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Álgebra CBC A-62 para Ingenieria (soluciones de ejercicios de las prácticas)

Práctica 6

Soluciones

Soluciones

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Respuesta: u y v so solucion del sistema S, z y w del Homogéneo S0

Respuesta: a = 2

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Respuestas:

a) Matriz escalonada en las filas Matriz escalonada en las filas reducida �100 210

1� ��1 27−9 � �100

010001 −37−9 �

b) Matriz escalonada en las filas Matriz escalonada en las filas reducida �100 210

120320

−11−2 � �100

010 −320−120 −31−2 �

Respuestas

a) con b = ( 1 , 2 ) Sol={( 1+5k , -4k , k ) con k ε R} Sistema Compatible Indeterminado

con b = ( 0 , 0 ) Sol={( 5k , -4k , k ) con k ε R} Sistema Compatible Indeterminado

b) con b = ( 3 , 1 , -1 ) Sol={( -1 , 2 , 0 )} Sistema Compatible Determinado

con b = ( 0 , 0 , 0 ) Sol={( 0 , 0 , 0 ) } Sistema Compatible Determinado

con b = ( 1 , 0 , 1 ) Sol={( 3/2 , 0 , ½ ) } Sistema Compatible Determinado

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Respuestas :

c) con b = ( 5 , 3 , 2 ) Sol={( 12/5-4/5k , -1/5+

2/5k , k ) con k ε R } S.C.Indeterminado

con b = ( -1 , 1 , 2 ) Sol={ vacio } Sistema Incompatible

con b = ( 0 , 0 , 0 ) Sol={( -4/5k , 2/5k , k ) con k ε R } S.C.Indeterminado

d) con b = ( 0 , 0 , 0 ) Sol={( 17/3 k , -3 k , 5/3k , k ) con k ε R } S.C.Indeterminado

con b = ( 1 , 0 , 0 ) Sol={( 1+17/3 k , -3 k , 5/3k , k ) con k ε R } S.C.Indeterminado

con b = ( 0 , 1 , 0 ) Sol={( -8/3 + 17/3 k , 1 -3 k , -2/3 + 5/3k , k ) con k ε R } S.C.Indeterminado

Respuestas:

a) Sol ={ 1 , 2 , -3 )}

b) Sol= {(x,y,z) = t . ( 1 , 2 , -3 ) con t ε R}

c) Sol= {(x,y,z) = ( 1 , 3 , --1 ) + t . ( 1 , 2 , -3 ) con t ε R}

Respuestas:

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a) Sol = {(x,y,z) = k (1,-3,3) con k ε R} y Sol = {(x,y,z) = t (0,2,0) con t ε R}

b) Sol = {(x,y,z) = (1,3,1) + t (0,2,0) + k (1,-3,3) con t y k ε R} o 3x-z=2

a) Una solucion puede ser: ( 3 , 2 , 3 ), otra solución puede ser ( 1 , 3 , 4 )

b) Recta Solución L: ( x , y , z ) = ( 2 , -1 , -1).t + (1,3,4) (puede haber otras expresiones para la misma recta).

Respuestas:

a) B= �1 −20 1 � b) No existe c) B = �. �−1 01 0� + �. �0 −10 1 �

d) � = �−6 − ��8 − ��−5 1 �

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Matriz Inversa Matriz Inversa

A |�| = 1 A-1 = A

�1 00 1� F |�| = 0 No existe F-1

B |�| = 9 �1 3� 00 1 3� � G | | = 2 �1 −1 2�0 1 2� �

C |!| = −1 C-1 = C

�1 20 −1� H |"| = −2 �−1 −1 2�0 1 2� �

D |#| = 0 NO existe D-1 G+H | + "| = 0 No existe (G+H)-1

E |$| = −4 G.H | . "| = −4 �−1 1 4�0 1 4� �

Respuesta: Si es solución.

Reemplazar en la expresión X por A-1 y luego pos-multiplicar por A ambos miembros …

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S1 junto a S2 (la intersección) forman un Sistema Compatible Determinado y como Además es Homogéneo,

entonces la única solución es la trivial, es decir (0,0,0,0)

Analizando los rangos de las matrices, el sistema a) es Compatible Indeterminado, tiene infinitas soluciones

además de la trivial, el sistema b) sólo tiene la solución trivial.

El sistema homogéneo tiene solución única para k distinto de -2, de1 y de-1

Para k = -4 o k= 0 el sistema es Sistema Compatible Indeterminado (tiene infinitas soluciones no triviales).

Respuesta: El sistema es Compatible (Indeternimado) para todas las ternas (a,b,c) tales que –a-2b+c=0

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Si k=-6 el sistema es Incompatible… Si k = -6 el sistema es compatible y la solución será de la forma:

(x1,x2,x3,x4) = (2,0,0,6) + r.(6,1,0,0) + t.(2,0,1,4) con r y t pertenecientes a los reales.

