第九章單一母體之假設檢定

9 - 9 - 11

銘傳應用統計系銘傳應用統計系

第九章第九章單一母體之假設檢定單一母體之假設檢定

Inferences Based on a Single Sample: Inferences Based on a Single Sample: Tests of HypothesisTests of Hypothesis

Chapter 9Chapter 9

9 - 9 - 22

學習目標學習目標

1. 1. 區別各種的假設區別各種的假設 2. 2. 假設與檢定的過程假設與檢定的過程 *3.*3. Ｐ值Ｐ值 pp-value-value 的觀念與應用的觀念與應用 *4.*4. 單母體假設與檢定問題的解決單母體假設與檢定問題的解決 5.5. 假設的檢定力與應用假設的檢定力與應用

9 - 9 - 33

單母體假設檢定單母體假設檢定

OnePopulation

Z Test(1 & 2tail)

t Test(1 & 2tail)

Mean ProportionLargeLargeLargeLarge

SampleSampleSampleSampleSmallSmallSmallSmall

SampleSampleSampleSampleσknown σunknown

9 - 9 - 44

得到虛無及對立假設的步驟得到虛無及對立假設的步驟Identifying Hypotheses StepsIdentifying Hypotheses Steps

步驟步驟 StepsSteps

1.1. 將問題以統計方式敘述將問題以統計方式敘述2.2. 需要充分證據證明的設為需要充分證據證明的設為對立假設對立假設3.3. 將對立假設以不等式表達將對立假設以不等式表達

, , <<, or , or > >

4.4. 確定虛無假設並以數學式確定虛無假設並以數學式表達表達

9 - 9 - 55

範例範例台灣民眾平均每星期看台灣民眾平均每星期看1212 小時的電視小時的電視 ? ?

1.1. 將問題以統計方式敘述將問題以統計方式敘述2.2. 需要充分證據證明的設為對需要充分證據證明的設為對立假設立假設3.3. 將對立假設以不等式表達將對立假設以不等式表達

, , <<, or , or > >

4.4. 確定虛無假設並以數學式表確定虛無假設並以數學式表達達

9 - 9 - 66

範例範例台灣民眾平均每星期看台灣民眾平均每星期看1212 小時的電視小時的電視 ??

1.1. = 12 = 12

步驟步驟 StepsSteps1.1. 將問題以統計方式敘述將問題以統計方式敘述2.2. 需要充分證據證明的設需要充分證據證明的設為對立假設為對立假設3.3. 將對立假設以不等式表將對立假設以不等式表達達

, , <<, or , or > >

4.4. 確定虛無假設並以數學確定虛無假設並以數學式表達式表達

9 - 9 - 77

得到虛無及對立假設的步驟得到虛無及對立假設的步驟 IIdentifying Hypotheses Stepsdentifying Hypotheses Steps

1.1. = 12 = 12

2.2. 12 12

步驟步驟 StepsSteps1.1. 將問題以統計方式敘述將問題以統計方式敘述2.2. 需要充分證據證明的設需要充分證據證明的設為對立假設為對立假設3.3. 將對立假設以不等式表將對立假設以不等式表達達

, , <<, or , or > >

9 - 9 - 88

1.1. = 12 = 12

2.2. 12 12

3.3. H Haa: : 12 12

1.1. 將問題以統計方式敘述將問題以統計方式敘述2.2. 需要充分證據證明的設需要充分證據證明的設為對立假設為對立假設3.3. 將對立假設以不等式表將對立假設以不等式表達達

, , <<, or , or > >

9 - 9 - 99

1.1. = 12 = 12

2.2. 12 12

3.3. H Haa: : 12 12

4.4. H H00: : = 12 = 12

1.1. 將問題以統計方式敘述將問題以統計方式敘述2.2. 需要充分證據證明的設為需要充分證據證明的設為對立假設對立假設3.3. 將對立假設以不等式表達將對立假設以不等式表達

, , <<, or , or > >

4.4. 確定虛無假設並以數學式確定虛無假設並以數學式表達表達

9 - 9 - 1010

檢定依對立假設的形式可分成三類檢定依對立假設的形式可分成三類以母體平均數以母體平均數 μμ 之檢定為例之檢定為例

1.1. HH00: : ≦≦ 00 ，， HHaa: : ＞＞ 00

右尾檢定（右尾檢定（ right-tailed testright-tailed test ））2.2. HH00: : ≧≧ 00 ，， HHaa: : ＞＞ 00

左尾檢定（左尾檢定（ left-tailed test left-tailed test ））*3. H*3. H00: : ＞＞ 00 ，， HHaa: : ≠≠ 00

