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Cartesian Product of sets and Relations

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pbÓýÈÛa@ë@pbÇìàvàÜÛ@ïm‰bØí†Ûa@lŠšÛa@ @Cartesian product of sets and Relations

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I3M2HÛakmŠ½a@xëŒ@@@ Binary �A��;B������^7ل�د�א&BC4�����$&�א�B�&� �H��GB�א��BOא�; �G-Bא�K�����&B���B[�K��B-50;��NBK=

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y��،F�A��BB�&0���& BBC;�`�א�x, y�$%�&���BBא BBC;�`�א��BB;e�+�BB+�א�A���BBdא ;BBC��KE

81

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

��fBBذ���BB�Kد�א�ول����BB 3�E����BBb��BBא��BBد��BB�Fم��;��BB-50א��x�����BB ��$K&BB5د�א��BBوא����BBbyGBBh�، �K������BBb�+אز�BB��iBB^�GBB���fBBذ���BB����BB4א���BB[�4א��BB�y����BB5j�SBBم� 3����BBb��BBא��BBد����BB���BB4א���BB[�4א�x����BB5j�SBBو^BB^k�iBB���BBאز+��x�����BBbא��א6 ��2����bא��د�����;��ن��A��B��mP&B�%��[�KאB��aB[l$�א���B[�4א�y��������SBא��א6

���BBB[�4א���BB5jp�F���BBBD�BBBJK=F1� J3�KEو��o)BB��&BBBpK��BBB5j�SBBBא���BBB[�4ن�א�=�qBBBO7)2,3( ��5j�Sא��4]��א��$��rC-�)3,2(K

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),(5j�A�s�NK-��א���KY�[�4ل����0�ً& yx �����iB^�GB���$%�&Bد���`�;BC��H�&ً-K&-����b�+אز��yد��� ��4�x�F������Bb��Bא��4]��א���5j�Sא����Bو^]B^k�&ًB���x�E�،א��א6���BBb�+אز�BB�xد����BB ��BB4�y�F����BBb��BBא���BB[�4א���BB5j�SBBא����BB�-;�y�E�mP&BBא��א6

),(�Hא���BB[�4א���BB5j�SBBא����BB[�4אBB[l&ن yx�K&BB4��FBBVKد��و�BB��tYx���0BBC=ن�א��tא�و��BB)u אFא�ول�$hא�BBOUא�E�BB[�4 �),( yx د��BB�-BB04&�א�y���BB)u &���0BBC�

���BB-K&5א�F�$K&BBB5א��$hא�BBOUא�E��BB[�4 �),( yx�K��BBBJO7��mBB����j�SBBא���BB[�4ن�א�=��BBB5),( yx �$��rC-�Fم&��Nv���E�5j�Sא��4]��א��w�K),( xy�K�FVKد�=ن��K�&0u

),(�tY=ن�א��4]� yx x%�زوج��G�9&�����Nv&م�א- ��o [�K� ��m-[;CK��0&/�وyא�4&>��� ��o�&BCא��z,{א�H�&9-�Y�&KD=�Sא�4;&3\�א��G-B0%�،

Y�NBBK=��BB4ذא�BBu&ن��|x, y�BB�4������BBB0>�H�AA�$3&BB45ن�א�_BB��،),( yx ��0BBC�BBBBBBvزو&ً�BBBBBB)%�&ً�����H���BBBBBB-Oو��BBBBBB[�4��&ًBBBBBB-K&-��NBBBBBB -5j�ABBBBBB�sא و�`�;BBBBBBBCא��$BBBBBBB%�&���

F+,-%�&א��E���b�+אز���i^�G�����4�xא���B[�4א���B5j�SBא�BB�4��������K�}-Oyم�

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~i^و����b�+אز���^kx�4��4א���B�4�-;�&�mPאl]&ن���y��،��4]��א���5j�Sא��5j�Sא��4]��א�),( yxK� �

rBBBBBBK&uذא�Y�NBBBBBBK��),(و��BBBBBBB��NBBBBBBv&م��m-[;BBBBBBBCKא���BBBBBBBل� BA�;��BBBBBBB0>aن�&BBBBBBuو�BbAa ∈∈ ,��$BBB3&45ن�א�_BB��،),( ba �BBv0��زوBBBBC�&ً��BB)%�&ً�� BBB-5j�ABBB�sو�&ًBBBB-K&-��N

��������BB0yא�BB<&4���BB-5j�NB-��G;��$B%�&د���`�;BC��H���B-O�4]��و�A������Bdא��B ��$BBא���F���BBBbx�E���BB��0yא�BBB<&4و�B����$BBB� BB��א���BBdא�=�F���BBBbyE��BB3�4و��،

