Теоретическая механика

Теоретическая механика

Литература

• Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики:: Учебник. -М., 1985.- т. 2 /и другие издания/

• Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник. -М., 1998 /и другие издания/

• Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие. -М. 1998 /и другие издания/

• Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие под ред. А.А. Яблонского. -М. 1998 /и другие издания/

Формы отчетности:

• Дифф. зачет

• зачет по индивидуальным заданиям

• контрольные работы

• защита курсовой работы

• итоговое компьютерное тестирование

Теоретическая механика

Кинематика Кинетика

Статика Динамика

Раздел: Динамика

Основные понятия и определения

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается

движение материальных тел под действием сил.

ИнертностьКоличественной мерой инертности

является масса тела.

Модели:

1)Материальная точка:

геометрическая точка, обладающая

конечной массой.

2) Система материальных точек.3) Абсолютно твердое тело.

Системой называется такая совокупность материальных

точек, движения и положения которых взаимно связаны.

Неизменяемой будем называтьсистему, в которой взаимноерасположение точек остаетсянеизменным.

Если вещество, образующее неизменяемую систему,

непрерывно заполняет некоторую часть пространства, то такая

система называется абсолютно твердым телом.

Расстояние между любыми двумя точками такого тела не изменяется.

Законы (аксиомы) динамики

1. Существует инерциальная система отсчета. В такой

системе материальная точка находится в покое или

движется прямолинейно и равномерно, если на нее не

действуют силы.

2. В инерциальной системе отсчета вектор ускорения

материальной точки пропорционален вектору

силы, действующей на эту точку.

3. Две материальные точки взаимодействуют так, что

силы взаимодействия равны по величине,

противоположны по направлению и имеют

общую линию действия.

4. Систему сил, действующих на материальную точку, можно заменить равнодействующей.

Ускорение точки под действием системы сил равно ускорению

под действием равнодействующей.

0,,

;,,2

bn

zyx

k

aV

adt

dVa

zayaxa

Fam

Дифференциальные уравнениядвижения точки

m x = Fkx

m y = Fky

m z = Fkz

дифференциальные уравнениядвижения точки в декартовой с. к.

.0

,

,

2

kb

kn

k

F

FV

m

Fdt

dVm

Дифференциальные уравнения движения точки в естественных

координатах

Прямая задача:

Зная массу точки и ее уравнения движения, определить

равнодействующую приложенных к точке сил.

Два класса задач динамики:

прямые и обратные.

Дано: m,x = x(t),y = y(t),z = z(t).

Найти: F.

Решение:

m x = Fx

m y = Fy

m z = Fz

F = Fx2 + Fy

2 + Fz2 - модуль силы

Обратная задача

По известным массе, силам, начальным условиям определить закон движения.

Эта задача называется ещеосновной задачей динамики.

dt 2

d2z=m

dt 2

d2x=m

dt 2

d2y=m

Fx (t, x, y, z, x, y, z)

Fz (t, x, y, z, x, y, z)

Fy (t, x, y, z, x, y, z)

Чтобы получить закон движения, необходимо

дважды проинтегрировать каждое

уравнение, используя начальные условия.

Динамика относительного движения точки

• Можно ли решать задачи динамики в неинерциальных (подвижных) системах отсчета?

В неподвижной системе:

RFam (1)

КориолисатеоремеПо

Корперотн aaaa )2(

)1()2( вПодставим

)()( Корпер

отн

amam

RFam

инерциисила

переноснаяamF

Обозначим

пери

пер

:

инерциисила

акориолисовamF Кори

Кор

иКор

ипер

отн

FFRF

am

• Чтобы составить дифф. ур. движения точки в подвижной системе координат в форме второго закона Ньютона, необходимо к действующим на точку активным силам и реакциям связей добавить переносную и кориолисову силы инерции.

• Можно считать, что силы инерции вводятся с целью

формального преобразования неинерциальной (подвижной)

системы отсчета в инерциальную (неподвижную).

Пример

аm

?

./3,17 2

иповерхностегонаточки

ойматериальнравновесиели

Возможносма

раполуцилиндУскорение

2/10 смg

N

G

иперF

amamF пери

пер

0sincos иперFG

3

13,17

10 mamg

FG

tg ипер

030

:На

Динамика механической системы

и твердого тела

• Совокупность материальных точек или тел, движение которой рассматривается, назовем механической системой.

Действующие на механическую систему

активные силы и реакции связей разделяют на

.ik

ek

Fсилывнутренние

иFсилывнешние

Внешними называют силы, действующие на точки

системы со стороны точек, не входящих в систему.

• Внутренними называют силы, с которыми точки системы действуют друг на друга.

Свойства внутренних сил:

• 1. Геометрическая сумма (главный вектор) внутренних сил системы равняется нулю.

• 2. Сумма моментов (главный момент) внутренних сил относительно любого центра или оси равняется нулю.

Дифф. уравнения движения механической

системы

Рассмотрим систему, состоящую из n точек.

Для точки №k:

.

,

kkk

kkk

rVa

Fam

Для системы:

.

,

,

,

222

111

nnn Fam

Fam

Fam

Можно составить уравнения в проекциях на оси координат.

В динамике редко прибегают к составлению и интегрированию

этих уравнений.

Масса системы. Центр масс

Масса системы

Центр масс системы

- сумма масс тел, входящих в систему.

- геометрическая точка, радиус-вектор которой :

mk k=1

n

m =

rc = mkrk

k=1

n

mk k=1

n

Для того, чтобы получить координаты центра масс, надо найти проекции векторного равенства на оси

xc =

zc =

yc =

mkxk k=1

n

m

mkyk k=1

n

m

mkzk k=1

n

m

Ордината центра масс системы материальных точек yc= … см.

y, см

x, см

10

100m1=2m

m3=5m

m2=3m

Решение

m

ymy

n

kkk

c

1

Пример.

y, см

x, см

10

100m1=2m

m3=5m

m2=3m

;532

0510302

mmm

mmmyc

yc=3 см

Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Теорема о движении центра масс системы

M ac = F e

Следствия :1)

2)

Если F

e = 0 ,

Внутренними силами нельзя изменить движение центра масс системы.

Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то скорость движения центра масс системы постоянна.

то v c = const

Если Fx

e = 0 , то v c x = const

3) Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось - величина постоянная.

Момент инерции тела относительно оси

(осевой момент инерции)

Осевым моментом инерции тела (системы) относительно оси Оz называется сумма произведений

масс точек тела (системы) на квадраты их расстояний

от этой оси

.2

kkZ hmJ

Осевой момент инерции является мерой инертности тела при

вращательном движении

Единица измерения момента инерции СИ

21 мкг

Расстояния точек от осей можно выразить через координаты точек. Получим формулы:

.)(

,)(

,)(

22

22

22

kkkZ

kkkY

kkkX

yxmJ

xzmJ

zymJ

Радиусом инерции тела относительно оси Оz

называется линейная величина

, определяемая равенствомz

тела

массаmгде

,2

zZ mJ

В случае сплошного тела в формулах моментов инерции суммы обратятся в интегралы

)(

22 ..)(V

X дтиdVzyJ

)( материалаплотностьздесь

Зная радиус инерции, можно по формуле найти момент инерции

Тонкий однородный стержень длиной l и массой т

z

3

2mlJ Z

Моменты инерции некоторых однородных тел

x dx

z l

V

l

z

l

l

mdxx

l

mxdmJ

0

322

3

dxlm

dm

C

Z

l

0,5l

Тонкое однородное кольцо радиусом R и массой m

zRC

2mRJC

12

2mlJC

12

2lmJ z

Однородный цилиндр или диск

радиусом R и массой m

C

ZR

2

2mRJC

rdr

h

drrhdVобъем 2

dVVm

dmмасса

drrRm

dm 2

2

drrRm

dmrdJC 3

2

2 2

R

C

mRRRm

drrRm

J0

24

2

3

2 2422

drrRm

dm 2

2

Моменты инерции тела относительно

параллельных осей(теорема Гюйгенса)

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции

относительно оси, ей параллельной, проходящей через

центр масс тела, сложенному с произведением

массы тела на квадрат расстояния между осями

масс

центрC

2

1mdJJ CzOz

d

Z

O

C

Z

Примерl=2R

R

O1

2 x

Дано: m1=0,75m, m2=2m,1-тонкий однородный стержень,2 - однородный диск.