雙尾檢定（雙尾檢定（ two-tailed test two-tailed test ））

00 為一事先決定之常數為一事先決定之常數其中其中 1. 2.1. 2. 又稱為單尾檢定又稱為單尾檢定

9 - 9 - 1111

檢定時可靠度之評估檢定時可靠度之評估

決策風險機率決策風險機率

Decision Making RisksDecision Making Risks

9 - 9 - 1212

決策錯誤機率決策錯誤機率Errors in Making DecisionErrors in Making Decision

1.1. 型Ｉ錯誤型Ｉ錯誤 Type I errorType I error 拒絕了正確的虛無假設拒絕了正確的虛無假設 reject a true null hypothesisreject a true null hypothesis

型Ｉ錯誤機率以型Ｉ錯誤機率以 (alpha)(alpha) 表示表示也就是檢定的顯著水準也就是檢定的顯著水準 Called level of significanceCalled level of significance

2.2. 型型 IIII 錯誤錯誤 Type II errorType II error 接受了錯誤的虛無假設接受了錯誤的虛無假設 Do not reject false null hypothesiDo not reject false null hypothesi

型型 IIII 錯誤機率以錯誤機率以 (beta)(beta) 表示表示

9 - 9 - 1313

與與＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞

你無法同時減低型Ｉ與型 II 誤差

9 - 9 - 1414

顯著水準顯著水準

可以容忍的最大型可以容忍的最大型 II 錯誤機率錯誤機率亦亦 αα 表示表示

9 - 9 - 1515

解決檢定問題的步驟流程解決檢定問題的步驟流程

9 - 9 - 1616

1.1. 根據問題決定根據問題決定 HH00

3.3. 根據問題決定根據問題決定

4.4. 決定樣本數決定樣本數 nn

5.5. 決定合適的檢定統計決定合適的檢定統計

9 - 9 - 1717

6.6. 確定拒絕域確定拒絕域 rejection regrejection regionion 及臨界值及臨界值 critical valcritical valuesues

7.7. 計算出檢定統計值計算出檢定統計值

8.8. 根據檢定統計值做出決策根據檢定統計值做出決策

9.9. 將決策以口語或文字表達將決策以口語或文字表達出來出來

3.3. 根據問題決定根據問題決定

4.4. 決定樣本數決定樣本數 nn

5.5. 決定合適的檢定統計決定合適的檢定統計

9 - 9 - 1818

雙尾拒絕區雙尾拒絕區Rejection Region (Two-Tailed TestRejection Region (Two-Tailed Test

9 - 9 - 1919

HoHoValueValue

Sample StatisticSample Statistic

樣本的抽樣分配樣本的抽樣分配

雙尾拒絕區雙尾拒絕區Rejection Region (Two-Tailed TesRejection Region (Two-Tailed Tes

9 - 9 - 2020

HoHoValueValue

RejectionRejectionRegionRegion

9 - 9 - 2121

HoHoValueValue

NonrejectionNonrejectionRegionRegion

9 - 9 - 2222

HoHoValueValue CriticalCritical

ValueValueCriticalCriticalValueValue

9 - 9 - 2323

HoHoValueValue CriticalCritical

ValueValueCriticalCriticalValueValue

1/2 1/2 1/2 1/2

9 - 9 - 2424

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion

Sampling DistributionSampling Distribution

1 - 1 -

Level of ConfidenceLevel of Confidence

9 - 9 - 2525

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion

1 - 1 -

9 - 9 - 2626

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion

1 - 1 -

9 - 9 - 2727

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion

1 - 1 -

9 - 9 - 2828

σσ 已知時平均數的雙尾已知時平均數的雙尾 ΖΖ 檢定檢定

Two-Tailed Z Test Two-Tailed Z Test of Mean (σ known)of Mean (σ known)

9 - 9 - 2929

σσ 已知時平均數的雙尾已知時平均數的雙尾 ΖΖ 檢定檢定

1.1. 對立假設為不等式（對立假設為不等式（＞＞2.2. Z-Z- 檢定統計檢定統計 (test statistic)(test statistic)

9 - 9 - 3030

雙尾雙尾 ZZ 檢定範例檢定範例

生產線上品管時欲了解盒裝的麥生產線上品管時欲了解盒裝的麥片平均重量是否真如標籤上所載片平均重量是否真如標籤上所載為為 368368 公克呢公克呢 ? ?

隨機抽選了隨機抽選了 3636 盒的麥片得到了盒的麥片得到了：樣本平均數為：樣本平均數為 X = 372.5X = 372.5 公公克克。根據盒上記載裝填所產生。根據盒上記載裝填所產生的標準差為的標準差為 1122 公克。請以顯著公克。請以顯著水準水準 = 0= 0.05.05 檢定之。檢定之。

368 gm.368 gm.