�������BBb�+אز�BB��iBB^�GBBB���BBB^kx���BB4���BBאز+�������BBbو^��BB4�a�~iBBא��BB�Ky����BB[�4م�),(א��4]��א���5j�Sא�,وج�א %�mP&B�;-���xBאl]&ن��b��4א��4]�� ba�Kد����BKא�و�B�

),(),(א�NBBK=�tY���&BBBDU��ABBא���9BBBC���BBJO7=ن abba BB��و�NBBvא��BBB0م ≠��K�ABB��&4�%�m-[;CKG����x% وج�א, �Wא�;���א�;&�$�� �

:I3M1Hتعريف�BBBBBBBBK&uذא�YrYX ,�;��BBBBBBBB0>a��،ن&BBBBBBBBuوYyXx ∈∈ ,���$3&BBBBBBBB45ن�א�_BBBBBBBB��،

),( yx v0��زوC�&ً�)%�&ً�$%�&د���`�;C��H���-O�4]��و��&ً-K&-��� -5j�A�sوK� � �H�N�C;�`�د��&�%$،� -5j��B-�-uو�x% א�,وج�א���%�A��%cא�qO7KW� �

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)1 (x)(y,y)(x,yx =⇔=

)2 ()y,(x)y,(x)yxy(x 22112211 =⇔=∧=.

I3M3H@@@pbÇìàvàÜÛ@óm‰bØí†Ûa@lŠšÛa Cartesian product of Sets

@ÑíŠÈmI3M2H@ @rK&uذא�YYX ,�;��0>a}-O�،�YyXx ∈∈ ,�����AB���BK�� א��B��0yن�א_��،

����BBא����BB ��SBBא���BB)% א�زوאج�א�mBB-�),( yx��'BB(א���BB��0>��0BBC%Fzא�BB{א�E�a;��010 �&��,��X, Yא����&�%$���&Q�,�و�YX �=+�=ن�،× �

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:حظاتمال

F1�ErBBBK&uذא�YYX =����BBB ��&BBB9;�&;u�ABBB�s�$BBBB%�&א�����'BBB(א�����BBBB0>ن�_BBB��،�Wא����� �

2XXXYX =×=×� � 2X ����B010=+�=ن� ��$B%�&'�א����א�)����B0>�A���%X�&9BBC�K�HK� �

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F2�ErK&uذא�YRYX ˆ==�،�}-OR̂�����0>ن��-�-���אد�א�א�_���،>$B%�&'�א����א�)����BB0���W� �

2ˆˆˆ RRRYX =×=× Sوא���Oא��H�&ً- -B��%�N;BB����5jא BC;�`�א����&�%$�א و��وא��+��B4��o)B&�د�א

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Y�}-Oنو),(),( xyyx ≠ � �����9Cא���ل���A�s�NK_��،�0م ��و�Nvא��� �XYYX ×≠×

I3M3M1H@lŠšÛa@Ýîr·Iõa†¦a@Hïm‰bØí†Ûa

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��$%�&���BBBא��'BBB(א���BBB��0>��BBB-5j�ABBB�sوYX × ��$%�&BBBد���`�;BBBC��H�&ًBBB-K&-��،����B��0yא�B<&4���-50;��fوذ�X�����$Bא������Bdא��B ��،����B��0yא�B<&4و�Y����B �

�BBdא�$BB��;��BBu��BB-50زوج��%�xBB�BB<&4��ABB�א�������BB��0y،���א�=�fBBذ���BB��BB�K�GBBhم�YX × �`�;BBBBC א�א�BBBB��H�،��'BBBB(א���BBBB��0>��BBBB5j�SBBBBא��i�4BBBBא���BBBB ���BBBB��4�

YXא����&�%$� ×�K��$%�&���B'�א�5-��<����0א�)j��-�-u�$�&;א 5&ل�א��Z@و��&ً-K&-�K� �

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{ }b)(3,a),(3,b),(2,a),(2,b),(1,a),(1,YX =× ���D�Z@و��F3� J2�E�$%�&א�����'(����0א�y�$K&-)א�;50-��א�YX ×�K� �

)2- 3(شكل

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���D�a)و�F3� J3�E�$%�&'�א��������0א�)y�$09Cא��i[M אXY ×K� �

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��������-5BBBB0;א��tY���&BBBB@U&��a;��BBBB0y�$%�&���BBBא��'BBB(א�����BBBB0>��-5BBBB0;��`BBB^=��&ً�%א�(-&BK$�א��+�א}�و�$�و�&BB��N��&BB4@�Kض�وא���B��$�BB;�K���BBB����BO��B��AB[����و