Определить момент инерции и положение центра масс маятника.

Решениеl=2R

R

O1

2 x mm

RmRmo

mm

xmxmxc

275,0

2275,

.121

2211

22

22

21

21 23.2 lm

RmlmJJJ OOO

xc=1,73R; Jo=10mR2.

Принцип Даламбера для материальной точки

RFam

0

..

..

amRF

связейреакцравнодR

силактравнодF

Вектор Fи , равный по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленный

противоположно вектору ускорения,называется силой

инерции.

amFОбозначим и

Принцип Даламбера для материальной точки:

0 иFRF

В каждый момент движения сумма активных сил, реакции связи и силы инерции равна нулю.

Определить натяжение троса

Пример

мR

радt

кгт

Дано

4,0

6,0

60

:

2

R

mg

Решение

sz

а

mgFи

HS

agmS

FmgS

F

атF

см

Rа

срад

и

z

и

617

)(

0

:0

48,0

2,1

2

2

Принцип Даламбера для механической системы:

Силы инерции точек механической системы «уравновешивают»

активные силы и реакции связей.

Определить усилие в стержне А

Пример

АF1 F2

Дано:F1=3 kHF2=12 kH

Массыодинаковы

Решение

1.3та=F1+F2

ma 52.

xs

aF1

Fи

Fи=та=5 кН

:0XF

S+F1-Fи=0

S=2 кН

(F1=3 kH, F2=12 kH)

Следствия принципа Даламбера для системы

Рассмотрим систему n материальных точек.

.0 и

K

i

K

e

K FFF

инерциисилаF

силавнутрF

силавнешнF

и

K

i

K

e

K

.

.

(*)

Для к-й точки:

Умножим (*) векторно слева на rк

0 и

kk

i

kk

e

kk FrFrFr

(**)k=1,2,…,n

Получили:

0,0 i

kk

i

k FrF

0,0 и

о

е

о

иe ММFF

Здесь

-главные векторы и главные моменты внешних сил и сил

инерции

и

kk

и

о

и

k

и

e

kk

e

o

e

k

e

FrМFF

FrMFF

,

,

Внешние силы включают в себя реакции внешних связей:

е

реакц

е

акт

e FFF

Главный вектор и главный момент сил инерции

Главный вектор сил инерции:

k k

kk

и

k

и amFF

k

kkc rmm

r1 дифф.

дважды

kkC amam

Главный вектор сил инерции равен произведению массы

системы (тела) на ускорение центра масс и направлен противоположно этому

ускорению.

C

и amF

Приведение сил инерции твердого тела к удобному виду

1. При поступательном движении тела силы инерции приводятся к равнодействующей,

приложенной в центре масс тела

c

и amF

Вращательное движение

Z

krka

kk ra

иkF

2kk

kkkиz

rm

ramM

zиz JM

2.Вращательное движение(центр приведения – т. О)

о εи

ozM

сас

FИ

x

y

Пл. мат. симм. oz

c

и

oz

И

oz

amF

JM

Центр приведения – центр масс С

εо

сас

и

CZM

Fи

c

и

CZ

и

CZ

amF

JM

2*. Ось вращения проходит через центр масс тела

cz

и

cz

и

JM

F 0

Плоское движение

cz

и

cz

c

и

JM

amF

В центре масс:

Пример 1

RO

Мтр

1 2G1

.

707,0

1,0

4

2

,

:

2

1

Найти

R

mgRM

mm

mm

Rm

Дано

тр

Решение

0)( KO FMО

RO

Мтр

1 2G1

ε

а

Fи

Ми

Xo

Yo

По модулю:Fи=т2аМи=J1εa=εR. 2

11 mJ

01 RGRFМM и

тр

и

024

1,02

2

mgRmR

mgRmR

Rg

38,0

Пример 2

z Дано:т,l,α,ω=const.Найтинатяжениенити.

А y

ξ

αω

Решение

А YA

ZA

h

S

Fи

mgc

.0)(

cos32

KA FM

lh

sin2

2

l

а

атF

с

с

и

tgglmS

lmghFSl и

21

sin31

0sin2

cos

2

sin2

2

l

а

атF

с

с

и

.0)(

cos32

KA FM

lh

Работа и мощность силы

ММо

М1F

Fn

τ

Fτ

vα

ЭЛЕМЕНТ.РАБОТА

СИЛЫ F:

dsFdA

Другие выражения:

dzFdyFdxFdA

rdFdA

dsFdA

zyx

cos

Работа силы на конечном перемещении

)(

)(

)(

1

1

M

M

MM

O

OdsFA

В системе СИ единицей измерения работы является

джоуль

)111(2

2

смкг

мНДж

МощностьМощностью называется

величина, определяющая работу в единицу времени

VFdtdsF

dtdA

N

Мощность равна произведению касательной составляющей силы на

скорость.

VFN

VFN

В системе СИ единицей измерения мощности является

ватт

сДж

Вт 11

Работа и мощность сил, приложенных к вращающемуся

телуz

B

ds

d

F

F

r

drds

dsFdA

0

)(

dMA

dMdA

FMrF

drFdA

Z

Z

Z

Для постоянного момента

Z

Z

MN

Мощность

MA

Пример

2 Н м от 0 до 4 рад сила тяжести

и момент М = 3 совершат работу … Дж.

При изменении углаР= 10 Н

Ответ: 16

РешениеПеремещение груза 2

s

.842 мRs

0

dMsPA

4

0

2 ;3 dsP

.164810 3 DжA

Аналитическая механика

В аналитической механике изучаются наиболее общие методы решения задач механики.

Связи

Связями в динамике называют ограничения, которые

налагаются на положения и скорости точек механической

системы и выполняются независимо от того, какие силы

действуют на систему.

Пример

xy

z

lM1

M2

связиуравнение

lzzyyxx

22

12

2

12

2

12 )()()(

Классификация связей

Связи, не изменяющиеся с течением времени, называются стационарными, изменяющиеся – нестационарными.В уравнения нестационарных связей явно входит время t.

Связи, налагающие ограничения только на координаты точек

системы, называются геометрическими, а налагающие ограничения еще и на скорости –

кинематическими или дифференциальными.

Кинематическую связь, которую интегрированием можно свести

к геометрической, называют интегрируемой.

Пример: качение без скольжения

RC

CV

RVC

RxC

Геометрические и интегрируемые кинематические связи (вместе)

называют голономными, неинтегрируемые

дифференциальные связи – неголономными.

Механические системы с неголономными связями мы не

изучаем.

Связи, налагающие ограничения, которые сохраняются при любом

положении механической системы, называются удерживающими.

Связи, от которых система может освободиться,

называются неудерживающими.

Удерживающие связи математически выражаются

уравнениями, неудерживающие – неравенствами.