Respuestas: a) SistCompIndet si a=-6 y b=2, SistCompDeter si a≠-6 , SistIncompat si a=-6 y b ≠2

b) SistCompIndet si a≠-1 y a≠1 o si a=-1 y b = -2

Respuestas: a) SistCompIndet si a=-1 y b=0 o si a≠-1 y 3b+6a+6 = 0

Respuestas: para solucion única a≠2/3 y b=1

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Respuesta: para k≠1 y k≠-1

Respuesta: no hay valores de los parámetros a y b de manera que la solución sea una recta. La solucion es un

plano (1x+1y-1z=1) si a= 1 y b=-1, y si a≠1 el sistema es Compatible Determinado y hay una única solución.

Respuestas: S1:Punto, S2:Recta, S3:Recta, S4:todo el Plano R2, S5:Recta

Respuestas: S1:Punto, S2:Recta, S3:Recta, S4:Plano , S5:Plano, S6:Plano , S7:Plano

Respuestas: a) (si pertenece) (1,2)= 2*(2,3) + (-1)*(3,4) b) (si pertenece) (-1,½,2) = -½*(2,-1,-4)

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Respuestas: c) (si pertenece) (1,2,3)= 1*(-1,1,3) + 1*(2,1,0) d) (No pertenece)

Respuestas: e) (si pertenece) (-1,2,2)= 2*(1,2,3) + 1*(-3,-2,-4)+0*(0,4,5)

d) (si pertenece) (x,y,z) = z*(1,1,1)+(y-z)*(1,1,0)+(x-y)*(1,0,0)

Respuestas: a) S=<(3;2)> b) S=<(0,1,0)>

Respuestas: c) S=<(1,-2,0);( 0,3,1)> d) S=<(-7,4,1,0);(-1,1,0,1)>

Respuesta: c) S={(0,0)}, S es el vector nulo, Sub Espacio de dimension 0

Respuestas: a) S={ (x,y) ε R2 : y+3x=0} b) S={ (x1,x2,x3) ε R3 : x1+x2+x3=0}

Respuestas: c) S={ (x1,x2,x3) ε R3 : : x1-2x2+2x3=0} d) S={ (x1,x2,x3,x4) ε R4 : 2x3-x2=0 ; 2x4-2x1+2x2=0}

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Respuestas: a) y b) S esta incluido en T

Respuestas: c) S no esta incluido en T d) S esta incluido en T

Respuestas: e) S no esta incluido en T f) S esta incluido en T

Respuestas: a) El conjunto es LI b) El conjunto es LD

Respuestas: c) El conjunto es LD d) El conjunto es LD

Respuestas: e) El conjunto es LI f) El conjunto es LD

Respuestas: g) El conjunto es LD d) El conjunto es LI

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Respuestas: i) El conjunto es LD j) El conjunto es LI

Respuestas: a) El conjunto es base y la dim es 2 b) El conjunto No es base, la dim es 2

Respuestas: c) El conjunto es base y la dim es 3 d) Una base es {(1;3/2)}, la dim es 1

Respuestas: e) El conjunto es una recta, dim 1 y una base es {(-1,1,1)}

f) Una base es {(3,-1,1,0);(0,2,0,1)} , la dim es 2

Respuestas: a) Base de S∩T = {(2,1,-1)} su dimension es 1

b) Base de S∩T = {(2;-5/2,9/2)} su dimension es 1

En ambos casos puede haber otras soluciones

Respuestas: c) Base de S∩T = {(-2,1,-3)} su dimension es 1

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d) Base de S∩T = {(2,1,-1)} su dimension es 1

En ambos casos puede haber otras soluciones

Respuestas: e) Base de S∩T = {(1,0,1,-1)} su dimension es 1

En ambos casos puede haber otras soluciones

Ejercicios Surtidos

Respuestas: El vector dado es solución si a=3 y b=-1, para estos valores, solución general es:

(x1,x2,x3,x4) = (0,,-1,0,0) + α (1,1,1,0) + β (1,2,0,1)

Puede haber otras expresiones para la solucion

Respuestas: Solución de Ax=b es (x1,x2,x3) = (1,-1,0) + α (-2,-2,-1)

Solución que cumple la ecuación adicional (con α = -5) (11,9,5)

Respuestas: Solución k=-1

Recta (x1,x2,x3) = (2,0,-1) + α (0,1,-2)

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Respuestas: Solución a=-2

Respuestas: Solución Recta (x1,x2,x3) = α (-3,9,2)

Puede haber otras expresiones para la solucion

Respuestas: Solución a= ½ y b = 1

Recta (x1,x2,x3,x4) = ( -6 + 6 k ; 5 - 3 k ; 14 – 12 k ; k)

Puede haber otras expresiones para la solucion

Respuestas: Solución a= 2

Recta (x,y) = ( 1/7 ; 9/7 )

Puede haber otras expresiones para la solucion

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Respuestas: Solución k= -1

Respuestas: Solución a) NO b) NO, c) SI, d) NO

Respuestas: Base de S = {(1,1,0),(0,2,1)} Base de T = {(1,2,1),(2,-1,-2)}

Base de S ∩ T = {(3,1,-1)}

Base de R3 = {(1,1,0),(3,1,-1),(1,2,1)}