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第 2 章 计算机图形处理技术. 2.2.3 三维图形的几何变换 一、基本变换 三维图形的几何变换与二维图形类似,其基本变换也包括平移变换、比例变换、旋转变换、对称变换、错切变换等,同时通过基本变换的组合可以实现复杂变换。 1 、平移变换 平移变换是使立体在三维空间移动一个位置,而形状保持不变。与二维平移变换相类似,平移变换矩阵为:. 其中, l , m , n 分别为沿 x , y , z 方向上的平移量。. 2 、 比例变换 - PowerPoint PPT Presentation
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第第 22 章 计算机图形处理技章 计算机图形处理技术术
第第 22 章 计算机图形处理技章 计算机图形处理技术术
2
2.2.3 三维图形的几何变换 一、基本变换 三维图形的几何变换与二维图形类似,其基本变换也包
括平移变换、比例变换、旋转变换、对称变换、错切变换等,同时通过基本变换的组合可以实现复杂变换。
1 、平移变换 平移变换是使立体在三维空间移动一个位置,而形状保持
不变。与二维平移变换相类似,平移变换矩阵为:
其中, l , m , n 分别为沿 x , y , z 方向上的平移量。
1
0100
0010
0001
nml
3
2、比例变换 比例变换使立体在三维空间中沿 x、y、z坐标轴进行放大、缩小等变换。比例变换矩阵为:
其中,a,e,j分别为沿x,y,z方向的比例因子。它们的作用是使物体产生比例变换,当各变比相同时,称为全比例变换。
1000
000
000
000
j
e
a
4
3 、旋转变换 三维图形旋转变换是指空间物体绕某坐标轴旋转,三维变换
可以看成是由三个二维旋转变换组合而成,并分别取 x , y ,z 为旋转轴。我们规定在右手坐标系中,物体旋转的正方向为右手螺旋方向,即从该轴向原点看,是逆时针方向。如图所示。
x
yy
x
y
x
o
α
γ
β
o o
z z z
5
( 1 )绕 x 轴正向旋转 角 变换矩阵为
( 2 )绕 y 轴正向旋转 角 变换矩阵为
1000
0cossin0
0sincos0
0001
T
1000
0cos0sin
0010
0sin0cos
T
6
( 3 )绕 z 轴正向旋转 角 变换矩阵为
立体分别绕 x 、 y 、 z 轴旋转 90 的变换结果如图所示。
( a )原图 ( b )绕 x 轴旋转 90 度 ( c )绕 y 轴旋转 90 度 ( d )绕 z 轴旋转 90 度
1000
0100
00cossin
00sincos
T
z
y
x
y
z
x
y
zx
y
z
x
oo
o
7
4 、对称变换 对称变换包括对坐标原点,对坐标轴和对坐标平面的对
称,下面主要介绍立体对坐标平面的对称变换。 ( 1 )对 xOy 坐标平面的对称变换
变换矩阵为
1000
0100
0010
0001
T
8
( 2 )对 xOz 坐标平面的对称变换 变换矩阵为
( 3 )对 yOz 坐标平面的对称变换 变换矩阵为
1000
0100
0010
0001
T
1000
0100
0010
0001
T
9
5 、错切变换 与二维空间的错切变换功能相似,三维空间的错切变换可使空间立体
上某个面沿 x 、 y 、 z 三个方向发生错移变形,其变换矩阵一般表示为
根据这些元素所在的列,判断出沿哪个坐标轴发生错切。若 d 、 h 不为 0 ,则沿 x 轴方向有错切;若 b 、 i 不为 0 ,则沿 y 轴方向有错切;若 c 、 f 不为 0 ,则沿 z 轴方向有错切。我们还可以根据这些元素所在的行,判断出是关于哪个变量的错切。比如, b 、 c 是关于变量 x 的错切; d 、 f 是关于
变量 y 的错切; h 、 i 是关于变量 z 的错切。错切变 换按错切方向的不同,可有 6 种情况 , 即分别沿 x 、 y 、 z 的正、负方向错切。(书 P81 表 4-1 )
1000
01
01
01
ih
fd
cb
T
10
二、逆变换 所谓逆变换即是与上述的基本变换过程相反的变换,如以三维图形的逆变
换为例,对平移的逆变换就是把 移回到原处 。其矩阵表达式为:
对 x 轴旋转的逆变换是用- 代替 ,所产生的变换为:
其他一些几何变换的逆变换与此类似, 再此不再一一介绍。
*** zyx zyx
1***1 zyxzyx
1
0100
0010
0001
nml
1***1 zyxzyx
1000
0cossin0
0sincos0
0001
)()()()(
11
三、三维图形的组合变换 与二维组合变换一样,通过三维组合变换可以实现对三维
物体的复杂变换。下面我们以绕任意轴旋转变换为例进行说明。