$09Cא��i[M א����P��0BC%�Sق�وא�B[א��K� �

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&ً5�&h�Wא����B-B5B0B;$09א�C::

���BBB-B5B0B;Bא��ABBB�ع��BBB4Bא�א��BBB��$BBB�����a;��BBBB0yא�ABB���BBu��-5BBBjX, Y���+BB3دא���BBBV�F&B0u����Bل��&�BBD=�H���Beن�&uA�E��������G9BB�%�@�mBدא^ BB<&4��NB�אB��GBh����BB0yج�=

������BBB0yא�B<&4��m-BBB��AB�X�������BBB0yא�BB<&4��m-BBB���B���BBB91;�Y�K�ZBB@و������BBBDF3� J4�E���$%�&���BBBא��'BB(א�����BBBB0y�$09BBBCא��iBBB[M אYX × �H��4-BBBB) א�F3�B5&ل� J2�Eo�&BCא�K� �

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@—öb–�@œÈipbÇìàvàÜÛ@ïm‰bØí†Ûa@lŠšÛa@òîÜàÇZ@@ @@ @

)1 (C)(AB)(AC)(BA ×∪×=∪×

)2 (C)(AB)(AC)(BA ×∩×=∩×

YB,XAإذا كانت ) 3( YXBAفإن ⊃⊃ ×⊂×

F4�E����B0yא�rK&uذא�YX��� ��+�;�n�����B0yوא�4&> ���Y��Aא���+�;�m�A����،B<&4 ��a;��B010ن�7ًu_א���$B%�&'�א����א�)����B0>�A�X, Y�

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Y . XXYYX =×=×� �

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���������������������} 2 ,1{=B���, } , ,{ cbaA =� ���vو��BA ×���،AB ×� �

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&ً-K&-�����D�����&0u���%�&'�א����5-��א�)j�A�sF3� J6KE� �

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� �0���& �i[Mא��qO7K&0u�،�09C����Aא�א 5&ل�=نC��&�א���W� �

��� �)()( ABBA ×≠×K� �

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I3M4H@@@òîöbärÛa@pbÓýÈÛa Binary Relations@ @���������mBBBB-@א���GBBB�=�ABBB�ًא��BBBOوא�BBBB�א��mBBB6وא�H��BBBB��+�BBB3-��א�&BBBB45א��/&BBB67��@�BBBBع�א�

� א ; ���BB@������B&/�א��&@B-��א א��������G9���ABא��&@-B&/�א�BC%�S&���א��א�س���/&��0yא������א&94-��/&67و���א�(�4د�א�;&�-���44&����6א�א �@�ع����K��z�BVوא�

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I3M4M1HâìèÐß@òÓýÈÛa@@ò�îöbärÛa Concept of Binary Relations @@@ rK&uذא�YYX �_ن�=+�<��-3,v����B0�O����0>�A&>��א�)'�<��0;&ن�،��,

�$%�&���BBBא�YX × ��BBB67���0BBBC%��BBB-3&4h��BBB��0yא�ABBB�X���BBB��0yא�tYY�Kذא�_BBB��,��&���67 ��&K,��R��,���fذ��A��F)�&�����،��_�A�s�NKא�;�&ًW� �

YXR →:K� �

�}-OYXR ×⊂.� �

: مالحظات

YXإذا كانت )1( Xعالقة معرفة على المجموعة Rن إ، فإننا نقول =XXRونرمز لها بالرمز →:.

F2E �rK&uذא�YRYX ��<R� 7���0C%����0،��_ن��==ˆ�������6

�&��,�E=و��&^;�&���R̂K�F�-�-�O��67א���אد�א��-�-��&Q�,�KوW� �

���������������������������������������������������RRR ˆˆ: →�� �F3E ن�&BBuذא�YRba ∈),(��xBB;�K�&BBB4K_��،aRb�Kو����ABB�s�NBBK=��BB��fBBذ���BB �

�67���א�&BB;uYXR ��א������ :→�:

������������������������������������{ }y x , Yy , X x:y)(x, RR ∈∈=K� � �}-OوY�������B ��+�B;�����BB0>�&4��Bن��&Buذא�Y�NK=�&ً��&B��&4-���6�&4Kn����B<&4��ABא�

���v�BBB��NBBK_�n2 ������;BBBCKن�cא�&BB4K_��،���BBB0yא�]�BB��ABB���BB-3,{א�/&��BBB0yא�ABB��m-[�rK&uذא�Y�NK�� ���Xא���Bل���+�;�����B0>n��rK&uو�B<&4<Y ����B0��Aא�

�� ��+�;�m�����B0yא�A��&Bد�&�Y�A�s�S67&/�א��X��Aא�B<&4،��_ن���د�א�

����B0yא�tYY��+و&BBC�nm2�K���������B67��+=��B-5j�AB�s�NBK=�tY���&BBDUد�א�BKא�و�B�R��&ًBBB-K&-���9BBBBCא��iBBB[M אم�א�M;BBBB�&��/&��BBBB0>��BBBB-5j��BBB4����BBBe�&BBB0u�&ًBBB�&j�$0

����tY�$B0;4%�SBא��BB<&4 ��א����B-50;א��ن���;�=�����Oق�وא�&��א�)'�א����&�%$���67�R��i��Kא� �

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@ÞbrßI3M4H@ @rK&uذא�Y}4,3,2,1{=X��،�}4,2{=Y ������B5j��B-%cא�/&B��0yא�AB��+=�a��،

����0yא�A���67�X�����0yא�tYY��67���5s���&9�=؟و�x)Cא��uذ�m�K� �

}) أ ( })2,3(),4,2(),2,1(1 =R

}) ب( })4,4(),2,2(2 =R

}) ج( })4,3(),3,2(),2,1(3 =R

�א�� ���a;��010 �_�&د�<����0א�)'�א����&�%$��X, Y�� ������ �

{ }(4,4)(4,2),(3,4),(3,2),(2,4),(2,2),(1,4),(1,2),YX =×� ��Wو�����Gh�A=ن �

�F�=�E�}-OY���0yא�B<&4��m-1ن��R �$%�&'�א����א�)����B0>�tY�$0;4%YX ×،� �

�f���� �{ })2,3(),4,2(),2,1(1 =R� �

����0yא�A���67��$�X�����0yא�tYYK� �

F'�E����0yא�B<&4��m-2R �$%�&'�א����א�)����B0>�tY�$0;4%YX ×،� �

لذلك

{ })4,4(),2,2(2 =R ����0yא�A���67��$�X�����0yא�tYYK� �

Fج�E�}-OYB�4YXن�א� ×∉)3,2(����B0yن�א_��،

{ })4,3(),3,2(),2,1(3 =R� �rC-�������0yא�A���67X�����0yא�tYYK� �

� �� �

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@ÞbrßI3@M5H@ @rBBK&uذא�Y}4,3,2,1{=X���،}8,7,4,2{=Y ، 7ًBBu��BBvو����/&BB67��ABBא�

fذ��A��=�&0 u�&9 -5j�m���-%cאK� �

}) أ ( }yxY,yX,x:y)(x,1 =∈∈=R

}) ب( }b1aX,ba,:b)(a,2 ≤+∈=R

}) ج( }5βαY,β,α:β),(3 =+∈= αR

�א�� �

��a;��010 �_�&د�<��0&/�א�)'�א����&�%$��X, Y�� �����W� �(3,4),(3,2),(2,8),(2,7),(2,4),(2,2),(1,8),(1,7),(1,4),(1,2),{YX =×

(4,8)}(4,7),(4,4),(4,2),(3,8),(3,7), , (3,2),(3,1),(2,4),(2,3),(2,2),(2,1),(1,4),(1,3),(1,2),(1,1),{XX =×

(4,4)}(4,3),(4,2),(4,1),(3,4),(3,3), , (7,4),(7,2),(4,8),(4,7),(4,4),(4,2),(2,8),(2,7),(2,4),(2,2),{YY =×

(8,8)}(8,7),(8,4),(8,2),(7,8),(7,7),

:ومن ثم نجد أن

}) أ ( }(4,4)(2,2),1 =R المخطط السهمي لهذه العالقة) 7-3(ويبين شكل.

)7- 3(شكل

92

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

F'�E(3,4)}(2,4),(2,3),(1,4),(1,3),(1,2),{2 =R ����BBBBBBD�a)BBBBBBو�F3� J8�E�67�Kא �i[Mא��Q�$09C[�א� �

)8- 3(شكل

Fج�Eع���������BB0>ن��BB���SBBא���BB)% א�زوאج�א�ABB�ن��BB�;%��BB�� �BB4��qBBO7K&�=ن�א���BB67א ]�BBBد� YYو�&�(�BBB<&4��H�}BBB�א5�K��BBB��0y��&BBB9-;)u�BBBC&و�ً&�� × ���NBBBK=��BBB�

�<&4���v�%Φ=3RK������oא�א�Vط،�و�����Gh�Aن� �� �

@I3M4M2H@ñ†yaë@òÇìà©@¿@òÓýÈÛa Relation in one set @@@ @ @���BBBB-B3&B4Bh��BBBB67B���BBBB�BB%�ABBBB�B0B���&BBB���BBBB��B0B1B0Bא��ABBBB�A���BBBB�BK��BBBB��B0B1B0Bא�A����BBB�&B�Bא��]�BBB��$BBBل���BBB�BK�&BBB9BCB�BKY����BBB��&BBB9BK&B-B���BBB��B0B1B0Bא��$BBB���BBB67B��&BBB4B�B��&BBB4BK