Пример

22

12

2

12 )()( lyyxx

22

12

2

12 )()( lyyxx

:Пример

0),,,,( txzyxf

аянеголономн

рнаянестациона

связь

ющаянеудержива

Виртуальные (возможные) перемещения

Виртуальным перемещением механической системы называют

любую совкупность элементарных перемещений ее точек

из занимаемого в данный момент положения ,

допускаемую наложенными на систему связями.

В изображении виртуального перемещения используют символ

),,( 21 nrrr ,

Число независимых между собой виртуальных перемещений

механической системы называется

числом степеней свободы этой системы.

У механической системы с голономными связями

число независимых координат, определяющих положение системы,

совпадает с числом степеней свободы.

Пример. Число степеней свободы механизма …

Ответ: 2

Виртуальная работа

А = Fk· rkk = 1

n

Дадим системе виртуальное перемещение и подсчитаем элементарную работу сил

на этом перемещении

Идеальные связиСвязи называются идеальными,

если работа реакций связей на любом виртуальном перемещении системы

из любого ее положения равна нулю.

Условие идеальности связей:

Примеры идеальных связей

n

kKK rR

1

0

1.

R

r

0 rRA

R

0r

2.

N

Fсц

0r

3. Качение без проскальзывания

R r

4.

0 rRA

AB

RA

RB

VA

VBRA=-RB

Сумма мощностей:

5.

.0

.)(

BAB

BAAB

ABB

BBAA

VRN

VVV

VVR

VRVRN

Вывод: стержень с шарнирами на концах является идеальной связью.

Принцип виртуальных перемещений

(АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА)

Система материальных точек находится в равновесии,

если силы, действующие на каждую точку системы,

взаимно уравновешиваются и скорости всех точек равны нулю.

Для того, чтобы система, подчиненная идеальным

стационарным удерживающим связям, находилась в равновесии,

необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех активных

сил на любом виртуальном перемещении была равна нулю.

.0

0

1

1

n

kkk

n

kkk

VF

или

rF

Вместо работы на виртуальном перемещении можно рассматривать

мощность на виртуальном движении системы

Замечания

• Если есть неидеальные связи, то их реакции (например, силы трения) следует отнести к активным силам.

Если требуется определить реакцию идеальной связи,

следует мысленно отбросить эту связь,

а соответствующую ей реакцию рассматривать как активную

силу.

Считая силу F известной,

определить силу Р при равновесии

системы.

F

P

120

Пример 1

Решение

F

P

120

PVFV

0 FP VFVP

030cos FP VV

0)30cos( 0 FVFP

3

230cos 0

FFP

Определить усилие в

стержне 1 фермы, если

F=6 kH.

F

6060

1

23

A

B

C

Пример 2

SS CV

BV

Уравнение связи:

0

0

60cos

30cos

C

B

V

V

Принцип:

0

30cos

1

0

C

B

VS

VF

F

A

B

C

Решение

kHS 31

Кинетическая энергия

материальной точки:

2

21

mV

Кинетическая энергия

T = mkvk

2

k=1

n12

Кинетическая энергия системы –это сумма кинетических энергий точек, входящих в систему

Теорема Кёнига

rC TVmT 2

2

1

Кинетическая энергия механической системы равна сумме

кинетической энергии поступательного движения c

центром масс системы и кинетической энергии движения

системы относительно центра масс.

Рассмотрим движение механической системы в двух

системах координат: неподвижной и подвижной.

01x1y1z1 - неподвижная система

Система координат 02x2y2z2 перемещается поступательно.

k

y2

x2

z2

O2

Mk

ro

rk

y1

x1

z1

O1

Вектор rk определяет положение точки относительно неподвижной системы координат, а вектор k - относительно подвижной системы координат;

;kOk rr

дифференцируем уравнение по времени:

;rkOk VVV

Tr = mkvk r2

k=1

n12

- кинетическая энергия системы относительно подвижной системы

координат

vk r - скорость точки относительно подвижной системы координат

= mkv0

2 +12 mkv0 vk r +

+ mkvk r2 =1

2

+ v0 mkvk r +

v0

2 mk +12

Tr

T = mk(v0 + vk r)

2 = k=1

n12

mk k

mc =

Дифференцируем по времени:

c - радиус-вектор, определяющий положение центра масс системы относительно подвижной системы координат

;rkkrC VmVm

0vc r =

Совместим начало подвижной системы координат с центром масс системы:

vc r - скорость центра масс относительно подвижной

системы координат

Получили формулу Кенига

Кинетическая энергия твёрдого тела

При поступательном движении:

mkvk

212T = vk = v

T = v

2 mk =12 v

2 m

12

T = v

2 m

12

Кинетическая энергия системы

где

При вращательном движении:

z

hkMk

vk

mkvk

212Tk =

vk = hk

mk hk

2 212Tk =

mkvk

2 =12T = 2mk hk

212

mk hk

2 = Iz

T = 2 Iz

12

Кинетическая энергия системы:

- момент инерции тела

При плоскопараллельном движении

m v0

2 +12

кинетическая энергия определяется по формуле Кенига -

T = m vC

2 +12 2 1

2 CI

T = Tr

Пример. Дано: r, m - радиус и масса однородного диска.

Vc - скорость центра масс.Диск катится без скольжения.

Определить кинетическую энергию диска.

С

rCV

2c

2c ωI

2

1mV

2

1T +=

r

Vω c=2

C mr2

1I =

=••+= 2

2C22

c r

Vmr

2

1

2

1mV

2

1T

2CmV

4

3=

Силовое поле

Силовым полем называется область, в каждой точке которой на

помещенную в нее материальную точку действует сила, однозначно

определенная по величине и направлению в любой момент

времени.

Силовое поле называется стационарным,

если проекции силы не зависят от времени.

• Стационарное силовое поле называется потенциальным,если существует такая функция координат П(x,y,z), называемая потенциальной энергией, что проекции силы могут быть представлены через нее следующим образом:

Потенциальная энергия определяется с точностью до

постоянного слагаемого.

Потенциальная энергия в данной точке равна работе,

производимой силами поля при перемещении точки

из данного положения в начальное положение,

в котором она равна нулю.

Работа силы по любому замкнутому контуру в

потенциальном силовом поле равна нулю.

Потенциальная энергия поля силы тяжести

• Если принять • П(0)=0, • то П(z)=mgz

Z

mg

z

O

Потенциальная энергия восстанавливающей силы

пружины

20

2

21

xxСП

oxx, - конечное и начальное удлинения пружины

Обобщенные координатыи

обобщенные скорости

Рассматриваем только системы с геометрическими связями

(голономные). У такой системы число независимых

координат, определяющих положение системы,

совпадает с числом степеней свободы.

Независимые между собой параметры любой размерности,

число которых равно числу степеней свободы системы

и которые однозначно определяют ее положение,

называют обобщенными координатами

системы.

q - обобщенная координатаs –число степеней свободы

Положение системы определяется обобщенными

координатами

.,,, 21 sqqq

Производные обобщенных координат по времени называются

обобщенными скоростями

.,,, 21 sqqq

.

,

;

,

скоростьугловаяqто

уголqесли

скоростьлинейнаяqто

величиналинейнаяqЕсли

Вектор виртуального перемещения точки

s

ki

i

kk q

qr

r1

Радиус-вектор любой точки системы

.),,,( 21 skk qqqrr

Обобщенные силы

Составим сумму элементарных работ сил системы на ее

виртуальном перемещении:

n

kkk rFA

1

Перейдем к обобщенным координатам

;1 1

n

k

s

ii

i

kk q

q

rFA

Изменим порядок суммирования

.1 1

s

ii

n

k i

kk q

q

rFA

Введем обозначения

.,,2,1

,1

si

qr

FQn

k i

kki

Виртуальная работа

s

iii qQA

1

.2211 ss qQqQqQ

Обобщенные силы – это величины, равные коэффициентам при приращениях обобщенных

координат в выражении элементарной работы

действующих на систему сил.