假设空间任意轴 P1P2 由 A ( x1 , y1 , z1 )及其方向数( n1 , n2 , n3 )定义,空间一点 A ( x , y , z )绕轴P1P2 旋转 角,得到新点 A* ( x* , y* , z* ),即
其中, T 为绕任意轴旋转的组合变换矩阵,构造矩阵 T的步骤如下:
1***1 zyxTzyx
12
( 1 ) 将点 A 与旋转轴 P1P2 一起作平移变换,使旋转轴 P1P2 过原点, P1 与原点重合。
1
0100
0010
0001
111
1
zyx
T
13
( 2 ) 令 P1P2 轴首先绕 x 轴旋转 角,使其与 xOz 平面共面,然后再绕 y 轴旋转 角,使其与 z 轴重合。
1000
0cossin0
0sincos0
0001
2
T
1000
0cos0sin
0010
0sin0cos
)()(
)()(
14
( 3 ) 将 A 点绕 z 轴(即 P1P2 轴)旋转 角。
( 4 ) 求步骤( 2 )和步骤( 1 )的逆变换,将旋转轴 A
A’ 恢复为原来的位置。那么,绕任意轴 P1P2 旋转的组合变换矩阵为
T=T1T2T3T2-1T1
-1
1000
0100
00cossin
00sincos
3
T
15
例 4:已知一立方体 A( 1, 1, 1), B( 1,1, 0), C( 0, 1, 0), D( 0, 1, 1),试写出该立方体
1.绕 y轴顺时针旋转 90度的变换矩阵;2.绕 x轴逆时针旋转 180度的变换矩阵;3.变换后 A点的坐标。
16
090
1000
0001
0010
0100
1000
0cos0sin
0010
0sin0cos
1
T
解:( 1)、绕 Y轴顺时针旋转
0180
1000
0100
0010
0001
1000
0cossin0
0sincos0
0001
2
T
( 2)、绕 X轴逆时针旋转
17
1000
0001
0010
0100
1000
0100
0010
0001
1000
0001
0010
0100
21TTT
1,1,1,1
1000
0001
0010
0100
1,1,1,11,,,1,,,
Tzyxzyx AAAAAA
( 3 )、变换后坐标
则变换后 A点的坐标为:
18
四、投影变换 投影就是从投影中心发出射线,经过三维物体上的每一点后,与投影平面
相交所形成的交点集合,这个集合又称为三维物体在二维投影平面上的平面几何投影(简称投影)。
根据投影中心与投影平面的距离,投影可分为平行投影、透视投影。当投影中心(射线源)与投影平面的距离为有限时,则投影为透视投影;若此距离为无穷大,则投影为平行投影。平行投影的一个特点是投影线彼此平行,当投影线垂直于投影平面时,为正平行投影;否则为斜平行投影。透视投影的特点是投影线彼此成放射状照射四周空间,正透视投影要求存在一条投影中心线垂直于投影平面,且要求其他透视线对称于投影中心线,否则为斜透视
投影。
19
斜透视投影三点透视二点透视一点透视
正透视投影透视投影
斜二测斜等测
斜平行投影
正三轴测正二轴测正等轴测
正轴测投影
侧视图俯视图主视图
正投影
正平行投影平行投影
投影
透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的,因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线间的平行关系不变,因而它常用于三维图形交互和生成工程图的视图。
20
本课程只介绍正投影中的三面视图及正轴侧投影中的正等轴侧投影。
在机械设计图中经常用来表达物体形状的三面视图即主视图、俯视图、侧视图均属于正投影。工程制图中的正投影就是按平行正投影绘制的,它取物体的主要坐标轴方向(长、宽、高方向)作为投影方向。它的特点是物体的投影能反映实形,即能直接反映物体在投影面方位的尺寸大小。
21
(一)正投影 1 、三面投影
x
z
y
V W
H
22
( 1 ) V面投影 它的投影线与 y 轴平行,投影平面为 xOz 平面 (V面 ),即 y=0 ,它
的变换矩阵为 :
( 2 )H面投影 投影线与 z 轴平行,投影平面为 xoy 平面(H面),即 z=0 ,变换
矩阵为:
1000
0100
0000
0001
pvT
1000
0000
0010
0001
pHT
23
( 3 )、W面投影 投影线与 x 轴平行,投影平面为 yoz 平面(W面),即 x=0 ,
变换矩阵为:
2 、三面投影的展开 在机械制图中,获得三面投影图后,还需将它们展开,得出在同
一平面上的三面视图。变换过程为:
1000
0100
0010
0000
pwT
24
25
V面投影图保持不变,即主视图。H面投影图绕 x 轴顺时针旋转 90 度,可得到与 xOz 平面重合的视图,为了保持与主视图有一定的距离,再沿 z 轴的负方向平移 zp得到俯视图。W面投影图绕 z 轴逆时针旋转 90 度,得到与 xOz 平面重合的视图。为了保持与主视图之间的距离,再沿 x 轴负方向平移 xp距离得到左视图。