9 - 9 - 3131

雙尾雙尾 ZZ 檢定範例解答檢定範例解答

HH00: :

HHaa: :

Critical Value(s):Critical Value(s):

Test Statistic: Test Statistic:

Decision:Decision:

Conclusion:Conclusion:

9 - 9 - 3232

HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

Decision:Decision:

9 - 9 - 3333

HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

.05.05

nn 3636

Decision:Decision:

9 - 9 - 3434

HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

.05.05

nn 3636

Decision:Decision:

Z0 1.96-1.96

Reject H 0 Reject H 0

Z0 1.96-1.96

9 - 9 - 3535

HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

.05.05

nn 3636

Decision:Decision:

Z0 1.96-1.96

123685.372

9 - 9 - 3636

HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

.05.05

nn 3636

Decision:Decision:

Z0 1.96-1.96

在在 = .05= .05 下拒絕下拒絕 HoHo

123685.372

9 - 9 - 3737

HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

.05.05

nn 3636

Decision:Decision:

Z0 1.96-1.96

有充分證據顯示重量有充分證據顯示重量平均不為平均不為 368368 公克公克

123685.372

9 - 9 - 3838

動動腦想一想動動腦想一想

你是銘傳電器公司的你是銘傳電器公司的 Q/CQ/C 品管檢驗師品管檢驗師。你需要知道公司新機器所生產的電。你需要知道公司新機器所生產的電線強度是否合乎所訂定線強度是否合乎所訂定 : : 平均平均斷裂斷裂強度為強度為 7070 磅，標準差為磅，標準差為 = 3.5= 3.5 磅磅。。

於是你隨機抽取了於是你隨機抽取了 3636 條電線最測驗條電線最測驗，並得到了樣本平均強度為，並得到了樣本平均強度為 69.769.7 磅磅。試以顯著水準。試以顯著水準 .05.05 決定新機器所生決定新機器所生產的電線強度是否合乎規格。產的電線強度是否合乎規格。

AloneAlone GroupGroup Class Class

9 - 9 - 3939

HH00: :

HHaa: :

nn = =

Decision:Decision:

9 - 9 - 4040

HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

nn = =

Decision:Decision:

9 - 9 - 4141

HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

= = .05.05

nn = = 3636

Decision:Decision:

9 - 9 - 4242

HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

= = .05.05

nn = = 3636

Decision:Decision:

Z0 1.96-1.96

9 - 9 - 4343

HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

= = .05.05

nn = = 3636

Decision:Decision:

Z0 1.96-1.96

69 7 70

9 - 9 - 4444

HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

= = .05.05

nn = = 3636

Decision:Decision:

Z0 1.96-1.96

69 7 70

在在 = .05= .05 下不拒絕下不拒絕

9 - 9 - 4545

HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

= = .05.05

nn = = 3636

Decision:Decision:

Z0 1.96-1.96

69 7 70

沒有充分證據證明沒有充分證據證明平均強度不為平均強度不為 7070

9 - 9 - 4646

雙尾檢定與信賴區間的關聯雙尾檢定與信賴區間的關聯

μμ 的信賴水準為的信賴水準為 100(1100(1 －－ α)%α)% 的信賴區間的信賴區間

雙尾檢定雙尾檢定 HoHo ：： μ=μμ=μ0 0 HaHa ：： μ≠μμ≠μ0 0

若若 μμ0 0 包含於信賴區間內，則接受包含於信賴區間內，則接受 HoHo

若若 μμ0 0 不包含於信賴區間內，則拒絕不包含於信賴區間內，則拒絕 HoHo

),(22 n

9 - 9 - 4747

雙尾檢定與信賴區間的關聯雙尾檢定與信賴區間的關聯範例一範例一

生產線上品管時與了解盒裝的麥生產線上品管時與了解盒裝的麥片重量是否真如標籤上所載為片重量是否真如標籤上所載為 363688 公克呢公克呢 ? ?

隨機抽選了隨機抽選了 3636 盒的麥片得到了盒的麥片得到了：樣本平均數為：樣本平均數為 X = 372.5X = 372.5 公公克克。根據盒上記載裝填所產生。根據盒上記載裝填所產生的標準差為的標準差為 1122 公克。請以顯著公克。請以顯著水準水準 = 0= 0.05.05 檢定之。檢定之。

368 gm.368 gm.