Вычисление обобщенных силСообщим системе виртуальное перемещение:

)0,,0,0( 21 sqqq

Виртуальная работа .111 qQA

Обобщенная сила

И так далее.

.1

11 q

AQ

Вместо виртуального перемещения можно рассматривать виртуальное

движение

)0,,0,0( 21 sVVV

Виртуальная мощность .111 VQN

Обобщенная сила

И так далее.

1

11 V

NQ

Если все действующие на систему силы потенциальны, то

.,,,2

21

1s

s qП

QqП

QqП

Q

Пример

.

.300

10

120

3,0

:

2

QНайти

HG

мНМ

мНМ

мR

Дано

тр

.

МтрM

2G

Решение

.

2G

МтрM

Виртуальное движение:

2,0 V

02V

Уравнение связи:

RV2

Мощность:

.2

22

RGMM

VGMM

N

тр

тр

Q

мHQ

RGMMQ тр

20

2

Общее уравнение динамикиПринцип виртуальных перемещений

дает общий метод решения задач статики.

Принцип Даламбера придает уравнениям динамики вид уравнений

статики.Их совместное применение

приводит к принципу Даламбера-Лагранжа:

- общее уравнение динамики.

При движении материальной системы с идеальными связями сумма работ активных сил и сил инерции на любом виртуальном

перемещении равна нулю.

(Fk – mk ak) rk = 0

Пример

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

Преобразование общего уравнения динамики позволяет получить

уравнения Лагранжа :

siQqT

qT

dtd

i

ii

,,2,1,

Т - кинетическая энергия системы

s- число степеней свободы

координатыобобщенныеqi

силыобобщенныеQi

• Изобразить на чертеже все активные силы, действующие на систему. Реакции идеальных связей не изображать. Силы трения присоединить к активным силам.

• Определить число степеней свободы и ввести обобщенные координаты.

Порядок решения:

• Вычислить кинетическую энергию системы,выразив ее через обобщенные координаты и скорости;

• Найти обобщенные силы системы;

• Выполнить действия, указанные в уравнениях Лагранжа.

Частное дифференцирование:

При частном дифференцировании все величины в скобках

рассматриваются как независимые

),,,,,,,,( 2121 tqqqqqqTT SS

Пример 1

Дано: АВ=L, ползуны безмассовые, связи идеальные

(нет трения).

Составить дифференциальное

уравнение движения.

С

X

А

В

Y

γ

mg

Решение

1. gm2. S=1, q

3. 22

21

21 CC JmVT

22

,ll

VC

Р.

122mlJC

22

61 mlT

4.Обобщенная сила

CV

.Р

С

gm

А

В

Виртуальное движение:

Виртуальная мощность:

sin2

sin

lmg

mgVN C

sin21

mglQ

CBA VVV ,,,0

siQqT

qT

dtd

i

ii

,,2,1,

222

31

61

mllmqT

i

061 22

lm

qT

i

22

31

31

lmlmdtd

qT

dtd

i

0sin21

31 2 lgmlm

Особенности применения уравнений Лагранжа к

системам с неидеальными и неудерживающими связями

Уравнения Лагранжа для случая потенциальных сил

i

i qQИмеем

:

0

iii qqT

qT

dtd

Функция Лагранжа L=T-П

Tqq

Тпоэтому

ii

,iqотзависитне

энергиянаяПотенциаль

Уравнения Лагранжа (силы потенциальны)

0

ii qL

qL

dtd

1 2

Пример. Дано: .;; 021 lCmmm Определить закон движениясистемы (начальные условия ?)

С–коэффициент жесткости пружины

0l - свободная длина пружины

Общие теоремы динамики

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Дифференциальная форма:• Полная производная кинетической

энергии по времени равна сумме мощностей всех внешних и

внутренних сил, приложенных к системе.

ie NNdt

dT

Для точки второй закон Ньютона

Ftd

VdmFam

Умножим ур. на V VFtd

VdVm

VFmV

td

d

2

2

Ntd

dT

Пусть система состоит из n материальных точек.

Делим все силы, действующие на систему, на внешние и внутренние и для каждой точки запишем теорему об изменении кинетической энергии:

k k k

i

k

e

kk NN

dt

dT

ie NNdt

dT

nkNNdt

dT ik

ek

k ,,2,1,

Если система переместилась из начального положения в конечное, то в интегральной форме теорема об изменении кинетической энергии будет иметь вид:

T - T0 = ie AA

Изменение кинетической энергии системы при перемещении ее из

начального положения в конечное равно сумме работ внешних и внутренних сил.

ЗАМЕЧАНИЯ

• Кинетическая энергия составляется по абсолютным скоростям.

• Не требуется учитывать реакции идеальных стационарных связей и внутренние силы твердого тела и нерастяжимой нити.

• Теорема дает одно скалярное уравнение.

Пример 1

• Однородный цилиндр катится без скольжения.

• Найти ускорение центра С.

Какой вариант теоремы применить?

с

030

NdtdT 22

21

21 CC JVmT

RVC

2

2RmJC

2

43

CVmT

.

mg CV30

c 030sinCVgmN

CC aVmdtdT

23

21

30sin 0

21

23

CCC VgmaVm

3g

aC

Пример 2Чтобы однородный диск из показанного на рисунке положения повернулся на четверть оборота, ему надо сообщить начальную

угловую скорость … рад/с.

Решение

T - T0 = ie AA

;RgmA

Т=0;

о

;2

3 20 RmJ ;

2

1 2000 JT

;4

3 20

2 mgRmR .3

20 R

g

Закон сохранения полной механической энергии

• Если все силы потенциальны, то

ППAk 0

constПТПТ 00

При движении под действием потенциальных сил сумма

кинетической и потенциальной энергий системы в каждом ее

положении остается постоянной.

В предыдущем примересила тяжести – потенциальная,

значит, применим закон сохранения энергии.

ПримерЧтобы однородный диск из показанного на рисунке положения повернулся на четверть оборота, ему надо сообщить начальную

угловую скорость … рад/с.

Решение

constПТПТ 00

В начальном положении:

.0,4

30

20

20 принялиПRmT

В конечном положении:

.,0 RgmПT

.,4

30

20

2 RmRgm

Количеством движения материальной точки называется

векторная величина, равная произведению массы точки на ее

скорость

Vm

Тема: Теорема об изменении количества движения

vk = r k

- количество движения системы: сумма количеств движений точек, входящих в систему

Q = mkvk k=1

n

dr k

dt=Q = mk

k=1

nddt

n

kkk rm

1

Q = ddt

(mr c ) Q = mdr c

dt

=>- количество движения системы: произведение массы системы на скорость ее центра масс

CVmQ

А

В

D

VD

VA

системыQ

Определить

VVV

mmmm

Дано

DA

BDA

:

.

:

Пример

2 варианта решения:

CVmQ .1 k

kkVmQ.2

b

PAD

B.

C

0 DA QQ

030cos2

bbV

PBV AB

3VVB BVmQ

VmQ 73,1DV

BV

AV

Элементарным импульсом силы называется векторная величина

dtFSd

Импульс силы за конечное время t:

t

dtFS0

Пример. F

Определить импульс силы F ,равномерно движущейся поокружности и совершающейполный оборот за время Т.

