View
213
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology
No. 1FEM
有限要素法Finite Element Method (FEM)
Takuichi Hirano (RA)Ando & Hirokawa lab.
June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology
No. 2FEM
History
写真提供: http://www.boeing.com/
1955-1956
ボーイング
1980
M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, and J. L. Topp,“Stiffness and deflection analysis of complex structures”, Journal of Aeronautical Sciences, vol. 23, pp. 805-824, 1956
M. V. K. Chari and P. P. Silvester,“Finite Elements in Electrical and Magnetic Field Problems”,John Wiley & Sons, 1980
航空
電気
土木・建築・流体
June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology
No. 3FEM
Functional and Variational Principle
020
2 =+−
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂ φφβφφ qkp
yp
yxp
x
∫∫∫ ΓΩΓ
−−
−+
∂∂
+
∂∂
=v
dwvdxdyqkpy
px
pF 2220
2222
221)( φφφφβφφφ
微分方程式(Differential Eq.)を解く
汎関数(Functional)の停留点を求める
0=Fδ
),(),(1
yxayx n
N
nnφφ ∑
=
=
F
iaja
φ→
数値計算 [2] 1. 放物型(陽解法, Crank-Nicolson法)2. 双曲型(差分法)3. 楕円型(差分近似, 反復法[Jacobi法, Gauss-Seidel法, 逐次加速緩和法, ADI法]
変分原理
),,1(0 NiaF
i
L==∂∂
φ
yx,
φ を少し変化させて となる φ : (1)の解
(1)
(2)
Ω
Γ
固有値問題
(3)
Equivalent [1]
波源あり → 連立一次方程式波源なし → 固有値問題
June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology
No. 4FEM
Point
微分方程式を解くことと停留問題を解くことは同値有限要素法では停留問題を解く微分方程式を解くことを止めて停留問題を解く ことにしたので数値的に安定
ただし、一般の微分方程式に対して汎関数 があるとは限らない(損失があるときなど) →重み付け残差法(ガラーキン法)が用いられる ヘルムホルツの方程式を平均の意味で満たすようにする。
汎関数がある問題に対しては汎関数の変分と全く等価。
June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology
No. 5FEM
12
3
Basis Functions
12
3
12
3
12
3
全域基底関数(レイリー・リッツの方法)
局所基底関数(有限要素法)
June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology
No. 6FEM
12
3
Nodal-based and Edge-based
12
3
12
3
12
3
Nodal-based(Potential)
Edge-based [3](Field)
June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology
No. 7FEM
Matrix Form
∫∫∫ ΓΩΓ
−−
−+
∂∂
+
∂∂
=v
dwvdxdyqkpy
px
pF 2220
2222
221)( φφφφβφφφ
∑∑= =
=eN
e
N
n
en
en yxayx
1 1),(),( φφ
ただし、同じ頂点となるポテンシャルの未知数は一致する
上のFの式に展開式を代入するとaの二次式となる。Fのam*anの項はmとnが同じ要素を構成するポテンシャルのときだけ値を持つ。
なぜならば局所関数を使っていてその要素の外だと0となるからである。
∑ ∑= +=
=N
m
N
mnnmmn aaFF
1 1)(φ ( aの二次式となる)
1a11a 1
2a13a
21a
22a
23a
31a
32a
33a
132
21
13 aaaa ===
June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology
No. 8FEM
Element Matrix and System Matrix
21a 2
2a
23a
23a
5a
11a
11
5
3
222
223
221
232
233
231
212
213
211
a
a
a
SSS
SSS
SSS
3 5 11
3
11
5
3/ aF ∂∂
5/ aF ∂∂
11/ aF ∂∂
23
22
21
233
232
231
223
222
221
213
212
211
aaa
SSSSSSSSS2
1/ aF ∂∂22/ aF ∂∂23/ aF ∂∂
add
June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology
No. 9FEM
Boundary Condition
ディリクレ条件 a=φ
bn=
∂∂φ
cn
ba =∂∂
+φφ
ノイマン条件
混合境界条件
吸収境界条件 エネルギーが戻ってこない
a=φφ
φb
n=
∂∂φ
周期境界条件 フィールドが周期関数となる
June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology
No. 10FEM
Example: Rectangular Waveguide (TE mode)
Mode1 Mode2
Mode3 Mode4
(1,0): 2.58
(0,1): 5.15
(2,0): 5.16
(1,1): 5.76
Mode1: 2.58
Mode2: 5.13
Mode3: 5.30
Mode4: 5.92
fcu (GHz)FEMAnalytic
June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology
No. 12FEM
HFSS
High Frequency Structure SimulatorAnsoftEdge-based basis functions
June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology
No. 14FEM
HFSS (Freq. Char. Of S11)
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
3.3 3.7 4.1 4.5 4.9
Frequency [GHz]
¦S11
¦ [dB
]
MoM/FEM
HFSS
Experiment
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
3.3 3.7 4.1 4.5 4.9
Frequency [GHz]
arg
(S11)
[de
g]
MoM/FEM
HFSS
Experiment
HFSSは合うこともあるが、
市販ソフトを過信してはならない
June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology
No. 15FEM
References
[1] 小柴正則、「高周波電磁界における有限要素法の基礎と実用例」、2002年4月26日(金)、アンテナ・伝搬における設計解析手法ワークショップ(第22回)
[2] 杉江日出澄 et al、「FORTRAN77による数値計算法」、培風館[3] J. L. Volakis, A. Chatterjee, L. C. Kempel, “Finite Element Method for Electromagnetics”,
IEEE Press, New York, 1998[4] 加川幸雄、「電気・電子のための 有限要素法入門」、オーム社[5] 加川幸雄、「電気・電子のための 有限要素法の実際」、オーム社
Recommended