9 - 9 - 4848

μμ 的信賴水準為的信賴水準為 95%95% 的信賴區間的信賴區間

（（ 368.58, 376.42368.58, 376.42 ））雙尾檢定雙尾檢定 HoHo ：： μ=368μ=368 HaHa ：： μ≠368μ≠368

由於由於 368368 不在（不在（ 368.58, 376.42368.58, 376.42 ）的區間內，故拒絕）的區間內，故拒絕 HoHo

1296.15.372,

1296.15.372( )

1296.15.372,

1296.15.372(

),(22 n

9 - 9 - 4949

HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

.05.05

nn 3636

Decision:Decision:

Z0 1.96-1.96

有充分證據顯示重量有充分證據顯示重量平均不為平均不為 368368 公克公克

123685.372

9 - 9 - 5050

雙尾檢定與信賴區間的關聯雙尾檢定與信賴區間的關聯範例二範例二

你是銘傳電器公司的你是銘傳電器公司的 Q/CQ/C 品管檢驗師品管檢驗師。你需要知道公司新機器所生產的電。你需要知道公司新機器所生產的電線強度是否合乎所訂定線強度是否合乎所訂定 : : 平均平均斷裂斷裂強度為強度為 7070 磅，標準差為磅，標準差為 = 3.5= 3.5 磅磅。。

於是你隨機抽取了於是你隨機抽取了 3636 條電線最測驗條電線最測驗，並得到了樣本平均強度為，並得到了樣本平均強度為 69.769.7 磅磅。試以顯著水準。試以顯著水準 .05.05 決定新機器所生決定新機器所生產的電線強度是否合乎規格。產的電線強度是否合乎規格。

9 - 9 - 5151

μμ 的信賴水準為的信賴水準為 95%95% 的信賴區間的信賴區間

（（ 68.56, 70.8468.56, 70.84 ））雙尾檢定雙尾檢定 HoHo ：： μ=70μ=70 HaHa ：： μ≠70μ≠70

由於由於 7070 在（在（ 68.56,70.8468.56,70.84 ）的區間內，故不拒絕）的區間內，故不拒絕 HoHo

5.396.17.69,

5.396.17.69( )

5.396.17.69,

5.396.17.69(

),(22 n

9 - 9 - 5252

HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

= = .05.05

nn = = 3636

Decision:Decision:

Z0 1.96-1.96

69 7 70

沒有充分證據證明沒有充分證據證明平均強度不為平均強度不為 7070

9 - 9 - 5353

觀測到的顯著水準觀測到的顯著水準 : : pp-Values -Values

Observed Significance LeveObserved Significance Levels: ls: pp-Values-Values

9 - 9 - 5454

pp-Value-Value

9 - 9 - 5555

pp-Value-Value

1.1. 在虛無假設為真的情況下，得到目前的樣本在虛無假設為真的情況下，得到目前的樣本檢定統計值或較此檢定統計值更為極端的機檢定統計值或較此檢定統計值更為極端的機率率 Probability of obtaining a test statistic more extreme (Probability of obtaining a test statistic more extreme (or or

than the actual sample value given Hthan the actual sample value given H00 is true is true

2.2. 亦可解釋為：若以目前的樣本結果即拒絕亦可解釋為：若以目前的樣本結果即拒絕 HoHo，可能犯型，可能犯型 II 錯誤機率。錯誤機率。 P-valueP-value 也稱為觀察也稱為觀察到的顯著水準到的顯著水準

3. 3. 一般的統計套裝軟體均以一般的統計套裝軟體均以 P-P- 值顯示檢定結果值顯示檢定結果

9 - 9 - 5656

pp-Value-Value

目前最常使用來判別是否拒絕虛無假設目前最常使用來判別是否拒絕虛無假設若若 pp-value -value , , 不拒絕不拒絕 HH00

若若 pp-value < -value < , , 則拒絕則拒絕 HH00

9 - 9 - 5757

雙尾雙尾 ΖΖ 檢定檢定使用使用 pp-Value-Value 之範例之範例

盒裝的麥片重量是否真如標盒裝的麥片重量是否真如標籤上所載為籤上所載為 368368 公克呢公克呢 ? ?

隨機抽選了隨機抽選了 3636 盒的麥片得盒的麥片得到了：樣本平均數為到了：樣本平均數為 X = X = 372.5372.5 公克公克。根據盒上記載。根據盒上記載裝填所產生的標準差為裝填所產生的標準差為 1212公克。請求出公克。請求出 pp-value.-value.

368 gm.368 gm.