Ответ: S=0

Теорема об изменении количества движения механической системы в

дифференциальной форме:

производная по времени вектора количества движения системы равна главному вектору внешних сил.

dQdt

= F e

eFQ

- количество движения системы

- главный вектор внешних сил

Следствия :

1)

Если F e = 0 ,

то

Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то вектор количества движения постоянен по величине и направлению .

constQ

2) Если сумма проекций внешних сил на ось равна нулю, то проекция

количества движения системы на эту ось есть величина постоянная

.

,0

constQто

FЕсли

x

ex

Следствия выражают закон сохранения количества движения

системы.

• Из них следует, что внутренние силы не могут изменить количество движения системы.

Рассмотрим доказательство теоремы

dvk

dt= mk

Fk

e + Fk

i

ddt

mkvk =

F e

dQdt

= F e

Для системы точек:

Теорема об изменении количества движения:

Теорема об изменении количества движения системы

в интегральной форме

Изменение количества движения системы за конечное время равно сумме импульсов внешних сил за

то же время

е

kSQQ

01

Пример

1

2

s

покойt

мts

кгmкгm

Дано

0

,)(cos05,02,0

,8,2

:

21

ctctмоментыв

теласкоростьОпределить

5,0,2

2

21

Решение 0 x

ekS Закон

сохранения:

0 Oxx QconstQ1

2

s 1V

2VxО

2211 VmVmQx

tVSVV sin

20221

0sin20 2221

VmtVm

tmm

mV

sin2021

12

tV sin0314,02

:2)1 1 ct 02sin 0)( 12 tV

ct 5,0)2 2 12

sin

222 0314,0)(см

tV

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс мало отличаются одна от другой. Действительно:

CC amVmtd

d

td

Qd

ekF

td

Qd ekC Fam

Момент количества движения

(Кинетический момент)

Моментом количества движения материальной точки относительно центра О называется векторная

величина, определяемая равенством

VmrVmM O

)(

оr

Vm

K0 = K0k = k=1

n

rk mkvk k=1

n

Момент количеств движения системы:векторная сумма моментов количеств движения точек, входящих в систему.

Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг

неподвижной оси

Другое название:кинетический момент

Кинетический момент системы может рассматриваться как

характеристика ее вращательного движения

z

hzdm v

v =z·hz

v dm = z hz dm

v dm hz = z hz2 dm

момент количества движения точки:

Количество движения точки массой dm :

Для тела кинетический момент относительно оси вращения:

)(

2

V

zzz dmhK

Kz = zzJ

V

z mdhJ 2

Пример

z

)(

:

10

5,0

3,0

:

1

1

2

2

tK

Определить

ct

радt

мкгI

Дано

z

z

Решение

tz с

радtz 101

смкг

tItK zzz

2

11 3103,0

При плоском движении:

о

y

x

cCV

zCCOZOZ IVmMK )(

rc

или

.zcccOz JVmrK

Пример. Дано:

1

2

A

B

P

R

R

.15,0

,3,6 2

мR

кгmс

рад

Определить кинетичес-кий момент колеса 2относительно точки Р.

?PK(Кепе, 14.5.13)

Теорема об изменении кинетического момента механической системы

(теорема моментов)

Производная по времени вектора кинетического момента системы

относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил

относительно того же центра.

)( e

kOO FM

dtKd

О – неподвижный центр

(1)

Следствия :

1)

Если M0

e = 0 ,

Если главный момент внешних сил системы равен нулю, то вектор кинетического момента системы - величина постоянная.

то K0 = const

2) Если проекция главного момента внешних сил на какую-

либо ось равна нулю, то кинетический момент

относительно оси - величина постоянная.

Если Mxe = 0 , то Kx = const

=dKx dt

Mxe

=dKz dt

Mze

=dKy dt

Mye

Теорема в проекциях на оси координат

Доказательство теоремы

Для материальной точки по второму закону Ньютона

Ftd

VdmилиFam

Пусть r - радиус-вектор, определяющий положение точки относительно какой либо системы координат.Умножим векторно слева уравнение на r:

внесем r под знак дифференциала:

Frtd

Vdmr ;

r m =dvdt

ddt

(r m v ) - dr

dt m v-

K0 = r m v

M0 = r F

Обозначим:

- момент количества движения точки

относительно центра О

- момент силы F относительно центра О

=0

Получили теорему об изменении момента количества движения

материальной точки

ddt

(r m

v )=M0

M0=dK dt

о

=dK01 dt M0 ( F1

e ) + M0 ( F1

i )

. . . . . . . . . . . . . . .

=dK0n dt M0 ( Fn

e ) + M0 ( Fn

i )

Для всех точек системы:

k=1

n

=dK0k dt

M0 ( Fke

) + M0 ( Fki )

k=1

n

k=1

n

Почленно сложим уравнения системы:

M0

e k=1

nddt

K0k =

=0

M0

e=dK0 dt

(1)

Пример

Дано:m1, J2, Mтр.Найти:

Решение

ekoz

oz FMdt

dK

о

трM

1G

x

y

о

трM

1G

RVmJKoz 12

RV .2

12 RmJKoz

.1 трe

koz MRGFM

трMRgmRmJ 12

12

212

1

RmJ

MRgm тр

P

Что будет, если при применении теоремы

выбрать подвижный центр ?

Р?

Теорема об изменении кинетического момента (для произвольного

подвижного центра Р)1.Кинетический момент механической системы в сложном движении

Ox1y1z1 – неподвижная система коорд.Pxyz – движется поступательно;С – центр масс.

mkVkBk

rk

k

y

z

Prp

.c

xO

x1

z

y1

(*)kpk rr

.kkkkkpkkk VmVmrVmr

Для точки:

Пусть k=1,2, …,n. Просуммируем:

Если Р совпадает с С:

2.Теорема для неподвижного центра:

(**).pcpo KVmrK

.ccco KVmrK

k

eko

o FMdtKd

)1(

k k k k

ekk

ekp

ekk

eko FFrFrFM .

;dt

KdamrVmV

dt

Kd pcpcp

o

.

k

ekk

k

ekp

pcpcp

FFr

dt

KdVmVamr

.ekpcp

p FMVmVdt

Kd(2)

Выводы:1.Для подвижного центра уравнение (1) несправедливо.2.Если в качестве подвижного центравзять центр масс С, то уравнение (2)примет форму уравнения (1):

.ekc

c FMdtKd

3.Если ,// cp VV то уравнение (2)имеет такой же вид, как уравнение (1).

Пример

M

сR

Дано: R,Jc,M. Найти: .

Решение

“O” или “P” ?

G

M

рN

FТо x

y

VP

VC

CP VV //

.PP M

dt

dKс

.2

3

222

22 RmRm

RmRmJJ CP

; PP JK

;

;2

3 2

MFM

RmK

kP

P

;2

3 2 MRm

.3

22Rm

M

C

P

CV

PV

Удар

Явление, при котором скорости точек тела за очень малый промежуток времени изменяются на конечную величину, называется ударом.

Силы, возникающие при ударе, будем называть ударными силами .удF

Время удара обозначим через Действие ударной силы оценивают ударным импульсом

0

.dtFS удуд

Ударный импульс – конечная величина.

Обозначения:

V

V

скорость точки до удара

скорость точки после удара

Применим к явлению удара теорему об изменении количества движения:

,SVVm

Изменение количества движения материальной точки за время удара

равно действующему на точку ударному импульсу.

Это – основное уравнение теории удара.

Основные положения теории удара:

1.Удар происходит мгновенно.2.Тело при ударе не изменяет своего положения.3.Действие неударных сил (таких, как сила тяжести) можно не учитывать.4.Изменения скоростей точек тела завремя удара определяются основным уравнением теории удара.

