Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de...

Dos problemas fundamentales de la geometría analítica

Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación

Intersección con los ejes Simetría Extensión de la curva Asíntotas Construcción de curvas

En este capítulo haremos un estudio preliminar

de dos problemas fundamentales de la

Geometría Analítica.

I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;

es decir, construir la gráfica correspondiente .

II. Dada una figura geométrica, o la condición que

deben cumplir los puntos de la misma, determinar

su ecuación.

Dada una ecuación,

interpretarla geométricame

nte

Dada un figura geométrica,

determinar su ecuación

Supongamos que se nos da una ecuación de dos variables,

e que podemos escribir en la forma

, =0

En general, hay un número infinito de pares de valores de

e que satisfacen esta ecuación. Cada uno

x y

f x y

x y de tales pares

de valores reales se toma como las coordenadas ( , ) de

un punto en el plano.

x y

Definición 1: El conjunto de los puntos,

y solamente de aquellos puntos, cuyas

coordenadas s

gráfica de la e

atisfagan una ecuación

, =0

se llama o,

bien, su

cuación

lugar geométr co .i

f x y

Definición 2: Cualquier punto cuyas

coordenadas satisfacen la ecuación

, =0

pertenece a la gráfica de la ecuación.

f x y

En Álgebra se estudia el trazado de gráficas del tipo

, =0

El procedimiento consiste en trazar un cierto número

de puntos y dibujar una linea continua que pase por

todos ellos, tal como mostramos en las

f x y

transparencias

anteriores.

Definición: El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se llama gráfica de la ecuación ó lugar geométrico.

Se necesitaPlano

cartesiano

Ecuación

Pares ordenados de puntos

Lugar geométrico ó gráfica de la

ecuación

Al menos una de las variables debe de estar en

función de otra

y F x yxyx /,

El conjunto solución de la

ecuación, formado por los

puntos ordenados, debe

pertenecer al conjunto de los números reales

¿Qué figura geométrica

representa la ecuación

2 3 0?x y

2 3 0x y

Esta ecuación está en la forma implícita:

, 0F x y

Debemos ponerla en forma explícita

despejando alguna de las variables.

Elegimos despejar , y tenemos 2 3

y f x

y y x

2 3y x

x y0 -3

2 3y x

x y0 -31 -1

2 3y x

x y0 -31 -1-1 -5

2 3y x x y0 -31 -1-1 -52 1

2 3y x

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -7

2 3y x

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3

2 3y x

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -9

2 3y x

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5

2 3y x

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5-4 -11

2 3y x

Intersección con los

ejes

Construcción de la

curva

Extensión de la curva

Asíntotas

Simetría

Cálculo de

coordenadas

La intersección de la curva con el eje ,

es la abscisa del punto de intersección

de la curva con el eje.

La abscisa al origen es ,0

X

f x

Para encontrar la intersección con el eje X: Se hace y = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante

Hacemos 0

La ecuación que resulta es 2 3 0

La resolvemo

La curva intersecta al eje en la

a

s

bs

3 /

ci

2

sa 3 / 2

X

x

y

x

x

2 3 0x y

2 3y x 3

,02

La intersección de la curva con el eje ,

es la ordenada del punto de intersección

de la curva con el eje.

La ordenada al origen es 0,

Y

f y

Para encontrar la intersección con el eje Y: Se hace x = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante

Hacemos 0

La ecuación que resulta es 3 0

La resolvem

La curva intersecta al eje en la

ordenad

3

a 3

os

x

y

y

Y

y

2 3 0x y

2 3y x

0, 3

El segundo punto a considerar, en

relación con la discusión de una

ecuación, es la simetría de la curva

que representa, con respecto a los

ejes coordenados y con respecto a1

origen.

Se dice que dos puntos son simétricos con

respecto a una recta si la recta es

perpendicular al segmento que los une en

su punto medio.

l

A B

La recta con respecto a la cual

son simétricos los dos puntos se

ll eje de simetama ría.

Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la

recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.

l

A B

En la figura, los dos puntos y

son simétricos con respecto a1

eje de simetría si la recta es

perpendicular a1 segmento

en su punto medio.

A B

l l

AB��������������

Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la

recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.

l

A B

Se dice que dos puntos son simétricos a un punto O, si O es el punto medio del segmento que los une.

El punto O se llama centro de simetría.

A BO

El punto O se llama centro de simetría.

A BO

Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,

si es el punto medio del segmento que los une.

O

O

A BO

Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,

si es el punto medio del segmento que los une.

El punto O se llama centro de simetría.

O

O

En la figura los dos puntos y son simétricos

con respecto a1 centro de simetría siempre

que sea el punto medio del segmento .