9 - 9 - 5858

雙尾雙尾 ΖΖ 檢定檢定使用使用 pp-Value-Value 之解答之解答

P-value

＝ P （ X ＞ 372.5 μ=368∣ ）＊ 2

＝ P （ Z ＞ 2.25 ）＊ 2

123685.372

9 - 9 - 5959

觀察到的樣本觀察到的樣本 Z Z 檢定檢定統計統計

pp-value = -value = PP(Z (Z -2.25 or Z -2.25 or Z 2.25) 2.25)

Z0 1.80-1.80 Z0 1.80-1.80 2.25-2.25

9 - 9 - 6060

Z0 1.80-1.80

1/2 p-value1/2 p-value

Z0 1.80-1.80

1/2 p-value1/2 p-value

從標準常態表查從標準常態表查出出 2.252.25 之機率之機率

.4878.4878

pp-value = -value = PP(Z (Z -2.25 or Z -2.25 or Z 2.25) 2.25)

2.25-2.25

9 - 9 - 6161

Z0 1.80-1.80

1/2 p-value.0359

Z0 1.80-1.80

1/2 p-value.0359

pp-value = -value = PP(Z (Z -2.25 or Z -2.25 or Z 2.25) = 2.25) = .0244.0244

從標準常態表查從標準常態表查出出 2.252.25 之機率之機率

.4878.4878

.5000.5000-- .4878.4878

.0122.0122

0.0122 0.0122

-2.25 2.25

9 - 9 - 6262

0 1.80-1.80 Z

RejectReject

0 1.80-1.80 Z

RejectReject

1/2 p-value = .01221/2 p-value = .01221/2 p-value = .01221/2 p-value = .0122

1/2 1/2 = .025 = .0251/2 1/2 = .025 = .025

pp-value = .0244 -value = .0244 ＞＞ (( = .05). = .05). 故拒絕虛無假設故拒絕虛無假設

-2.25 2.25

9 - 9 - 6363

單尾單尾 ΖΖ 檢定檢定使用使用 pp-Value-Value 之範例之範例

盒裝的麥片重量是否顯著地盒裝的麥片重量是否顯著地超過標籤上所載的超過標籤上所載的 368368 公公克呢克呢 ? ?

隨機抽選了隨機抽選了 3636 盒的麥片得盒的麥片得到了：樣本平均數為到了：樣本平均數為 X = X = 372.5372.5 公克公克。根據盒上記。根據盒上記載裝填所產生的標準差為載裝填所產生的標準差為 1155 公克。請求出公克。請求出 pp-value-value 。。 368 gm.368 gm.

9 - 9 - 6464

單尾單尾 ΖΖ 檢定檢定使用使用 pp-Value-Value 之解答之解答

HoHo ：： μ 368 Ha≦μ 368 Ha≦ ：： μ μ ＞＞ 368368

p-valuep-value

＝＝ p(x 372.5≧p(x 372.5≧ ｜｜ μμ ＝＝ 368)368)

9 - 9 - 6565

9 - 9 - 6666

根據對立假設根據對立假設以決定方向以決定方向

p-valuep-value

9 - 9 - 6767

Z0 1.80

p-value

Z0 1.80

p-value根據對立假設根據對立假設以決定方向以決定方向

Z Z 檢定統計檢定統計

372 5 368

1.801.80

9 - 9 - 6868

Z0 1.80

p-value

Z0 1.80

p-value根據對立假設根據對立假設以決定方向以決定方向

pp-value-value 為為 PP(Z (Z 1.80) 1.80)