Пример.(не конспектировать!) Стальной шарик массой 100 г падает с высоты 4 м,

ударяясь о плиту со скоростью 9 м/с и отскакивая со скоростью 5 м/с.

Продолжительность удара ;0002,0 cСредняя сила удара 7000 Н.

Анализ:1.Средняя сила удара в 7000 раз больше силы тяжести шарика.

2.Время удара в 5000 раз меньше времени падения (1секунда).

3.Во время удара шарик соприкасался с плитой, координата его центра масс (в сравнении с высотой падения 4 м) менялась очень мало.

Коэффициент восстановления(гипотеза Ньютона)

Коэффициент восстановления равен отношению модуля нормальной составляющей относительной скороститочек контакта тел после удара к его значению до удара.

nB

nA

nB

nA

VV

VVk

..АВ

AV

AVBV

BVn

А, В – точки контакта

Относительные скорости точек контакта:

BA VV скорость сближения перед ударом;

BA VV скорость разлета после удара.

Коэфф. восстановления учитывает физические свойства тел. Определяется экспериментально.

При прямом ударе тела о неподвижную преграду

коэффициент восстановления равен отношению модуля скорости тела в конце удара к модулю скорости в

начале удара: k=V+/V- .V

VS

n

Предельные случаи:

- абсолютно упругий удар (k=1);

- абсолютно неупругий удар (k=0).

В первом случае (k=1) кинетическая энергия после удара

полностью восстанавливается,

во втором (k=0) вся кинетическая энергия теряется на нагревание, деформацию и пр.

Теорема об изменении количества движения механической системы

при ударе

Изменение количества движения системы за время удара равно сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на систему.

ekSQQ 01

В проекциях на любую координатную ось x

ekxxx SQQ 01

Импульсы обычных сил при ударе не учитывают.

Следствия:

1.Если геометрическая сумма всехвнешних ударных импульсов равнанулю, то количество движения системы за время удара не изменяется. 2.Внутренние ударные импульсы не могут изменить количества движения системы.

смjiV /23

(1,8 2,4 )S i j Н с

... ( / )V м с

Пример 1. На материальную точку массой 0,6 кг, движущуюся со скоростью

подействовал ударный импульс

После удара модуль скорости

,

.

.

Решение

Основное уравнение теории удара

,SVVm Vm

SV уд

;

jijiV 236,0

4,2

6,0

8,1

./6;6 смVмодульjV

смV /101 смV /22

кгmкгm 1,3 21 ... /V м с

Пример 2. После абсолютно неупругого удара тел с массами

их общая скорость

.

.

Решение

0еудS QQ

221121 VmVmVmm

21

2211

mm

VmVmV

.8

с

мV

Теорема об изменении кинетического момента механической системы (теорема моментов) при ударе

Изменение за время удара кинетического момента системы относительно какого-нибудь центраравно сумме моментов относительно

ekooo SMKK

того же центра всех действующих на систему внешних ударных импульсов.

В проекциях на любую ось x

Следствия:1.Если сумма моментов внешних ударных импульсов относительно какого-нибудьцентра (или оси) равна нулю, то кинетический момент системы

.ekxxx SMKK

относительно этого центра (или оси) за время удара не изменяется.

2.Внутренние ударные импульсы не могут изменить кинетический момент системы.

Пример 1

.AB.bbbx

y .

Дано: Однородный куб,

2

32

bmJ Az

015k=0, V0=0.

Куб после удара об упор:

а) остановится,

б) опрокинется.?

1.Определим скорость перед ударом

;sin bgmA

Т0=0; 2

21

VmT

ATT 0

sin2 bgV

2. Удар .удBzBzBz SMKK

0удBz SM BzBz KK

;2b

VmKBz ; BzBz JK

(1)

Подставляем в (1):

.sin2

43 b

gx

удS

В

Vm

y

Условие опрокидывания:

В

045

С

G.

;0 ATT

20 2

1 BzJT

.45cos122 0

bgm

A

0

1T

A

ATT 0 >0

Результат вычислений:

1>0,97

Вывод:

куб опрокинется.

Н с/рад с

Пример 2. Однородный стержень массой 4 кг двигался поступательно. После приложения ударного импульса S=1,6

угловая скорость .

Решение

SS

x

y

CS

.2

,l

SSSM z

удCzCzCz SMKK 0CzK;

CzCz JK12

2lmJCz

212

2 lS

lm

lm

S6

с

рад2;

;

Пример 3. После удара об упор угловая скорость 3,5 /рад с ;

коэффициент восстановления Угловая скорость

k = 0,7.перед ударом

/рад с .O

Решение

V

Vk ;

l

l .

k

./57,05,3 срад

Удар материальной точки об идеально гладкую поверхность

n

S

V

V

Зная скорость

,Vдо удара и величину k,найдем скорость ,Vпосле удара и ударный импульс S .

Поверхность идеальногладкая, .SnS Используем основное уравнение теории удара:

.nSVVm

В проекциях на оси nи

,0 VV .

1S

mVV nn

Касательная составляющая скоростисохраняет величину и направление.

Нормальная составляющая меняет направление, а величина ее .nn VkV

Из чертежа:

n

S

V

V

,cos VV n ,sin VV

,cos VV n .sin VV

;sin

sin

VVVVИз

n

n

V

Vk

cos

cos

V

V

sincos

cossin.

ctg

ctg

ctgkctg Ударный импульс

.nn VVmS .nn VkVНо

cos1 VkmS

Импульс максимален при прямом 0 абсолютно упругом 1kударе:

При прямом абсолютно неупругом (k=0) ударе .mVS

.2 mVS

Пример Дано:n

V V

,45,1 0 смVk=0,5.

Найти: ., V

Решение

ctgkctg ;6263,5,0 0 ctg

.8945,0sin

sin

sin VV .79,0

8945,0

707,01

с

мV

Колебания

Устойчивость положения равновесия

Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если, выведенная из этого положения малым возмущением, во все последующее время она движется в малой окрестности положения равновесия или возвращается к нему.

.G

a)

G

б)

Теорема Лагранжа - Дирихле

Если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия строгий минимум, то равновесие системы в этом положении является устойчивым.

Это условие – достаточное.

Для консервативной системы с одной степенью свободы достаточные

условия устойчивости положения равновесия имеют вид:

.0,00

2

2

0

qП

qП

Пример. Механическая система состоит из обращенного математического маятника массой m и длиной l и

спиральной пружины с коэффициентом жесткости С. При каких значениях

параметров верхнее положение равновесиямаятника будет устойчивым?

Решение

Для рассматриваемой системы

;cos121 2 lgmCП

!4!2

cos142

отбросим

.2

2lgmCП

;0)( 00

lgmCП

,002

2

lgmCП

или C > mgl - условиеустойчивости.

Свободные прямолинейные колебания материальной точки

.xx

F MO

сила

ивающаявосстанавлF

Fx=-Cx Дифференциальное уравнение движения:

.CxxmилиFxm x

Обозначение: С/m=k2,

- дифференциальное

уравнение свободных линейных колебаний при отсутствии сопротивления.

Общее решение имеет вид x=C1sinkt+C2coskt

или

02 xkx

.)sin( tkAx (1)

Скорость точки

.cos ktkAxVx

Колебания, совершаемые точкой по закону (1), называются гармоническими колебаниями.

А – амплитуда колебаний;

tk фаза колебаний;

начальная фаза.

(2)

k – круговая частота колебаний.

Промежуток времени Т, в течение которого точка

совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.

Период .2k

T

:

,,

колебанийчастотойназывается

периодуобратнаяВеличина

;1 T

.1

,

секундузахсовершаемы

колебанийчисло

условиямначальнымпо

иАеОпределени

Начальные условия:при t=0 x=xo и Vx=Vo .