��B��B0B1B0Bא��AB���B-B3,Bv��B��B0B1B�AA×K��F������01BB0B B��,�BBKAA×��,BB�B�&B�2A ��B��B0B1B0B B��$B%�&B�B��Bא��mB�B0Bא��&B��B��BKوA��E� �

93

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

@ÞbrßI3M6H@ @�rBBK&uذא�Y}8,7,6,5,4,3,2{=A �rBBK&uوR����BB ���BB����BB67�Aن��=�}BB-�

R∈b)(a, Rba ��=ن�א��د� ),(∋%bد������0 ��א�Cא����)��a����،$6&B���Bون���67�Kو�Q&>�a&�و��א�&���Rو��vא� �

�א�� ���67���א�%�o-)[;�R�� ��A�sWא���ل�� �

)}8,8(),7,7(),6,6(),5,5(),8,4(),4,4(),6,3(),3,3(),8,2(),6,2(),4,2(),2,2{(=R� ��و�����Gh�A=ن �

{ } X8,7,6,5,4,3,2)()( === RRangeRDomain� �������<&BBBBBB4B��aBBBBBB���BBBBBB67BBא��&BBBBBB9��mBBBBBB;B0B;B%אص����BBBBBBMB���BBBBBB��B0B1B��$BBBBBB���BBBBBB67BBא��,BBBBBB-B0B;B%��

$Bو��aB;B�B B;BMB��AB-B;B��B0B1B�W� �

Reflective Relationنعكاسية العالقة اال) 3-4-2-1( rBBBK&uذא�YR�������BBBB0>��BBB ���BBB����BBB67�A�����BBB67���0BBBBC%��BBB67،��BBB_ن���BBB[�א�

�rK&uذא�Y��-�&�KאRaa ∈),( �G-א���m-0{�،Aa ∈K� �� �

Symmetric Relationالعالقة التناظرية ) 3-4-2-2( ، فـــإن هـــذه العالقـــة تســــمى عالقـــة Aعالقـــة معرفـــة علـــى مجمــــوعة Rإذا كانـــت

RabRbaمتماثلة إذا كان ∈⇒∈ ),(),(��G-א���m-0{Aba ∈,K

Transitive Relationالعالقة المتعدية ) 3-4-2-3( �rK&uذא�YR��B0>�� �������67����A��������B 6&K��B67���0BBC%��B67،��B_ن���B[�א�

F�BBB��;��Eن&BBBuذא�YRcaRcbRba ∈⇒∈∈ ),(),(,),(��G-BBBא���mBBB-0{Aba ∈,K� �

94

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

ÑíŠÈmI3M3H@ @�rBBBK&uذא�YR�����BBB��0>��BBB ���BBB����BBB67�A�����BBB67��$BBB���BBB67،�و�BBB��rBBBK&u[�א��-�&�K���0אyא�� ��:�&�%��67���0C%�&9K_��،������AKو�%4&����و�; �

@ÞbrßI3M7H@ @

�rBBBBK&uذא�YA��̀ �;BBBBC א�H��0-�;BBBBC ط�א�BBBB[lא��BBBBu��BBBB��0>�$BBBB�2R̂��rBBBBK&uو

21, RR $�&;א����4א��� ��a;���a;67�W� �A,ba,:b)(a,{1 ∈=R a < b} A,ba,:b)(a,{2 ∈=R a ¦ b}

�ً7BBuد�س�&BB����a;BB67,21��ABBא� RR ����BBCu&���BB67��&BB9K�u�}BB-O�ABB�� J���BB67��� h&0;�� J��� 6&K��67�� J�:�&�%��67�K

�א�� �

�W��67=وً� ���)C4�&�1R � �

(i)��������NBC�K�+אز�B��G-�;BC��iB^�+=ن�=�GB K�،�0-�;BC ط�א�[lא�A��&4%&�� ��A��،������������BB-Oو��BB[�K�H�NBBC�K�mBB��mP&BB�;ن��=��BB���NBBK_��f��BBu�ABBن�����Y�NBBK�Fא���BBو�

�-�;C�Eن�����fذ��� a < a�����1Ra،�و� ∈�Kن=�+=W� �

11 aa)(a, RR ∈∀∈� ��67 ��א1R ����0yو��Gh�A%��ن�א����-�&�K��67א�AK� �

(ii)ن��&uذא�Y�NK=�G K�f��ua, b�[^a�0-�;C�a�ilن�א&uو�a��ilאز+�א��b�ilن�א_��،b��ilאز+�א��a�Kن_��Gh�A�وWabba �W،�=+�=ن >⇒> �

11 a)(b,b)(a, RR ∈⇒∈� ��67 ��א1R ����0yو� ��ذ��f%��ن�א�����4%��67&��AK� �

(iii)��}-OوYن�&uذא�Y�NKa, b, c��ilن�א&u��0و-�;C�ط��[^��h7ha��+אز���ilאb��il0&�=ن�אub��ilאز+�א��c�ilن�א_��،a��ilאز+�א��c���و����&��

cacbba=ن <⇒<< �W،��=+�=ن, �

95

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

111 c)(a,c)(b,,b)(a, RRR ∈⇒∈∈� ��67 ��א1R ����0yو��Gh�A%��ن�א������;���67�AK� �

�A�(i), (ii), (iii)��67�%��67&�:�� ��א���1R ����0y=ن�א��AK� �

� �&ً-K&h�W��67 ���)C4�&�2R � �

(i)�BBB[lن�א=�GBBB K�$BBB�&��49���BBBא �H����;BBBC�א��BBBOא�; �G-BBBא� ��&4;BBB��a��ABBBد�א&��BBא ;����BB-Oو��BB[�K�Hن�&BBP&�;��A�K����iBBl�ABB�s���NBBK=��BB��fBBذ���BB و�z&BB4ًא��

NBBBBBBC�K��BBBBBB ��&ًBBBBBBن���0د��BBBBBBن���=�G-�;BBBBBBC��Kن�&BBBBBBuذא�Y�NBBBBBBK_א���BBBBBBQ2وa R∈ ن�_BBBBBB�

2a)(a, R∉�K���BBBB67 BBBB���א�-2R ��BBBB67��rBBBBCو� BBBB��ذ���BBBB��fBBBB=ن�א����-BBBB�&�K����0yאAK� �

(ii)ن���&BBuذא�Y�NBBK=�GBB K��f��BBua, b�BB[^a0-�;BBC��a�iBBlن�א&BBuو�a�BB�0د��&ً��ilא�� �b�ilن�א_��،b��ilא�� �W و����Gh�A_ن���a�Kن���0د�ً&�� �

abba �W،�=+�=ن⇒ �

22 a)(b,b)(a, RR ∈⇒∈� ��67 ��א2R ����0yو� ��ذ��f%��ن�א�����4%��67&��AK� �

(iii)ن��&BBuذא�Ya, b, c� ��iBBlن�א&BBu��0و-�;BBBBC�ط��BBB[^��BBBBh7ha���BB ��BBB0د+���iBBlאbBBBB0u�،�iBBlن�א=�&b��iBBlא��BB �BBBBB�c�Kאز+�אBB��،a��iBBl_ن�א�BBBB0�c�iBBlد+��

�Wو��א��B4$�=ن �

cacbba �،�=+�=ن�,⇒≠ �

2c)(a, R∈ ⇒/ 22 c)(b,,b)(a, RR ∈∈� ���67 ��א2R ����0yو��Gh�A%��ن�א������;��rC-���67�AK� �

�A�(i), (ii), (iii)���67�%��6&�:�� ��א���2R 7��rC-�����0y=ن�א�AK� �

96

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

ÑíŠÈmI3M4H@ @ ��%��[K���&94א��H67&/�א �ً&و�9��67��Aא��-��&M;��67א����0�Kو���א� �

�rK&uذא�YR�����B0>�� �������67�A���B67%R������B-��&���B67���0BBC،��_ن�א�

,Ybaa)(b,,b)(aذא�u&ن� =⇔∈∈ RRK� �

I3M4M3H@òî�ØÈÛa@òÓýÈÛa Reciprocal Relation @@@ @ @

}Y�rBBK&uذא� }y x , Yy , X x:y)(x, RR ∈∈= ��BB��0>�ABB���BB67�X��tY

��BB��0>Y����BB��0yن�א_BB�{ }y x , Yy , X x:x)(y, R∈∈ ���ABB���BB67��$BB�����0yאY�����0yא�tYX������B67 ���-BC���&B�R�����,و%0C��א���B67א��&BQ�,B�و�

1−Rن�=�+=�،W� �

{ }y x , Yy , X x:x)(y,1 RR ∈∈=−� �

��67 ��$09BCא��i[M 1و���ن�א−R �����B67 ��$09BBCא��i[BBM א�wB�K���R����BB�N09B�=�]&B?א�w��K� �

� �

@ÞbrßI3@M8H@ @���BB67 ���-BBC��F3א �H����u�BB�BB5&ل�� �2R=و��BBvא�BB67&/�א� J4�Eo�&BBCא��،��GBB�وא�

&9 5s�+�$09א��Cא��i[M אK� �

�א�� ��672�&�J4��tYא�R א 5&ل��HF3� J4�Eو���-C����א���67א�%�A�ن=���W� �

(4,3)}(4,2),(3,2),(4,1),(3,1),(2,1),{12 =−R

���D�a)و�F3� J9�E��67Wא �i[Mא��Q�$09C[�א� �

97

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

)9- 3(شكل

I3M4M4H@Ûa@ô†ßë@Þb©@òÓýÈDomain and Range of Relation@ ÑíŠÈmI3M5H@ @

�rBBK&uذא�Y{ }y x , Yy , X x:y)(x, RR ∈∈= ��BB��0>�ABB���BB67�X��tY��BBB��0>Y������BBB��0yא�tY�$BBB0;4%�SBBBא��BBB<&4 وא�BBB%�SBBBBBB�X��i)%_ن�<��BBB��0א�

��BBBBBBB��0yא�ABBBBBBB��BBBBBBB<&4�Y ���BBBBBBB67��&BBBBBBB�BBBBBBB>��0BBBBBBBC%R��,&ل�א��&BBBBBBBQ�,BBBBBBB�و�)(RDomainن=�+=�،W� �

{ }y x , Xx:x)( RRDomain ∈= ÑíŠÈmI3M6H@ @

���B��0yא�tY�$0;4%�Sא��4&>B<&4���ABאY��������B��0y<����0א���i)%B%�SBوא�

X ���67�&��,��0C%R����`�א��&Q�,�و�)(RRangeن=�+=�،W� �

{ }y x , Yy:y)( RRRange ∈=K

òÄyýßZ@ @F=�E��������&9B 5s�+�B�$09א�BCא��iB[M א�AB��&B���B67��`��ل�و&>�� ،��A�sא���ل��

�<&4א���Sج��94&�א���H�G9Bא O���iB[M-{����=ن�<&ل�א����67;��ن���Aא����iB[M א�H�G9B��$09�-04&��;��ن���`�א���67��Aא�4&>�א��Y�N1;%�S-9&�א�Cא�

$0BBBCא��K�����a;BBB67 ��$09BBBCא��iBBB[M א�tY�&BBBKJKذא�_BBB�21, RR H 4-3(مثـــال (

:السابق ألمكن لنا بسهولة الحصول على

98

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

{ }4,2)()( 11 == RRangeRDomain , { } 2,3,4)( 2 =RRange ,

{ }1,2,3)( 2 =RDomain .

:يكـون Rعالقـة من السـهل على القـارئ مالحظـة أنه ألي) ب(

( ) ( )1−= RRangeRDomain , ( ) ( )1−= RDomainRRange

@ÞbrßI3M9H@ @

�rK&uذא�Y{ },11,126,7,8,9,101,2,3,4,5,A = �،�rK&uوR����B �������67�

Aن��=�}BB-�R∈b)(a, د���BB��BB=ن����0BBC6�$6&BBא�%a���BB �5����0BBC6�$6&BB��BBC&و+��5��67 ���bא��د��Kو�Q&>�a&�و��א�&�R،���و��vא� ��א�� �

��67���א�%�o-)[;�R�� ��A�sWא���ل�� �

)}12,12(),7,12(),2,12(),11,11(),6,11(),1,11(),10,10(),5,10(),9,9(

),4,9(),8,8(),3,8(),12,7(),7,7(),2,7(),11,6(),6,6(),1,6(),11,5(

),5,5(),9,4(),4,4(),8,3(),3,3(),12,2(),7,2(),2,2(),11,1(),6,1(),1,1{(=R

� ��Wو�����Gh�A=ن �

{ } A12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)()( === RRangeRDomain

@ÞbrßI3M10H@ @

�rK&uذא�Y)}4,4(),3,4(),4,3(),3,3(),3,2{(=R ����0yא�� �������67�{ }61,2,3,4,5,A =��67�RK،���و��v<&ل�و��`�א� �

�א��� �

:، يمكننا الحصول علىRمن العالقة

{ }4,3,2)( =RDomain , { }4,3)( =RRange

99

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

I3M4M5@H@û�Ïb�Ø�n�Ûa@Òb�ä�•cType of equivalence

ÑíŠÈmI3M7H@ @�AB�B;B�R���B��B0B1B0Bא��$B��:B�&B�B%��B67B�XAB�B-Bو��α���ABB��&B-B�B-Buא��B�B4B�X�،

�:BBB�&B�B%��BBB4B<�$BBB0BCBKα��ABBB���BBB-3,B1Bא�����BBB0B1B אX��<&BBB4Bא��BBB�B;B%�SBBن���ABBא��BBBBBB�B4BB�&B���BBBBBB[B)B%B אα����67BBBBBBBא��oBBBBBBو�R���,BBBBBB�B�&��&BBBBBQ�,�BBBBBBو�][α���BBBBBB0BC�

B�B4B�Wو%��ن���Q�7ًB50Bא�א��α��B4Bא� �}:{][ RXXx αα ∈=� �

� �

I3M4M4M1@H@˜aì�@û�Ïb�Ø�n�Ûa@Òb�ä�•cZ@ @•B�B�B4B��:B�&B�B;Bא���&B4B<=�B4B5B���B4B5B���B K� � �B-Bא�•B�Bא���B��B0B1B0Bא���B��:B�&B�B;Bא���&B4B<=د�&B�B%XK� �

100

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

@åí‰b·I3M1H@ @@ @

�F1�E�rBBBK&uذא�Y{ }4,5,6C = , { }3,4B = , { }1,2,3A =��/&BBB��0>��BBBvو���،�����$09Cא��i[M وא�$K&-)א����Vא��G��pW&��&%�א�)'�א����&�%$�وא� �

BA)أ( CA) ب( × ×

CB) ج( B(A(C)ج( × ∪×

B(A(C)د( A)(AB)(C)هـ( ×∩ ×∩×

}إذا كانــت )2( } { }8,7,5,3,5,4,3,2,1X == Y فأوجــد العالقــة ،R المعرفــة مــن –نعكاســية اوبــين نوعهــا مــن حيــث كونهــا عالقــة Yإلــى المجموعــة Xالمجموعــة

.ةيتخالفعالقة –عالقة تكافؤ -متعدية -تناظرية

} )أ( }2y x, Yy , X x:y)(x, −=∈∈=R

})ب( }y x, Yy , X x:y)(x, =∈∈=R

})ج( }y x, Yy , X x:y)(x, >∈∈=R

})د( }3y x, Yy , X x:y)(x, +=∈∈=R

})هـ( }2 x, Yy , X x:y)(x, =∈∈=R

})و( }y x, Yy , X x:y)(x, ≥∈∈=R

والمعرفـــــــة علـــــــى المجموعـــــــة ممـــــــا يلـــــــىدرس العالقـــــــة الموضـــــــحة فـــــــي كـــــــل ا) 3({ }6,5,4,3,2,1X عالقــــة - نعكاســــيةاوبــــين نوعهــــا مــــن حيــــث كونهــــا عالقــــة =

.عالقة متخالفة –عالقة تكافؤ - متعديةعالقة - تناظرية

})أ( }(6,6)(5,5),(4,4),(3,3),(2,2),(1,1),1 =R

}) ب( }(5,5)12 −= RR

101

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

})ج( }(2,1)(1,2),(1,1),3 =R

})د( }(2,2)34 ∪= RR

})هـ( }(2,6)5 =R

})و( }(5,1)(1,5),6 =R

F4�E�rK&uذא�Y{ }20,...,3,2,1,0X =�rK&uو�،R���������BB0yא��B ���B����BB67�X�

��BB=ن����0BBBC6�$6&BBא��BBد� BB-�Ryx{�=ن%x���BB �BBBC�y&و+����0BBBC6�$6&BBא��BBد���5�� �5�K�v��67 =و�KوאR�:�&�%��67��&9K=�r)hא� �

Z+لموجبـة اعالقـة معرفة على مجمـوعة األعـداد الصـحيحة Rإذا كانت ) 5( :بحيث أن

}12y2x =+ ( ){ ∈= yx,:yx,R العالقــة العكسـية لهــا ومثلهمـا بيانيــًا وعــين مجالهـا ومــداها وكـذلك Rفأوجـد العالقـة

.في المستوى اإلحداثي وارسم المخطط السهمي لهما

لمعرفـــة علـــى مجموعـــة األعـــداد او ممـــا يـــأتى أوجـــد العالقـــة الموضـــحة فـــي كـــل )6( -تناظريـةعالقـة - نعكاسـيةاوعين نوعها من حيث كونهـا عالقـة ، Zالصحيحة

.ةيتخالفعالقة –عالقة تكافؤ -متعدية عالقة

xRyتقبل القسمة على y )أ( .

yxRyx)ب( <⇔

yxRyx)ج( >⇔

yxRyx)د( ≤⇔

))هـ( ) 1yx,Ryx ).عددان أوليان بالنسبة لبعضهما x, yأي أن ( ⇔=

5ky-xRyx)و( .عدد صحيح kحيث ⇔=

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