9 - 9 - 6969

Z0 1.80

p-value

Z0 1.80

p-value

Z Z 檢定統計檢定統計從標準常態表查從標準常態表查出出 1.801.80 之機率之機率

.4641.4641

9 - 9 - 7070

Z0 1.80

p-value

Z0 1.80

p-value

.4641.4641

.5000.5000-- .4641.4641

.0359.0359

9 - 9 - 7171

Z0 1.80

p-value

Z0 1.80

p-value

.4641.4641

根據對立假設根據對立假設以決定方向以決定方向 .5000.5000

-- .4641.4641.0359.0359

pp-value -value 為為 PP(Z (Z 1.80) = 1.80) = .0359.0359

9 - 9 - 7272

ZZ00 1.801.80

p-valuep-value

= .0359= .0359

9 - 9 - 7373

ZZ00 1.801.80

p-valuep-value

= .0359= .0359拒絕區拒絕區

= .05= .05

9 - 9 - 7474

ZZ00 1.801.80

p-valuep-value

= .0359= .0359拒絕區拒絕區

= .05= .05

9 - 9 - 7575

((pp-value = .0359) -value = .0359) ( ( = .05). = .05). 故拒絕Ｈ故拒絕Ｈ00

Z0 1.80

p-value

Z0 1.80

p-value

= .0359= .0359拒絕區拒絕區

= .05= .05

9 - 9 - 7676

使用使用 pp-Value -Value 動動腦想一想動動腦想一想

你是福特公司的汽車性能分析師你是福特公司的汽車性能分析師，你想要了解，你想要了解 EscortsEscorts 型汽車的型汽車的耗油量是否明顯的低於標準的耗油量是否明顯的低於標準的 32 32 mpgmpg （英里每加侖）。根據製造（英里每加侖）。根據製造部門提供的訊息得知標準差為部門提供的訊息得知標準差為 3.3.88 mpgmpg 。今隨機抽取了。今隨機抽取了 6060 輛輛 EEscortsscorts 汽車得到了樣本平均耗油汽車得到了樣本平均耗油輛為輛為 30.730.7 mpgmpg 。試求出觀察到。試求出觀察到的顯著水準的顯著水準 (( 即即 pp-value-value)?)?

9 - 9 - 7777

HoHo ：： μ 32 Ha≧μ 32 Ha≧ ：： μ μ ＜＜ 3232

p-valuep-value

＝＝ p(x 30.7≦p(x 30.7≦ ｜｜ μμ ＝＝ 32)32)

9 - 9 - 7878

使用使用 pp-Value -Value 解答解答

9 - 9 - 7979

p-value

p-value使用對立假設使用對立假設以決定方向以決定方向

9 - 9 - 8080

Z0-2.65

p-value

Z0-2.65

p-value

使用對立假設使用對立假設以決定方向以決定方向

30 7 32

9 - 9 - 8181

Z0-2.65

p-value

Z0-2.65

p-value

.4960.4960

9 - 9 - 8282

Z0-2.65

p-Value.004

Z0-2.65

p-Value.004

Z Z 檢定統計檢定統計從標準常態表查出從標準常態表查出2.652.65 之機率之機率

.4960.4960

.5000.5000-- .4960.4960

.0040.0040

9 - 9 - 8383

Z0-2.65

p-Value.004

Z0-2.65

p-Value.004

.4960.4960

.5000.5000-- .4960.4960

.0040.0040

pp-value = -value = PP(Z (Z -2.65) = .004. -2.65) = .004.pp-value < (-value < ( = .01). = .01). 故拒絕故拒絕 HH00..

9 - 9 - 8484

σσ 未知時母體平均數的雙尾未知時母體平均數的雙尾 t t 檢定檢定

Two-Tailed t Test Two-Tailed t Test of Mean (of Mean (σunknownσunknown))

9 - 9 - 8585

單母體平均數的各種檢定單母體平均數的各種檢定

OnePopulation

Z Test(1 & 2tail)

t Test(1 & 2tail)

LargeSample

Z Test(1 & 2tail)

Mean ProportionSmallSample

OnePopulation

Z Test(1 & 2tail)

t Test(1 & 2tail)

LargeSample

Z Test(1 & 2tail)

Mean ProportionSmallSampleσknown σunknown

9 - 9 - 8686

σσ 未知時平均數的未知時平均數的 t t 檢定檢定

1.1. 假設（先前滿足條件）假設（先前滿足條件）母體為常態分配母體為常態分配母體標準差未知以樣本標準差估計代入母體標準差未知以樣本標準差估計代入

9 - 9 - 8787

σσ 未知時平均數的未知時平均數的 t t 檢定檢定

2.2. T T 樣本檢定統計為樣本檢定統計為

9 - 9 - 8888

σσ 未知時下平均數的未知時下平均數的 t t 檢檢定定

2.2. T T 樣本檢定統計為樣本檢定統計為

3.3. TT 檢定統計量之抽樣分配為檢定統計量之抽樣分配為 t t n-1n-1 （自由度為（自由度為 n-n-

11 的的 tt 分配）分配）

9 - 9 - 8989

基本觀念基本觀念 t t 分配分配

對稱於對稱於 00 的鐘型分配的鐘型分配

t t 分配的型態決定於其自由度分配的型態決定於其自由度

自由度愈大的自由度愈大的 tt 分配愈接近於標準常態分配愈接近於標準常態

9 - 9 - 9090

σσ 未知時平均數的雙尾未知時平均數的雙尾 t t 檢定檢定使用臨界使用臨界 tt 值值

9 - 9 - 9191

Given: n = 3; Given: n = 3; = .10 = .10

9 - 9 - 9292

/2 = .05/2 = .05

Given: n = 3; Given: n = 3; = .10 = .10

9 - 9 - 9393

/2 = .05/2 = .05

Given: n = 3; Given: n = 3; = .10 = .10

df = n - 1 = 2df = n - 1 = 2

9 - 9 - 9494

v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182

v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182t0 t0

從從 tt 表表 (( 部份部份 )) 上查出臨界值上查出臨界值Critical Values of t Table (Portion)Critical Values of t Table (Portion)

