persegi panjang (dari Ref.: 7)

Consultant

7.3.2 Efektivtas Fin (f)

Untuk mengetahui/mengukur kinerja (performance) fin yang akan diaplikasikan, dapat digunakan

sebagai parameter selain efisiensi fin, yaitu efektivitas fin, dimana efektivitas fin dapat didefinisikan

sebagai rasio perbandingan antara laju perpindahan panas fin dari permukaan dasarnya terhadap

laju perpindahan panas permukaan dasarnya (tidak ada fin), dan dapat ditulis dalam bentuk

persamaan:

….(7.112)

dimana Ac, b adalah luas permukaan fin pada dasar fin, dapat dilihat seperti gambar 7.7. Kemudian

jika dalam proses hasil perhitungan melalui persamaan (7.112) diperoleh:

- f = 1 adalah mengindikasikan bahwa permukaan perpindahan panas yang diperluas, yaitu fin,

tidak memberi pengaruh terhadap sistem yang terdapat fin secara keseluruhan.

- f < 1 adalah mengindikasikan bahwa secara aktual fin berfungsi sebagai isolasi, atau dengan

kata lain memperlambat perpindahan panas dari permukaan sistem yang terpasang fin. Hal ini

dapat terjadi dikarenakan koefisien konduktivitas thermal materaial yang dipilih adalah rendah

- f > 1 adalah mengindikasikan bahwa perpindahan panas dapat ditingkatkan dari permukaan

sistem melalui permukaan yang diperluas, yaitu melalui fin.

Gambar 7.7

Hubungan antara efisiensi fin dan efektivitas fin, sebagai catatan keduanya berbeda dalam hal

kwantitas dalam menilai prestasi (performance) fin. Dari persamaan (7.96) diperoleh:

fincfx qqq max, ….(7.113)

)( TTAhq wfincffin ….(7.114)

Consultant

subsitusi persamaan (7.114) ke persamaan (7.112), diperoleh:

wfincff A

….(7.115)

Persamaan (7.114) adalah cara yang paling mudah untuk menentukan efektivitas fin dengan catatan

apabila efisiensi fin diketahui atau ditentukan. Kemudian akan dikembangkan persamaan (7.112)

berdasarkan kondisi batas yang dialami oleh ujung fin.

7.3.2.1 Efektivitas fin untuk kasus A

finwcx qTThPkAq )(

subsitusi ke persamaan (7.111), maka diperoleh:

TThPkA

….(7.116)

diasumsikan Ac = Ac,b (luas permukaan fin merata/uniform), maka persamaan (7.116) dapat

disederhankan,

Pk ….(7.117)

7.3.2.2 Efektivitas fin untuk kasus B

mLhPkATTq cwx tanh)(

)(tanh

TTmLhPkA

….(7.118)

dan diasumsikan Ac = Ac,b, maka persamaan (7.118),

cf tanh ….(7.119)

7.3.2.3 Efektivitas fin untuk kasus C

)(sinh

)/()(cosh)(

mLTThPkAq wL

Consultant

)(sinh

)/()(cosh)(

mLTThPkA

….(7.120)

)(sinh

)/()(cosh

….(7.121)

7.3.2.4 Efektivitas fin untuk kasus D

mLkmhmL

LmkmhLmTThPkAq wcx sinh]/[cosh

cosh)]/(sinh)(

sinh]/[cosh

cosh)]/(sinh)(

mLkmhmL

LmkmhLmTThPkA

….(7.122)

mLkmhmL

LmkmhLm

cf sinh]/[cosh

cosh)]/(sinh ….(7.123)

7.4 Fin dengan susunan banyak

Dalam beberapa sistem, khususnya sistem yang membutuhkan perpindahan panas yang

besar, maka umumnya fin didesign dan diaplikasikan lebih dari satu, seperti gambar 7.8, dengan

bentuk geometris fin, jarak dan dimensi yang bervariasi sesuai kebutuhan. Oleh karena itu, akan

dijabarkan untuk menentukan perpindahan panas dan prestasi (performance) fin dalam susunan

banyak sebagai berikut:

Perpindahan panas total susunan fin

Berdasarkan gambar 7.8, perpidahan panas total pada susunan fin adalah terjadi melalui luas

permukaan total/utama (At) perpindahan panas yaitu: antara kedua permukaan fin (Afin) dan dasar

(Aunfin). Dan dalam bentuk persamaan dapat ditulis:

finunfintotalfin qqq ….(7.124)

dimana

wunfinunfin Ahq ….(7.125)

Consultant

wfinfinfin hANq ….(7.126)

N adalah jumlah fin, dan TTww , sementara luas permukaan total (At) dapat ditentukan:

unfinfint ANAA ….(7.127)

fintunfin NAAA ….(7.127a)

unfintfin

….(7.127b)