Из (1) и (2) получим:

.cos,sin 00 A

kV

Ax

Отсюда найдем:

,220

20 kVxA .00 Vxktg

Свойства свободных линейных колебаний

1.Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных

условий.

2.Частота k и период Т колебаний не зависят от начальных условий

и являются неизменными характеристиками данной колебательной системы.

Отсюда, в частности, следует, что еслив задаче требуется определить толькочастоту (период) колебаний, то надосоставить дифференциальное уравнение движения в виде

02 xkx ,

после чего k определяется без интегрирования.

Влияние постоянной силы на свободные линейные колебания точки

На точку М действуют: - восстанавливающая сила

F ;

- постоянная сила .P

x.y

O O1

ст xM PF

Модуль .OMCF

Положением равновесия, относит. которого колеблется точка М, будетточка О1. .СРст

ст статическое отклонение.Составим дифф. уравнение движения:

., PPxCF xстx

;xx PFxm

;PxCxm ст

;0 PC ст

.02 xkxилиxCxm

Вывод:

Постоянная сила Р, не изменяя характера колебаний, смещает центр колебаний в сторону действия силы на величину статического отклонения .ст

Пример. Определить период малых

свободных колебаний однородного диска массой 2 кг ;

коэффициенты жесткости пружин С1=900 Н/м, С2=700 Н/м.

С1

С2

x

y

ez

z Mdt

dK

. JJK z

RRCRRCM ez 21

.2

2RmJ .2

21 RCCM ez

.02

21 CCm

02 k

.2

221

2

RCCmR

.221 CC

mk

.20

2c

kT

Свободные колебания при наличии вязкого трения

Пример

Вынужденные колебания

Малые свободные колебания линейной системы с двумя степенями

свободы

Пусть положение системы определя-ется обобщенными координатами q1,q2

и при q1=q2=0 система находится в устойчивом равновесии.

Тогда, с точностью до квадратов малых величин,

;221 2

22221122111 qaqqaqaT

.221 2

22221122111 qcqqcqcП

Подставим Т и П в ур. Лагранжа:

.2,1

,0

i

qП

qT

qT

dtd

iii

i=1. 01

qT

;2121111

qcqcqП

;2121111

qaqaqT

.0212111212111 qcqcqaqa

i=2 ;02

qT

;2221122

qcqcqП

;2221122

qaqaqT

.0222112222112 qcqcqaqa

Дифференциальные уравнения колебаний линейной системы с двумя

степенями свободы:

.0222112222112 qcqcqaqa (1)

Будем искать решение ур. (1) в виде:

,sin1 ktAq .sin2 ktBq (2)

.0212111212111 qcqcqaqa

,021212

21111 BkacAkac

.022222

21212 BkacAkac

(3)

Чтобы уравнения (3) давали для А и В решения, отличные от нуля, опреде-литель системы должен быть равен нулю или, иначе, коэффициенты при Аи В должны быть пропорциональны

.22222

21212

21212

21111 n

AB

kackac

kackac

(4)

Для определения k2 получаемуравнение частот:

.022

12122

22222

1111 kackackac

Корни 22

21 , kk вещественны и

положительны.

Корням k1, k2 соответствуют две совокупности частных решений:

(5)

.sin

,sin

22222

2

2222

1

tkAnq

tkAq(6)

21 nиn найдены из (4) при k=k1

и k=k2 соответственно.

;sin

,sin

11111

2

1111

1

tkAnq

tkAq

Колебания, определяемые уравнениями (5) и (6), называются главными

колебаниями, а их частоты k1 и k2 –собственными частотами системы.

Колебание с частотой k1 (всегда меньшей) называют первым главнымколебанием, а с частотой k2 – вторымглавным колебанием.

Числа n1 , n2 , определяющие отношения амплитуд в каждом из этих колебаний, называют

коэффициентами формы.

Суммы частных решений (5) и (6) будут общим решением уравнений (1):

,sinsin 2221111 tkAtkAq

.sinsin 222211112 tkAntkAnq

Произвольные постоянные А1,А2, 21,определяются по начальным условиям.

Собственные частоты k1,k2 и коэфф. формы n1,n2 не зависят от начальных условий и являются основными характеристиками колебательной системы.

Пример. Определить собственные частоты и коэффициенты формы

малых колебаний двойного физического маятника,

образованного однородными стержнями 1 и 2 одинаковой

массы m и длины l.

O

A

gm

gm1

C2

Колебания малы:

2121 ,,, малыевеличины

3/21 lmJ O

12/22 lmJ C

222

2210 2

121

21

CC JVmJT 1

AV

O

A

gm

gm1

C2 CAV

;5,0, 21 lVlV CAA

;CAAC VVV

;cos2 12

222

CAA

CAAC

VV

VVV

!21cos 21212 отбр.

;22CAAC VVV .5,0 2

2122 lVC

Сравнивая с

;221 2

22221122111 qaqqaqaT

найдем:

.31

,21

,34 2

222

122

11 lmalmalma

;31

34

21 2

22121

2

lmT

O

A

gm

gm1

C2

.cos12

cos1cos12 211 l

gmlgml

gmП

;2

cos12

Сравнивая с

.221 2

22221122111 qcqqcqcП

.341 2

221 lgmП

найдем: .21

,0,23

221211 lgmcclgmc

Значения aik , cik подставим в уравнение частот

.022

12122

22222

1111 kackackac

Получим: .0727

62

24

lg

klg

k

Корни: .30,2,86,0 21 lgklgk

Подставляя в одно из уравнений (4) сначала k1 , затем k2 , найдем коэффициенты формы:

.22222

21212

21212

21111 n

AB

kackac

kackac

(4)

.10,2,43,1 21 nn

При первом главном колебании оба стержня в каждый момент времени

отклонены от вертикали в одну сторону и

.43,112

При втором главном колебании стержни отклоняются в разные стороны и 10,212

Вынужденные колебанияОбобщенные непотенциальные силы:

.sin,sin 2211 ptHQptHQ Дифф. ур. колебаний:

р – частота возмущающих сил.Частное решение:

.sin,sin 2211 ptAqptAq

.sin

,sin

2222121222121

1212111212111

ptHqcqcqaqa

ptHqcqcqaqa

.

,)(

222

222212

2121

122

121212

1111

HApacApac

HApacApac

02 p

.21

212122

211112 pHpacHpacA

.222

221

2122211

2 pkpkaaap

,/ 22

212121

222221 pHpacHpacA

21 , kpkp условиярезонанса

При вынужденных колебаниях линейной системы с двумя

степенями свободы резонанс возникает дважды:

(р– частота возмущающей силы).

21 kpприиkp при

Динамический поглотитель колебаний

1

2

С1

С2

l1+q1

l2+q2

F

F=Hsinpt ;22

221

221

1 qqm

qm

T

;2

1

2

1 222

211 qcqcП

212111

qqmqmq

T

;111

qcq

П

222

qcq

П

;2122

qqmq

T

1

2

С1

С2

l1+q1

l2+q2

F

F=Hsinpt ,sin11

22121

ptHqc

qmqmm

.022

2212

qc

qmqm

.sin

,sin

22

11

tpBq

tpBq

.0

,

22

2212

2

22

212

211

BpmcBpm

HBpmBpmmc

;422

222

2211 pmpmcpmmc

.0

2222

22

22

1 pmcHpmc

pmH

Для q1 амплитуда .11 B

.2

2

222

221

p

mcmHpmcH

B

С2

2

22 mc парциальная частота

Если ,22 mcp то В1=0 и .01 q

.22

cHB

Динамический поглотительколебаний.