A B

O

O AB��������������

Se dice que una curva es simétrica con respecto a un eje de simetría cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que estos dos puntos son simétricos respecto al eje.

y

xO

P(x, y)

P’(a, b)

M(x, 0)

24 9 36y x

Se dice que una curva es simétrica con respecto a un centro de simetría O, cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que dos puntos son simétricos respecto a O.

2 29 4 36x y

Todas las definiciones anteriores son

puramente geométricas .

Ahora interpretaremos estas definiciones

analiticamente, usando los ejes coordenados

como ejes de simetria y el origen como

centro de simetria.

Sea , un punto cualquiera de una curva.

Si esta curva es simétrica con respecto al eje , de la

definición 3 se deduce

que debe haber otro punto

' , sobre la curva,

tal que el segmento '

queda bise

P x y

X

P a b

PP

ctado

perpendicularmente por

el eje .X

Sea el punto medio de ';

sus coordenadas son,

evidentemente, ( ,0).

M PP

x

Entonces, por las fórmulas del punto medio

dadas en el corolario del teorema 3,

artículo 7, tenemos

y 02 2

de donde, trivialmente,

y

a x y bx

a x b y

Sea el punto medio de '; sus coordenadas son ( ,0)M PP x

Por tanto, las coordenadas de ' son ,P x y

Pero como ' está sobre la curva se deduce

que sus coordenadas deben de satisfacer la

ecuación de la curva. Es decir , una ecuación

, 0 que sí se satisface para las

coordenadas , de se satisface ta

P

f x y

x y P

mbien

para las coordenadas , de ', siempre

que la curva sea simetrica respecto a1 eje .

x y P

X

Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplazada por –y, la curva es simétrica respecto al eje X.

El recíproco también es verdadero

x y y0.0 0.0 0.01.0 1.0 -1.02.0 1.4 -1.43.0 1.7 -1.74.0 2.0 -2.05.0 2.2 -2.26.0 2.4 -2.47.0 2.6 -2.68.0 2.8 -2.89.0 3.0 -3.010.0 3.2 -3.211.0 3.3 -3.312.0 3.5 -3.513.0 3.6 -3.614.0 3.7 -3.715.0 3.9 -3.916.0 4.0 -4.017.0 4.1 -4.118.0 4.2 -4.219.0 4.4 -4.420.0 4.5 -4.5

2y x

Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazada por –x, la curva es simétrica respecto al eje Y.

x y-10 100-9 81-8 64-7 49-6 36-5 25-4 16-3 9-2 4-1 10 01 12 43 94 165 256 367 498 649 8110 10011 121

2y x

3) Si la ecuación de una curva no se altera cuando las variables x y y son reemplazadas por –x y –y, la curva es simétrica respecto al origen O.

x y-10 -1000-9 -729-8 -512-7 -343-6 -216-5 -125-4 -64-3 -27-2 -8-1 -10 01 12 83 274 645 1256 2167 3438 5129 72910 100011 1331

3y x

NOTA. Si comparamos los teoremas 1, 2 y 3

veremos que, si una curva es simétrica con

respecto a ambos ejes coordenados, es también

simétrica con respecto al origen.

Pero el reciproco no es necesariamente verdadero.

Por ejemplo, la curva cuya ecuación es 1

es simétrica con respecto a1 origen, pero no es

simétrica con respecto a ninguno de los ejes

coordenados.

xy

La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y son valores reales.

Es útil porque:

da la localización general de la curva en el plano e

indica si la curva es cerrada o si es de extensión indefinida.

La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y

Los intervalos para los cuales los valores de x e y son reales se determinan resolviendo la ecuación dada para y en términos de x, y para x en términos de y

2 29 4 36x y

2 29 4 36x y

2 2

2 2

2 2 2

2

9 4 36

4 36 9

9 99 4

4 43

42

Por tanto, 2,2

x y

x

y x

y x x

y x

2 29 4 36 2,2x y x

2 29 4 36x y

2 2

2 2

2 2 2

2

9 4 36

9 36 4

4 44 9

9 92

93

Por tanto, 3,3

x y

y

x y

x y y

x y

2 29 4 36 3,3x y y

2 3 0y x

2 3

3

0

Por t

0

anto

y x

y

x

x

2 3 0y x

2 3

23

0

Por tan o

t

x

y

y x

y

R

2 3 0y x

Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva.

Esta definición implica dos cosas :1)una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión finita, sino que se extiende indefinidamente2)una curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende más y más en el plano coordenado

Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares . Si es paralela o coincide con el eje X, se llama asíntota horizontal.Si es paralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical.Si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, asíntota oblicua.

Aquí consideraremos solamente la determinación de asíntotas verticales y horizontales.Posteriormente veremos la determinación de asíntotas oblicuas para una curva particular conocida con el nombre de hipérbola.