Gambar 7.8 Skematik susunan fin, (a) susunan fin persegi panjang, (b) susunan fin anular

subsitusi persamaan (7.125), (7.126) dan (7.127a) ke persamaan (7.124), maka diperoleh:

)( finfinfintwtotalfin ANNAAhq ….(7.128)(9)

atau dapat disederhanakan

)1(1 fin

fintwtotalfin A

NAAhq ….(7.129)

finfin

fintwfinfinfintwtotalfin

NAAhANNAAhq

Consultant

Efisiensi total pada susunan fin

Dari persamaan general efisiensi fin:

totalfintotalf Ah

….(7.130)

jika nilai h adalah diasumsikan ekuivalen sama terhadap luas permukaan utama dan fin, kemudian

fin adalah efisiensi untuk fin tunggal, maka persamaan (7.130) dapat disederhanakan:

)1(1, fin

fintotalf A

NA ….(7.131)

Efektivitas total pada susunan fin

Dari persamaan general efektivitas fin:

wfinno

totalfintotalf Ah

….(7.132)

jika diasumsikan nilai h adalah ekuivalen sama baik untuk permukaan yang menggunakan fin

maupun tidak sama sekali, maka persamaan (7.132) dapat ditulis:

)1(1 fin

ttotalf A

A ….(7.133)

dimana Ano fin adalah luas permukaan sistem dalam kondisi tidak menggunakan fin seluruhnya, dan

persamaan Ano fin seperti gambar 7.8 (a) dan (b) adalah luas permukaan empat persegi dan silinder.

Contoh soal 7.1: Sebuah permukaan panas pada temperatur 100oC adalah didinginkan dengan

memasang fin/sirip silindris (paku), seperti gambar 7.9, dengan panjang 3 cm, diameter 0,25 cm,

dan jarak antara titik pusat ketitik pusat fin adalah 0,6 cm, sementara bahan fin adalah aluminium

(k = 237 W/m. oC). Temperatur lingkungan adalah 30 oC dengan koefisien perpindahan panas (h)

adalah 35 W/m2. oC. Tentukan laju aliran perpindahan panas dari permukaan pelat-fin dimana

dimensi pelat adalah 1 m 1 m. Dan tentukan juga efektivitas menyeluruh fin. (Referensi: Heat

transfer-Practical Approach, second edition. By Yunus A Cengel).

Ditanya: laju perpindahan panas total dari permukaan pelat-fin dan efektivitas fin total?

Diasumsikan: Sistem berada dalam kondisi steady state, temperatur sepanjang fin bervariasi hanya

dalam satu arah pelat, perpindahan panas pada ujung fin diabaikan, koefisien perpindahan panas

Consultant

adalah konstan dan merata (uniform) pada seluruh permukaan fin, sifat-sifat thermal fin adalah

konstan, dan koefisien perpindahan panas telah dihitung atas pengaruh radiasi terhadap fin.

Gambar 7.9 Skematik untuk contoh soal 7.1

Penyelesaian:

a. Laju perpindahan panas tota dari permukaan pelat-fin

dari persamaan (7.129) adalah untuk menentukan laju perpindahan panas total

)1(1 fin

fintwtotalfin A

NAAhq ….(a)

untuk luas permukaan total:

unfinfint ANAA ….(b)

dimana

buah 2777827777,777m006,0m006,0

pelatpelat

m 0,0002414

0025,003,00025,0

finfinfinfin

m 0,863654

0025,027778m)1m1(

finpelatpelatunfin

sehingga At dapat ditentukan:

222 m 7,558153m 0,86365m ) 000241027778( ,At

C7030100 o TTww

Consultant

Sementara untuk efisiensi fin, dimana diasumsikan perpindahan panas pada ujung fin diabaikan,

maka dapat digunakan persamaan persamaan (7.100):

)(tanh

dimana

2m 15,37163

CW/m.237m0,0025

C.W/m3544

finfin

0,93467)m 03,0m 15,37163(

)m 03,0m 15,37163(tanh1-

f ini adalah efisiensi untuk fin tunggal

sehingga

W417445,9635

)0,934671(m 7,558153

m 0,000241277781m 7,558153C70C . W/m35

totalfinq

b. Efektivitas fin total

)1(1 fin

ttotalf A

A ….(c)

dimana

2m 1 m1m1 pelatpelatfinno HLA

sehingga

7,120800,934671m 7,558153

m 0,000241277781

m 7,5581532

totalf

Sebagai bahan tambahan pertanyaan untuk contoh soal 7.1, akan ditentukan efisiensi total fin

dengan menggunakan persamaan (7.131):

)1(1, fin

fintotalf A

NA ….(d)