1

2

С1

С2

l1+q1

l2+q2

F

F=Hsinpt

.sin

,sin

22

11

tpBq

tpBq

,22 mcp

В1=0 .01 q

.22

cHB

q1=0

Сведения из теории моментов инерции

Центробежные моменты инерции

z

x

ydm

)(

)(

)(

,

,

V

zx

V

yz

V

xy

dmzxI

dmyzI

dmxyI

Ось Z называется главной, если центробежные моменты инерции,

содержащие индекс оси, оба равны нулю

Ось называется центральной, если она проходит через центр масс тела

)0( ZXYZ II

Динамические реакции подшипников при вращении тела вокруг неподвижной оси

z

xy

B

A yA

xA

yBxB

F

и

F1

e

F2

e

F

и

Fne

zA

,AB =h

kDkr

k

k

Axyz – вращается вместе с телом;

XA,YA,ZA,XB,YB –

– вращаются с телом.

y

x

kkr

kkk rx cos

kkk ry sin

и

nkFи

kF

Для точки Dk :

;; 2 kkи

knkkи

k rmFrmF

kи

kkи

knи

kx FFF sincos

;2 kkkk ymxm

ku

kku

knu

ky FFF cossin

;2 kkkk xmym .0u

kzF

Главный вектор сил инерции:

n

k

ukz

uz

n

k

uky

uy

n

k

ukx

ux

FF

FF

FF

1

1

1

;

;

;

Главный вектор сил инерции:

.0

,

,2

2

и

z

cc

и

y

cc

и

x

F

xmymF

ymxmF

Моменты сил инерции в точке Dk

относительно осей: ku

kyu

kx zFFM;2 kkkkkk xzmzym

ku

kxu

ky zFFM

;2 kkkkkk zymxzm =

;2 kkku

ku

kz rmrFFM

Главный момент сил инерции:

.

,

,2

2

z

и

z

zxyz

и

y

yzxz

и

x

IM

IIM

IIM

Здесь

n

kkkkzx xzmJ

1

, и т.д.

Уравнения кинетостатики:

,02 CCBAkx myxmXXF

,02 CCBAky mxmyYYF

,0Akz ZF

,02 yzzxBkx JJhYFM

,02 zxyzBky JJhXFM

.0zkz JFM

Выполним разложение:

.., дтиXXX d

A

CT

AA

Для динамических реакций:

.0

,0

,0

,0

2

2

2

2

zxyz

д

B

yzxz

д

B

CC

l

B

д

A

CC

д

B

д

A

IIhX

IIhY

mxmyYY

mymxXX

Динамическая реакция в т. В:

.1

,1

,1

4222

2

2

YZZX

д

B

YZZX

д

B

ZXYZ

д

B

IJh

R

IIh

Y

IIh

X

Условия отсутствия динамических реакций:

Izx=Iyz=0; xc=yc=0.

Ось вращения должна быть главной центральной осью

инерции тела

Динамическая балансировка:

Лазерная

Электронная

Механическая

Точность

Гироскопический момент

`

F

F

+MГ

; zГ JMМодуль

Пара сил ,, FF момент которой равен

гироскопическому моменту, стремится совместить ось гироскопа с осью

прецессии.

.sin zГ JM

Правило Грюэ-Жуковского:

при сообщении оси гироскопапринудительной прецессии ось гироскопа стремится кратчайшим путем установиться параллельно осипринудительной прецессии таким образом, чтобы направления векторов и совпали.

Пример. Гироскопический измеритель угловой скорости (гиротахометр).

;cos zГ JМ

.

1

zГ JМ

для

С – коэфф. жесткости

; zJC

zy

z

zJ

C

Шкала размечена в единицах угловой скорости

Рассмотрим быстро вращающийся ротор, ось которого установлена в подшипниках.

QQ , гироскопические давления наподшипники.

угловая скоростьпринудительнойпрецессии.

МГ - гироскопическиймомент.

.МГ

0,5l0,5l

Q

Q`

Пример. Корабль испытывает килевуюкачку с амплитудой 90 и периодом 15 с. Ось ротора турбины // оси корабля.Масса ротора 200 кг, момент инерцииJ=128 кгм2, n=18000 об/мин;расстояние между подшипниками 1 м.

При этих условиях максимальныегироскопические давления наподшипники Q=16 кН. Это в 16 раз больше нагрузки от веса ротора.

Сравнение принципа Даламбера с общими теоремами динамики

Как следствие принципа Даламберадля механической системы полученыуравнения:

)2(.0

)1(,0иo

еko

иek

MFM

FF

ио

и МF , главный вектор и главныймомент сил инерциисоответственно.

В уравнения (1) и (2) не входят внутренние силы, так как главный

вектор и главный момент внутренних сил равны нулю.

Главный вектор сил инерции

; kkkkи Vm

dtd

amF

QVm kk Q количество движения системы.

(3).dtQd

F и

Главный момент сил инерции

;dtVd

mramrM kkkkkk

иo

;kkkk

kk Vmrdtd

dt

Vdmr

kkko VmrK

- кинетический момент системы.

.dtKd

M oиo (4)

)2(.0

)1(,0иo

еko

иek

MFM

FF

.dtQd

F и (3)

.dtKd

M oиo (4)

Подставим (3) в (1), (4) в (2), получим:

.

,

еko

o

еk

FMdtKd

FdtQd Теоремы об изменении

количества движенияи кинетического

момента.

Вывод: уравнения принципа Даламбера эквивалентны двум общим теоремам динамики.

Достоинство общих теорем – наличиеследствий (законов сохранения).

Общее уравнение динамики в обобщенных координатах

- общее уравнение динамики.

(Fk – mk ak) rk = 0

Вектор виртуального перемещения точки

s

ki

i

kk q

qr

r1

Перейдем к обобщенным координатам

;1 1

n

k

s

ii

i

kk q

q

rFA

Изменим порядок суммирования

.1 1

s

ii

n

k i

kk q

q

rFA

Введем обозначение

Аналогично

n

k i

kkk

ui q

ramQ

1

;

.,,2,1

,1

si

qr

FQn

k i

kki

Общее уравнение динамики в обобщенных координатах:

.,,2,1,0 siQQ uii

Число уравнений равно числустепеней свободы механической

системы.

Обоснование ур. Лагранжа

n

k i

kkk

и

i

и

ii

bqr

dtVd

mQ

asiQQ

1

)(

)(,,2,1,0

Имеем:Имеем:

)(cqr

dtd

Vmqr

Vmdtd

q

r

dt

Vdm

i

kkk

i

kkk

i

kkk

Докажем, что

)(,, dqV

qr

dtd

qr

qV

i

k

i

k

i

k

i

k

;,,,1 tqqrr skk

;t

rq

q

rq

q

r ks

s

ki

i

k

1

1

qq

r

td

rdV kk

k

i

k

i

k

q

r

q

V

;22

11

2

tq

rq

qq

r

qqq

r

q

r

dt

d

i

ks

si

k

i

k

i

k

1

1

2

qqq

r

q

V

i

k

i

k

;22

i

ks

is

k

qt

rq

qq

r

i

k

i

k

q

V

q

r

td

d

Сравниваем:

Подставим (d) в (с):

i

kkk

i

kkk

i

kkk

qV

VmqV

Vmdtd

qr

dtVd

m

:;,,2,1

222

222

nk

Vmq

Vmq

Vmqdt

d kk

i

kk

i

kk

i

n

k iii

kkk q

TqT

dtd

qr

dtVd

m1

siQqT

qT

dtd

i

ii

,,2,1,