/2 = /2 = .05.05

/2 = .05/2 = .05

Given: n = 3; Given: n = 3; = .10 = .10

df = n - 1 = df = n - 1 = 22

9 - 9 - 9595

v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182

v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182t0 2.920-2.920 t0 2.920-2.920

從從 tt 表表 (( 部份部份 )) 上查出臨界值上查出臨界值Critical Values of t Table (Portion)Critical Values of t Table (Portion)

/2 = .05/2 = .05

Given: n = 3; Given: n = 3; = .10 = .10

df = n - 1 = 2df = n - 1 = 2

9 - 9 - 9696

σσ 未知時平均數的雙尾未知時平均數的雙尾 t t 檢檢定使用臨界定使用臨界 tt 值範例值範例

盒裝的麥片重量是否真如盒裝的麥片重量是否真如標籤上所載為標籤上所載為 368368 公克公克呢呢 ? ?

隨機抽選了隨機抽選了 2525 盒的麥片盒的麥片得到了：樣本平均數為得到了：樣本平均數為X = 372.5X = 372.5 公克公克而樣本標而樣本標準差為準差為 1212 公克。請以顯公克。請以顯著水準著水準 = 0= 0.05.05 檢定之。檢定之。假設母體為常態分配。假設母體為常態分配。

368 gm.368 gm.

9 - 9 - 9797

σσ 未知時平均數的雙尾未知時平均數的雙尾 t t 檢定使用臨界檢定使用臨界 tt 值解答值解答

HH00: :

HHaa: :

df = df = Critical Value(s):Critical Value(s):

Decision:Decision:

9 - 9 - 9898

HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

df = df = Critical Value(s):Critical Value(s):

Decision:Decision:

9 - 9 - 9999

HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

= = .05.05

df = df = 25 - 1 = 2425 - 1 = 24Critical Value(s):Critical Value(s):

Decision:Decision:

9 - 9 - 100100

HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

= = .05.05

Decision:Decision:

t0 2.064-2.064

9 - 9 - 101101

HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

= = .05.05

Decision:Decision:

123685.372

t0 2.064-2.064

9 - 9 - 102102

HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

= = .05.05

Decision:Decision:

顯著水準顯著水準 = .05= .05 下下 ,, 不拒不拒絕絕

123685.372

t0 2.064-2.064

9 - 9 - 103103

HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

= = .05.05

Decision:Decision:

顯著水準顯著水準 = .05= .05 下下 ,, 不拒不拒絕絕

無充分證據證明盒裝麥片無充分證據證明盒裝麥片的重量不為的重量不為 368368

123685.372

t0 2.064-2.064

9 - 9 - 104104

雙尾雙尾 t t 檢定檢定動動腦想一想動動腦想一想

瓶裝的洗衣精重量是否真如標瓶裝的洗衣精重量是否真如標籤上所載為籤上所載為 3.253.25 磅磅呢呢 ? ?

今隨機抽選了今隨機抽選了 1616 瓶瓶的洗衣精的洗衣精得到了：樣本平均數為得到了：樣本平均數為 X = X = 3.3.238238 磅磅而樣本標準差為而樣本標準差為 0.1170.117 磅磅。請以顯著水準。請以顯著水準 = = 00.01.01 檢檢定之定之 ?? 假設母體為常態分配。假設母體為常態分配。 3.25 lb.3.25 lb.

9 - 9 - 105105

雙尾雙尾 t t 檢定解答檢定解答

HH00: :

HHaa: :

Decision:Decision:

9 - 9 - 106106

HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

Decision:Decision:

9 - 9 - 107107

HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

.01.01

df df 16 - 1 = 1516 - 1 = 15

Decision:Decision:

9 - 9 - 108108

HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

.01.01

df df 16 - 1 = 1516 - 1 = 15

Decision:Decision:

t0 2.947-2.947

9 - 9 - 109109

HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

.01.01

df df 16 - 1 = 1516 - 1 = 15

Decision:Decision:

117.25.3238.3

t0 2.947-2.947

9 - 9 - 110110

HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

.01.01

df df 16 - 1 = 1516 - 1 = 15

Decision:Decision:

顯著水準顯著水準 = .01= .01 下不拒下不拒絕絕

t0 2.947-2.947

117.25.3238.3

9 - 9 - 111111

HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

.01.01

df df 16 - 1 = 1516 - 1 = 15

Decision:Decision:

無充分證據證明平均重無充分證據證明平均重量不為量不為 3.253.25t0 2.947-2.947

t0 2.947-2.947

117.25.3238.3

9 - 9 - 112112

雙尾雙尾 t t 檢定解答檢定解答 P-valueP-value

P-valueP-value

＝＝ PP （（ XX ＜＜ 3.238 μ=3.25∣3.238 μ=3.25∣ ））×2 ×2

＝＝ PP （（ tt1515 - 0.41≦- 0.41≦ ）） ×2×2

＞＞ 0.25×2 = 0.50 0.25×2 = 0.50

t0 2.947-2.947

.0050.25 0.25

-0.691 0.691

由於 P-value＞ α= 0.1

故不拒絕 Ho

9 - 9 - 113113

HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

.01.01

df df 16 - 1 = 1516 - 1 = 15

Decision:Decision:

無充分證據證明平均重無充分證據證明平均重量不為量不為 3.253.25t0 2.947-2.947

t0 2.947-2.947

117.25.3238.3

9 - 9 - 114114

雙尾雙尾 t t 檢定解答檢定解答 P-valueP-value

P-valueP-value

＝＝ PP （（ XX ＜＜ 3.238 μ=3.25∣3.238 μ=3.25∣ ））×2 ×2

＝＝ PP （（ tt1515 - 0.41≦- 0.41≦ ）） ×2×2

＞＞ 0.25×2 = 0.50 0.25×2 = 0.50

t0 2.947-2.947

.0050.25 0.25

-0.691 0.691

由於 P-value＞ α= 0.1

故不拒絕 Ho

9 - 9 - 115115

σσ 未知時母體平均數之單尾未知時母體平均數之單尾 TT 檢定檢定

One-Tailed t Test One-Tailed t Test of Mean (σ unknown)of Mean (σ unknown)

9 - 9 - 116116

單尾單尾 t t 檢定範例檢定範例

某品牌乾電池的能量壽命是否顯某品牌乾電池的能量壽命是否顯著地少於標準的著地少於標準的 140140 安培小時安培小時呢呢? ?

今隨機抽選了今隨機抽選了 2020 個個的乾電池得的乾電池得到了：樣本平均數為到了：樣本平均數為 138.47138.47 安安培小時培小時而樣本標準差為而樣本標準差為 2.662.66 安安培小時培小時。請以顯著水準。請以顯著水準 = = 00.05.05檢定之，假設母體為常態分配檢定之，假設母體為常態分配 ??

9 - 9 - 117117

單尾單尾 t t 檢定解答檢定解答

HH00: :

HHaa: :

df =df =

Decision:Decision:

9 - 9 - 118118

HH00: : = 140 = 140

HHaa: : < 140 < 140

df = df =

Decision:Decision:

9 - 9 - 119119

HH00: : = 140 = 140

HHaa: : < 140 < 140

= = .05.05

df = df = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19

Decision:Decision:

9 - 9 - 120120

t0-1.729

Reject

t0-1.729

Reject

HH00: : = 140 = 140

HHaa: : < 140 < 140

= = .05.05

df = df = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19

Decision:Decision:

9 - 9 - 121121

HH00: : = 140 = 140

HHaa: : < 140 < 140

= = .05.05

df = df = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19

Decision:Decision:

66.214047.138

t0-1.729

Reject

t0-1.729

Reject

9 - 9 - 122122

HH00: : = 140 = 140

HHaa: : < 140 < 140

= = .05.05

df = df = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19

Decision:Decision:

在在 = .05= .05 下，拒絕Ｈ下，拒絕Ｈ 00

t0-1.729

Reject

t0-1.729

Reject

66.214047.138

9 - 9 - 123123

HH00: : = 140 = 140

HHaa: : < 140 < 140

= = .05.05

df = df = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19

Decision:Decision:

在在 = .05= .05 下，拒絕Ｈ下，拒絕Ｈ 00

有充分證據證明能量低於有充分證據證明能量低於140140 安培小時安培小時t0-1.729

Reject

t0-1.729

Reject

66.214047.138

9 - 9 - 124124

單尾單尾 t t 檢定解答檢定解答 P-valueP-value

P-valueP-value＝＝ PP （（ XX ＜＜ 138.47 μ=140∣138.47 μ=140∣ ））＝＝ PP （（ tt1919 - 2.57≦- 2.57≦ ））

t0-1.729

Reject

t0-1.729

Reject

-2.54 t0-1.729

Reject

t0-1.729

Reject

0.005＜ P-value＜ 0.01＜ α=0.05 拒絕 Ho

第九章單一母體之假設檢定

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第九章 單一母體之假設檢定

第九章單一母體之假設檢定