因此三面投影的展开图应该是投影变换矩阵、旋转变换矩阵和平移变换矩阵三者的复合变换。
26
(1) 主视图。 又称前视图、正视图、正面投影等。它的变换矩阵为
( 2 )俯视图。又称平面图、水平投影。
1000
0100
0000
0001
vT
1000
0000
0010
0001
HT
1000
090cos90sin0
090sin90cos0
0001
)()()()(
100
0100
0010
0001
pz
100
0000
0100
0001
pz
27
( 3 )侧视图。又称左视图、侧面投影。
根据上述三个视图的变换矩阵,即可根据一个三维物体的各角点的坐标值,获得它的三视图的顶点的坐标,生成三视图。例如立体 A ,其主视图的各点坐标值为:
A*=A
1000
0100
0010
0000
wT
1000
0100
0090cos90sin
0090sin90cos
100
0100
0010
0001
px
100
0100
0001
0000
px
1000
0100
0000
0001
1
1
1
222
111
nnn
v
zyx
zyx
zyx
T
1000
0100
0000
0001
vT
从上述视图的变换矩阵中发现,第二列元素均为 0 ,即变换后 y均为0 ,这是由于变换后三
个投影均落在 XOZ平面内。
28
其俯视图的各点坐标值为: A*=A
其侧视图的各点坐标值为: A*=A
100
0000
0100
0001
1
1
1
222
111
pnnn
H
zzyx
zyx
zyx
T
100
0100
0001
0000
1
1
1
222
111
pnnn
H
xzyx
zyx
zyx
T
29
(二)正轴侧投影 正轴测投影图产生的过程如下图所示:将图( a )中所示的立方体直接向V面投影,得到( b )图;将立方体绕 z 轴正转 角,再向V面投影,得到( c )图;将立方体先绕 z 轴逆时针旋转 角,再绕 x 轴顺时针旋转 角,然后向V面投影。得到( d )图,即立方体的正轴测投影图。
• ( a ) ( b ) ( c ) ( d )
x
y
zV
W
H
30
在上式中,只要给 、 不同的值,就可得到不同的正轴测投影图。
可以证明当 , 为正等轴侧投影,代入矩阵中得到正等轴测投影变换矩阵为
1000
0100
00cossin
00sincos
T
1000
0cossin0
0sincos0
0001
1000
0100
0000
0001
1000
0cos00
0sincos0sin
0sinsin0cos
1000
0816.000
0408.00707.0
0408.00707.0
T
45 2644.35
31
(三)透视投影变换 透视图是采用中心投影法得到的图形,即通过投影中心
(视点),将空间立体投射到二维平面(投影面)上产生的图形。具有真实感的效果,近大远小。
一般变换矩阵中, p、 q、 r为透视参数。赋给它们非零数值将产生透视效果。
s
r
q
p
n
j
f
c
m
i
e
b
l
h
d
a
32
透视投影的视线(投影线)是从视点(观察点)出发,视线是不平行的。不平行于投影平面的视线汇聚的一点称为灭点,在坐标轴上的灭点叫做主灭点。主灭点数和投影平面切割坐标轴的数量相对应。按照主灭点的个数,透视投影可分为一点透视、二点透视和三点透视。
33
作业:已知一四棱锥 A( 1,0,1), B( 1,0,0), C( 0,0,0), D( 0,0,1),试写出该四棱锥1.绕 y轴顺时针旋转 90度的变换矩阵;2.绕 x轴逆时针旋转 180度的变换矩阵;3.变换后 A、 B、 C、 D各点的坐标。
34
090
1000
0001
0010
0100
1000
0cos0sin
0010
0sin0cos
1
T
解:( 1)、绕 y轴顺时针旋转
0180
1000
0100
0010
0001
1000
0cossin0
0sincos0
0001
2
T
( 2)、绕 x轴逆时针旋转
35
1000
0001
0010
0100
1000
0100
0010
0001
1000
0001
0010
0100
21TTT
1001
1000
1100
1101
1000
0001
0010
0100
1100
1000
1001
1101
1
1
1
1
1
1
1
1
T
zyx
zyx
zyx
zyx
'z'y'x
'z'y'x
'z'y'x
'z'y'x
DDD
CCC
BBB
AAA
DDD
CCC
BBB
AAA
(3 )、
则变换后 A、 B、 C、 D各点的坐标分别为:( -1, 0, -1)、( 0, 0, -1)、( 0, 0, 0)、(
-1, 0, 0)
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