0,94213)0,934671(m 7,558153

m 0,000241777821

totalf

Consultant

Sekarang akan dilakukan kajian perbandingan terhadap laju perpindahan panas total, efektivitas fin

total dan efisiensi fin total, dimana jika perpindahan panas konveksi pada ujung fin

dipertimbangkan, maka untuk efisiensi fin tunggal dapat ditentukan dari persamaan (7.104)

mLkmhmL

LmkmhLm

mLf sinh]/[cosh

cosh)]/(sinh1 ….(d)

dimana

0,47767m) 03,0m 15,37163(sinh)(sinh -1 Lm

1,10823m) 03,0m 15,37163(cosh)(cosh -1 Lm

0,00459m) 03,0m 15,37163(coshm 15,37163CW/m.237

C . W/m35sinh)]/( 1-

0,01065m) 03,0m 15,37163(coshm 15,37163CW/m.237

C . W/m35cosh)]/( 1-

0,951570,004591,10823

0,010650,47767

m 03,0m 15,37163

Oleh karena itu,

Laju perpindahan panas konduksi total:

W317723,1492

)0,951571(m 7,558153

m 0,000241277781m 7,558153C70C . W/m35

totalfinq

Efektivitas fin total:

7,233940,951571m 7,558153

m 0,000241277781

m 7,5581532

totalf

Efisiensi fin total

0,95711)0,951571(m 7,558153

m 0,000241777821

totalf

Consultant

Referensi

[1] A. D. Kraus, A. Aziz and J. Welty, Extended Surface Heat Transfer, John Wiley & Sons, Inc,

[2]. Frank Kreith, Raj M. Manglik, Mark S. Bohn, “Principles of Heat Transfer”, Seventh Edition,

Cengage Learning, Inc, 2011.

[3] John Bird, “Higher Engineering Mathematics”, Seventh Edition, Routledge Taylor & Francis

Group, 2014.

[4] John H. Lienhard IV and John H. Lienhard V, “A Heat Transfer Textbook”, Third Edition,

Phlogiston Press, 2003.

[5]. J. P. Holman, “Heat Transfer, Tenth Edition”, McGraw-Hill Companies, Inc, 2010.

[6]. Robert W. Serth, “Process Heat Transfer: Principles and Applications” First Edition, Elsevier

Ltd, 2007.

[7]. Theodore L. Bergman, Adrienne S. Lavine, Frank P. Incropera, David P. Dewitt,

“Introduction to Heat Transfer”, Sixth Edition, John Wiley & Sons, Inc, 2011.

[8] Theodore L. Bergman, Adrienne S. Lavine, Frank P. Incropera, David P. Dewitt,

“Fundamentals of Heat and Mass Transfer”, Seventh Edition, John Wiley & Sons, Inc, 2011.

[9] William S. Janna, “Engineering Heat Transfer”, Second Edition, CRC Press LLC, 2000.

[10]. Yunus A. Cengel, “Heat Transfer: A Practical Approach”, Second Edition, McGraw-Hill

Companies, Inc.

Biography Ali Hasimi Pane, Kandidat Magister (S2) Teknik Mesin USU–Medan, dengan konsentrasi studi konversi energi, dan fokus dalam subyek: Sustainable Energy and Waste heat Energy Technology. Sarjana Teknik (S1) selesai pada tahun 2004 dari Institut Teknologi Medan (ITM), konsentrasi studi konversi energi. Another major activities:

Lubricant technical advisor, Waste heat technology, Reader and writer specially for technology

Modul Perpindahan Panas: Steady State-One Dimensional

Documents

STEADY AS SHE GOES: - Westfair Communications

Steady Heat Conduction - AVESİS

PELUANIG PEMANFAATAN PANAS GAS BUANG MESIN

Steady-State Solutions of Markov Chains

Evaluasi Konsep Dasar Metoda Berbasis Perpindahan (Conceptual Evaluation of Displacement-Based Design Method Procedures)

Chapter 1: One-Dimensional, Steady-State Conduction

Steady State versus Pulsed Tokamak Reactors - arXiv

PERLAKUAN PANAS (HEAT TREATMENT) Pengertian Heat Treatment

Simulasi Perpindahan Panas pada Tungku Pembakaran Aluminium

STEADY AS SHE GOES - Pumper Magazine

My resume eksploitasi panas bumi

ANALISA PRODUKSI PANAS RADIOGENIK, DENSITAS DAN

Convolutional Neural Networks for Steady Flow Approximation

Beton Aspal Campuran Panas - e-Book Collection - Itenas

Analisis Numerik Perpindahan Panas Pada Saluran

ANALISIS LAJU ALIRAN PANAS PADA MESIN SANGRAI

proyek mitigasi risiko sumber daya panas bumi indonesia - PT

TUTORIAL 1 – Steady 2D Flow Modeling - Magnet

PERPINDAHAN PANAS

Pelakuan panas pada logam