Se debe tener presente que una curva no tiene necesariamente una o más asíntotas. Hay muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin embargo , si una curva tiene asíntotas, su determinaciónserá , como veremos , una gran ayuda para construir su gráfica.

En el capitulo siguiente haremos un estudio

detallado de la ecuación general de la recta.

Pero ahora tenemos necesidad de saber

hallar ecuaciones de asíntotas verticales y

horizontales.

Sea una recta cualquiera

paralela a1 eje y que dista

unidades del eje. Todo punto

de , cualquiera que sea el valor

de su ordenada , tiene una

abscisa igual a .

Las coordenadas de todos los

puntos de

l

Y

k

l

k

satisfacen , por tanto,

la ecuación .

l

x k

Recíprocamente, cualquier punto

cuyas coordenadas satisfacen esta

ecuación es un punto cuya abscisa

es y situado, por tanto, a una

distancia de unidades del eje ,

y, en consecuencia , está sobre

la rec

k

k Y

ta .l

La ecuación de una recta

paralela al eje es:

donde es la distancia

de la recta al eje .

x

k

k

Y

Y

La ecuación de una recta

paralela al eje es:

donde es la distancia

de la recta al eje .

y

k

k

X

X

Vimos que se puede determinar la extensión

de una curva despejando en función de

y en función de . Para obtener las asintotas

verticales y horizontales, usaremos estas

mismas ecuaciones en las que

y x

x y

aparecen

despejadas las variables.

Para obtener las ecuaciones de las

asíntotas verticales, resuelvase la

ecuación dada para en función

de e igualese a cero cada uno de

los factores lineales del denominador;

estas son las ecuaciones bus

y

x

cadas.

Análogamente, para obtener las ecuaciones

de las asíntotas horizontales, resuelvase la

ecuación dada para en funcion de e

igualese a cero cada uno de los factores

lineales del denominador.

x y

Encontrar las asíntotas de la

gráfica de la ecuación

1 0xy y

Encontrar las asíntotas de la gráfica

de la ecuación 1 0xy y

1) Despejar en función de

1 0

1

1 1

1

1

y x

xy y

xy y

y x

yx

Encontrar las asíntotas de la gráfica

1de la ecuación 1 0 ó

1xy y y

x

2) Hacemos cero los factores lineales

del denominador; es decir,

1 0

ó sea que la asíntota tiene como ecuación:

1

x

x

Encontrar las asíntotas de la gráfica

de la ecuación 1 0xy y

1) Despejar en función de

1 0

1

1

x y

xy y

xy y

yx

y

Encontrar las asíntotas de la gráfica

1de la ecuación 1 0 ó

1xy y y

x

2) Hacemos cero los factores lineales

del denominador

0

ó sea que la asíntota tiene como ecuaci

0

ón:

y

y

1x

0y

2

2

Encontrar las asíntotas de la

gráfica de la ecuación

1

xy

x

2

2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación

1

xy

x

2

2

2 2

2

1) Despejar en función de

Ya está despejada, entonces tenemos 1

pero debemos escribir el denominador como

factores lineales. Es fácil, factorizando; tenemos

1 1 1

y x

xy

x

x xy

x x x

2) Hacemos cero los factores lineales

del denominador; es decir,

1 0 y 1 0

ó sea que tenemos dos asíntotas verticale

1 1

s:

y x

x

x

x

2 2

2

Encontrar las asíntotas de la gráfica

de la ecuación 1 1 1

x xy

x x x

2) Hacemos cero los factores lineales

del denominador; es decir,

1 0 y 1 0

ó sea que tenemos dos asíntotas verticale

1 1

s:

y x

x

x

x

2 2

2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación

1 1 1

x xy

x x x

2

2

2 2

2 2

2

1) Despejar en función de

1

1

0

1 0

x y

xy

x

y x x

yx x y

y x y

2

2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación

1

xy

x

2

2

1) Despejar en función de

1 0

0 0 4 1 4 1 2 1

2 1 2 1 2 1

1

1

x y

y x y

y y y y y yx

y y y

y yx

y

2

2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación

1

xy

x

Encontrar las asíntotas de la gráfica

1de la ecuación 1 0 ó

1xy y y

x

2) Hacemos cero los factores lineales

del denominador

1 0

ó sea que la asíntota tiene como ecuación

1

:

y

y

2

2 1

xy

x

2

2 1

xy

x

1

1

1

x

x

y

Una curva puede tener más de una

asintota vertical u horizontal.

Asi, la curva cuya ecuación es

1

1 2

tiene dos asintotas verticales,

1 y 2.

yx x

x x